「精品」高中数学奥林匹克竞赛训练题(202)(无答案)

高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 0B. -8C. -6D. 12. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_3 \)的值。

A. 7B. 9C. 11D. 133. 若圆\( (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25 \)与直线\( 2x + 3y - 6 = 0 \)相切，求圆心到直线的距离。

A. 5B. 10C. 15D. 204. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C的度数分别为40°、60°和80°，求\( \sin B \)的值。

A. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)B. \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)C. \(\frac{\sqrt{3}}{3}\)D. \(\frac{1}{2}\)二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{5}{6} \)，\( a \)和\( b \)为正整数，求\( a + b \)的值。

6. 已知等差数列\( \{c_n\} \)的首项为2，公差为3，求第10项\( c_{10} \)的值。

7. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(2) \)的值。

8. 若正六边形的边长为1，求其外接圆的半径。

三、解答题（每题15分，共60分）9. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。

10. 解不等式：\( |x-2| + |x+3| > 8 \)。

11. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

数学奥林匹克高中训练题（一）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题22)集合111{|log 2,}23nn n N -<<-∈的真子集的个数是(A)． (A) 7 (B)8 (C)31 (D)322．(训练题22)从1到9这九个自然数中任取两个，分别作为对数的真数和底数，共得不同的对数值(B)．(A) 52个 (B) 53个 (C) 57个 (D) 72个3．(训练题22)空间有四张不同的平面，则这四张平面可能形成的交线条数取值的集合是(C)．(A){1,2,3,4,5,6} (B) {0,1,2,3,4,5,6} (C) {0,1,3,4,5,6} (D) {0,1,2,3,5,6}4．(训练题22) 函数(),()y f x y g x ==的定义域及值域都是R ，且都存在反函数，则11((()))y f g f x --=的反函数是(B)．(A)1((()))y f g f x -= (B) 1((()))y f g f x -= (C) 11((()))y f g f x --= (D) 11((()))y f g f x --=5．(训练题22) 若cos 40sin 40o o ω=+,则1239239ωωωω-++++等于(D)． (A)1cos 2018o (B) 1sin 409o (C) 1cos 409o (D) 2sin 209o 6．(训练题22) 当01x <<时，222sin sin sin ,(),x x x x x x的大小关系是(B)． (A) 222sin sin sin ()x x x x x x << (B) 222sin sin sin ()x x x x x x << (C) 222sin sin sin ()x x x x x x << (D) 222sin sin sin ()x x x x x x<< 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题22) 已知211(),()5,()2f x x g x x g x -==-+表示)(x g 的反函数，设11()(())(())F x f g x g f x --=-．则()F x 的最小值是 703． 2．(训练题22) 在1000和9999之间由四个不同数字组成，且个位数字与千位数字之差的绝对值是2的整数共有 840 个．3．(训练题22) 四面体P ABC -中，,8,6,9,120o PC ABC AB BC PC ABC ⊥===∠=面，则二面角B AP C --的余弦值是 ． 4．(训练题22) 设{}P =不少于3的自然数，在P 上定义函数f 如下：若,()n P f n ∈表示不是n 的约数的最小自然数，则(360360)f = 16 ．5．(训练题22)n 为不超过1996的正整数，如果有一个θ，使(sin cos )sin cos ni n i n θθθθ+=+成立，则满足上述条件的n 值共有 498 个．6．(训练题22)在自然数列中由1开始依次按如下规则将某些数染成红色．