下载文档原格式
已知全集，若，，则不可能是（）A．B．C．D．2．复数（）A．B．C．D．3．在等差数列中，，则此数列前项的和（）A．13 B．26 C．52 D．1564．已知，则向量与向量的夹角是（）A．B．C．D．5．一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．48 D．806．动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填写（）A．B．C．D．8．已知，则（）A．B．C．D．9．已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，，则当时，（）A．B．C．D．10．在中，已知，若最长边为，则最短边长为（）A．B．C．D．11．点是椭圆上一点，是椭圆的右焦点，，则点到抛物线的准线的距离为（）C．D．A．B．12．用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有（）A．24种B．48种C．64种D．72种13．计算：．14．已知变量满足约束条件，则的最大值为．15．正三棱柱的底面边长为，高为2，则它的外接球的表面积为．16．已知函数，则在上的最大值与最小值之差为．17．数列满足下列条件：．（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．18．某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每温差（℃）发芽数（颗）求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．（Ⅰ）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（Ⅱ）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；（Ⅲ）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（Ⅱ）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：）19．如图，在四棱锥中，已知，点是的中点．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．20．如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，，当与的斜率存在且倾斜角互补时：（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若直线在轴上的截距时，求面积的最大值．21．已知函数．（Ⅰ）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（Ⅱ）令，当（是自然数）时，函数的最小值是3，求出的值；（Ⅲ）当时，证明：．22．选修4-1：几何证明选讲：如图，在中，作平行于的直线交于，交于，如果和相交于点，和相交于点，的延长线和相交于．证明：（Ⅰ）；（Ⅱ）23．选修4-4：坐标系与参数方程选讲．已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极方程为．（Ⅰ）分别求曲线和曲线的普通方程；（Ⅱ）若点，求的最小值．24．选修4-5：不等式选讲．已知函数．（Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值；（Ⅱ）当时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围．参考答案 1．D【解析】试题分析：由已知得可能为，故选D．考点：集合的元素及交并补运算．2．B【解析】试题分析：，故选B．考点：复数的运算．3．B【解析】试题分析：由，得，于是，故选B．考点：等差数列的性质，等差数列求和．4．C【解析】试题分析：由条件得，所以，所以，即．考点：向量的数量积运算．5．A【解析】试题分析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为，下底为，高为，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为，其余四面的面积为，所以几何体的表面积为，故选A．考点：空间几何体四棱台的特征．6．C【解析】试题分析：设,则，，动点与定点的连线的斜率之积为,，，即，又时,必有一个斜率不存在,故，综上:点的轨迹方程为，故应选C．考点：直接法求轨迹．【思路点晴】本题主要考察直接法求轨迹的方法，根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等）进行整理、化简，即把这种关系“翻译”成含的等式就得到曲线的轨迹方程了．设出点,表示出两线的斜率,利用其乘积为建立方程化简即可得到点的轨迹方程．7．A【解析】试题分析：当即当退出循环，所以判断框内应填“”．故本题正确答案为A．考点：算法的含义和程序框图．8．D【解析】试题分析：由，得，所以,故选D．考点：诱导公式；二倍角的正切公式．9．B【解析】试题分析：，,，即是最小正周期为的函数,令,则,当时,，，，是定义在上的偶函数,，令,则，，，，当时，函数的解析式为:.所以B选项是正确的.考点：利用函数的性质求解析式.【思路点睛】根据将换为,再将换为,得到函数的最小正周期为,由当时,,求出的解析式,再由是定义在上的偶函数,求出的解析式,再将的图象向左平移个单位即得的图象,合并并用绝对值表示的解析式.10．A【解析】试题分析：由，得，由，，得，于是，即为最大角，故有，又，最短边为，于是由正弦定理，求得，故选A．考点：正弦定理；同角三角函数间的基本关系．【方法点晴】根据的值及的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，由的值，利用同角三角函数间的基本关系求出的值，根据三角形的内角和定理及诱导公式表示出，由的值为负数及的范围得到为钝角即最大角，即，又，为最小边，根据正弦定理，由及的值即可求出的值．11．B【解析】试题分析：设，由，得，即，解得或（舍去），即点的横坐标为，故点到抛物线的距离为．故选B．考点：抛物线的定义；椭圆的参数方程．12．D【解析】试题分析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点的涂色方法，有种方法，若点与不同色，则、点只有种涂色的方法，有种涂法，若点与同色，则点有种涂色的方法，共种涂法，所以不同的涂法共有种．法二：用种颜色涂色时，即同色，共有种涂色的方法，用种颜色时，有和同色种情况，共有，故共有种,故选D．考点：分类计数原理，排列组合．【方法点晴】排列组合中的涂色问题是高考的一个难点，解决这类问题大致有两种方法：一是直接法，一个区域一个区域的来解决，但要考虑先从哪个区域入手，往往是与其他区域都相邻的区域首先考虑，同时要注意这类题往往要求相邻区域不同色，所以在涂色的过程需要分类讨论；二是从颜色入手，条件中的颜色种数可能大于区域块数，也可能小于区域块数，但是不是所有颜色都用上，因此可以从颜色入手，分类讨论．13．【解析】试题分析：．考点：二倍角公式．14．【解析】试题分析：如图，作出可行域，有圆心到切线的距离等于半径，可求得的最大值为．考点：线性规划，数形结合．15．【解析】试题分析：由正三棱柱底面边长为，得底面所在平面截其外接球所成圆半径为，又由高为，则球心到圆的球心距为，根据球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形满足勾股定理，我们易得半径满足：，已知求得正三棱柱外接球，所以外接球的表面积为．考点：棱柱的几何特征，球的表面积，空间位置关系和距离．【方法点晴】解决本题的关键是确定球心的位置，进而确定半径．因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以过三角形的外心且垂直于此三角形的所在平面的垂线上的任意一点到次三角形三个顶点的距离相等，所以过该三角形的三个顶点的球的球心必在垂线上．所以本题中球心必在上下底面外心的连线上，进而利用球心距，截面圆半径，球半径构成的直角三角形，即可算出．16．【解析】试题分析：，当时，，故，即函数的值域为，故答案为．考点：二倍角公式，两角和公式，正弦函数的值域．【方法点晴】本题中主要考察了学生三角化简能力，涉及有二倍角公式和两角和公式，，进而利用的范围得到，即为换元思想，把看作一个整体，利用的单调性即可得出最值，这是解决的常用做法．17．（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）利用递推关系，可以得出是等比数列；（2）错位相减求和．试题解析：（1）由已知有，又，是首项为，公比为的等比数列，即．（2）由已知有，即…①于是…②得．考点：数列递推求通项公式；数列求和．18．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）可靠．【解析】试题分析：（1）先确定基本事件总数，事件的反面比较简单，即相邻两组数据的情况有种；（2）利用数据代入公式得回归方程的系数，即得回归方程；（3）利用回归方程算出数据的估计值，判断误差即可．试题解析：（Ⅰ）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从组数据中选取组数据共有种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有种，所以，故选取的组数据恰好是不相邻的天数据的概率是．（Ⅱ）由数据，求得．，，，由公式求得．所以关于的线性回归方程为．（Ⅲ）当时，，同样地，当时，，所以，该研究所得到的线性回归方程是可靠的．考点：回归分析的初步应用；等可能事件的概率．【方法点晴】（1）考察了等可能事件的概率，根据组合的思想，从组数据中选取组数据共有种情况，用正难则反的思想找到种相邻的情况，根据等可能事件的概率得出结果；（2）利用题中所给出的回归方程系数的公式，用第一个（第二个也可以）得到回归方程系数，写出线性回归方程；（3）根据题意，用检验数据利用回归方程算出估计值，判断误差即可．19．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）由,分别是的中点，由中位线定理可得平行且等于，进而可得出平面；（II）运用空间直角坐标系的坐标解决，求出平面的法向量，运用向量的夹角公式，即可得到直线与平面所成角的正弦值试题解析：（Ⅰ）证明：取的中点，连接，有平行且等于，于是平行且等于，所以四边形是平行四边形，即，又平面，故平面．（Ⅱ）依题意知：，所以，即平面，建立如图所示空间坐标系，，于是有，设平面的法向量为，由，有，得，所以，故直线与平面所成角的正弦值为．考点：线面平行的判定，直线和平面所成角．20．（I）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）设出，的点坐标，根据，得到，进而根据点在抛物线上，把换成，即可得出结果；（II）由，得出，设直线的方程为，与抛物线联立可得，又点到直线的距离为，所以，构造关于的函数，求导利用单调性求最值即可．试题解析：解（Ⅰ）由抛物线过点，得，设直线的斜率为，直线的斜率为，由、倾斜角互补可知，即，将，代入得．（Ⅱ）设直线的斜率为，由，得，由（Ⅰ）得，将其代入上式得．因此，设直线的方程为，由，消去得，由，得，这时，，，又点到直线的距离为，所以，令，则由，令，得或．当时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为．（附：，当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）考点：直线与抛物线的位置关系；面积公式；函数的最值．21．（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）证明见解析．【解析】试题分析：（I）求导，根据函数单减得在上恒成立，再结合二次函数的性质可求出的范围；（II）由，对分情况讨论，由在的单调性求最值符合题意；（III）构造函数，利用单调性证明不等式．试题解析：解：（Ⅰ）在上恒成立，令，有，得，得．（Ⅱ）由，得，①当时，在上单调递减，，（舍去），②当时，在上单调递减，在上单调递增，∴,，满足条件．③当时，在上单调递减，,（舍去），综上，有．（Ⅲ）令，由（Ⅱ）知，，令，当时，,在上单调递增，，，即．考点：利用导函数研究函数的单调性，求函数的最值，利用单调性证明不等式．【方法点晴】本题是函数导数的一个综合考察，既有函数的单调性，也考察了分情况讨论在区间上找最值，也用到了构造函数证明不等式，第一问中给出函数单调减，转成在区间上恒成立，等号是一个易错点，进而转成二次函数的恒成立，本题中二次函数开口向上，在闭区间恒小于等于，故只需保证两个端点即可；第二问中常规的讨论，需讨论在单调性研究最值即可；第三问中先分析不等式结构，发现同时除以后，左右两个函数有，易得结果．22．（I）证明见解析；（II）证明见解析．【解析】试题分析：（I）利用三角形相似易得；（II）由∽，即，同理，易得．试题解析：解（Ⅰ）∵，∽，即，同理，于是．（Ⅱ），∴∽，即，同理，所以，又由（Ⅰ）有，所以，即．考点：三角形相似判定和性质．23．（Ⅰ）曲线的普通方程为，曲线的普通方程为（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）消参得的普通方程为，由，得的普通方程为；（II）利用直线和圆的位置关系即可得出的最小值为．试题解析：解：（Ⅰ）曲线的普通方程为，由有，又，∴曲线的普通方程为．（Ⅱ）圆的圆心，半径．点到直线的距离为，故的最小值为．考点：参数方程，极坐标方程，普通方程的互化；直线与圆的位置关系．24．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】试题分析：（I）由得，解得，可得出；（II）对，分段解不等式即可．试题解析：解：（Ⅰ）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得．（Ⅱ）当时，，设，于是，，故当时，，当时，，当时，，所以实数的取值范围为．考点：绝对值不等式的解法．。
