2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷(文科)(5月份)(含解析)

福建省龙岩市2020届高三数学5月教学质量检查（漳州三模）试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.已知集合}1|{≥=x x A ，{|230}B x x =->，则A B =U （ ）A. [0,)+∞B. [1,)+∞C. 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D. 30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】一元不等式化简集合B ，然后直接利用并集运算得答案． 【详解】{|230}B x x =->=}23|{>x x ，则A B =U [1,)+∞ 故选：B【点睛】本题考查并集其运算，考查了不等式的解法，是基础题．2.在复平面内，复数22ii+-对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A 【解析】 【分析】先化简复数，再判断它对应的点所处的象限得解.【详解】由题得22(2)342(2)(2)5i i iz i i i +++===--+， 所以复数对应的点为（3455，）， 故选：A【点睛】本题主要考查复数的运算和几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.双曲线221510x y -=的渐近线方程为（ ）A. x y 21±= B. 2y x =±C. x y 2±=D. 2y x =±【答案】C 【解析】 【分析】在双曲线的标准方程中，利用渐近线方程的概念直接求解．【详解】双曲线221510x y -=的渐近线方程为：220510x y -=， 整理，得y 2＝2x 2， 解得x y 2±= 故选：C ．【点睛】本题考查双曲线的渐近线的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．4.在等差数列{}n a 中，157913100a a a a a ++++=，6212a a -=，则1a =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】先由题意求出207=a ，设等差数列{}n a 的公差为d ，求出公差，进而可求出结果. 【详解】因为157913100a a a a a ++++=， 所以75100a =，即207=a ， 设等差数列{}n a 的公差为d ，又6212a a -=，所以412d =，故3d =，所以17620182a a d =-=-= 故选B ．【点睛】本题主要考查等差数列的基本量的计算，熟记等差数列的通项公式即可，属于基础题型.5.如图是某学校研究性课题《什么样的活动最能促进同学们进行垃圾分类》向题的统计图（每个受访者都只能在问卷的5个活动中选择一个），以下结论错误的是（ ）A. 回答该问卷的总人数不可能是100个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8个 【答案】D 【解析】 【分析】先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【详解】对于选项A ，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A 正确，对于选项B ，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B 正确， 对于选项C ，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C 正确，对于选项D ，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D 错误， 故选：D ．【点睛】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．6.若1a >，则“y x a a >”是“log log a a x y >”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】先找出y x a a >及log log a a x y >的等价条件，然后根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】由a>1,得y x a a > 等价为x>y; log log a a x y >等价为x>y>0 故“y x a a > ”是“log log a a x y >”的必要不充分条件 故选：A【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，指对函数的单调性，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．7.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（ ）A. 253πB. 343πC. 433πD. 25π 【答案】C 【解析】 【分析】先由三视图确定该几何体的形状，再由体积公式求解，即可得出结果.【详解】由三视图可知：该几何体下部为半球，上部为大圆柱挖去了一个小圆柱.且半球的半径为2，大圆柱的底面圆半径为2，高为3，小圆柱的底面圆半径为1，高为3， 故该几何体的体积为322144322313233ππππ⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=. 故选C ．【点睛】本题主要考查由三视图还原几何体、以及几何体的体积，熟记体积公式即可，属于常考题型.8.已知函数21()sin cos 2f x x x x =+，则下列结论正确的是（ ） A. ()f x 的最大值为1B. ()f x 的最小正周期为2πC. ()y f x =的图像关于直线3x π=对称D. ()y f x =的图像关于点7,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角公式和辅助角公式化简得f(x)的解析式，再利用三角函数函数性质考查各选项即可．【详解】函数21()sin cos 2f x x x x =++=1cos 212222x x -++= sin （2x 6π-）+1 对于A ：根据f （x ）＝sin （2x 6π-）+1可知最大值为2；则A 不对； 对于B ：f （x ）＝sin （2x 6π-）+1，T ＝π则B 不对； 对于C ：令2x 6π-=,223k k x k Z p p pp +\=+?，，故图像关于直线3x π=对称则C 正确； 对于D ：令2x 6π-=,212k k x k Z p p p \=+?，，故()y f x =的图像关于点⎪⎭⎫⎝⎛1,127π对称则D 不对． 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．9.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的体积为3，1AB =，则直线1AB与1CD 所成的角为（ ） A. 30o B. 45oC. 60oD. 90o【答案】C 【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与CD 1所成的角．【详解】∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为3，AB ＝1，∴AA 13=，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B 1（1，1，3），C （0，1，0），D 1（0，0，3），1AB =u u u r（0，1，3），1CD =u u u u r （0，﹣1，3）， 设直线AB 1与CD 1所成的角为θ，则cosθ11111244AB CD AB CD ⋅===⋅⋅u u u r u u u u ru u u r u u uu r ，又0︒<θ90︒≤ ∴θ＝60°，∴直线AB 1与CD 1所成的角为60°． 故选：C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．10.已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ）A. ]1,2[-B. [1,)+∞C. RD.(,2][1,)-∞-+∞U【答案】D 【解析】 【分析】由函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，的表达式即可判断f （x ）是关于x=1对称的函数，利用单调性可得x 的不等式求解即可．【详解】由题画出函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩的图像如图所示，故222121x xx --?+- ，即2231x x x -?+ ，解得x 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞U故选：D【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力是基础题11.如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）A.34B.712C.12D.512【答案】B 【解析】 【分析】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A 包含133A ⨯+2222A ⨯⨯=14个基本事件，故P （A ）可求．【详解】依题意，基本事件的总数为44A =24，设事件A 表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”， ①若甲模仿“扶”，则A 包含133A ⨯=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A 包含2222A ⨯⨯=8个基本事件，综上A 包含6+8＝14个基本事件， 所以P （A ）1472412==， 故选：B ．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题．12.若直线y =a 分别与直线y =2x -3，曲线y =e x -x （x ≥0）交于点A ，B ，则|AB |的最小值为（ ） A. 63ln3- B. 33ln32-C. eD. 0.5e【答案】B【解析】 【分析】设A （x 1，a ），B （x 2，a ），建立方程关系用x 1表示x 2，则|AB |＝x 1﹣x 2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可． 【详解】作出两个曲线的图象如图， 设A （x 1，a ），B （x 2，a ），则x 1＞x 2，则2x 1﹣3＝e 2x -2x ，即x 112=（e 2x -2x +3）， 则|AB |＝12x x -12=（e 2x -2x +3）2x -12=（﹣32x +e 2x +3），设f （x ）12=（e x﹣3x +3），x ≥0，函数的导数f ′（x ）12=（﹣3+e x），由f ′（x ）＞0得x ＞ln 3，f （x ）为增函数， 由f ′（x ）＜0得0≤x ＜ln 3，f （x ）减函数，即当x ＝ln 3时，f （x ）取得最小值，最小值为f （ln3）12=（3+3﹣3ln3）＝332-ln3， 故选：B ．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.向量a ρ，b ρ满足1a b •=-r r ，(2)3a a b •-=r r r ，则a r =______．【答案】1 【解析】 【分析】根据向量数量积的运算，直接计算即可得出结果.【详解】因为向量a ρ，b ρ满足1a b •=-r r ，(2)3a a b •-=r r r ，所以222213a a b a -•=+=r r r r ，因此1a =r故答案为1．【点睛】本题主要考查已知向量数量积求向量的模，熟记运算法则即可，属于基础题型.14.若,x y 满足约束条件204010x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最大值是_____．【答案】11 【解析】 【分析】画出可行域，平移直线2z x y =+得最大值即可 【详解】画出不等式所表示的可行域，如图阴影所示： 当直线2z x y =+平移过A 时，z 最大，联立140x x y =⎧⎨-+=⎩得A （1,5）故z 的最大值为1+2×5=11 故答案为11【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，准确计算是关键，是基础题15.若数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +--=，则n a =_____．【答案】22-+n n【解析】 【分析】根据112nn n a a +--=，用累加法求解，即可得出结果. 【详解】因为数列{}n a 满足11a =，112nn n a a +--=，所以12112a a -=+，23212a a -=+， 34312a a -=+，……1112n n n a a ---=+，以上各式相加得123111(222...2)n n a a n --=-+++++， 所以22nn a n =+-.【点睛】本题主要考查求数列的通项公式，熟记累加法即可，属于常考题型.16.已知点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线)0(>=k kx y 与C 相交于,M N 两点（其中M 在第一象限），若||MN =，|||FM FN ≤，则C 的离心率的最大值是____．