奥林匹克数学竞赛第20讲平行四边形考点•方法•破译⒈理解并掌握平行四边形的定义、性质、和判定方法，并运用它们进行计算与证明.⒉理解三角形中位线定理并会应用.⒊了解平行四边形是中心对称图形.经典•考题•赏析【例1】（莆田）已知:如图在□ABCD中,过对角线BD的中点O作直线EF分别交DA 的延长线AB、DC、BC的延长线于点E、M、N、F．⑴观察图形并找出一对全等三角形：△≌△，请加以证明；⑵在⑴中你所找出的一对全等三角形，其中一个三角形可由另一个三角形经过怎样的变换得到？【解】⑴①△DOE≌△BOF证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD∴∠MBO＝∠NDO,∠BMO＝∠DNO，又∵BO＝DO∴△BOM≌△DON（AAS）③△ABD≌△CDB证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD＝CB，AB＝CD，又∵BD＝DB∴△ABD≌△CDB（SSS）⑵绕点O旋转180°后得到或以点O为中心作对称变换得到．【变式题组】01．（吉林省长春）如图，在□ABCD中，∠BAD＝32°．分别以BC、CD为边向外作△BCE 和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点上，点H 在E、C两点之间，连接AE、AF．⑴求证：△ABE≌△FDA；⑵当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．02．（沈阳）如图，已知在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE＝DF，点G、H 分别在BA和DC的延长线上，且AG＝CH，连接GE、EH、HF、FG．求证：四边形GEHF是平行四边形．02．（长春）如图，在△ABC中，AB＝AC，延长BC至D，使CD＝BC．点E在边AC上，以CD、CE为邻边作□CDFE．过点C作CG∥AB交EF于点G，连接BG、DE．⑴∠ACB与∠DCG有怎样的数量关系？请说明理由；⑵求证：△BCG≌△DCE．【例2】如图，□ABCD的周长为20，BE⊥AD，BF⊥CD，BE＝2，BF＝3.则□ABCD的面积为．【解法指导】在三角形或平行四边形中，若题目中有高，常利用面积等式建立方程，从而求解．【解】∵□ABCD的周长为20，∴AD＋DC＝10，设AD＝x, 则DC＝10－xS□ABCD＝AD•BE＝DC•BF∴2x＝3（10－x）∴x＝6S□ABCD＝AD•BE＝6×2＝12【变式题组】01．如图，□ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，∠EBF＝60°,AE＝3,DF＝2.求EC、EF的长．02．（上海竞赛）在□ABCD中，M是AD的中点,N是DC的中点，BM＝1,BN=2，∠MBN ＝60°求BC的长．03．（北京初二年级竞赛试题）平行四边形ABCD中,AD＝a,CD＝b,过点B分别作AD边上的高H a和CD边上的高H b,已知H a≥a, H b≥b,对角线AC＝20厘米,求平行四边形ABCD的面积.【例3】（南昌）如图:在平面直角坐标系中,有A （0,1）,B （－1,0）,C （1,0）三点.⑴若点D 与A 、B 、C 三点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点D 的坐标；⑵选择⑴中符合条件的一点D ，求直线BD 的解析式． 【解法指导】已知固定的三个点，作平行四边形应有三种可能性，如图所示，因而本题D 点坐标应有三种可能性．【解】 ⑴D 1（2，1） D 2（－2，1） D 3（0，－1）⑵若选择D 3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x －1 【变式题组】 已知固定的三个点，作平行四边形时应有三种可能性，如图所示，因而本题D 点坐标应有三种可能性．【解】⑴D 1（2，1） D 2（－2，1） D 3（0，－1） ⑵若选择D 3（0，－1），可求得解析式：y ＝－x －1 【变式题组】 01．如图，直线l 1:y ＝－x 23＋3与y 轴交于点A ，与直线l 2交于x 轴上同一点B ，直线l 2交y 轴于点C ，且点C 与点A 关于x 轴对称．⑴求直线l 2的解析式 ； ⑵设D （0，－1），平行于y 轴的直线x ＝t 分别交直线l 1和l 2于点E 、F ．是否存在t 的值，使得以A 、D 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．02．如图，在直角坐标系中，A （1，0），B （3，0），P 是y 轴上一动点，在直线y ＝21x 上是否存在点Q ，使A 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出对应的Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．03．