苏教版数学高二《2.3 数学归纳法》 同步学案 苏教 江苏省徐州市王杰中学

2.3数学归纳法导学案编写：朱家锋 校对：高二数学备课组一、课标要求了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、知识清单1、证明与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： （1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值n 0时命题成立； （2）（归纳递推）假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立。

这种证明方法叫做数学归纳法。

可记为“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”。

2、数学归纳法证明命题的类型 与自然数有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。

三、问题探究1、数学归纳法的归纳奠基中n 0一定等于1吗？2、为什么可以先假设n=k (k ≥n 0,k ∈N*) 时命题成立?“假设”怎么可以作为条件来使用呢？四、思维误区1、证明n=k+1时命题成立时，必须用上n=k 时的假设，否则第二步也就不能成为传递的依据，这样就需要从n=k+1的式子中分离出n=k 时的式子，或将n=k+1的情况用n=k 的情况表示。

2、有关“和式”与“积式”，一定要“数清”是多少项的和或积，以正确确定n=1时及n=k 变化到n=k+1“和”或“积”的情况。

五、典例分析题型一、用数学归纳法证明恒等式例1、例1数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n 3=41 n 2（n ＋1）2题型二、用数学归纳法证明不等式 例2、归纳法证明++++++312111n n n …n 31＞109 （n ＞1，且N ∈n ）．题型三、用数学归纳法证明几何问题例3．平面内有n )(*N n ∈个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n 个圆把平面分成22+-n n 个部分.题型四、用数学归纳法证明整除问题例4、 用数学归纳法证明32n ＋2－8 n －9()N ∈n 能被64整除．题型五 归纳、猜想、证明 例5．是否存在常数a ，b ，c 使等式()()()122334111222222···…++++=+++n n n n anbn c 对一切自然数n 都成立，并证明你的结论。

§2.3 数学归纳法（2）编写：黄爱华 审核：赵太田一、知识要点1.不完全归纳法得出的结论是否正确需要用数学归纳法加以证明；2.对于与自然数有关的问题，关键通常归结为探寻递推关系. 二、典型例题例1.设n N ，1()5231n n f n .⑴当1,2,3,4n 时，计算()f n 的值；⑵你对()f n 有何猜想？用数学归纳法，证明你的猜想？例2.在平面上画n条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条直线不共点，问：这n条直线将平面分成多少个部分？三、巩固练习n提出猜想，再用数学归纳法证明你的猜想1～3：先计算1,2,3,4n n的和.1.求135(1)(21)n n n N能被哪些自然数整除？2.25()3.求凸n边形对角线的条数.四、课堂小结与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列以及几何问题，都可以考虑用数学归纳法。

五、课后反思六、课后作业1.根据条件，猜想结论：⑴数列n a 中，11a ，且11,,2n n S S S 成等差数列，则1234,,,S S S S 分别为 ，猜想n S = . ⑵112(),1,()(2)2n n x f x x x f x n x ≥，则234,,x x x 分别为 ，猜想n x = . 2.探寻递推关系： ⑴凸n 棱锥有()f n 个对角面，则(1)()f n f n ； ⑵平面上有n 条直线，且任何两条不平行，任三条不过同一点，该n 条直线把平面分成()f n 个区域，则(1)()f n f n .⑶平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任三个圆不相交于同一点，则n 个圆分平面区域数为()f n ，则(1)()f n f n .3.设nN ，求证：22()389n f n n 是64的倍数.4.平面内有(2)n n ≥条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，证明：它们的交点数(1)()2n n f n5.对于给定的前4个等式：11,14(12),149123,14916(1 234)，由此猜想第n 个等式，并给出证明.6.已知数列n a 满足：11a ，且11429()n n n n a a a a n N .⑴求234,,a a a ；⑵由⑴猜想n a 的通项公式n a ；⑶用数学归纳法证明⑵的结果.思考题：课本P 91第7题，第9题订正栏：。

数学归纳法学案
【知识清单】
数学归纳法步骤：
〔1〕〔归纳奠基〕证明当取第一个值时命题成立．
〔2〕〔归纳递推〕假设时命题成立，证明当时命题也成立．
【适用范围】归纳法是证明与自然数有关的命题的一种重要的证明方法，也是一种完全归纳法。

它常用来解决以下几类问题：
〔1〕用于证明恒等式；〔2〕用于证明不等式；
〔3〕用于证明整除问题；〔4〕用于证明某些几何问题．
使用数学归纳法要注意证明的步骤与书写格式的标准性．
【易错点解读】
运用数学归纳法需要注意的问题主要有以下几点:
〔1〕对项数估算出错即寻找与的关系时,项数发生什么变化被弄错．
〔2〕归纳假设的漏用,归纳假设是必须要用的,假设是起桥梁作用的,桥梁断了就通不过去了．
〔3〕关键步骤模糊不清〞假设时结论成立,利用此假设证明时结论也成立〞,是数学归纳法关键一步,也是证明问题最重要的环节,对推导的过程要把步骤写完整,注意证明过程的严谨性,标准性．
【课前预习】
，
（1）求出其前四项，你能猜测的通项公式吗？
【方法生成】
数学归纳法可用来证明与正整数n有关的命题，其证明步骤为：
【例题选讲】
例1：用数学归纳法证明课前预习的猜测!
例2、用数学归纳法证明：当时，
小结：
例3：，求证：．
小结：
课堂练习1：用数学归纳法证明：
在验证n＝1成立时，左边计算所得的结果是_________________课堂练习2:，那么_______________________
思考题：，求证：．【课堂小结】
【课后作业】
数学归纳法学案课后检测。

