2019年**一中高一数学竞赛奥赛班试题（决赛）
及答案
（时间：5月16日18：40～20：40）
满分：120分
一、 选择题（本大题共6小题，每小题5分，满分30分）
1．已知
M =},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且
P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ ）
A. M
B. N
C. P
D.P M 2.函数()1
42-+
=x
x x x f 是（ ）
A 是偶函数但不是奇函数
B 是奇函数但不是偶函数
C 既是奇函数又是偶函数 C 既不是奇函数也不是偶函数
3.已知不等式m 2
＋(cos 2
θ－5)m ＋4sin 2
θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）
A . 0≤m ≤4
B . 1≤m ≤4
C . m ≥4或x ≤0
D . m ≥1或m ≤0
4.在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若
0sin cos 2sin cos =+-
+B B A A ，则
c
b
a +的值是（ ） A.1 B.2 C.3 C.2 5. 设 0a
b >>, 那么 2
1
()
a b a b +
- 的最小值是
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
6．设ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列，则B C
B
A
C A
cos tan sin cos tan sin ++的取值范围是
（ ）
A. (0,)+∞
B.
C.
D. )+∞．
二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）
7.母线长为3的圆锥中，体积最大的那一个的底面圆的半径为 8．函数|
cos sin |2sin )(x x e
x x f ++=的最大值与最小值之差等于 。
个
个
9.设函数,:R R f →满足1)0(=f ，且对任意的R y x ∈,，都有)1(+xy f =
2)()()(+--x y f y f x f ，则________________)(=x f 。
10.正方体的六个面所在平面把空间分成 部分
11．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大
角的大小是 .
12.已知1009921)(,*-+-+⋅⋅⋅+-+-=∈x x x x x f N x 的最小值等于
13.设{}
2()min 24,1,53f x x x x =++-，则max ()f x =
14.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，α、β、γ为三个不重合的平面，直线均不在平面内，给出六个命题： ①
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥c a ∥c ⇒a ∥α；；②
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥c β∥c ⇒α∥β；③
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥γa ∥γ⇒a ∥α
④
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥c b ∥c ⇒a ∥b ；⑤
⎭
⎪⎬⎪
⎫α∥γβ∥γ⇒α∥β；. ⑥
⎭
⎪⎬⎪
⎫a ∥γb ∥γ⇒a ∥b
其中正确的命题是 (将正确命题的序号都填上)．
15、已知数列...,,...,,,210n a a a a 满足关系式18)6)(3(1=+-+n n a a 且30=a ，则
12111
...n
a a a ++= 16.在平面直角坐标系内，有四个定点(30),A -，(11),B -，(03),C ，(13),D -及一个动点P ，则||||||||PA PB PC PD +++的最小值为 ．
三、解答题（本大题共3小题，每题的解答均要求有推理过程，17小题13分,18小题13分,19题14分，满分40分）
17．（本题满分16分）已知向量)23sin ,23
(cos x x =，)21sin ,21(cos x x -=，
且]2
,0[π
∈x . （1）求⋅及||b a +；
（2）求函数=)(x f ⋅-||b a +的最小值。 18已知数列{}n a 中各项为：
12、1122、111222、 (111)
⋅⋅⋅⋅⋅⋅222n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 、 ……
（Ⅰ）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （Ⅱ）求这个数列前n 项之和S n .
19．设()f x 是定义在R 上的函数，若(0)2014f = ，且对任意x ∈R ，满足 (2)()32x f x f x +-≤⋅，(6)()632x f x f x +-≥⋅，求(2014)f 的值． 答案 1．已知
M=},13|{},,13|{},,3|{Z n n x x P Z n n x x N Z n n x x ∈-==∈+==∈=，且
P c N b M a ∈∈∈,,，设c b a d +-=，则∈d （ B ）
A. M
B. N
C. P
D. P M
2.函数()1
42-+
=x x x x f 是（ A ）
A.是偶函数但不是奇函数
B.是奇函数但不是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
C.既不是奇函数也不是偶函数
3已知不等式m 2
＋(cos 2
θ－5)m ＋4sin 2
θ≥0恒成立，则实数m 的取值范围是 C
A . 0≤m ≤4
B . 1≤m ≤4
C . m ≥4或x ≤0
D . m ≥1或m ≤0
4
在△ABC 中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对边的边长，若
0sin cos 2sin cos =+-
+B B A A ，则
c
b
a +的值是 A. 1 B. 2 C. 3 C. 2 解：由0sin cos 2sin cos =+-
+B B A A 得，0)
4
sin(22)4
sin(2=+
-
+π
π
B A 即1)4
sin()4
sin(=+
+
π
π
B A ，由正弦函数的有界性及B A ,为三角形的内角可知，
1)4sin(=+
π
A 且1)4
sin(=+
π
B ，从而4
π
=
=B A ，∴2
π
=
C
∴2sin sin =+=+B A c
b
a 5. 设 0a
b >>, 那么 21
()
a b a b +
- 的最小值是答: [ C ]
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
解：由 0a b >>, 可知2221
0()()424
a a
b a b b a <-=--≤,
