江苏省徐州市王杰中学高考数学一轮复习 等差数列前n项和教学案

2.3 等差数列的前n项和教教学目标1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2．利用等差数列解决相关的实际问题。

教学重点.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；．利用等差数列解决相关的实际问题。

教学参考教材，教参授课方法自学引导类比教学辅助手段多媒体专用教室教学过程设计教学二次备课一、课前准备1、自学书本第44-46页2、等差数列的通项公式：前n项和公式：二、学习新知【问题1】（A）例1、某剧场有２０排座位，后一排比前一排多２个座位，最后一排有６０个座位，这个剧场共有多少个座位？【问题2】（B）例2、教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生．假设零存整取３年期教育储蓄的月利率为2.1‰．（１）欲在３年后一次支取本息合计２万元，每月大约存入多少元？（２）零存整取３年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时３年后本息合计约为多少？（精确到１元）3、等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，那么数列S k，S2k－S k，S3k－S2k ，(k∈N*)成_____________，公差为________4、 (A)已知等差数列｛na｝满足101321=++++aaaaΛ，则（）．Ａ。

1011aa+＞０Ｂ．1011aa+＜０Ｃ．1011aa+＝０Ｄ．5151=a教学过程设计教学二次备课【问题3】(B)若数列｛a n｝的前n项和S n＝2n2－n，判断此数列是否是等差数列【点评】：若已知数列{a n}的前n项和为S n,则a n可用S n表示， a n＝⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11nSSnSnn.思考：（B）若数列｛a n｝的前n项和S n＝2n2－n+1，（1）求此数列的通项公式（2）判断此数列是否是等差数列.归纳：当公差0d≠时，等差数列的通项公式11(1)na a n d dn a d=+-=+-是关于n的_____ __函数，且斜率为公差d；前n和1(1)2nn nS na d-=+21()22d dn a n=+-是关于n的_________函数.五、小结掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题练习：(B)求集合{}60,,12〈∈-=*mNnnmm的元素个数，并求这些元素的和。

第2讲 等差数列及其前n 项和一、知识梳理1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列，称这个常数为等差数列的公差，常用字母d 表示．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ． (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝（a 1＋a n ）n2．3．等差数列的性质已知数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和． (1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N +)． (2)若k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N +)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n ． (3)若{a n }的公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d ． (4)若{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列． (5)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 常用结论1．等差数列的函数性质(1)通项公式：当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且一次项系数为公差d .若公差d >0，则为递增数列，若公差d <0，则为递减数列．(2)前n 项和：当公差d ≠0时，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n 是关于n 的二次函数且常数项为0.(3)单调性：当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．2．记住两个常用结论(1)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质①若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a na n ＋1； ②若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n n －1. (2)两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为S 2n －1T 2n －1＝a nb n. 二、教材衍化1．已知等差数列－8，－3，2，7，…，则该数列的第100项为________． 解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487. 答案：4872．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________．解析：由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，所以a 5＝90，所以a 2＋a 8＝2a 5＝180.答案：1803．已知等差数列5，427，347，…，则前n 项和S n ＝________．解析：由题知公差d ＝－57，所以S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝114(75n －5n 2)．答案：114(75n －5n 2)4．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8＝________．解析：由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，所以S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案：32 一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N +，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(3)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．( )(4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)忽视等差数列中项为0的情况； (2)考虑不全而忽视相邻项的符号； (3)等差数列各项的符号判断不正确．1．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，则使数列{a n }的前n 项和S n 取最大值的正整数n 的值是________．解析：由|a 3|＝|a 9|，d <0，得a 3＝－a 9， 即a 3＋a 9＝0，所以a 6＝a 3＋a 92＝0.所以a 5>0，a 6＝0，a 7<0.所以当n ＝5或6时，S n 取最大值． 答案：5或62．首项为30的等差数列{a n }，从第8项开始为负数，则公差d 的取值范围是________． 解析：由题意知a 1＝30，a 8<0，a 7≥0.即⎩⎪⎨⎪⎧30＋7d <0，30＋6d ≥0，解得－5≤d <－307.答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫－5，－3073．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N +)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________． 解析：由a n ＝2n －10(n ∈N +)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，所以n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.答案：130等差数列基本量的计算(师生共研)(1)(一题多解)已知等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，则公差d ＝( )A.16 B ．112 C ．－16D ．－112(2)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( )A ．－12B ．－10C ．10D ．12(3)(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________．【解析】 (1)通解：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝76，a 3＋a 6＝56，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ＝76，2a 1＋7d ＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1724，d ＝－112，故选D.优解：由等差数列的性质知，a 3＋a 6＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＝(a 1＋a 4)＋4d ＝56，又a 1＋a 4＝76，所以d ＝－112.故选D.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为3S 3＝S 2＋S 4，所以3(3a 1＋3×22d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，因为a 1＝2，所以d ＝－3，所以a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.(3)设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1， 所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4.【答案】 (1)D (2)B (3)4等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．1．在公差不为0的等差数列{a n }中，4a 3＋a 11－3a 5＝10，则15a 4＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.法一：设{a n }的公差为d (d ≠0)，由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 1＋2d )＋(a 1＋10d )－3(a 1＋4d )＝10，即2a 1＋6d ＝10，即a 1＋3d ＝5，故a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.