第1课时数学归纳法学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．知识点数学归纳法对于一个与正整数有关的等式n(n－1)(n－2)…(n－50)＝0.思考1验证当n＝1，n＝2，…，n＝50时等式成立吗？答案成立．思考2能否通过以上等式归纳出当n＝51时等式也成立？为什么？答案不能，上面的等式只对n取1至50的正整数成立．梳理(1)数学归纳法的定义一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果①当n取第一个值n0(例如n0＝1,2等)时结论正确；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当n＝k＋1时结论也正确．那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立．(2)数学归纳法的框图表示类型一从n＝k到n＝k＋1左边增加的项例1 用数学归纳法证明(n ＋1)·(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ×1×3×…×(2n －1)(n ∈N *)，“从k 到k ＋1”左端增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 令f (n )＝(n ＋1)(n ＋2)…(n ＋n )，则f (k )＝(k ＋1)(k ＋2)…(k ＋k )，f (k ＋1)＝(k ＋2)(k ＋3)…(k ＋k )(2k ＋1)(2k ＋2)，所以f (k ＋1)f (k )＝(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1＝2(2k ＋1)． 反思与感悟 在书写f (k ＋1)时，一定要把包含f (k )的式子写出来，尤其是f (k ＋1)中的最后一项，除此之外，多了哪些项都要分析清楚．跟踪训练1 用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n >1324(n ≥2，n ∈N *)的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________．答案 1(2k ＋1)(2k ＋2)解析 当n ＝k ＋1时左边的代数式是1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2，增加了两项12k ＋1与12k ＋2，但是少了一项1k ＋1，故不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2). 类型二 用数学归纳法证明恒等式例2 用数学归纳法证明当n ∈N *时，1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n . 证明 ①当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12. 左边＝右边，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，等式成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋(1k ＋1－12k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋12(k ＋1). ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②可知，对一切n ∈N *等式成立．反思与感悟 数学归纳法证题的三个关键点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.(2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k ”到“k ＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n ＝k 到n ＝k ＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．(3)利用假设是核心：在第二步证明n ＝k ＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n ＝k 时命题成立”作为条件来导出“n ＝k ＋1时命题成立”，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．跟踪训练2 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n －3)＋(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝2n 2－2n ＋1.证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2×12－2×1＋1＝1，等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时，等式成立，即1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1＝2k 2－2k ＋1，则当n ＝k ＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k －3)＋(2k －1)＋(2k ＋1)＋(2k －1)＋(2k －3)＋…＋5＋3＋1 ＝2k 2－2k ＋1＋(2k －1)＋(2k ＋1)＝2k 2＋2k ＋1＝2(k ＋1)2－2(k ＋1)＋1.即当n ＝k ＋1时，等式成立．由①②知，对任意n ∈N *，等式都成立．1．若f (n )＝12＋22＋32＋…＋(2n )2，则f (k ＋1)与f (k )的递推关系式是_______________． 答案 f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2解析 ∵f (k )＝12＋22＋…＋(2k )2，f (k ＋1)＝12＋22＋…＋(2k )2＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，f (k ＋1)－f (k )＝(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2，即f (k ＋1)＝f (k )＋(2k ＋1)2＋(2k ＋2)2.2．用数学归纳法证明“1＋a ＋a 2＋…＋a2n ＋1＝1－a 2n ＋21－a (a ≠1)”．在验证n ＝1时，左端计算所得项为________．答案 1＋a ＋a 2＋a 3解析 将n ＝1代入a 2n ＋1得a 3.3．已知数列{a n }满足a 1＝1，且4a n ＋1－a n a n ＋1＋2a n ＝9，那么可以通过求a 2，a 3，a 4的值猜想出a n ＝________.答案 6n －52n －14．请观察以下三个式子：(1)1×3＝1×2×96； (2)1×3＋2×4＝2×3×116； (3)1×3＋2×4＋3×5＝3×4×136， 归纳出一般的结论，并用数学归纳法证明该结论．解 结论：1×3＋2×4＋3×5＋…＋n (n ＋2)＝n (n ＋1)(2n ＋7)6. 证明：①当n ＝1时，左边＝3，右边＝3，所以命题成立．②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，命题成立，即1×3＋2×4＋3×5＋…＋k (k ＋2)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6， 则当n ＝k ＋1时，1×3＋2×4＋…＋k (k ＋2)＋(k ＋1)(k ＋3)＝k (k ＋1)(2k ＋7)6＋(k ＋1)(k ＋3) ＝k ＋16(2k 2＋7k ＋6k ＋18) ＝k ＋16(2k 2＋13k ＋18) ＝(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋9)6 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][2(k ＋1)＋7]6， 所以当n ＝k ＋1时，命题成立．由①②知，命题成立．应用数学归纳法证题时的注意点(1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1.(2)递推是关键：正确分析由n ＝k 到n ＝k ＋1时，式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障．(3)利用假设是核心：在第二步证明中一定要利用归纳假设，这是数学归纳法证明的核心环节，否则这样的证明就不是数学归纳法证明．课时作业一、填空题1．设n ∈N *，用数学归纳法证明2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n 时，第一步应证明：左边＝________. 答案 22．用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)，n 所取的第一个值n 0为________．答案 3解析 由题意知，n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3是否成立．3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…－1n ＝2(1n ＋2＋1n ＋4＋…＋12n )时，若已假设n ＝k (k ≥2且k 为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证________．①n ＝k ＋1时等式成立②n ＝k ＋2时等式成立③n ＝2k ＋2时等式成立④n ＝2(k ＋2)时等式成立答案 ②解析 因为n 为正偶数，n ＝k 时等式成立，即n 为第k 个偶数时命题成立，所以需假设n 为下一个偶数，即n ＝k ＋2时等式成立．4．已知f (n )＝1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n 2，则f (2)的表达式为________． 答案 f (2)＝12＋13＋14解析 代入表达式可得．5．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算a 2，a 3，a 4，归纳得出a n 的通项表达式为________．答案 26n －5解析 由a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，…，可推测a n ＝26n －5.6．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1(n ∈N *)”的过程如下： ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立；②假设当n ＝k 时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k －1＝2k －1； ③则当n ＝k ＋1时，1＋2＋22＋…＋2k －1＋2k＝1－2k ＋11－2＝2k ＋1－1，即当n ＝k ＋1时等式成立．由此可知，对任意的n ∈N *，等式都成立．上述证明步骤错误的是________．(填序号)答案 ③解析 ③中没有用到归纳假设．7．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，第一步应验证的等式是________．答案 1－12＝128．用数学归纳法证明关于n 的恒等式，当n ＝k 时，表达式为1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＝k (k ＋1)2，则当n ＝k ＋1时，表达式为_________________________________________． 答案 1×4＋2×7＋…＋k (3k ＋1)＋(k ＋1)(3k ＋4)＝(k ＋1)(k ＋2)29．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n ，n ∈N *，用数学归纳法证明f (2n )>n 2时，f (2n ＋1)－f (2n )＝________________________________________________________________________. 答案 12n＋1＋12n ＋2＋…＋12n ＋1 10．证明：假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即2＋4＋…＋2k ＝k 2＋k ，则当n ＝k ＋1时，2＋4＋…＋2k ＋2(k ＋1)＝k 2＋k ＋2(k ＋1)＝(k ＋1)2＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式也成立．因此对于任何n ∈N *等式都成立．以上用数学归纳法证明“2＋4＋…＋2n ＝n 2＋n (n ∈N *)”的过程中的错误为____________________．答案 缺少步骤归纳奠基二、解答题11．用数学归纳法证明(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1n 2)＝n ＋12n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，所以左边＝右边，所以当n ＝2时等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时等式成立，即(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)＝k ＋12k，那么当n ＝k ＋1时，(1－14)(1－19)(1－116)·…·(1－1k 2)[1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k [1－1(k ＋1)2]＝k ＋12k ·k (k ＋2)(k ＋1)2＝k ＋22(k ＋1)＝(k ＋1)＋12(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．综合①②知，对任意n ≥2，n ∈N *，等式恒成立．12．用数学归纳法证明：对于任意正整数n ，(n 2－1)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝n 2(n －1)(n ＋1)4. 证明 ①当n ＝1时，左边＝12－1＝0，右边＝12×(1－1)×(1＋1)4＝0， 所以等式成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时等式成立，即(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＝k 2(k －1)(k ＋1)4. 那么当n ＝k ＋1时，有[(k ＋1)2－1]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k ·[(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－1)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k ＋1)(1＋2＋…＋k )＝k 2(k －1)(k ＋1)4＋(2k ＋1)k (k ＋1)2＝14k (k ＋1)[k (k －1)＋2(2k ＋1)] ＝14k (k ＋1)(k 2＋3k ＋2) ＝(k ＋1)2[(k ＋1)－1][(k ＋1)＋1]4. 所以当n ＝k ＋1时等式成立．由①②知，对任意n ∈N *等式成立．三、探究与拓展13．证明1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2(n ∈N *)，假设当n ＝k 时成立，当n ＝k ＋1时，左端增加的项数为________．答案 2k解析 当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋12k －1＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－1， 所以增加的项数为2k ＋1－1－(2k －1)＝2k .14．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＝a n 2＋1a n－1，且a n >0，n ∈N *. (1)求a 1，a 2，a 3，并猜想{a n }的通项公式；(2)证明通项公式的正确性．(1)解 当n ＝1时，由已知得a 1＝a 12＋1a 1－1，a 21＋2a 1－2＝0. ∴a 1＝3－1(a n >0)．当n ＝2时，由已知得a 1＋a 2＝a 22＋1a 2－1， 将a 1＝3－1代入并整理得a 22＋23a 2－2＝0. ∴a 2＝5－3(a n >0)．同理可得a 3＝7－ 5.猜想a n ＝2n ＋1－2n －1(n ∈N *)．(2)证明 ①由(1)知，当n ＝1,2,3时，通项公式成立． ②假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时，通项公式成立， 即a k ＝2k ＋1－2k －1.由a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝a k ＋12＋1a k ＋1－a k 2－1a k， 将a k ＝2k ＋1－2k －1代入上式并整理得 a 2k ＋1＋22k ＋1a k ＋1－2＝0，解得a k ＋1＝2k ＋3－2k ＋1(a n >0)．即当n ＝k ＋1时，通项公式也成立．由①和②可知，对所有n ∈N *，a n ＝2n ＋1－2n －1都成立．。

教课目的：1．理解数学概括法的观点 ,掌握数学概括法的证明步骤．2．经过数学概括法的学习 ,领会用不完好概括法发现规律 ,用数学概括法证明规律的门路．教课要点：1．能用数学概括法证明一些简单的数学命题．2．难点：概括 →猜想 →证明．教课过程：一、预习1．思虑并证明：平面内有 n(n ≥2)条直线 ,此中任何两条不平行 ,任何三条可是同一点 ,证明交点的个数为 f(n)＝ n(n －1)．22．小结：数学概括法是一种证明与正整数相关的数学命题的重要方法．主要有两个步骤、一个结论：（ 1）证明当 n 取第一个值 n 0（如 n 0＝1 或 2 等）时结论正确．（ 2）假定 n ＝k 时,结论正确 ,证明 n ＝ k ＋ 1 时结论也正确（用上假定 ,递推才真）．（ 3）由（ 1）,（2）得出结论（结论写明 ,才算完好）．此中第一步是递推的基础 ,解决了特别性；第二步是递推的依照 ,解决了从有限到无穷的过渡．这两步缺一不行．只有第一步 ,属不完好概括法；只有第二步 ,假定就失掉了基础．二、讲堂训练例 1 设 n ∈ N *,F(n)＝5n＋2×3n ＿ 1＋1,（ 1）当 n ＝1,2,3,4 时 ,计算 f(n)的值．（ 2）你对 f(n)的值有何猜想？用数学概括法证明你的猜想．例 2 在平面上画 n 条直线 ,且任何两条直线都订交 ,此中任何三条直线不共点．问：这 n 条直线将平面分红多少个部分？1．用数学法明： 1＋2＋22＋⋯＋ 2n＿1＝ 2n－1 (n∈N* )．2．下边是某同学用数学法明命 1 ＋ 1＋＋1＝n的12 23n( n＋1)n＋1程,上 ,原命建立．3．求： (n＋ 1)(n＋2)⋯ (n＋n)＝2n·1·3·⋯·（2n－ 1）（ n∈N*）．四、堂小① 法：由特别到一般,是数学的重要方法；②数学法的科学性：基正确；可；③数学法程序化步：两个步,一个；④数学法点：战胜了完好法的繁、不行行的弊端,又战胜了不完全法不行靠的不足,是一种科学方法 ,使我到事情由到繁、由特别到一般、由有限到无．五、作本 P94 第 6,7,8 ．。

2.3数学归纳法【回归教材】1．设1111()()(1)()1232f n n N f n f n n n n n*=++++∈+-=+++有_____________ 2．用数学归纳法证明3)12(12)1()1(2122222222+=+++-++-+++n n n n n 时，由k n =的假设到证明1+=k n 时，等式左边应添加的式子是____________________3．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=⋅⋅⋅⋅-”（+∈N n ）时，从“1+==k n k n 到”时，左边应增添的式子是__________________4．某个命题与正整数n 有关，如果当)(+∈=N k k n 时命题成立，那么可推得当1+=k n 时命题也成立. 现已知当5=n 时该命题不成立，那么可推得当n=________时该命题不成立【知识回顾】1.数学归纳法:对于某些与自然数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n 取第一个值n 0时命题成立；然后假设当n=k(k ∈N*，k≥n 0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2. 数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n 0，如果当n=n 0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n 0，k ∈N *)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n=k(k ∈N *，且k≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉1．用数学归纳法证题要注意下面几点：①证题的两个步骤缺一不可，要认真完成第一步的验证过程；②成败的关键取决于第二步对1+=k n 的证明：1）突破对“归纳假设”的运用；2）用好命题的条件；3）正确选择与命题有关的知识及变换技巧.2．中学教材内，用数学归纳法证明的问题的主要题型有“等式问题”、“整除问题”、“不等式问题”等，要积累这几种题型的证题经验.3．必须注意，数学归纳法不是对所有“与正整数n 有关的命题”都有效.【经典例题】例1 已知*N n ∈,证明: (1) n n 211214131211--+⋅⋅⋅+-+-n n n 212111+⋅⋅⋅++++=. (2) n n n +≤++++≤+21213121121例2 已知*N n ∈,证明：)(53*∈+N n n n 能被6 整除例3 已知*N n ∈，试比较n 2与2n 的大小例4 是否存在常数使 a 、b 、c ，等式： c bn an n n n n n ++=-⋅+⋯+-⋅+-⋅24222222)()2(2)1(1对一切正整数n 成立？证明你的结论【巩固练习】1．若f （n ）=1+1213121++⋅⋅⋅++n （n ∈N*），则当n=1时，f （n ）=______ 2．用数学归纳法证明1+a+a 2+…+a n+1=aa n --+112（a≠1，n ∈N*），在验证n=1成立时，左边计算所得的项是____________3.),,3,2,1(21312111 =+++++++=k kk k k S k 则S k+1 = S k + ____________ (A) S k +)1(21+k (B) S k + 11221+-+k k (C) S k + 221121+-+k k (D) S k + 221121+++k k 4．用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n ⨯1⨯2⨯3⨯…(2n─1)(n ∈N),从“k 到k+1”左端应增乘的代数式为 .5. 求证：212131211n n >-++++（*∈N n ）。