先染1；再染两个偶数2,4；再染4后最邻近的三个连续奇数5，7，9；再染9后最邻近的四个连续偶数10，12，14，16；再染此后最邻近的五个连续奇数17，19，21，23，25，按此规则一直染下去，得一红色子列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，则红色子列中由1开始数起的第1996个数是 3929 ． 第二试一、(训练题22)(本题满分25分) 点M 是正三角形内一点，证明：由线段,MA MB 和MC 为边组成的三角形面积不超过原正三角形面积的13． 二、(训练题22)(本题满分25分) 若21x y +≥，试求函数2224u y y x x =-++的最小值．95- 三、(训练题22)(本题满分35分) 证明：从任意四个正整数中一定可以选出两个数x 和y ，使得如下不等式成立0212x y x y xy-≤<+++． 四、(训练题22)(本题满分35分)连结圆周上九个不同点的36条弦要么染成红色，要么染成蓝色，我们称它们为“红边”或“蓝边”，假定由这九个点中每三个点为顶点的三角形中都含有“红边”，证明：这九个点中存在四个点，两两连结的六条边都是红边．数学奥林匹克高中训练题（二）第一试一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1．(训练题23)119963+除以19971996⨯所得的余数是(D)．(A) 1 (B) 1995 (C) 1996 (D) 19972．(训练题23)若在抛物线)0(2>=a ax y 的上方可作一个半径为r 的圆与抛物线相切于原点O ，且该圆与抛物线没有别的公共点，则r 的最大值是(A)． (A)a 21 (B)a1 (C)a (D)a2 3．(训练题23)考虑某长方体的三个两两相邻的面上的三条对角线及体对角线（共四条线段），则正确的命题是(B)．(A)必有某三条线段不能组成一个三角形的三边．(B)任何三条线段都可组成一个三角形，其中每个内角都是锐角．(C)任何三条线段都可组成一个三角形，其中必有一个是钝角三角形．(D)任何三条线段都可组成一个三角形，其形状是“锐角的”或者是“非锐角的”，随长方体的长，宽，高而变化，不能确定．4．(训练题23)若20π<<x ，则11tan cot sin cos x x x x++-的取值范围是(D)． (A)()+∞∞-, (B)()+∞,0 (C)),21(+∞ (D)()+∞,1 5．(训练题23)有5个男孩与3个女孩站成一排照相任何两个女孩都不相邻，则其可能的排法个数是(A)． (A)!5!7!8⋅ (B)!4!6!7⋅ (C) !7!3!10⋅ (D) !3!7!10⋅ 6．(训练题23)使得11cos 51sin +>n 成立的最小正整数n 是(B)．(A)4 (B)5 (C)6 (D)7二、填空题（本题满分54分，每小题9分）1．(训练题23)设R a ∈，若函数310),(+==xy x f y 关于直线x y =对称，且)(x f y =与)lg(2a x x y +-=有公共点，则a 的取值范围是 6a <- ．2．(训练题23)设1,,2-=∈+i R b a 且存在C z ∈，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤+=+1z bi a z z z 则ab 的最大值等于 18 ． 3．(训练题23)设 900<<α，若ααsin 1)60tan(31=-+ ，则α等于 3050o o 或 ． 4．(训练题23)设''''D C B A ABCD -是棱长为1的正方体，则上底面ABCD 的内切圆上的点P 与过顶点'''',,,D C B A 的圆上的点Q 之间的最小距离=d2 ． 5．(训练题23)如图，在直角坐标系xOy 中，有一条周期性折线（函数）).(:1x f y l =现把该曲线绕原点O 按逆时针方向旋转45得到另一条曲线2l ，则这两条曲线与y 轴及直线()N n n x ∈=围成的图形的面积等于(12n +-- ．6．(训练题23)设b a ,都是正整数，且100)21(2+=+b a 则b a ⋅的个位数等于 4 ．第二试一、(训练题23)(本题满分25分) 求证：在复平面上，点集}01:{3=++∈=z z C z S 中，除去某一个点外的所有的点都在圆环45313<<z 中． 二、(训练题23)(本题满分25分)已知抛物线),0(22>=p px y 其焦点为F .试问：是否存在过F 点的弦AB （B A ,均在抛物线上，且A 在第一象限内），以及y ）轴正半轴上的一点P ，使得B A P ,,三点构成一个以P 为直角顶点的等腰直角三角形？证实你的回答.如果回答是肯定的，请求出直线AB 的方程．)2p y x =- 三、(训练题23)(本题满分35分)平面上给定321A A A ∆及点0P ，构造点列0P ，1P ， 2P ，使得13+k P 为点k P 3绕中心1A 顺时针旋转150时所到达的位置，而23+k P 和33+k P 为点13+k P 和23+k P 分别绕中心2A 和3A 顺时针旋转 105时所到达的位置， ,3,2,1,0=k .若对某个N n ∈，有03P P n =，试求321A A A ∆的各个内角的度数及三个顶点321,,A A A 的排列方向．四、(训练题23)(本题满分35分)设n ααα≤≤≤< 210，n b b b ≤≤≤< 210，且∑∑==≥n i i n i i b a 11又存在)1(n k k ≤≤使得当k i ≤时有i i a b ≤，当k i >时，有i i a b >.求证：∏∏==≥n i i n i ib a 11． 1。

