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香港数学竞赛试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是质数？A. 4B. 9C. 13D. 162. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的周长是多少？A. 10π cmB. 15π cmC. 20π cmD. 25π cm3. 一个直角三角形的两条直角边分别是3和4，斜边是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个表达式等于0？A. 2 - 2B. 3 + 3C. 4 × 0D. 5 ÷ 55. 如果一个数的平方是16，那么这个数是？A. 2B. 4C. ±4D. ±8二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个数的立方根是2，那么这个数是______。
7. 一个数的平方是25，那么这个数是______。
8. 一个数的绝对值是5，那么这个数可以是______或______。
9. 如果一个数的倒数是1/4，那么这个数是______。
10. 一个数的平方根是4，那么这个数是______。
三、解答题（每题5分，共30分）11. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
12. 解方程：2x + 5 = 17。
13. 一个长方形的长是20厘米，宽是10厘米，求它的面积。
14. 一个数列的前三项是1, 1, 2，如果每一项都是前两项的和，求第10项。
四、应用题（每题10分，共40分）15. 一个工厂每天生产200个零件，如果每个零件的利润是5元，那么工厂一个月（30天）的利润是多少？16. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生是男生，班级中女生有多少人？17. 一个圆的直径是14厘米，求它的面积。
18. 一个三角形的底是10厘米，高是6厘米，求它的面积。
答案一、选择题1. C2. C3. A4. A5. C二、填空题6. 87. ±58. 5, -59. 410. 16三、解答题11. 证明：设直角三角形的直角边为a和b，斜边为c。
Hong Kong Mathematics OlympiadHeat Event (Individual)Unless otherwise stated, all answers should be expressed in numerals in their simplest forms. 除非特别声明，答案须用数字表达，并化至最简。
1. 袋中有数字卡9张，其数字分别为1至9。
若随机一次抽出3张，求被抽出的卡的数字全是奇数的概率。
（答案以分数表达，并化至最简。
）There are 9 cards, numbered from 1 to 9, in a bag. If 3 cards are drawn together at random, find the probability that all are odd. (Express your answer in the simplest fraction.)2. 已知 3a =150b ，且 a 和 b 都是正整数。
求 b 的最小值。
Given 3a = 150b , and a , b are positive integers, find the least value of b .3. 已知415cos b a +=︒， 且 a 、b 是自然数。
若 y b a =+，求y 的值。
Suppose 415cos b a +=︒, and a , b are natural numbers. If y b a =+, find the value of y .4. 把数字2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，求这些四位数的和。
Each of the digits 2, 3, 4, 5 can be used once and once only in writing a four-digit number. Find the sum of all such numbers.5. 在ABC ∆，BC DE //，DC FE //，2=AF ，3=FD 和 X DB =。
1985-2012年国际数学奥林匹克中国参赛人数按地区、学校统计国际数学奥林匹克(International Mathematical Olympiad，简称IMO)是世界上规模和影响最大的中学生数学学科竞赛活动。
由罗马尼亚罗曼(Roman)教授发起。
1959年7月在罗马尼亚古都布拉索举行第一届竞赛。
我国第一次派学生参加国际数学奥林匹克是1985年，当时仅派两名学生，并且成绩一般。
我国第一次正式派出6人代表队参加国际数学奥林匹克是1986年。
2012年第53届国际数学奥林匹克竞赛将于今年7月4日至16日在阿根廷马德普拉塔（Mar del Plata , Argentina）举行。