数学归纳法(2)一、教学目标：1．了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。

2．掌握数学归纳法证明问题的方法，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题3．能通过“归纳-猜想-证明”处理问题。

二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

难点：归纳→猜想→证明。

三、教学过程： 【创设情境】问题1：数学归纳法的基本思想？以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳（完全归纳）的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程。

（递推关系）问题2：数学归纳法证明命题的步骤？（1）递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；（2）递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；（归纳假设）证明当n =k +1时结论也正确。

（归纳证明）由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确。

数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题。

【探索研究】问题：用数学归纳法证明：(31)71n n +-能被9整除。

法一：配凑递推假设：法二：计算f(k+1)-f(k)，避免配凑。

说明：①归纳证明时，利用归纳假设创造条件，是解题的关键。

②注意从“n=k 到n=k+1”时项的变化。

【例题评析】例1：求证: 121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除（n ∈N +）。

例2：数列{a n }中，1n n a a +>,a 1=1且211()2()10n n n n a a a a ++--++= （1）求234,,a a a 的值；（2）猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想。

说明：用数学归纳法证明问题的常用方法：归纳→猜想→证明变题：（2002全国理科）设数列{a n }满足211n n n a a na +=-+，n ∈N +, (1)当a 1=2时，求234,,a a a ，并猜想{a n }的一个通项公式； （2）当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1,有①a n ≥n+2 ②1211111112n a a a ++≤+++例3：平面内有n 条直线，其中任何两条不平行，任何三条直线不共点，问：这n 条直线将平面分成多少部分？变题：平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交与两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2+n+2个部分。

数学归纳法〔第一课时〕教学设计1 上课背景探究教学是指通过设置问题情境，由教师启发引导，促使学生积极主动参与到发现问题、提出问题、分析问题、解决问题、形成方法、应用方法的过程中，以培养学生探究兴趣和解决问题能力的一种教学活动。

笔者有幸执教了一节以“启发提问，探究教学，教学生学会思考〞为主题的公开课，课题是?数学归纳法?第一课时，所用教材是普通高中课程标准实验教科书〔苏教版〕?数学选修2-2?，现将教学过程简录及每一个环节的教学设计意图分享给大家，如有不当之处，敬请指正！2教学目标〔1〕知识与技能目标：学生能理解数学归纳法的原理；能掌握用数学归纳法证明问题的两步骤一总结环节；能用数学归纳法证明一些简单的数学问题。

〔2〕过程与方法目标：在教学过程中通过设置问题情境，注重培养学生探究解决问题的能力以及提升学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等数学核心素养；让学生能领悟数学思想方法、感受数学研究的一般方法。

〔3〕情感、态度与价值观：通过多米诺骨牌游戏，让学生亲身感受数学好玩；课堂上共同探究问题，感受数学归纳法的实质——一种以数学归纳原理〔即自然数归纳公理〕为根据的演绎推理，它将一个无穷归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程，提升学生学习数学兴趣，到达好玩数学的目的，最后应用数学归纳法，用学生间的问难和质疑，实现知识内化吸收，到达玩好数学。

3 教学重点难点：能理解数学归纳法根本思想和实质，能用数学归纳法解决相关问题。

4教学过程简录4．1 创设情境，引入新课情境一：从前有个财主,请来一位先生教儿子识字。

先生写一横，告诉他的儿子是“一〞字；写两横,告诉是个“二〞字；写三横，告诉是个“三〞字。

学到这里，儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。

〞财主很快乐，就把先生给辞退了。

有一天，这位财主准备请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖……情境二：12－1＋11=11，2 2－2＋11=13，3 2－3＋11=17，4 2－4＋11=23，5 2－5＋11=31，都是质数，于是有人用归纳推理提出猜测：任何形如n2－n＋11n∈N*的数都是质数。

2.3《数学归纳法》导学案(1)学习目标1、理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。

2、通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径。

学习重点、难点重点：借助具体实例了解数学归纳的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些与正整数n （n 取无限多个值）有关的数学命题。

难点：学生不易理解数学归纳的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。

学习过程：一、问题情景情境1：已知数列{}n a 的通项公式为22(55)n a n n =-+。

（1）求出其前四项，你能得到什么样的猜想？（2）你的猜想正确吗？情境2：对于数列｛n a ｝，已知11=a ， 1111()2n n n a a a --=+ *()n N ∈。

（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你认为你的结论一定正确吗？如何证明猜想是正确的？是否用行之有效，有限的步骤进行证明呢？二、学生活动很多同学小时候都玩过这样的游戏，（教具摆设）就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下。

（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）思考？这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：（1） ；（2） 。

思考：你认为条件（2）的作用是什么？思考：如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？三、数学构建1、数学归纳法的原理 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值0n 时命题成立。

（2）（归纳递推）假设n k = 0(,)k n k N *≥∈时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数都成立。