高中数学奥林匹克竞赛训练题（218）（无答案）第一试一、填空题1.设x y 、为正实数,且()2n n Z πθ≠∈,若sin cos x y θθ=,且444433sin cos 97sin 2x y x y y x θθθ+=+,则y x x y+= . 2.设1a b c ≥、、,且正实数x y z 、、满足2224,6,9.x y z x y z x y z a b c xa yb zx x a y b z c ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩则c 的最大可能值为3.在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为棱BB 1、B 1C 1的中点,若P 为平面DMN 内一个动点,当点P 到平面CBC 1B 1的距离等于PD 的长时,点P 轨迹的离心率为 .4.二次曲线(3413)(7243)200x y x y +--+=的焦点之间的距离为 .5.设数列{}{}n n a b 、满足002,2a b ==,且11,.n n n n a a b b b a ++⎧=⎪⎨=⎪⎩则2220172017a b += 6.设非实数的复数z ,满足231z =,则222011k k k z z ==++∑ . 7.将{}1,2,,7…随机排成{}127,,,a a a …,则123567a a a a a a ++≥++的概率为 .8.设r =,计算223257arctan 2arctan arctan r r r +-= .二、解答题9.设O 为锐角ABC ∆的外心,BOC COA AOB ∆∆∆、、的面积值依次成等差数列,求tan 3tan A C +的最小值,并求出此时三个内角的值.10.设0(1,2,,6)i x i ≥=…,且满足1261352461,1540x x x x x x x x x +++=⎧⎪⎨+≥⎪⎩…,求 123234345456561612x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++的最大值.11.设A 为正常数,直线l 与双曲线22:2(0)C x y x -=>所围成的有限部分的面积为A,证明：（1）直线l 被双曲线C 所截线段的中点的轨迹为双曲线；（2）直线l 总是（1）中轨迹曲线的切线.加试一、如图1,设ABC ∆的外接圆为,O BAC ∠的平分线与BC 交于点D,M 为BC 的中点,若ADM ∆的外接圆,Z 与AC 、AB 分别交于点P 、Q,N 为PQ 的中点,证明：//MN AD .二、设12,,,n a a a …,12,,,0n b b b >…,证明：2111(,)(,)n n n i i i i i i i i i a b f a b g a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑2211n n i i i i a b ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑对所有正整数n 恒成立的充分必要条件为222(,)(,),(,)(,)(0),(,1)(,1)(,1)(,1)f a b g a b a b f ka kb k f a b k bf a af b a b af b bf a b a⎧⎪=⎪⎪=>⎨⎪⎪+≤+⎪⎩三、求满足以下条件的正整数r 的最大值：集合{}1,2,,1000…中任意五个500元子集,均存在两个集至少有r 个相同的元素.四、设()P x =,其中,b 为正奇数,定义数列{}i S 满足10(),(6)i i S P S S P -==.若正整数2n ≥,使得212n b M +=为素数,证明：21(6)n M S --。

奥林匹克数学竞赛试题及答案奥林匹克数学竞赛是一项国际性的数学竞赛，旨在激发中学生对数学的兴趣和热爱。

以下是一份奥林匹克数学竞赛的模拟试题及答案，供参考：奥林匹克数学竞赛模拟试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 0或12. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. -3D. 1/33. 将一个圆分成三个扇形，每个扇形的圆心角都是120°，那么这三个扇形的面积之和等于：A. 圆的面积B. 圆面积的1/3C. 圆面积的2/3D. 圆面积的1/24. 如果一个三角形的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 =c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定5. 一个数列的前三项为1, 1, 2，从第四项开始，每一项都是前三项的和。

这个数列的第10项是：A. 144B. 145C. 146D. 147二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的立方根等于它本身，这个数可以是______。

7. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么它的斜边长是______。

8. 一个圆的半径为5，那么它的周长是______。

9. 一个等差数列的前5项之和为50，如果这个数列的公差为3，那么它的首项是______。

10. 如果一个多项式f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a, b, c, d是整数，且f(1) = 5，f(-1) = -1，那么a - d的值是______。