入选国家队的六名学生是：（按选拔成绩排名）陈景文（中国人民大学附属中学)、吴昊（辽宁师范大学附属中学）、左浩（华中师范大学第一附属中学）、佘毅阳（上海中学）、刘宇韬（上海中学）、王昊宇（武钢三中）---------------------------------------------------------历届IMO的主办国，总分冠军及参赛国（地区）数为：年份届次东道主总分冠军参赛国家（地区）数1959 1 罗马尼亚罗马尼亚71960 2 罗马尼亚前捷克斯洛伐克51961 3 匈牙利匈牙利 61962 4 前捷克斯洛伐克匈牙利71963 5 波兰前苏联81964 6 前苏联前苏联91965 7 前东德前苏联81966 8 保加利亚前苏联91967 9 前南斯拉夫前苏联131968 10 前苏联前东德121969 11 罗马尼亚匈牙利141970 12 匈牙利匈牙利141971 13 前捷克斯洛伐克匈牙利151972 14 波兰前苏联141973 15 前苏联前苏联161974 16 前东德前苏联181975 17 保加利亚匈牙利171976 18 澳大利亚前苏联191977 19 南斯拉夫美国211978 20 罗马尼亚罗马尼亚171979 21 美国前苏联231981 22 美国美国271982 23 匈牙利前西德301983 24 法国前西德321984 25 前捷克斯洛伐克前苏联341985 26 芬兰罗马尼亚421986 27 波兰美国、前苏联371987 28 古巴罗马尼亚421988 29 澳大利亚前苏联491989 30 前西德中国501990 31 中国中国541991 32 瑞典前苏联561992 33 俄罗斯中国621993 34 土耳其中国651994 35 中国香港美国691995 36 加拿大中国731996 37 印度罗马尼亚751997 38 阿根廷中国821998 39 中华台北伊朗841999 40 罗马尼亚中国、俄罗斯812000 41 韩国中国822001 42 美国中国832002 43 英国中国842003 44 日本保加利亚822004 45 希腊中国852005 46 墨西哥中国982006 47 斯洛文尼亚中国1042007 48 越南俄罗斯932008 49 西班牙中国1032009 50 德国中国1042010 51 哈萨克斯坦中国1052011 52 荷兰中国101------------------------------------------------------------------历届国际数学奥林匹克中国参赛学生分省市、分学校统计按学校排名（TOP16)1 武汉钢铁三中 152 湖南师大附中 113 华南师范大学附中 104 北大附中 94 人大附中 96 湖北黄冈中学 86 上海中学 88 上海华东师大二附中 5 8 东北育才学校 510 华中师大一附中 410 复旦大学附中 410 深圳中学 410 东北师范大学附中 4 14 上海向明中学 314 长沙市一中 314 哈尔滨师范大学附中 3 以下略。
数学竞赛试题精选一1、如下图，圆周上有7个数字，按顺时针方向依次可以组成7个整数部分是一位数的小数，如：1.234123 ，2.341231……再在这些小数数字上加两个循环点组成循环节，那么这些循环小数中最大的一个数是（）。
2、参加小学生运动会团体操表演的同学，排与了一个正方形队列，如果要使正方形队列减少一行和一列，则要减少31人，那么参加运动会团体操表演的同学有（）人。
3、120名学生投票选举学生会主席，现有甲、乙、丙三名候选人，其中得票最多的当选学生会主席。
每名学生只能选他们当中的一人，不能弃权。
在计算前102票时，甲得了45票，乙得了35票，若甲要保证当选，至少还需要（）张选甲的选票。
4、一种玩具，有两个按钮（一个红色，一个黄色）和100个能站能坐的小木偶，按一次红色按钮就会有一个站着的木偶坐下，按一次黄色按钮就会使站着的小木偶增加1倍。
现在共有3个小木偶站着，要使站着的小木偶变成91个，至少需要按（）次按钮。
5、甲乙两人一起喝完一罐咖啡需要10天，甲独喝则12天喝完。
甲乙两人一起喝1包茶叶12天喝完，乙单独喝则需20天喝完。
假设甲在有茶叶的情况下绝不喝咖啡，而乙在有咖啡的情况下绝不喝茶。
两人一起喝完一罐咖啡和一包茶叶需要（）天。
6、二月份的某一天是星期日，这一天恰好有三批学生去探望王老师，这三批学生的人数都不相等，且没有单独一人去探望老师的。
这三批学生人数的积恰好是这一天的日期。
那么二月一日是星期（）。
7、某商店以每3盒16元的价格购进一批录音带，又从另一处以每4盒21元的价格购进是前一批数量2倍的录音带。
如果全部售出，可得投资额20%的利润。
则购回的全部录音带每3盒的售价是（）元。
8、学校统计9名参加数学竞赛同学的平均分,如果计算前五名的平均分,则比前四名的平均分下降1分,如果计算后五名的平均分,则比后四名的平均分上升2分。
前四名的平均分比后四名的平均分多（）分。
9、用红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种彩笔，在一张方格纸上自左上到右下的斜行里按顺序地填色（如下图），第2004行的自左向右的第2005格填的是（）色。
香港少年数学竞赛试题及答案试题一：计算题题目：计算下列表达式的值：\[ 3x^2 - 5x + 2 \]其中 \( x = -1 \)。
