中考数学一模试卷(含解析)

安徽省芜湖市中考数学一模试卷一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分．）1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．75°B．60°C．87°D．120°3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2B．3：5C．9：4D．4：94．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°6．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒7．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是（）A．B．C．D．8．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED 与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1B．：1C．3：D．3：29．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11．抛物线y＝x2向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为．12．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是（结果保留π）．13．如图所示，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为．14．如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）15．解方程：x（x+2）＝0．16．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；（2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）17．某地区投入教育经费2500万元，投入教育经费3025万元，求至该地区投入教育经费的年平均增长率．18．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）19．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1的顶点为C，图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧）．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求△ABC的面积．六、（本题满分12分）21．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的频率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．七、（本题满分12分）22．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．八、（本题满分14分）23．如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A 和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．（1）证明：△ABE∽△BCF；（2）若＝，求的值；（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1，＝时，求线段AG的长．安徽省芜湖市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题给出的四个选项中，其中只有一个是正确的．请把正确选项的代号写在下面的答题表内，（本大题共10小题，每题4分，共40分．）1．已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案．【解答】解：A、＝，则5y＝6x，故此选项错误；B、＝，则5x＝6y，故此选项正确；C、＝，则5y＝6x，故此选项错误；D、＝，则xy＝30，故此选项错误；故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积．2．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（）A．75°B．60°C．87°D．120°【分析】根据相似多边形对应角的比相等，就可以求解．【解答】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠α＝360°﹣60°﹣138°﹣75°＝87°．故选C．【点评】主要考查了相似多边形的性质和四边形的内角和是360度的实际运用．3．若△ABC∽△DEF，相似比为3：2，则对应高的比为（）A．3：2B．3：5C．9：4D．4：9【分析】直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为3：2，∴对应高的比为：3：2．故选：A．【点评】此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．4．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A．8B．12C．14D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE＝BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∵＝，∴＝，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．【点评】此题主要考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC 是解题关键．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC＝124°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（）A．56°B．62°C．68°D．78°【分析】由点I是△ABC的内心知∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，从而求得∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．【解答】解：∵点I是△ABC的内心，∴∠BAC＝2∠IAC、∠ACB＝2∠ICA，∵∠AIC＝124°，∴∠B＝180°﹣（∠BAC+∠ACB）＝180°﹣2（∠IAC+∠ICA）＝180°﹣2（180°﹣∠AIC）＝68°，又四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B＝68°，故选：C．【点评】本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．6．把一个小球以20米/秒的速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（米）与时间t（秒），满足关系h＝20t﹣5t2，当小球达到最高点时，小球的运动时间为（）A．1秒B．2秒C．4秒D．20秒【分析】已知函数式为二次函数解析式，最高点即为抛物线顶点，求达到最高点所用时间，即求顶点的横坐标．【解答】解：∵h＝20t﹣5t2＝﹣5t2+20t中，又∵﹣5＜0，∴抛物线开口向下，有最高点，此时，t＝﹣＝2．故选：B．【点评】本题考查的是二次函数在实际生活中的应用，比较简单．7．联欢会主持人小亮、小莹、大明三位同学随机地站成一排，小亮恰好站在中间的概率是（）A．B．C．D．【分析】先利用列表法展示所以6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，然后根据概率定义求解．【解答】解：列表如下：共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，所以小亮恰好站在中间的概率为＝，故选：C．【点评】本题考查了列表法与树状图法：先利用列举法或树形图法不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．8．如图，一张矩形纸片ABCD的长AB＝a，宽BC＝b．将纸片对折，折痕为EF，所得矩形AFED 与矩形ABCD相似，则a：b＝（）A．2：1B．：1C．3：D．3：2【分析】根据折叠性质得到AF＝AB＝a，再根据相似多边形的性质得到＝，即＝，然后利用比例的性质计算即可．【解答】解：∵矩形纸片对折，折痕为EF，∴AF＝AB＝a，∵矩形AFED与矩形ABCD相似，∴＝，即＝，∴（）2＝2，∴＝．故选：B．【点评】本题考查了相似多边形的性质：相似多边形对应边的比叫做相似比．相似多边形的对应角相等，对应边的比相等．9．欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝．则该方程的一个正根是（）A．AC的长B．AD的长C．BC的长D．CD的长【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．【解答】解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝b，再在斜边AB上截取BD＝，设AD＝x，根据勾股定理得：（x+）2＝b2+（）2，整理得：x2+ax＝b2，则该方程的一个正根是AD的长，故选：B．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4cm，∠B＝30°，点P从点B出发，以cm/s的速度沿BC方向运动到点C停止，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BA﹣AC方向运动到点C停止，若△BPQ的面积为y（cm2），运动时间为x（s），则下列最能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【分析】作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得BH＝CH，利用∠B＝30°可计算出AH＝AB ＝2，BH＝AH＝2，则BC＝2BH＝4，利用速度公式可得点P从B点运动到C需4s，Q 点运动到C需8s，然后分类讨论：当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，DQ＝BQ＝x，利用三角形面积公式得到y＝x2；当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4，DQ＝CQ＝（8﹣x），利用三角形面积公式得y＝﹣x+8，于是可得0≤x≤4时，函数图象为抛物线的一部分，当4＜x≤8时，函数图象为线段，则易得答案为D．【解答】解：作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝4cm，∴BH＝CH，∵∠B＝30°，∴AH＝AB＝2，BH＝AH＝2，∴BC＝2BH＝4，∵点P运动的速度为cm/s，Q点运动的速度为1cm/s，∴点P从B点运动到C需4s，Q点运动到C需8s，当0≤x≤4时，作QD⊥BC于D，如图1，BQ＝x，BP＝x，在Rt△BDQ中，DQ＝BQ＝x，∴y＝•x•x＝x2，当4＜x≤8时，作QD⊥BC于D，如图2，CQ＝8﹣x，BP＝4在Rt△BDQ中，DQ＝CQ＝（8﹣x），∴y＝•（8﹣x）•4＝﹣x+8，综上所述，y＝．故选：D．【点评】本题考查了动点问题的函数图象：通过分类讨论，利用三角形面积公式得到y 与x 的函数关系，然后根据二次函数和一次函数图象与性质解决问题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）11．抛物线y ＝x 2向左平移1个单位，所得的新抛物线的解析式为 y ＝（x +1）2 ．【分析】先确定抛物线y ＝x 2的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的规律得到点（0，0）平移后对应点的坐标为（﹣1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y ＝x 2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位所得对应点的坐标为（﹣1，0），所以新抛物线的解析式为y ＝（x +1）2． 故答案为y ＝（x +1）2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．12．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，以点B 为圆心，以AB 为半径画弧，交对角线BD 于点E ，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π （结果保留π）．【分析】根据S 阴＝S △ABD ﹣S 扇形BAE 计算即可； 【解答】解：S 阴＝S △ABD ﹣S 扇形BAE ＝×4×4﹣＝8﹣2π，故答案为8﹣2π．【点评】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．13．如图所示，点C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，过点C的直线与x轴、y轴分别交于点A、B，且AB＝BC，已知△AOB的面积为1，则k的值为4．【分析】根据题意可以设出点A的坐标，从而以得到点C和点B的坐标，再根据△AOB的面积为1，即可求得k的值．【解答】解：设点A的坐标为（﹣a，0），∵过点C的直线与x轴，y轴分别交于点A，B，且AB＝BC，△AOB的面积为1，∴点C（a，），∴点B的坐标为（0，），∴＝1，解得，k＝4，故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．14．如图所示，已知AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC相似，则AP＝或2或6．【分析】由AD∥BC，∠ABC＝90°，易得∠PAD＝∠PBC＝90°，又由AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x，然后分别从△APD∽△BPC与△APD∽△BCP去分析，利用相似三角形的对应边成比例求解即可求得答案．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC，∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠PAD＝∠PBC＝90°．AB＝8，AD＝3，BC＝4，设AP的长为x，则BP长为8﹣x．若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则AP：BP＝AD：BC，即x：（8﹣x）＝3：4，解得x＝；②若△APD∽△BCP，则AP：BC＝AD：BP，即x：4＝3：（8﹣x），解得x＝2或x＝6．所以AP＝或AP＝2或AP＝6．故答案是：或2或6．【点评】此题考查了相似三角形的性质．注意利用分类讨论思想求解是关键．三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）15．解方程：x（x+2）＝0．【分析】原方程转化为x＝0或x+2＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：∵x＝0或x+2＝0，∴x1＝0，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解．16．已知△OAB在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO绕原点O逆时针旋转90°得△OA1B1，再以原点O为位似中心，将△OA1B1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA2B2；（2）直接写出点A1的坐标，点A2的坐标．【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【解答】解：（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【点评】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．）17．某地区投入教育经费2500万元，投入教育经费3025万元，求至该地区投入教育经费的年平均增长率．【分析】一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），要投入教育经费是2500（1+x）万元，在的基础上再增长x，就是的教育经费数额，即可列出方程求解．【解答】解：设增长率为x，根据题意为2500（1+x）万元，为2500（1+x）2万元．则2500（1+x）2＝3025，解得x＝0.1＝10%，或x＝﹣2.1（不合题意舍去）．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%．【点评】本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量×（1+年平均增长率）年数＝增长后的量．18．为了估计河的宽度，勘测人员在河的对岸选定一个目标点A，在近岸分别取点B、D、E、C，使点A、B、D在一条直线上，且AD⊥DE，点A、C、E也在一条直线上，且DE∥BC．经测量BC＝24米，BD＝12米，DE＝40米，求河的宽度AB为多少米？【分析】根据题意得出△ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．【解答】解：设宽度AB为x米，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE，∴＝，又∵BC＝24，BD＝12，DE＝40代入得∴＝，解得x＝18，答：河的宽度为18米．【点评】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出△ABE∽△CDE是解答此题的关键．五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．）19．如图，⊙O中弦AB与CD交于M点．（1）求证：DM•MC＝BM•MA；（2）若∠D＝60°，⊙O的半径为2，求弦AC的长．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠D＝∠B，证明△DMA∽△BMC，根据相似三角形的性质列出比例式，即可证明结论；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，根据圆周角定理、垂径定理计算即可．【解答】（1）证明：∵＝，∴∠D＝∠B，又∵∠DMA＝∠BMC，∴△DMA∽△BMC，∴＝，∴DM•MC＝BM•MA；（2）连接OA，OC，过O作OH⊥AC于H点，∵∠D＝60°，∴∠AOC＝120°，∠OAH＝30°，AH＝CH，∵⊙O半径为2，∴AH＝∵AC＝2AH，∴AC＝2．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、圆周角定理、垂径定理，掌握圆周角定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．20．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1的顶点为C，图象与x轴交于A、B 两点（点A在点B的左侧）．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大整数时，求△ABC的面积．【分析】（1）根据抛物线与x轴有两个交点，得到△＞0，由此求得m的取值范围．（2）利用（1）中m的取值范围确定m＝2，然后根据抛物线解析式求得点A、B的坐标，利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1与x轴有两个交点，令y＝0．∴x2﹣4x+2m﹣1＝0．∵与x轴有两个交点，∴方程有两个不等的实数根．∴△＞0．即△＝（﹣4）2﹣4•（2m﹣1）＞0，∴m＜2.5．（2）∵m＜2.5，且m取最大整数，∴m＝2．当m＝2时，抛物线y＝x2﹣4x+2m﹣1＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1．∴C坐标为（2，﹣1）．令y＝0，得x2﹣4x+3＝0，解得x1＝1，x2＝3．∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A（1，0），B（3，0），∴△ABC的面积为＝1．【点评】考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系等知识点，解题时，注意二次函数与一元二次方程间的转化关系．六、（本题满分12分）21．在一个不透明的盒子里，装有四个分别标有数字1，2，3，4的小球，他们的形状、大小、质地等完全相同．小兰先从盒子里随机取出一个小球，记下数字为x，放回盒子，摇匀后，再由小田随机取出一个小球，记下数字为y（1）用列表法或画树状图法表示出（x，y）的所有可能出现的结果；（2）求小兰、小田各取一次小球所确定的点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的频率；（3）求小兰、小田各取一次小球所确定的数x，y满足y的概率．【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可；（2）找出点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的情况数，即可求出所求的概率；（3）找出所确定的数x，y满足y的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：（1）列表如下：1234 1（1，1）（2，1）（3，1）（4，1）2（1，2）（2，2）（3，2）（4，2）3（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）4（1，4）（2，4）（3，4）（4，4）所有等可能的结果有16种，分别为（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（2，3）；（2，4）；（3，1）；（3，2）；（3，3）；（3，4）；（4，1）；（4，2）；（4，3）；（4，4）；（2）其中点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上的情况有：（2，3）；（3，2）共2种，则P（点（x，y）落在反比例函数y＝的图象上）＝＝；（3）所确定的数x，y满足y的情况有：（1，1）；（1，2）；（1，3）；（1，4）；（2，1）；（2，2）；（3，1）；（4，1）共8种，则P（所确定的数x，y满足y）＝＝．【点评】此题考查了列表法与树状图法，以及反比例函数图象上点的坐标特征，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．七、（本题满分12分）22．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝3；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．【分析】（1）由点B的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；（2）设A点坐标为（a，），则D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），进而可得出PB，PC，PA，PD的长度，由四条线段的长度可得出，结合∠P＝∠P 可得出△PDC∽△PAB，由相似三角形的性质可得出∠CDP＝∠A，再利用“同位角相等，两直线平行”可证出CD∥AB；（3）由四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等可得出S△PAB ＝2S△PCD，利用三角形的面积公式可得出关于a的方程，解之取其负值，再将其代入P点的坐标中即可求出结论．【解答】（1）解：∵B点（1，3）在反比例函数y＝的图象，∴k＝1×3＝3．故答案为：3．（2）证明：∵反比例函数解析式为，∴设A点坐标为（a，）．∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，∴，，∴．又∵∠P＝∠P，∴△PDC∽△PAB，∴∠CDP＝∠A，∴CD∥AB．（3）解：∵四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等，∴S△PAB ＝2S△PCD，∴×（3﹣）×（1﹣a）＝2××1×（﹣），整理得：（a﹣1）2＝2，解得：a1＝1﹣，a2＝1+（舍去），∴P点坐标为（1，﹣3﹣3）．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质、平行线的判定以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出k值；（2）利用相似三角形的判定定理找出△PDC∽△PAB；（3）由三角形的面积公式，找出关于a的方程．八、（本题满分14分）23．如图1，四边形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，点P为DC上一点，且AP＝AB，分别过点A 和点C作直线BP的垂线，垂足为点E和点F．（1）证明：△ABE∽△BCF；（2）若＝，求的值；（3）如图2，若AB＝BC，设∠DAP的平分线AG交直线BP于G．当CF＝1，＝时，求线段AG的长．【分析】（1）由余角的性质可得∠ABE＝∠BCF，即可证△ABE∽△BCF；（2）由相似三角形的性质可得＝＝，由等腰三角形的性质可得BP＝2BE，即可求的值；（3）由题意可证△DPH∽△CPB，可得＝＝，可求AE＝，由等腰三角形的性质可得AE平分∠BAP，可证∠EAG＝∠BAH＝45°，可得△AEG是等腰直角三角形，即可求AG 的长．【解答】证明：（1）∵AB⊥BC，∴∠ABE+∠FBC＝90°又∵CF⊥BF，∴∠BCF+∠FBC＝90°∴∠ABE＝∠BCF又∵∠AEB＝∠BFC＝90°，∴△ABE∽△BCF（2）∵△ABE∽△BCF，∴＝＝又∵AP＝AB，AE⊥BF，∴BP＝2BE∴＝＝（3）如图，延长AD与BG的延长线交于H点∵AD∥BC，∴△DPH∽△CPB∴＝＝∵AB＝BC，由（1）可知△ABE≌△BCF∴CF＝BE＝EP＝1，∴BP＝2，代入上式可得HP＝，HE＝1+＝∵△ABE∽△HAE，∴＝，＝，∴AE＝∵AP＝AB，AE⊥BF，∴AE平分∠BAP又∵AG平分∠DAP，∴∠EAG＝∠BAH＝45°，∴△AEG是等腰直角三角形．∴AG＝AE＝3【点评】本题是相似综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键．。