法二：设{a n }的公差为d (d ≠0)，因为a n ＝a m ＋(n －m )d ，所以由4a 3＋a 11－3a 5＝10，得4(a 4－d )＋(a 4＋7d )－3(a 4＋d )＝10，整理得a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.法三：由等差数列的性质，得2a 7＋3a 3－3a 5＝10，得4a 5＋a 3－3a 5＝10，即a 5＋a 3＝10，则2a 4＝10，即a 4＝5，所以15a 4＝1，故选C.2．设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4<S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4>S 1D ．S 4＝S 1解析：选B.设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－9，d ＝3.于是S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×32×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4<S 1，故选B.等差数列的判定与证明(师生共研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n－1.数列{b n }满足b 1＝2，b n ＋1－2b n ＝8a n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 为等差数列，并求{b n }的通项公式．【解】 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝21－1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n－1)－(2n －1－1)＝2n －1.因为a 1＝1适合通项公式a n ＝2n －1，所以a n ＝2n －1.(2)证明：因为b n ＋1－2b n ＝8a n ， 所以b n ＋1－2b n ＝2n ＋2，即b n ＋12n ＋1－b n 2n ＝2. 又b 121＝1， 所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n 2n 是首项为1，公差为2的等差数列．所以b n2n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.所以b n ＝(2n －1)×2n.等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．1．若数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ≠0，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列． (2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12（n －1）＝n －1－n 2n （n －1）＝－12n （n －1）.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式．故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n （n －1），n ≥2.2．已知数列{a n }的前n项和为S n，a1＝1，a n≠0，a n a n＋1＝λS n－1，其中λ为常数．(1)证明：a n＋2－a n＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解：(1)证明：由题设知a n a n＋1＝λS n－1，a n＋1a n＋2＝λS n＋1－1，两式相减得a n＋1(a n＋2－a n)＝λa n＋1，由于a n＋1≠0，所以a n＋2－a n＝λ.(2)由题设知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.由(1)知，a3＝λ＋1.令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.故a n＋2－a n＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以a n＝2n－1，a n＋1－a n＝2，因此存在λ＝4，使得数列{a n}为等差数列．等差数列性质的应用(多维探究)角度一等差数列项的性质的应用(1)等差数列{a n}中，a1＋3a8＋a15＝120，则2a9－a10的值是( )A．20 B．22C．24 D．－8(2)一个等差数列的前12项的和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和的比为32∶27，则该数列的公差d为________．【解析】(1)因为a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以a8＝24，所以2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.(2)设等差数列的前12项中奇数项的和为S奇，偶数项的和为S偶，等差数列的公差为d.由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝354，S 偶∶S 奇＝32∶27，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 偶＝192，S 奇＝162.又S 偶－S 奇＝6d ，所以d ＝192－1626＝5.【答案】 (1)C (2)5角度二 等差数列前n 项和性质的应用(1)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值等于( )A ．－2 018B ．－2 016C ．－2 019D ．－2 017(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390D ．540【解析】 (1)由题意知，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，其公差为1，所以S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1＝－2 018＋2 017＝－1.所以S 2 018＝－2 018.(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， 所以2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， 所以2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100. 【答案】 (1)A (2)A等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差．(2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n ；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是首项为a 1，公差为d2的等差数列．1．(一题多解)(2020·惠州模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＋a 3＋a 4＝15，a 7＝13，则S 5＝( )A ．28B ．25C ．20D ．18解析：选B.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＋a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝15，a 1＋6d ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，所以S 5＝5a 1＋5×42d ＝5×1＋5×42×2＝25，故选B.优解：由{a n }是等差数列，可得a 2＋a 4＝2a 3，所以a 3＝5，所以S 5＝5（a 1＋a 5）2＝5×2a 32＝25，故选B.2．等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7等于( )A.3727B ．3828 C.3929D ．4030解析：选A.a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝132（a 1＋a 13）132（b 1＋b 13）＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.等差数列前n 项和的最值问题(典例迁移)(一题多解)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n的值是( )A ．5B ．6C ．7D ．8【解析】 法一：由S 3＝S 11，得a 4＋a 5＋…＋a 11＝0，根据等差数列的性质，可得a 7＋a 8＝0.根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a 7>0，a 8<0，故n ＝7时S n 最大．法二：由S 3＝S 11，可得3a 1＋3d ＝11a 1＋55d ，把a 1＝13代入，得d ＝－2，故S n ＝13n －n (n －1)＝－n 2＋14n .根据二次函数的性质，知当n ＝7时S n 最大．法三：根据a 1＝13，S 3＝S 11，知这个数列的公差不等于零，且这个数列的和是先递增后递减．根据公差不为零的等差数列的前n 项和是关于n 的二次函数，以及二次函数图象的对称性，可得只有当n ＝3＋112＝7时，S n 取得最大值．【答案】 C【迁移探究】 (变条件)将本例中“a 1＝13，S 3＝S 11”改为“a 1＝20，S 10＝S 15”，则n 为何值？解：因为a 1＝20，S 10＝S 15，所以10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，所以d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653，得a 13＝0.即当n ≤12时，a n >0， 当n ≥14时，a n <0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值． 法二：S n ＝20n ＋n （n －1）2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.因为n ∈N +，所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值． 法三：由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. 所以5a 13＝0，即a 13＝0.所以当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值．求等差数列前n 项和S n 及最值的2种方法(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．(2)邻项变号法①当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值为S m ；②当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值为S m .1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( ) A ．