答案：将 \( x = -1 \) 代入表达式中，得到：\[ 3(-1)^2 - 5(-1) + 2 = 3 + 5 + 2 = 10 \]试题二：几何题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。
答案：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中 \( a \) 和 \( b \) 分别是直角边的长度。
代入题目中的数据，得到：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]所以斜边的长度是 5 厘米。
试题三：应用题题目：一家商店在促销期间，如果顾客购买超过 100 元的商品，可以享受 10% 的折扣。
小明购买了 150 元的商品，他应该支付多少元？答案：首先计算折扣金额，即 150 元的 10%：\[ 150 \times 10\% = 150 \times 0.1 = 15 \]然后从原价中减去折扣金额，得到小明需要支付的金额：\[ 150 - 15 = 135 \]所以小明应该支付 135 元。
试题四：逻辑推理题题目：在一个班级中，有 20 名学生。
如果至少有 3 名学生在同一天过生日，那么班级中至少有多少名学生的生日在同一个月份？答案：假设每个月至少有 2 名学生过生日，那么一年 12 个月就有至少 24 名学生过生日。
但班级中只有 20 名学生，所以至少有 4 名学生的生日在同一个月份，以满足至少有 3 名学生在同一天过生日的条件。
试题五：数列题题目：数列 \( a_n \) 定义为 \( a_1 = 1 \)，且对于 \( n \geq 2 \)，有 \( a_n = a_{n-1} + n \)。
第二十届(2003～2004)香港中学数学竞赛决赛试题及参考解答本文将介绍第二十届香港中学数学竞赛的决赛试题及参考解答。
本次竞赛分为初中组和高中组。
一、初中组试题1. 题目描述：一个航班从香港飞往纽约。
假定地球是一个半径为$6400$ 公里的球体，则在经过 $80$ 度西经时飞机的速度是多少，如果地球不是一个完整的球体，假象为一个半径为 $6400$ 公里的球体加上一个 $100$ 米高的山丘，则在上述情况下，航班的飞行距离应增加多少？2. 参考解答：(1) 在经过 $80$ 度西经时，飞机由东向西飞行，这意味着速度方向与地球表面切平面的切线相切，而切线垂直于该点的经线，因此速度方向与该经线成瞬时夹角 $90 - 80 = 10$ 度。
根据余弦定理，$$V^2 = 2gR(1 − \cos{\alpha})$$其中 $V$ 表示速度，$g$ 表示重力加速度，$R$ 表示地球半径，$\alpha$ 表示速度方向与垂直于该点的经线的夹角，代入数据得到$$V = \sqrt{2 \times 9.8 \times 6400 \times (1 -\cos{10})} \approx 2434.8km/h$$(2) 假定山丘高度为 $h$，则增加的飞行距离为两个相似三角形边长之比的平方再乘以圆周长：$$\frac{R + h}{R} = \frac{6400000 + 100}{6400000} \approx 1.000015625$$因此，增加的飞行距离为$$\frac{100}{6400000} \times 2\pi R \times (1 +1.000015625)^2 \approx 820.7m$$二、高中组试题1. 题目描述：证明：对于任何实数 $a$ 和 $b$，有$\sqrt{a^2 + b^2 + 1} - a - b \leq \sqrt{2}$。
2. 参考解答：将两边同时平方，得到等价不等式$$(a+b)^2 \leq 1 + 2a^2 + 2b^2 + 2a\sqrt{a^2+b^2+1} +2b\sqrt{a^2+b^2+1} + 2ab$$移项并缩放$$2\sqrt{a^2+b^2+1} \geq 2a + 2b + (a+b)^2 - 1 - 2a^2 - 2b^2 - 2ab$$只需证明右侧大于等于零，即$$(a+b)^2 - 2a^2 - 2b^2 - 2ab + 1 \geq 0$$这等价于$$(a-b)^2 + (a+1)^2 + (b+1)^2 \geq 0$$显然成立，证毕。
2019年中国香港数学奥林匹克竞赛试卷
1、两个数列定义如下：
a1=1，a2=10，a n+1=2a n+3a n-1，n=2，3，4，…
b1=1，b2=8，b n+1=3b n+4b n-1，n＝2，3，4，…
请证明：除1之外，两个数列没有相同的数字。
2、集合S＝1，2，…，100。
对于正整数n，将S划分为非空且互不相交的集合S1，S2，…，S n，此时S＝。
设a i表示S i的元素的平均值。
求
的最小值。
3、等腰ABC中，AB＝AC，ABC内心为I，内切圆Γ与AB和AC分别切于点F和E，设Ω为AFE的外接圆，Γ与Ω的两条外公切线交于点P。
若其中一条外公切线与AC平行，求证：∠PBI＝90
4、某国有n3个城市，对任意两个城市A和B，要么存在一条从A 往B的单向道路，要么存在一条从B往A的单向道路，但不会两条道路都存在。
假设从任意一个城市都可以经过若干条道路到达任意另一个城市，设d(A,B)表示从A到达B最少要经过的道路个数，考虑所有满足条件的设置道路的方法，求的最小值。
参考答案。