三、解答题（每题5分，共20分）11. 证明：对于任意的正整数n，1^3 + 1^2 + 1 + ... + 1/n^3总是大于1/n。

12. 解不等式：2x^2 - 5x + 3 > 0。

13. 一个圆的直径为10，求圆内接正六边形的边长。

14. 给定一个等比数列的前三项分别为2, 6, 18，求这个数列的第20项。

暨2023年全国高中数学联合竞赛加试试题（模拟4）一．（本题满分40分）如图，ABC D 的外接圆为ω，P 为BC 边上一点，满足APB BAC Ð=Ð．过点A 作ω的切线交ABP D 的外接圆于点Q ，Q 关于AB 中点的对称点为T ，AT 交QP 于点D ．证明：111AB AC CD+>．（答题时请将图画在答卷纸上）二．（本题满分40分）设c 是非负整数．求所有的无穷正整数数列{}n a ，满足：对任意正整数n ，恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+．三．（本题满分50分）设正整数6n ≥，图G 中有n 个顶点，每个顶点的度数均至少为3．设12,,,k C C C 是G 中所有的圈，求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值，其中C 表示圈C 中顶点的个数．四．（本题满分50分）对非负整数,a b ，定义位异或运算a b ⊕，是唯一的非负整数，使得对每个非负整数k ，222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数．例如：2229101001101000113⊕=⊕==．求所有正整数a ，使得对任意整数0x y >≥，都有x ax y ay ⊕≠⊕．暨2023年全国高中数学联合竞赛加试（模拟4）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图，ABCD的外接圆为ω，P为BC边上一点，满足APB BACÐ=Ð．过点A作ω的切线交ABPD的外接圆于点Q，Q关于AB 中点的对称点为T，AT交QP于点D．证明：111AB AC CD+>．（答题时请将图画在答卷纸上）二．（本题满分40分）设c 是非负整数．求所有的无穷正整数数列{}n a ，满足：对任意正整数n ，恰存在n a 个正整数i 使得1i n a a c +≤+．三．（本题满分50分）设正整数6n ≥，图G 中有n 个顶点，每个顶点的度数均至少为3．设12,,,k C C C 是G 中所有的圈，求12gcd(,,,)k C C C 的所有可能值，其中C 表示圈C 中顶点的个数．四．（本题满分50分）对非负整数,a b ，定义位异或运算a b ⊕，是唯一的非负整数，使得对每个非负整数k ，222k k k a b a b ⊕⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦都是偶数．例如：2229101001101000113⊕=⊕==．求所有正整数a ，使得对任意整数0x y >≥，都有x ax y ay ⊕≠⊕．。

数学高中奥赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数\( f(x) = ax^2 + bx + c \)的图像经过点(1, 0)和(-1,0)，则下列哪个选项是正确的？A. \( a + b + c = 0 \)B. \( a - b + c = 0 \)C. \( a + b - c = 0 \)D. \( a - b - c = 0 \)答案：B2. 已知等差数列\( \{a_n\} \)的前三项分别为1, 4, 7，那么第10项\( a_{10} \)是多少？A. 26B. 28C. 30D. 32答案：A3. 一个圆的半径是5，圆心到直线\( y = 2x \)的距离是3，那么圆的方程是什么？A. \( (x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \)B. \( (x+2)^2 + (y+3)^2 = 25 \)C. \( (x-3)^2 + (y-2)^2 = 25 \)D. \( (x-3)^2 + (y+2)^2 = 25 \)答案：A4. 若\( \sin \theta = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \cos \theta \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 计算\( \int_{0}^{1} x^2 dx \)的值是______。

答案：\( \frac{1}{3} \)2. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，那么\( \log_2 32 \)的值是______。

答案：53. 一个等腰三角形的两边长分别为3和4，那么第三边的长度是______。

答案：44. 一个数的平方根是2和-2，那么这个数是______。

答案：4三、解答题（每题10分，共60分）1. 已知函数\( f(x) = x^3 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)的导数。

高中数学奥林匹克竞赛试题(9月7日上午9:00-11:00) 注意事项:本试卷共18题,满分150分一、选择题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分） 1.定义在实数集R 上的函数y ＝f(－x)的反函数是y ＝f －1(－x),则(A)y ＝f(x)是奇函数 (B)y ＝f(x)是偶函数(C)y ＝f(x)既是奇函数,也是偶函数 (D)y ＝f(x)既不是奇函数,也不是偶函数2.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如右图所示。

记N ＝|a ＋b ＋c|＋|2a －b|,M ＝|a －b ＋c|＋|2a ＋b|,则(A)M ＞N (B)M ＝N (C)M ＜N(D)M 、N 的大小关系不能确定3.在正方体的一个面所在的平面内,任意画一条直线,则与它异面的正方体的棱的条数是(A) 4或5或6或7 (B) 4或6或7或8 (C) 6或7或8 (D) 4或5或6 4.ΔABC 中,若(sinA ＋sinB)(cosA ＋cosB)＝2sinC,则(A)ΔABC 是等腰三角形但不一定是直角三角形 (B)ΔABC 是直角三角形但不一定是等腰三角形 (C)ΔABC 既不是等腰三角形也不是直角三角形 (D)ΔABC 既是等腰三角形也是直角三角形5.ΔABC 中,∠C ＝90°。