一、选择题(每小题3分,共计36分)1.如图,若数轴上不重合的A、B两点到原点的距离相等,则点B所表示的数为( )A．3 B．2 C．1 D．02.在探索因式分解的公式时,可以借助几何图形来解释某些公式．如图,从左图到右图的变化过程中,解释的因式分解公式是( )A．(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B．a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)C．a2+b2=(a+b)2D．(a﹣b)2=a2﹣2ab+b23.如果a2+2a﹣3=0,那么代数式(a4a-)•22aa-的值是( )A．3 B．﹣1 C．1 D．﹣34.x的取值范围在数轴上表示为( )A．B．C．D．5.《九章算术》中有”盈不足术”的问题,原文如下：”今有共買羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三．问人数,羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元；每人出7元,则差3元求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x人,则根据题意可列方程为( )A ．5x +45=7x +3B ．5x +45=7x ﹣3C ．5x ﹣45=7x +3D ．5x ﹣45=7x ﹣36.在矩形ABCD 中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,设小长方形的长、宽分别为x cm,y cm,则下列方程组正确的是( )A ．26314x y y x y -+=⎧⎨+=⎩B ．31426x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．31426x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．3146x y x y +=⎧⎨+=⎩7.对于实数a 、b ,定义一种新运算”⊗”为：23a b a ab⊗=-,这里等式右边是通常的四则运算．若(﹣3)⊗x =2⊗x ,则x 的值为( ) A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．28.已知a ,b 是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的两个根,则代数式a 2+b 2的值是( ) A ．1B ．9C ．7D ．119.光明文具店销售某品牌钢笔,当它的售价为14元/支时,月销量为180支,若每支钢笔的售价每涨价1元,月销量就相应减少15支,设每支钢笔涨价后的售价为x 元/支,若使该种钢笔的月销量不低于105支,则x 应满足的不等式为( ) A ．180﹣15x ≥105 B ．180﹣(x ﹣14)≤105C ．180+15(x +14)≥105D ．180﹣15(x ﹣14)≥10510.如图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy ,使”帅”的坐标为(﹣1,﹣2)”马”的坐标为(2,﹣2),则”兵”的坐标为( )A．(﹣3,1) B．(﹣2,1) C．(﹣3,0) D．(﹣2,3)11.直线y=﹣2x﹣1关于y轴对称的直线与直线y=﹣2x+m的交点在第四象限,则m的取值范围是( )A．m>﹣1 B．m<1 C．﹣1<m<1 D．﹣1≤m≤112.二次函数y12(x﹣4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( )A．向上,直线x=4,(4,5) B．向上,直线x=﹣4,(﹣4,5)C．向上,直线x=4,(4,﹣5) D．向下,直线x=﹣4,(﹣4,5)二、填空题(每小题3分,共计12分)13.将一张矩形纸片ABCD沿直线EF折成如图所示的形状,若∠HED=50°,则∠EFG=__________．14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于点E,若BC=4,△AOE的面积为6,则BE=__________．15.若△ABC∽△DEF,且相似比是2：3,它们周长之和是40,则△ABC的周长是__________．16.如图,在△ABC中,DE∥BC,交AB于点D,交AC于点E,点F为BC边上一点,AF与DE交于点G．若13 DEBC=,则AGGF=__________．三、简答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分)17.先化简：(1－32x)÷244xx x－1,再将x=－1代入求值．18.如图所示,在菱形ABCD中,点E.F分别为A D.CD边上的点,DE＝DF,求证：∠1＝∠2．19.某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求,随即抽样调查了该校的部分学生,并根据其中两个单选问题的调查结果,绘制了如下尚不完整的统计图表．学生能接受的早餐价格统计表价格分组(单位：元) 频数频率0<x≤2 60 0.152<x≤4 180 c4<x≤6 92 0.236<x≤8 a0.12x>8 20 0.05合计b 1根据以上信息解答下列问题：(1)统计表中,a=__________,b=__________,c=__________．(2)扇形统计图中,m的值为__________,”甜”所对应的圆心角的度数是__________．(3)该餐厅计划每天提供早餐2000份,其中咸味大约准备多少份较好？20.如图是长沙九龙仓国际金融中心,位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角,投资160亿元人民币,总建筑面积达98万平方米,中心主楼BC高452m,是目前湖南省第一高楼,大楼顶部有一发射塔AB,已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE,在楼DE底端D点测得A的仰角为α,tanα247,在顶端E点测得A的仰角为45°,AE(1)求两楼之间的距离CD；(2)求发射塔AB的高度．21.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y2x-=的图象相交于A(﹣1,m),B(n,﹣1)两点．(1)求出这个一次函数的表达式．(2)求△OAB的面积．(3)直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．22.网约车越来越受到大众的欢迎．某种网约车的总费用由里程费和耗时费组成,其中里程费按p元/千米计算,耗时费按q元/分钟计算(总费用不足10元按10元计价)．李明、王刚两人用该打车方式出行,按上述计价规则,其行驶里程数、耗时以及打车总费用如表：里程数s(千米) 耗时t(分钟) 车费(元)李明8 8 12王刚10 12 16(1)求p,q的值；(2)若张华也用该打车方式出行,平均车速为50千米/时,行驶了15千米,那么张华的打车总费用为多少？ 23.如图,AG 是∠HAF 的平分线,点E 在AF 上,以AE 为直径的⊙O 交AG 于点D,过点D 作AH 的垂线,垂足为点C,交AF 于点B ．(1)求证：直线BC 是⊙O 的切线；(2)若AC=2CD,设⊙O 的半径为r,求BD 的长度．24.如图,抛物线62++=bx ax y 经过点A (-2,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为)41(<<m m .连接AC ,BC ,DB ,D C.（1）求抛物线的函数表达式； （2）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的43时,求m 的值； （3）在(2)的条件下,若点M 是x 轴上的一个动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.答案与解析一、选择题(每小题3分,共计36分)1.如图,若数轴上不重合的A、B两点到原点的距离相等,则点B所表示的数为( )A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】∵A、B两点到原点的距离相等,A为﹣2,则B为﹣2的相反数,即B表示2．2.在探索因式分解的公式时,可以借助几何图形来解释某些公式．如图,从左图到右图的变化过程中,解释的因式分解公式是( )A．(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B．a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)C．a2+b2=(a+b)2D．(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2【答案】B【解析】如图,从左图到右图的变化过程中,解释的因式分解公式是：a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)．3.如果a2+2a﹣3=0,那么代数式(a4a-)•22aa-的值是( )A．3 B．﹣1 C．1 D．﹣3 【答案】A【解析】原式24a a -=•22a a - 22a a a +-=（）（）•22a a - =a (a +2)=a 2+2a ,∵a 2+2a ﹣3=0,∴a 2+2a =3, 故原式=3．4.x 的取值范围在数轴上表示为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意可知：3010x x -≥⎧⎨-≠⎩,∴x ≤3且x ≠1． 5.《九章算术》中有”盈不足术”的问题,原文如下：”今有共買羊,人出五,不足四十五；人出七,不足三．问人数,羊價各幾何？”题意是：若干人共同出资买羊,每人出5元,则差45元；每人出7元,则差3元求人数和羊价各是多少？设买羊人数为x 人,则根据题意可列方程为( ) A ．5x +45=7x +3 B ．5x +45=7x ﹣3C ．5x ﹣45=7x +3D ．5x ﹣45=7x ﹣3【答案】A【解析】设买羊人数为x 人,则根据题意可列方程为5x +45=7x +3．6.在矩形ABCD 中,放入六个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,设小长方形的长、宽分别为x cm,y cm,则下列方程组正确的是( )A ．26314x y y x y -+=⎧⎨+=⎩B ．31426x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．31426x y x y +=⎧⎨-=⎩D ．3146x y x y +=⎧⎨+=⎩【答案】A【解析】设小长方形的长为x ,宽为y ,如图可知,31426x y x y y +=⎧⎨+-=⎩．7.对于实数a 、b ,定义一种新运算”⊗”为：23a b a ab⊗=-,这里等式右边是通常的四则运算．若(﹣3)⊗x =2⊗x ,则x 的值为( ) A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．2【答案】B【解析】根据题中的新定义化简得：339342x x=+-,去分母得：12﹣6x =27+9x , 解得：x =﹣1,经检验x =﹣1是分式方程的解．8.已知a ,b 是一元二次方程x 2+3x ﹣1=0的两个根,则代数式a 2+b 2的值是( ) A ．1 B ．9C ．7D ．11【答案】D【解析】∵a、b是一元二次方程x2+3x﹣1=0的两个根,∴a+b=﹣3,ab=﹣1,∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=(﹣3)2﹣2×(﹣1)=9+2=11．9.光明文具店销售某品牌钢笔,当它的售价为14元/支时,月销量为180支,若每支钢笔的售价每涨价1元,月销量就相应减少15支,设每支钢笔涨价后的售价为x元/支,若使该种钢笔的月销量不低于105支,则x应满足的不等式为( )A．180﹣15x≥105 B．180﹣(x﹣14)≤105C．180+15(x+14)≥105 D．180﹣15(x﹣14)≥105【答案】D【解析】依题意有180﹣15(x﹣14)≥105．10.如图,若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy,使”帅”的坐标为(﹣1,﹣2)”马”的坐标为(2,﹣2),则”兵”的坐标为( )A．(﹣3,1) B．(﹣2,1) C．(﹣3,0) D．(﹣2,3)【答案】A【解析】如图所示：可得”炮”是原点,则”兵”位于点：(﹣3,1)．11.直线y=﹣2x﹣1关于y轴对称的直线与直线y=﹣2x+m的交点在第四象限,则m的取值范围是( )A．m>﹣1 B．m<1 C．﹣1<m<1 D．﹣1≤m≤1【答案】C【解析】联立212y x y x m =-⎧⎨=-+⎩,解得1412m x m y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, ∵交点在第四象限,∴104102m m +⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩①②, 解不等式①得,m >﹣1,解不等式②得,m <1, 所以,m 的取值范围是﹣1<m <1． 12.二次函数y 12=(x ﹣4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是( ) A ．向上,直线x =4,(4,5) B ．向上,直线x =﹣4,(﹣4,5) C ．向上,直线x =4,(4,﹣5) D ．向下,直线x =﹣4,(﹣4,5)【答案】A【解析】二次函数y 12=(x ﹣4)2+5的图象的开口向上、对称轴为直线x =4、顶点坐标为(4,5)． 二、填空题(每小题3分,共计12分)13.将一张矩形纸片ABCD 沿直线EF 折成如图所示的形状,若∠HED =50°,则∠EFG =__________．【答案】65°【解析】设∠EFG =α,则由折叠可得∠BFE =α, ∵AD ∥BC ,∴∠DEF =∠BFE =α,∠FEH =α+50°,由折叠可得∠AEF=∠HEF=α+50°,又∵∠AED=180°,∴α+50°+α=180°,解得α=65°,∴∠EFG=65°．14.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于点E,若BC=4,△AOE的面积为6,则BE=__________．【答案】【解析】连接E C．∵四边形ABCD是矩形∴AO=CO,且OE⊥AC,∴OE垂直平分AC∴CE=AE,S△AOE=S△COE=6,∴S△AEC=2S△AOE=12．∴12AE•BC=12,又∵BC=4,∴AE=6,∴EC=6．∴BE==15.若△ABC∽△DEF,且相似比是2：3,它们周长之和是40,则△ABC的周长是__________．【答案】16【解析】∵△ABC与△DEF的相似比为2：3,∴△ABC的周长：△DEF的周长=2：3,∴△ABC的周长2 23 =⨯+40=16．16.如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,交AB 于点D ,交AC 于点E ,点F 为BC 边上一点,AF 与DE 交于点G ．若13DE BC =,则AGGF=__________．【答案】12． 【解析】∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴13AD DE AB BC ==．同理：△ADG ∽△ABF , ∴13AG AD AF AB ==,又∵AF =AG +GF ,∴11312AG AG GF AF AG ===--． 三、简答题(17-21每题8分,22-23每题10分,24题12分)17.先化简：(1－32x )÷244x x x －1,再将x=－1代入求值． 【答案】见解析.【解析】先把括号内的分式进行通分相减,再把除法化为乘法进行约分化简,最后代入求值．原式=2x x －1×22x x －1=x+2．当x=－1时,原式=－1+2=1．18.如图所示,在菱形ABCD 中,点E.F 分别为A D.CD 边上的点,DE ＝DF , 求证：∠1＝∠2．【答案】见解析.【解析】由菱形的性质得出AD＝CD,由SAS证明△ADF≌△CDE,即可得出结论．证明：∵四边形ABCD是菱形,∴AD＝CD,在△ADF和△CDE中,,∴△ADF≌△CDE(SAS),∴∠1＝∠2．19.某初中学校餐厅为了解学生对早餐的要求,随即抽样调查了该校的部分学生,并根据其中两个单选问题的调查结果,绘制了如下尚不完整的统计图表．学生能接受的早餐价格统计表价格分组(单位：元) 频数频率0<x≤2 60 0.152<x≤4 180 c4<x≤6 92 0.236<x≤8 a0.12x>8 20 0.05合计b 1根据以上信息解答下列问题：(1)统计表中,a=__________,b=__________,c=__________．(2)扇形统计图中,m的值为__________,”甜”所对应的圆心角的度数是__________．(3)该餐厅计划每天提供早餐2000份,其中咸味大约准备多少份较好？【解析】(1)b=60÷0.15=400,a=400×0.12=48,c=180÷400=0.45,故答案为：400,48,0.45；(2)m%=1﹣26%﹣12%﹣23%﹣9%=30%,即m的值是30,“甜”所对应的圆心角的度数是：360°×30%=108°,故答案为：30,108°；(3)2000×26%=520(份),答：该餐厅计划每天提供早餐2000份,其中咸味大约准备520份较好．20.如图是长沙九龙仓国际金融中心,位于长沙市黄兴路与解放路交会处的东北角,投资160亿元人民币,总建筑面积达98万平方米,中心主楼BC高452m,是目前湖南省第一高楼,大楼顶部有一发射塔AB,已知和BC处于同一水平面上有一高楼DE,在楼DE底端D点测得A的仰角为α,tanα247,在顶端E点测得A的仰角为45°,AE(1)求两楼之间的距离CD；(2)求发射塔AB的高度．【解析】(1)过点E作EF⊥AC于点F,∵∠AEF=45°,AE∴EF=140,由矩形的性质可知：CD=EF=140,故两楼之间的距离为140m；(2)在Rt△ADC中,tanαACCD=,∴AC=140247⨯=480,∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28,故发射塔AB的高度为28m．21.一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y2x-=的图象相交于A(﹣1,m),B(n,﹣1)两点．(1)求出这个一次函数的表达式．(2)求△OAB的面积．(3)直接写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围．【解析】(1)把A(﹣1,m),B(n,﹣1)分别代入y2x-=得﹣m=﹣2,﹣n=﹣2,解得m=2,n=2,所以A点坐标为(﹣1,2),B点坐标为(2,﹣1),把A(﹣1,2),B(2,﹣1)代入y=kx+b得221k bk b-+=⎧⎨+=-⎩,解得11kb=-⎧⎨=⎩,所以这个一次函数的表达式为y=﹣x+1；(2)设直线AB交y轴于P点,如图,当x=0时,y=1,所以P点坐标为(0,1),所以S△OAB=S△AOP+S△BOP12=⨯1×112+⨯1×232=；(3)使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围是x<﹣1或0<x<2．22.网约车越来越受到大众的欢迎．某种网约车的总费用由里程费和耗时费组成,其中里程费按p元/千米计算,耗时费按q元/分钟计算(总费用不足10元按10元计价)．李明、王刚两人用该打车方式出行,按上述计价规则,其行驶里程数、耗时以及打车总费用如表：里程数s(千米) 耗时t(分钟) 车费(元)李明8 8 12王刚10 12 16(1)求p,q的值；(2)若张华也用该打车方式出行,平均车速为50千米/时,行驶了15千米,那么张华的打车总费用为多少？【解析】(1)小明的里程数是8km,时间为8min；小刚的里程数为10km,时间为12min．由题意得8812 101216p qp q+=⎧⎨+=⎩,解得112 pq=⎧⎪⎨=⎪⎩；(2)张华的里程数是15km,时间为18min．则总费用是：15p+18q=24(元)．答：总费用是24元．23.如图,AG是∠HAF的平分线,点E在AF上,以AE为直径的⊙O交AG于点D,过点D作AH的垂线,垂足为点C,交AF于点B．(1)求证：直线BC是⊙O的切线；(2)若AC=2CD,设⊙O的半径为r,求BD的长度．