1- 【解析】 【分析】设右焦点为F ',连接M ,F NF '',由椭圆对称性得四边形FM F N '为矩形，结合椭圆定义及勾股定理得a,c 不等式求解即可【详解】设右焦点为F ',连接M ,F NF '',由椭圆对称性知四边形FM F N '为平行四边形，又||MN ==2c=FF '，故FM F N '为矩形，|||FM FN ≤='|F M ，'||||2FM F M a+=，即2a F M M'-≤',∴F M ≥'又222(2a )4F M F M c -+='',故11【点睛】本题考查椭圆的几何性质，椭圆定义的应用，转化化归思想，利用定义转化为矩形是关键，是中档题三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos sin cos b A C c A B +=. （1）求sin A ；（2）若23=a ，4b =，求c .【答案】(1) sin A = (2) 1c = 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=，进而sin()B C +=则A 可求；（2）解法一：由余弦定理得c 的方程求解即可；解法二：正弦定理得sin sin 6b A B a ==，进而得sin sin[π()]C A B =-+1)24=，再利用正弦定理得c 即可【详解】（1）因为sin cos sin cos b A C c A B +=，所以由正弦定理，得sin sin cos sin sin cos B A C C A B +=因为sin 0A ≠，所以sin cos sin cos 4B C C B +=，所以sin()B C +=，所以sin(π)4A -=，所以sin A =．（2）解法一：因为V ABC 为锐角三角形，所以A 为锐角，因为sin A =，所以1cos 4A =． 因为23=a ，4b =，由余弦定理得(22214244c c =+-⨯⨯⨯，所以2220c c --=，所以1c =. 解法二：因为V ABC 为锐角三角形，所以A ，B 为锐角， 因为23=a ，4b =，所以由正弦定理得4sin sin 6b A B a ⨯===，所以cos B =因为sin A =，所以1cos 4A =． 所以sin sin[π()]C AB =-+sin()sin cos cos sin A B A B A B =+=+1)24=，由正弦定理得sin 1sin a Cc A==. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，两角和的正弦公式，考查公式的运用，是中档题18.如图，菱形ABCD 中，2AB =，ο60=∠DAB ，M 是AD 的中点，以BM 为折痕，将ABM ∆折起，使点A 到达点1A 的位置，且平面1A BM ⊥平面BCDM ，（1）求证：1A M BD ⊥；（2）若K 为1A C 的中点，求四面体1M A BK -的体积．【答案】（1）见解析（2）3． 【解析】 【分析】（1）先在左图中证明AD BM ⊥，再结合右图，根据面面垂直的性质定理，证明1A M ⊥平面BCDM ，进而可得出结论；（2）先计算出1A BCM V -，再由题意得到11111122M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----===，即可得出结果．【详解】（1）证明：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，ο60=∠DAB ，M 是AD 的中点，∴AD BM ⊥，故在右图中，1A M BM ⊥， ∵平面1A BM ⊥平面BCDM ，平面1A BM I 平面BCDM BM =，∴1A M ⊥平面BCDM ， 又BD ⊂平面BCDM ， 所以1A M BD ⊥.（2）解：在左图中，∵四边形ABCD 是菱形，AD BM ⊥，AD BC ∥，∴BC BM ⊥，且BM 在右图中，连接CM，则1111121332A BCM BCM V S A M -∆=•=⨯⨯=∵K 为1A C 的中点，∴11111122M A BK K MA B C MA B A BCM V V V V ----====． 【点睛】本题主要考查面面垂直的性质，以及求几何体的体积，熟记面面垂直的性质定理、以及锥体的体积公式即可，属于常考题型.19.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x 元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x 的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y 表示保费为x 元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；（1）根据上面的数据求出y 关于x 的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x 定为5元？参考公式：回归方程y bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为1122ˆni ii nii x y nxybxnx==-=-∑∑，x b y aˆˆ-=， 参考数据：表中x 的5个值从左到右分别记为12345,,,,x x x x x ，相应的y 值分别记为12345,,,,y y y y y ，经计算有51()()19.2i i i x x y y =--=-∑，其中5115i i x x ==∑，5115i i y y ==∑．【答案】（1）0.01920.976y x =-+；（2）能 【解析】 【分析】（1）由已知表格中的数据求得ˆˆ,ba ，进而可得线性回归方程； （2）求出保费x 定为5元时，该手机厂商在这次活动中，因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较，即可得出结果.【详解】解：（1）由已知得300.4x y ==，，()51()19.2iii x x yy =--=-∑，521()1000i i x x =-=∑，所以55121()ˆ0.0192()()iii ii bx y y x x x ==---==-∑∑，ˆˆ0.976a y bx=-=， y 关于x 的回归直线方程为0.01920.976y x =-+；（2）能把保费x 定为5元．理由如下：若保费x 定为5元，则估计0.019250.9760.88y =-⨯+=． 估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为620000000.88520000000.880.2%2000100010000.7610⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯=⨯元76=（万元）70>（万元）. ∴把保费x 定为5元．【点睛】本题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求ˆˆ,ba 即可，属于常考题型.20.已知离心率为12的椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点与抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点F 重合，且点F 到E 的准线的距离为2.（1）求C 的方程；（2）若直线l 与C 交于,M N 两点，与E 交于,A B 两点，且4-=⋅（O 为坐标原点），求MNF ∆面积的最大值.【答案】(1) 13422=+y x(2) max ()MNF S =△ 【解析】 【分析】(1)先求P,再列a,b,c 的方程组求解即可（2）设l 的方程为n my x += ，与抛物线联立将4OA OB =-u u u r u u u r g 坐标化代入韦达定理解得n=2，利用31||||22MNF S MF y =△≤即可求解； 【详解】（1）因为点x 到E 的准线的距离为2，所以2p =，(1,0)F ，由2221,1,2,c c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C 的方程为13422=+y x（2）解法一.由（1）知抛物线E 的方程为24y x =.要使直线l 与抛物线E 交于两点，则直线l 的斜率不为0，可设l 的方程为n my x +=，由2,4,x my n y x =+⎧⎨=⎩得0442=--n my y 所以2(4)160m n ∆=-+>，得20m n +>.设()()1122,,,A x y B x y 则12124,4,y y m y y n +=⎧⎨=-⎩所以22222121212()16441616y y y y n x x n =⋅===，因为4OA OB =-u u u r u u u rg ，所以12124x x y y +=-， 所以244n n -=-，所以2n =， 所以直线l 的方程为2x my =+，所以直线l 过椭圆C 的右顶点(2,0)，不妨设)0,2(M 33(,)N x y，3y 3y ≠0，所以31||||2MNF S MF y =△当且仅当3y =max ()MNF S =△【点睛】本题考查椭圆方程，考查直线过定点问题，考查面积问题，考查基本不等式求最值，注意计算的准确，是中档题21.已知函数()(ln )xe f x a x x x=--.（1）若a e =，求()f x 的单调区间； （2）若()0f x ≥，求a 的取值范围.【答案】(1) ()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞．(2) (],e -∞ 【解析】 【分析】（1）当e a =时，()()()21e e x x x f x x --'=，判断其正负号则单调性可求；（2）法一：由（1）得exe x ≥进而ln 10x x -≥＞，放缩不等式为当e ≤a 时，e e ()(ln )e(ln )x xf x a x x x x x x =----≥，构造函数求解即可；法二：分离a 问题转化为mine (ln )xa x x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤，求最值即可求解【详解】（1）函数()f x 定义域为()0,+∞，()()()21x x e ax f x x --'=．当e a =时，()()()21e e x x x f x x --'=，令()xg x e ex =-，则()e e x g x '=-，因为()g x '在(),-∞+∞上单调递增，且()10g '=， 所以当1x <时，()0g x '<；当1>x 时，()0g x '>； 所以()g x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． 所以()()10g x g ≥=，即0x e ex -≥，仅当1x =时取等号. 所以当01x <<时，()0f x '<；当1>x 时，()0f x '>； 所以()f x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞． （2）解法一. 由（1）知ex e x ≥，所以当0x >时，lne ln(e )xx ≥，得ln 10x x -≥＞，当e ≤a 时，e e ()(ln )e(ln )x x f x a x x x x x x=----≥，令e()e(ln )x h x x x x=--，由（1）知，()(1)0h x h =≥，所以()0f x ≥，满足题意. 当e a >时，(1)e 0f a =-<，不满足题意. 所以a 的取值范围是(],e -∞. 解法二：由（1）知ex e x ≥，所以当0x >时，lne ln(e )xx ≥，得ln 10x x -≥＞，由e ()(ln )0x f x a x x x =--≥，得e (ln )x a x x x -≤， 问题转化为mine (ln )xa x x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭≤，令e ()(ln )x h x x x x =-，则22e (1)(1ln )()(ln )x x x x h x x x x ---'=-，因为e 0x >，1ln 0x x --≥（仅当1x =时取等号），22(ln )0x x x ->，所以当01x <<时，()0h x '<；当1>x 时，()0h x '>； 所以()h x 的单调递减区间是()0,1，单调递增区间是()1,+∞， 所以min ()(1)h x h e ==， 所以a 的取值范围是(],e -∞.【点睛】本题考查导数与函数的单调性，导数与函数最值，不等式恒成立问题，考查转化化归能力，是中档题22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数，且0.5 1.5πϕπ≤≤，0a >），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+， （1）求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 的交点为,A B ，且AB =a . 【答案】（1）222()(0)x a y a x a -+=≤≤，2214x y +=（2）1a =．【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1φφ+=消去参数ϕ，即可得出1C 的普通方程；由极坐标与直角坐标的互化，可得出2C 的直角坐标方程；（2）根据对称性知，,A B 关于x 轴对称，再由AB =A 的坐标，代入1C 方程，即可得出结果.