2．3 数学归纳法1．在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下．试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？【提示】 (1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下．2．与正整数n 无关的数学命题能否应用数学归纳法？数学归纳法的第一步n 的初始值是否一定为1?【提示】 不能，数学归纳法只能证明与正整数n 有关的数学命题；n 的初始值不一定为1，如凸n 边形的内角和(n －2)×180°，n 取的初始值为3.数学归纳法公理对于某些与正整数有关的数学命题，可以用数学归纳法公理：如果(1)当n 取第一个值n 0(例如n 0＝1，2等)时结论正确；(2)假设当n ＝k(k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．证明(1－14)(1－19)(1－116)…(1－1n2)＝n ＋12n (n ≥2，n ∈N *)．【思路探究】(1)先验证n＝2成立，(2)由假设n＝k时等式成立，证明n ＝k＋1时，命题成立．【自主解答】(1)当n＝2时，左边＝1－14＝34，右边＝2＋12×2＝34，∴左边＝右边，即n＝2时，等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立，即(1－14)(1－19) (1)1k2)＝k＋12k.那么n＝k＋1时，(1－14)(1－19) (1)1k2)[1－1（k＋1）2]＝k＋12k·（k＋1）2－1（k＋1）2＝k＋22（k＋1）＝（k＋1）＋12（k＋1）.∴当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)和(2)知，对任意n≥2，n∈N*等式成立．1．用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式命题，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n的取值是否有关，由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．2．(1)验证是基础：找准起点，验证的初始值n0不一定是1；(2)递推是关键，利用假设是核心，第二步证明中一定要利用归纳假设，否则不是数学归纳法．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.【证明】(1)当n＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，那么当n＝k＋1时，1－12＋13－14＋…＋12k－1－12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k＋12k＋1－12k＋2＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋(1k＋1－12（k＋1）)＝1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12（k＋1），∴n＝k＋1时命题成立根据(1)和(2)，对任意n∈N*，1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.n n＋1n(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出{a n}的一个通项公式；(2)当a1≥3时，证明对所有的n≥1，有a n≥n＋2.【思路探究】(1)由a2，a3，a4，猜想a n.(2)验证n＝1时a1≥1＋2→假设ak≥k＋2→推证ak＋1≥k＋3【自主解答】(1)由a1＝2，得a2＝a21－a1＋1＝3，由a2＝3，得a3＝a2－2a2＋1＝4，由a3＝4，得a4＝a23－3a3＋1＝5，由此猜想{a n}的一个通项公式：a n＝n＋1(n≥1)．(2)证明：①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k 时不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1＝2k ＋5＞k ＋3.故n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2，不等式成立．由①②，对n ≥1，都有a n ≥n ＋2成立．1．数列是定义在N *上的特殊函数，这与数学归纳法运用的范围是一致的，并且数列的递推公式与归纳原理实质上是一致的，数列中不少问题常用数学归纳法解决．2．数学归纳法证明数列问题的一般思路：归纳——猜想——证明．数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）ann －an(n ≥2)，求a 3，a 4，猜想a n 的表达式，并加以证明．【解】 ∵a 2＝14，且a n ＋1＝（n －1）an n －an(n ≥2)， ∴a 3＝a22－a2＝142－14＝17，a 4＝2a33－a3＝2×173－17＝110. 猜想：a n ＝13n －2(n ∈N *)． 下面用数学归纳法证明猜想正确．(1)当n ＝1，2时，由题设，知猜想正确．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时猜想正确，即a k ＝13k －2. 当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝（k －1）ak k －ak ＝（k －1）·13k －2k －13k －2＝k －13k2－2k －1 ＝k －1（3k ＋1）（k －1）＝13k ＋1＝13（k ＋1）－2.∴当n＝k＋1时，猜想也成立．根据(1)，(2)可知，猜想对任意n∈N*都正确．平面内有n(n∈N*)个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，用数学归纳法证明：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分．【思路探究】从简单情况入手，可借助于图形，归纳出一般规律，证明时要明晰k→k＋1中数量的变化．【自主解答】(1)当n＝1时，f(1)＝12－1＋2＝2，即1个圆把平面分成2部分，命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，第k＋1个圆与原来的k个圆相交于2k个点，则该圆被分成2k条弧，而每条弧把原区域分成2块，因此这个平面的总区域增加了2k块．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，故当n＝k＋1时，命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意的n∈N*都成立．1．本题中，由n＝k到n＝k＋1的证明，要充分利用数形结合，明确多增加一个圆，多分割多少区域，完成递推，还要注意有必要的文字说明．2．用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”即几何元素从k增加到k ＋1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k＋1之间的递推关系．试证明：凸n边形(n≥3，n∈N*)的内角和等于(n－2)π.【证明】(1)当n＝3时，三角形的内角和为π＝(3－2)π，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即凸k边形的内角和为(k－2)π.当n＝k＋1时，凸k＋1边形A1A2A3…A k A k＋1比凸k边形A1A2A3…A k增加一个顶点．∴比原图形增加一个三角形，内角和增加π，故凸k＋1边形的内角和为(k －2)π＋π＝[(k＋1)－2]π.则当n＝k＋1时，命题成立．根据(1)和(2)，可知凸n边形(n≥3，n∈N*)的内角和等于(n－2)π.【思路探究】先验证n＝1时成立；假设n＝k时成立，即42k＋1＋3k＋2能被13整除，推证n＝k＋1时成立，即42k＋3＋3k＋3能被13整除，这里要对42k＋3＋3k ＋3分拆凑配，以利用结论“42k＋1＋3k＋2能被13整除”．【自主解答】(1)当n＝1时，42＋1＋31＋2＝64＋27＝91＝13×7能被13整除，∴命题成立．(2)假设当n＝k时，命题成立，即42k＋1＋3k＋2能被13整除，则当n＝k＋1时，42(k＋1)＋1＋3k＋1＋2＝16·42k＋1＋3·3k＋2＝16·42k＋1＋16·3k＋2－13·3k＋2＝16·(42k＋1＋3k＋2)－13·3k＋2.∵42k＋1＋3k＋2和－13都能被13整除，∴当n＝k＋1时命题也成立．由(1)、(2)可以断定，对于任意的n∈N*，42n＋1＋3n＋2都能被13整除．1．本题证明的关键是把3·3k＋2化为16·3k＋2－13·3k＋2，从而配凑出归纳假设．2．用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除，这是数学归纳法证明整除问题的一大技巧．利用数学归纳法证明：x2n－y2n(n∈N*)能被x＋y整除．【证明】(1)当n＝1时，x2－y2＝(x＋y)(x－y)，能被x＋y整除，所以命题成立．(2)假设当n＝k时命题成立，即x2k－y2k能被x＋y整除，那么，当n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2＝x2·x2k－y2·y2k－x2·y2k＋x2·y2k＝x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)，因为x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除，所以x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除，即当n＝k＋1时命题也成立．根据(1)和(2)，可知命题对任意n∈N*都成立．不用归纳假设导致数学归纳法证明错误用数学归纳法证明1＋4＋7＋…＋(3n－2)＝12n(3n－1)(n∈N*)．【错解】①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以当n＝1时，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)，则当n＝k＋1时，需证1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝12(k＋1)[3(k＋1)－1]＝12(k＋1)(3k＋2)．由于等式左端是一个以1为首项，公差为3，项数为k＋1的等差数列的前n项和，其和为12(k＋1)(1＋3k＋1)＝12(k＋1)(3k＋2)，等式成立，∴当n＝k＋1时，命题也成立．根据①和②知，对一切n∈N*，命题都成立．【错因分析】在第二步的证明过程中没有利用归纳假设，而是直接利用等差数列的前n项和公式求解，这是错误的．【防范措施】运用数学归纳法证明数学命题，关键看两个步骤一定要齐全，特别是第二步归纳假设一定被应用，如果没有用到归纳假设，那么就是不正确的．【正解】①当n＝1时，左边＝1，右边＝1，所以当n＝1时，命题成立．②假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即1＋4＋7＋…＋(3k－2)＝12k(3k－1)，则当n＝k＋1时，1＋4＋7＋…＋(3k－2)＋[3(k＋1)－2]＝12k(3k－1)＋(3k＋1)＝12(3k2＋5k＋2)＝12(k＋1)(3k＋2)＝12(k＋1)[3(k＋1)－1]，即当n＝k＋1时，命题也成立．根据①②可知，对一切n∈N*，命题都成立．1．数学归纳法仅适用于与正整数n有关的数学命题的证明．2．应用数学归纳法时应注意：(1)验证是证明的基础，递推是证明的关键，二者缺一不可．(2)“假设n＝k时结论成立，利用此假设证明n＝k＋1时结论也成立”，是数学归纳法的关键一步，也是证明问题最重要的环节，推导的过程要把步骤写完整，注意证明过程的严谨性、规范性．在证明时，一定要用以上归纳假设；在寻找n＝k与n＝k＋1的关系时，要弄清项数发生了什么变化．1．用数学归纳法证明不等式n3＋1≥4n＋1时，n所取的第一个值n0为_____ ___．【解析】n＝1时，1＋1＝2，4×1＋1＝5，2＜5；n＝2时，23＋1＝9，4×2＋1＝9，9≥9，∴n0＝2.【答案】 22．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n＝________时，命题成立；第二步归纳假设应写成________．【解析】由于n为正偶数，第一步应检验n＝2时，命题成立．第二步，应假设n＝2k(k∈N*)时命题成立，即n＝2k(k∈N*)时x2k－y2k能被x＋y整除．【答案】 2 假设n＝2k(k∈N)*时x2k－y2k能被x＋y整除3．平面内原有k条直线，它们的交点个数为f(k)，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为________．【解析】设增加直线为l k＋1，它最多与前k条直线有k个交点．【答案】f(k)＋k4．证明：12＋122＋123＋…＋12n－1＋12n＝1－12n(n∈N*)．【证明】(1)当n＝1时，左边＝12，右边＝1－12＝12，等式成立．(2)假设当n＝k时，等式成立，就是12＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＝1－12k，那么当n＝k＋1时，1 2＋122＋123＋…＋12k－1＋12k＋12k＋1＝1－12k＋12k＋1＝1－2－12k＋1＝1－12k＋1.这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知等式对任何n∈N*都成立．一、填空题1．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1，则当n ＝1时f(n)为________．【解析】 当n ＝1时，f(n)＝1＋12＋13＝116.【答案】 1162．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取值________．【解析】 ∵当n ＝1时，21＝12＋1，由n ＝2时，22<22＋1，当n ＝3时，23<32＋1，当n ＝4时，24<42＋1，当n ≥5时，2n >n 2＋1恒成立．∴n 0＝5.【答案】 53．用数学归纳法证明某不等式时，其左边＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n，则从“n ＝k 到n ＝k ＋1”应将左边加上________． 【解析】 当n ＝k(k ≥1，k ∈N *)时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ，当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2. 比较以上两式发现，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”应将左边加上12k ＋1－12k ＋2. 【答案】 12k ＋1－12k ＋24．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1an ，则a 2 014＝________．【解析】 a 2＝1－2＝－1，a 3＝1＋1＝2，a 4＝1－12＝12，∴以3为一个周期，∴a 2 014＝a 1＝12.【答案】 125．用数学归纳法证明an ＋bn 2≥(a ＋b 2)n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________．【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的(a ＋b 2)k ＋1.【答案】 a ＋b 26．用数学归纳法证明：n ∈N *，34n ＋2＋52n ＋1一定能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为________．【解析】 34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋2·34＋52k ＋1·52＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋14×4×34k ＋2.【答案】 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋14×4×34k ＋27．对于不等式n2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某学生证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k2＋k ＜k ＋1(k ∈N *)，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k2＋3k ＋2＜（k2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题成立．上述证法的错误在于________． 【解析】 在(2)中，不是由n ＝k 命题成立推证n ＝k ＋1时命题成立．【答案】 没用归纳假设8．用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f(n)＝12n(n －3)(n ≥4)时，f(k ＋1)与f(k)的关系是________．【解析】 假设n ＝k(k ≥4，k ∈N *)时成立，则f (k )＝12k (k －3)，当n ＝k ＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k ＋1－2＝k －1条，所以f (k ＋1)＝f (k )＋k －1.【答案】 f (k ＋1)＝f (k )＋k －1二、解答题9．设n∈N*，利用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9是36的倍数．【证明】(1)当n＝1时，f(1)＝(2＋7)×3＋9＝36，结论显然成立．(2)假设n＝k时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；那么，当n＝k＋1时，有f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)．由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除．这就是说，当n＝k＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切n∈N*，都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9是36的倍数．10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n2＜1－1n(n≥2，n∈N*)．【证明】(1) 当n＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12.因为14＜12，所以不等式成立．(2)假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即122＋132＋142＋…＋1k2＜1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1（k＋1）2＜1－1k＋1（k＋1）2＝1－k2＋k＋1k（k＋1）2＜1－k（k＋1）k（k＋1）2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．11．已知数列{a n}满足a n＋1＝12－an，a1＝0.试猜想{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【解】由a n＋1＝12－an，a1＝0，得a2＝12－0＝12，a3＝12－12＝23，a4＝12－23＝34，a5＝12－34＝45，….归纳上述结果，可得猜想a n＝n－1n(n＝1，2，3，…)．下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n＝1时，猜想显然成立．(2)假设当n＝k时猜想成立，即a k＝k－1 k，那么，当n＝k＋1时，a k＋1＝12－ak＝12－k－1k＝kk＋1＝（k＋1）－1k＋1，即当n＝k＋1时，猜想也成立．根据(1)和(2), 可知猜想a n＝n－1n对所有正整数都成立，即为数列{a n}的通项公式．。

§数学归纳法（一）【学习目标】1、 探究数学归纳法的发现了解数学归纳法公理，2、 能用数学归纳法原理证明简单的恒等式问题；探究数学归纳法的发现【重点难点】探究数学归纳法的发现，理解证明中的第二个步骤【教学设计】〖问题引入〗用归纳推理得到许多结论，如：“等差数列{n a }中的通项公式为1(1)n a a n d =+-” “正整数平方和公式：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=”等 问题1 这两个归纳推理所得的结论有什么共同点？怎样证明这两个结论？〖感知数学〗多米诺骨牌游戏是一种码放骨牌的游戏，码放时保证相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

问题2 多米诺骨牌游戏中，要使所有的骨牌都倒下，需要满足哪些条件？为什么满足这些条件就可以了？〖建构数学〗问题3 对于一个与正整数有关的命题，借鉴骨牌游戏的启示，如何保证该命题对于所有的正整数都成立呢？ 数学归纳法公理：问题4 数学归纳法为什么能保证命题对于所有大于等于n 0的正整数都成立〖数学应用〗例1 用数学归纳法证明：等差数列{n a }中，1a 为首项，d 为公差，则通项公式为1(1)n a a n d =+-思考 结合上述证明，分析为什么完成（1）、（2）两步，就能说明命题对任意正整数都成立？ 练习 用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=例2 分析下列两个证明中的错误：问题1 设n N *∈，求证：224621n n n ++++=++证明：假设当n k =时等式成立，即224621k k k ++++=++， 那么，当1n k =+时，有224622(1)12(1)k k k k k ++++++=++++=233k k ++=2(1)(1)1k k ++++，因此，对于任意n N *∈，等式成立。