9 B ．10 C ．11D ．12解析：选B.由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1>0可推知这个数列递减，从而a 10>0，a 11<0，故n ＝10时，S n 最大．2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 15>0，S 16<0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8D ．S 15解析：选C.由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0，所以a 8>0，a 9<0，则d ＝a 9－a 8<0，所以在数列{a n }中，当n <9时，a n >0，当n ≥9时，a n <0，所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.[基础题组练]1．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n解析：选A.法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n （n －1）2d ＝n 2－4n .故选A.法二：设等差数列{a n }的公差为d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝0，a 5＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.选项A ，a 1＝2×1－5＝－3；选项B ，a 1＝3×1－10＝－7，排除B ； 选项C ，S 1＝2－8＝－6，排除C ；选项D ，S 1＝12－2＝－32，排除D.故选A.2．(一题多解)(2020·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( )A ．55B ．11C ．50D ．60解析：选A.通解：设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋11×102d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A. 优解：设等差数列{a n }的公差为d ，由2a 7＝a 8＋5，得2(a 6＋d )＝a 6＋2d ＋5，得a 6＝5，所以S 11＝11a 6＝55，故选A.3．(一题多解)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C.法一：等差数列{a n }中，S 6＝（a 1＋a 6）×62＝48，则a 1＋a 6＝16＝a 2＋a 5，又a 4＋a 5＝24，所以a 4－a 2＝2d ＝24－16＝8，得d ＝4，故选C.法二：由已知条件和等差数列的通项公式与前n 项和公式可列方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝4，故选C. 4．(2020·焦作市统一模拟考试)《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中的第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为( )A.176升 B ．72升 C.11366升 D ．10933升解析：选 A.自上而下依次设各节竹子的容积分别为a 1，a 2，…，a 9，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3a 7＋a 8＋a 9＝4，因为a 2＋a 3＝a 1＋a 4，a 7＋a 9＝2a 8，故a 2＋a 3＋a 8＝32＋43＝176.选A.5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N +)，则a 2 017的值为( )A ．2 018B ．4 028C ．5 037D ．3 019解析：选B.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a m＝a 1＋（m －1）d ＝4，S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，S m ＋2－S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＝2a 1＋（m ＋m ＋1）d ＝14，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，m ＝5，d ＝2，所以a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，所以a 2 017＝2×2 017－6＝4 028.故选B.6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11S 5＝________． 解析：S 11S 5＝112（a 1＋a 11）52（a 1＋a 5）＝11a 65a 3＝225.答案：2257．在等差数列{a n }中，公差d ＝12，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________．解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910，a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25＝10.答案：108．在单调递增的等差数列{a n }中，若a 3＝1，a 2a 4＝34，则a 1＝________．解析：由题知，a 2＋a 4＝2a 3＝2，又因为a 2a 4＝34，数列{a n }递增，所以a 2＝12，a 4＝32.所以公差d ＝a 4－a 22＝12.所以a 1＝a 2－d ＝0. 答案：09．已知等差数列{a n }的前三项的和为－9，前三项的积为－15. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若{a n }为递增数列，求数列{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)设公差为d ，则依题意得a 2＝－3，则a 1＝－3－d ，a 3＝－3＋d ， 所以(－3－d )(－3)(－3＋d )＝－15，得d 2＝4，d ＝±2， 所以a n ＝－2n ＋1或a n ＝2n －7.(2)由题意得a n ＝2n －7，所以|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧7－2n ，n ≤32n －7，n ≥4，①n ≤3时，S n ＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝5＋（7－2n ）2n ＝6n －n 2；②n ≥4时，S n ＝－a 1－a 2－a 3＋a 4＋…＋a n ＝－2(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋…＋a n )＝18－6n ＋n 2.综上，数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－n 2＋6n ，n ≤3n 2－6n ＋18，n ≥4.10．已知等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36. (1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N +)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65. 解：(1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36， 将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5. 因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N +)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65. 由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4.即所求m 的值为5，k 的值为4.[综合题组练]1．等差数列{a n }中，a na 2n是一个与n 无关的常数，则该常数的可能值的集合为( )A ．{1}B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，1解析：选B.a n a 2n ＝a 1＋（n －1）d a 1＋（2n －1）d ＝a 1－d ＋nd a 1－d ＋2nd ，若a 1＝d ，则a n a 2n ＝12；若a 1≠0，d ＝0，则a n a 2n ＝1.因为a 1＝d ≠0，所以a na 2n ≠0，所以该常数的可能值的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，12.2．(2020·晋冀鲁豫名校期末联考)我国南北朝时期的著作《张邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？则据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两人所得金相差数额绝对值的最小值是( )A.113斤 B ．739斤 C.778斤 D ．111斤 解析：选C.设第n 个人得金a n 斤，由题意可知{a n }是等差数列，设公差为d ，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝4，a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝4a 1＋30d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3726，d ＝－778，则两个人所得金相差数额绝对值的最小值是778斤．故选C.3．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a nn ＝________．解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ①，所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ②，①－②得a n ＝2n ，即a n ＝4n 2，所以a n n ＝4n 2n ＝4n ，所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝（4＋4n ）n 2＝2n 2＋2n .答案：2n 2＋2n4．若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n ＝________．解析：因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝4 032（a 1＋a 4 032）2＝4 032（a 2 016＋a 2 017）2>0，S 4 033＝4 033（a 1＋a 4 033）2＝4 033a 2 017<0，所以使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032.