【分析】(1)根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC,证明OD⊥CB,可得结论；(2)在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,证明△ACD∽△ADE,表示a=,由平行线分线段成比例定理得：,代入可得结论．【解答】(1)证明：连接OD,∵AG是∠HAF的平分线,∴∠CAD=∠BAD,∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,∵∠ACD=90°,∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB,∵D在⊙O上,∴直线BC是⊙O的切线；(4分)(2)解：在Rt△ACD中,设CD=a,则AC=2a,AD=a,连接DE,∵AE是⊙O的直径,∴∠ADE=90°,由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°,∴△ACD∽△ADE,∴,即,∴a=,由(1)知：OD ∥AC,∴,即,∵a=,解得BD=r ．24.如图,抛物线62++=bx ax y 经过点A (-2,0),B (4,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是抛物线上一个动点,设点D 的横坐标为)41(<<m m .连接AC ,BC ,DB ,D C.（4）求抛物线的函数表达式；（5）△BCD 的面积等于△AOC 的面积的43时,求m 的值； （6）在(2)的条件下,若点M 是x 轴上的一个动点,点N 是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M ,使得以点B ,D ,M ,N 为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M 的坐标；若不存在,请说明理由.【答案】见解析.【解析】(1)抛物线c bx ax y ++=2经过点A (-2,0),B (4,0),∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩,解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++ (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ,交BC 于点G ,作CF ⊥DE ,垂足为F . ∵点A 的坐标为(-2,0),∴OA =2由0=x ,得6=y ,∴点C 的坐标为(0,6),∴OC =6∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=,∵S △BCD =43S △AOC =29643=⨯ 设直线BC 的函数表达式为n kx y +=,由B ,C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩,解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的函数表达式为623+-=x y . ∴点G 的坐标为3(,6),2m m -+ ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+ ∵点B 的坐标为(4,0),∴OB =4S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅ =22133346242m m m m -+⨯=-+（） ∴239622m m -+=,解得11=m (舍),32=m ,∴m 的值为3(3)1234(8,0),(0,0),(M M M M如下图所示,以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图 以BD 为边进行构图,有3种情况,采用构造全等发进行求解. ∵D 点坐标为)415,3(,所以21,N N 的纵坐标为415 233156424x x -++=,解得3,121=-=x x (舍) 可得2215(1,),(0,0)4N M -∴∴34,N N 的纵坐标为415-时,2123315611424x x x x -++=-==+，∴3315(1),4N M +-∴,4415(1),(4N M -∴ 以BD 为对角线进行构图,有1种情况,采用中点坐标公式进行求解. ∵111151515(1,),(34(1),0),(8,0)444N M M -∴+--+-∴。

浙江省衢州市中考数学一模试卷一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项填在相应的答案栏内，不选、多选、错选均不给分.1．已知点（1，﹣2）在反比例函数的图象上，那么这个函数图象一定经过点（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（2，1）2．如果=，则=（）A．B．C．D．3．小芳从正面（图示“主视方向”）观察如图的热水瓶时，得到的主视图是（）A．B．C．D．4．抛物线y=2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）5．已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm和4cm，圆心距为6cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．外切 B．相离 C．相交 D．内切6．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a2+a2=a4C．3a2×2a2=6a4D．5a﹣a=47．若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（）A．9 B．3 C．1 D．68．已知函数y=﹣x2+x+2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞2 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞1 D．﹣2＜x＜19．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm210．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时．设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分.）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是．12．将y=2x2的函数图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数解析式为．13．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为mm．14．如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.1米，BP=1.9米，PD=19米，那么该古城墙CD的高度是米．15．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为度．（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）16．在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有一系列点A1、A2、A3、…、A n、A n，若+1A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分+1的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1=，S1+S2+S3+…+S n=．（用n的代数式表示）．三、解答题（共66分）17．计算：．18．学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按1～2编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车．（1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果；（2）求程、李两位教师同坐2号车的概率．19．如图，直线y1=2x+b与x轴、y轴交于点A、B，与双曲线（x＜0）交于点C、D，已知点C的坐标为（﹣1，4）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）利用图象，说出x在什么范围内取值时，有y1＞y2．20．如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离．（≈1.732，结果精确到0.1m）21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．22．为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？23．如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF 绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）．24．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．浙江省衢州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分.请选出各题中一个符合题意的正确选项填在相应的答案栏内，不选、多选、错选均不给分.1．已知点（1，﹣2）在反比例函数的图象上，那么这个函数图象一定经过点（）A．（﹣1，2）B．（﹣2，﹣1）C．（﹣1，﹣2）D．（2，1）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先根据点（1，﹣2）在反比例函数的图象上求出k的值，再根据k=xy的特点对各选项进行逐一判断．【解答】解：∵点（1，﹣2）在反比例函数的图象上，∴k=1×（﹣2）=﹣2，A、∵（﹣1）×2=﹣2，∴此点在反比例函数图象上；B、∵（﹣2）×（﹣1）=2≠﹣2，∴此点不在反比例函数图象上；C、∵（﹣1）×（﹣2）=2≠﹣2，∴此点不在反比例函数图象上；D、∵2×1=2≠﹣2，∴此点不在反比例函数图象上．故选A．2．如果=，则=（）A．B．C．D．【考点】比例的性质．【分析】先根据比例的性质可得+1=+1，进而可得=，再求倒数即可．【解答】解：∵=，∴+1=+1，∴=．故选：C．3．小芳从正面（图示“主视方向”）观察如图的热水瓶时，得到的主视图是（）A．B．C．D．【考点】简单组合体的三视图．【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看下面是一个矩形，中间是一个梯形，上边是一个矩形，左边是一个矩形，故选：A．4．抛物线y=2（x﹣3）2+4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（4，3）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）【考点】二次函数的性质．【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．【解答】解：y=2（x﹣3）2+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（3，4）．故选A．5．已知：⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm和4cm，圆心距为6cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．外切 B．相离 C．相交 D．内切【考点】圆与圆的位置关系．【分析】由⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm和4cm，两圆的圆心距是6cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为10cm和4cm，两圆的圆心距是6cm，又∵10﹣4=6，∴两圆的位置关系是内切．故选D．6．下列计算正确的是（）A．a2•a3=a6B．a2+a2=a4C．3a2×2a2=6a4D．5a﹣a=4【考点】单项式乘单项式；合并同类项；同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂的乘法底数不变指数相加，单项式的乘法，系数乘系数，同底数的幂相乘；合并同类项系数相加字母及指数不变，可得答案【解答】解：A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；B、合并同类项系数相加字母及指数不变，故B错误；C、系数乘系数，同底数的幂相乘，故C正确；D、合并同类项系数相加字母及指数不变，故D错误；故选：C．7．若用半径为9，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥的底面半径是（）A．9 B．3 C．1 D．6【考点】圆锥的计算．【分析】根据扇形的周长=圆锥的底面周长，列式计算．【解答】解：设这个圆锥的底面半径是r，=2πr，r=3，故选B．8．已知函数y=﹣x2+x+2，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞2 B．﹣1＜x＜2 C．x＜﹣2或x＞1 D．﹣2＜x＜1【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】先求出函数的图象与x轴的交点坐标，再根据函数的图象开口向下，即可得出当y ＜0时自变量x的取值范围．【解答】解：当y=0时，﹣x2+x+2=0，（x+1）（﹣x+2）=0，x1=﹣1，x2=2，由于函数开口向下，可知当y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞2．故选A9．如图，将宽为1cm的纸条沿BC折叠，使∠CAB=45°，则折叠后重叠部分的面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2【考点】解直角三角形的应用．【分析】由题可知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB，过C作CD⊥AB，垂足为D，根据三角函数定义求出AC，AB，然后就可以求出△ABC面积．【解答】解：如图，由题可知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，即∠A=45°，AC=AB．作CD⊥AB，垂足为D，则CD=1．∵sin∠A=，∴==AB，=×AB×CD=，∴S△ABC∴折叠后重叠部分的面积为cm2．故选D．10．如图，C为⊙O直径AB上一动点，过点C的直线交⊙O于D，E两点，且∠ACD=45°，DF⊥AB于点F，EG⊥AB于点G，当点C在AB上运动时．设AF=x，DE=y，下列中图象中，能表示y与x的函数关系式的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】本题考查动点函数图象的问题．【解答】解：点C从点A运动到点B的过程中，x的值逐渐增大，DE的长度随x值的变化先变大再变小，当C与O重合时，y有最大值，∵x=0，y=ABx=AB﹣AB时，DE过点O，此时：DE=ABx=AB，y=AB所以，随着x的增大，y先增后降，类抛物线故选：A．二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分.）11．若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥1．【考点】二次根式有意义的条件．【分析】根据二次根式的性质可知，被开方数大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范围．【解答】解：根据二次根式有意义的条件，x﹣1≥0，∴x≥1．故答案为：x≥1．12．将y=2x2的函数图象向左平移1个单位，再向上平移3个单位，得到二次函数解析式为y=2（x+1）2+3．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】利用平移的规律“左加右减，上加下减”可得到答案．【解答】解：将y=2x2的函数图象向左平移1个单位，其解析式为y=2（x+1）2，再把y=2（x+1）2图象向上平移3个单位，其解析式为y=2（x+1）2+3，故答案为：y=2（x+1）2+3．13．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为8mm．【考点】垂径定理的应用；勾股定理．【分析】先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．【解答】解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，∵钢珠的直径是10mm，∴钢珠的半径是5mm，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，∴OD=3mm，在Rt△AOD中，∵AD===4mm，∴AB=2AD=2×4=8mm．故答案为：8．14．如图，是小李设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.1米，BP=1.9米，PD=19米，那么该古城墙CD的高度是11米．【考点】相似三角形的应用．【分析】利用入射与反射得到∠APB=∠CPD，则可判断Rt△ABP∽Rt△CDP，于是根据相似三角形的性质即可求出CD．【解答】解：根据题意得∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴Rt△ABP∽Rt△CDP，∴=，即=，解得CD=11．答：该古城墙的高度为11米．故答案为11．15．一个滑轮起重装置如图所示，滑轮的半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条（假设绳索与滑轮之间没有滑动，半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为57度．π取3.14，结果精确到1°）【考点】弧长的计算．【分析】设OA旋转的角度为n，由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm，根据弧长公式即可求出．【解答】解：设OA旋转的角度为n，由于重物上升10 cm，则点A逆时针旋转的弧长为10 cm，由弧长公式l=，可求n=≈57度．16．在反比例函数y=（x＞0）的图象上，有一系列点A1、A2、A3、…、A n、A n，若+1A1的横坐标为2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2．现分别过点A1、A2、A3、…、A n、A n作x轴与y轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分+1的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，…，S n，则S1=5，S1+S2+S3+…+S n=．（用n的代数式表示）．【考点】反比例函数综合题．【分析】由已知条件横坐标成等差数列，再根据点A1、A2、A3、…、A n、A n在反比例函+1数上，求出各点坐标，再由面积公式求出S n的表达式，把n=1代入求得S1的值．在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且【解答】解：∵点A1、A2、A3、…、A n、A n+1每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2，又点A1的横坐标为2，∴A1（2，5），A2（4，）∴S1=2×（5﹣）=5；（2n+2，），由题图象知，A n（2n，），A n+1∴S2=2×（）=，∴图中阴影部分的面积知：S n=2×（）=，（n=1，2，3，…）∵=，∴S1+S2+S3+…+S n=10（++…+）=10（1）=．故答案为：5，．三、解答题（共66分）17．计算：．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】分别进行零指数幂、负整数指数幂及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．【解答】解：原式=1+3+2×﹣=4．18．学校组织初三数学备课组全体教师去外校听课，安排了两辆车，按1～2编号，程、李两位教师可任意选坐一辆车．（1）用画树状图的方法或列表法列出所有可能的结果；（2）求程、李两位教师同坐2号车的概率．【考点】列表法与树状图法．【分析】（1）依据题意列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果即可，（2）根据概率公式程、李两位教师同坐2号车的概率．【解答】解：（1）画树形图得：（2）由（1）可知P（程、李两位教师同坐2号车）=．19．如图，直线y1=2x+b与x轴、y轴交于点A、B，与双曲线（x＜0）交于点C、D，已知点C的坐标为（﹣1，4）．（1）求直线和双曲线的解析式；（2）利用图象，说出x在什么范围内取值时，有y1＞y2．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）因为两个函数的图象都过C点，将C点坐标代入求得b、k的值，所以易求它们的解析式；（2）先求出D点的横坐标，再观察直线落在双曲线上方的部分对应的x的取值范围即可．【解答】解：（1）将C（﹣1，4）分别代入y1=2x+b，，得4=2×（﹣1）+b，4=，解得k=﹣4，b=6，∴y1=2x+6，y2=﹣；（2）∵y1=2x+6，y2=﹣，∴当2x+6=﹣时，x1=﹣1，x2=﹣2，∴D点的横坐标为﹣2，∴当﹣2＜x＜﹣1时，y1＞y2．20．如图所示，小杨在广场上的A处正面观测一座楼房墙上的广告屏幕，测得屏幕下端D 处的仰角为30°，然后他正对大楼方向前进5m到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45°．若该楼高为26.65m，小杨的眼睛离地面1.65m，广告屏幕的上端与楼房的顶端平齐．求广告屏幕上端与下端之间的距离．（≈1.732，结果精确到0.1m）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】易得CE=BE，利用30°的正切值即可求得CE长，进而可求得DE长．CE减去DE 长即为广告屏幕上端与下端之间的距离．【解答】解：设AB、CD的延长线相交于点E．∵∠CBE=45°，CE⊥AE，∴CE=BE．∵CE=26.65﹣1.65=25，∴BE=25．∴AE=AB+BE=30．在Rt△ADE中，∠DAE=30°，∴DE=AE×tan30°=30×=10，∴CD=CE﹣DE=25﹣10≈25﹣10×1.732=7.68≈7.7（m）．答：广告屏幕上端与下端之间的距离约为7.7m．21．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）已知AB=10，BC=6，求⊙O的半径r．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）连接OD．欲证AC是⊙O的切线，只需证明AC⊥OD即可；（2）利用平行线截线段成比例推知=；然后将图中线段间的和差关系代入该比例式，通过解方程即可求得r的值，即⊙O的半径r的值．【解答】（1）证明：连接OD．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB（等角对等边）；∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ODB=∠DBC（等量代换），∴OD∥BC（内错角相等，两直线平行）；又∵∠C=90°（已知），∴∠ADO=90°（两直线平行，同位角相等），∴AC⊥OD，即AC是⊙O的切线；（2）解：由（1）知，OD∥BC，∴=（平行线截线段成比例），∴=，解得r=，即⊙O的半径r为．