2019-2020学年高中数学 2.3数学归纳法学案 苏教版选修2-2二、预习指导 1．预习目标了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 2．预习提纲(1)回顾已学知识，体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异，体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法．(2)数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据，你能说出它的两个步骤吗?(3)结合课本第86－87页的例1－例3，体会用数学归纳法证明命题的2个步骤，解题时缺一不可；结合课本第88－90页的例4和例5，体会用“归纳－猜想－证明”的方法处理问题．(4)阅读课本第85页至第90页内容，并完成课后练习． 3．典型例题(1) 数学归纳法是以数学归纳法原理为依据的演绎推理，它将一个无穷归纳(完全归纳)的过程，转化为一个有限步骤的演绎过程(递推关系)．数学归纳法证明命题的步骤是： ① 递推奠基：当n 取第一个值n 0结论正确；② 递推归纳：假设当n =k (k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确；(归纳假设)证明当n =k ＋1时结论也正确．(归纳证明)由①，②可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确． 例1 用数学归纳法证明111111111234212122n n n n n-+-++-=+++-++过程中， ① 当n=1时，左边有_____项，右边有_____项； ② 当n=k 时，左边有_____项，右边有_____项； ③ 当n=k ＋1时，左边有_____项，右边有_____项； ④ 等式的左右两边，由n=k 到n=k ＋1时有什么不同?分析：证明时注意：n 取第一个值n 0是什么；从n=k 到n=k ＋1时关注项的变化． 解：①当n=1时，左边有2_项，右边有__1__项；②当n=k 时，左边有_2k_项，右边有__k_项；③当n=k ＋1时，左边有_2(k ＋1)_项，右边有_k ＋1_项；④等式的左边，由n=k 到n=k ＋1时多了两项：112(1)12(1)k k -+-+；等式的右边，由n=k 到n=k ＋1时多了两项：121k ++12(1)k +，少了一项：11k +．(2)数学归纳法是直接证明的一种重要方法，应用十分广泛，主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式；数的整除性、几何问题；探求数列的通项及前n 项和等问题． 例2 用数学归纳法证明21111222n ++⋅⋅⋅+< (n∈N *) 分析：用数学归纳法证明问题时，①注意从“n=k 到n=k ＋1”时项的变化；②配凑递推假设；③检验是否用了归纳假设． 证明：① 当n=1时，112<，结论成立； ② 假设当n=k 时结论成立，即21111222k ++⋅⋅⋅+<则当n=k ＋1时，21211111111111()1122222222222k k k +++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+<+⨯= ∴当n =k ＋1时结论成立由①，②可知，不等式对于从1开始的所有正整数n 都成立．例3 已知f (n )=(2n ＋7)·3n＋9，存在自然数m ，使得对任意n ∈N 都能使m 整除f (n )，求m 的最大值．分析：归纳证明时，利用归纳假设创设递推条件，寻求f(k ＋1)与f(k)的递推关系，是解题的关键．解：∵f (1)=36，f (2)=108=3×36，f (3)=360=10×36∴f (1)，f (2)，f (3)能被36整除，猜想f (n )能被36整除． 证明 ① n =1，2时，由上得证；② 假设n =k (k ≥2)时，f (k )=(2k ＋7)·3k＋9能被36整除，则n =k ＋1时，f (k ＋1)=(2k ＋9)·3k ＋1＋9=(6k ＋27)·3k ＋9=(2k ＋7)·3k＋9＋(4k ＋20)·3k= f (k )＋36(k ＋5)·3k －2k ≥2) ∴f (k ＋1)能被36整除； 由①、②知f (n )能被36整除．∵f (1)不能被大于36的数整除，∴所求m 的最大值等于36． 例4 平面内有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n 个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分． 分析：注意从n=k 到n=k ＋1时的变化．解：① 当n=1时，平面内1个圆把平面分成2部分，此时n 2－n ＋2=2，结论成立；② 假设当n=k 时结论成立，即平面内k 个圆把平面分成k 2－k ＋2个部分，则当n=k ＋1时，第k ＋1个圆与前面k 个圆都相交，第k ＋1个圆被前面k 个圆分成2k 段弧，每段弧都把原来的平面部分一分为二，因此多了2k 个部分，所以平面内k＋1个圆把平面分成(k 2－k ＋2)＋2k= k 2＋k ＋2=(k ＋1)2－(k ＋1)＋2个部分，即当n=k ＋1时结论成立；由①、②可知，平面内n 个圆把平面分成n 2－n ＋2个部分．(3)解题时我们常常会遇到一类先猜后证的问题，这种问题的解题流程为：归纳→猜想→证明，而证明往往会用数学归纳法．猜归法是发现与论证的完美结合． 例5 ① 是否存在常数,,a b c ，使得2223212n an bn cn +++=++对一切正整数n 都成立?并证明你的结论；② 是否存在a ，b ，c 使得等式1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=12)1(+n n (an 2＋bn ＋c ) 对于一切正整数n 都成立?证明你的结论；③ 已知*1111,23n a n N n=++++∈，是否存在关于n 的整式()g n ，使得等式121()(1)n n a a a g n a -+++=-对于大于1的一切正整数n 都成立?证明你的结论．分析：根据已知条件“对一切正整数n 都成立”，我们可以先通过前几个数，如n =1，2，3的情形，进行归纳猜想，然后用数学归纳法证明结论．解：① 假设存在常数,,a b c 使等式成立，令1,2,3n =得：2221128421232793a b c a b c a b c =++⎧⎪+=++⎨⎪++=++⎩解之得131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；下面用数学归纳法证明：222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．证明：01 当1n =时，左边1=，右边(11)(21)16++==，即原式成立； 02 假设当n k =时，原式成立，即2222(1)(21)1236k k k k ++++++=则当1n k =+时，222222(1)(21)123(1)(1)6k k k k k k ++++++++=++ 22(1)(21)6(1)(1)(276)66(1)(2)(23)6k k k k k k k k k k +++++++==+++=即当1n k =+时原式成立，由01、02知222(1)(21)126n n n n +++++=对一切正整数n 都成立．综上所述，当131216a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩时，题设对一切自然数n 均成立；② 假设存在a ，b ，c 使题设的等式成立，令n =1，2，3，则有⎪⎩⎪⎨⎧===∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++=101133970)24(2122)(614c b a cb ac b a c b a 于是，对n =1，2，3下面等式成立 1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 记S n =1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)201 n=1时，等式已证，成立；02 假设n =k 时上式成立，即S k =12)1(+k k (3k 2＋11k ＋10) 则：S k ＋1=S k ＋(k ＋1)(k ＋2)2=12)1(+k k (3k 2＋11k ＋10) ＋(k ＋1)(k ＋2)2=(1)12k k +(k ＋2)(3k ＋5)＋(k ＋1)(k ＋2)2=12)2)(1(++k k (3k 2＋5k ＋12k ＋24)=12)2)(1(++k k (3k 2＋17＋24)= 12)2)(1(++k k ［3(k ＋1)2＋11(k ＋1)＋10］即对n =k ＋1等式也成立．由01、02知，1·22＋2·32＋…＋n (n ＋1)2=)10113(12)1(2+++n n n n 对一切正整数n都成立．综上所述，当a =3，b =11，c =10时，题设对一切自然数n 均成立；③ 假设()g n 存在，令2n =，求得(2)2g =，令3n =，求得(3)3g =，令4n =，求得(4)4g =， 由此猜想：()g n n =，下面用数学归纳法证明：121(1)n n a a a n a -+++=-对一切大于1的正整数n 都成立．(略)例6 （Ⅰ）已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->，其中r 为有理数，且01r <<. 求()f x 的最小值；（Ⅱ）试用（Ⅰ）的结果证明如下命题：设120,0a a ≥≥，12,b b 为正有理数. 若121b b +=，则12121122b b a a a b a b ≤+； （Ⅲ）请将（Ⅱ）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题.注：当α为正有理数时，有求导公式1()x x ααα-'=.解：（Ⅰ）11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-，令()0f x '=，解得1x =.当01x <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)内是减函数； 当 1x > 时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当(0,)x ∈+∞时，有()(1)0f x f ≥=，即(1)r x rx r ≤+- ①若1a ，2a 中有一个为0，则12121122b b a a a b a b ≤+成立； 若1a ，2a 均不为0，又121b b +=，可得211b b =-，于是 在①中令12a x a =，1r b =，可得1111122()(1)b a a b b a a ≤⋅+-， 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-，亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上，对120,0a a ≥≥，1b ，2b 为正有理数且121b b +=，总有12121122b b a a a b a b ≤+. ②（Ⅲ）（Ⅱ）中命题的推广形式为：设12,,,n a a a 为非负实数，12,,,n b b b 为正有理数.若121n b b b +++=，则12121122nb b b n n n a a a a b a b a b ≤+++. ③用数学归纳法证明如下：（1）当1n =时，11b =，有11a a ≤，③成立. （2）假设当n k =时，③成立，即若12,,,k a a a 为非负实数，12,,,k b b b 为正有理数，且121k b b b +++=，则12121122kb b b k k k a a a a b a b a b ≤+++.当1n k =+时，已知121,,,,k k a a a a +为非负实数，121,,,,k k b b b b +为正有理数，且1211k k b b b b +++++=，此时101k b +<<，即110k b +->，于是111212121121()k k k k b b b b b b b b k k k k a a a a a a a a ++++==12111111111121()kk k k k k b b b b b b b b kk aaaa +++++----+.因121111111kk k k b b b b b b ++++++=---，由归纳假设可得1211111112k k k k b b b b b b kaaa+++---≤1212111111kk k k k b b b a a a b b b +++⋅+⋅++⋅---112211k k k a b a b a b b ++++=-，从而112121k k b b b b k k a a a a ++≤1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭.又因11(1)1k k b b ++-+=，由②得1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭11221111(1)1k kk k k k a b a b a b b a b b +++++++≤⋅-+-112211k k k k a b a b a b a b ++=++++，从而112121k k b b b b k k a a a a ++112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++.故当1n k =+时，③成立.由（1）（2）可知，对一切正整数n ，所推广的命题成立.4．自我检测(1)用数学归纳法证明3k ≥n 3(n ≥3，n ∈N )第一步应验证______． (2)用数学归纳法证明()111112312nn n N n ++++<∈>-且时，第二步证明从“k 到k ＋1”，左端增加的项数是_____ ．(3)设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥ 成立时，总可推出 (1)f k +≥2)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是_____ ．①若1)1(<f 成立，则100)10(<f 成立；②若4)2(<f 成立，则(1)1f ≥成立；③若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立； ④若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立． (4)观察下列式子 2222221311511171,1,1222332344+<++<+++<…，则可归纳出____．三、课后巩固练习A 组1．用数学归纳法证明：2)1()13(1037241+=+++⨯+⨯+⨯n n n n ．2．用数学归纳法证明：()()()()()1221321,n n n n n n n N *+++=⋅⋅⋅⋅-∈．3．设f (n )=1＋11123n++⋅⋅⋅+， 求证：n ＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1)=nf (n ) (n ∈N，n ≥2) ．B 组 4．若n 为大于1的自然数，求证：2413212111>+++++n n n ． 5．用数学归纳法证明2*2(4,)nn n n N ≥≥∈．6．用数学归纳法证明*221(,3)n n n N n >+∈≥． 7．用数学归纳法证明11111231n n n ++⋅⋅⋅+≥+++(n ∈N，n ≥2)． 8．用数学归纳法证明：*(31)71()n n n N +-∈能被9整除． 9．求证：121(1)n n a a +-++能被21a a ++整除(n ∈N *)．10．是否存在常数c b a ,,使等式222222421(1)2(2)()n n n n n an bn c ⋅-+-+⋅⋅⋅+-=++ 对一切正整数n 都成立?证明你的结论．11． 是否存在常数a ，b ，c ，使等式23333123()()()()n an bn c n n n n n++++++=…对一切n N *∈都成立?并证明你的结论． 12．已知数列1111......1447710(32)(31)n n ⨯⨯⨯-+，，，，，，计算1234S S S S ，，，，根据计算结果，猜想n S 的表达式，并用数学归纳法证明．13．已知数列{}n a 满足条件,,6),1)(1()1(21n a b a a n a n n n n n +==-+=-+令试猜想数列{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明．14． 数列{a n }中，1n n a a +>，a 1=1，且211()2()10n n n n a a a a ++--++= (1)求234,,a a a 的值；(2)猜想{a n }的通项公式，并证明你的猜想．C 组15 已知数列{b n }是等差数列，b 1=1，b 1＋b 2＋…＋b 10=145， (1)求数列{b n }的通项公式b n ；(2)设数列{a n }的通项a n =log a (1＋nb 1)(其中a ＞0且a ≠1)，记S n 是数列{a n }的前n 项和，试比较S n 与31log a b n ＋1的大小，并证明你的结论． 16． 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响．用x n 表示某鱼群在第n 年年初的总量，n ∈N *，且x 1＞0．不考虑其它因素，设在第n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与x n 成正比，死亡量与x n 2成正比，这些比例系数依次为正常数a ，b ，c ．(Ⅰ)求x n ＋1与x n 的关系式；(Ⅱ)猜测：当且仅当x 1，a ，b ，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变?(不要求证明)17．一个计算装置有一个入口A 和一输出运算结果的出口B ，将自然数列{}(1)n n ≥中的各数依次输入A 口，从B 口得到输出的数列{}n a ，结果表明：①从A 口输入1n =时，从B 口得113a =；②当2n ≥时，从A 口输入n ，从B 口得到的结果n a 是将前一结果1n a -先乘以自然数列{}n 中的第1n -个奇数，再除以自然数列{}n a 中的第1n +个奇数．试问： (1)从A 口输入2和3时，从B 口分别得到什么数?(2)从A 口输入100时，从B 口得到什么数?并说明理由．18．某国采用养老储备金制度：公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为1a ，以后每年交纳的数目均比上一年增加(0)d d >，因此，历年所交纳的储备金数目12a a ，，是一个公差为d 的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．这就是说，如果固定年利率为(0)r r >，那么，在第n 年末，第一年所交纳的储备金就变为11(1)n a r -+，第二年所交纳的储备金就变为22(1)n a r -+，，以n T 表示到第n 年末所累计的储备金总额．(Ⅰ)写出n T 与1(2)n T n -≥的递推关系式；(Ⅱ)求证：n n n T A B =+，其中{}n A 是一个等比数列，{}n B 是一个等差数列．注意数学归纳法的两个步骤缺一不可．实际问题五、拓展视野已知函数()sin f x x x =-，数列{n a }满足：1101,(),1,2,3,.n n a a f a n +<<==证明：(Ⅰ)101n n a a +<<<；(Ⅱ)3116n n a a +<． 分析: 可以考虑用数学归纳法证明(I)．解: (I)先用数学归纳法证明 ,3,2,1,10=<<n a n(i)当n=1时，由已知条件知结论成立；(ii)假设当n=k 时结论成立，即10<<k a ， ∵10<<x 时，0cos 1)(>-='x x f ∴)(x f 在(0，1)上是增函数，∴)1()()0(f a f f k <<，即11sin 101<-<<+k a ， ∴当n=k ＋1时，结论成立．由(i)、(ii)可知，10<<n a 对一切正整数都成立．又∵10<<n a 时，0sin sin 1<-=--=-+n n n n n n a a a a a a ， ∴n n a a <+1，综上所述，101<<<+n n a a ；(II)设函数10,61sin )(3<<+-=x x x x x g ， 由(I)可知，当10<<x 时，x x <sin ，∴02)2(222sin 221cos )(22222=+->+-=+-='x x x x x x x g ， ∴)(x g 在(0，1)上是增函数． 又0)0(=g ，∴当10<<x 时，)(x g >0成立，∴0)(>n a g ，即061sin 3>+-n n n a a a ，∴3161n n a a <+．2.3 数学归纳法1．n =3 2．12k +3．④ 提示：当(4)25f ≥时，(4)f 2≥4，从而(5)f 2≥5，，2()f k k ≥（4k ≥）成立 4．112)1(131211:222++<+++++n n n 答案(n ∈N *)1-3 略4. 证明 (1)当n =2时，2413127221121>=+++ (2)假设当n =k 时不等式成立，即2413212111>+++++k k k 111111,23221221111111123221221131111311242122124212213113242(21)(1)24n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++=++++++-++++++>++-=+-+++++=+>++则当时即n =k+1时不等式成立， 故不等式2413212111>+++++n n n 对于大于1的自然数n 都成立。