广西南宁2017届高三第二次模拟考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.2. 复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是（）A. B. C. D.3. 若椭圆：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4. 在中，，，，则内角的正弦值为（）A. B. C. D.5. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A. B. C. 1 D.6. 若向量，，向量在方向上的投影为2，若，则的大小为（）A. 2B.C. 4D.7. 执行如图的程序框图，输出的的值是（）A. 28B. 36C. 45D. 558. 若以函数的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则的值为（）A. 1B. 2C.D.9. 已知底面是边长为2的正方体的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.10. 定义，设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为（）A. B. C. D.11. 函数是（）A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数12. 设实数满足关系：，，则实数的最大值为（）A. 2B.C. 3D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是__________．14. 若锐角满足，，则__________．15. 过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是__________．16. 定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数，给出如下命题：①函数是函数的一个承托函数；②函数是函数的一个承托函数；③若函数是函数的一个承托函数，则的取值范围是；④值域是的函数不存在承托函数.其中正确的命题的个数为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证：.18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：（1）求出与的回归方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：①回归方程中，，.②，，若～，则，.19. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱中，，，，．（1）若是线段上的点且满足，求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值．20. 已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（其中点在第四象限内）．（1）若，求直线的方程；（2）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．21. 已知函数，．（1）讨论函数的单调性；（2）若在定义域内恒成立，求实数的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知圆的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中，），若倾斜角为且经过坐标原点的直线与圆相交于点（点不是原点）．（1）求点的极坐标；（2）设直线过线段的中点，且直线交圆于两点，求的最大值．23. 选修4-5：不等式选讲（1）解不等式；（2）若满足（1）中不等式，求证：．。
2017届普通高中毕业生第二次适应性测试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|310}A x x =+<，2{|610}B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．11[,]32-B ．φC ．1(,)3-∞D ．1{}32.复数1()1a R ai∈+在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．01a << C ．1a > D ．1a <-3.若椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．2 D ．44.在ABC ∆中，3cos 5B =，5AC =，6AB =，则内角C 的正弦值为（ ） A ．2425 B ．1625 C. 925 D ．7255.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．13 B ．23 C. 1 D ．436.若向量(1,0)a =，(1,2)b =，向量c 在a 方向上的投影为2，若//c b ，则||c 的大小为（ ）A ． 2B ．7.执行如图的程序框图，输出的S 的值是（ ）A ．28B ．36 C. 45 D ．558.若以函数sin (0)y A x ωω=>的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为（ ）A ．1B ．2 C. π D ．2π9.已知底面是边长为2的正方体的四棱锥P ABCD -中，四棱锥的侧棱长都为4，E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为（ ）A C. 12 D ．210.定义,min{,},a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，设21()min{,}f x x x =，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线2x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．712 B ．512 C. 1ln 23+ D ．1ln 26+ 11.函数11()33x f x -=-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C.既是奇函数也是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数12.设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ． 2 B ．165 C. 3 D ．25第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量,x y 满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数2z y x =-的最大值是 ．14.若锐角,αβ满足4sin 5α=，2tan()3αβ-=，则tan β= ． 15.过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若||||MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是 ．16.定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，给出如下命题：①函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数；②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数；③若函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e ； ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数. 其中正确的命题的个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22n S n n =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <.18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11 y1210887（1）求出y 与x 的回归方程^^^y b x a =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ～2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.附：①回归方程^^^y b x a =+中，^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.3.2≈1.8≈，若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.19. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，CB CD ==60BCD ∠=，1CC（1）若E 是线段1A A 上的点且满足13A E AE =，求证：平面EBD ⊥平面1C BD ； （2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值．20. 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ，1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）． （1）若||4||MB AM =，求直线l 的方程；（2）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．21. 已知函数()ln f x x ax =-，1()g x a x=+． （1）讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）若()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中0ρ≥，[0,2]θπ∈），若倾斜角为34π且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A （A 点不是原点）． （1）求点A 的极坐标；（2）设直线m 过线段OA 的中点M ，且直线m 交圆E 于,B C 两点，求||||||MB MC -的最大值．23.选修4-5：不等式选讲（1）解不等式|1||3|4x x +++<；（2）若,a b 满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++．试卷答案一、选择题1-5:BACAD 6-10: DCCAC 11、12：DB 二、填空题13. 14 14. 176 15. 827 16. 2 三、解答题17. 解：（1）第一类解法： 当1n =时，13a =. 当2n ≥时，1n n n a S S -=-222(1)2(1)n n n n =+----.21n =+.而13a =也满足21n a n =+.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++. 111()22123n n =-++. 则1111111[()()()]235572123n T n n =-+-++-++. 111()2323n =-+. 11646n =-+. 16< 18. 解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】(1) ∵令5n =,113575n i i x x n ====∑，114595n i i y y n ====∑,【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】∴1()28757928ni ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑2221()2955750nii xn x =-=-⨯=∑∴^280.5650b -==- 【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴^^^9(0.56)712.92a y b x =-=--⨯=（或者：32325） ∴所求的回归方程是^0.5612.92y x =-+ (2) 由^0.560b =-<知y 与x 之间是负相关， 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量^0.5612.929.56y x =-+=(千克) （或者：23925） 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】 (3)由(1)知7x μ==，又由2222221[(27)(57)5sσ==-+-+-+得 3.2σ=【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】 从而(3.813.4)(2)P X P X μσμσ<<=-<<+ .()(2)P X P X μσμμμσ=-<<+<<+11()(22)22P X P X μσμσμσμσ=-<<++-<<+ 【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】 0.8185=【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19. 解:(1) 解法(一):60BCD ∠=,1AB AD ==，CB CD =，∴90CDA ∠=,2CA =（没有这一步扣一分）∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.设M 是BD 的中点,连接1MC.1CC ⊥平面ABCD, CB CD =∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴ 1MC BD ⊥.4E，3(44M，1C ，∴13(4MC =-,DE =. 131004MC DE ∙=-⨯=,∴1MC DE ⊥.（证得1MC ME ⊥或BE 也行）DE 与BD 相交于D , ∴1MC ⊥平面EBD .1MC 在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量.3(,22B,1C，3(22DB =，1DC = 设平面1C BD 的法向量是(,,)m x y z =,则100m DB m DC ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩，3022x y ⎧+=⎪=， 取1x =，得y z ==平面1C BD的法量(1,m =.7cos ,||||DA m DA m DA m ∙<>==∙∴由图可知二面角1C C D B --20. 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =. 设直线l 的方程为4x my =+.令211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，其中10y <. 由||4||MB AM =,得214y y =-.联立244y x x my ⎧=⎨=+⎩，可得24160y my --=,1221121644y y y y y y m =-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，解得12y =-,28y =,∴32m =. ∴直线l 的方程为2380x y --=.(2)设00(,)P x y ,直线:4l x my =+，点P 在抛物线2C 上,∴直线l 的斜率存在, 0m ≠,O P 关于直线:4l x my =+对称,所以000042211x y m y m x ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩.解得02028181x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 故2288(,)11m P m m-++代入抛物线22:4C y x =，可得11m =，21m =- . 直线l 的方程为4x y =+或4x y =-+.设椭圆为221(1)1x λλλλ+=>-. 联立直线和椭圆,消去x 整理得 22(21)8(1)17160y y λλλλ-±--+-=0∆≥∴2264(1)4(21)(1716)0λλλλ-+--+≥，解得172λ≥. 则2172a ≥，即a ≥∴椭圆1C21. 解：（1）1()()()ln (0)F x f x g x x ax a x x=-=---> '211()F x a x x=-+. ①若0a ≤时，0)(>'x F ，则()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上是增函数.②若0a > 时，则()()()F x f x g x =-在1(0,2a上是增函数.()()()F x f x g x =-在)+∞上是减函数.（2）若()()0f x g x ≤在定义域内恒成立,考虑以下情形: ①当()0f x ≤，()0g x ≥同时恒成立时， 由()ln 0f x x ax =-≤，ln xa x≥恒成立. 得：1a e≥. ∵由()0g x ≥，10a x +≥恒成立得：0a ≥.∴1a e≥. ②当()0f x ≥，()0g x ≤同时恒成立时，a 不存在； ③当0a <时，∵()ln f x x ax =-为增函数，1()g x a x=+为减函数, 若它们有共同零点，则()()0f x g x ≤恒成立. 由()ln 0f x x ax =-=，1()0g x a x=+=,联立方程组解得：a e =-. 综上：1a e≥或a e =-. 22. 解: (1)直线l 的倾斜角为34π,∴点A 的极角34πθ=.代入圆E 的极坐标方程得ρ=∴点A 的极坐标3)4π.(2)由(1)得线段OA 的中点M 的极坐标是3)4π, ∴M 的直角坐标为(1,1)-.圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=,∴圆E 的直角坐标方程为2240x y y +-=.设直线m 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数).代入2240x y y +-=，得22(sin cos )20t t αα-+-=.24(sin cos )80αα∆=++>设,B C 的参数依次为12,t t ,则122(sin cos )t t αα+=+.∴1212||||||||||||||MB MC t t t t -=-=+.2|sin cos |sin()|4πααα=+=+∴||||||MB MC -的最大值为此时直线m 的倾斜角为4π) 23. 解：（1）当3x <-时，|1||3|13244x x x x x +++=----=--<, 解得4x >-，所以43x -<<-.当31x -≤<-时，|1||3|1324x x x x +++=--++=<, 解得31x -≤<-当1x ≥-时，|1||3|13244x x x x x +++=+++=+< 解得0x <，所以10x -≤<（2）证明：224()(22)a b ab a b --++22224416a b a b ab ab =+++ (4)(4)0ab b a =++>∴224()(22)0a b ab a b --++> ∴2|||22|a b ab a b -<++2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）评分标准一、选择题1．已知集合{}|310A x x =+<，{}2|610B x x x =--≤,则=B AA. 11[,]32-B. ΦC. 1(,)3-∞D.1{}3【答案】B 2．复数11ia +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是A. 0<aB. 10<<aC. 1>aD. 1-<a 【答案】A3．若椭圆C ：12222=+by a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A.21 B. 33 C. 22 D. 42【答案】C4．在ABC ∆中，53cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A.2524 B. 2516 C. 259 D. 257【答案】A5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.31 B. 32C. 1D. 43【答案】D6．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a方向上的投影为2.若c //b，则c 的大小为A.. 2B. 5C. 4D. 52 【答案】D 7．执行如图的程序框图，输出的S 的值是A. 28B. 36C. 45D. 55 【答案】C 8．若以函数()0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为A.1B. 2C. πD. π2 【答案】C第7题图9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为12D. 2【答案】A10.定义,,min{,},>,a ab a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为A.712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1+ln 26【答案】C 11．函数11()33x f x -=-是A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D 12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为 A.2 B.516C. 3D. 25【答案】B解： 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++， 代入由柯西不等式得如下不等式222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5160≤≤e 所以，当56====d c b a 时，实数e 取得最大值.516 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13．设变量y x ,满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数2z y x =-的最大值是 【答案】1414若锐角βα,满足54sin =α，32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ．【答案】176 15. 过动点M 作圆:22221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ . 【答案】82716．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:①函数()2g x =-是函数ln ,0,()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数;②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;③若函数()g x ax =是函数()f x =e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]; ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 ▲ . 【答案】2三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <.解：（1）第一类解法：当n=1时，13a =.....................................................1分 当2n ≥时1--=n n n S S a ...........................................2分222(1)2(1)n n n n =+----..............................................3分21n =+..........................................................4分而13a =也满足21n a n =+....................................................5分∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n ..............................................6分第二类解法：1--=n n n S S a ...........................................................1分 222(1)2(1)n n n n =+----............................................2分21n =+......................................................3分∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................4分第三类解法：113a S ==..........1分; 221a S S =-.......1分;12+=n a n ...........1分,共3分第四类解法：由S n 22n n =+可知{}n a 等差数列......................................................2分 且13a =，212132d a a S S =-=--=.................................................4分∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .........................................................5分（2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++.............................7分 111()22123n n =-++.................................................8分 则1111111[()().......()]235572123n T n n =-+-++-++............................9分 111()2323n =-+........................................................10分 11646n =-+.......................................................11分 1.6<..................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ~2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)PX <<.附:①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-.X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1) ∵令5n =,11357,5n i i x x n ====∑114595n i i y y n ====∑,.........................1分【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴1()28757928.ni ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ ....................................2分2221()2955750.nii xn x =-=-⨯=∑ ............................................3分 ∴280.5650b ∧-==- ................................................4分 【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴9(0.56)712.92.a y b x ∧∧=-=--⨯= （或者：32325） ...............................................5分 ∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+ ..............................................6分(2) 由0.560b ∧=-<知y 与x 之间是负相关， ....................................................................7分 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克) （或者：23925） .........................................8分 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】 (3)由(1)知7x μ==，又由2221[(27)5s σ==-22(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+-10,=得3.2σ= ............................................................9分【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】从而(3.813.4)P X <<=(2)P X μσμσ-<<+ ...........................10分()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+ .................11分 【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】0.8185= ........................................................12分【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，==1AB AD ，,3==CD CB 60BCD ∠=，31=CC .