（四川资阳）若一次函数y ＝2x －1和反比例函数y ＝xk2的图象都经过点（1，1）． ⑴求反比例函数的解析式；⑵已知点A 在第三象限，且同时在两个函数的图象上，求点A 的坐标；⑶利用⑵的结果，若点B 的坐标为（2，0），且以点A 、O 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形，请你直接写出点P 的坐标．RP DCBAEF【例4】（齐齐哈尔）如图1.在四边形ABCD 中,AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，分别与BA 、CD 的延长线交于点M 、N ,则∠BME ＝∠CNE （不需证明）(温馨提示:在图1中，连接BD ,取BD 的中点H ,连接HE 、HF ，根据三角形中位线定理，证明HE ＝HF ，从而∠1＝∠2，再利用平行线性质，可证得∠BME ＝∠CNE ．)问题一：如图2，在四边形ADBC 中，AB 与CD 相交于点O ,AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF ,分别交DC 、AB 于M 、N ，判断∆OMN 的形状，请直接写出结论． 问题二:如图3，在∆ABC 中，AC >AB ,D 点在AC 上，AB ＝CD ,E 、F 分别是BC 、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G ,若∠EFC ＝60°,连接GD ,判断∆AGD 的形状并证明.【解法指导】出现中点，联想到三角形中位线是常规思路，因为三角形中位线不仅能进行线段的替换，也可通过平行进行角的转移．【解】⑴△OMN 为等腰三角形．⑵△AGD 为含有30°的直角三角形．证明：连接BD ，取BD 的中点M ，连接FM 、EM ． ∵AF ＝FD ，BM ＝MD ∴MF //21AB 同理ME //21CD ．∵AB ＝CD ∴MF ＝ME ，又∵∠2＝∠1＝60°，∴△MEF 为等边三角形，∴∠4＝∠3＝60°，∠5＝60°∴△AGF 为等边三角形 ∴FG ＝FD ∴∠ADG ＝30°∴△AGD 为含有30°的直角三角形． 【变式题组】 01．（扬州）如图，已知四边形ABCD 中，R 、P 分别是BC 、CD 上的点，E 、F 分别是 AP 、RP 的中点，当点P 在CD 上从C 向D 移动而点R 不动时，那么下列结论 成立的是 （ )A 、线段EF 的长逐渐增大B 、线段EF 的长逐渐减小C 、线段EF 的长不变D 、线段EF 的长与点P 的位置有关 02．如图，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AD 是∠A 的平分线，BD ⊥AD 于D ,AB ＝12,AC ＝22,则MD 的长为（ ）. A .3 B .4 C .5 D .6 【例5】（浙江竞赛）如图1，在△ABC 中，∠C ＝90°,点M 在BC 上，且BM ＝AC ,点N 在AC 上，且AN ＝MC ,AM 与BN 相交于点P ,求证：∠BPM ＝45°.【解法指导】题中相等线段关联性不强，能否把相等的线段（或角）通过改变位置，将分散的条件集中，从而构造全等三角形解决问题．【解】方法一、如图2，过M作ME AN,连接BE,EN,则得AMEN, ∴ME⊥BC,AM＝EN在△AMC和△BEM中，AC＝BN,∠BNE＝∠C＝90°, ME＝MC∴△AMC≌△BEM∴BE＝AM＝EN,∠3＝∠4 ∵∠1＝∠2,∠1＋∠4＝90°∴∠2＋∠3＝90°, ∴△BEN为等腰直角三角形，∠BNE＝45°,∴∠BPM＝45°方法2：如图3，过B作BF AN,连接AF,FM也可证得．【变式题组】01．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC,延长边AB到点D,延长CA到点E,连接DE，若AD ＝BC＝CE＝DE,求∠BAC的度数．演练巩固反馈提高01．（东营）如图，□ABCD中，已知AD＝8cm,AB＝6cm,DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于（）A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm02．(桂林）如图，□ABCD中，AC,BD为对角线，BC＝6,BC边上的高为4，则阴影部分的面积为（）A.3B.6 C .12 D.2403．(威海）如图，在四边形ABCD中，E为BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于点F,AB＝BF,添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形，你认为四个条件中可选择的是（）A．AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE04．(日照）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD,AC,BD相交于点O,OE⊥BD交AD于点E,则△ABE的周长为（）A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm05．