若sinA 、sinB 是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根,则下列关系中正确的是(A)p ＝q 21+±且q ＞21- (B)p ＝q 21+且q ＞21-(C)p ＝－q 21+且q ＞21- (D)p ＝－q 21+且0＜q ≤216.已知A （－7,0）、B （7,0）、C （2,－12）三点,若椭圆的一个焦点为C,且过A 、B 两点,此椭圆的另一个焦点的轨迹为(A)双曲线 (B)椭圆(C)椭圆的一部分 (D)双曲线的一部分二、填空题（本大题共6个小题,每小题6分,满分36分）7. 满足条件{1,2,3}⊆ X ⊆{1,2,3,4,5,6}的集合X 的个数为＿＿＿＿。

2020高中奥林匹克数学竞赛试题高中奥林匹克数学竞赛是一项具有挑战性和刺激性的数学竞赛，旨在提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

2020年的高中奥林匹克数学竞赛试题是一系列复杂而有趣的数学问题，要求学生能够运用所学的数学知识和技巧来解决问题。

以下是几个典型的试题，我们将逐一探讨解题思路。

第一道题目要求我们证明对于任意正整数n，存在一个正整数x使得3^x - 2^n= 1。

我们可以从两个数的奇偶性入手，首先考虑3^x的奇偶性，显然它是奇数。

然后我们考虑2^n的奇偶性，当n为偶数时，2^n是偶数，而当n为奇数时，2^n是奇数。

因此，我们可以将问题分为两种情况来讨论。

当n为偶数时，2^n是奇数，此时3^x - 2^n是偶数，但是1是奇数，所以此时不成立。

当n为奇数时，2^n是奇数，此时3^x - 2^n是偶数，我们可以令x=1，此时3^x - 2^n = 3 - 2^n = 1，成立。

因此，对于任意正整数n，存在一个正整数x使得3^x - 2^n = 1。

第二道题目要求我们证明当n为奇数时，n^2 - 1可以被8整除。

我们可以利用数学归纳法来证明这个结论。

首先，当n=1时，n^2 - 1 = 1 - 1 = 0，显然可以被8整除。

假设当n=k时，n^2 - 1可以被8整除，即k^2 - 1可以被8整除。

我们来证明当n=k+1时，n^2 - 1也可以被8整除。

首先，我们可以将n^2 - 1拆分为(n+1)(n-1)。

由于n为奇数，所以n+1和n-1都是偶数，而且它们之间相差2，所以n+1和n-1中必然有一个能被4整除。

因此，(n+1)(n-1)可以被8整除，所以n^2 - 1也可以被8整除。

综上所述，当n为奇数时，n^2 - 1可以被8整除。

第三道题目要求我们求解一个方程，该方程为(x^2 - 2x)^2 - 2(x^2 - 2x) - 1 = 0。

我们可以利用代数的方法来求解这个方程。

首先，将方程中的x^2 - 2x看成一个整体，设为y，那么方程可以变为y^2 - 2y - 1 = 0。

数学奥林匹克高中训练题_30学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设{}1,2A =，则从A 到A 的映射中，满足()()f f x f x ⎡⎤=⎣⎦的个数是（ ）． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．在顶点为()1997,0，()0,1997，()1997,0-，()0,1997-的正方形R （包括边界）中，整点的个数为（ ）个． A ．7980011 B ．7980013C ．7980015D ．79800173．设(){},1,0M x y xy x ==，(){},|arctg arcctg πN x y x y =+=．那么，（ ）．A ．(){},|1M N x y xy ⋃==B ．M N M ⋃=C ．M N N ⋃=D ．(){,|1M N x y xy ⋃==且x ，y 不同时为负数}4．在四面体ABCD 中，面ABC 及BCD 都是边长为2a 的等边三角形，且AD =，M 、N 分别为棱AB 、CD 的中点．则M 与N 在四面体上的最短距离为（ ）．A ．2aB ．32a C ．a D ．52a5．已知三个三角形、1、2的周长分别为p 、1p 、2p ．若∽1∽2，且较小的两个三角形1和2可以互不重叠地放入大三角形的内部．则12p p +的最大值是（ ）．A ．pBCD ．2p6．以正n 边形顶点为顶点的不相同的三角形的个数等于（ ）．A ．210n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．211n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．212n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．非上述答案二、填空题7．设p 、q N ∈，且1p q n ≤<≤，其中，n 是不小于3的自然数.则形如pq的全体分数之和S 为_________.8．在ABC ∆中，已知三内角A ∠、B 、C ∠成等差数列，其对边分别为a 、b 、c ，且c a -等于边AC 上的高h .