2.3 数学归纳法数学命题.数学归纳法一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有__________公理： 如果(1)当n 取第一个值__________时结论正确；(2)假设当________(k ∈N *，且k ≥n 0)时__________，证明当__________时结论也正确． 那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立． 预习交流1做一做：用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2(n ∈N *)，从k 到k ＋1时，左端增加的式子为________．预习交流2用数学归纳法应注意哪些步骤？答案： 预习导引数学归纳法 (1)n 0(例如n 0＝1,2等) (2)n ＝k 结论正确 n ＝k ＋1预习交流1：提示：k ＋1预习交流2：提示：两个步骤缺一不可，只完成步骤(1)而缺少步骤(2)，就作出判断可能得出不正确的结论．因为单靠步骤(1)无法递推下去，即n 取n 0以后的数时命题是否正确，我们无法判定．同样，只有步骤(2)而缺少步骤(1)，也可能得出不正确的结论，缺少步骤(1)这个基础，假设就失去了成立的前提，步骤(2)也就没有意义了．用数学归纳法证明有关问题的关键在于第二步，即n ＝k ＋1时为什么成立．n ＝k ＋1时成立是利用假设n ＝k 时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n ＝k ＋1时成立，而不是直接代入，否则n ＝k ＋1时也成假设了，命题并没有得到证明．用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都可用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．一、用数学归纳法证明等式或不等式证明12－22＋32－42＋…＋(2n －1)2－(2n )2＝－n (2n ＋1)．思路分析：用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n 怎样变化，即由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左右两边各增添哪些项．用数学归纳法证明： 11×2＋13×4＋…＋1(2n －1)×2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 可用数学归纳法来证明关于自然数n 的恒等式，证明时两步缺一不可，第一步必须验证，证明n ＝k ＋1时成立，必须用到假设n ＝k 成立的结论．二、用数学归纳法证明几何问题有n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f (n )＝n 2－n ＋2个部分．思路分析：由k 到k ＋1时，研究第k ＋1个圆与其他k 个圆的交点个数问题．证明：凸n 边形的对角线的条数f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)．(1)几何问题常常是先探索出满足条件的公式，然后加以证明，探索的方法是由特殊猜出一般结论．(2)关键步骤的证明可以先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明． (3)几何问题的证明一要注意数形结合，二要注意要有必要的文字说明． 三、归纳—猜想—证明已知等差数列{a n }，等比数列{b n }，且a 1＝b 1，a 2＝b 2(a 1≠a 2)，a n ＞0(n ∈N *)． (1)比较a 3与b 3，a 4与b 4的大小，并猜想a n 与b n (n ≥3)的大小关系； (2)用数学归纳法证明猜想的正确性．思路分析：数列的通项公式应注意由n ＝k 到n ＝k ＋1时的变化情况，增加哪些项是难点，注意观察寻找规律．数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *.(1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．观察、归纳、猜想、证明是一个完整的思维过程，既需要探求和发现结论，又需要证明所得结论的正确性，是一种十分重要的思维方法．观察特殊事例时要细，要注意所研讨特殊事例的特征及相互关系，关系不明时应适当变形，由观察、归纳、猜想得到的结论，可能是正确的也可能是错误的，需要由数学归纳法证明．1．设f (n )＝1＋12＋13＋14＋…＋12n －1，则f (k ＋1)－f (k )＝________.2．用数学归纳法证明1＋a ＋a 2＋…＋a n ＋1＝1－a n ＋21－a(n ∈N *，a ≠1)，在验证n ＝1成立时，左边所得的项为__________．3．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n ×(n ＋1)，…的前n 项和为S n ，计算得S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，…，由此可猜测S n ＝________.4．平面内原有k 条直线，它们的交点个数为f (k )，则增加一条直线后，它们的交点个数最多为________．5．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＞56(n ≥2，n ∈N *)．答案：活动与探究1：证明：(1)当n ＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3， ∴左边＝右边，等式成立． (2)假设当n ＝k 时等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＝－k (2k ＋1)成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝12－22＋32－42＋…＋(2k －1)2－(2k )2＋[2(k ＋1)－1]2－[2(k ＋1)]2＝－k (2k ＋1)＋(2k ＋1)2－(2k ＋2)2＝(2k ＋1)(k ＋1)－4(k ＋1)2＝(k ＋1)[2k ＋1－4(k ＋1)]＝(k ＋1)(－2k －3) ＝－(k ＋1)[2(k ＋1)＋1]＝右边， ∴当n ＝k ＋1时，等式成立．由(1)(2)可知对于任意正整数n ，等式都成立． 迁移与应用：证明：(1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12，右边＝12，等式成立．(2)假设当n ＝k 时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)×2k ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k， 则当n ＝k ＋1时，11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)×2k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2)＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＋1k ＋1＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n ∈N *，等式成立．活动与探究2：证明：(1)当n ＝1时，即一个圆把平面分成2个部分f (1)＝2，又n ＝1时，n 2－n ＋2＝2，∴命题成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即k 个圆把平面分成f (k )＝k 2－k ＋2个部分，那么设第k ＋1个圆记作⊙O ，由题意，它与k 个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其他k 个圆相交于2k 个点．把⊙O 分成2k 条弧，而每条弧把原区域分成2部分，因此这个平面的总区域增加2k 个部分，即f (k ＋1)＝k 2－k ＋2＋2k ＝(k ＋1)2－(k ＋1)＋2.即n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)可知，对任何n ∈N *命题均成立． 迁移与应用：证明：(1)当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2，四边形有两条对角线，命题成立．(2)假设当n ＝k 时命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)，当n ＝k ＋1时，凸k ＋1边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线是以顶点A k ＋1为一个端点的所有对角线，再加上原k 边形的一边A 1A k ，共增加的对角线条数(k ＋1－3)＋1＝k －1.f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2)＝12(k ＋1)·(k －2)＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]， 故当n ＝k ＋1时，命题也成立．由(1)(2)可知，对于n ≥4，n ∈N *命题都成立．活动与探究3：(1)解：设a 1＝b 1＝a ，公差为d ，公比为q ，由a 2＝b 2，得a ＋d ＝aq .① ∵a 1≠a 2，a n ＞0，∴a ＞0，d ＞0.由①，得d ＝aq －a ，q ＝1＋d a＞1.∴b 3－a 3＝aq 2－(a ＋2d )＝aq 2－a －2a (q －1)＝a (q －1)2＞0. ∴b 3＞a 3.∵b 4－a 4＝aq 3－(a ＋3d )＝a (q －1)(q 2＋q －2)＝a (q －1)2(q ＋2)＞0， ∴b 4＞a 4.猜想出b n ＞a n (n ≥3，n ∈N *)．(2)证明：①当n ＝3时，由(1)可知已证得b 3＞a 3， ∴n ＝3时猜想成立．②假设当n ＝k (n ∈N *，k ≥3)时，b k ＞a k 成立． 则当n ＝k ＋1时，∵b k ＋1＝b k q ，a k ＋1＝a k ＋d ，∴b k ＋1－a k ＋1＝b k q －a k －d ＝b k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋d a －a k －d ＝(b k －a k )＋db k a －d ＝(b k －a k )＋d (b k －a )a .∵q ＝1＋da＞1，且b 1＝a ＞0，∴{b n }为递增数列．∴b k ＞a . ∴b k －a ＞0.又b k －a k ＞0，∴(b k －a k )＋d (b k －a )a＞0.∴b k ＋1－a k ＋1＞0.∴b k ＋1＞a k ＋1. ∴n ＝k ＋1时，猜想也成立．由①和②可知，对于n ∈N *，n ≥3猜想成立．迁移与应用：(1)解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1.当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32.当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74.当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4，∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n－12n －1(n ∈N *)．(2)证明：当n ＝1时，a 1＝1，结论成立．假设n ＝k 时，结论成立，即a k ＝2k－12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k－12k －12＝2k ＋1－12k. 这表明n ＝k ＋1时，结论成立，∴a n ＝2n－12n －1.当堂检测1．12k ＋12k ＋1 2．1＋a ＋a 23．n n ＋14.f (k )＋k 5．证明：(1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＞56，不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即 1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＞56， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1＞56＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3×13k ＋3－1k ＋1＝56，所以当n ＝k ＋1时不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．。