答案：4 0325．(2020·湖北仙桃、天门、潜江模拟)已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n＋1－2(n 2＋3n ＋2)，设b n ＝a nn ＋1.(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等差数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．解：(1)因为数列{a n }满足(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)，所以将n ＝1代入得3a 1＝2a 2－12.又a 1＝2，所以a 2＝9.将n ＝2代入得4a 2＝3a 3－24，所以a 3＝20.从而b 1＝1，b 2＝3，b 3＝5.(2)数列{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列．理由如下：将(n ＋2)a n ＝(n ＋1)a n ＋1－2(n 2＋3n ＋2)两边同时除以(n ＋1)(n ＋2)可得（n ＋2）a n （n ＋1）（n ＋2）＝（n ＋1）a n ＋1－2（n 2＋3n ＋2）（n ＋1）（n ＋2），化简可得a n ＋1n ＋2－a nn ＋1＝2，即b n ＋1－b n ＝2， 所以数列{b n }是以1为首项， 2为公差的等差数列．(3)由(2)可得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝(n ＋1)b n ＝(n ＋1)·(2n －1)＝2n 2＋n －1.6．(2020·安徽蚌阜模拟)在数列{a n }，{b n }中，设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2，3b 1＋5b 2＋…＋(2n ＋1)b n ＝2n·a n ＋1，n ∈N *.(1)求a n 和S n ；(2)当n ≥k 时，b n ≥8S n 恒成立，求整数k 的最小值．解：(1)因为a n ＋1＝a n ＋2，所以a n ＋1－a n ＝2，所以{a n }是等差数列． 又a 1＝1，所以a n ＝2n －1， 从而S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2.(2)因为a n＝2n－1，所以3b1＋5b2＋7b3＋…＋(2n＋1)b n＝2n·(2n－1)＋1，①当n≥2时，3b1＋5b2＋7b3＋…＋(2n－1)b n－1＝2n－1·(2n－3)＋1.②①－②可得(2n＋1)b n＝2n－1·(2n＋1)(n≥2)，即b n＝2n－1.而b1＝1也满足上式，故b n＝2n－1.令b n≥8S n，则2n－1≥8n2，即2n－4≥n2.又210－4<102，211－4>112，结合指数函数增长的性质，可知整数k的最小值是11.。

第2节 等差数列及其前n 项和考试要求 1.理解等差数列的概念；2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能利用等差数列的有关知识解决相应的问题；4.了解等差数列与一次函数的关系.知 识 梳 理1.等差数列的概念(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数).(2)假设a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2.2.等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)假设等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，那么其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d . (2)前n 项和公式：S n ＝na 1＋n 〔n －1〕d 2＝n 〔a 1＋a n 〕2.3.等差数列的性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)假设{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，那么a k ＋a l ＝a m ＋a n .(3)假设{a n }是等差数列，公差为d ，那么a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列.(4)假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，那么数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列.(5)假设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，那么数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列.[常用结论与微点提醒]1.数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，那么数列{a n }一定是等差数列，且公差为p .2.在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，那么S n 存在最大值；假设a 1＜0，d ＞0，那么S n 存在最小值.3.等差数列{a n }的单调性：当d ＞0时，{a n }是递增数列；当d ＜0时，{a n }是递减数列；当d ＝0时，{a n }是常数列.4.数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).5.用等差数列的定义判断数列是否为等差数列，要注意定义中的三个关键词：“从第2项起〞“每一项与它的前一项的差〞“同一个常数〞.诊 断 自 测1.判断以下结论正误(在括号内打“√〞或“×〞)(1)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( )(3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数.( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( ) 解析 (3)假设公差d ＝0，那么通项公式不是n 的一次函数. (4)假设公差d ＝0，那么前n 项和不是二次函数. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2.(老教材必修5P46AT2改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，假设a 6＝2且S 5＝30，那么S 8等于( ) A.31 B.32 C.33 D.34解析 由可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋10d ＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43，∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝32.答案 B3.(老教材必修5P68T8改编)在等差数列{a n }中a 3＋a 4＋a 5＝6，那么S 7＝( ) A.8 B.12 C.14 D.18解析 a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝6，∴a 4＝2，S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝14.答案 C4.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.假设3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，那么a 5＝( ) A.－12 B.－10 C.10 D.12解析 设等差数列{a n }的公差为d ，那么3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即d ＝－32a 1.又a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10. 答案 B5.(2020·某某模拟)等差数列{a n }，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，那么公差d ＝( ) A.－29B.29C.－23D.23解析 因为S 10＝12×10×(a 1＋a 10)＝12×10×(a 1＋10)＝70，所以a 1＝4，因为a 10＝a 1＋9d ＝10，所以d ＝23.答案 D6.(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.假设a 1≠0，a 2＝3a 1，那么S 10S 5＝________. 解析 由a 1≠0，a 2＝3a 1，可得d ＝2a 1， 所以S 10＝10a 1＋10×92d ＝100a 1，S 5＝5a 1＋5×42d ＝25a 1，所以S 10S 5＝4. 答案 4考点一 等差数列基本量的运算[例1] (1)(一题多解)(2019·某某卷)数列{a n }(n ∈N *)是等差数列，S n 是其前n 项和.假设a 2a 5＋a 8＝0，S 9＝27，那么S 8的值是________.(2)(2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.S 4＝0，a 5＝5，那么( ) A.a n ＝2n －5 B.a n ＝3n －10C.S n ＝2n 2－8n D.S n ＝12n 2－2n解析 (1)法一 由S 9＝27⇒9〔a 1＋a 9〕2＝27⇒a 1＋a 9＝6⇒2a 5＝6⇒a 5＝3，即a 1＋4d ＝3. 又a 2a 5＋a 8＝0⇒2a 1＋5d ＝0， 解得a 1＝－5，d ＝2.故S 8＝8a 1＋8×〔8－1〕2d ＝16.法二 同法一得a 5＝3.又a 2a 5＋a 8＝0⇒3a 2＋a 8＝0⇒2a 2＋2a 5＝0⇒a 2＝－3. ∴d ＝a 5－a 23＝2，a 1＝a 2－d ＝－5.故S 8＝8a 1＋8×〔8－1〕2d ＝16.(2)设首项为a 1，公差为d .由S 4＝0，a 5＝5可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，4a 1＋6d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，d ＝2.所以a n ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝n ×(－3)＋n 〔n －1〕2×2＝n 2－4n .答案 (1)16 (2)A规律方法 1.等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，表达了用方程的思想来解决问题.2.数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示和未知是常用方法.[训练1] (2019·全国Ⅰ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.S 9＝－a 5. (1)假设 a 3＝4，求{a n }的通项公式； (2)假设a 1>0，求使得S n ≥a n 的n 的取值X 围. 解 (1)设{a n }的公差为d .