【详解】解：（1）利用22sin cos 1φφ+=消去参数ϕ，得1C 的普通方程为222()(0)x a y a x a -+=≤≤；由22413sin ρθ=+得2223sin 4ρρθ+=，所以2C 的直角坐标方程为：2214x y +=；（2）根据对称性知，,A B 关于x 轴对称，不妨设00(,)A x y ，000,0x a y ≤≤>，因为AB =，所以012y AB ==， 代入2C 的直角坐标方程得023x =，又2(,33A 在1C 上，所以2228()39a a -+=，解得1a =． 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及极坐标与直角坐标的互化，熟记公式即可，属于常考题型.23.函数()1(0)f x x x a a =+-->．（1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若不等式a x f 2)(≥的解集为空集，求a 的取值范围．【答案】（1）32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭（2）(1,)+∞ 【解析】【分析】（1）由2a =得122x x +-->，分1-≤x ，21≤<-x ，2x >三种情况讨论，即可得出结果；（2）先由a x f 2)(≥的解集为空集，得12x x a a +--<恒成立，再由绝对值不等式的性质求出1x x a +--的最大值，即可得出结果.【详解】解：（1）当2a =时，不等式()2f x >，即122x x +-->，当1-≤x 时，原不等式可化为122x x --+->，即32->，显然不成立，此时原不等式无解；当21≤<-x 时，原不等式可化为122x x ++->，解得322x <≤； 当2x >时，原不等式可化为122x x +-+>，即32>，显然成立，即2x >满足题意；综上，原不等式的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭； （2）由a x f 2)(≥的解集为空集，得12x x a a +--≥的解集为空集， 所以12x x a a +--<恒成立，因为0a >，所以()1(1)()1f x x x a x x a a =+--≤+--=+， 所以当且仅当(1)()01x x a x x a +-≥⎧⎨+≥-⎩，即x a ≥时，max ()1f x a =+， 所以12a a +<，解得1a >，即a 的取值范围是(1,)+∞．【点睛】本题主要考查含绝对值不等式，熟记分类讨论的方法以及含绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.。

福建省2020年高考文科数学模拟试题及答案（一）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1. 已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}，则A ∩∁U B ＝ A ．{4，5} B ．{1，4，5} C ．{6，7} D ．{1，6，7}2. 设复数z 满足z ＝－3＋2ii (i 是虚数单位)，则复数z 对应的点位于复平面内A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3且向量3a ＋2b 与ka －b 互相垂直，则k 的值为 A ．－32 B.32 C ．±32 D ．14．若cos ⎝⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝A.13B.223 C ．－13 D ．－2235. 下列说法中，正确的是A ．命题“若b a >，则122->ba”的否命题为“若b a >，则122-≤ba”B ．命题“存在R x ∈，使得012<++x x ”的否定是：“任意R x ∈，都有012>++x x ” C ．若命题“非p ”与命题“p 或q ”都是真命题，那么命题q 一定是真命题 D ．命题“若022=+b a ，则0=ab ”的逆命题是真命题6. 三个数6log ,7.0,67.067.0的大小顺序是A.7.07.0666log 7.0<< B.6log 67.07.07.06<<C.67.07.07.066log << D.7.067.067.06log <<7.某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为 A.56B.45C.34D.238.下图虚线网格的最小正方形边长为1，实线是某几何体的三视图，这个几何体的体积为（ ）A. 4πB. 2πC.43π D. π9. 函数y =2x sin2x 的图象可能是A. B. C. D.10.已知双曲线2222:1x y C a b -=（0,0a b >>）的焦距为4，其与抛物线2:E y x =交于,A B 两点，O 为坐标原点，若OAB ∆为正三角形，则C 的离心率为A.2B.211. 函数()f x =的定义域为M,()g x =N ，则M N ⋂＝A ．[)1,-+∞B ．11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ C ．11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭12．已知，则A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A ＝{x ∈Z|x ＜3}，B ＝{﹣2，0，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{﹣2，0，2} B ．{0，2}C ．{﹣2，2}D ．{2}2．设z =1+i1−2i，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知sin2α＝1﹣cos2α，且α∈(0，π2)，则α＝（ ）A ．π12B ．π6C ．π4D ．π34．设x ，y 满足约束条件{x +y −2≤0x −y +2≥0y ≥−1，则z ＝﹣2x +y 的最小值为（ ）A ．5B ．2C ．﹣4D ．﹣75．某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力（指标值满分为5分，分值高者为优），分别绘制了如图所示的六维能力雷达图，图中点A 表示甲的创造力指标值为4，点B 表示乙的空间能力指标值为3，则下列叙述错误的是（ ）A ．甲的六大能力中推理能力最差B ．甲的创造力优于观察能力C ．乙的计算能力优于甲的计算能力D．乙的六大能力整体水平低于甲6．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AD1的中点，F为BD的中点，下列结论正确的是（）A．EF∥C1D B．EF⊥BDC．EF∥平面BCC1B1D．EF⊥平面AB1C1Dcosωxcosφ+12sinωxsinφ(ω∈N)的图象，如图所示，那么ω的值为（）7．已知函数f(x)=12A．2B．3C．4D．58．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：将1到2020这2020个自然数中满足被3除余2且被5除余3的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列，则该数列的项数是（）A．135B．134C．59D．589．设a＝log43，b＝log54，c＝2﹣0.01，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a10．已知双曲线C：x2−y2=1(m＞0)左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与C交于A，B两m点．若△ABF1为等边三角形，则C的渐近线方程为（）A．y=±√2x B．y=±√6xC．y=±√2x或y=±√6x D．y=±√2x或y=±√3xPC，若AE+ED的最小值为2√13，11．在正四面体PABC中，点D，E分别在线段PC，PB上，PD=13则该正四面体外接球的表面积为（ ） A ．27πB ．54πC ．27√68πD ．272π12．已知曲线y ＝f （x ）与g （x ）＝ln （﹣x ﹣2）﹣x ﹣2的图象关于点（﹣1，0）对称，若直线y ＝ax 与曲线y ＝f （x ）相切，则a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1−e eD ．−e+1e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量a →=(1，2)，b →=(−3，m)，若b →=λa →，λ∈R ，则m ＝ ．14．为增强学生的劳动意识，某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的四个班级中选出，则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为 ．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin A sin B cos C ＝2sin 2C ，则a 2+b 2c = ，sin C 的最大值为 ．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AFB ≥150°，则C 的离心率的取值范围为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n =n+12a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2a n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ⋅T n+2＜T n+12． 18．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的共同努力，新冠肺炎疫情得到了有效控制．作为集中医学观察隔离点的某酒店在疫情期间，为客人提供两种速食品﹣“方便面”和“自热米饭”．为调查这两种速食品的受欢迎程度，酒店部门经理记录了连续10天这两种速食品的销售量，得到如下频数分布表（其中销售量单位：盒）：第t天12345678910方便面1039398931068687949199自热米饭8896989710199102107104112（1）根据两组数据完成下面的茎叶图（填到答题卡上）；（2）根据统计学知识，你认为哪种速食品更受欢迎，并简要说明理由；（3）求自热米饭销售量y关于天数t的线性回归方程，并预估第12天自热米饭的销售量（结果精确到整数）．参考数据：∑10i=1（t i−t）（y i−y）＝165，∑10i=1（t i−t）2=1652．附：回归直线方程y=b t+a，其中b=∑n i=1(t i−t)(y i−y)∑n i=1(t i−t)2，a=y−b t．19．在如图所示的几何体ABCDE中，DC⊥平面ABC，DE∥BC，CA＝CD，F是线段AD的中点，AE⊥CF．（1）求证：AC⊥BC；（2）若AC＝BC＝2DE＝2，求三棱锥F﹣ABE的体积．20．已知点A（﹣1，0），抛物线C：y2＝2px（p＞0）上存在一点M，使得直线AM的斜率的最大值为1，圆Q的方程为x2+y2−2x+34=0．（1）求点M的坐标和C的方程；（2）若直线l交C于D，E两点且直线MD，ME都与圆Q相切，证明直线l与圆Q相离．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+a．（1）若f（x）≤a，求a的取值范围；（2）若f（x）存在唯一的极小值点x0，求a的取值范围，并证明2a﹣1＜f（x0）＜0．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l过点（﹣2，0）且倾斜角为α．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于M，N两点．（1）求C的直角坐标方程和α的取值范围；（2）求线段MN中点H的轨迹的参数方程．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+1|﹣2|x﹣m|（m＞0），且f（x）的最大值为3．（l）求m的值；（2）若正数a，b，c满足2（a+b+c）＝m，证明：bc（l﹣a）+ac（l﹣b）+ab（l﹣c）≥6abc．参考答案一、选择题1．A ．2．C ．3．C ．4．D ．5．B ．6．D ．7．C ．8．A ．9．B ．10．A ．11．B ．12．D ． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量a →=(1，2)，b →=(−3，m)，若b →=λa →，λ∈R ，则m ＝ ﹣6 ．【分析】根据题意，由数乘向量的坐标公式可得若b →=λa →，则{−3=λ×1m =2×λ，解λ、m 的值，即可得答案．解：根据题意，向量a →=(1，2)，b →=(−3，m)，若b →=λa →，则{−3=λ×1m =2×λ，解可得λ＝﹣3，m ＝﹣6；故答案为：﹣6；14．为增强学生的劳动意识，某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的四个班级中选出，则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为35．【分析】基本事件总数n =C 62=15．选出的班级中至少有一个班级来自高一年段包含的基本事件个数m =C 22+C 21C 41=9，由此能求出选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率．解：某校组织两个班级的学生参加社区劳动，这两个班级拟从高一年段的两个班级和高二年段的四个班级中选出，基本事件总数n =C 62=15．