2019-2020年苏教版高中数学（选修2-2）2.3《数学归纳法》word教案5篇一、教学目标知识与技能：（1）体会归纳推理这种基本的分析问题法，并把它们用于对问题的发现中去。

（2）明确归纳推理的一般步骤，并把这些方法用于实际问题的解决中去。

过程与方法：（1）通过歌德巴赫猜想引入课题，激发学生的学习积极（2）通过师生合作做实验的过程，让学生体会数学的严谨性；（3）通过生活中的实例，让学生体会归纳推理的思想方法。

情感态度与价值观：正确认识归纳推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

二、教学重点：理解归纳推理的思维过程与一般形式。

三、教学难点：运用归纳推理得到一般性的结论。

四、教学方法与手段：多媒体演示，互动实验。

五、教学过程：情景一：歌德巴赫猜想问题1：同学们，你们有没有听说过一个世纪难题，歌德巴赫猜想，简称“1+1”？____________________________________________问题2：你们知道这个歌德巴赫猜想的具体内容吗____________________________________________问题3：你们想不想知道歌德巴赫是怎样提出这个猜想的？1742年，歌德巴赫在教学中发现：4=2+2， 6=3+3， 8=3+5， 10=3+7=5+5， 12=5+7， 14=3+11=7+7， 16=3+13=5+11， 18=5+13=7+11， 20=3+17=7+13， 22=3+19=5+17=11+11，……由此，他猜想：任何大于2的偶数都可以表示为两个素数之和（简称“1+1”），可是他既证明不了这个猜想，也否定不了这个猜想。

于是，歌德巴赫写信给当时的大数学家欧拉。

欧拉在给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意。

进行统计研究，提高统计的准确性和科学性；掌握从实际问题中提取数据，利用样本数一、自学准备与知识导学1.某校高二（1）班同学在老师的布置下，用单摆进行测试，以检查重力加速度．全班同学两人一组，在相同条件下进行测试，得到下列实验数据（单位：2/s m ）9.62 9.54 9.78 9.94 10.01 9.66 9.88 9.68 10.329.76 9.45 9.99 9.81 9.56 9.78 9.72 9.93 9.94 9.65 9.79 9.42 9.68 9.70 9.84 9.90 问题：怎样利用这些数据对重力加速度进行估计？2.平均数(1)我们常用算术平均数 （其中)21(n i a i ，，， =为n 个实验数据）作为重力加速度的“最理想”的近似值，它的依据是什么呢？3.处理实验数据的原则是使这个近似值与实验数据之间的离差 ．设这个近似值为x ，那么它与n 个实验值)21(n i a i ，，， =的离差分别为1a x -，2a x -，3a x -，…，n a x -．由于上述离差有正有负，故不宜直接相加．可以考虑离差的平方和，即22221)()()(n a x a x a x -+⋯+-+-=22221212)(2nn a a a x a a a nx ⋯+++⋯++-． 所以当=x 时，离差的平方和最小．故可用 作为表示这个物理量的理想近似值． 说明：1．平均数最能代表一个样本数据的集中趋势，也就是说它与样本数据的离差最小； 2．数据n a a a ，，， 21的平均数或均值，一般记为__a =____________________； 3．若取值为n x x x x ，，，， 321的频率分别为n p p p ，，， 21， 则其平均数为n n p x p x p x x +++= 2211．二、学习交流与问题探讨例1 某校高一年级的甲、乙两个班级（均为50人）的语文测试成绩如下（总分：150分），试确定这次考试中，哪个班的语文成绩更好一些．甲班112 86 106 84 100 105 98 102 94 107 87 112 94 94 99 90 120 98 95 119 108 100 96 115 111 104 95 108 111 105 104 107 119 107 93 102 98 112 112 99 92 102 93 84 94 94 100 90 84 114 乙班116 95 109 96 106 98 108 99 110 103 94 98 105 101 115 104 112 101 113 96 108 100 110 98 107 87 108 106 103 97 107 106 111 121 97 107 114 122 101 107 107 111 114 106 104 104 95 111 111 110例2 表（单位：例3 某单位年收入在10000到15000、15000到20000、20000到25000、25000到30000、30000到35000、35000到40000及40000到50000元之间的职工所占的比分别为10%，15%，20%，25%，15%，10%和5%，试估计该单位职工的平均年收入． 分析：上述百分比就是各组的频率．三、练习检测与拓展延伸1．若一组数据54321x x x x x ，，，，的平均数是x ，则另一组数据432154321++++x x x x x ，，，，的平均数是 ．2．若M 个数的平均数是X ，N 个数的平均数是Y ，则这N M +个数的平均数是 ．3．如果两组数n x x x x ，，，， 321和n y y y ，，， 21的样本平均数分别是x 和y ， 那么一组数1122,,,n n x y x x y ++⋯+的平均数是 ． 4．从某校全体高考考生中任意抽取20名考生，其数学成绩（总分150分）分别为： 102，105，131，95，83，121，140，100，97，96，95，121，124，135，106，109，110，101，98，97，试估计该校全体高考考生数学成绩．四、小结与提高。

数学归纳法1一、学情分析数学归纳法被安排在高二下学期?普通高中课程标准实验教科书选修2-2?〔苏教版〕第二章第三节，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。

在知识方面：已经学过高中阶段的大局部的知识板块，具有一定的知识储藏；在能力方面：初高中已经将类比推理渗透到教材的很多章节，学生正在不知不觉地应用着。

二、设计思想本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法——类比推理。

在整个过程中，学生已经具备独立研究知识的能力，所以在教学中我从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。

三、课程资源在中小学数学教学中，对合情推理的能力培养都有一定的要求。

而且在整个高中教材中有很多章节已经渗透了用类比推理的方式生成新的知识，比方必修2阅读局部增加了“平面几何与立体几何的类比〞，必修5中“等差与等比数列的类比〞等等。

四、教学目标1、理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤。

2、通过数学归纳法的学习，体会用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明规律的途径．掌握从特殊到一般是应用的一种主要思想方法。

五、教学重点与难点教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法。

教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的数学命题。

教具准备：多媒体课时安排：1课时〔共三课时〕六、教学过程：〔一〕、问题情境：数列{a n}，a1＝1，且〔n＝1，2，3…〕通过对n＝1，2，3，4，前4项的观察，我们可以猜测出其通项公式为，这种方法叫？生答：归纳推理〔从特殊到一般〕归纳法〔归纳推理〕：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法。

问题1:这是一盒白色的粉笔。

完全归纳法：考察全体对象，得到一般结论的推理方法。

〔结论一定可靠，但需逐一核对，实施较难〕问题2：天下乌鸦一般黑。

不完全归纳法：考察局部对象，得到一般结论的推理方法〔结论不一定可靠，但有利于发现问题，形成猜测〕回到刚刚的问题，刚刚得出的猜测属于〔？〕生答：不完全归纳，不一定成立，必须通过严格的证明．怎么证明？思考1：与正整数n有关的数学命题能否通过一一验证的方法来加以证明呢？思考2：如果一个数学命题与正整数n有关，我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？很多同学小时候都玩过这样的游戏，多米诺骨牌游戏〔多米诺骨牌〔domino〕是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。