（浙江金华）某广场有一个形状是平行四边形的花坛（如图）分别种有红黄蓝绿橙紫6得颜色的花，如果有AB∥EF∥DC,BC∥GH∥AD,那么下列说法错误的是A．红花，绿花种植面积一定相等B.紫花，橙花种植面积一定相等C.红花，蓝花种植面积一定相等D.蓝花，黄花种植面积一定相等06．（陕西）如图，l1∥l2BE∥CF, BA⊥l1DC⊥l2,下面四个结论中①AB＝DC; ②BE＝CF③S△ADE ＝S△DCF④S□ABCD＝S□BCFE,其中正确的有（）A.4个B .3个C.2个D .1个07．(成都）已知四边形ABCD,有以下四个条件：①AB∥CD②AB＝CD③BC∥AD④BC＝AD从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD为平行四边形的选法种数有（）A.6种B.5种C.4种D.3种08．（厦门）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E,F分别是AB,CD的中点，AD＝BC,∠PEF＝180,则∠PFE的度数为________09．.如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD中，以BE为折痕，将△ABE向上翻折，点A恰好落在CD上的F点，若△FDE的周长为8，△FCB的周长为22，则FC的长为_________10.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°,AB＝3,AC＝4,将△ABC沿直线BC向右平移2.5个单位得到△DEF,AC与DE相交于点G,连接AD,AE,则下列结论中成立的是____①四边形ABED是平行四边；②△AGD≌△CGE③△ADE为等腰三角形④AC平分∠EAD11．(长春）如图□ABCD中，E是BC边上一点，且AB＝AE.11.求证:△ABC≌△EAD12.若AE平分∠DAB,∠EAC＝25°,求∠AED的度数．12．(荆州)如图，□ABCD内一点E满足ED⊥AD于D,且∠EBC＝∠EDC,∠ECB＝45°,找出图中一条与EB相等的线段，并加以证明．13．已知，如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将线段DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F,连接DC,AE.⑴求证：△ADE≌△DFC⑵过点E作EH∥DC交DB于点G ,交BC于点H,连接AH,求∠AHE的度数．培优升级奥赛检测01．(铁岭)△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B,C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB,AC于点F,G ,连接BE.⑴如图1所示，当点D在线段BC上时，①求证：△AEB≌△ADC;②探究四边形BCGE是怎样特殊四边形？并说明理由．⑵如图2所示，当点D在BC的延长线上时，直接．．写出(1)中的两个结论是否成立？02．(山东省初中数学竞赛试题)如图，△ABC中，AB＝3,AC＝4,BC＝5,△ABD ,△ACE△BCF 都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．03．(武汉) 如图，□ABCD中，BC＝2AB,CE⊥AB,E为垂足，F为AD的中点，若∠AEF＝54°,求∠B的度数．04．(南昌市)八年级竞赛试题四边形ABCD的对角线AC,BD交于P,过点P作直线EF,交AD于E ,交BC于F,若PE＝PF,且AP＋AE＝CP＋CF,求证：四边形ABCD为平行四边形．05．(荆州市八年级数学联赛试题)如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD,AB⊥AD;连接AC,过点A作AE⊥AC且使AE＝AC;连接BE,过点A作AH⊥CD,垂足为H,且交BE于点F,求证：BF＝EF.06．在课外小组活动时，小慧拿来一道题和小东，小明交流．题目：如图1，已知△ABC,∠ACB＝90°,∠ABC＝45°,分别以AB,BC为边向外作△ABD 与△BCE,且DA＝DB,EB＝EC,∠ADB＝∠BEC＝90°,连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系．小慧同学的思路是：过点D作DG⊥AB于点G,构造全等三角形，通过推理使问题得解．小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°.小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：(1)写出题目中DF与EF的数量关系；(2)如图2，若∠ABC＝30°,∠ADB＝∠BEC＝60°,题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；(3)如图3，若∠ADB＝∠BEC＝2∠ABC，题目中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明．。