选出的班级中至少有一个班级来自高一年段包含的基本事件个数m =C 22+C 21C 41=9，则选出的班级中至少有一个班级来自高一年段的概率为p =m n =915=35． 故答案为：35．15．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若sin A sin B cos C ＝2sin 2C ，则a 2+b 2c = 5 ，sin C 的最大值为35．【分析】利用正弦定理可得：ab cos C ＝2c 2，根据余弦定理进而可求得：a 2+b 2c 2=5，根据余弦定理，基本不等式可求cos C ≥45，当且仅当a ＝b 时等号成立，进而可求sin C 的最大值．解：∵sin A sin B cos C ＝2sin 2C ， ∴利用正弦定理可得：ab cos C ＝2c 2，又∵cos C =a 2+b 2−c 22ab，∴可得a 2+b 2−c 22=2c 2，∴整理可得：a 2+b 2c =5，∵cos C=a 2+b 2−c 22ab=a 2+b 2−a 2+b 252ab =2(a 2+b 2)5ab ≥2⋅2ab 5ab =45，当且仅当a ＝b 时等号成立， ∴sin C 的最大值为√1−cos 2C =35，当且仅当a ＝b 时等号成立，故答案为：5，35．16．已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，经过原点的直线与C 交于A ，B 两点，若∠AFB ≥150°，则C 的离心率的取值范围为 (0，√6−√24] ．【分析】设椭圆的右焦点为E ，则四边形AFBE 是平行四边形，于是把原问题转化为求∠FAE ≤30°时，离心率的取值范围；然后在△AFE 中，结合椭圆的定义、余弦定理和基本不等式列出关于离心率e 的不等式，解之即可得解．解：如图所示，设椭圆的右焦点为E ，则四边形AFBE 是平行四边形，∵∠AFB ≥150°，∴∠FAE ≤30°．由椭圆的定义可知，AE +AF ＝2a ，不妨设为m +n ＝2a ，由基本不等式的性质可知，mn ≤(m+n)24=a 2，在△AFE 中，由余弦定理知，cos ∠FAE =m 2+n 2−EF 22mn =(m+n)2−2mn−EF 22mn =4a 2−4c 22mn−1=2(a 2−c 2)mn −1≥2(a 2−c 2)a2−1=1−2e 2， ∵∠FAE ≤30°，∴cos ∠FAE ∈[√32，1)，∴1−2e 2≥√32，解得e 2≤2−√34=(√6−√24)2，∵0＜e ＜1，∴离心率e ∈(0，√6−√24]．故答案为：(0，√6−√24]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．记数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n =n+12a n． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2a n ，记数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n ⋅T n+2＜T n+12． 【分析】本题第（1）题当n ≥2时根据公式a n ＝S n ﹣S n ﹣1，代入进行计算并加以转化可得a n n=a n−1n−1(n ≥2)，从而可发现数列{a n n}是一个常数列，进而可计算出数列{a n }的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n }的通项公式，然后将通项公式进行转化可发现数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，再根据等比数列的求和公式写出T n的表达式，同时可得T n+1与T n+2的表达式，然后运用作差法代入计算可证明不等式成立．【解答】（1）解：由题意，当n＝1时，a1＝1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=n+12a n−(n−1)+12a n﹣1，则n+12a n﹣a n=n2a n﹣1，即n−12a n=n2a n﹣1，∴a nn=a n−1n−1(n≥2)，∵a11=1，∴a nn=a n−1n−1=⋯=a11=1，∴a n＝n，n∈N*．（2）证明：由（1）知，b n=2n=2•2n﹣1，故数列{b n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴T n=2(1−2n)1−2=2(2n−1)，则T n+1＝2（2n+1﹣1），T n+2＝2（2n+2﹣1），∴T n+12−T n⋅T n+2=4(2n+1−1)2−4(2n−1)(2n+2−1)＝4（22n+2﹣2n+2+1）﹣4（22n+2﹣2n﹣2n+2+1）＝4（22n+2﹣2n+2+1﹣22n+2+2n+2n+2﹣1）＝4×2n＝2n+2＞0，∴T n+12＞T n ⋅T n+2，即T n ⋅T n+2＜T n+12． 故得证．18．在党中央的正确领导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的共同努力，新冠肺炎疫情得到了有效控制．作为集中医学观察隔离点的某酒店在疫情期间，为客人提供两种速食品﹣“方便面”和“自热米饭”．为调查这两种速食品的受欢迎程度，酒店部门经理记录了连续10天这两种速食品的销售量，得到如下频数分布表（其中销售量单位：盒）： 第t 天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 方便面 103 93 98 93 106 86 87 94 91 99 自热米饭8896989710199102107104112（1）根据两组数据完成下面的茎叶图（填到答题卡上）；（2）根据统计学知识，你认为哪种速食品更受欢迎，并简要说明理由；（3）求自热米饭销售量y 关于天数t 的线性回归方程，并预估第12天自热米饭的销售量（结果精确到整数）．参考数据：∑ 10i=1（t i −t ）（y i −y ）＝165，∑ 10i=1（t i −t ）2=1652． 附：回归直线方程y =b t +a ，其中b =∑ n i=1(t i −t)(y i −y)∑ ni=1(t i −t)2，a =y −b t ．【分析】（1）利用已知条件，直接求解茎叶图．（2）解法一：由（1）中的茎叶图可知，自热米饭的销售量较方便面更高，两种速食品的销售量波动情况相当，所以认为自热米饭更受欢迎．解法二：方便面的销售量平均值，自热米饭的销售量平均值，推出结果．（3）求出样本中心，回归直线方程的斜率，然后求解截距，得到回归直线方程，然后求解预估第12天自热米饭的销售量个数．解：（1）茎叶图如下：（2）解法一：由（1）中的茎叶图可知，自热米饭的销售量较方便面更高，两种速食品的销售量波动情况相当，所以认为自热米饭更受欢迎．解法二：方便面的销售量平均值为100+3−7−2−7+6−14−13−6−9−110=95，自热米饭的销售量平均值为100+−12−4−2−3+1−1+2+7+4+1210=100.4，所以自热米饭的销售量平均值比方便面销售量平均值更高，因此认为自热米饭更受欢迎．（注：本小题只需根据统计学知识参照给分）（3）计算t=1+102=112，y=100.4，又∑10i=1(t i−t)(y i−y)=165，∑10i=1(t i−t)2=1652，∴b=∑10i=1(t i−t)(y i−y)∑12i=1(t i−t)2=1661652=2，a=y−b t=100.4−2×112=89.4．因此自热米饭销售量y关于天数t的线性回归方程为y=2t+89.4．当t＝12时，y=2×12+89.4≈113（个），所以预估第12天自热米饭的销售量为113个．19．在如图所示的几何体ABCDE中，DC⊥平面ABC，DE∥BC，CA＝CD，F是线段AD的中点，AE⊥CF．（1）求证：AC⊥BC；（2）若AC＝BC＝2DE＝2，求三棱锥F﹣ABE的体积．【分析】（1）求出CF⊥AD，AE⊥CF，从而CF⊥平面ADE，进而CF⊥DE，由DE∥BC，得CF⊥CB，由DC⊥平面ABC，DC⊥BC，从而BC⊥平面ACD，由此能证明AC⊥BC．（2）由CA⊥CD，CA⊥CB，DE∥BC，得B，C，D，E四点共面，从而CA⊥平面BDE，由此能求出三棱锥F﹣ABE的体积．解：（1）证明：∵CA＝CD，F是线段AD的中点，∴CF⊥AD．又AE⊥CF，AE∩AD＝A，∴CF⊥平面ADE，∴CF⊥DE，又DE∥BC，∴CF⊥CB，∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥BC，又∵CF∩CD＝C，∴BC⊥平面ACD，∵AC⊂平面ACD，∴AC⊥BC．（2）解：∵CA⊥CD，CA⊥CB，CD∩CB＝C，又∵DE∥BC，∴B，C，D，E四点共面，∴CA⊥平面BDE，∵AC＝BC＝2DE＝2，F为线段AD的中点∴V F−ABE =12V D−ABE =12V A−BDE =12×13S △BDE ⋅AC =16×12×1×2×2=13．20．已知点A （﹣1，0），抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）上存在一点M ，使得直线AM 的斜率的最大值为1，圆Q 的方程为x 2+y 2−2x +34=0． （1）求点M 的坐标和C 的方程；（2）若直线l 交C 于D ，E 两点且直线MD ，ME 都与圆Q 相切，证明直线l 与圆Q 相离． 【分析】（1）（法一）设M （x 0，y 0），代入抛物线方程，求出直线AM 的斜率表达式，利用基本不等式求出k AM 取得最大值1．解得p ，求出抛物线方程．法二：设M （x 0，y 0），则点M 在x 轴上方，直线AM 的方程为y ＝x +1，联立直线AM 和抛物线C 的方程并整理得x 2+（2﹣2p ）x +1＝0，利用判别式解得：p ，然后求解抛物线方程． （2）（法一）求出圆Q 的圆心为（1，0），半径为12，设过点M 的直线MA 或MB 的方程为y﹣2＝k （x ﹣1）利用点到直线的距离解得k =±√15．得到直线MD 的方程，将直线MD 方程与抛物线y 2＝4x 方程联立，设D （x 1，y 1），求出D ，E 坐标，推出l 的方程15x +15y +11＝0，判断直线l 与圆Q 相离．（法二）求出圆心Q （1，0），半径为12．设l 的方程为y ＝kx +m ．代入抛物线方程，转化求解直线MD 的斜率，直线MD 的方程式，通过MD 与圆Q 相切，转化求解D 、E 坐标，得到直线l 得方程判断圆心Q 到直线l 的距离，得到结果．解：（1）（法一）设M （x 0，y 0），则y 02=2px 0，由已知可得y 0＞0，直线AM 的斜率为k AM=y 0x 0+1=y 0y 022+1=2py 0y 02+2p =2p y 0+2p y 0≤√=√2p 2，当且仅当y 0=√2p 时，k AM 取得最大值1． ∴√2p2=1，解得p ＝2，y 0＝2，∴M （1，2），C 的方程为y 2＝4x ．法二：设M （x 0，y 0），则点M 在x 轴上方，由已知，当直线AM 的斜率为1时，直线AM 与抛物线C 相切， 此时直线AM 的方程为y ＝x +1，联立直线AM 和抛物线C 的方程并整理得x 2+（2﹣2p ）x +1＝0，∴△＝（2﹣2p ）﹣4＝0， 解得：p ＝2，且x 1＝x 2＝1， ∴M （1，2），C 的方程为y 2＝4x ．（2）（法一）圆Q 的方程可化为(x −1)2+y 2=14，圆Q 的圆心为（1，0），半径为12，设过点M 的直线MA 或MB 的方程为y ﹣2＝k （x ﹣1）， 化为kx ﹣y ﹣k +2＝0，则√k 2+1=12，解得k =±√15．不妨设直线MD 的方程为y −2=√15(x −1)， 将直线MD 与抛物线y 2＝4x 方程联立， 消去x 得√15y 2−4y +8−4√15=0． 设D （x 1，y 1），则y 1+2=4√15， ∴y 1=415−2，x 1=1915415， 同理设E （x 2，y 2），y 2+2=−15． ∴y 2=−152，x 2=191515， ∴直线l 的斜率k l =y 2−y1x 2−x 1=−1， ∴直线l 的方程为y ﹣y 1＝﹣（x ﹣x 1），即y =−x −1115，∴l 的方程15x +15y +11＝0， 此时圆心Q 到直线l 的距离d =2615√2=13√215＞12，∴直线l 与圆Q 相离．（法二）圆Q 的方程可化为(x −1)2+y 2=14．圆心Q （1，0），半径为12．由题知，直线l 的斜率必存在， 设l 的方程为y ＝kx +m ． 联立，消去x 得ky 2﹣4y +4m ＝0， 由△＝16﹣16km ＞0，得km ＜1，① 设D （x 1，y 1），E （x 2，y 2）， 则y 1+y 2=4k ，y 1y 2=4mk，②直线MD 的斜率为k MD =y 1−2y 1−1=y 1−2y 124−1=4y 1+2，直线MD 的方程式为y −2=4y 1+2(x −1)，即4x ﹣（y 1+2）y +2y 1＝0， ∵MD 与圆Q 相切，∴12122=12，∴15(y 1+2)2=16，∴y 1=−215， 由题知：D(x 1，−24√15)，E(x 2，−24√15)，或D(x 1，−24√15)，E(x 2，−24√15)，代入②得k＝﹣1，m=−11 15，∴km=1115＜1，满足①式，∴直线l得方程为y=−x−1115，即x+y+1115=0．此时圆心Q到直线l的距离d=20152=√21512．∴直线l与圆Q相离．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+a．（1）若f（x）≤a，求a的取值范围；（2）若f（x）存在唯一的极小值点x0，求a的取值范围，并证明2a﹣1＜f（x0）＜0．