22．为了扶持大学生自主创业，市政府提供了80万元无息贷款，用于某大学生开办公司生产并销售自主研发的一种电子产品，并约定用该公司经营的利润逐步偿还无息贷款．已知该产品的生产成本为每件40元，员工每人每月的工资为2500元，公司每月需支付其它费用15万元．该产品每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．（1）求月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（2）当销售单价定为50元时，为保证公司月利润达到5万元（利润=销售额﹣生产成本﹣员工工资﹣其它费用），该公司可安排员工多少人？（3）若该公司有80名员工，则该公司最早可在几个月后还清无息贷款？【考点】一次函数的应用；分段函数．【分析】（1）从图中看，这是一个分段一次函数，40≤x≤60和60＜x＜100时，函数的表达式不同，每段函数都经过两点，使用待定系数法即可求出函数关系式；（2）利用（1）中的函数关系，当销售单价定为50元时，可计算出月销售量，设可安排员工m人，利润=销售额一生产成本﹣员工工资﹣其它费用，列出方程即可解；（3）先分情况讨论出利润的最大值，即可求解．【解答】解：（1）当40≤x≤60时，令y=kx+b，则，解得，故，同理，当60＜x＜100时，．故y=；（2）设公司可安排员工a人，定价50元时，由5=（﹣×50+8）（50﹣40）﹣15﹣0.25a，得30﹣15﹣0.25a=5，解得a=40，所以公司可安排员工40人；（3）当40≤x≤60时，利润w1=（﹣x+8）（x﹣40）﹣15﹣20=﹣（x﹣60）2+5，则当x=60时，w max=5万元；当60＜x＜100时，w2=（﹣x+5）（x﹣40）﹣15﹣0.25×80=﹣（x﹣70）2+10，∴x=70时，w max=10万元，∴要尽早还清贷款，只有当单价x=70元时，获得最大月利润10万元，设该公司n个月后还清贷款，则10n≥80，∴n≥8，即n=8为所求．23．如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°，【操作1】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF 绕点E旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．在旋转过程中，如图2，当时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明．【操作2】在旋转过程中，如图3，当时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由．【总结操作】根据你以上的探究结果，试写出当时，EP与EQ满足的数量关系是什么？其中m的取值范围是什么？（直接写出结论，不必证明）．【考点】相似形综合题．【分析】（操作1）连接BE，根据已知条件得到E是AC的中点，根据等腰直角三角形的性质可以证明DE=CE，∠PBE=∠C．根据等角的余角相等可以证明∠BEP=∠CEQ．即可得到全等三角形，从而证明结论；（操作2）作EM⊥AB，EN⊥BC于M、N，根据两个角对应相等证明△MEP∽△NWQ，发现EP：EQ=EM：EN，再根据等腰直角三角形的性质得到EM：EN=AE：CE；（总结操作）根据（2）中求解的过程，可以直接写出结果；要求m的取值范围，根据交点的位置的限制进行分析．【解答】（操作1）EP=EQ，证明：连接BE，根据E是AC的中点和等腰直角三角形的性质，得：BE=CE，∠PBE=∠C=45°，∵∠BEC=∠FED=90°∴∠BEP=∠CEQ，在△BEP和△CEQ中，∴△BEP≌△CEQ（ASA），∴EP=EQ；如图2，EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2，理由是：作EM⊥AB，EN⊥BC于M，N，∴∠EMP=∠ENC，∵∠MEP+∠PEN=∠PEN+∠NEF=90°，∴∠MEP=∠NEF，∴△MEP∽△NEQ，∴EP：EQ=EM：EN=AE：CE=1：2；如图3，过E点作EM⊥AB于点M，作EN⊥BC于点N，∵在四边形PEQB中，∠B=∠PEQ=90°，∴∠EPB+∠EQB=180°，又∵∠EPB+∠MPE=180°，∴∠MPE=∠EQN，∴Rt△MEP∽Rt△NEQ，∴=，Rt△AME∽Rt△ENC，∴=m=，∴=1：m=，EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP，∴0＜m≤2+，（因为当m＞2+时，EF和BC变成不相交）．24．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据折叠图形的轴对称性，△CED、△CBD全等，首先在Rt△CEO中求出OE的长，进而可得到AE的长；在Rt△AED中，AD=AB﹣BD、ED=BD，利用勾股定理可求出AD的长．进一步能确定D点坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式．（2）由于∠DEC=90°，首先能确定的是∠AED=∠OCE，若以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似，那么∠QPC=90°或∠PQC=90°，然后在这两种情况下，分别利用相似三角形的对应边成比例求出对应的t的值．（3）由于以M，N，C，E为顶点的四边形，边和对角线都没明确指出，所以要分情况进行讨论：①EC做平行四边形的对角线，那么EC、MN必互相平分，由于EC的中点正好在抛物线对称轴上，所以M点一定是抛物线的顶点；②EC做平行四边形的边，那么EC、MN平行且相等，首先设出点N的坐标，然后结合E、C的横、纵坐标差表示出M点坐标，再将点M代入抛物线的解析式中，即可确定M、N的坐标．【解答】方法一：解：（1）∵四边形ABCO为矩形，∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°，AB=CO=8，AO=BC=10．由题意，△BDC≌△EDC．∴∠B=∠DEC=90°，EC=BC=10，ED=BD．由勾股定理易得EO=6．∴AE=10﹣6=4，设AD=x，则BD=ED=8﹣x，由勾股定理，得x2+42=（8﹣x）2，解得，x=3，∴AD=3．∵抛物线y=ax2+bx+c过点D（3，10），C（8，0），O（0，0）∴，解得∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+x．（2）∵∠DEA+∠OEC=90°，∠OCE+∠OEC=90°，∴∠DEA=∠OCE，由（1）可得AD=3，AE=4，DE=5．而CQ=t，EP=2t，∴PC=10﹣2t．当∠PQC=∠DAE=90°，△ADE∽△QPC，∴=，即=，解得t=．当∠QPC=∠DAE=90°，△ADE∽△PQC，∴=，即=，解得t=．∴当t=或时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．（3）假设存在符合条件的M、N点，分两种情况讨论：①EC为平行四边形的对角线，由于抛物线的对称轴经过EC中点，若四边形MENC是平行四边形，那么M点必为抛物线顶点；则：M（4，）；而平行四边形的对角线互相平分，那么线段MN必被EC中点（4，3）平分，则N（4，﹣）；②EC为平行四边形的边，则EC MN，设N（4，m），则M（4﹣8，m+6）或M（4+8，m﹣6）；将M（﹣4，m+6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣38，此时N（4，﹣38）、M（﹣4，﹣32）；将M（12，m﹣6）代入抛物线的解析式中，得：m=﹣26，此时N（4，﹣26）、M（12，﹣32）；综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（﹣4，﹣32），N1（4，﹣38）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（4，），N3（4，﹣）．方法二：（1）略．（2）∵E（0，6），C（8，0），∴l EC：y=﹣x+6，∵，EP=2t，∴P x=t，∴P（t，﹣t+6），Q（8﹣t，0），∵△PQC∽△ADE，且∠ECO=∠AED，∴PQ⊥OC或PQ⊥PC．当PQ⊥OC时，Px=Qx，即t=8﹣t，∴t1=，当PQ⊥PC时，K PQ•K PC=﹣1，∴t2=．（3）M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形．设N（4，t），C（8，0），E（0，6），∴，∴M1（4，6﹣t），同理M2（﹣4，t+6），M3（12，t﹣6），∴﹣t，∴t=﹣，﹣×（﹣4）2+（﹣4）=t+6，∴t=﹣38，﹣×122+×12=t﹣6，∴t=﹣26，综上，存在符合条件的M、N点，且它们的坐标为：①M1（4，），N1（4，﹣）；②M2（12，﹣32），N2（4，﹣26）；③M3（﹣4，﹣32），N3（4，﹣38）．11月4日。

第Ⅰ卷一、选择题(本大题共10个小题,每小题4分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的) 1．–2020的倒数是 A ．2020B ．–2020C ．12020D ．12020-2．4月24日是中国航天日．1970年的这一天,我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星”东方红一号”成功发射,标志着中国从此进入了太空时代,它的运行轨道,距地球最近点439000米,将439000用科学记数法表示应为 A ．0．439×106B ．4．39×106C ．4．39×105D ．439×1033．下列各式计算结果为1n(n 1)+的是A ．11n n 1++ B ．111n n-+ C ．111n n -+ D ．111n n-- 4．将一副三角板(含30︒、45︒的直角三角形)摆放成如图所示的形状,图中1∠的度数是A ．120︒B ．130︒C ．135︒D ．150︒5．如图,圆锥的底面半径r 为6cm,高h 为8cm,则圆锥的侧面积为A ．80πcm 2B ．60πcm 2C ．48πcm 2D ．30πcm 26．一个不透明的口袋中有4个除标号外其余均相同的小球,分别标有数字1,2,3,4,充分混合后随机摸出一个小球记下标号,放回后混合再随机摸出一个小球记下标号,则两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是 A ．12B ．13C ．14D ．157．如图,已知△ABC 为直角三角形,90B ∠=︒,若沿图中虚线剪去∠B ,则∠1+∠2等于A ．270°B ．315°C ．180°D ．135°8．如图,ABC ∆中,AD 是角平分线,BE 是ABD ∆中的中线,若ABC ∆的面积是24,5AB =,3AC =,则ABE ∆的面积是A ．6B ．7.5C ．12D ．159．如图,在Rt △ABC 中,∠C =90°,AC =3,BC =4,点D 是AB 的中点,点P 是直线BC 上一点,将△BDP 沿DP 所在的直线翻折后,点B 落在B 1处,若B 1D ⊥BC ,则点P 与点B 之间的距离为A ．1B ．54C ．1或3D ．54或5 10．在同一直角坐标系中,二次函数2y ax b =+(0a ≠,0b ≠)与反比例函数aby x=的图象可能是 A ． B ．C ．D ．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11．分解因式：33a b ab -=_______________12．将一个圆分割成三个扇形,它们圆心角度数的比1：3：5,则最大扇形的圆心角的度数为_____．13．甲、乙两同学在最近的5次数学测验中数学成绩的方差分别为2S 甲 2.518=,2S 乙 3.69=,则数学成绩比较稳定的同学是____________14．济南大明湖畔的”超然楼”被称作”江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图,他们在A 处仰望塔顶,测得仰角为30°,再往楼的方向前进60m 至B 处,测得仰角为60°,若学生的身高忽略不计,3≈1．7,结果精确到1m ,则该楼的高度CD 为_______．15．如图,已知双曲线12(0)y x x=<和(0)ky x x =>,直线OA 与双曲线12y x =交于点A ,将直线OA 向下平移与双曲线12y x =交于点B ,与y 轴交于点P ,与双曲线k y x=交于点C ,6ABC S =,:2:1BP CP =,,则k 的值为__________．16．如图,在菱形ABCD 中,tan A 43=,M ,N 分别在边AD ,BC 上,将四边形AMNB 沿MN 翻折,使AB 的对应线段EF 经过顶点D ,延长NF 交DC 于点H ,当EF ⊥AD 时,DHHC的值为_____．三、解答题(本大题共8小题,共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)(1)计算：()()-2201921-2 3.14---12π⎛⎫++ ⎪⎝⎭； (2)化简：(x +5)(2x -3)-2x (x 2-2x +3)．18．(本小题满分8分)如图,△ABC 中,AB =AC ,点E ,F 在边BC 上,BE =CF ,点D 在AF 的延长线上,AD =AC .(1)求证：△ABE ≌△ACF ；(2)若∠BAE =30°,则∠ADC =__________°．19．(本小题满分8分)在下列网格图中,每个小正方形的边长均为1个单位长度．已知ABC ∆在网格图中的位置如图所示．(1)请在网格图中画出ABC ∆向右平移7单位后的图形111A B C ∆,并直接写出平移过程中线段BC 扫过的面积；(2)请在网格图中画出ABC ∆以P 为对称中心的图形222A B C ∆.(保留作图痕迹)20．(本小题满分8分)为了解某地区中学生一周课外阅读时长的情况,随机抽取部分中学生进行调查,根据调查结果,将阅读时长分为四类：2小时以内,2～4小时(含2小时),4～6小时(含4小时),6小时及以上,并绘制了如图所示尚不完整的统计图．(1)本次调查共随机抽取了名中学生,其中课外阅读时长”2～4小时”的有人；(2)扇形统计图中,课外阅读时长”4～6小时”对应的圆心角度数为°；(3)若该地区共有20000名中学生,估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．21．(本小题满分10分)如图,已知在矩形ABCD中,E是BC边上的一个动点,点F,G,H分别是AD,AE,DE的中点．(1)求证：四边形AGHF是平行四边形；(2)若BC=10cm,当四边形EHFG是正方形时,求矩形ABCD的面积．22．(本小题满分10分)在一条笔直的公路上有A、B两地．甲、乙两人同时出发,甲骑电动车从A地到B地,中途出现故障后停车维修,修好车后以原速继续行驶到B地；乙骑摩托车从B地到A地,到达A地后立即按原原速返回,结果两人同时到B地．如图是甲、乙两人与B地的距离y(km)与乙行驶时间x(h)之间的函数图象．(1)A、B两地间的距离为km；(2)求乙与B地的距离y(km)与乙行驶时间x(h)之间的函数关系式；(3)求甲、乙第一次相遇的时间；(4)若两人之间的距离不超过10km时,能够用无线对讲机保持联系,请求出乙在行进中能用无线对讲机与甲保持联系的x取值范围．23．(本小题满分12分)给出如下定义：对于⊙O的弦MN和⊙O外一点P(M,O,N三点不共线,且点P,O在直线MN的异侧),当∠MPN+∠MON=180°时,则称点P是线段MN关于点O的关联点．图1是点P为线段MN关于点O的关联点的示意图．在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1．(1)如图2,已知M(22,22),N(22,﹣22),在A(1,0),B(1,1),C2,0)三点中,是线段MN关于点O的关联点的是；(2)如图3,M(0,1),N 3﹣12),点D是线段MN关于点O的关联点．①∠MDN的大小为；②在第一象限内有一点E3,m),点E是线段MN关于点O的关联点,判断△MNE的形状,并直接写出点E的坐标；③点F在直线y=﹣33x+2上,当∠MFN≥∠MDN时,求点F的横坐标x的取值范围．24．(本小题满分14分)如图1,抛物线y=34x2﹣94x﹣3,与x轴交于A和B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,过点A的直线与抛物线在第一象限的交点M的横坐标为163,直线AM与y轴交于点D,连接BC、A C．(1)求直线AD和BC的解折式；(2)如图2,E为直线BC下方的抛物线上一点,当△BCE的面积最大时,一线段FG2(点F在G的左侧)在直线AM上移动,顺次连接B、E、F、G四点构成四边形BEFG,请求出当四边形BEFG的周长最小时点F的坐标；(3)如图3,将△DAC绕点D逆时针旋转角度α(0°<α<180°),记旋转中的三角形为△DA′C′,若直线A′C′分别与直线BC、y轴交于M、N,当△CMN是等腰三角形时,请直接写出CM的长度．答案与解析1．【答案】D【解析】–2020的倒数是12020-,故选D．2．【答案】C【解析】将439000用科学记数法表示为4．39×105．故选C．3．【答案】C【解析】A、111211(1)(1)(1)n n nn n n n n n n n+++=+=++++,故A错误；B、1111(1)(1)(1)1nn n n n n n nnn+-=-=-++++,故B错误；C、11111(1)(1)(1)n nn n n n n n n n+-=-=++++,故C正确；D、111(1)(1))1(11n nn n n n n n n n-=-=-----,故D错误,故选C．4．【答案】A【解析】由三角形的外角性质得：∠1=30°+90°=120°．故答案为：A．5．【答案】B【解析】∵h=8,r=6,可设圆锥母线长为l,由勾股定理,l圆锥侧面展开图的面积为：S侧=12×2×6π×10=60π,所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选B．6．【答案】C【解析】画树状图得：∵共有16种等可能的结果,两次摸出的小球的标号之和等于5的有4种情况, ∴两次摸出的小球的标号之和等于5的概率是：41=164,故选C ． 7．【答案】A【解析】∵90B ∠=︒,180A B C ∠+∠+∠=︒,∴90A C ∠+∠=︒, ∵12360A C ∠+∠+∠+∠=︒,∴1236090270∠+∠=︒-︒=︒,故选A ． 8．【答案】B【解析】如图,过点D 作DF ⊥AB ,DG ⊥AC ,垂足分别为F 、G , ∵AD 是角平分线,∴DF =DG ,设DF =DG =h ,S △ABC =S △ABD ＋S △ADC ,即112422AB DF AC DG =⋅+⋅, ∴5h +3h =48,解得h =6,∴156152ABD S =⨯⨯=,∵BE 是△ABD 中的中线,∴7.512ABE BDE ABD S S S ===,故选B ．9．【答案】D【解析】如图,若点B 1在BC 左侧,∵∠C =90°,AC =3,BC =4,∴AB =225AC BC +=, ∵点D 是AB 的中点,∴BD =12BA =52, ∵B 1D ⊥BC ,∠C =90°,∴B 1D ∥AC ,∴12BD BE DE AB BC AC ===, ∴BE =EC =12BC =2,DE =12AC =32,∵折叠,∴B 1D =BD =52,B 1P =BP ,∴B 1E =B 1D –DE =1,∴在Rt △B 1PE 中,B 1P 2=B 1E 2+PE 2, ∴BP 2=1+(2–BP )2,∴BP =54,如图,若点B 1在BC 右侧,∵B 1E =DE +B 1D =32+52,∴B 1E =4, 在Rt △EB 1P 中,B 1P 2=B 1E 2+EP 2,∴BP 2=16+(BP –2)2,∴BP =5,故选D ． 10．【答案】B【解析】A ．由二次函数图象可知,0,0a b >>,由反比例函数图象可知0ab <,错误； B ．由二次函数图象可知,0,0a b >>,由反比例函数图象可知0ab >,正确； C ．由二次函数图象可知,0,0a b ><,由反比例函数图象可知0ab >,错误； D ．由二次函数图象可知,0,0a b <>,由反比例函数图象可知0ab >,错误； 故答案为：B ．11．【答案】()()ab a b a b +-【解析】3322()()()a b ab ab a b ab a b a b -=-=+-,故答案为：()()ab a b a b +-． 12．【答案】200°【解析】最大扇形的圆心角的度数=360°×5135++=200°．故答案为200°. 13．【答案】甲【解析】由于2S 甲<2S 乙,则数学成绩较稳定的同学是甲．故答案为：甲． 14．【答案】51m【解析】根据题意得：∠A =30°,∠DBC =60°,DC ⊥AC ,∴∠ADB =∠DBC ﹣∠A =30°,∴∠ADB =∠A =30°,∴BD =AB =60m ,∴CD =BD •sin60°=6032⨯=303≈51(m )． 故答案为：51m ． 15．【答案】3-【解析】如图,连接OB ,OC ,作BE ⊥OP 于E ,CF ⊥OP 于F ．∵OA ∥BC ,∴S △OBC =S △ABC =6, ∵:2:1BP CP =,∴S △OPB =4,S △OPC =2,又由反比例函数的几何意义可知6OBE S ∆=,∴64=2PBE S ∆=-．∵△BEP ∽△CFP ,∴2()CFP PBE S PC S PB∆∆=, ∴11242CFP S ∆=⨯=,∴S △OCF =S △OPC –S △CFP =32,∴k =﹣3．故答案为：﹣3． 16．【答案】87【解析】如图,由翻折不变性可知：∠A =∠E ,∴tan A =tan E 4DM 3DE==, ∴可以假设：DM =4k ,DE =3k ,则EM =5k ,AD =EF =CD =9k ．∵AD ∥BC ,∴∠A +∠B =180°, ∵∠DFH +∠EFN =180°,∠B =∠EFN ,∴∠A =∠DFH , ∵EF ⊥AD ,∴∠ADF =90°,∵AB ∥CD ,∴∠A +∠ADC =180°, ∴∠A +∠HDF =90°,∴∠HDF +∠DFH =90°, ∴tan ∠DFH =tan A DH 4FH 3==,设FH =3x ,则DH =4x 在R △DHF 中,DF =EF ﹣DE =6k ,根据勾股定理得,DH 2+FH 2=DF 2,∴16x 2+9x 2=36k 2,∴x 65=k ,∴DH 245=k , ∴CH =9k 245-k 215=k ,∴24kDH 8521HC 7k 5==．故答案为:87． 17．【解析】(1)()()-2201921-2 3.14---12π⎛⎫++ ⎪⎝⎭=414(1)++--- =2．(2)()2(5)(23)223+---+x x x x x232=231015246-+--+-x x x x x x 32=2615-++-x x x .18．【解析】(1)∵AB =AC ,∴∠B =∠ACF ,在△ABE 和△ACF 中,AB AC B ACF BE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABE ≌△ACF (SAS )；(2)∵△ABE ≌△ACF ,∠BAE =30°,∴∠CAF =∠BAE =30°, ∵AD =AC ,∴∠ADC =∠ACD , ∴∠ADC =280013︒-︒=75°,故答案为75． 19．【解析】(1)如图,△A 1B 1C 1为所作,线段BC 扫过的面积=7×4=28；(2)如图,△A 2B 2C 2为所作．20．【解析】(1)本次调查共随机抽取了：50÷25%=200(名)中学生, 其中课外阅读时长”2～4小时”的有：200×20%=40(人),故答案为：200,40；(2)扇形统计图中,课外阅读时长”4～6小时”对应的圆心角度数为：360°×(1﹣30200﹣20%﹣25%)=144°,故答案为：144；(3)20000×(1﹣30200﹣20%)=13000(人),答：该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的有13000人．