（1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；（2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值. 解:(1) 解法(一):60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠=,2=C A .. ...............1分（没有这一步扣一分） ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............2分 设M 是BD 的中点,连接1MC ................................................................2分C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB ∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴1MC ⊥BD .....................................................3分），（430,1E,3(4M ,)33,0(1，C ,∴13(4MC =-,DE =. ....................... ..........4分131004MC DE =-⨯+=,∴1MC ⊥DE (5)分（证得1MC ⊥ME 或BE 也行）DE 与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD.1MC 在平面BD C 1内, ∴平面EBD⊥平面BD C 1..............................................................6分解法(二): 设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..............................................................1分,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角...........................................................2分60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠=,13,22MA MC ==................................................3分(正确计算出才给这1分)AE E A 31=,31=CC ,∴12EM C M ==………………4分(至少算出一个)1C E =..........................................................5分 ∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴平面EBD ⊥平面BD C 1...........................................................6分解法(三):60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2=C A . 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ........................................................2分EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角.......................................................3分 则），（430,1E ，)33,0(1，C,3(,44M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)∴1(,4ME =,13(4MC =-.∴113()(044ME MC ∙=⨯-+=.................5分 ∴ME ⊥1MC ,∠190EMC =,二面角1C BD E --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面BD C 1.................6分解法四: 连结AC ,11AC ,11B D ,交点为O 和N ，如图. 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠=,2=C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分 则O 是BD 的中点.C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB O 是BD 的中点,∴11C D C B =. O 是BD 的中点,∴1OC ⊥BD ............3分1,2E -（0，,0)B ，,13(0,2C ，∴13(0,2OC =,1(2BE =--. 13310()022OC BE=-+⨯-=,∴1OC ⊥BE .........................................5分BE与BD相交于O, ∴1OC⊥平面EBD.1OC在平面BDC1内, ∴平面EBD⊥平面BDC1......................6分(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A，DA⊥平面1C DC，∴(1,0,0)DA=是平面1C DC的一个法向量.......8分32B（,1C，3(2DB =，1DC =设平面BDC1的法向量是(,,)m x y z=,则10,m DBm DC⎧=⎪⎨=⎪⎩，32x y⎧+=⎪⎨=，取1,x=得y z==平面BDC1的法量(1,m=...................................10分【另解：由（1）知当13A E AE=时，ME⊥平面BDC1，则平面BDC1的法向量是ME=1(,4】cos,||||DA mDA mDA m∙<>=⨯.............................................11分7=∴由图可知二面角1C CD B--的平面角的余弦值为....................................12分解法二: (第1问未建系)60BCD∠=,,3,1====CDCBADAB∴90CDA∠=,2=C A以D为原点，DA为x轴，DC 为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系. ..................7分(1,0,0)A,DA⊥平面1C DC，∴(1,0,0)DA=是平面1C DC的法向量...........................................................8分3,22B （,1C ，3(,22DB =，1DC =,设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z =,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，3022x y ⎧+=⎪=， 取1,x =得y z ==平面BD C 1的法量(1,m =.......................................10分cos ,||||DA mDA m DA m∙<>=⨯..............................................11分=.∴由图可知二面角1C C D B --的平面角的余弦值为.......................................12分 解法三: (几何法)设N 是CD 的中点,过N 作NF ⊥D C 1于F ,连接FB ,如图.......................................................7分60BCD ∠=,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD .侧面D C 1⊥底面ABCD , ∴ NB ⊥侧面D C 1..........8分NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1∴∠BFN 是二面角1C C D B --的平面角 (9)分依题意可得NB =32, NFBF =..................11分 ∴cos ∠BFN =NF BF∴二面角1C C D B --的平面角的余弦值为7....................12分 20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）.(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C 的长轴长的最小值.解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =.......................................................................1分设直线l 的方程为4x my =+........................................................................................................2分令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-................................3分联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y my --=,12211216,4,4y y y y y y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =,..................4分∴32m =.........................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --=................................................................................................6分解法二: 由题意得抛物线方程为24y x =.....................................................................................1分 设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-................................3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得24160ky y k --=,1221124,4,16y y k y y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩解得12y =-,28y =,................4分∴23k =.........................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --=...............................................................................................6分 解法三: 由题意得抛物线方程为24y x =.................................................................................1分 设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =,得21204,0x x k =->..............3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩解得11x =,216x =,...............................................................................................................4分∴2.3k =..................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --=.........................................................................................6分第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。