由S 9＝－a 5得9a 1＋9×82d ＝－(a 1＋4d )，即a 1＋4d ＝0.由a 3＝4得a 1＋2d ＝4.于是a 1＝8，d ＝－2.因此{a n }的通项公式为a n ＝10－2n . (2)由(1)得a 1＝－4d ， 故a n ＝(n －5)d ，S n ＝n 〔n －9〕d2.由a 1>0知d <0，故S n ≥a n 等价于n 〔n －9〕2≤n －5，即n 2－11n ＋10≤0，解得1≤n ≤10， 所以n 的取值X 围是{n |1≤n ≤10，n ∈N }. 考点二 等差数列的判定与证明典例迁移[例2] (经典母题)假设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝12.(1)求证：⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式.(1)证明 当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为2，公差为2的等差数列. (2)解 由(1)可得1S n ＝2n ，∴S n ＝12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12〔n －1〕＝n －1－n 2n 〔n －1〕＝－12n 〔n －1〕.当n ＝1时，a 1＝12不适合上式.故数列{a n}的通项公式为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝1，－12n 〔n －1〕，n ≥2.[迁移1] 本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由. 解 因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0， 所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2).所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2).又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列.所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n.所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12n －12〔n －1〕＝－12n 〔n －1〕，所以a n ＋1＝－12n 〔n ＋1〕，又a n ＋1－a n ＝－12n 〔n ＋1〕－－12n 〔n －1〕＝－12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n －1＝1n 〔n －1〕〔n ＋1〕.所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是等差数列. [迁移2] 本例中，假设将条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式. 解 由可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1， 又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－25n .规律方法 1.证明数列是等差数列的主要方法：(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数. (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)都成立. 2.判定一个数列是等差数列还常用到的结论：(1)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列.(2)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.[训练2] 记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.S 2＝2，S 3＝－6. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列. 解 (1)设{a n }的公比为q ，由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1〔1＋q 〕＝2，a 1〔1＋q ＋q 2〕＝－6，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n.(2)由(1)可得S n ＝a 1〔1－q n 〕1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13.由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n 2n ＋3－2n ＋23＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤－23＋〔－1〕n ·2n ＋13＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列. 考点三 等差数列的性质及应用[例3] (1)(2019·某某联考)在等差数列{a n }中，假设a 2＋a 8＝8，那么(a 3＋a 7)2－a 5＝( ) A.60 B.56 C.12 D.4(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设S 3＝9，S 6＝36，那么a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.63 B.45 C.36 D.27解析 (1)∵在等差数列{a n }中，a 2＋a 8＝8， ∴a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝2a 5＝8，解得a 5＝4， 所以(a 3＋a 7)2－a 5＝82－4＝60.(2)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列， 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45， 所以a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案 (1)A (2)B规律方法 1.项的性质：在等差数列{a n }中，假设m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，那么a m ＋a n ＝a p ＋a q .2.和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，那么 (1)S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)；(2)S 2n －1＝(2n －1)a n .[训练3] (1)(2020·某某六校联考)等差数列{a n }中，假设a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，那么a 9－13a 11的值是( ) A.14 B.15 C.16 D.17(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，假设S n T n ＝3n －22n ＋1，那么a 7b 7等于( )A.3727B.1914C.3929D.43解析 (1)依题意，由a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，得5a 8＝120，即a 8＝24，所以a 9－13a 11＝13(3a 9－a 11)＝13(a 9＋a 7＋a 11－a 11)＝13(a 9＋a 7)＝23a 8＝23×24＝16.(2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.答案 (1)C (2)A考点四 等差数列的最值问题 多维探究角度1 等差数列前n 项和的最值[例4－1] (2019·卷)设{a n }是等差数列，a 1＝－10，且a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列. (1)求{a n }的通项公式；(2)记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值. 解 (1)设{a n }的公差为d . 因为a 1＝－10，所以a 2＝－10＋d ，a 3＝－10＋2d ，a 4＝－10＋3d . 因为a 2＋10，a 3＋8，a 4＋6成等比数列， 所以(a 3＋8)2＝(a 2＋10)(a 4＋6). 所以(－2＋2d )2＝d (－4＋3d ). 解得d ＝2.所以{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －12. (2)由(1)知，a n ＝2n －12.那么当n ≥7时，a n >0；当n ＝6时，a n ＝0，当n <6时，a n <0； 所以S n 的最小值为S 5＝S 6＝－30.规律方法 求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，或者利用性质求其正负转折项，便可求得和的最值；(2)利用公差不为零的等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数，A ≠0)为二次函数，通过二次函数的性质求最值. 角度2 等差数列项的最值[例4－2] (2020·某某模拟)S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，那么S n <0时n 的最大值是( )A.2 019B.2 020C.4 037D.4 038解析 因为S 2 020<S 2 018，S 2 019<S 2 020，所以a 2 020＋a 2 019<0，a 2 020>0.所以S 4 038＝4 038〔a 1＋a 4 038〕2＝2 019(a 2 020＋a 2 019)<0，S 4 039＝4 039〔a 1＋a 4 039〕2＝4 039a 2 020>0，可知S n <0时n 的最大值是4 038. 答案 D规律方法 此题借助等差数列的性质求出S n <0中n 的取值X 围，从而求出n 的最大值，这种题型要与S n 的最值区别开来.[训练4] (1)(角度1)等差数列{a n }中，|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，那么其前n 项和取最小值时n 的值为( )A.6B.7C.8D.9(2)(角度2)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，那么这个最小值为________.解析 (1)由d >0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，那么a 8＝－d 2<0，a 9＝d2>0，所以前8项和为前n 项和的最小值.应选C.(2)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 7＝36，所以a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－10，d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n <0，当n ≥3时，a n >0，所以a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n >0，当n ≥8时，a n <0，所以a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值.