21．【解析】证明：(1)∵点F,G,H分别是AD,AE,DE的中点, ∴FH∥AE,GH∥AD,∴四边形AGHF是平行四边形；(2)当四边形EGFH是正方形时,连接EF,可得：EF⊥GH且EF=GH,∵在△BEC中,点,H分别是BE,CE的中点,∴GH=12BC=12AD=5cm,且GH∥BC,∴EF⊥BC,∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴AB=EF=GH=5cm,∴矩形ABCD 的面积=211010502AB AD cm ⨯=⨯⨯=． 22．【解析】(1)由题意,得A 、B 两地间的距离为30km ．故答案为30；(2)设乙前往A 地的距离y (km)与乙行驶时间x (h )之间的关系式为y 乙1=k 1x ,由题意,得30=k 1,∴y 乙1=30x ； 设乙返回B 地距离B 地的距离y (km)与乙行驶时间x (h )之间的关系式为y 乙2=k 2x +b 2,由题意,得22223002k b k b =+⎧⎨=+⎩,解得：223060k b =-⎧⎨=⎩,∴y =–30x +60． (3)由函数图象,得(30+20)x =30,解得x =0．6． 故甲、乙第一次相遇是在出发后0．6小时；(4)设甲在修车前y 与x 之间的函数关系式为y 甲1=kx +b ,由题意得30150.75b k b =⎧⎨=+⎩,解得：k 20b 30=-⎧⎨=⎩,y 甲1=﹣20x +30, 设甲在修车后y 与x 之间的函数关系式为y 甲2=k 3x +b 3,由题意,得333315 1.25k b 02k b =+⎧⎨=+⎩,解得：332040k b =-⎧⎨=⎩,∴y 甲2=﹣20x +40, 当20303010301510x x x -+-≤⎧⎨-⎩时,∴25≤x ≤56；306015102x x -+-⎧⎨⎩,解得：76≤x ≤2．∴25≤x ≤56或76≤x ≤2．23．【解析】(1)由题意线段MN 关于点O 的关联点的是以线段MN 的中点为圆心,22为半径的圆上,所以点C 满足条件,故答案为C ．(2)①如图3–1中,作NH ⊥x 轴于H ．∵N(32,–12),∴tan∠NOH=33,∴∠NOH=30°,∠MON=90°+30°=120°,∵点D是线段MN关于点O的关联点,∴∠MDN+∠MON=180°,∴∠MDN=60°．故答案为60°．②如图3–2中,结论：△MNE是等边三角形．理由：作EK⊥x轴于K．∵E(3,1),∴tan∠EOK=33,∴∠EOK=30°,∴∠MOE=60°,∵∠MON+∠MEN=180°,∴M、O、N、E四点共圆,∴∠MNE=∠MOE=60°, ∵∠MEN=60°,∴∠MEN=∠MNE=∠NME=60°,∴△MNE是等边三角形．③如图3–3中,由②可知,△MNE是等边三角形,作△MNE的外接圆⊙O′,易知E3∴点E 在直线y =–33x +2上,设直线交⊙O ′于E 、F ,可得F (32,32), 观察图象可知满足条件的点F 的横坐标x 的取值范围32≤x F ≤3． 24．【解析】(1)在抛物线y =239344x x --中,令x =0,得y =﹣3, ∴C (0,﹣3),令y =0,得239x x 3044--=,解得x 1=﹣1,x 2=4,∴A (﹣1,0),B (4,0),令x =163,得y =231691634343⎛⎫⨯-⨯- ⎪⎝⎭=193,∴M (163,193), 设直线AD 的解析式为y =k 1x +b 1,将A (﹣1,0),M(163,193)代入得1111k b 01619k b 33-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得11k 1b 1=⎧⎨=⎩, ∴直线AD 的解析式为y =x +1．设直线BC 的解析式为y =k 2x +b 2,将B (4,0),C (0,﹣3)代入,得2224k b 0b 3+=⎧⎨=-⎩,解得223k 4b 3⎧=⎪⎨⎪=-⎩,∴直线BC 的解析式为y =34x ﹣3；(2)如图2,过点E 作EH ∥y 轴交BC 于H ,设E (t ,239344t t --),H (t ,334t -), ∴HE =233933444t t t ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=2334t t -+ ∴12BCESOB HE =⨯=2134324t t ⎛⎫⨯-+ ⎪⎝⎭=2362t t -+=23(2)62t --+∵32-<0, ∴当t =2时,S △BCE 的最大值=6,此时E (2,92-),作点B 关于直线y =x +1的对称点B 1,连接B 1G ,过点F 作B 2F ∥B 1G ,且B 2F =B 1G ,∴B 1(﹣1,5),∵FG 2,且FG 在直线y =x +1上,∴F 可以看作是G 向左平移4个单位,向下平移4个单位后的对应点, ∴B 2(﹣5,1),当B 2、F 、E 三点在同一直线上时,BEFG 周长最小,设直线B 2E 解析式为y =mx +n ,将B 2(﹣5,1),E (2,92-)分别代入,得5m n 192m n 2-+=⎧⎪⎨+=-⎪⎩,解得11144114m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, ∴直线B 2E 解析式为y =11411414x --, 联立方程组111411414y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得11565x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．∴F (115,65-)． (3)如图,分三种情况：在1y x =+中,令0x =,则1y = (0,1)D ∴(1,0),(4,0)(0,3)A B C --，1,4,1,3,4AD OB OD OC DC ∴=====2210AC AO OC ∴=+=,设AC 边上的高为h ,根据等面积法得,1122AC h CD AO ⨯=⋅⋅ 210510AO DC h AC ⋅∴===4,3OB OC ==且OB ⊥OC ,4tan 3OB BCD OC ∴∠== ①CM =MN 时,如图,过点M 作MG ⊥OC ,过点D 作DP ⊥MN 于点P4tan 3BCD ∠=∴设3CG a =,则3,4NG a MG a ==, 由勾股定理得,5MN MC a ==,,MNO DNP DPN MGN ∠=∠∠=∠MGN DPN ∴∠MG MN DP PN∴=,即45246105a aa =- 解得,81012a -=,0a =(舍去) 40510512CM a -∴==②当MC CN =时,如图,过点M 作MG ⊥OC ,过点D 作DP ⊥MN 于点P4tan 3BCD ∠=设3CG a =,则4MG a =5CM CN a ∴== 2GN CN CG a ∴=-=25MN a ∴=45DN DC CN a ∴=-=-DPNMGN ∆DP DNMG MN ∴=210455425a a a-∴=,解得：0a =(舍去),425a -=, 42CM =-；③当CN MN =时,如图,作CQ MN ⊥,NG CM ⊥,4tan 3BCD ∠=设3CG a =,则4,5NG a CN MN a ===3,6MG a CM a ∴==45DN a ∴=-MN CQ CM NG ⋅=⋅245CQ a ∴=DPNCQN ∆DP DN QC CN ∴=,即2104552455a a a -=,解得,0a =(舍去),410512a =- 241065CM a ∴==-； ④当CM CN =时,过M 作MG DC ⊥,过点D 作DP ⊥MN 于点P4tan 3BCD ∠= 设3CG a =,则4,5MG a CM CN a === 45DN a ∴=+tan MG DP PND NG NP∴∠== 2104553a NP a a=+ 4105NP ∴= 在Rt DPN ∆中,222DN DP NP =+ 222241010(45)55a ∴+=+ 解得,42646,55a a -+--==(舍去) 5426CM a ∴==-+综上,CM 40510-,4224105或64。

河南省信阳市中考数学一模试卷一、选择题：1．下列各组数中，互为倒数的是（）A．2和﹣2 B．﹣2和C．﹣2和﹣D．﹣和22．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B． C．D．3．据统计，今年春节期间（除夕到初五），微信红包总收发次数达321亿次，几乎覆盖了全国75%的网民，数据“321亿”用科学记数法可表示为（）A．3.21×108B．321×108C．321×109D．3.21×10104．如图，把等腰直角三角板的直角顶点放在刻度尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民4月份用电量的调查结果：居民（户） 1 2 3 4月用电量（度/户） 30 42 50 51那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是216．一次函数y=kx+b的图象如图，则当0＜x≤1时，y的范围是（）A．y＞0 B．﹣2＜y≤0 C．﹣2＜y≤1 D．无法判断7．如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=3cm，AB=4cm，则▱ABCD的周长是（）A．20cm B．21cm C．22cm D．23cm8．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3二、填空题：每小题3分，共21分．9．计算：﹣14+﹣4cos30°=．10．不等式组的解集为．11．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中“立定跳远”、“1000米跑”、“篮球运球”为必测项目，另一项从“掷实心球”、“一分钟跳绳”中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的概率是．12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=度．13．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是．14．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交DC于点E，交AD延长线于点F，则图中阴影部分的面积为．15．如图，有一张长为8cm，宽为7cm的矩形纸片ABCD，现要剪下一个腰长为6cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为cm2．三、解答题：本大题8个小题，共75分．16．先化简分式：（），若该分式的值为2，求x的值．17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E，tanA=．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．18．手机给人们的生活带来了很多的方便，但也出现了过度使用手机的现象，出现了所谓的“手机控”、“低头族”等，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生家长有名，“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是；（2）请补全报“无所谓”态度的家长所对应的条形统计图（标上柱高数值）；（3）请你对初中生是否应该带手机上学提出一个合理化的建议．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．20．如图1，被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“玉米楼”）就坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度．如图2，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上测得楼顶的仰角为30°．若高台高DE为5米，点D到点C的水平距离EC为187.5米，A、C、E三点共线，求“玉米楼”AB的高（，结果保留整数）．21．“红星”中学准备为校“教学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具，已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元，2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种学习用具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱．22．阅读并完成下面的数学探究：（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系时，仍有EF=BE+FD．（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），连E、F，求EF 的长（结果保留根号）．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．（1）①求点B的坐标；②求抛物线的解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC，若△PAC的面积是△ABC面积的，求出此时点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ADC为直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．河南省信阳市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．下列各组数中，互为倒数的是（）A．2和﹣2 B．﹣2和C．﹣2和﹣D．﹣和2【考点】倒数．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数．【解答】解：2×（﹣）=1，故C正确；故选：C．【点评】本题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．下列不是三棱柱展开图的是（）A．B． C．D．【考点】几何体的展开图．【分析】根据三棱柱的两底展开是三角形，侧面展开是三个四边形，可得答案．【解答】解：∵三棱柱展开图有3个四边形，2个三角形，∴C选项不是三棱柱展开图，故选：C．【点评】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形．3．据统计，今年春节期间（除夕到初五），微信红包总收发次数达321亿次，几乎覆盖了全国75%的网民，数据“321亿”用科学记数法可表示为（）A．3.21×108B．321×108C．321×109D．3.21×1010【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：321亿=32100000000=3.21×1010，故选D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．如图，把等腰直角三角板的直角顶点放在刻度尺的一边上，若∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．40°C．50°D．60°【考点】平行线的性质．【分析】先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由余角的定义即可得出结论．【解答】解：∵直尺的两边互相平行，∠1=60°，∴∠3=∠1=60°．∵∠3+∠2=90°，∴∠2=90°﹣∠3=90°﹣60°=30°．故选A．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．5．为了解某社区居民的用电情况，随机对该社区10户居民进行调查，下表是这10户居民4月份用电量的调查结果：居民（户） 1 2 3 4月用电量（度/户） 30 42 50 51那么关于这10户居民月用电量（单位：度），下列说法错误的是（）A．中位数是50 B．众数是51 C．方差是42 D．极差是21【考点】方差；中位数；众数；极差．【专题】计算题．【分析】根据表格中的数据，求出平均数，中位数，众数，极差与方差，即可做出判断．【解答】解：10户居民4月份用电量为30，42，42，50，50，50，51，51，51，51，平均数为（30+42+42+50+50+50+51+51+51+51）=46.8，中位数为50；众数为51，极差为51﹣30=21，方差为[（30﹣46.8）2+2（42﹣46.8）2+3（50﹣46.8）2+4（51﹣46.8）2]=42.96．故选C．【点评】此题考查了方差，中位数，众数，以及极差，熟练掌握各自的求法是解本题的关键．6．一次函数y=kx+b的图象如图，则当0＜x≤1时，y的范围是（）A．y＞0 B．﹣2＜y≤0 C．﹣2＜y≤1 D．无法判断【考点】一次函数的性质．【分析】根据一次函数的图象与两坐标轴的交点直接解答即可．【解答】解：因为一次函数y=kx+b的图象与两坐标轴的交点分别为（1，0）、（0，﹣2），所以当0＜x≤1，函数y的取值范围是：﹣2＜y≤0，故选B【点评】本题考查的是用数形结合的方法求函数的取值范围，解答此题的关键是正确观察函数在平面直角坐标系内的图象，属较简单题目．7．如图，▱ABCD中，AE平分∠BAD，若CE=3cm，AB=4cm，则▱ABCD的周长是（）A．20cm B．21cm C．22cm D．23cm【考点】平行四边形的性质．【分析】由平行四边形的性质得出AD=BC=4cm，AB=DC，AD∥BC，由平行线的性质和角平分线求出BE=AB=4cb，得出BC=7cm，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=10，AB=DC，AD∥BC，∴∠DAE=∠BEA，∵AE平分∠BCD，∴∠BAE=∠DAE，∴∠BEA=∠BAE，∴BE=AB=4cm，∴BC=BE+CE=7cm，∴▱ABCD的周长=2（DC+BC）=2（4+7）=22cm；故选：C．【点评】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，证出BE=AB是解决问题的关键．8．如图，平面直角坐标系中，直线y=﹣x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=﹣的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（）A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】想办法把C点坐标用a表示出来，然后代入y=﹣即可．【解答】解：作CE⊥x轴于E，∵AO∥CE，BA：AC=2：1，AO=OB=a，∴=，∴EB=，CE=，∴点C坐标（﹣，a），又∵点C在y=﹣上，∴﹣=﹣3，∵a＞0，∴a=2．故选A．【点评】本题考查反比例函数与一次函数的有关知识，学会用转化的思想解决，把问题变成方程是解题的关键，属于中考常考题型．二、填空题：每小题3分，共21分．9．计算：﹣14+﹣4cos30°=﹣1．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先化简二次根式以及利用特殊角的三角函数值代入求出答案．【解答】解：﹣14+﹣4cos30°=﹣1+2﹣4×=﹣1．故答案为：﹣1．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值以及二次根式的性质，正确化简各数是解题关键．10．不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．【考点】解一元一次不等式组．【分析】分别求得各不等式的解集，然后求出公共部分即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣3，由②得：x＜﹣2，则不等式组的解集为﹣3＜x＜﹣2．故答案为：﹣3＜x＜﹣2．【点评】】此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．11．某市初中毕业女生体育中招考试项目有四项，其中“立定跳远”、“1000米跑”、“篮球运球”为必测项目，另一项从“掷实心球”、“一分钟跳绳”中选一项测试．则甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】首先分别用A，B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”，然后根据题意画树状图，继而求得所有等可能的结果与甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”选择同一个测试项目的情况，利用概率公式即可求得答案．【解答】解：分别用A，B代表“掷实心球”、“一分钟跳绳”，画树状图得：∵共有8种等可能的结果，甲、乙、丙三位女生从“掷实心球”或“一分钟跳绳”中选择一个考试项目的有2种情况，∴其概率是：=．故答案为：．【点评】此题考查了树状图法求概率的知识．注意树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．12．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=52度．【考点】等腰三角形的性质．【分析】设∠ADC=α，然后根据AC=AD=DB，∠BAC=102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．【解答】解：∵AC=AD=DB，∴∠B=∠BAD，∠ADC=∠C，设∠ADC=α，∴∠B=∠BAD=，∵∠BAC=102°，∴∠DAC=102°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°，∴2α+102°﹣=180°，解得：α=52°．故答案为：52．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等．13．在平面直角坐标系中，点A（2，3），B（5，﹣2），以原点O为位似中心，位似比为1：2，把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是（，﹣1）或（﹣，1）．【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】由以原点O 为位似中心，位似比为1：2，把△ABO 缩小，直接利用位似图形的性质求解即可求得答案．【解答】解：∵以原点O 为位似中心，位似比为1：2，把△ABO 缩小，B （5，﹣2），∴点B 的对应点B ′的坐标是：（，﹣1）或（﹣，1）．故答案为：（，﹣1）或（﹣，1）．【点评】此题考查了位似图形的性质．注意在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或﹣k ．14．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2，以A 为圆心，AB 的长为半径画弧，交DC 于点E ，交AD 延长线于点F ，则图中阴影部分的面积为 8﹣4+π ．【考点】扇形面积的计算．【分析】根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得∠AED=30°，进而求得∠1=60°；由勾股定理求出DE ，再根据阴影FDE 的面积S 1=S 扇形AEF ﹣S △ADE 、阴影ECB 的面积S 2=S 矩形﹣S △ADE ﹣S 扇形ABE 列式计算即可得解．