理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}31A x x x =≥≤或，{}24B x x =<<，则()R C A B = （ ） A ．()1 3， B ．()1 4， C ．()2 3， D ．()2 4， 2.设i 是虚数单位，如果复数2a ii-+的实部与虚部是互为相反数，那么实数a 的值为（ ） A ．13B ．13-C ．3D ．3-3.若()2 1a =，，()1 1b =-，，()()2a b a mb +-∥，则m =（ ）A ．12B ．2C ．2-D ．12- 4.若1cos 23a π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()cos 2a π-=（ ）A ．B ．79- C.79D 5.在622x⎛ ⎝的展开式中，含7x 的项的系数是（ ）A ．60B ．160 C.180 D ．240 6.下列有关命题的说法正确的是（ ）A ．命题“若24x =，则2x =”的否命题为“若24x =，则2x ≠”B ．命题“2 210x R x x ∃∈+-<，”的否定是“2 210x R x x ∀∈+->，” C.命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为假命题 D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 至少有一个为真命题7.直线3y kx =+被圆()()22234x y -+-=截得的弦长为 ） A ．6π或56π B ．3π-或3π C.6π-或6π D ．6π 8.若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图1所示，则此几何体的表面积是（ ）A ．(4πB ．6π+ C.6π+ D ．(8π 9.执行如图2所示的程序框图，若输出的结果是1516，则输入的a 为（ ） A ．3 B ．4 C.5 D ．610.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的体积为（ ）A ．24316π B ．8116π C.814π D ．274π11.给出定义：设()'f x 是函数()y f x =的导函数，()''f x 是函数()'f x 的导函数，若方程()''0f x =有实数解0x ，则称点()()00 x f x ，为函数()y f x =的“拐点”.已知函数()34sin cos f x x x x =+-的拐点是()()00 M x f x ，，则点M （ ）A ．在直线3y x =-上B ．在直线3y x =上 C.在直线4y x =-上 D ．在直线4y x =上12.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若23ABC BCF S S =△△，则椭圆的离心率为（ ）ABD第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.若 x y ，满足010x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为 ．14.在[]4 3-，上随机取一个数m ，能使函数()22f x x =+在R 上有零点的概率为 ．15.函数()()2sin 0 22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭，的部分图象如图3所示，则()f x 的图象可由函数()2sin g x x ω=的图象至少向右平移 个单位得到．16.已知ABC △中，角32B C A ，，成等差数列，且ABC △的面积为1，则AB 边的最小值是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设21222log log log n n b a a a =+++…，求使()8n n b nk -≥对任意*n N ∈恒成立的实数k 的取值范围.18.（本小题满分12分）质检部门从企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图4所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[][][]55 65 65 75 75 85，，，，，内的频率之比为4:2:1.（Ⅰ）求这些产品质量指标值落在区间[]75 85，内的频率；（Ⅱ）若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产品中质量指标值位于区间[45 75)，内的产品件数为X ，求X 的分布列与数学期望. 19.（本小题满分12分）如图5，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=︒，PAB △是边长为a 的正三角形，且平面PAB ABCD ⊥平面，已知点M 是PD 的中点.（Ⅰ）证明：PB AMC ∥平面；（Ⅱ）求直线BD 与平面AMC 所成角的正弦值. 20.（本小题满分12分）已知点C 的坐标为()1 0，，A ，B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB ⋅=.（Ⅰ）求证：点 A C B ，，共线； （Ⅱ）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB ⋅= 时，求动点Q 的轨迹方程. 21.（本小题满分12分） 已知函数()2ln f x x x x =-+. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）证明当2a ≥时，关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭恒成立；（Ⅲ）若正实数12 x x ，满足()()()2212121220f x f x x x x x ++++=，证明12x x +≥请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos 2sin x t y t αα⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 是参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin 44πρθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.（Ⅰ）求曲线2C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（Ⅱ）若曲线1C 与曲线2C 交于 A B ，两点，求AB 的最大值和最小值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()2f x x x a =-++.（Ⅰ）若1a =，解不等式()22f x x ≤-； （Ⅱ）若()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017届高三毕业班摸底联考理科数学参考答案一、选择题1．C ∵{}31A x x =≥≤或，∴{}13R C A x x =<<，{}24B x x =<<， 则(){}()23 2 3R C A B x x =<<= ，，故应选C. 2.C ∵()()225a i i a i i ---=+()()212212555a a i a a i --+-+==-， 又复数2a ii-+的实部与虚部是互为相反数， ∴212055a a -+-=，∴3a =.故选应C. 3.D 由已知，()()2 3 3 2 1ab a mb m m +=-=+-，，，，又()()2a b a mb +-∥，所以21m m +=-，即12m =-.故应选D.4.B ∵1cos 23πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴1sin 3α=-，∴()2217cos 2cos 22sin 12139πααα⎛⎫-=-=-=⨯--=- ⎪⎝⎭.故应选B.5.D 二项式的通项公式为()()5126262100221kk kk k k k k T C xC x---+⎛==- ⎝， 令51272k -=，则2k =，所以含7x 的项的系数是2462240C =.故应选D.6.D 命题“若24x =，则2x =”的否命题为“若24x ≠，则2x ≠”所以A 错误；命题“2 210x R x x ∃∈+-<，”的否定是“2 210x R x x ∀∈+-≥，”，所以B 错误；命题“若x y =，则sin sin x y =”正确，则它的逆否命题也正确，所以C 错误；“若p 或q ”为真命题，根据复合命题p 或q 的真值表，则p ，q 至少有一个为真命题，故D 为真.故应选D. 7.A 由题知：圆心()2 3，，半径为2. 所以圆心到直线的距离为1d =.即1d ==，∴k =tan k α=， 得6πα=或56π.故应选A 选 8.C 圆柱的侧面积为12124S ππ=⨯⨯=，半球的面积为22212S ππ=⨯=， 所以几何体的表面积为1236S S S S π=++=+.故应选C. 9.B 由程序框图知：算法的功能是求12111222n S =+++…的值， ∵111115221121612n nS +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-= ⎪⎝⎭-.∴4n =，∴跳出循环的n 值为4，∴判断框的条件为4n <，即4a =，故应选B.10.A 设球的半径为R ，∵棱锥的高为4，底面边长为2，∴()2224R R =-+，∴94R =, ∴球的体积为3492433416V ππ⎛⎫==⎪⎝⎭.故应选A. 11.B ()()00'34cos sin ''4sin cos 0 4sin cos 0f x x x f x x x x x =++=-+=-=，，，所以()003f x x =，故()()00 M x f x ，在直线3y x =上.故应选B.12.A 设椭圆的左、右焦点分别为()()12 0 0F c F c -，，，， 由x c =-，代入椭圆方程可得2b y a =±，可设()2 b Ac C x y a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，，23ABC BCF S S =△△，可得222AF F C = ，即有()22 2 b c x c y a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，，，即2222 2b c x c y a =--=，，可得22 2b x c y a ==-，，代入椭圆方程可得，2222414c b a a+=，由222 c e b a c a ==-，，即有221414e e -+=，解得e =A. 二、填空题13.12- 做出不等式组表示的可行域如图所示，作出直线0l ，平移直线0l ，当经过11 22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，时，目标函数值最小，最小值为1112222-⨯=-.14.37若()22f x x =+有零点，则2280m ∆=-≥，解得2m ≥或2m ≤-， 由几何概型可得函数()y f x =有零点的概率37P =. 15.6π 由图象可得，354123T ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，解得T π=，由2T ππω==得2ω=.因为图象过点5 212π⎛⎫⎪⎝⎭，，所以52sin 2212πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭， 则5262k ππϕπ+=+，得()=23k k Z πϕπ-+∈，由22ππϕ-<<，得3πϕ=-， ()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以将()2sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.16.2 ∵32B C A ，，成等差数列，∴3A B C +=，又∵A B C π++=，∴4C π=，∴由1sin 12ABC S ab C ==△得(22ab =+，∵222222cos c a b ab C a b =+-=+，及222a b ab +≥，∴(224c ab ≥-=，解得：2c ≥， ∴c 的最小值为2. 三、解答题17.（Ⅰ）因为122n n S +=-，所以()12 2 2n n S n -=-≥，.……………………2分 所以当2n ≥时，()1122222n n n n n n a S S +-=-=---=，…………………………4分 又211222a S ==-=，满足上式………………………………5分 所以数列{}n a 的通项公式()*2n n a n N =∈…………………………6分 （Ⅱ）()212221log log log 1232n n n n b a a a n +=+++=++++=…………8分由()8n n b nk -≥对任意*n N ∈恒成立，即使()()812n n k -+≥对*n N ∈恒成立， (10)分解得0.05x =，所以区间[]75 85，内的频率为0.05………………………………5分（Ⅱ）从该企业生产的该种产品中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验， 所以X 服从二项分布() B n p ，，其中3n =，………………………………6分 由（Ⅰ）得区间[)45 75，内的频率为0.30.20.10.6++=，将频率视为概率得0.6P =.……………………………………………………7分 因为X 的所有可能取值为0 1 2 3，，，， 且()003300.60.40.064P X C ==⨯⨯=；()112310.60.40.288P X C ==⨯⨯=；()221320.60.40.432P X C ==⨯⨯=()330330.60.40.216P X C ==⨯⨯=………………………………10分所以X 的分布列为：………………………………………………11分所以X 的数学期望为00.06410.28820.43230.216 1.8EX =⨯+⨯+⨯+⨯=.（或直接根据二项分布的均值公式得到30.6 1.8EX np ==⨯=）…………………………12分 19.证明：（Ⅰ）连结BD 交AC 于O ，连接OM ，因为ABCD 为菱形，OB CD =，所以OM PB∥，……………………………………2分 由直线PB 不在平面AMC 内，OM AMC ⊂平面，………………………………3分 所以PB ACM ∥平面.…………………………………………4分 （Ⅱ）取AB 的中点N ，连接PN ，ND ，则90AND ∠=︒，分别以NB ND NP ，，为 x y z ，，轴建立空间直角坐标系，……………………6分则 0 02a B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，0C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，， 0 02a A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，，0 0D⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，，0 0 P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，0 M ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 则3 0 22a AC a AM ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，………………………………7分 设平面AMC 的法向量为() n x y z =，，，则30202axa x ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，………………………………………………………………8分令y 1x =-，z =，即 1 n ⎛=-- ⎝⎭，，………………………………………………10分 又 02a BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，，设直线BD 与n 所成的角为θ，则cos n PB n PBθ⋅== ，故直线PD 与平面AMC 分 20.