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2.2.1双曲线及其标准方程(优秀经典公开课比赛课件).

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双曲线及其标准方程ppt课件

双曲线及其标准方程ppt课件

x2
y2
变式．给出曲线方程
＋
＝1.
4＋k 1－k
(1)若该方程表示双曲线，求实数k的取值范围；
(2)若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，求实数k的取值范围.
y2 x2
例 5．已知双曲线 C 的方程是 － ＝1，其上下焦点分别是 F2，
16 20
F1，点 M 在双曲线 C 上，且|MF1|＝9，则|MF2|＝________.
归纳总结
y
图形
y
P
P
x
O
F1
F1 O F2
方程
焦点
a,b,c之间的关系
F2
x
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
c2=a2+b2
a，b大小不定
椭圆与双曲线的区别
O
焦点在对应轴上
x2 y2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
① 方程用“－”号连接；
y
F2
F1
y2 x2
2 1(a 0, b 0)
2
a
b
② c2=a2+b2 ；
③分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定；
④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上；
如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上.
x
F1 O
F2

结论：已知F1，F2分别是双曲线C：

双曲线(优秀经典公开课比赛课件).

双曲线(优秀经典公开课比赛课件).

x2 y2 a2 - b2 =1
,由
{ 题设得
a2+b2=100
a4 =
,
b3
解得a=8,b=6.
∴另一条双曲线方程为
y2 x2 - =1
.
64 36
返回目录
【评析】双曲线
x2 y2 - =1
与
36 64
y2 - x2 =1 是一
64 36
对共轭双曲线，一般形式是
x2 a2
y2 - b2
=±1.
因而本题有另一解法，设双曲线方程为
c <
a
6
2.
∴离心率e=
e a
∈(1,
6 ).
2
返回目录
考点四 双曲线的综合应用
例4 已知双曲线C的中心是原点，右焦点为F（ 3 ，0），
一条渐近线m：x + y=0，设过点A(-3 ,0)的直线l
的方向向量e=(1,k). 2
2
(1)求双曲线C的方程;
(2)若过原点的直线a ∥ l，且a与l的距离为 ,求k的值;
，
1+k 2
当k＞
2 时，d＞
2
6.
又双曲线C的渐近线为x± 2 y=0，
∴双曲线C的右支在直线b的右下方，
∴双曲线C右支上的任意点到直线l的距离大于 6.
故在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离
为 6.
返回目录
证法二：假设双曲线C右支上存在点Q（x0，y0）到
直线l的距离为 6 ，
则
{ |kx0 -y0 +3
由点到直线的距离公式,且a>1,得到点(1,0)到直线l
的距离d1=
b(a-1) a2 +b2

双曲线及其标准方程ppt课件

双曲线及其标准方程ppt课件

C.(0,-5),(0,5)
D.(0,- 7),(0, 7)
双曲线的定义
2
1.设 F1,F2 分别是双曲线 x2-24=1 的左、右焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 则△PF1F2 的面积等于 ( )
A.4 2
B.8 3
C.24
D.48
2.已知动点 P(x,y)满足 ( + 2)2 + 2- ( -2)2 + 2=2,则动点 P 的轨迹是 ( )
这两个定点叫做双曲线的焦点. 两焦点的距离叫做双曲线的焦距.
y
M
F1 o F2 x
如何理解绝对值？若去掉绝对值则图像有何变化？
03 双曲线的标准方程
1. 建系：如图建立直角坐标系xOy，使x轴经 过点F1，F2，并且点O与线段F1F2中点重合.
y M
F1 O F2
x
2.设点:设M（x , y）,双曲线的焦距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a
利用定义求轨迹方程
P P127 习题3.2 第5题
如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O外一定点,P是圆上任
意一点,线段AP的垂直平分线l和直线OP相交于点Q,当
O
点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A Q
P115 习题3.1 第6题 如图,圆O的半径为定长 ,A是圆O内一定点,P是圆上 任意一点,线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点 Q,当点P在圆O上运动时,点Q的轨迹是什么?为什么?
A.椭圆 C.双曲线的左支
B.双曲线 D.双曲线的右支
双曲线的定义
22
【变式练习】
已知
P
是双曲线

