【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题(206)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高中数学奥林匹克竞赛训练题（206）

______年______月______日

____________________部门

第一试

一、填空题（每小题8分，共64分）

1。已知正整数组成等比数列，且则的最大值为 。

()a b c a b c <<、、201620162016log log log 3,a b c ++=a b c ++

2。关于实数的方程的解集为 。x

2

12sin

2222log (1sin )x

x -=+-

3。曲线围成的封闭图形的面积为 。

2224x y y

+≤

4。对于所有满足的复数均有，对所有正整数，有，若 。

z i ≠z

()z i

F z z i -=

+n 1()n n z F z -=020162016,z i z =+=则

5。已知P 为正方体棱AB 上的一点，满足直线A1B 与平面B1CP 所成角

为，则二面角的正切值为 。1111ABCD A B C D -0

6011A B P C -- 6。已知函数，集合则A= 。

22

()224,()2f x x x g x x x =+-=-+()()f x A x Z g x +⎧⎫

=∈⎨⎬

⎩⎭

7。在平面直角坐标系中，P 为椭圆在第三象限内的动点，过点P 引圆的两条切线PA 、PB ，切点分别为A 、B ，直线AB 与轴、轴分别交于点M 、

N ，则面积的最小值为 。

xOy 22

12516x y +=22

9x y +=x y OMN ∆

8。有一枚质地均匀的硬币，现进行连续抛硬币游戏，规则如下：在抛掷的过程中，无论何时，连续出现奇数次正面后出现一次反面，则游戏停止；否则游戏继续进行，最多抛掷10次，则该游戏抛掷次数的数学期望为 。 二、解答题（共56分）

9。（16分）已知整数，实数，证明：，并说明是否可以取到等号。

2n ≥

10。定义数列：。

223

1112()n n n n n a a a a a n N +--++=∈ 证明：对任意的非负整数，均有k 01

2.016k

i i a =<∑

11。在平面直角坐标系中，是以点A(-3,0)为圆心、5为半径的圆，点B(2，0)，证明：存在正常数c ，使得对外任意一点X ，有，并求c 的最大值。xOy

A

A {

}2

2min ,OX c BX BX

-≥

加试

一、已知为实数，试求的最小值。12,,,n

x x x (1)

2

1211

1

1

(,,,)n

n n

n i i i i

i i i E x x x x x x x -+====++∑∑∑…

二、如图1，已知四边形ABCD 内接于圆，直线AB 与CD 交于点E ，直线AD 与BC 交于点F ，线段BD 、EF 的中点分别为M 、N ，证明：的平分线、的平分线、直线MN 三线共点。AED ∠AFB ∠

三、已知P 为大于3的素数，的标准分解式为，证明：。

四、设A 、B 为平面上两个点集，满足,且任意三点不共线，集合A 和B 间各连若干条线段，每条线段均一个端点在集合A 中，另一个端点在集合B 中，且任意两点间至多连一条线段，记所有线段构成的集合为S ，若集合S 满足对于集合A 或B 中任意一点均至少连出条线段，则称集合S 是“—好的”。试确定的最大值，使得去掉任意一条线段，集合S 均不是—好的。l

S l