【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为a≥lnxx恒成立，然后研究g（x）=lnxx的单调性，求出最大值；（2）通过研究f′（x）在（0，+∞）内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确定f′（x）的零点范围及单调性，可以通过研究f″（x）的零点、符号来确定f′（x）的单调性，和特殊点（主要是能确定f′（x）符号的点）处的函数值符号，从而确定f（x）的极值点的存在性和唯一性．解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．由f（x）≤a，得a≥lnxx在x∈（0，+∞）恒成立，转化为a≥(lnxx)max，令g(x)=lnx x，则g′(x)=1−lnxx2，∴g(x)=lnxx在（0，e）单调递增，在（e，+∞）单调递减，∴g（x）的最大值为g(e)=1e，∴a≥1e．∴a的取值范围是[1e，+∞)．（2）设g （x ）＝f '（x ），则g （x ）＝lnx +1﹣2ax ，g′(x)=1x−2a ，x ＞0． ①当a ＜0时，g '（x ）＞0恒成立，g （x ）在（0，+∞）单调递增， 又g （1）＝1﹣2a ＞0，g （e 2a ﹣1）＝2a ﹣1+1﹣2ae 2a ﹣1＝2a （1﹣e 2a ﹣1）＜0 所以g （x ）存在唯一零点x 1∈（0，1）． 当x ∈（0，x 1）时，f '（x ）＝g （x ）＜0， 当x ∈（x 1，1）时，f '（x ）＝g （x ）＞0． 所以f （x ）存在唯一的极小值点x 0＝x 1．②当a ＝0时，g （x ）＝lnx +1，g （x ）在（0，+∞）单调递增，g(1e)=0，所以g （x ）在（0，+∞）有唯一零点1e．当x ∈(0，1e )时，f '（x ）＝g （x ）＜0，当x ∈(1e ，1)时，f ′（x ）＝g （x ）＞0．所以f （x ）存在唯一的极小值点x 0=1e． ③当a ＞0时，令g ′（x ）＞0，得x ∈(0，12a)； 令g ′（x ）＜0，得x ∈(12a，+∞)， ∴g （x ）在(0，12a )单调递增，在(12a，+∞)单调递减， 所以g （x ）的最大值为g(12a)=−ln(2a)， ④当0＜a ＜12时，g(1e )＜0，g （1）＝1﹣2a ＞0，g(12a)＞0，g(1a2)=−2lna +1−2a ＜−2(1−1a )+1−2a=−1＜0，由函数零点存在定理知：g（x）在区间（0，1），（1，+∞）分别有一个零点x2，x3，当x∈（0，x2）时，f'（x）＝g（x）＜0；当x∈（x2，x3）时，f'（x）＝g（x）＞0；所以f（x）存在唯一的极小值点x0＝x2，极大值点x3．⑤当a≥12时，g(12a)≤0，f'（x）＝g（x）≤0所以f（x）在（0，+∞）单调递减，无极值点．由①②④可知，当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0；所以f（x）在（0，x0）单调递减，（x0，1）单调递增．所以f（x0）＜f（1）＝0．由f′（x0）＝lnx0+1﹣2ax0＝0，得lnx0＝2ax0﹣1．所以f(x0)=x0lnx0−ax02+a=x0(2ax0−1)−ax02+a=ax02+a−x0f(x0)−(2a−1)= ax02−a−x0+1=（x0﹣1）[a（x0+1）﹣1]，因为x0∈（0，1），a∈(−∞，12 )，所以x0﹣1＜0，a(x0+1)−1＜12×2−1=0所以f（x0）﹣（2a﹣1）＞0，即f（x0）＞2a﹣1；所以2a﹣1＜f（x0）＜0．（二）选考题：共10分．请考生在第22.23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l过点（﹣2，0）且倾斜角为α．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝1，l与C交于M，N两点．（1）求C的直角坐标方程和α的取值范围；（2）求线段MN中点H的轨迹的参数方程．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用直线的垂直的充要条件的应用求出结果．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ＝1转换为直角坐标方程为x2+y2＝1．直线l过点（﹣2，0）且倾斜角为α．当α=π2时，直线显然与圆相离，不合题意，故舍去．当α≠π2时，设直线的斜率k＝tanα，则直线的方程为kx﹣y+2k＝0．由于直线与圆相交于M、N两点，所以圆心到直线的距离d=√1+k 1，解得−√33＜k＜√33．即−√33＜tanα＜√3 3，根据正切函数的图象，所以0＜α＜π6或5π6＜α＜π；当α＝0时，l与C交于M，N两点，满足题意，故：0≤α＜π6或5π6＜α＜π．（2）设点H（x，y），则由OH⊥l可知：当k1≠0时，k OH•k l＝﹣1，即yx⋅yx+2=−1，整理得（x+1）2+y2＝1．当k l ＝0时，点H 与原点重合，也满足上式． 所以点H 的轨迹方程为{x =−1+cosθy =sinθ（θ为参数，0≤θ＜π3或5π3＜θ＜2π）．一、选择题23．已知函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣m |（m ＞0），且f （x ）的最大值为3． （l ）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足2（a +b +c ）＝m ，证明：bc （l ﹣a ）+ac （l ﹣b ）+ab （l ﹣c ）≥6abc ． 【分析】（1）化简函数的解析式为分段函数的形式，求出函数的最值，即可求解m 的值． （2）利用“1”的代换，结合基本不等式转化证明不等式即可．【解答】（1）解：函数f （x ）＝|x +1|﹣2|x ﹣m |={x −2m −1，x ≤−13x −2m +1，−1＜x ≤m −x +2m +1，x ＞m，当x ＝m 时，f（x ）取得最大值m +1， 又f （x ）的最大值为3． 所以，m +1＝3，解得m ＝2．（2）证明：由（1）可知m ＝2，2（a +b +c ）＝2，即a +b +c ＝1；正数a ，b ，c ，并且1−a a+1−b b+1−c c =b+c a+a+c b+a+b c=b a+a b+a c+c a+b c+c b≥2+2+2＝6，当且仅当a ＝b ＝c =13时，取等号．所以bc （l ﹣a ）+ac （l ﹣b ）+ab （l ﹣c ）≥6abc ．。

2020年福建省龙岩市培丰中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为 A. B. C.或D.或7参考答案：C2. 已知复数（其中为虚数单位），则（）A．1 B． C． D．参考答案：B3. 若2x+2y=1，则x+y的取值范围是（）A．[0，2] B．[﹣2，0] C．[﹣2，+∞）D．（﹣∞，﹣2]参考答案：D【考点】7F：基本不等式．【分析】根据指数式的运算性质结合基本不等式可把条件转化为关于x+y的不等关系式，进而可求出x+y的取值范围．【解答】解：∵1=2x+2y≥2?（2x2y），变形为2x+y≤，即x+y≤﹣2，当且仅当x=y时取等号．则x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故选D．4. 某公司准备招聘一批员工，有20人经过初试，其中有5人是与公司所需专业不对口，其余都是对口专业，在不知道面试者专业情况下，现依次选取2人进行第二次面试，则选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】CF：几何概型．【分析】求出从经过初试的20人中任选2人的所有不同方法种数，再分类求出选到第二人与公司所需专业不对口的选法种数，利用古典概型概率计算公式得答案．【解答】解：从经过初试的20人中任选2人，共有=20×19种不同选法．第一个人面试后，则选到的第二人与公司所需专业不对口的选法分为两类：第一类、第一个人与公司专业对口的选法为；第二类、第一个人与公司专业不对口的选法为．故第一个人面试后，选到第二人与公司所需专业不对口的选法共15×5+5×4=19×5．∴选取的第二人与公司所需专业不对口的概率是．故选：C．5. 已知复数z满足，则对应点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D由题意设，由，得，，所以，在第四象限，选D。

2020年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，复数，则复数z在复平面内对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集为R，集合，则的元素个数为A. 1B. 2C. 3D. 43.已知，则A. B. C. D.4.某学生5次考试的成绩单位：分分别为85，67，m，80，93，其中，若该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，则得分的平均数不可能为A. 70B. 75C. 80D. 855.如图给出的是计算的值的一个程序框图，则图中空白框中应填入A.B.C.D.6.用单位立方块搭一个几何体，使其正视图和侧视图如图所示，则该几何体体积的最大值为A. 28B. 21C. 20D. 197.函数的图象大致为A. B.C. D.8.已知抛物线C：的焦点为F，点在C上，若直线AF与C交于另一点B，则的值是A. 12B. 10C. 9D.9.设双曲线C：的左焦点为F，直线过点F且在第二象限与C的交点为P，O为原点，若，则C的离心率为A. 5B.C.D.10.已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集为A. B.C. D.11.已知在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最小值为A. B. C. D.12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：就是其中之一如图给出下列三个结论：曲线C恰好经过6个整点即横、纵坐标均为整数的点；曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，那么电话在响前4声内被接的概率是______．14.如图，圆圆心为的一条弦AB的长为2，则______．15.我们听到的美妙弦乐，不是一个音在响，而是许多个纯音的合成，称为复合音．复合音的响度是各个纯音响度之和．琴弦在全段振动，产生频率为f的纯音的同时，其二分之一部分也在振动，振幅为全段的，频率为全段的2倍；其三分之一部分也在振动，振幅为全段的，频率为全段的3倍；其四分之一部分也在振动，振幅为全段的，频率为全段的4倍；之后部分均忽略不计．已知全段纯音响度的数学模型是函数为时间，为响度，则复合音响度数学模型的最小正周期是______．16.已知三棱锥的棱长均为6，其内有n个小球，球与三棱锥的四个面都相切，球与三棱锥的三个面和球都相切，如此类推，，球与三棱锥的三个面和球都相切，且，则球的体积等于______，球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.为数列的前n项和，已知，．Ⅰ求的通项公式；Ⅱ设，求数列的前n项和．18.如图所示的几何体中，为三棱柱，且平面ABC，，四边形ABCD为平行四边形，，．求证：平面；若，求四棱锥的体积．19.某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成．每件产品的非原料成本元与生产该产品的数量千件有关，经统计得到如下数据：x12345678y1126135282524根据以上数据，绘制了散点图．观察散点图，两个变量不具有线性相关关系，现考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合，已求得：用指数函数模型拟合的回归方程为，ln y与x的相关系数；，，，，，，其中，，2，3，，；用反比例函数模型求y关于x的回归方程；用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好精确到，并用其估计产量为10千件时每件产品的非原料成本．参考数据：，参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，，相关系数．20.椭圆的离心率是，过点做斜率为k的直线l，椭圆E与直线l交于两点，当直线l垂直于y轴时．Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ当k变化时，在x轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在求出m的取值范围，若不存在说明理由．21.已知函数，．求的最小值；证明：．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，曲线C的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．求曲线C的极坐标方程；已知点P的极坐标为，l与曲线C交于A，B两点，求．23.已知a，b，c为正数，且满足证明：；．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：因为，所以复数z在复平面内对应的点为其位于第一象限，故选：A．利用复数的运算法则、几何意义即可得出．本题考查了复数的运算、复数的几何意义等基本知识．2.答案：C解析：解：由题意可得，，或1，，共有3个元素．故选：C．根据集合的基本运算即可求，进而可求．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3.答案：B解析：【分析】本题考查了指数函数和对数函数的单调性运用，属基础题．由指数函数和对数函数的单调性易得，，，从而得出a，b，c的大小关系．【解答】解：，，，，，故选B．4.