综上，a n a n ＋1的最小值为－12. 答案 (1)C (2)－12A 级 基础巩固一、选择题1.(2019·某某一模)在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，那么a 2＋a 14的值为( ) A.6 B.12 C.24 D.48解析 ∵在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120， 由等差数列的性质，a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120， ∴a 8＝24，∴a 2＋a 14＝2a 8＝48. 答案 D2.(2020·某某名校联盟联合调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，那么tan S 14＝( ) A.－33B.33C.－3D. 3 解析 ∵{a n }是等差数列，且a 2＋a 7＋a 8＋a 13＝2π21，∴a 7＋a 8＝π21，∴S 14＝14〔a 1＋a 14〕2＝7(a 7＋a 8)＝π3，∴tan S 14＝tan π3＝ 3.答案 D3.(2020·某某调研)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对任意n >1，n ∈N *，满足S n＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，那么S 10的值为( )A.90B.91C.96D.100解析 ∵对任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，∴S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91. 应选B.答案 B4.(2019·某某质检)中国古诗词中，有一道“八子分绵〞的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言〞.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是( )A.174斤B.184斤C.191斤D.201斤解析 用a 1，a 2，…，a 8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵数，由题意得数列a 1，a 2，…，a 8是公差为17的等差数列，且这8项的和为996，∴8a 1＋8×72×17＝996，解之得a 1＝65. ∴a 8＝65＋7×17＝184，即第8个儿子分到的绵是184斤.答案 B5.(2020·某某诊断)等差数列{a n }中，a 1＝2 019，a 2 019＝a 2 015－16，那么数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时n 的值为( )A.504B.505C.506D.507解析 ∵数列{a n }为等差数列，a 2 019＝a 2 015－16，∴数列{a n }的公差d ＝－4，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2 023－4n ，令a n ≥0，得n ≤2 0234. 又n ∈N *，∴S n 取最大值时n 的值为505.答案 B二、填空题6.(2019·全国Ⅲ卷)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.假设a 3＝5，a 7＝13，那么S 10＝________. 解析 ∵{a n }为等差数列，a 3＝5，a 7＝13，∴公差d ＝a 7－a 37－3＝13－54＝2，首项a 1＝a 3－2d ＝5－2×2＝1，∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝100. 答案 1007.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10＝16，S 100－S 90＝24，那么S 100＝________. 解析 依题意，S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d .又S 10＝16，S 100－S 90＝24，因此S 100－S 90＝24＝16＋(10－1)d ＝16＋9d ，解得d ＝89，因此S 100＝10S 10＋10×92d ＝10×16＋10×92×89＝200. 答案 2008.(多填题)(2019·卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，假设a 2＝－3，S 5＝－10，那么a 5＝________，S n 的最小值为________.解析 由题意得a 2＝a 1＋d ＝－3，S 5＝5a 1＋10d ＝－10，解得a 1＝－4，d ＝1，所以a 5＝a 1＋4d ＝0，故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n －5.令a n ≤0，那么n ≤5，即数列{a n }中前4项为负，a 5＝0，第6项及以后项为正.∴S n 的最小值为S 4＝S 5＝－10.答案 0 －10三、解答题9.等差数列{a n }的公差d >0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.解 (1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式，解得d ＝2或d ＝－5.因为d >0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *).(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1>1，故⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋k －1＝13，k ＋1＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，k ＝4. 即所求m 的值为5，k 的值为4.10.等差数列的前三项依次为a ，4，3a ，前n 项和为S n ，且S k ＝110.(1)求a 及k 的值；(2)设数列{b n }的通项公式b n ＝S n n ，证明：数列{b n }是等差数列，并求其前n 项和T n .(1)解 设该等差数列为{a n }，那么a 1＝a ，a 2＝4，a 3＝3a ，由有a ＋3a ＝8，得a 1＝a ＝2，公差d ＝4－2＝2，所以S k ＝ka 1＋k 〔k －1〕2·d ＝2k ＋k 〔k －1〕2×2＝k 2＋k ， 由S k ＝110，得k 2＋k －110＝0，解得k ＝10或k ＝－11(舍去)，故a ＝2，k ＝10.(2)证明 由(1)得S n ＝n 〔2＋2n 〕2＝n (n ＋1)， 那么b n ＝S n n ＝n ＋1，故b n ＋1－b n ＝(n ＋2)－(n ＋1)＝1，即数列{b n }是首项为2，公差为1的等差数列，所以T n ＝n 〔2＋n ＋1〕2＝n 〔n ＋3〕2.B 级 能力提升11.(2019·某某模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1(n ≥2且n ∈N *)，那么a 18＝( )A.259B.269C.3D.289解析 令b n ＝na n ，那么2b n ＝b n －1＋b n ＋1(n ≥2)，所以{b n }为等差数列，因为b 1＝1，b 2＝4，所以公差d ＝3，那么b n ＝3n －2，所以b 18＝52，那么18a 18＝52，所以a 18＝269. 答案 B12.(2020·某某调研)数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，那么S 5的值为( ) A.－454 B.－450 C.－446 D.－442解析 ∵数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.∵数列{b n }满足a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ＝12n ， ∴n ≥2时，a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝12n －1， 两式相减可得a n b n ＝12n －12n ＋1，可得b n ＝(1－2n )· 2n (n ≥2). n ＝1时，1b 1＝12，解得b 1＝2，不符合上式， ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，〔1－2n 〕2n ，n ≥2，∴S 5＝2－3×22－5×23－7×24－9×25＝－450. 答案 B13.(2020·某某质检)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且对任意正整数n 都有a n ＋1S n S n ＋1＝－1，那么S n ＝________.解析 对任意正整数n 都有a n ＋1S n S n ＋1＝－1， ∴S n ＋1－S n S n ＋1S n ＝1S n －1S n ＋1＝－1， 即1S n ＋1－1S n ＝1，又1S 1＝1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项与公差都为1的等差数列. ∴1S n ＝1＋n －1＝n ，解得S n ＝1n.答案 1n14.设数列{a n }的各项都为正数，其前n 项和为S n ，对任意n ∈N *，S n 是a 2n 和a n 的等差中项.(1)证明：数列{a n }为等差数列；(2)假设b n ＝－n ＋5，求{a n ·b n }的最大项的值并求出取最大值时n 的值.(1)证明 由可得2S n ＝a 2n ＋a n ，且a n >0，当n ＝1时，2a 1＝a 21＋a 1，解得a 1＝1.当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋a n －1，所以2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n －a 2n －1＋a n －a n －1，所以a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝1(n ≥2).故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列.(2)解 由(1)可知a n ＝n ，设＝a n ·b n ， 那么＝n (－n ＋5)＝－n 2＋5n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522＋254， 因为n ∈N *，所以n ＝2或3，c 2＝c 3＝6，因此当n ＝2或n ＝3时，{a n ·b n }取最大项，且最大项的值为6.C 级 创新猜想15.(新背景题)(2020·晋冀鲁豫名校联考)我国南北朝时期的著作《X 邱建算经》有这样一个问题：今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入，得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，问各得金几何？那么据你对数学史的研究与数学问题的理解可知，两个人所得金相差数额绝对值的最小值是( ) A.678斤 B.739斤 C.778斤 D.111斤 解析 设第n 个人得金a n 斤，由题意可知{a n }是等差数列，设公差为d ，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝3a 1＋3d ＝4，a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝4a 1＋30d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3726，d ＝－778， 那么两个人所得金相差数额绝对值的最小值是778斤.应选C. 答案 C。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