双曲线及其标准方程(公开课)公开课一等奖

双曲线及其标准方程(公开课)公开课一等奖
详细描述
双曲线的焦点距离公式是根据双曲线的标准方程中的系数计算得出的。这个公式可以帮助我们了解双 曲线的形状和大小，以及焦点在双曲线上的位置。通过焦点距离公式，我们可以进一步研究双曲线的 性质和特点。
05 双曲线与其他曲线的对比
CHAPTER
与椭圆的对比
01 02
形状
双曲线和椭圆都是二次曲线，但它们的形状和结构有所不同。双曲线有 两个分支，分别向两个方向无限延伸，而椭圆则是一个封闭的形状，由 两个焦点和连接它们的线段所形成。
此时，双曲线的两个顶点位于y轴上，坐标分别为 $(0, -a)$ 和 $(0, a)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
双曲线标准方程的推导
通过平面几何的方法，我们可以推导出双曲线的标准方程。
首先，设双曲线的焦点到任一点 $P(x, y)$ 的距离之差为常数 $2a$，即 $|PF_1 - PF_2| = 2a$。
此时，双曲线的两个顶点位于x轴上， 坐标分别为 $(-a, 0)$ 和 $(a, 0)$。
双曲线的焦距为 $2c$，其中 $c = sqrt{a^2 + b^2}$。
焦点在y轴上
焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{a^2} frac{x^2}{b^2} = 1$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，分别表示双曲线的实 半轴和虚半轴的长度。
根据平面几何的性质和勾股定理，我们可以推导出双曲线的标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 或 $frac{y^2}{a^2} - frac{x^2}{b^2} = 1$。
03 双曲线的应用
CHAPTER

《2.2.1 双曲线的定义与标准方程》课件-优质公开课-湘教选修1-1精品

《2.2.1 双曲线的定义与标准方程》课件-优质公开课-湘教选修1-1精品
2．2 2．2.1
双曲线
双曲线的定义与标准方程
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程的推导过程． 2．掌握双曲线的标准方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学导引 1．双曲线的有关概念 (1)双曲线的定义 平面上到两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为定值 (小于 |F1F2| 且大于零)的点的轨迹叫做双曲线． 平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于|F1F2|时的 点的轨迹为 以 F1、F2 为端点的两条射线 ． 平面内与两个定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值大于|F1F2|时的 点的轨迹 不存在 ．
焦点 F1(0，－c) ，F2 (0，c) ． ．
2 2 2 (3)双曲线中 a、b、c 的关系是 c ＝a ＋b
2．双曲线的标准方程
(4)已知两点求双曲线的标准方程，当焦点位置不确定时可设 为 Ax2＋By2＝1(A· B < 0)． (5)双曲线的标准方程中，若 x2 项的系数为正，则焦点在 x 轴 上，若 y2 项的系数为正，则焦点在 y 轴上．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
(2)双曲线的焦点和焦距 双曲线定义中的两个定点 F1、 F2 叫做双曲线的 焦点 点之间的距离叫做双曲线的 焦距 ． ， 两焦
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
x2 y2 (1)焦点在 x 轴上的双曲线的标准方程是 a2－b2＝1(a>0，b>0) ， 焦点 F1 (－c，0) ，F2 (c，0) ． y2 x2 (2)焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是 a2－b2＝1(a>0，b>0) ，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练

优质实用教学课件精选双曲线及其标准方程PPT课件公开课

优质实用教学课件精选双曲线及其标准方程PPT课件公开课
解: 6 10 点P的轨迹为双曲线
根据双曲线的焦点在 x 轴上，设它的标准方程为：
x2 y2 a2 b2 1 (a 0, b 0)
∵ 2a = 6, c=5 ∴ a = 3, c = 5 ∴ b2 = 52-32 =16
所以所求双曲线的标准方程为： x2 y2 1 9 16
课堂练习
y
M
F1 o F2 x
y
M F2
F1
x
y2 a2
x2 b2
1
F(0, ± c)
焦点在x轴上
焦点在y轴上
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？
x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，x2,y2 哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点 所在位置与分母的大小无关。
x2 y2 a2 b2 1 F ( ±c, 0)
这表明动点M与两定点C2、C1的距离的差是常数2．根 据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2 的距离大，与C1的距离小)，这里a=1，c=3，则b2=8，设点M 的坐标为(x，y)，其轨迹方程为：
• 例曲线3、，如求果m方的程范m围x-21+2-ym2 = 1 表示双 • 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
x2
y2
1( x 0)
115600 44400
例2.已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9， 动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨 迹方程．
解：设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A 和B，根据两圆外切的条件，
|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|
1. 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴，线