答案：D解析：【解答】解：某学生5次考试的成绩单位：分分别为85，67，m，80，93，其中，该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，，得分的平均数：，得分的平均数不可能为85．故选D．【分析】由该学生在这5次考试中成绩的中位数为80，得到，由此能求出得分的平均数不大于81．本题考查实数值的判断，考查中位数、平均数等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：D解析：解：该程序的功能是计算的值，即计算数列的和，由于其通项公式为，由程序框图可知执行框中应该填的语句是：．故选：D．由已知中该程序的功能是计算的值，结合等差数列的通项公式即可求解．算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：分支的条件循环的条件变量的赋值变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．6.答案：D解析：解：由题意可知几何体体积的最大值是底面有16个小正方体组成，另外有3个小正方体组成，体积的最大值为如图：故选：D．直接利用三视图，判断几何体的形状，推出几何体的体积的最大值即可．本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，是中档题．7.答案：A解析：解：因为，所以是偶函数，排除C和D．当时，，，令，得；令，得．所以在处取得极小值，排除B，故选：A．利用函数的奇偶性可排除CD，利用导数研究可知当时，其在处取得极小值，可排除B，由此得解．本题考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．8.答案：C解析：解：由抛物线的定义，得，，解得，所以C的方程为．得，因为在C上，所以，解得故直线AF的方程为，由消去y，得，解得，，由抛物线的定义，得故，故选：C．由抛物线的定义，解得p，然后求解抛物线方程，在C上，求出a，求出直线AF的方程，联立抛物线方程由韦达定理，求出AB．本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．9.答案：A解析：【分析】本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．由题设知是以FN为斜边的直角三角形，，在中，，可得，，由此能求出双曲线的离心率．【解答】解：如图，设双曲线C：的右焦点为N．，则是以FN为斜边的直角三角形，直线过点F，，在中，，．，，则，，则C的离心率为，故选A．10.答案：B解析：解：令，则，可设，，，所以，解不等式，即，所以，解得，所以不等式的解集为，故选：B．用已知条件构造新函数，对求导变成一元二次函数，然后解不等式即可．本题考查新函数的构造和导数的综合应用，属于中档题．11.答案：A解析：解：因为，所以，即，又因为，所以，所以，，当且仅当，即，取“”．故选：A．因为，由正弦定理得，又因为，所以，所以，化简得由基本不等式即可得出答案．本题考查正弦定理，基本不等式，属于中档题．12.答案：C解析：【分析】本题考查了方程与曲线，属中档题．将x换成方程不变，所以图形关于y轴对称，根据对称性讨论y轴右边的图形可得．【解答】解：将x换成方程不变，所以图形关于y轴对称，当时，代入得，，即曲线经过，，当时，方程变为，所以由，解得，所以x只能取整数1，当时，，解得或，即曲线经过，，根据对称性可得曲线还经过，，故曲线一共经过6个整点，故正确，当时，由得，当时取等，，，即曲线C上y轴右边的点到原点的距离不超过，根据对称性可得：曲线C上任意一点到原点的距离都不超过，故正确，在x轴上方图形面积大于矩形面积，x轴下方的面积大于等腰直角三角形的面积，因此曲线C所围成的“心形”区域的面积大于，故错误，故选C．13.答案：解析：解：某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为，响第二声时被接的概率为，响第三声时被接的概率为，响第四声时被接的概率为，那么电话在响前4声内被接的概率是．故答案为：．利用互斥事件概率加法公式能求出电话在响前4声内被接的概率．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.答案：2解析：解：过点C作于D，则D为AB的中点．中，，可得．故答案为：2过点C作于D，可得，中利用三角函数的定义算出，再由向量数量积的公式加以计算，可得的值．本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．15.答案：解析：解：由题意可知复合音响度的数学模型为：，为该函数的最小正周期，故答案为：．求出复合音响度的数学模型函数，从而得出最小正周期．本题考查了函数解析式，函数周期计算，属于基础题．16.答案：解析：解：如图，设球半径为，，球的半径为，E为CD中点，球与平面ACD、BCD 切于F、G，球与平面ACD切于H，作截面ABE，设正四面体的棱长为a，由平面几何知识可得，解得，同时，解得，把代入的，，由平面几何知识可得数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，故球的体积；球的表面积，故答案为；利用平面几何知识，数形结合推出这些球的半径满足数列是以为首项，公比为的等比数列，代入计算即可本题考查了正四面体，球体积性质及其表面积，考查信息提取能力，逻辑推理能力，空间想象能力，计算能力，属于中档偏难题．17.答案：解：Ⅰ，，时，，相减可得：，化为：，，，即，又，，解得．数列是等差数列，首项为3，公差为2．．Ⅱ，数列的前n项和为．解析：本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．Ⅰ，，时，，，相减可得，，利用等差数列的通项公式可得．Ⅱ，利用裂项求和方法即可得出．18.答案：解：证明：四边形ABCD为平行四边形，，．，，几何体中，为三棱柱，且平面ABC，，，平面．解：连结，平面，，平面，四棱锥的体积：．解析：推导出，，由此能证明平面．连结，则平面，四棱锥的体积：，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：令，则可转化为，因为，所以，则，所以，所以y关于x的回归方程为；与的相关系数为：，因为，所以用反比例函数模型拟合效果更好，把代入回归方程：元，所以当产量为10千件时，每件产品的非原料成本估计为21元．解析：令，则可转化为，求出样本中心，回归直线方程的斜率，转化求解回归方程即可．求出y与的相关系数，通过，说明用反比例函数模型拟合效果更好，然后求解当产量为10千件时，每件产品的非原料成本估计值．本题考查回归方程的求法，换元法的应用，相关系数的应用，是基本知识的考查，基础题．20.答案：解：Ⅰ由已知椭圆过点，可得，解得，所以椭圆的E方程为．Ⅱ设，，AB的中点，由消去y得，所以．当时，设过点C且与l垂直的直线方程，将代入得：，若，则，若，则，所以或，当时，，综上所述，存在点M满足条件，m取值范围是．解析：Ⅰ根据可得，求出a，b，c即可求椭圆的方程；Ⅱ设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，转化为一元二次方程，利用根与系数之间的关系进行求解．本题主要考查椭圆方程的求解以及直线和椭圆的位置关系的应用，利用设而不求的数学思想是解决本题的关键．21.答案：解：，令，得，故在区间上，的唯一零点是，当时，，单调递减；当时，，单调递增，故在区间上，的极小值为，当时，，的最小值为；要证时，，即证时，，，令，，则，即是上的增函数，，即，，，即是上的增函数，，故当时，，即得证．解析：求导可知时单减，时单增，进而求得最小值；即证时，，利用导数容易得证．本题考查利用导数研究函数的最值及证明不等式，考查推理论证及运算能力，属于中档题．22.答案：解：曲线C的普通方程为，整理得，所以，即，所以曲线C的极坐标方程为．将直线l的参数方程代入到中，得设A，B两点对应的参数分别为，，则，，因为点P的极坐标为，所以点P的直角坐标为，所以．．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：证明：由条件，得，由二元基本不等式可得，，，等号成立当且仅当，将上述三个不等式相加，得，；由条件，得，由三元基本不等式得等号成立当且仅当，从而得证．解析：作差后通分，应用二元基本不等式的性质证明；作差后通分，应用三元基本不等式的性质证明．本题考查不等式的证明，训练了作差法及基本不等式性质的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．。

2020年福建省龙岩市高考数学模拟试卷（一）（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.集合A={x|x≥1}，B={x|2x-3＞0}，则A∪B=（）A. [0，+∞）B. [1，+∞）C. （1.5，+∞）D. [0，1.5）2.在复平面内，复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.双曲线=1的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±2x4.在等差数列{a n}中，a1+a5+a7+a9+a13=100，a6-a2=12，则a1=（）A. 1B. 2C. 3D. 45.如图是某学校研究性课题《如何促进同学们进行垃圾分类》问题的统计图（每个受访者都只能在问卷的个活动中选择一个），则下列结论错误的是（）A. 回答该问卷的总人数不可能是个B. 回答该问卷的受访者中，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多C. 回答该问卷的受访者中，选择“学校团委会宣传”的人数最少D. 回答该问卷的受访者中，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少个6.若a＞1，则“a x＞a y”是“log a x＞log a y”的（）A. 必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图，图中的曲线为半圆弧或圆，则该几何体的体积是（）A.B.C.D. 25π8.函数f（x）=sin2x+sin x cosx+，则下列结论正确的是（）A. f（x）的最大值为1B. f（x）的最小正周期为2πC. y=f（x）的图象关于直线x=对称D. y=f（x）的图象关于点（，0）对称9.若正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为，AB=1，则直线AB1与CD1所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.函数f（x）=，若f（2x-2）≥f（x2-x+2），则实数x的取值范围是（）A. [-2，-1]B. [1，+∞）C. RD. （-∞，-2]∪[1，+∞）11.《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院．该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上，甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作．若他们采用抽签的方式宋人扑枣图轴来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（）A. B. C. D. ．12.若直线y=a分别与直线y=2x-3，曲线y=e x-x（x≥0）交于点A，B，则|AB|的最小值为（）A. 6-3ln3B. 3-ln3C. eD. 0.5e二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.向量，满足•=-1，•（2-）=3，则||=______．14.若x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是______．15.若数列{a n}满足a1=1，a n+1-a n-1=2n，则a n=______．16.F为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，直线y=kx（k＞0）与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若|FM|≤|FN|，|MN|=2，则C的离心率的最大值是______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b sin A cos C+c sin A cos B=．（1）求sin A；（2）若a=3，b=4，求c．18.如图1，菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，M是AD的中点，以BM为折痕，将△ABM折起，使点A到达点A1的位置，且平面A1BM⊥平面BCDM，如图2，（1）求证：A1M⊥BD；（2）若K为A1C的中点，求四面体MA1BK的体积．19.某手机厂商在销售200万台某型号手机时开展“手机碎屏险”活动、活动规则如下：用户购买该型号手机时可选购“手机碎屏险”，保费为x元，若在购机后一年内发生碎屏可免费更换一次屏幕．该手机厂商将在这200万台该型号手机全部销售完毕一年后，在购买碎屏险且购机后一年内未发生碎屏的用户中随机抽取1000名，每名用户赠送1000元的红包，为了合理确定保费x的值，该手机厂商进行了问卷调查，统计后得到下表（其中y表示保费为x元时愿意购买该“手机碎屏险”的用户比例）；（1）根据上面的数据求出y关于x的回归直线方程；（2）通过大数据分析，在使用该型号手机的用户中，购机后一年内发生碎屏的比例为0.2%．已知更换一次该型号手机屏幕的费用为2000元，若该手机厂商要求在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润不少于70万元，能否把保费x定为5元？