第二节等差数列及其前n项和[最新考纲］ 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题。

4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1）定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．数学语言表示为a n＋1－a n＝d（n∈N＊）,d为常数．(2）等差中项：数列a，A,b成等差数列的充要条件是A＝错误!,其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1）通项公式：a n＝a1＋（n－1)d.(2)前n项和公式：S n＝na1＋错误!d＝错误!.3．等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系(1）当d≠0时，等差数列{a n｝的通项公式a n＝dn＋(a1－d)是关于d的一次函数．（2)当d≠0时，等差数列{a n｝的前n项和S n＝错误!n2＋错误!n是关于n 的二次函数．4．等差数列的前n项和的最值在等差数列{a n｝中，a1>0，d<0,则S n存在最大值;若a1〈0，d>0,则S n存在最小值．错误!等差数列的常用性质(1）通项公式的推广：a n＝a m＋(n－m)d(n，m∈N＊)．（2)若｛a n｝为等差数列，且m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q（m，n，p,q∈N＊）．（3）若｛a n}是等差数列,公差为d，则a k，a k＋m，a k＋2m，…(k，m∈N＊)是公差为md的等差数列．（4）数列S m，S2m－S m，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.(5）若｛a n}，{b n｝均为等差数列且其前n项和为S n，T n,则错误!＝错误!.(6)若｛a n}是等差数列,则错误!也是等差数列，其首项与{a n｝的首项相同，公差是｛a n｝的公差的错误!。

[考纲传真] 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列(1)定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *)，d 为常数．(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．(3)等差数列的通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，可推广为a n ＝a m ＋(n －m )d . (4)等差数列的前n 项和公式：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －2d .2．等差数列的通项公式及前n 项和公式与函数的关系(1)a n ＝a 1＋(n －1)d 可化为a n ＝dn ＋a 1－d 的形式．当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；当d ＞0时，数列为递增数列；当d ＜0时，数列为递减数列．(2)数列{a n }是等差数列，且公差不为0⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． [常用结论]1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列，且公差为p . 2．若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. [基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (4)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d 等于( ) A.14 B.12 C ．2 D ．－12 A [∵a 4＋a 8＝2a 6＝10，∴a 6＝5， 又a 10＝6，∴公差d ＝a 10－a 610－6＝6－54＝14.故选A.] 3．(教材改编)设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34B [设数列{a n }的公差为d ， 法一：由S 5＝5a 3＝30得a 3＝6， 又a 6＝2，∴S 8＝a 1＋a 82＝a 3＋a 62＝＋2＝32.法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝2，5a 1＋5×42d ＝30，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝263，d ＝－43.∴S 8＝8a 1＋8×72d ＝8×263－28×43＝32.]4．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78 [由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 8＞0，a 9＜0.即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d ＞0，7＋8d ＜0解得－1＜d ＜－78.]5．(教材改编)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________. 180 [∵{a n }为等差数列，∴a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90， ∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.]等差数列基本量的运算1．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A ．12B ．13C ．14D ．15B [由题意得S 5＝a 1＋a 52＝5a 3＝25，a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13.故选B.]2．已知在等差数列{a n }中，a 1＝20，a n ＝54，S n ＝3 700，则数列的公差d ，项数n 分别为( ) A ．d ＝0.34，n ＝100B ．d ＝0.34，n ＝99C ．d ＝3499，n ＝100D ．d ＝3499，n ＝99C [由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋n －d ，S n ＝na 1＋n n －d2，得⎩⎪⎨⎪⎧54＝20＋n －d ，3 700＝20n ＋n n －d 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3499，n ＝100.故选C.]3．(2018·宁德二模)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( )A ．33B ．16C ．13D ．12C [由⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 5＝14，a 2·a 6＝33，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝7，a 1＋d a 1＋5d ＝33，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝13，d ＝－2.当a 1＝1，d ＝2时，a 7＝1＋6×2＝13，∴a 1a 7＝13； 当a 1＝13，d ＝－2时，a 7＝13＋6×(－2)＝1，∴a 1a 7＝13. 综上可知a 1a 7＝13.故选C.]4．(2018·西宁一模)我国古代数学名著《九章算术·均输》中记载了这样一个问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”(“钱”是古代一种重量单位)．这个问题中，等差数列的通项公式为( ) A ．－16n ＋76(n ∈N *，n ≤5)B.16n ＋32(n ∈N *，n ≤5) C.16n ＋76(n ∈N *，n ≤5) D ．－16n ＋32(n ∈N *，n ≤5)D [由题意可设五人所得依次对应等差数列中的a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5，a 1＋a 2＝a 3＋a 4＋a 5，∴⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋5×42d ＝5，2a 1＋d ＝3a 1＋9d ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝43，d ＝－16，∴通项公式为a n ＝43＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－16＝32－16n (n ∈N *，n ≤5)，故选D.]方程思想：程组求解，等差数列中包含整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求都用即可求解.利用性质：运用等差数列性质可以化繁为简、优化解题过程等差数列的判定与证明【例1】 数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1，a 1＝1. (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＞nn ＋1.[解] (1)证明：∵a n ＋1＝a n2a n ＋1， ∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n，即1a n ＋1－1a n＝2，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n＝2n －1，所以S n ＝n＋2n －2＝n 2.证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2＞11×2＋12×3＋…＋1n n ＋＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 定义法：证明对任意正整数等差中项法：证明对任意正整数通项公式法：得出前n 1n ＋1n (1)求a 2，a 3；(2)证明数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列，并求{a n }的通项公式．[解] (1)由已知，得a 2－2a 1＝4， 则a 2＝2a 1＋4，又a 1＝1，所以a 2＝6. 由2a 3－3a 2＝12，得2a 3＝12＋3a 2，所以a 3＝15.