（Ⅰ）设()()221122 A t t B t t ，，，，()1212 0 0t t t t ≠≠≠，，，则()()221122 OA t t OB t t == ，，，……2分因为0OA OB ⋅= ，所以2212120t t t t +=，又120 0t t ≠≠，，所以121t t =-，……………………4分因为()()2211221 1 AC t t BC t t =--=-- ，，，，且()()()()()2222211221211221121110t t t t t t t t t t t t t t ---=--+=-+=………………………………6分所以AC BC ∥，又AC ，CB 都过点C ，所以三点 A B C ，，共线.…………………………7分（Ⅱ）由题意知，点Q 是直角三角形AOB 斜边上的垂足，又定点C 在直线AB 上，90OQB ∠=︒，所以设动点() Q x y ，，则() OQ x y = ，，()1 CQ x y =- ，，又0OQ CQ ⋅= ，……………………………………8分所以()210x x y -+=，即()2211024x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭，……………………11分 动点Q 的轨迹方程为()2211024x y x ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭，……………………12分 21.（Ⅰ）()()2121'210x x f x x x x x-++=-+=>，由()'0f x <，得2210x x -->，……2分 又0x >，所以1x >，所以()f x 的单调减区间为()1 +∞，，函数()f x 的增区间是()0 1，.……4分 （Ⅱ）令()()()22111ln 1122a g x f x x ax x ax a x ⎡⎤⎛⎫=--+-=-+-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以()()()2111'1ax a x g x ax a x x-+-+=-+-=.………………………………5分因为2a ≥，所以()()11'a x x a g x x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()'0g x =，得1x a =，所以当10 x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，()'0g x >；当1 x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()'0g x <. 因此函数()g x 在10 x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上是增函数，在1 x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，是减函数.………………6分 故函数()g x 的最大值为()2111111ln 11ln 22g a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯+-⨯+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.………………………………7分 令()1ln 2h a a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()12ln204h =-<，又因为()h a 在()0 a ∈+∞，上是减函数，………………8分所以当2a ≥时，()0h a <，即对于任意正数x 总有()0g x <，所以关于x 的不等式()2112a f x x ax ⎛⎫<-+- ⎪⎝⎭恒成立.……………………………………9分 （Ⅲ）由()()()2212121220f x f x x x x x ++++=，即 2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=，从而()()()212121212ln x x x x x x x x +++=⋅-⋅.…………………………………………10分令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，()1't t tϕ-=，可知，()t ϕ在区间()0 1，上单调递减，在区间()1 +∞，上单调递增.……………………………………11分所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()212121x x x x +++≥，又120x x +>，因此12x x +≥.…………………………12分 22.（Ⅰ）对于曲线2C 有24sin 4cos 4ρρθρθ=+-，即22444x y x y +=+-，因此曲线2C 的直线坐标方程为()()22224x y -+-=，其表示一个以()2 2，为圆心，半径为2的圆.……………………5分（Ⅱ）曲线2C是过点) 2P ，的直线，由)()222224++-<知点)2，在曲线2C 内，所以当直线1C 过圆心()2 2，时，AB 的最大值为4 (7)分当AB 为过点) 2，且与2PC 垂直时，AB 最小，222PC ==-d =.…………………………………………10分23.（Ⅰ）当1a =时，()22f x x ≤-，即12x x +≤-，………………………………3分 解得12x ≤.…………………………………………5分 （Ⅱ）()()222f x x x a x x a a =-++≥--+=+，……………………7分 若()2f x ≥恒成立，只需22a +≥， 即22a +≥或22a +≤-，…………………………9分 解得0a ≥或4a ≤-.…………………………10分。
2017年高考数学模拟试卷（广西理科附答案和解释）2017年广西高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（） A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5） 2．复数的实部与虚部分别为（） A．7，�3 B．7，�3i C．�7，3 D．�7，3i 3．设a=log25，b=log26，，则（） A．c＞b＞a B．b ＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c 4．设向量 =（1，2）， =（�3，5），=（4，x），若 + =λ（λ∈R），则λ+x的值是（） A．�B． C．�D． 5．已知tanα=3，则等于（） A． B． C． D．2 6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（） A． B．2 C． D．0 7．将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（） A．f（x）=�sin2x B．f（x）的图象关于x=�对称 C．f （）= D．f（x）的图象关于（，0）对称 8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（） A．94 B．99 C．45 D．203 9．直线y=2b与双曲线� =1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D． 10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄�执�》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（） A．33 B．35 C．37 D．39 11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8π B． +8π C．16+8π D． +16π 12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（） A．[2，e] B．[ ，+∞） C．[ ，e] D．[ ， ] 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（x�1）7的展开式中x2的系数为． 14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为． 15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列{2n•an}的前20项的和为S20，求log2S20�log220的值． 18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第�道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望． 19．如图，在三棱柱ABC�A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=3 ，A1C1的中点为D1，求二面角C�AB1�D1的余弦值． 20．如图，F1，F2为椭圆C：+ =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由． 21．已知函数f（x）=4x2+ �a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf （x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x�）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ= （p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长． [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）=|x+2|�|2x�1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M 时，|x+y+xy|＜15．2017年广西高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（） A．{2，5} B．（6，+∞） C．（0，5） D．（1，5）【考点】子集与真子集．【分析】求解二次不等式化简A，然后可得集合A的真子集．【解答】解：因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．故选：D． 2．复数的实部与虚部分别为（） A．7，�3 B．7，�3i C．�7，3 D．�7，3i 【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解： = ，∴z的实部与虚部分别为7，�3．故选：A． 3．设a=log25，b=log26，，则（） A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c ＞a＞b D．a＞b＞c 【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的性质直接求解．【解答】解：∵log24=2＜a=log25＜b=log26＜log28=3， =3，∴c＞b＞a．故选：A． 4．设向量=（1，2）， =（�3，5）， =（4，x），若 + =λ（λ∈R），则λ+x 的值是（） A．� B． C．� D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．【解答】解：向量 =（1，2），=（�3，5）， =（4，x），∴ + =（�2，7），又 + =λ（λ∈R），∴ ，解得λ=�，x=�14；∴λ+x=��14=�．故选：C． 5．已知tanα=3，则等于（） A． B． C． D．2 【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可计算得解．【解答】解：∵tanα=3，∴ = = = ．故选：B． 6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（） A． B．2 C． D．0 【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；故选：A． 7．将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（） A．f（x）=�sin2x B．f（x）的图象关于x=�对称 C．f（）= D．f（x）的图象关于（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+ ）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=cos[2（x+ ）+ ] =cos（2x+ ）=�sin（2x+ ）的图象，故排除A；当x=�时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于x=�对称，故B正确； f（）=�sin =�sin =�，故排除C；当x= 时，f（x）=�sin =�≠0，故f（x）的图象不关于（，0）对称，故D错误，故选：B． 8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（） A．94 B．99 C．45 D．203 【考点】程序框图．【分析】输入x和n的值，求出k的值，比较即可．【解答】解：第一次运算：s=2，s=5，k=2；第二次运算：s=5+2=7，s=16，k=3；第三次运算：s=16+3=19，s=41，k=4；第四次运算：s=41+4=45，s=94，k=5＞4，输出s=94，故选：A． 9．直线y=2b与双曲线� =1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（） A． B． C． D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（ b，2b），代入双曲线�=1，可得�4=1，b= a，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（ b，2b），代入双曲线�=1，可得�4=1，∴b= a，∴c= = a，∴e= = ，故选D． 10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄�执�》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（） A．33 B．35 C．37 D．39 【考点】线性回归方程．【分析】计算前四组数据的平均数，代入线性回归方程求出k的值，再由回归直线方程求出x=32时的值即可．【解答】解：前四组数据的平均数为，= ×（12+17+22+27）=19.5，= ×（10+18+20+30）=19.5，代入线性回归方程 =kx�4.68，得19.5=k×19.5�4.68，解得k=1.24，∴线性回归方程为=1.24x�4.68；当x=32时，=1.24×32�4.68≈35，由此可推测t的值为35．故选：B． 