【解答】解：∵在矩形ABCD 中，AB=4，BC=2，∴AB=2DA ，AB=AE （扇形的半径），∴AE=2DA ，∴∠AED=30°，∴∠1=90°﹣30°=60°，∵DA=2∴AB=2DA=4，∴AE=4，∴DE==2，∴阴影FDE 的面积S 1=S 扇形AEF ﹣S △ADE =﹣×2×2=π﹣2．阴影ECB 的面积S 2=S 矩形﹣S △ADE ﹣S 扇形ABE =2×4﹣×2×2﹣=8﹣2﹣π；． 则图中阴影部分的面积为=8﹣2﹣π+π﹣2=8﹣4+π．故答案为：8﹣4+π． 【点评】本题考查了矩形的性质，扇形的面积计算，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质并求出∠AED=30°是解题的关键，也是本题的难点．15．如图，有一张长为8cm ，宽为7cm 的矩形纸片ABCD ，现要剪下一个腰长为6cm 的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，其余的两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形的面积为 18或3或12 cm 2．【考点】勾股定理；等腰三角形的判定；矩形的性质． 【专题】分类讨论． 【分析】因为等腰三角形腰的位置不明确，所以分三种情况进行讨论： （1）△AEF 为等腰直角三角形，直接利用面积公式求解即可；（2）先利用勾股定理求出AE 边上的高BF ，再代入面积公式求解；（3）先求出AE 边上的高DF ，再代入面积公式求解．【解答】解：分三种情况计算：（1）当AE=AF=6时，如图：∴S△AEF=AE•AF=×6×6=18（cm2）；（2）当AE=EF=6时，如图：则BE=7﹣6=1，BF===，∴S△AEF=•AE•BF=×6×=3（cm2）；（3）当AE=EF=6时，如图：则DE=8﹣6=2，DF===4，∴S△AEF=AE•DF=×6×4=12（cm2）；故答案为：18或3或12．【点评】本题主要考查了勾股定理的运用，矩形的性质，三角形的面积，要根据三角形的腰长的不确定分情况讨论，有一定的难度．三、解答题：本大题8个小题，共75分．16．先化简分式：（），若该分式的值为2，求x的值．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再由该分式的值为2，求出x的值即可．【解答】解：原式=•=，∵该分式的值为2，∴=2，即2（x+2）=4，解得x=0，经检验x=0是分式方程的解．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，AB是⊙O的直径，C、D为半圆O上的两点，CD∥AB，过点C作CE⊥AD，交AD 的延长线于点E，tanA=．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）猜想四边形AOCD是什么特殊的四边形，并证明你的猜想．【考点】切线的判定；菱形的判定．【分析】（1）连接OD，由锐角三角函数得出∠A=60°，证出△OAD是等边三角形，得出∠ADO=∠AOD=60°，再证明△COD是等边三角形，得出∠COD=60°=∠ADO，证出OC∥AE，由已知条件得出CE⊥OC，即可得出结论；（2）由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，得出OA=AD=OD=CD=OC，即可证出四边形AOCD是菱形．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示：∵tanA=，∴∠A=60°，∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形，∴∠ADO=∠AOD=60°，∵CD∥AB，∴∠ODC=60°，∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COD=60°=∠ADO，∴OC∥AE，∵CE⊥AE，∴CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：四边形AOCD是菱形；理由如下：由（1）得：△OAD和△COD是等边三角形，∴OA=AD=OD=CD=OC，∴四边形AOCD是菱形．【点评】本题考查了切线的判定、等边三角形的判定与性质、三角函数、菱形的判定；熟练掌握切线的判定方法，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．18．手机给人们的生活带来了很多的方便，但也出现了过度使用手机的现象，出现了所谓的“手机控”、“低头族”等，某校九年级数学兴趣小组的同学调查了若干名家长对“初中学生带手机上学”这一现象的看法，统计整理并制作了如下的条形与扇形统计图．依据图中信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生家长有200名，“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是36°；（2）请补全报“无所谓”态度的家长所对应的条形统计图（标上柱高数值）；（3）请你对初中生是否应该带手机上学提出一个合理化的建议．【考点】条形统计图；扇形统计图．【分析】（1）根据赞同的人数和所占的百分比求出总人数，再乘以无所谓所占的百分比求出无所谓的人数，用总人数减去其它的人数求出很赞同的人数，然后乘以360°求出“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角的度数；（2）根据（1）求出无所谓的人数可直接画出条形统计图；（3）根据学生现在正需要好好地学习，不应该带手机，网络这么发达，会影响学习．【解答】解：（1）本次调查的学生家长有=200（名），无所谓的人数是：200×20%=40（人），很赞同的人数是：200﹣50﹣40﹣90=20（人），则“很赞同”初中生带手机上学的家长所对应的圆心角度数是360°×=36°；故答案为：200，36°；（2）根据（1）求出的无所谓的人数是40，补图如下：（3）初中生不应该带手机，影响学习．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+3k=0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有实数根．（2）若等腰△ABC的一边长为2，另两边长恰好是方程的两个根，求△ABC的周长．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质．【分析】（1）求出根的判别式，利用偶次方的非负性证明；（2）分△ABC的底边长为2、△ABC的一腰长为2两种情况解答．【解答】（1）证明：△=（k+3）2﹣4×3k=（k﹣3）2≥0，故不论k取何实数，该方程总有实数根；（2）解：当△ABC的底边长为2时，方程有两个相等的实数根，则（k﹣3）2=0，解得k=3，方程为x2﹣6x+9=0，解得x1=x2=3，故△ABC的周长为：2+3+3=8；当△ABC的一腰长为2时，方程有一根为2，方程为x2﹣5x+6=0，解得，x1=2，x2=3，故△ABC的周长为：2+2+3=7．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式、等腰三角形的性质，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．20．如图1，被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆（俗称“玉米楼”）就坐落在风景如画的如意湖畔，也是来郑观光的游客留影的最佳景点．学完了三角函数后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度．如图2，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上测得楼顶的仰角为30°．若高台高DE为5米，点D到点C的水平距离EC为187.5米，A、C、E三点共线，求“玉米楼”AB的高（，结果保留整数）．【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，根据题意和正切的定义表示出DM、FM，列出方程，计算即可．【解答】解：作DM⊥AB于M，交BC于F，作CG⊥DM于G，设BM=x米，由题意得，DG=187.5米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=30°，则GF=CG=5米，DF=DG+GF=192.5米，FM=BM=x米，∴DM==x，∵DM﹣FM=DF，∴x﹣x=192.5，解得，x=≈275，275+5=280（米）．答：“玉米楼”AB的高约为280米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确理解仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．21．“红星”中学准备为校“教学兴趣小组”购进甲、乙两种学习用具，已知5件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为231元，2件甲种学习用具的进价与3件乙种学习用具的进价的和为141元．（1）求每件甲种、乙种学习用具的进价分别是多少元？（2）如果购进甲种学习用具有优惠，优惠方法是：购进甲种学习用具超过20件，超出部分可以享受7折优惠，若购进x（x＞0）件甲种学习用具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，学校决定在甲、乙两种学习用具中选购其中一种，且数量超过20件，请你帮助学校判断购进哪种学习用具更省钱．【考点】一次函数的应用；二元一次方程组的应用．【分析】（1）设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元，根据花费钱数=单价×数量，结合两种不同购进方式可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；（2）结合优惠政策对x进行分段考虑，由花费钱数=单价×数量，可得出y关于x的函数关系式；（3）找出购进乙种学习用具x件的花费，令乙种的花费＜甲种的花费找出关于x的一元一次不等式，解出不等式即可得出结论．【解答】解（1）设每件甲种学习用具的进价是a元，每件乙种学习用具的进价是b元，根据题意得：，解得：．答：每件甲种学习用具的进价是30元，每件乙种学习用具的进价是27元．（2）当0＜x≤20时，y=30x；当x＞20时，y=20×30+0.7×30（x﹣20）=21x+180．（3）购买x件乙种学习用具的花费为27x元，购买x件甲种学习用具的花费为（21x+180）元，令27x＜21x+180，解得：x＜30．即：当20＜x＜30时，购进乙种学习用具更省钱；当x=30时，两种学习用具的花费一样；当x＞30时，购买甲种学习用具更省钱．【点评】本题考查了解二元一次方程组、一次函数的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）根据已知列出关于a、b的二元一次方程组；（2）结合优惠政策分段寻找函数解析式；（3）令购买乙种的花费＜购买甲种的花费找出此时的x的取值范围．本题属于中档题，难度不大，解决该类型题目时，把握住数量关系是关键．22．阅读并完成下面的数学探究：（1）【发现证明】如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，小颖把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF=BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．（2）【类比延伸】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB=AD，∠B+∠D=180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足关系∠EAF=∠BAD时，仍有EF=BE+FD．（3）【结论应用】如图（3），四边形ABCD中，AB=AD=80，∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥AD，DF=40（），连E、F，求EF 的长（结果保留根号）．【考点】四边形综合题．【分析】（1）根据旋转变换的性质和正方形的性质证明△EAF≌△GAF，得到EF=FG，证明结论；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，证明△EAF≌△HAF，证明即可；（3）延长BA交CD的延长线于P，连接AF，根据四边形内角和定理求出∠C的度数，得到∠P=90°，求出PD、PA，证明∠EAF=∠BAD，又（2）的结论得到答案．【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，△ABE≌△ADG，∴BE=DG，AE=AG，∠BAE=∠DAG，∠ADG=∠ABE=90°，∴G、D、F在同一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，∴∠EAG=90°，又∠EAF=45°，∴∠FAG=45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF，∴EF=FG，∴EF=BE+FD；（2）当∠EAF=∠BAD时，仍有EF=BE+FD．证明：如图（2），把△ABE绕点A逆时针旋转至△ADH，使AB与AD重合，则BE=DH，∠BAE=∠DAH，∠ADH=∠B，又∠B+∠D=180°，∴∠ADH+∠D=180°，即F、D、H在同一条直线上，当∠EAF=∠BAD时，∠EAF=∠HAF，由（1）得，△EAF≌△HAF，则EF=FH，即EF=BE+FD，故答案为：∠EAF=∠BAD；（3）如图（3），延长BA交CD的延长线于P，连接AF，∵∠B=60°，∠ADC=120°，∠BAD=150°，∴∠C=30°，∴∠P=90°，又∠ADC=120°，∴∠ADP=60°，∴PD=AD×cos∠ADP=40，AP=AD×sin∠ADP=40，∴PF=PD+DF=40，∴PA=PF，∴∠PAF=45°，又∠PAD=30°，∴∠DAF=15°，∴∠EAF=75°，∠BAE=60°，∴∠EAF=∠BAD，由（2）得，EF=BE+FD，又BE=BA=80，∴EF=BE+FD=40（）．【点评】本题考查的是正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的四条边都相等、四个角都是直角，旋转变换的旋转角相等、旋转后的三角形与原三角形全等是解题的关键．23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=﹣的图象与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c关于直线x=对称，且经过A、C两点，与x轴交于另一点为B．（1）①求点B的坐标；②求抛物线的解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA、PC，若△PAC的面积是△ABC面积的，求出此时点P的坐标．（3）在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△ADC为直角三角形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）①由直线过点A，可得出点A的坐标，由A、B关于直线x=对称可找出B点的坐标；②由直线经过点C可求出点C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）由△PAC的面积是△ABC面积的，结合同底三角形的面积公式即可得出点P到直线AC的距离为点B到直线AC的距离的，设出P点坐标，由点到直线的距离可列出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论；（3）假设存在，设出D点坐标，由两点间的距离公式用n表示出各边长度，结合勾股定理分别讨论即可得出结论．【解答】解：（1）①令y=﹣=0，解得：x=4，即点A的坐标为（4，0）．∵A、B关于直线x=对称，∴点B的坐标为（﹣1，0）．②令x=0，则y=2，∴点C的坐标为（0，2），∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，∴有，解得：．故抛物线解析式为y=﹣++2．（2）直线AC的解析式为y=﹣，即x+y﹣2=0，。

2024年山东省枣庄市滕州市滕南中学中考数学一模试卷一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列实数π3、−227、9、−7、3.14中，无理数有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2.我国航天事业发展越来越吸引人们关注，刚返回地面的神州17号三名航天员接受采访的短视频最近在短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为( )A. 1.5×105B. 0.15×105C. 1.5×106D. 1.5×1073.实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简a2+2a+1−b2−4b+4的结果正确的是( )A. −a−b+1B. −a+b+1C. a−b−1D. a+b−14.“致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称美惊艳了千年的时光.下列大学的校徽图案是轴对称图形的是( )A. B. C. D.5.2024年元旦期间，某超市为了增加销售额，举办了“购物抽奖”活动：凡购物达到200元即可抽奖1次，达到400元可抽奖2次，…，依次类推.抽奖方式为：在不透明的箱子中有四个形状相同的小球，四个小球上分别写有对应奖品的价值为10元、15元、20元和“谢谢惠顾”的字样；抽奖1次，随机从四个小球抽取一个；抽奖2次时，记录第1次抽奖的结果后放回箱子中再进行第2次抽取，…，依次类推.小明和妈妈一共购买了420元的物品，获得了两次抽奖机会，则小明和妈妈获得奖品总值不低于30元的概率为( )A. 16B. 14C. 38D. 126.已知下列各图中的四边形是平行四边形，根据各图中保留的作图痕迹，能得到菱形的有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个7.马面裙(图1)，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一，如图2，马面裙可以近似地看作扇环ABCD(AD和BC的圆心为点O)，A为OB的中点，BC=OB=8dm，则该马面裙裙面(阴影部分)的面积为( )A. 4πdm2B. 8πdm2C. 12πdm2D. 16πdm28.如图，等边△ABC的边长为1，D是BC边上的一动点，过点D作AB边的垂线，交AB于点G，设线段AG的长度为x，△GBD的面积为y，则y关于x的函数图象正确的是( )A.B.C.D.9.已知P1(x1,y1)P2(x2,y2)是抛物线y=ax2+4ax+3(a是常数，a≠0)上的点，现有以下四个结论：①该抛物线的对称轴是直线x=−2；②点(0,3)在抛物线上；③若x1>x2>−2，则y1>y2；④若y1=y2，则x1+x2=−2，其中，正确结论的个数为( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

数学中考综合模拟检测试题学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________时间120分钟满分100分一．选择题(共8小题，满分16分，每小题2分)1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其他垃圾、厨余垃圾、有害垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是()A．B．C．D．2．下列把2034000记成科学记数法正确的是()A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×1033．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为()A．B．+1C．﹣1D．1﹣4．若正多边形的内角和是1260°，则该正多边形的一个外角为()A．30°B．40°C．45°D．60°5．如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC＝()度．A．70B．150C．90D．1006．菲尔兹奖(FieldsMedal)是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家．对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计，整理成下面的表格．组别第一组第二组第三组第四组年龄段(岁)27＜x≤3131＜x≤3434＜x≤3737＜x≤40频数(人)8111720则这56个数据的中位数落在()A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组7．如果a﹣b＝5，那么代数式(﹣2)•的值是()A．﹣B．C．﹣5D．58．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；②若点B(﹣1，n)在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为(﹣4，0)；④当0＜x＜6时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④二．填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)9．因式分解：4a3﹣16a＝．10．设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝．11．如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件，可以判断△ABF≌△DCE．12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于．13．在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝°．14．已知扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，则扇形的圆心角为度．15．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB 的长为．三．解答题(共12小题，满分68分)17．(5分)计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+(π﹣2)0．18．(5分)解不等式：1﹣x≥﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．19．(5分)已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式(x+2)(x﹣2)﹣x(3x﹣6)的值．20．(5分)如图，AB为半圆O的直径，且AB＝10，C为半圆上的一点，AC＜BC．(1)请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；(不写作法，保留痕迹)(2)在(1)的条件下，连接OD，若OD＝，求△ABC的面积．21．(6分)重庆是一个非常适合旅游打卡的城市，在渝中区有“洪崖洞”，南岸区有“南山一颗树”等等，为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图(数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数)，其中男生得分处于C组的有14人，男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25．