则sin2C A-=_________. 9．若()()211f x xf x -+=，则()f x =______．10．在ABC △中，D 在BC 上，:3:2BD DC =，E 在AD 上，:5:6AE ED =，延长BE 交AC 于F ．则:BE EF =______．11．数列{}n a 满足1a p =，212n n n a a a +=+．则通项n a =______．12．已知集合{}1,2,3,4,5,6A =，{}6,7,8,9B =，从A 中选3个元素，B 中选2个元素，能够组成______个有5个元素的新集合．三、解答题13．已知M 是抛物线22y px =的动弦AB 上的点，O 为坐标原点，OA OB ⊥，OM AB ⊥．求点M 的轨迹方程．14．黑板上写着11和13这两个数，现在从事如下操作： （i ）将某个数重写一遍； （ii ）将两数相加，写上和数． 试证明：①119这个数永远不会出现在黑板上；②任何大于119的自然数均可经过有限次操作在黑板上出现．15．已知0m ≥，()21f x x m =++．求证：对一切1x ，2x ，…，n x +∈R ，均有)()()()12n n ff x f x f x ≤，等号当且仅当12n x x x ===时成立．16．已知ABCD 为任意凸四边形．分别以AD 、BC 为边在四边形外作正ADH 和正BCF ，以AB 、CD 为底边在四边形外作顶角为120︒的等腰三角形ABE 和CDE ．求证：FH EG ⊥，且FH =．17．若干个同学参加数学竞赛，其中任何()3m m ≥个同学都有唯一的公共朋友（当甲是乙的朋友时，乙也是甲的朋友）．问有多少同学参加数学竞赛？18．α是个循环小数，()x f m 表示α的小数点后第k 位开始，连续m 位上的数字之积．证明存在自然数p 、q ，对任意的s 、t ，均有()()11st pq fs f t ⎡⎤⎡⎤≤⎣⎦⎣⎦．参考答案1．C 【解析】 【详解】这三个映射分别是f 、g 、h ，使得()11f =，()22f =；()()121g g ==；()()122h h ==．故答案为：C 2．B 【解析】 【详解】一般地，考虑顶点为(),0N 、()0,N 、(),0N -、()0,N -的正方形．当1N =时，整点为()1,0，()0,1，()1,0-，()0,1-和()0,0，共5个，即15a =． 当N 增加到1N +时，在第一象限及x 轴正半轴上将增加()1,N ，()2,1N -，()3,2N -，…，(),1N ，()1,0N +共1N +个整点．由对称性，共增加了()41N +个整点．于是，()141N N a a N +=++，15a =． 则()21423221N a a N N N =++++=++．故整点的个数为22(1997)2199717980013⋅+⋅+=. 故答案为：B 3．B 【解析】 【详解】在M 中，1xy =相当于1xy =和1xy =-．但0x >，故代表反比例函数图象在Ⅰ、Ⅳ象限内的两支．在N 中，由arctg arcctg πx y +=，()1tg arctg arctg 01x yx y x y++==-．故1xy =-．但由已知条件及0arcctg πy <<，ππarcctg 22x -<<，得π0arctg 2x <<，π0πarctg 2y <-<． 故πarcctg π2y <<．于是，有0x >，0y <．故B 成立． 故答案为：B 4．A 【解析】 【详解】在四面体的表面上，由点M 到N 可能情形如下：①经过棱AC ；②经过棱AD ；③经过棱BC ；④经过棱BD ．当上述四种情形由M 到N 的距离不全相等时，取其中最小值．为此，不妨先按①的情形展开如图所示，则min MN MN =．连接MC ，由222MC BC BM =-得223MC a =．又2AC CD a ==，AD =，知AC CD ⊥．所以(22222cos 4MN MC CN MC CN MCN a =++⋅⋅∠=+，MN =． 同理，按②、③的情形可得2MN a =． 情形④与情形①相同． 所以，MN 最小值为2a ． 故答案为：A 5．B 【解析】 【详解】设的周长为p ，面积为S ；1的周长为1p ，面积为1S ；2的周长为2p ，面积为2S ．由条件得12S S S ≥． ∵∽1∽2，∴()1222212S S S k p p p ===． 于是，22212p p p ≥+．而p 、1p 、20p >，所以，22212122p p p p p ≥+≥．上面两式相加得()222212121222p p p p p p p ≥++=+12p p ≥+．故答案为：B 6．D 【解析】 【详解】设正n 边形顶点的连线共有N 个不同的三角形，其中有1N 个正三角形，有2N 个非正三角形的等腰三角形以及3N 个不等边三角形．以某定点A 为顶点的正三角形有1个，等腰三角形有3个，不等边三角形有6个，又以A 为顶点的三角形共有()()1122n n --个，于是有()()123112362n n N N N --=++． 显然，不同的正三角形个数为0或1，不同的等腰三角形个数为12n -或12n-． 不妨设11N p =-，()12122N N n q +=--，其中p 和q 取0或1． 