11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是下面为半圆柱体、上面为四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式即可求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是下面为半个圆柱、上面为一个四棱锥的组合体，且四棱锥的底面是俯视图中小矩形的两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高为2，圆柱的底面圆半径为2、母线长为4，所以该几何体的体积为V= ×2×4×2+ ×π×22×4= +8π．故选：A． 12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（） A．[2，e] B．[ ，+∞） C．[ ，e] D．[ ， ] 【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax�lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax�lnx，则由g′（x）=a�=0，求得x= ．分类讨论求得g（x）的最大值和最小值，从而求得a的范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（�∞，0）上单调递增，若不等式f（�ax+lnx+1）+f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则2f（ax�lnx�1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，即f（ax�lnx�1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．∴�1≤ax�lnx�1≤1 对x∈[1，3]恒成立，即0≤ax�lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax�lnx，则由g′（x）=a�=0，求得x= ．①当≤1，即 a＜0 或a≥1时，g′（x）≥0在[1，3]上恒成立，g（x）为增函数，∵最小值g（1）=a≥0，最大值g（3）=3a�ln3≤2，∴0≤a≤ ，综合可得，1≤a≤ ．②当≥3，即0＜a≤ 时，g′（x）≤0在[1，3]上恒成立，g（x）为减函数，∵最大值 g（1）=a≤2，最小值g（3）=3a�ln3≥0，∴ ≤a≤2，综合可得，a无解．③当1＜＜3，即＜a＜1时，在[1，）上，g′（x）＜0恒成立，g（x）为减函数；在（，3]上，g′（x）＞0恒成立，g（x）为增函数．故函数的最小值为g（）=1�ln ，∵g（1）=a，g（3）=3a�ln3，g（3）�g（1）=2a�ln3．若 2a�ln3＞0，即ln ＜a＜1，∵g（3）�g（1）＞0，则最大值为g（3）=3a�ln3，此时，由1�ln ≥0，g（3）=3a�ln3≤2，求得≤a≤ ，综合可得，ln ＜a＜1．若2a�ln3≤0，即＜a≤ ln3=ln ，∵g（3）�g（1）≤0，则最大值为g（1）=a，此时，最小值1�ln ≥0，最大值g（1）=a≤2，求得≤a≤2，综合可得≤a≤ln ．综合①②③可得，1≤a≤ 或ln ＜a＜1或≤a≤ln ，即≤a≤ ，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（x�1）7的展开式中x2的系数为�21 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：通项公式Tr+1= ，令7�r=2，解得r=5．∴（x�1）7的展开式中x2的系数为�=�21．故答案为：�21． 14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为 4 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别求出抛物线y2=8x及其准线与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数，即可得到结论．【解答】解：圆的圆心坐标为（�3，0），半径为4，抛物线的顶点为（0，0），焦点为（2，0），所以圆（x+3）2+y2=16与抛物线y2=8x的交点个数为2．圆心到准线x=�2的距离为1，小于半径，直线与圆有两个交点，综上所述，曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为4．故答案为：4． 15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为18π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，∴c=4．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r= ≥ =3 ，当且仅当a=b时，r的最小值为，所以球O表面积的最小值为：4πr2=18π．故答案为：18π． 16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21 平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米， AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得， cosB= = = ，所以sinB= = ，则该沙田的面积：即△ABC的面积S= = =21000000（平方米）=21（平方千米），故答案为：21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记an表示第n 排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列{2n•an}的前20项的和为S20，求log2S20�log220的值．【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意可得数列{an}为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得an=2+（n�1）=n+1，（1≤n≤20），由此看台共有座位个数为S20，由等差数列前n项和公式即可求得S20．（2）由（1）可知2n•an=（n+1）•2n，利用“错位相减法”即可求得数列{2n•an}的前20项的和为S20，代入根据对数的运算性质即可求得log2S20�log220的值．【解答】解：（1）由题意可得数列{an}为等差数列，首项a1=2，公差d=1，∴an=2+（n�1）=n+1，（1≤n≤20），∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S20= = =230；（2）由2n•an=（n+1）•2n，数列{2n•an}的前20项和S20=2•2+3•22+4•23+…+21•220，∴2S20=2•22+3•23+4•24+…+21•221，两式相减得：�S20=2•2+22+23+…+220�21•221， =2+ �21•221， =�20•221，∴S20=20•221，log2S20�log220=log220•221�log220=log220+log2221�log220=2 1．∴log2S20�log220=21． 18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第�道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）= ．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B ．【解答】解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X 可取0，1，2，3，则X～B . ，．所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 故（或）． 19．如图，在三棱柱ABC�A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2 ．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=3 ，A1C1的中点为D1，求二面角C�AB1�D1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，由此能证明CC1⊥AB1．（2）分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C�AB1�D1的余弦值．【解答】证明：（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，∵OA∩OB1=O，∴CC1⊥平面OAB1，∵AB1⊂平面OAB1，∴CC1⊥AB1．解：（2）由（1）知OA=OB1=3，又AB1=3 ，∴OA2+OB12=AB12，∴OA⊥OB1，OA⊥平面B1C1C，如图，分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，�，0），B1（3，0，0），A（0，0，3），C1（0，，0），A1（0，2 ，3），D1（0，，），设平面CAB1的法向量 =（x，y，z），∵ =（3，0，�3）， =（1，�，1），∴ ，取x=1，得 =（），设平面AB1D1的法向量 =（a，b，c），∵ =（0，，�）， =（�3，，），∴ ，取b=1，得 =（），∴cos＜＞= = = ，由图知二面角C�AB1�D1的平面角为钝角，∴二面角C�AB1�D1的余弦值为�． 20．如图，F1，F2为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即 =0，当直线AB 的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2�4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点， D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2 ，|DE|= ，∴ ，解得a=2，b=1，c= ，∴椭圆C的标准方程为 =1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P （，y1），Q（），由OP⊥OQ，即 =0，（*）①当直线AB的斜率不存在时，S= |x1|×|y1�y2|=1．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2�4=0，△=16（4k2+1�m2），，同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，此时，△=16m2＞0， AB= |x1�x2|= ， h= ，∴S=1，综上，△ABC的面积为1． 21．已知函数f（x）=4x2+ �a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f （x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=�1或t= ，即f（x）=�1�b 或f（x）= �b都有3个实数解，由图象可得�1�b＞0，且�b＞0，即可得到所求a+b的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+ �a，则y=xf（x）=4x3+1�ax的导数为y′=12x2�a，由题意可得12�a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+ �12，f′（x）=8x�，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，�7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x�1），即为y=7x�14；（2）由f（x）=4x2+ �a，导数f′（x）=8x�，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x= 处取得极小值，且为3�a，由f（x）有两个零点，可得3�a=0，即a=3，零点分别为�1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=�1或，则f（x）=�1�b或f（x）= �b，由题意可得f（x）=�1�b或f（x）= �b都有3个实数解，则�1�b＞0，且�b＞0，即b＜�1且b＜，可得b＜�1，即有a+b＜2．则a+b 的范围是（�∞，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x�）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ= （p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C的极坐标方程；（2）利用|MN|=|ρ1�ρ2|，求线段MN的长．【解答】解：（1）（x�）2+（y+1）2=9可化为x2+y2�2 x+2y�5=0，故其极坐标方程为ρ2�2 ρcosθ+2ρsinθ�5=0．… （2）将θ= 代入ρ2�2实用精品文献资料分享ρcosθ+2ρsinθ�5=0，得ρ2�2ρ�5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=�5，∴|MN|=|ρ1�ρ2|= =2 ．… [选修4-5：不等式选讲] 23．已知f（x）=|x+2|�|2x�1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（1）f（x）= ，当x＜�2时，由x�3＞0得，x ＞3，舍去；当�2≤x≤ 时，由3x+1＞0得，x＞�，即�＜x≤ ；当x＞时，由�x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，综上，M=（�，3）；（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15． 2017年3月23日。
2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）评分标准一、选择题1．已知集合错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
,则错误!未找到引用源。
A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D.错误!未找到引用源。
【答案】B2．复数错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
在复平面内对应的点在第一象限，则错误!未找到引用源。
的取值范围是A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
【答案】A3．若椭圆C：错误!未找到引用源。
错误!未找到引用源。
的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