(2)由已知na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2n (n ＋1)， 得na n ＋1－n ＋a nn n ＋＝2，即a n ＋1n ＋1－a nn＝2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项a 11＝1，公差d ＝2的等差数列．则a nn＝1＋2(n －1)＝2n －1，所以a n ＝2n 2－n . 等差数列的性质及应用【例2】 (1)设数列{a n }，{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－37(2)(2019·商洛模拟)等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值是( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．8(3)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27(1)C (2)C (3)B [(1)设{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，则(a n ＋1＋b n ＋1)－(a n ＋b n )＝(a n ＋1－a n )＋(b n ＋1－b n )＝d 1＋d 2，所以{a n ＋b n }为等差数列．又a 1＋b 1＝a 2＋b 2＝100，所以{a n ＋b n }为常数列，所以a 37＋b 37＝100.(2)因为a 1＋3a 8＋a 15＝5a 8＝120，所以a 8＝24，所以2a 9－a 10＝a 10＋a 8－a 10＝a 8＝24. (3)由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列． 即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45.]在等差数列m ，*，则在等差数列S 3m －S .n 项和为S n ，若m －1＋a m ＋1m 2m －1( )A ．39B ．20C ．19D ．10(2)设等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对任意的n ∈N *，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11的值为( ) A.2945 B.1329 C.919 D.1930(1)B (2)C [(1)数列{a n }为等差数列，则a m －1＋a m ＋1＝2a m ，则a m －1＋a m ＋1－a 2m －1＝0可化为2a m －a 2m －1＝0，解得a m ＝1.又S 2m －1＝(2m －1)a m ＝39，则m ＝20.故选B. (2)由题意可知b 3＋b 13＝b 5＋b 11＝b 1＋b 15＝2b 8， ∴a 2b 3＋b 13＋a 14b 5＋b 11＝a 2＋a 142b 8＝a 8b 8＝S 15T 15＝2×15－34×15－3＝2757＝919.故选C.]等差数列前n 项和的最值问题【例3】 在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． [解] ∵a 1＝20，S 10＝S 15，∴10×20＋10×92d ＝15×20＋15×142d ，∴d ＝－53.法一：由a n ＝20＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－53n ＋653， 得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0， 当n ≥14时，a n ＜0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值，且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋12×112×⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝130.法二：S n ＝20n ＋n n －12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－53＝－56n 2＋1256n＝－56⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋3 12524.∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 法三：由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 函数法：利用等差数列前方法求解邻项变号法①当a 1>0n n 61n n 的值为( )A ．5B ．6C ．5或6D ．11(2)已知等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，则前n 项和S n 的最大值为________．(1)C (2)110 [(1)由题意得S 6＝6a 1＋15d ＝5a 1＋10d ，化简得a 1＝－5d ，所以a 6＝0，故当n ＝5或6时，S n 最大．(2)因为等差数列{a n }的首项a 1＝20，公差d ＝－2，S n ＝na 1＋n n －2d ＝20n －n n －2×2＝－n 2＋21n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2122， 又因为n ∈N *，所以n ＝10或n ＝11时，S n 取得最大值，最大值为110.]1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10D ．12B [设等差数列{a n }的公差为d ，∵3S 3＝S 2＋S 4，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 1＋3×22d ＝2a 1＋d ＋4a 1＋4×32d ，解得d ＝－32a 1，∵a 1＝2，∴d ＝－3，∴a 5＝a 1＋4d ＝2＋4×(－3)＝－10.故选B.]2．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．8 A [由已知条件可得a 1＝1，d ≠0，由a 23＝a 2a 6可得(1＋2d )2＝(1＋d )(1＋5d )，解得d ＝－2. 所以S 6＝6×1＋－2＝－24.故选A.]3．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A ．100B ．99C ．98D ．97C [∵{a n }是等差数列，设其公差为d ， ∴S 9＝9a 5＝27，∴a 5＝3.又∵a 10＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝3，a 1＋9d ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－1，d ＝1.∴a 100＝a 1＋99d ＝－1＋99×1＝98.故选C.]4．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n，并求S n的最小值．[解] (1)设{a n}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2.所以{a n}的通项公式为a n＝2n－9.(2)由(1)得S n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，S n取得最小值，最小值为－16.。

第二课时 等差数列前n 项和【学习目标】探索并掌握等差数列的前n 项和公式 【考纲要求】等差数列的前n 项和公式是C 级要求 【自主学习】1、学习等差数列{}n a 前n 项和n S 公式推导过程。

2、等差数列{}n a 的公差为d ，首项为1a ，前n 项和n S 公式（1）=n S ， 公式（2）=n S 。

3．等差数列{}n a 前n 项和n S 的相关性质[课前热身] 1 等差数列{}a n 中，(1)已知150a 3,101a == 则50s =__________________(2)已知1a 3=，12d =则10s =___________________ 2等差数列{}a n 中，已知12d =，3a 2n =，152n s =- 则1a =______及n=_____________3数列{}n a 前n 项和n n S n 92-=，且85<<k a ，则正整数=k _____________ 4设等差数列{}n a 前n 项和n S ，若36,963==S S ，则=++987a a a[典型例析]例1 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60；(2)已知S12＝84，S20＝460，求S28；(3)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8．例2在等差数列{an }中，10100s=,10010s=,求110s例3美国某公司给员工加工资有两个方案：一是每年年末加1000美元；二是每半年结束时加300美元．问：⑴ 从第几年开始，第二种方案比第一种方案总共加的工资多？⑵ 如果在该公司干10年，问选择第二种方案比选择第一种方案多加工资多少美元？⑶ 如果第二种方案中每半年加300美元改为每半年加a美元．问a取何值时，总是选择第二种方案比第一种方案多加工资？例4设等差数列{}n a 前n 项和为n s ，已知312a =，12130,0s s ><（1） 求公差d 的取值范围（2） 指出1212,,s s s K 中哪一个的值最大，并说明理由。

江苏省徐州市王杰中学高一数学必修五《等比数列的前n 项和（一）》导学案一．自学准备与知识导学：1．推导公式：（1）研究633222221+++++ 的计算；（2）研究112111-++++n qa q a q a a 的计算，从而导出等比数列的前n 项和公式．2．公式及有关说明：（1）推导公式的方法；（2）使用公式的注意点． 3．练习：在等比数列{}n a 中，（1）====n S n q a ，，，6231_____；（2）==-=-=n S n q a ，，，53111_____；（3）==-=101214S q a ，，_____； （4）====n n S a q a ，，，212181_____； （5）===-=n S n q a ，，，10181_____；（6）====k k S q a a ，，，324311____；（7）====n S n a a ，，．，．400096012041_____． 二．学习交流与问题研讨：在等比数列{}n a 中，2632763==S S ，，求n a ．例1求数列 ，，，，，n n 21813412211+ + + +的前n 项和．求等比数列32，94，278，…的第3项到第10项的和．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，3S ，9S ，6S 成等差数列，求证：582a a a ，，成等差数列．三．练习检测与拓展延伸：1．某厂去年的产值记为1，若计划在今后五年内每年的产值比上年增长%10，则从今年 起到第五年，这个厂的总产值为 ．2．求下列等比数列的各项和：（1）1，3，9，…，2187（2）51218141211- - - ，，，，， ．3．求和：∑=+101)23(k k ．四．课后反思或经验总结：等比数列前n 项和公式以及公式的推导方法． 例2例3例4。