高中数学新人教B版选修1-1课件：第二章圆锥曲线与方程2.2.1双曲线及其标准方程


1.请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及 a ，b
x2 y2
x2 y2
x2 y2
(1) 1 (2) 1 (3) 1
94
49
49
(4)4x2 y2 64
（六）例题讲解，巩固强化
已知双曲线两个焦点分别为F1（-5，0），F2(5,0), 双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，
F1 o F2
注意
（1）2a<2c ； （2）2a >0 ；问 是题 什1么：?若2a = 0,则图形
问题2:定义中为什么要强调差的绝对值？
1.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
则图形为 ___双__曲__线__右__支___________
F1
F2
2.若 MF1 MF2 2a 0 2a F1F2
F1 O F2 x
(c2 a2 )x2 a2 y2 a2 (c2 a2 )
y M
x2 a2
c2
y2 a2
1
c2 a2
b2
F2
x
O
F1
x2 y2 1(a 0,b 0)
a2 b2
(x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
y2 a2
x2 b2
1(a 0, b 0)
(2)双曲线方程中 a 0,b 0 ,但 a 不一定椭大圆于中:b用；“+”相连
(3)双曲线标准方程中左边用“-确”定相焦连点，位右置边: 为1.
椭圆看分母的大小,焦点跟着大的跑；
(4)如果 x2 的系数是正的，那么双焦曲点线在看系x数轴的上正，负,焦点跟着正的去.
如 果 y2 的系数是正的，那么焦点在 y 轴上.
一个动点
笔尖滑动 图钉不动

双曲线及其标准方程ppt课件


F1 O F2
3.限式 |MF1| - |MF2|=±2a
4.代换 即 (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
5.化简
6
代数式化简得：
y
M (c2 a2) x2 a2 y2 a2 (c2 a2)
F1 O F2
可令：c2-a2=b2
x
代入上式得：b2x2-a2y2=a2b2
不存在
(4)已知A(-5,0),B(5,0),M点到A,B两点的距离之差 的绝对值为0,则M点的轨迹是什么?
线段AB的垂5直平分线
（三）合作探究，构建方程
双曲线标准方程推导
1.建系
以F1,F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中 y 点为原点建立直角坐标系
M
2.设点
x
设M（x , y）,则F1(-c,0),F. 2(c,0)
15
16
2
（二）注重细节，理解概念
双曲线定义：
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对 值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹
叫做双曲线.
M
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
F1 o F2
3
（二）注重细节，理解概念
思考：为什么要求 0<2a<2c? 演示
当2a=2c时，动点的轨迹是什么? 以点F1、F2为端点，方向指向F1F2外侧的两条射 线． 当2a>2c时，动点的轨迹是什么? 不存在 当2a=0时，动点的轨迹是什么? 线段F1F2的垂直平分线
x2 b2
（1 a
0, b
0)
问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上呢？
(二次项系数为正,焦点在相应的轴8上)

双曲线的定义及其标准方程市公开课金奖市赛课一等奖课件


| |MF1| - |MF2| | = 2a
① 两个定点F1.F2——双曲线焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
阐明
（1）2a< |F1F2| ；
思考:
（2）2a >0 ；
F1 o F2
（1）若2a= |F1F2|,则轨迹是？(1)两条射线
（2）若2a> |F1F2|,则轨迹是？ (2)不表示任何轨迹
解：∵ F1F2 10 >6, PF1 PF2 6
∴ 由双曲线的定义可知， 点 P 的轨迹是双曲线的一支 (右支),
∵焦点为 F1(5, 0), F2(5, 0)
∴可设双曲线方程为:
x2 a2
y2 b2
1
(a>0,b>0).
∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2=52－32=16.
所以点 P 的轨迹方程为 x2 y2 1 ( x ≥ 3) . 9 16
双曲线及其原则方程
第1页
复习
1.椭圆定义
平面内与两定点F1、F2距离
和 等于常数
2a ( 2a>|F1F2|>0) 点轨迹.
Y
|MF1|+|MF2|=2a( 2a>|F1F2|>0)
O
2. 引入问题:
F1 c, 0
Mx, y
F2 c, 0 X
平面内与两定点F1、F2距离 点轨迹是什么呢？
差 等于常数
c2 a2 b2
x2 a2
y2 b2
1(a 0, b 0)
此即为 焦点在x 轴上双 曲线原 则方程
第9页
若建系时,焦点在y轴上呢?
y
y
M
M