因此，()()()123123121121223664N N N N N N N N N N =++=+++++()()()()212324134n n n q p n q p =-+-+-++-=+-．因为346q p -<，所以，N 是离212n 最近的整数．故答案为：D 7．()114n n - 【解析】 【详解】把形如p q 的全体分数进行如下分群：12⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，121,,,n n nn -⎛⎫⎪⎝⎭，其中第k 群含有k 个分数．不难求出第k 个群()11k n ≤≤-中k 个元素的和等于()11212k k k +++=+． 所以，形如p q 的全体分数和为()12311122224n S n n -=++++=-． 故答案为：()114n n - 8．12【解析】 【详解】因为120C A +=︒， sin sin sin sin sin sin h h h c a A C C A A C=-=-⇒=-, 1120[cos()cos120]2sin cos 222C A C A -︒∴--︒=， 231sin sin 0sin 22422C A C A C A ---∴+-=∴=9．234x x x --+【解析】 【详解】设存在满足已知方程()()211f x xf x -+=的函数()f x ． ① 以1x -代换得()()()2111f x x f x +=--． ②由①得()()1112f x xf x ⎡⎤-=-⎣⎦． ③ 将③式代入②，得()()()121112f x x xf x ⎡⎤+=-⋅-⎣⎦． 由此得()234x f x x x -=-+． 经检验，所得函数满足方程①． 故答案为：234x x x --+10．9:2 【解析】 【详解】作DH ∥AC 交BF 于点H ，∴BH ：HF ＝BD ：DC ＝3：2=3m:2m, ∴△DHE ∽△AFE ．∴EF ：EH ＝AE ：ED ＝5：6=5n:6n,所以5n+6n=2m,所以n=211m ,所以HE=1211m ,EF=1011m ， ∴BE ：EF ＝(BH+HE):EF=12345119:2101011m mm +==. 故答案为: 9:2 11．()1211n p -+-【解析】 【详解】∵2112n n n a a a --=+，∴()()()()211222212111111n n n n n a a a a p ----+=+=+==+=+．即()1211n n a p -=+-．故答案为：()1211n p -+-12．90 【解析】 【详解】集中任选3个元素，有36C 种，B 集中不选6则有23C 种，共有3263C C ⋅种；A 集中不选6有35C 种，B 集中选6，则有13C 种，共有3153C C ⋅种．所以，符合条件的集合数为3231635390C C C C ⋅+⋅=（个）． 故答案为：9013．()()2220x p y p x -+=≠【解析】 【详解】设AB 与x 轴交于()0,0C x 点，A 、B 的坐标分别为()11,x y 、()22,x y ．则2112y px =，2222y px =．∵OA OB ⊥，∴12121y y x x =-，即2124y y p =-． 又直线AB 的方程为121121y y y y x x x x --=--，将点C 代入得1210121y y yx x x x --=--． 化简得02x p =．从而，M 的轨迹方程为()()2220x p y p x -+=≠． 14．①见解析②见解析 【解析】 【详解】①用反证法．假设存在非负整数m 、n ，使1113119m n +=，即()11113130m n ++=． 从而，()131m +，113m +≥，12m ≥．又()11131132m n ++=，从而，()111n +，111n +≥，10n ≥． 这样，111311121310162m n +≥⨯+⨯=．矛盾． ②119k >．设不定方程1113m n k += ① 的通解为001311m m tn n t=+⎧⎨=-⎩．其中()00,m n 是其一组特解，即001113m n k +=．只需选择一个整数t ，使得00131111m t n t +>-⎧⎨->-⎩即可，也就量00111311m n t ++-<<． 由于()()000000131111111113242411113143143143n m n m m n k ++++++++⎛⎫--===> ⎪⎝⎭，所以，这样的整数t 存在，即不定方程（1）有非负整数解，k 可经有限次操作在黑板上出现． 15．见解析 【解析】 【详解】∵()2410m ∆=-+<，∴恒有()0f x >．先用归纳法证明对于2k n =，命题成立．事实上， i ）当1k =时，即2n =时，()())2221212110x m x x m ++-++≥，则()()()222121122111x x m x m x m ++≤+++++，即f≤12x x =时成立．