x1020304050y0.790.590.380.230.01参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计分别为=，=，参考数据：中x的5个值从左到右分别记为x1，x2，x3，x4，x5，相应的y值分别记为y1，y2，y3，y4，y5，经计算有（x i-）（y i-）=-19.2，其中=，=．20.离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点与抛物线E：y2=2px（p＞0）的焦点F重合，且点F到E的准线的距离为2．（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于M，N两点，与E交于A，B两点，且•=-4（O为原点），求△MNF面积的最大值．21.函数f（x）=-a（x-ln x），（1）若a=e，求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．22.在直角坐标系x0y中，曲线C1的参数方程为（（φ为参数，且0.5π≤φ≤1.5π，a＞0），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2=，（1）求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）若C1与C的交点为A，B，且|AB|=，求a．23.函数f（x）=|x+1|-|x-a|（a＞0）．（1）当a=2时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若不等式f（x）≥2a的解集为空集，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵集合A={x|x≥1}，B={x|2x-3＞0}={x|x＞}，∴A∪B={x|x≥1}=[1，+∞）．故选：B．先分别求出集合A和B，由此能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：A解析：解：∵=，∴复数对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：C解析：解：双曲线=1，可得a=，b=，所以双曲线=1的渐近线方程为：y=．故选：C．直接利用双曲线方程，求解渐近线方程即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基本知识的考查．4.答案：B解析：解：∵a1+a5+a7+a9+a13=100，∴5a7=100，∴a7=20，∵a6-a2=12，∴4d=12，∴d=3，∴a7=a1+6d=20，∴a1=2，故选：B．先根据等差数列的性质可得a7=20，再根据a6-a2=12求出公差，即可求出首项．本题考查等差数列的定义和性质，考查了运算求解能力，属于基础题．5.答案：D解析：【分析】本题考查了对图表数据的分析处理能力及简单的合情推理，属中档题．先对图表数据分析处理，再结合简单的合情推理逐一检验即可得解．【解答】解：对于选项A，若回答该问卷的总人数不可能是100个，则选择③④⑤的同学人数不为整数，故A正确，对于选项B，由统计图可知，选择“设置分类明确的垃圾桶”的人数最多，故B正确，对于选项C，由统计图可知，选择“学校团委会宣传”的人数最少，故C正确，对于选项D，由统计图可知，选择“公益广告”的人数比选择“学校要求”的少8%，故D错误，故选：D．6.答案：A解析：解：若a＞1，则“a x＞a y”整理得：x＞y成立，若a＞1，则“log a x＞log a y”，整理得：x＞y＞0，所以：由x＞y＞0，整理得x＞y，但x＞y，不一定x＞y＞0，所以：a＞1，则“a x＞a y”是“log a x＞log a y”的必要不充分条件．故选：A．直接利用指数不等式和对数不等式的应用和四种条件的应用求出结果．本题考查的知识要点：指数不等式和对数不等式的解法的应用，四种条件的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.答案：C解析：解：由三视图可知几何体下部为半球，上部为大圆柱中挖去一个小圆柱．由三视图可知半球的半径为2，大圆柱的底面半径为2，高为3，小圆柱的底面半径为1，高为3，故几何体的体积为+π×22×3-π×12×3=．故选：C．由三视图可知几何体下部为半球，上部为大圆柱中挖去一个小圆柱．本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于中档题．8.答案：C解析：解：函数f（x）=sin2x+sin x cosx+，=，=，所以：①函数的最小正周期为π，②函数的最大值为2，最小值为0，③当x=时，f（）=1，函数的图象关于（）对称，④当x=，整理得：f（）=2．所以：函数的图象关于对称．故选：C．首先把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．9.答案：C解析：解：∵正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为，AB=1，∴AA1=，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），B1（1，1，），C（0，1，0），D1（0，0，），=（0，1，），=（0，-1，），设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°．故选：C．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB1与CD1所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．10.答案：D解析：解：函数f（x）=，画出函数f（x）的图象知，f（x）关于x=1对称，且在[1，+∞）上是单调减函数；∵f（2x-2）≥f（x2-x+2），且x2-x+2=+＞1恒成立，∴|2x-2-1|≤x2-x+2-1，即|2x-3|≤x2-x+1，当x≥时，不等式化为：2x-3≤x2-x+1，即x2-3x+4≥0，解得x∈R，即x≥；当x＜时，不等式化为：3-2x≤x2-x+1，即x2+x-2≥0，解得x≤-2或x≥1，即x≤-2或1≤x ＜；综上，f（2x-2）≥f（x2-x+2）时，实数x的取值范围是（-∞，-2]∪[1，+∞）．故选：D．判断函数单调性和对称性，根据对称性和单调性得出2x-2和x2-x+2距离对称轴的远近关系，列不等式求出解集．本题考查了函数对称性判断与应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．11.答案：B解析：解：依题意，基本事件的总数为=24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，①若甲模仿“扶”，则A包含1=6个基本事件；②若甲模仿“捡”或“顶”则A包含2×=8个基本事件，综上A包含6+8=14个基本事件，所以P（A）==，故选：B．依题意，基本事件的总数为=24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件A包含1+2×=14个基本事件，故P（A）可求．本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．12.答案：B解析：解：作出两个曲线的图象如图，设A（x1，a），B=（x2，a），则x1＞x2，则2x1-3=e-x2，即x1=（e-x2+3），则|AB|=x1-x2=（e-x2+3）-x2=（-3x2+e+3），设f（x）=（e x-3x+3），x≥0，函数的导数f′（x）=（-3+e x），由f′（x）＞0得x＞ln3，f（x）为增函数，由f′（x）＜0得0≤x＜ln3，f（x）为减函数，即当x=ln3时，f（x）取得最小值，最小值为f（ln3）=（3+3-3ln3）=3-ln3，故选：B．设A（x1，a），B=（x2，a），建立方程关系用x1表示x2，则|AB|=x1-x2，构造函数求函数的导数，研究函数的最值即可．本题主要考查函数与方程的应用，设出坐标，利用两点间的距离公式，构造函数，求函数的导数，利用导数求函数的最值是解决本题的关键．13.答案：1解析：解：向量，满足•=-1，•（2-）=3，可得2-=3，，即||=1．故答案为：1．直接利用向量的数量积，化简求解即可．本题考查向量的数量积的应用．考查转化思想以及计算能力．14.答案：11解析：解：由x，y满足约束条件，作出可行域如图，联立，解得B（1，5），化目标函数z=x+2y，由图可知，当直线z=x+2y过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：11．故答案为：11．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合的得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．15.答案：2n+n-2解析：解：数列{a n}满足a1=1，a n+1-a n-1=2n，可得a2-a1=21+1，a3-a2=22+1，a4-a3=23+1，…a n-a n-1=2n-1+1，累加可得a n=2+22+23+…+2n+n=+n=2n+n-2．故答案为：2n+n-2．利用数列的递推关系式以及数列求和，转化求解即可．本题考查数列的求和，递推关系式的应用，考查计算能力．16.答案：解析：【分析】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．由题意画出图形，可得四边形MFNF′为矩形，且|FN|=|MF′|，由已知结合椭圆定义得关于a，c的不等式，则答案可求．【解答】解：如图，设椭圆右焦点为F′，由|MN|=2=2c，可知|MN|=|FF′|，则四边形MFNF′为矩形，且|FN|=|MF′|，则|MF|+|MF′|=2a，|MF|2+|MF′|2=4c2，解得|MF|=a+，|MF′|=a-，由|FM|≤|FN|，得，整理得：，即0,∴C的离心率的最大值是．故答案为：．17.答案：（本题满分为12分）解：（1）∵b sin A cos C+c sin A cos B=，∴由正弦定理可得：sin B sin A cos C+sin C sin A cos B=sin A，…2分∵sin A≠0，∴sin B cos C+sin C cos B=，…3分∴sin（B+C）=，…5分∴sin A=sin（B+C）=…6分（2）∵△ABC为锐角三角形，A为锐角，sin A=，∴cos A=，…8分∵a=3，b=4，由余弦定理可得：（3）2=42+c2-2×，…10分∴c2-2c-2=0，又∵c＞0，∴c=…12分解析：（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理结合sin A≠0，可求sin A的值．（2）利用同角三角函数基本关系式可求cos A的值，根据余弦定理可得c2-2c-2=0，即可解得c的值．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，诱导公式，三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.答案：（1）证明：在图1中，∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，M是AD的中点，∴AD⊥BM，故在图2中，BM⊥A1M，∵平面A1BM⊥平面BCDM，平面A1BM∩平面BCDM=BM，∴A1M⊥平面BCDM，又BD⊂平面BCDM，∴A1M⊥BD．（2）解：在图1中，∵ABCD是菱形，AD⊥BM，AD∥BC，∴BM⊥BC，且BM=，在图2中，连接CM，则V=S△BCM•A1M==，∵K是A1C的中点，∴V=V=V=V=．解析：（1）在图1中证明BM⊥AD，在图2中根据面面垂直的性质即可得出A1M⊥平面BCDM，故而结论出来；（2）计算V，则V=V=V=V．本题考查了面面垂直的性质，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题．19.答案：解：（1）由已知得，，，∴，．∴y关于x的回归方程为y=-0.0192x+0.976；（2）能把保费x定为5元．理由如下：若保费x定为5元，则估计y=-0.0192×5+0.976=0.88．估计该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润为2000000×0.88×5-2000000×0.88×0.2%×2000-1000×1000=0.76×106（元）=76（万元）＞70（万元）．∴把保费x定为5元．解析：（1）由已知表格中的数据求得，可得线性回归方程；（2）求出保费x定为5元该手机厂商在这次活动中因销售该“手机碎屏险”产生的利润，与70万元比较得答案．本题考查回归方程的求法，考查计算能力，是中档题．20.答案：解：（1）因为点F到E的准线的距离为2，则p=2，F（1，0）由，解得a=2，b=，∴C的方程为+=1，（2）由（1）可知抛物线E的方程为y2=4x，要使直线l与抛物线E交于两点，则直线l的斜率不为0，可设l的方程为x=my+n，由可得y2-4my-4n=0，∴△=（-4m）2+16n＞0，可得m2+n＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=4m，y1y2=-4n，∴x1x2===n2，∵•=-4，∴x1x2+y1y2=-4，即n2-4n=4，解得n=2，故直线l的方程为x=my+2，∴直线l过椭圆C的右顶点（2，0），不妨设M（2，0），N（x3，y3），则-≤y3≤，且y3≠0，∴△MNF面积S=|MF|•|y3|≤故△MNF面积的最大值为．