第2课时 用数学归纳法证明不等式 学习目标 1.学会用数学归纳法证明不等式的过程.2.体会变形和放缩法在证明过程中的应用．一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果(1)当n 取第一个值n 0时结论正确；(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥n 0)时成立，证明当n ＝k ＋1时结论也正确．那么，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都成立．类型一 利用数学归纳法证明不等式例1 求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16＝5760， 故左边>右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56， 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1) ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)．(*) 方法一 (分析法)下面证(*)式>56， 即13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1>0，只需证(3k ＋2)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋3)＋(3k ＋1)(3k ＋2)－3(3k ＋1)(3k ＋2)>0，只需证(9k 2＋15k ＋6)＋(9k 2＋12k ＋3)＋(9k 2＋9k ＋2)－(27k 2＋27k ＋6)>0，只需证9k ＋5>0，显然成立．所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．方法二 (放缩法)(*)式>(3×13k ＋3－1k ＋1)＋56＝56， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键点(1)验证第一个n 的值时，要注意n 0不一定为1，若n >k (k 为正整数)，则n 0＝k ＋1.(2)证明不等式的第二步中，从n ＝k 到n ＝k ＋1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．(3)用数学归纳法证明与n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对n 取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n 值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明．(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n ＝k 时成立得n ＝k ＋1时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．跟踪训练1 在数列{a n }中，已知a 1＝a (a >2)，a n ＋1＝a 2n 2(a n －1)(n ∈N *)，用数学归纳法证明：a n >2(n ∈N *)．证明 ①当n ＝1时，a 1＝a >2，命题成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时，命题成立，即a k >2，则当n ＝k ＋1时，a k ＋1－2＝a 2k2(a k －1)－2＝(a k －2)22(a k －1)>0， ∴当n ＝k ＋1时，命题也成立．由①②得，对任意正整数n ，都有a n >2.类型二 猜想并证明不等式例2 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解 取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624， 令2624>a 24⇒a <26，且a ∈N *， 所以取a ＝25.下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. ①当n ＝1时，已证结论正确．②假设n ＝k (k ∈N *，k ≥1)时，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， 则当n ＝k ＋1时，有1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝(1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1)＋(13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1)>2524＋[13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)]． 因为13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>6(k ＋1)9k 2＋18k ＋9＝6(k ＋1)9(k ＋1)2＝23(k ＋1)， 所以13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0， 所以1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立．由①②可知，对一切n ∈N *，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. 故a 的最大值为25.反思与感悟 (1)通过观察，判断，猜想出结论，这是探索的关键．(2)在用数学归纳法证明命题时，注意验证起始值．跟踪训练2 设数列{a n }满足a n ＋1＝a 2n －na n ＋1，n ＝1,2,3，….(1)当a 1＝2时，求a 2，a 3，a 4，并由此猜想出a n 的一个通项公式．(2)当a 1≥3时，证明对所有的n ≥1，n ∈N *，有a n ≥n ＋2.(1)解 由a 1＝2，得a 2＝a 21－a 1＋1＝3，由a 2＝3，得a 3＝a 22－2a 2＋1＝4，由a 3＝4，得a 4＝a 23－3a 3＋1＝5，由此猜想a n 的一个通项公式为a n ＝n ＋1(n ≥1，n ∈N *)．(2)证明 ①当n ＝1时，a 1≥3＝1＋2，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1，n ∈N *)时，不等式成立，即a k ≥k ＋2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k (a k －k )＋1≥(k ＋2)(k ＋2－k )＋1≥k ＋3.即当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥(k ＋1)＋2.由①②可知，对任意的n ≥1，n ∈N *，都有a n ≥n ＋2.1．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1(2n －1)2<2－12n －1(n ≥2，n ∈N *)的第一步需证明的不等式为____________________________．答案 1＋122＋132<2－122－12．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立，那么，下列命题成立的是________．(填序号)①若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立；②若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立；③若f (7)<49成立，则当k ≥8时，均有f (k )<k 2成立；④若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立．答案 ④解析 若f (4)＝25，则f (4)≥42，由条件可知，当k ≥4时，f (k )≥k 2，故④正确．3．以下是用数学归纳法证明有“n ∈N *时，2n >n 2”的过程，证明：(1)当n ＝1时，21>12，不等式显然成立．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即2k >k 2.那么，当n ＝k ＋1时，2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2. 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对任意n ∈N *不等式都成立．其中错误的步骤为________．(填序号) 答案 (2)解析 在2k ＋1＝2×2k ＝2k ＋2k >k 2＋k 2≥k 2＋2k ＋1中用了k 2≥2k ＋1，这是一个不确定的结论．如k ＝2时，k 2<2k ＋1.4．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2≥3n 2n ＋1时，假设n ＝k 时，命题成立，那么当n ＝k ＋1时，只需证明________________________________即可．答案 3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3k ＋32k ＋3解析 由假设知：1＋122＋132＋…＋1k 2≥3k 2k ＋1， 当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2≥3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2， ∴只需证明3k 2k ＋1＋1(k ＋1)2≥3(k ＋1)2(k ＋1)＋1＝3k ＋32k ＋3.1．n ＝k ＋1时式子的项数，特别是寻找n ＝k 与n ＝k ＋1的关系时，项数发生什么变化容易被弄错．因此对n ＝k 与n ＝k ＋1这两个关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障．2．“假设n ＝k (k ≥1)时命题成立，利用这一假设证明n ＝k ＋1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，因此在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设．3．由于是不等式的证明，所以在转化过程可能用到基本不等式及分析法、综合法、放缩法等．课时作业一、填空题1．已知a i >0(i ＝1,2，…，n )，考查①a 1·1a 1≥1； ②(a 1＋a 2)(1a 1＋1a 2)≥4； ③(a 1＋a 2＋a 3)(1a 1＋1a 2＋1a 3)≥9. 归纳得对a 1，a 2…a n 成立的类似不等式为________________________．答案 (a 1＋a 2＋…a n )(1a 1＋1a 2＋…＋1a n)≥n 2 2．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证的不等式为______________．答案 1＋12＋13<2 解析 ∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证1＋12＋13<2. 3．仔细观察下列不等式：(1＋11)>3， (1＋11)(1＋13)>5， (1＋11)(1＋13)(1＋15)>7， (1＋11)(1＋13)(1＋15)(1＋17)>9， 则第n 个不等式为________________________________．答案 (1＋11)(1＋13)(1＋15)…(1＋12n －1)>2n ＋1(n ∈N *) 4．用数学归纳法证明等式(n ＋1)(n ＋2)·…·(n ＋n )＝2n ·1·3·…·(2n －1)(n ∈N *)，从k 到k ＋1左端需要增乘的代数式为________．答案 2(2k ＋1)解析 n ＝k ＋1时，左端为(k ＋2)(k ＋3)·…·[(k ＋1)＋(k －1)]·[(k ＋1)＋k ]·(2k ＋2)＝(k ＋1)(k ＋2)·…·(k ＋k )·(2k ＋1)·2，∴应增乘2(2k ＋1)．5．对于不等式n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)，某学生证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立；(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k <k ＋1(k ∈N *)，则当n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<(k 2＋3k ＋2)＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，命题成立．上述证法的错误在于________________．答案 没有用归纳假设6．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764(n ∈N *)成立，其初始值至少应取_____． 答案 8解析 左边＝1＋12＋14＋…＋12n －1＝1－12n 1－12＝2－12n －1，代入验证可知n 的最小值是8. 7．用数学归纳法证明“2n ＞n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．答案 5解析 当n 取1、2、3、4时2n ＞n 2＋1不成立，当n ＝5时25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n ＞n 2＋1的n 值为5.8．用数学归纳法证明：122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立，则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________．答案 122＋132＋…＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋39．观察下列不等式：1>12，1＋12＋13>1,1＋12＋13＋…＋17>32，1＋12＋13＋…＋115>2,1＋12＋13＋…＋131>52，…，由此猜测第n 个不等式为________________． 答案 1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2解析 3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：1＋12＋13＋…＋12n －1>n 2. 二、解答题10．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)并用数学归纳法证明你的结论．解 当n ＝1时，21＋2＝4>12，当n ＝2时，22＋2＝6>22，当n ＝3时，23＋2＝10>32，当n ＝4时，24＋2＝18>42，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．②假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2，那么n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2.要证当n ＝k ＋1时结论成立，只需证2k 2－2≥(k ＋1)2，即证k 2－2k －3≥0，即证(k ＋1)(k －3)≥0.又因为k ＋1>0，k －3≥0，所以(k ＋1)(k －3)≥0.所以当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，n ∈N *时，2n ＋2>n 2.11．用数学归纳法证明1＋122＋132＋…＋1n 2<2－1n(n ≥2，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝2时，左边＝1＋122＝54， 右边＝2－12＝32，左边<右边，不等式成立． ②假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时，不等式成立，即1＋122＋132＋…＋1k 2<2－1k， 那么当n ＝k ＋1时，1＋122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1(k ＋1)2，又由于[2－1k ＋1(k ＋1)2]－(2－1k ＋1) ＝1k ＋1－1k ＋1(k ＋1)2 ＝k (k ＋1)－(k ＋1)2＋k k (k ＋1)2 ＝－1k (k ＋1)2<0， 所以2－1k ＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1， 所以1＋122＋132＋…＋1(k ＋1)2<2－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式也成立．由①，②知，对于大于等于2的正整数n ，不等式成立．12．用数学归纳法证明12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，其中n ≥2，n ∈N *. 证明 ①当n ＝2时，左边＝12，右边＝0，结论成立； ②设n ＝k 时，结论成立，即12＋13＋14＋…＋12k －1>k －22， 则当n ＝k ＋1时，左边＝12＋13＋14＋…＋12k －1＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋12k －1＋1＋…＋12k >k －22＋2k －12k >k －12， 即当n ＝k ＋1时，结论成立．由①②可知，12＋13＋14＋…＋12n －1>n －22，n ≥2，n ∈N *. 三、探究与拓展13．求证：1＋12＋13＋ (1)<2n (n ≥1，n ∈N *)． 证明 ①当n ＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．②假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，不等式成立．即1＋12＋13＋ (1)<2k . 则当n ＝k ＋1时，1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2k k ＋1＋1k ＋1<(k )2＋(k ＋1)2＋1k ＋1＝2(k ＋1)k ＋1＝2k ＋1.∴当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n ∈N *都成立．14．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *恒成立，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32； 当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立．证明：①当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． ②假设当n ＝k 时，不等式12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．所以，对任意n ∈N *，不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1恒成立．。