男生、女生得分的平均数、中位数、众数(单位：分)如表所示：组别平均数中位数众数男20n22女202320(1)直接写出m，n的值，并补全条形统计图；(2)通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生?说明理由(一条理由即可)；(3)已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于C组的人数．22．(5分)如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上(不与点A、B重合)，点D在直线BC上，且ED ＝EC．(1)若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；(2)若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．23．(6分)探究一次函数y＝kx+k﹣2(k是不为0的常数)图象的共同特点．(探究过程)小华尝试把x＝﹣1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y＝﹣2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么?小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y＝kx+k﹣2的图象一定经过定点(﹣1，﹣2)，老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把这样的一次函数图象称为“陀螺线”．若一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象是“陀螺线”，(1)一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象经过定点P的坐标是．(2)已知一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象与x轴，y轴分别相交于点A、B．①若△OBP的面积为8，求k的值．②若S△AOB：S△OBP＝3：2，求k的值．24．(6分)如图，P A、PB与⊙O相切于点A、B，过点B作BD∥AP交⊙O于点D．(1)求证：AD＝AB；(2)若BD•BP＝80，sin∠DAB＝，求△ABP的面积．25．(5分)如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D．(1)求证：∠BEC＝∠BAF；(2)判断△AFC的形状并说明理由．(3)若CD＝2，求EF的长．26．(7分)如图，一次函数的图象y＝ax+b(a≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(，4)，点B(m，1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，点P是反比例函数图象上的一点，当S△OCP：S△BCD＝1：3时，请直接写出点P的坐标．27．(6分)已抛物线y＝x2+2x+m的顶点在x轴上．(1)求m的值；(2)若P(n，y1)，Q(n+2，y2)是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．28．(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB 为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P(0，4)，Q(a，0)．(1)如图1，a＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(，)、D(5，5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为．(2)如图2，，①已知D(0，8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．参考答案一．选择题(共8小题，满分16分，每小题2分)1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其他垃圾、厨余垃圾、有害垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；B、是轴对称图形，故此选项符合题意；C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．2．下列把2034000记成科学记数法正确的是()A．2.034×106B．20.34×105C．0.2034×106D．2.034×103【解答】解：数字2034000科学记数法可表示为2.034×106．故选：A．3．如图，数轴上的点A所表示的数为x，则x的值为()A．B．+1C．﹣1D．1﹣【解答】解：根据题意得：x＝﹣1＝﹣1，故选：C．4．若正多边形的内角和是1260°，则该正多边形的一个外角为() A．30°B．40°C．45°D．60°【解答】解：设该正多边形的边数为n，根据题意列方程，得(n﹣2)•180°＝1260°解得n＝9．∴该正多边形的边数是9，∵多边形的外角和为360°，360°÷9＝40°，∴该正多边形的一个外角为40°．故选：B．5．如图，AB∥CD，∠BAE＝120°，∠DCE＝30°，则∠AEC＝()度．A．70B．150C．90D．100【解答】解：如图，延长AE交CD于点F，∵AB∥CD，∴∠BAE+∠EFC＝180°，又∵∠BAE＝120°，∴∠EFC＝180°﹣∠BAE＝180°﹣120°＝60°，又∵∠DCE＝30°，∴∠AEC＝∠DCE+∠EFC＝30°+60°＝90°．故选：C．6．菲尔兹奖(FieldsMedal)是享有崇高声誉的数学大奖，每四年颁奖一次，颁给二至四名成就显著的年轻数学家．对截至2014年获奖者获奖时的年龄进行统计，整理成下面的表格．组别第一组第二组第三组第四组年龄段(岁)27＜x≤3131＜x≤3434＜x≤3737＜x≤40频数(人)8111720则这56个数据的中位数落在()A．第一组B．第二组C．第三组D．第四组【解答】解：题目中数据共有56个，故中位数是按从小到大排列后第28、第29两个数的平均数，而第28、第29两个数均在第三组，故这组数据的中位数落在第三组．故选：C．7．如果a﹣b＝5，那么代数式(﹣2)•的值是()A．﹣B．C．﹣5D．5【解答】解：∵a﹣b＝5，∴原式＝•＝•＝a﹣b＝5，故选：D．8．如图为某二次函数的部分图象，有如下四个结论：①此二次函数表达式为y＝x2﹣x+9；②若点B(﹣1，n)在这个二次函数图象上，则n＞m；③该二次函数图象与x轴的另一个交点为(﹣4，0)；④当0＜x＜6时，m＜y＜8．所有正确结论的序号是()A．①③B．①④C．②③D．②④【解答】解：①从图象看，抛物线的顶点坐标为(2，9)，抛物线和x轴的一个交点坐标为(8，0)，则设抛物线的表达式为y＝a(x﹣2)2+9，将(8，0)代入上式得：0＝a(8﹣2)2+9，解得a＝﹣，故抛物线的表达式为y＝x2﹣x+8，故①错误，不符合题意；②从点A、B的横坐标看，点A距离抛物线对称轴远，故n＞m正确，符合题意；③抛物线的对称轴为直线x＝2，抛物线和x轴的一个交点坐标为(8，0)，则另外一个交点为(﹣4，0)，故③正确，符合题意；④从图象看，当0＜x＜6时，m＜y≤9，故④错误，不符合题意；故选：C．二．填空题(共8小题，满分16分，每小题2分)9．因式分解：4a3﹣16a＝4a(a+2)(a﹣2)．【解答】解：原式＝4a(a2﹣4)＝4a(a+2)(a﹣2)，故答案为：4a(a+2)(a﹣2)10．设M＝2x﹣3y，N＝3x﹣2y，P＝xy．若M＝5，N＝0，则P＝6．【解答】解：由题意得，①+②得5x﹣5y＝5，即x﹣y＝1③，①﹣③×2得﹣y＝3，解得y＝﹣3，把y＝﹣3代入③得，x＝﹣2，∴P＝xy＝﹣2×(﹣3)＝6，故答案为6．11．如图，已知点B、E、F、C在同一直线上，BE＝CF，AF＝DE，则添加条件∠AFB＝∠DEC或AB＝DC，可以判断△ABF≌△DCE．【解答】解：∵BE＝CF，∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，又∵AF＝DE，∴若添加∠AFB＝∠DEC，可以利用“SAS”证明△ABF≌△DCE，若添加AB＝DC，可以利用“SSS”证明△ABF≌△DCE，所以，添加的条件为∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．故答案为：∠AFB＝∠DEC或AB＝DC．12．如图，AB是⊙O的直径，C，D是圆上两点，∠AOC＝50°，则∠D等于25°．【解答】解：∵∠AOC与∠D是同弧所对的圆心角与圆周角，∠AOC＝50°，∴∠D＝∠AOC＝25°．故答案为25°．13．在正方形网格中，A、B、C、D、E均为格点，则∠BAC﹣∠DAE＝45°．【解答】解：连接AF、EF，则∠CAB＝∠F AD，∵∠F AD﹣∠DAE＝∠F AE，∴∠BAC﹣∠DAE＝∠F AE，设小正方形的边长为1，则AF＝，EF＝，AE＝，∴AF2+EF2＝AE2，∴△AFE是等腰直角三角形，∴∠F AE＝45°，即∠BAC﹣∠DAE＝45°，故答案为：45．14．已知扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，则扇形的圆心角为150度．【解答】解：设扇形的圆心角为n°，∵扇形的半径为6cm，弧长为5πcm，∴5π＝，解得n＝150，故答案为：150．15．若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是k＞1．【解答】解：根据题意得△＝b2﹣4ac＝22﹣4k＜0，解得k＞1．故答案为：k＞1．16．如图1，在△ABC中，AB＞AC，D是边BC上一动点，设B，D两点之间的距离为x，A，D两点之间的距离为y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示．则线段AC的长为，线段AB的长为2．【解答】解：从图象看，当x＝1时，y＝，即BD＝1时，AD＝，当x＝7时，y＝，即BD＝7时，C、D重合，此时y＝AD＝AC＝，则CD＝6，即当BD＝1时，△ADC为以点A为顶点腰长为的等腰三角形，如下图：过点A作AH⊥BC于点H，在Rt△ACH中，AC＝，CH＝DH＝CD＝3，则AH＝＝＝2，在Rt△ABH中，AB＝＝＝2，故答案为：，2．三．解答题(共12小题，满分68分)17．(5分)计算：2sin45°+|﹣1|﹣tan60°+(π﹣2)0．【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣+1＝＝．18．(5分)解不等式：1﹣x≥﹣，并把它的解集在数轴上表示出来．【解答】解：去分母得，6﹣4x≥3﹣(2x+1)，去括号得，6﹣4x≥3﹣2x﹣1，移项、合并同类项得，﹣2x≥﹣4，把x的系数化为1得，x≤2．在数轴上表示此不等式的解集如下：19．(5分)已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式(x+2)(x﹣2)﹣x(3x﹣6)的值．【解答】解：原式＝x2﹣4﹣3x2+6x＝﹣2x2+6x﹣4，∵x2﹣3x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝1，∴原式＝﹣2(x2﹣3x)﹣4＝﹣2×1﹣4＝﹣6．20．(5分)如图，AB为半圆O的直径，且AB＝10，C为半圆上的一点，AC＜BC．(1)请用尺规作图在BC上作一点D，使得BD＝AC+CD；(不写作法，保留痕迹)(2)在(1)的条件下，连接OD，若OD＝，求△ABC的面积．【解答】解：(1)如图，点D即为所求作．(2)连接AE，OD．∵OA＝OB，DE＝DB，∴AE＝2OD＝6，∵AB是直径，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，在Rt△ACE中，AC＝EC，∴AC＝AE＝6，∴BC＝＝＝6，∴S△ABC＝•AC•BC＝×6×8＝24．21．(6分)重庆是一个非常适合旅游打卡的城市，在渝中区有“洪崖洞”，南岸区有“南山一颗树”等等，为了解初三学生对重庆历史文化的了解程度，随机抽取了男、女各m名学生进行问卷测试，问卷共30道选择题，现将得分情况统计，并绘制了如图不完整的统计图(数据分组为A组：x＜18，B组：18≤x＜22，C组：22≤x＜26，D组：26≤x≤30，x表示问卷测试的分数)，其中男生得分处于C组的有14人，男生C组得分情况分别为：22，22，22，22，22，23，23，23，24，24，24，25，25，25．男生、女生得分的平均数、中位数、众数(单位：分)如表所示：组别平均数中位数众数男20n22女202320(1)直接写出m，n的值，并补全条形统计图；(2)通过以上数据分析，你认为成绩更好的是男生还是女生?说明理由(一条理由即可)；(3)已知初三年级总人数为1800人，请估计参加问卷测试，成绩处于C组的人数．【解答】解：(1)m＝14÷28%＝50(人)，50×(2%+24%)＝12(人)，∴男生中位数n＝(25+25)÷2＝25，女生C组人数＝50﹣2﹣13﹣20＝15(人)，条形图如图所示：(2)男生的成绩比较好，因为男生的中位数比女生的中位数大(也可以根据众数的大小判断)；(3)1800×＝522(人)，答：估计成绩处于C组的人数约为522人．22．(5分)如图，在等边△ABC中，已知点E在直线AB上(不与点A、B重合)，点D在直线BC上，且ED ＝EC．(1)若点E为线段AB的中点时，试说明DB＝AE的理由；(2)若△ABC的边长为2，AE＝1，求CD的长．【解答】解：(1)∵△ABC是等边三角形，E为AB的中点，∴∠BCE＝30°，BE＝AE，∵ED＝EC，∴∠EDB＝∠BCE＝30°，∵∠ABD＝120°，∴∠DEB＝30°，∴DB＝EB，∴AE＝DB；(2)如图1，E在线段AB上时，∵AB＝2，AE＝1，∴点E是AB的中点，由(1)知，BD＝AE＝1，∴CD＝BC+BD＝3；如图2，E在线段AB的反向延长线上时，∵AE＝1，AB＝2，∴BE＝3，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝AC＝2，过E作EH∥AC交BC的延长线于H，∴∠BEH＝∠BHE＝60°，∴△BEH是等边三角形，∴BE＝EH＝BH＝3，∠B＝∠H＝60°，∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∴∠B+∠BED＝∠H+∠HEC，∴∠BED＝∠HEC，在△BDE和△HCE中，，∴△BDE≌△HCE(SAS)，∴BD＝HC＝BH﹣BC＝3﹣2＝1，∴CD＝BH﹣BD﹣HC＝3﹣1﹣1＝1．综上所述，CD的长为1或3．23．(6分)探究一次函数y＝kx+k﹣2(k是不为0的常数)图象的共同特点．(探究过程)小华尝试把x＝﹣1代入时，发现可以消去k，竟然求出了y＝﹣2．老师问：结合一次函数图象，这说明了什么?小组讨论得出：无论k取何值，一次函数y＝kx+k﹣2的图象一定经过定点(﹣1，﹣2)，老师：如果一次函数的图象是经过某一个定点的直线，那么我们把这样的一次函数图象称为“陀螺线”．若一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象是“陀螺线”，(1)一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象经过定点P的坐标是(2，﹣5)．(2)已知一次函数y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)的图象与x轴，y轴分别相交于点A、B．①若△OBP的面积为8，求k的值．②若S△AOB：S△OBP＝3：2，求k的值．【解答】解：(1)当x＝2时，y＝(k﹣1)x﹣(2k+3)＝2(k﹣1)﹣(2k+3)＝﹣5；∴P (2，﹣5)，故答案为：(2，﹣5)；(2)解：①当x＝0时，y＝﹣(2k+3)∴OB＝|2k+3|，∵P(2，﹣5)，∴；∴2k+3＝±8，解得：；②当y＝0时，，∴，∴，∵S△OAB：S△OBP＝3：2，∴，即，∴，解得：k＝0或k＝6，即k＝0或k＝6．24．(6分)如图，P A、PB与⊙O相切于点A、B，过点B作BD∥AP交⊙O于点D．(1)求证：AD＝AB；(2)若BD•BP＝80，sin∠DAB＝，求△ABP的面积．【解答】(1)证明：连接AO，并延长交DB于点E，∵P A是⊙O的切线，∴OA⊥AP，∵BD∥AP，∴OA⊥BD于点E，∴DE＝BE，即AE是BD的垂直平分线，∴AD＝BD；(2)解：连接OB，OP交AB于点F，∵∠DAB＝2∠OAB＝∠EOB，且sin∠DAB＝，∴sin∠EOB＝，在Rt△EOB中，，设EB＝4a，则OB＝OA＝5a，OE＝3a，∴AE＝8a，∴tan∠EAB＝，又∵P A，PB与⊙O相切于点A，B，∴P A＝PB，且OP平分∠APB，∴OP⊥AB，∴∠OP A+∠P AB＝90°，∵∠OAB+∠P AB＝90°，∴∠OAB＝∠OP A，即tan∠OAB＝tan∠OP A＝，∴，即AP＝BP＝10a，又∵BD•BP＝80，∴2BE•BP＝80，即BE•BP＝4a×10a＝40a2＝40，∴a＝1，∴AE＝8，BE＝4，∴AB＝＝＝4，设AF＝b，则PF＝2b，∴b2+(2b)2＝102，∴b＝2，∴FP＝4，∴S△ABP＝AB•FP＝＝40．25．(5分)如图，已知△ABC中，BE平分∠ABC，且BE＝BA，点F是BE延长线上一点，且BF＝BC，过点F作FD⊥BC于点D．(1)求证：∠BEC＝∠BAF；(2)判断△AFC的形状并说明理由．(3)若CD＝2，求EF的长．【解答】解：(1)∵BE平分∠ABC，∴∠EBC＝∠ABF，在△BEC和△BAF中，，∴△BEC≌△BAF(SAS)，∴∠BEC＝∠BAF；(2)△AFC是等腰三角形．证明：过F作FG⊥BA，与BA的延长线交于点G，如图，∵BA＝BE，BC＝BF，∠ABF＝∠CBF，∴∠AEB＝∠BCF，∵∠BEC＝∠BAF，∴∠GAF＝∠AEB＝∠BCF，∵BF平分∠ABC，FD⊥BC，FG⊥BA，∴FD＝FG，在△CDF和△AGF中，，∴△CDF≌△AGF(AAS)，∴FC＝F A，∵△ACF是等腰三角形；(3)设AB＝BE＝x，∵△CDF≌△AGF，CD＝2，∴CD＝AG＝2，∴BG＝BA+AG＝x+2，在Rt△BFD和Rt△BFG中，，∴△BFD≌△BFG(HL)，∴BD＝BG＝x+2，∴BF＝BC＝BD+CD＝x+4，∴EF＝BF﹣BE＝x+4﹣x＝4．26．(7分)如图，一次函数的图象y＝ax+b(a≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于点A(，4)，点B(m，1)．(1)求这两个函数的表达式；(2)若一次函数图象与y轴交于点C，点D为点C关于原点O的对称点，点P是反比例函数图象上的一点，当S△OCP：S△BCD＝1：3时，请直接写出点P的坐标．【解答】解：(1)把点A(，4)代入y＝(k≠0)得：k＝×4＝2，∴反比例函数的表达式为：y＝，∵点B(m，1)在y＝上，∴m＝2，∴B(2，1)，∵点A(，4)、点B(2，1)都在y＝ax+b(a≠0)上，∴，解得：，∴一次函数的表达式为：y＝﹣2x+5；(2)∵一次函数图象与y轴交于点C，∴y＝﹣2×0+5＝5，∴C(0，5)，∴OC＝5，∵点D为点C关于原点O的对称点，∴D(0，﹣5)，∴OD＝5，∴CD＝10，∴S△BCD＝×10×2＝10，设P(x，)，∴S△OCP＝×5×|x|＝|x|，∵S△OCP：S△BCD＝1：3，∴|x|＝×10，∴|x|＝，∴P的横坐标为或﹣，∴P(，)或(﹣，﹣)．27．(6分)已抛物线y＝x2+2x+m的顶点在x轴上．(1)求m的值；(2)若P(n，y1)，Q(n+2，y2)是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2，求实数n的取值范围．【解答】解：(1)∵抛物线y＝x2+2x+m的顶点在x轴上，∴＝0，解得，m＝1．(2)(2)∵P(n，y1)，Q(n+2，y2)是该二次函数的图象上的两点，且y1＞y2，n2+2n+1＞(n+2)2+2(n+2)+1，化简整理得，4n+8＜0，∴n＜﹣2，∴实数n的取值范围是n＜﹣2．28．(7分)在平面直角坐标系xOy中，对于△ABC，点P在BC边的垂直平分线上，若以点P为圆心，PB 为半径的⨀P与△ABC三条边的公共点个数之和不小于3，则称点P为△ABC关于边BC的“Math点”．如图所示，点P即为△ABC关于边BC的“Math点”．已知点P(0，4)，Q(a，0)．(1)如图1，a＝4，在点A(1，0)、B(2，2)、C(，)、D(5，5)中，△POQ关于边PQ的“Math点”为B，C．(2)如图2，，①已知D(0，8)，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，请直接写出线段DE的长度的取值范围；②将△POQ绕原点O旋转一周，直线交x轴、y轴于点M、N，若线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math点”，求b的取值范围．【解答】解：(1)根据“Math点”的定义，观察图象可知，△POQ关于边PQ的“Math点”为B、C．故答案为：B，C．(2)如图2中，∵P(0，4)，Q(4，0)，∴OP＝4，OQ＝4，∴tan∠PQO＝，∴∠PQO＝30°，①当点E与PQ的中点K重合时，点E是△POQ关于边PQ的“Math点”，此时E(2，2)，∵D(0，8)，∴DE＝＝4，当⊙E′与x轴相切于点Q时，E′(4，8)，∴DE′＝4，观察图象可知，当点E在线段KE′上时，点E为△POQ关于边PQ的“Math点”，∵E′Q⊥OQ，∴∠E′QO＝90°，∴∠E′QK＝60°，∴∠E′KQ＝90°，∴∠EE′Q＝30°，∵DE′∥OQ，∴∠DE′K＝60°，∵DE′＝DK，∴△DE′K是等边三角形，∵点D到E′K的距离的最小值为4•sin60°＝6，∴．②如图3中，分别以O为圆心，4和4为半径画圆，当线段MN与图中圆环(包括小圆，不包据大圆)有交点时，线段MN上存在△POQ关于边PQ的“Math 点”，当直线MN与小圆交于(0，4)或(0，﹣4)时，b＝±4，当直线MN与大圆相切时，b＝±8，观察图象可知，满足条件的b的值为：4≤b＜8或﹣8＜b≤﹣4．。

2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.能与−2相加得0的数是( )A. 2B. −2C. 12D. −122.下列正确的是( )A. 4+9=2+3B. 4×9=2×3C. 94=32D. 4.9=0.73.整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 84.下列图形是三棱柱展开图的( )A. B.C. D.5.若m≠n，则下列化简一定正确的是( )A. m+3n+3=mnB. m−3n−3=mnC. m3n3=mnD. 3m3n=mn6.如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图(成绩均为整数)，其中部分已破损.若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是( )A. 3环以下(含3环)的人数B. 4环以下(含4环)的人数C. 5环以下(含5环)的人数D. 6环以下(含6环)的人数二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.若x+2y=5，则3x+6y−1的值是______．8.若分式xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．9.计算3+12的结果是______．10.若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是______．11.若a n+a n⋯+a na个a n=a4(a为大于1的整数)，则n的值是______．12.一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是______．13.如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为______．14.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是______．15.关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m(m>1)的两根之和是______．16.如图，已知点A(1,0)、B(5,0)，点C在y轴上运动.将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为______．三、解答题：本题共11小题，共88分。