ii ）假设2n n =时命题成立，则当12k n +=时，()()222122212221kk k k k k f f x x x x x x +++=⋅)()222212221kk k k k x fx x x +++≤)()()()222121k k k k f x f x f x ++≤()2k=对于任意自然数n ，必存在k ，使得122k k n +≤<． 记G =则()()()()()1122122k k n f G f f x f x f x f G ++⎛⎫ ⎪⎡⎤=≤⎣⎦⎝即()()()()12nn f G f x f x f x ⎡⎤≤⎣⎦，)()()()12n n ff x f x f x ≤．等号当且仅当12n x x x ===时成立．16．见解析 【解析】 【详解】采用复数解法．将图形置于复平面上考虑，点的字母兼用以表示这点对应的复数．设1E B z A B -=-，2D C z G C -=-，3D H z A H -=-，4B Fz C F-=-． 从而，()111E z A z B =+-，414111z F B C z z =+--，22211z G C D z z -=+，333111z H A D z z =+--． 线段EG 和FH 的夹角和比值可由复数式H FG E--来描述，该复数的辐角正是EG 和FH 的夹角，其模的大小则代表它们的比值．()31344321422111111111z z A B C Dz z z z H F z G E z A z B C D z z +++-----=---+-++． （1）由题设可得1126z i =+，232z =+，312z =，412z =． 代入计算即知，（1）分子和分母中A 、B 、C 、D 的系数对应成比例：()()()()()342213414231111111z z z z z z z z z z z ====------．从而，)cos90sin90H Fi G E-==︒+︒-．这说明FH 与EG 的夹角为90︒，且FH =． 17．1m + 【解析】 【详解】根据已知条件，每个同学都有朋友．如果有()k m ≤个同学彼此是朋友，那么根据已知条件他们有一个公共的朋友，我们得到1k +个同学彼此是朋友．依此类推，异出有1m +个同学1A ，2A ，…，1m A +彼此是朋友．如果B 是这1m +个同学以外的人，并且B 至少与1A ，2A ，…，1m A +中两个是朋友，设B 与1A ，2A 是朋友，则B ，3A ，4A ，…，1m A +这m 个同学有两个公共的朋友1A ，2A ，与已知矛盾．因此，1A ，2A ，…，1m A +之外的同学B 至多与1A ，2A ，…，1m A +中一个人是朋友． 设B 与2A ，3A ，…，1m A +都不是朋友，则B ，1A ，2A ，…，1m A -的公共朋友C 不是m A 、1m A +，当然也不是1A ，2A ，…，1m A -，由于3m ≥，C 与1A ，2A ，…，1m A -中12m -≥个是朋友，但上面已证C 至多与1A ，…，1m A +中一个同学是朋友，矛盾．于是，参加数学竞赛的同学只有1A ，2A ，…，1m A +这1m +个人（每个人的朋友为m 个）． 18．见解析【解析】【详解】不妨设α为纯循环小数，0a =．12n a a a ，a 的循环节为n ．即i n i a a +=，1i =，2，…．如果某个0k a =，可取p q k ==，所以还假设0i a ≠，1i n ≤≤，G =作代换i i a x G =，1i n ≤≤，则121n x x x =．以下证明，一定存在自然数p ，对任意的s ，均有121p p p r x x x +++≤． 鉴于121n x x x =，证明只需要对s n ≤来进行．如果1x ，12x x ，…，12n x x x 这n 个乘积均不大于1，那么，可取p n =．如果它们之中至少有一个大于1，不妨设12p x x x 是其中最大者，那么， 11p x +≤，121p p x x ++≤，…，121p p n x x x ++≤．这是因为，如果其中有一个大于1，那么把它乘到12p x x x 上去，就得到比12p x x x 更大的数，这与指标p 的选取矛盾．另外，111p n x x x +≤，1121p n x x x x +≤，…，111p n p x x x x +≤．这是因为，按p 的取法可知，上述各式左边除去最初n p -个因子，其余各因子之值均不小于12p x x x ．这样，我们证明了一定存在自然数p ，对任意的s ，均有121p p p s x x x +++≤，即12n p p p s a a a G +++≤G ≤．同理可证一定存在自然数q ，对任意的t G ≥，即()()11t s p q f s f t ⎡⎤⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦⎣⎦．。

竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。

解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。

解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。