解析：（1）由题意可得由，解得a=2，b=，即可求出椭圆的方程，（2）根据韦达定理，向量的运算可得故直线l的方程为x=my+2，再表示出三角形的面积，即可求出△MNF面积的最大值．本题考查椭圆和抛物线的方程与性质，考查直线与抛物线的位置关系，面积的运算，转化思想是关键，属于中档题．21.答案：解：（1）f′（x）=，（x∈（0，+∞））．a=e时，f′（x）=．令g（x）=e x-ex，g′（x）=e x-e，可得x=1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）=0．∴g（x）≥g（1）=0．∴x∈（0，1）时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增．（2）由（1）可知：e x≥ex，∴x＞0时，ln e x≥ln ex，可得：x-ln x≥1＞0．∴当a≤e时，f（x）=-a（x-ln x）≥-e（x-ln x），令h（x）=-e（x-ln x），由（1）可知：h（x）≥h（1）=0．∴f（x）≥0，满足题意．当a＞e时，f（1）=e-a＜0，不满足题意，舍去．综上可得：a的取值范围是（-∞，e]．解析：（1）f′（x）=，（x∈（0，+∞））．a=e时，f′（x）=．令g（x）=e x-ex，利用导数研究其单调性可得g（x）≥g（1）=0．即可得出函数f（x）单调性．（2）由（1）可知：e x≥ex，可得x＞0时，ln e x≥ln ex，可得：x-ln x≥1＞0．当a≤e时，f （x）=-a（x-ln x）≥-e（x-ln x），令h（x）=-e（x-ln x），利用导数研究其单调性即可得出．当a＞e时，f（1）=e-a＜0，不满足题意，舍去．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、放缩法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.答案：解：（1）利用sin2φ+cos2φ=1消去参数φ，得C1的普通方程为（x-a）2+y2=a2（0≤x≤a），由ρ2=得ρ2+3ρ2sin2θ=4，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入上式并整理得C2的直角坐标方程为：+y2=1．（2）根据对称性知，A和B关于x轴对称，不妨设A（x0，y0），0≤x0≤a，y0＞0，因为|AB|=，所以y0=|AB|=，代入C2的直角坐标方程得x0=，又A（，）在C1上，所以（-a）2+=a2，解得a=1．解析：（1）利用sin2φ+cos2φ=1消去参数φ，得C1的普通方程为（x-a）2+y2=a2（0≤x≤a），由ρ2=得ρ2+3ρ2sin2θ=4，将ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入上式并整理得C2的直角坐标方程为：+y2=1（2）根据对称性知，A和B关于x轴对称，再根据|AB|可得A的纵坐标后，代入C2的直角坐标可得A的横坐标，从而可得A的坐标，再代入C1可解得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）当a=2时，不等式f（x）＞2，即|x+1|-|x-2|＞2，当x≤-1时，原不等式可化为-x-1+x-2＞2，即-3＞2，此时原不等式无解；当-1＜x≤2时，原不等式可化为x+1+x-2＞2，解得＜x≤2；当x＞2时，原不等式可化为x+1-x+2＞2，解得x＞2，综上，原不等式的解集为{x|x＞}；（2）由f（x）≥2a的解集为空集得|x+1|-|x-a|≥2a的解集为空集，所以|x+1|-|x-a|＜2a恒成立，因为a＞0，所以f（x）=|x+1|-|x-a|≤|（x+1）-（x-a）|=a+1，所以当且仅当，即x≥a时，[f（x）]max=a+1，所以a+1＜2a，解得a＞1，即a的取值范围是（1，+∞）．解析：本题考查了绝对值不等式的解法，属于中档题．（1）根据零点分段法去绝对值解不等式可得；（2）由f（x）≥2a的解集为空集得|x+1|-|x-a|≥2a的解集为空集，所以|x+1|-|x-a|＜2a恒成立，再根据绝对值不等式的性质求得最大值，代入可解得．。

福建省龙岩市茶地中学2020年高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. “”是“且”的（）A．必要非充分条件 B．充分非必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A2. 已知函数的导数为，且满足关系式，则的值等于（）A． B．2 C．D．参考答案：C．试题分析：因为，所以，所以，解之得．故应选C．考点：导数的概念及其计算．3. 已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，且a=1，b=，tanC=1，则△ABC外接圆面积为（）A．πB．πC．πD．π参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由 tanC=1，根据同角三角函数的基本关系可得cosC和sinC的值，由余弦定理可求c，由正弦定理可得外接圆的半径，利用圆的面积公式即可计算得解．【解答】解：∵tanC=1，a=1，b=，∴cosC==，sinC==，∴由余弦定理可得：c==1，∴由正弦定理可得2R===，∴△ABC外接圆面积S=πR2=π×（）2=．故选：A．【点评】本题考查正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，求出sinC是解题的关键，考查了转化思想，属于基础题．4. 已知边长为2的等边三角形ABC，D为BC的中点，以AD为折痕，将△ABC折起，使，则过A，B，C，D四点的球的表面积为A. 3πB. 4πC. 5πD. 6π参考答案：C折后的图形可放到一个长方体中，其体对角线长为，故其外接球的半径为，其表面积为.故选C.5. 已知函数时有极大值，且为奇函数，则的一组可能值依次为( )（A）（B）（C）（D）参考答案：略6. 在平行四边形ABCD中，，AD＝2AB，若P是平面ABCD内一点，且满足（），则当点P在以A为圆心，为半径的圆上时，实数应满足关系式为（）A．B．C．D．参考答案：D略7. “∥”是“存在唯一实数λ，使得=λ”的（）B略8. 在区间上任取三个数、、，若点在空间直角坐标系中的坐标为，则的概率是A．B． C．D．参考答案：C9. 函数f（x）=sin（ωx+φ）（其中|φ|＜）的图象如图所示，为了得到y=sinωx的图象，只需把y=f（x）的图象上所有点( )个单位长度．A．向右平移B．向右平移C．向左平移D．向左平移参考答案：A考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：首先利用函数的图象求出周期，进一步利用函数周期公式求出ω，利用在x=函数的值求出Φ的值，最后通过平移变换求出答案．解答：解：根据函数的图象：求得：T=π进一步利用：当x=|φ|＜所以：φ=即函数f（x）=要得到f（x）=sin2x的图象只需将函数f（x）=向右平移个单位即可．故选：A点评：本题考查的知识点：利用函数的图象求函数的解析式，主要确定A、ω、Φ的值，函数图象的平移变换问题．10. 对一名学生数学成绩统计了8次，第i次统计得到的数据为a i，具体如下表所示：在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：C【考点】程序框图．【专题】计算题；算法和程序框图．【分析】由题意及程序框图知，该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，由公式结合题设中的数据计算出方差，选出正确选项．【解答】解：该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数==104，故其方差[（100﹣104）2+（101﹣104）2+（103﹣104）2+（103﹣104）2+（104﹣104）2+（106﹣104）2+（107﹣104）2+（108﹣104）2]=7，输出的S的值为7．故选C【点评】本题考查循环结构，理解题意，由框图得出本题所研究问题的算法是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数在处有极值为10，则b的值为______。

2025届福建省龙岩市一级达标校高考数学五模试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ，y 满足约束条件020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为A ．1B ．2C ．3D ．42．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（ ）A ．122π-B ．21π-C ．22π-D ．24π-3．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点（ ） A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向右平移12π个单位长度4．已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A B 、两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ） A 32 B 23C 30D 55．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若2||2PF =，则12F PF ∠的大小为（ ）A ．150︒B ．135︒C ．120︒D ．90︒6．函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的部分图像如图所示，若5AB =，点A 的坐标为(1,2)-，若将函数()f x 向右平移(0)m m >个单位后函数图像关于y 轴对称，则m 的最小值为（ ）A ．12B ．1C ．3π D ．2π 7．关于函数11()4sin 4cos 2323f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有下述三个结论：①函数()f x 的一个周期为2π； ②函数()f x 在423,ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增； ③函数()f x 的值域为[4,42]. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．②C ．②③D ．③8．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离9．52mx x ⎫+⎪⎭的展开式中5x 的系数是-10，则实数m =( )A ．2B ．1C ．-1D ．-210．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．11．记等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S .若1040S =，65a =，则（ ） A ．3d =B ．1012a =C ．20280S =D ．14a =-12．若θ是第二象限角且sin θ =1213，则tan()4πθ+= A ．177-B ．717- C ．177D ．717二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年福建省龙岩市古城中学高三数学文测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数y＝tan的单调增区间是()A.，k∈ZB.，k∈ZC.，k∈ZD.，k∈Z参考答案：A2. 已知数列{a n}是等差数列，m，p，q为正整数，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：A3. 设函数f（x）＝（sinx－cosx）（0≤x≤2011π），则函数f（x）的各极大值之和为（A）（B）（C）（D）参考答案：D略4. 已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕，将折成直二面角，则过，，，四点的球的表面积为（）A．3πB．4πC．5πD．6π参考答案：C5. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2+bc，则角A等于（）A．B．C．D．参考答案：A6. 某流程如图所示,现输入如下四个函数,则可以输出的函数是A.f(x)=x2B.C.f(x)=ln x+2x-6 D.f(x)=sin x参考答案：D略7. 在中，分别是三内角的对边，且，则角等于( )A． B． C．D．参考答案：B略8. （5分）（2014?黄山一模）已知e是自然对数的底数，函数f（x）=e x+x﹣2的零点为a，函数g（x）=lnx+x﹣2的零点为b，则下列不等式中成立的是（）A9. 将函数y=sin(2x+)的图象经过怎样的平移后所得图象关于点（，0）中心对称（）A．向右平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向左平移参考答案：Ａ10. 已知空间四边形ABCD，满足||=3，||=7，||=11，||=9，则?的值（）A．﹣1 B．0 C．D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，代入=，同样方法，代入，，进一步化简即可求出的值．【解答】解：如图，========0．故选B．【点评】考查向量加法和减法的几何意义，向量的数量积的运算．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 方程实数解的个数为。