中考仿真模拟测试数学试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________(本卷满分130分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的)1.9 的算术平方根是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．812.．2020年在疫情巨大冲击下我国能够保持就业大局稳定，城镇新增就业1186万人．现将数据1186万用科学记数法表示为()A ．1.186×106B ．1.186×107C ．0.1186×108D ．1.186×1033.为了解新冠肺炎疫情防控期间，学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测试”，其中抽查的10名学生的成绩如图所示，对于这10名学生的测试成绩，下列说法正确()A ．中位数是95分B ．众数是90分C ．平均数是95分D ．方差是154.已知关于x的方程x2+2x+A ＝0有两个相等的实数根，则A 的值为()A ．﹣1B ．0C ．1D ．45.如图所示，琪琪用6个含30°角的直角三角板拼成内外都是正六边形的图形，则大小两个正六边形的边长比A B ：GH的值为()A ．2B ．√2C ．√3D ．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥7.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△A B C 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么C os ∠A C B 值为( )A ．B ．C ．D ．8.若两个点(x 1，﹣2)，(x 2，4)均在反比例函数y ＝2k x 的图象上，且x 1＞x 2，则k 的值可以是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1 9.如图1，点F 从菱形A B C D 的顶点A 出发，沿A →D →B 以1C m/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FB C 的面积y(C m 2)随时间x(s)变化的关系图象，则A 的值为( )A B ．2 C ．52 D ．10.如图，已知点A (1，4)，点B (3，5)，在y 轴上取一点C ，连接A C ，将线段A C 绕点C 顺时针旋转90°到C D ，连接A D ，B D ，则A D +B D 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．5二．填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分．)11.因式分解：y 3﹣4y 2+4y ＝ ．12.写出一个比大且比小的整数 ．13.如图，在⊙O 中，半径OC ⊥A B 于点H ，若∠OA B ＝40°，则∠A B C ＝ 25 °．14.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA 、OB 组成．两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝C D ＝D E ，点D ，E 在槽中滑动，若∠B D E ＝84°．则∠C D E 是_________ °．15.如图，抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A (-1，P)，B (3，q)两点，则不等式2ax mx c n++>的解集是__________．16.《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何?”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车?设有x 辆车，y 个人，根据题意，可列方程组为 ．17.在平面直角坐标系中，如果存在一点P(A ，B )，满足A B ＝－1，那么称点P 为“负倒数点”，则函数()()6060x x y x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩的图像上负倒数点的个数为_________个．18.如图，在边长为△A B C 中，点D 、点E 分别是边B C 、A C 上的点，且B D ＝C E ，连接B E 、A D ，相交于点F ．连接C F ，则C F 的最小值为_________．三、解答题(本大题共10小题，共84分．)19.(8分)计算：(1)3×﹣(﹣)÷+|﹣|．(2)x(x 2＋x －1)＋(2x 2－1)(x －4)20.(8分)(1)解下列方程：23425525x x x +=-+- (2)解不等式组：并将解集在数轴上表示．21.(8分)如图，在▱A B C D 中，E 、F 分别为边A D 、B C 的中点，对角线A C 分别交B E ，D F 于点G 、H ．求证：(1)四边形B ED F 为平行四边形；(2)A G ＝C H ．22.(8分)欢欢放学回家看到桌上有三个礼包，是爸爸送给欢欢和姐姐的礼物，其中A 礼包是芭比娃娃，B 和C 礼包都是智能对话机器人．这些礼包外表一样的包装盒装着，看不到里面的礼物．(1)欢欢随机地从桌上取出一个礼包，取出的是芭比娃娃的概率是多少?(2)请用树状图或列表法表示欢欢随机地从桌上取出两个礼包的所有可能结果，并求取出的两个礼包都是智能对话机器人的概率．23.(6分)本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目(足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项)的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：(1)学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人?(2)“篮球运球”的中位数落在_______等级；(3)将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩.24.(8分)在△A B C 中，A B =A C ，点A 在以B C 为直径的半圆内．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留画图痕迹)．(1)在图1中作弦EF，使EF∥B C ；(2)在图2中以B C 为边作一个45°的圆周角．25.(8分)如图，A B 是⊙O的直径，C 是⊙O上一点，D 是OB 中点，过点D 作A B 的垂线交A C 的延长线于点F，FD 上有一点E，C E＝EF．(1)求证：C E是⊙O的切线；(2)如果sinF＝，EF＝1，求A B 的长．26.(10分)随着人们生活水平提升，我市市民对花卉需求量也在增加．新春佳节临近，购买自己喜爱的鲜花装饰家庭成为青岛市民必备的时尚年货．市民走进花卉市场，寻找春景春色赏花买花，体验浓浓年味．春节前夕，某花卉市场店铺老板用5400元按批发价购买了一批花卉．若将批发价降低10%，则可以多购买该花卉20盆，据市场调查反映，该花卉每盆售价42元时，每天可卖出20盆；若调整价格，每盆花卉每涨价2元，每天要少卖出1盆．(1)该花卉每盆批发价是多少元?(2)店铺老板决定在每盆售价42元的基础上，每盆花卉涨价不超过10元，问该花卉一天最大的销售利润是多少元?(3)该店铺开展快递托运送货到家活动，但每盆花卉店铺还需增加A 元的快递成本，若每盆花卉售价不低于62元时，每天的利润将随着售价的增长不断降低，请直接写出快递成本最多是多少元?27.(10分)(问题提出)用n个圆最多能把平面分成几个区域?(问题探究)为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递进，最后猜想得出结论．探究一：如图1，一个圆能把平面分成2个区域．探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域?如图2，在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域．探究三：用3个圆最多能把平面分成几个区域?如图3，在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成224⨯=部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域．(1)用4个圆最多能把平面分成几个区域?仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．(2)(一般结论)用n 个圆最多能把平面分成几个区域?为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前(n )1-个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成______________部分，从而增加___________________个区域，所以，用n 个圆最多能把平面分成__________________个区域．(将结果进行化简)(3)(结论应用)①用10个圆最多能把平面分成_________个区域；②用___________个圆最多能把平面分成422个区域．28.(10分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ；M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+，以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．(1)求b 的值．(2)当点Q 与点M 重合时，求m 的值．(3)当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．(4)当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．参考答案一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是符合题意的)1.9 的算术平方根是( )A ．3B ．－3C ．±3D ．81【答案】A【解析】9的算术平方根是3．故答案选A ．2.．2020年在疫情巨大冲击下我国能够保持就业大局稳定，城镇新增就业1186万人．现将数据1186万用科学记数法表示为()A ．1.186×106B ．1.186×107C ．0.1186×108D ．1.186×103【答案】B【解析】解：数1186万用科学记数法表示为1186×104＝1.186×107．故选：B ．3.为了解新冠肺炎疫情防控期间，学生居家进行“线上学习”情况，某班进行了某学科单元基础知识“线上测试”，其中抽查的10名学生的成绩如图所示，对于这10名学生的测试成绩，下列说法正确()A ．中位数是95分B ．众数是90分C ．平均数是95分D ．方差是15【答案】B【解析】解：A 、中位数是90分，错误；B 、众数是90分，正确；C 、平均数＝＝91，错误；D 、方差＝[(85﹣91)2+5(90﹣91)2+2×(95﹣91)2+2(100﹣91)2]＝19，错误；故选：B ．4.已知关于x的方程x2+2x+A ＝0有两个相等的实数根，则A 的值为()A ．﹣1B ．0C ．1D ．4【答案】C【解析】解：由题意可知：△＝4﹣4A ＝0，∴A ＝1，故选：C ．5.如图所示，琪琪用6个含30°角的直角三角板拼成内外都是正六边形的图形，则大小两个正六边形的边长比A B ：GH的值为()A ．2B ．√2C ．√3D ．【答案】C【解析】解：∵△A B G≌△B C H，∴A G＝B H，∵∠A B G＝30°，∴B G＝2A G，A B ＝ A G，即B H+HG＝2A G，∴HG＝A G，∵A B ＝HG，∴大小两个正六边形的边长比A B ：GH的值为．故选：C ．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱柱D ．四棱锥【答案】B【解析】解：由三视图知，该几何体是三棱柱，故选：B ．7.如图，在4×5的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△A B C 的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么C os∠A C B 值为()A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：如图，过点A 作A H ⊥B C 于H ．在Rt △A C H 中，∵A H ＝4，C H ＝3，A C ＝＝＝5，∴C os ∠A C B ＝＝， 故选：C ．8.若两个点(x 1，﹣2)，(x 2，4)均在反比例函数y ＝的图象上，且x 1＞x 2，则k 的值可以是( ) A ．4B ．3C ．2D ．1 【答案】D【解析】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，∴，解得，解不等式、 故选：D ．9.如图1，点F 从菱形A B C D 的顶点A 出发，沿A →D →B 以1C m/s 的速度匀速运动到点B ，图2是点F 运动时，△FB C 的面积y(C m 2)随时间x(s)变化的关系图象，则A 的值为()2k x -1(2)x -，2k y x -=12122-==--k k x 2(4)x ，2k y x -=224k x -=12x x >2124k k -->2k <AB ．2C ．D ．【答案】C 【解析】过点D 作D E ⊥B C 于点E.由图象可知，点F 由点A 到点D用时为A s ，△FB C 的面积为A C m 2．.∴A D =A .∴ D E•A D ＝A .∴D E=2. 当点F 从D 到B ∴Rt △D B E中，， ∵四边形A B C D 是菱形，∴EC =A -1，D C =A ，Rt △D EC 中，A 2=22+(A -1)2.解得A =. 故选C ．10.如图，已知点A (1，4)，点B (3，5)，在y 轴上取一点C ，连接A C ，将线段A C 绕点C 顺时针旋转90°到C D ，连接A D ，B D ，则A D +B D 的最小值是( )A ．B ．C ．D ．5 【答案】D52121=52【解析】解：如图，过点A 作轴于点E，过点D 作轴于点F，设C (0，m)，由题意A (1，4)，线段C D 是由线段C A 顺时针旋转90°得到，则，∴，，∴，∴D (4﹣m，m﹣1)，设4﹣m＝x，m﹣1＝y，可得y＝﹣x+3，∴点D 的运动轨迹是直线y＝﹣x+3，作点A 关于直线y＝﹣x+3的对称点M(﹣1，2)，连接B M交直线y＝﹣x+3于D ′，连接A D ′，此时A D ′+B D ′的值最小，最小值为线段B M的长，∵B (3，5)，M(﹣1，2)，∴B M5，∴A D +B D 的最小值为5，故选：D ．二．填空题(本大题共8小题，每小题2分，共16分．)11.因式分解：y3﹣4y2+4y＝．【答案】y(y﹣2)2．【解析】解：原式＝y(y2﹣4y+4)＝y(y﹣2)2．故答案为：y(y﹣2)2．12.写出一个比大且比小的整数．AE y⊥DF y⊥AEC CFD≅1AE CF==4EC FD m==-1OF m=-【答案】2或3【解析】解：∵＞1，＞3，∴＜2＜3＜， 即比大且比小的整数有两个是2和3． 故答案为：2或3．13.如图，在⊙O 中，半径OC ⊥A B 于点H ，若∠OA B ＝40°，则∠A B C ＝ 25 °．【答案】25【解析】解：∵OC ⊥A B ，∴∠A HO ＝90°，∴∠O ＝90°﹣∠OA B ＝90°﹣40°＝50°，∴∠A B C ＝∠O ＝25°．故答案为25．14.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA 、OB 组成．两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝C D ＝D E ，点D ，E 在槽中滑动，若∠B D E ＝84°．则∠C D E 是_________ °．【答案】68【解析】解：∵OC ＝C D ＝D E ，∴∠O ＝∠OD C ，∠D C E ＝∠D EC ，∴∠D C E ＝∠O ＋∠OD C ＝2∠OD C ，∵∠O ＋∠OED ＝3∠OD C ＝∠B D E ＝84°，∴∠OD C ＝28°，∵∠C D E ＋∠OD C ＝180°−∠B D E ＝96°，∴∠C D E ＝96°−∠OD C ＝68°．故答案为：68．15.如图，抛物线与直线交于A (-1，P)，B (3，q)两点，则不等式的解集是__________．2y ax c =+y mx n =+2ax mx c n ++>【答案】或【解析】∵抛物线与直线交于，两点，∴，，∴抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方，∴不等式的解集为或．故答案为：或．16.《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何?”其大意是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆空车，若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车?设有x 辆车，y 个人，根据题意，可列方程组为 ．【答案】【解析】解：依题意，得：．故答案为：．17.在平面直角坐标系中，如果存在一点P(A ，B )，满足A B ＝－1，那么称点P 为“负倒数点”，则函数的图像上负倒数点的个数为_________个． 【答案】3【解析】解：设点P(A ，B )是函数y ＝x−6(x≥0)上的“负倒数点”，则A B ＝−1．即A (A −6)＝−1．解得：A ＝3＋∴B ＝3＋设点P(A ，B )是函数y ＝−x−6(x ＜0)上的“负倒数点”，3x <-1x >2y ax c =+y mx n =+()1,A p -()3,B q m n p -+=3m n q +=2y ax c =+y mx n =-+()1,P p ()3,Q q -3x <-1x >y mx n =-+2y ax bx c =++2ax mx c n ++>3x <-1x >3x <-1x >()()6060x x y x x ⎧-≥⎪=⎨--<⎪⎩则A (−A −6)＝−1．解得：A ＝或−3大于0，不合题意，舍去)．∴A ＝∴B ＝−3．的图象上“负倒数点”的个数为：3．故答案为：3．18.的等边△A B C 中，点D 、点E分别是边B C 、A C 上的点，且B D ＝C E，连接B E、A D ，相交于点F．连接C F，则C F的最小值为_________．【答案】6【解析】解：如图，∵△A B C 是等边三角形，∴A B ＝B C ＝A C ，∠A B C ＝∠B A C ＝∠B C E＝60°，∵B D ＝C E，在△A B D 和△B C E中，，∴△A B D ≌△B C E(SA S)，∴∠B A D ＝∠C B E，又∵∠A FE＝∠B A D ＋∠A B E，∴∠A FE＝∠C B E＋∠A B E＝∠A B C ，∴∠A FE＝60°，∴∠A FB ＝120°，∴点F的运动轨迹是O为圆心，OA 为半径的弧上运动，此时∠A HB ＝180°-120°=60°，∠A OB =2∠A HB =120°，∵A B =，OA =OB ，∴OA ＝A B ÷=÷=6，∵OA =OB ，A C =B C ，OC =OC ，，∴∠A OC =∠A OB =60°，∠∠A C B =30°，∴∠C A O=90°，∴OC ＝2OA ＝12，设OC 交⊙O于N，当点F与N重合时，C F的值最小，最小值＝OC −ON＝12−6＝6．故答案为6．三、解答题(本大题共10小题，共84分．)19.(8分)计算：(1)3×﹣(﹣)÷+|﹣|．(2)x(x2＋x－1)＋(2x2－1)(x－4)【答案】(1)2﹣3；(2)3x3－7x2－2x＋4.【解析】(1)解：原式＝﹣(﹣)+﹣＝﹣3++﹣＝2﹣3．(2)解：原式＝x3＋x2－x＋2x3－8x2－x＋4＝3x3－7x2－2x＋4.20.(8分)(1)(2)解不等式组：并将解集在数轴上表示．【答案】(1)x＝1；(2)﹣4≤x＜1，【解析】(1)解：去分母得：3x＋15＋4x－20＝2，移项合并得：7x＝7，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解．(2)解：，解①得x≥﹣4，解②得x＜1，所以不等式组的解集为﹣4≤x＜1，用数轴表示为21.(8分)如图，在▱A B C D 中，E、F分别为边A D 、B C 的中点，对角线A C 分别交B E，D F于点G、H．求证：(1)四边形B ED F为平行四边形；(2)A G＝C H．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】证明：(1)∵四边形A B C D 是平行四边形，∴A D ＝B C ，A D ∥B C ，∵E、F分别为边A D 、B C 的中点，∴D E＝ A D ，B F，∴D E＝B F，D E∥B F，∴四边形B ED F为平行四边形；(2)∵四边形A B C D 是平行四边形，∴A D ∥B C ，∴∠A D F＝∠C FH，∠EA G＝∠FC H，∵E、F分别为A D 、B C 边的中点，∴A E＝D E＝ A D ，C F＝B F，∴D E∥B F，D E＝B F，∴四边形B FD E是平行四边形，∴B E∥D F，∴∠A EG＝∠A D F，∴∠A EG＝∠C FH，在△A EG和△C FH中，∠EA G＝∠FC H，A E＝C F，∠A EG＝∠C FH，∴△A EG≌△C FH(A SA )，∴A G＝C H．22.(8分)欢欢放学回家看到桌上有三个礼包，是爸爸送给欢欢和姐姐的礼物，其中A 礼包是芭比娃娃，B 和C 礼包都是智能对话机器人．这些礼包外表一样的包装盒装着，看不到里面的礼物．(1)欢欢随机地从桌上取出一个礼包，取出的是芭比娃娃的概率是多少?(2)请用树状图或列表法表示欢欢随机地从桌上取出两个礼包的所有可能结果，并求取出的两个礼包都是智能对话机器人的概率．【答案】(1)【解析】(1)(2)画树状图如下：结果：(A ，B )，(A ，C )，(B ，A )，(B ，C )，(C ，A )，(C ，B )，由图可知，共有6种等可能的结果，而符合要求的是(B ，C )，(C ，B )两种，∴取出的两个礼包都是智能机器人的概率是P＝＝23.(6分)本月初我市市区某校九年级学生进行一次体育模拟测试，并将目标效果测试中第二类选考项目(足球运球、篮球运球、排球垫球任选一项)的情况进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：(1)学校参加本次测试和参加“排球垫球”测试的人数分别是多少人?(2)“篮球运球”的中位数落在_______等级；(3)将本次测试“足球运球”、“篮球运球”、“排球垫球”三项等级折算成分数，则它们的平均成绩分别为6.5分，7.6分，8分，求参加本次测试的学生第二类选考项目的平均成绩.【答案】(1)300人；165人；(2)良好；(3)7.71分。