双曲线及其标准方程第一课时公开课教学PPT课件


b>0)
y2 x2
2 1
2
a b
① 方程用“－”号连接。
,b0但 a , b 大小不定。
② 分母是 a2,b2,a0
2
2
2如果 x 的系数是正的,则焦点在 x轴上;
7/16/2024 12:512 AM
如果 y 的系数是正的,则焦点在 y
轴上.
由方程定焦点:
椭圆看大小;
双曲线看正负.
学习目标
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1.了解双曲线的定义、几何图形及标准方程
的推导过程;
2.掌握双曲线的标准方程及其求法;
3.会利用双曲线的定义和标准方程解决简单
的问题.
作业
必做:课本第 41 页 练习第 1 题
课本第 44 页 A 组第 1 题
选做:课本第 44 页 A 组第 4 题
课后思考
思考 1 若方程
2
2+
−
围为
2
+1
= 1 为双曲线标准方程,则 m 的取值范
;
思考 2 若方程
2
2+
−
2
+1
值范围为
7/16/2024
AM
思考
3 12:51
若 1 − 2 = 12呢?
轨迹不存在
题后反思：
求标准方程要做到先定型,后定量.
7/16/2024 12:51 AM
应用探究
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
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1.若 PF1 PF2 6呢？
x2 y2 1(x 0) 9 16
2.若 PF1 PF2 10呢？
两条射线
3.若 PF1 PF2 12呢？
轨迹不存在
例曲2线、，如求果m方的程范围mx-21+2-ym2 = 1 表示双 解（m-1)(2-m)<0，∴m>2或m<1
F2 (c, 0)
数量特征： c2 a2 b（2 a,b,c 0)
焦点在y轴上
F1(0, c) F2 (0, c)
F1F2 2c
例题分析
例1、已知双曲线的焦点 F1 (-5,0),F2 (5,0)，双曲线上
一点P到焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准 方程。
所求轨迹的方程为： x2 y2 1 9 16
4.化为最简形式. cx-a2=± a √(x-c)2+y2
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)
∵c＞a，∴c2 ＞a2 令(c2-a2)=b2 (b>0)
x2 a2
-
2
y = 1 2
(a ＞0，b ＞0
b c2=a2+b2)
这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程
想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么
双曲线的一支
2、若常数2a=0,轨迹是什么?
垂直平分线
3、若常数2a= F1F2 轨迹是什么？
两条射线
4、若常数2a＞ F1F2 轨迹是什么？
轨迹不存在
定义 ||MF1|-|MF2||=2a（2a ＜ |F1F2|）
图像
方程 焦点
·
y
F1 o F2x
x2 a2
-
y2 b2
=1
F ( ±c,0)
F2
M
F1
F2
这两条曲线合起来叫做双曲线， 每一条叫做双曲线的一支。
双曲线的定义
平面内与两定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常 数（小于|F1F2 | ）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点 的距离叫做双曲线的焦距。
注意： 1. 为什么要强调差的绝对值？
2. 为什么这个常数要小于|F1F2 |？如果不小于
y2 a2
-
x2 b2
=1
思考：如何由双曲线的方 程判断双曲线的焦点位置
y F2
ox F1
双曲线的标准方程
x2 方程形式：a2

y2 b2
1(a

0, b

0)
y
y2 x2 a2 b2 1(a 0,b 0)
y
F2
F1
o F2 x
o
x
F1
位置特征：焦点在x轴上 焦点坐标 F1(c, 0)
o
x
F1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
F(0, ± c)
a.b.c的 关系
c2=a2+b2
课外思考
1、反比例函数是 双曲线吗？
x2
y2
2、⑴证明椭圆 25 + 9 = 1
与双曲线x2-15y2=15的焦点相同
Байду номын сангаас
⑵若此椭圆与双曲线的一个交点
为P，F为焦点，求|PF|
|F1F2 | ，轨迹是什么？
1、|MF1 | － |MF2 | =2a (2a< |F1F2| )
M
2、|MF2| － |MF1| =2a (2a< |F1F2| )
F1
F2
3、若常数2a=0
F1
F2
4、若常数2a = | F1F2 |
F1
F2
5、若常数2a＞| F1F2 |
轨迹不存在
如何求双曲线的标准方程？
1、建系设点。设M（x , y）, 双曲线的焦距为2c （c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
常数=2a
2,双曲线就是集合：
F1
y
M
o F2 x
P= {M ||MF1 | - | MF2| = ± 2a }
3.代入坐标，得方程。
即 √(x+c)2+y2 - √(x-c)2 + y2 = ± 2a
2.2.1双曲线及其标准方程
一、回顾
1、椭圆的定义是什么？ 2、椭圆的标准方程、焦点坐标是什么？
平面上到两个定点的距离的和等于定长2a （2a大于| F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。
x2 a2
+
y2 b2
=1
( a ＞0，b ＞0)
想一想：如果“和”改为“差”，曲线的轨迹是什么？
1、|MF1 | － |MF2 | =2a (2a< |F1F2| ) 2、|MF2| － |MF1| =2a (2a< |F1F2| )
变1、方程表示焦点在x轴上的双曲线时，求m的范围
解： m-1 >0

2-m <0
∴m>2
变2、方程表示焦点在x轴上的椭圆时，求m的范围
解： m-1 > 2-m > 0 ∴1.5<m<2
变3、对1、2条件下，求焦点坐标。
解：（± 2m 3 ，0）
小结
1、平面内与两定点F1，F2的距离的差等于常数 （小于 F1F2 ）的点的轨迹是什么？