【答案】C中，错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，4．在ABC则角错误!未找到引用源。
的正弦值为A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
【答案】A5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
6．已知向量错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，向量错误误!未找到引用源。
方向上的投影为2.若错误!未找到引用源。
//错误!未找到引用源。
，则错误!A.. 错误!未找到引用源。
B. 错误!未找到引用源。
C. 错误!错误!未找到引用源。
【答案】D7．执行如图的程序框图，输出的错误!未找到引用源。
的值是第7题图A. 28B. 36C. 45D. 55 【答案】C8．若以函数错误!未找到引用源。
的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则错误!未找到引用源。
的值为A.1B. 2C. 错误!未找到引用源。
D. 错误!未找到引用源。
【答案】C9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥错误!未找到引用源。
2017届普通高中毕业生第二次适应性测试理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|310}A x x =+<，2{|610}B x x x =--≤，则A B =（ ）A ．11[,]32-B ．φC ．1(,)3-∞D ．1{}32.复数1()1a R ai∈+在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．01a << C ．1a > D ．1a <-3.若椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（ ）A ．12 B ．3 C ．2 D ．44.在ABC ∆中，3cos 5B =，5AC =，6AB =，则内角C 的正弦值为（ ） A ．2425 B ．1625 C. 925 D ．7255.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A ．13 B ．23 C. 1 D ．436.若向量(1,0)a =，(1,2)b =，向量c 在a 方向上的投影为2，若//c b ，则||c 的大小为（ ）A ． 2B ．7.执行如图的程序框图，输出的S 的值是（ ）A ．28B ．36 C. 45 D ．558.若以函数sin (0)y A x ωω=>的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为（ ）A ．1B ．2 C. π D ．2π9.已知底面是边长为2的正方体的四棱锥P ABCD -中，四棱锥的侧棱长都为4，E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为（ ） A．4．3 C. 12 D．210.定义,min{,},a a b a b b a b≤⎧=⎨>⎩，设21()min{,}f x x x =，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线2x =所围成的封闭图形的面积为（ ）A ．712 B ．512 C. 1ln 23+ D ．1ln 26+ 11.函数11()33x f x -=-是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C.既是奇函数也是偶函数 D ．既不是奇函数也不是偶函数12.设实数,,,,a b c d e 满足关系：8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，则实数e 的最大值为（ ） A ． 2 B ．165 C. 3 D ．25第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量,x y 满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数2z y x =-的最大值是 ．14.若锐角,αβ满足4sin 5α=，2tan()3αβ-=，则tan β= ． 15.过动点M 作圆：22(2)(2)1x y -+-=的切线MN ，其中N 为切点，若||||MN MO =（O 为坐标原点），则||MN 的最小值是 ．16.定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+（,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数，给出如下命题：①函数()2g x =-是函数ln ,0()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数；②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数；③若函数()g x ax =是函数()x f x e =的一个承托函数，则a 的取值范围是[0,]e ； ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数. 其中正确的命题的个数为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22n S n n =+，*n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列11{}n n a a +的前n 项和为n T ，求证：16n T <.18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表： x 2 5 8 9 11 y1210887（1）求出y 与x 的回归方程^^^y b x a =+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ～2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.附：①回归方程^^^y b x a =+中，^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.3.2≈1.8≈，若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.19. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A BC D -中，1AB AD ==，CB CD ==60BCD ∠=，1CC（1）若E 是线段1A A 上的点且满足13A E AE =，求证：平面EBD ⊥平面1C BD ； （2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值．20. 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ，1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）．（1）若||4||MB AM =，求直线l 的方程；（2）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．21. 已知函数()ln f x x ax =-，1()g x a x=+． （1）讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）若()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中0ρ≥，[0,2]θπ∈），若倾斜角为34π且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A （A 点不是原点）． （1）求点A 的极坐标；（2）设直线m 过线段OA 的中点M ，且直线m 交圆E 于,B C 两点，求||||||MB MC -的最大值．23.选修4-5：不等式选讲（1）解不等式|1||3|4x x +++<；（2）若,a b 满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++．试卷答案一、选择题1-5:BACAD 6-10: DCCAC 11、12：DB二、填空题13. 14 14. 176 15. 827 16. 2 三、解答题17. 解：（1）第一类解法： 当1n =时，13a =.当2n ≥错误！未找到引用源。
2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）评分标准一、选择题1．已知集合{}|310A x x =+<，{}2|610B x x x =--≤,则=B A A. 11[,]32- B. Φ C. 1(,)3-∞ D.1{}3 【答案】B2．复数11ia +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是 A. 0<a B. 10<<a C. 1>a D. 1-<a 【答案】A3．若椭圆C ：12222=+by a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 A. 21 B. 33 C. 22 D. 42 【答案】C4．在ABC ∆中，53cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A. 2524 B. 2516 C. 259 D. 257 【答案】A 5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A.31 B. 32 C. 1 D. 43【答案】D 6．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a 方向上的投影为2. 若c //b ，则c 的大小为A.. 2B. 5C. 4D. 52 【答案】D 7．执行如图的程序框图，输出的S 的值是A. 28B. 36C. 45D. 55 【答案】C8．若以函数()0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为第7题图A.1B. 2C. πD. π2 【答案】C9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为A.B. C.12D. 2【答案】A 10.定义,,min{,},>,a ab a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为A.712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1+ln 26【答案】C 11．函数11()33x f x -=-是 A. 奇函数 B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为A.2B.516 C. 3 D. 25【答案】B 解： 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++， 代入由柯西不等式得如下不等式222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5160≤≤e 所以，当56====d c b a 时，实数e 取得最大值.516 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13．设变量y x ,满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数2z y x =-的最大值是 【答案】1414若锐角βα,满足54sin =α，32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ．【答案】176 15. 过动点M 作圆:22221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ . 【答案】827 16．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:①函数()2g x =-是函数ln ,0,()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数; ②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;③若函数()g x ax =是函数()f x =e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]; ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 ▲ . 【答案】2三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16n T <. 解：（1）第一类解法：当n=1时，13a =....................................................................................................1分 当2n ≥时1--=n n n S S a .....................................................................................2分 222(1)2(1)n n n n =+----................................................................................3分 21n =+....................................................................................................................4分 而13a =也满足21n a n =+...................................................................................5分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................6分 第二类解法：1--=n n n S S a ........................................................................................1分222(1)2(1)n n n n =+----.....................................................................2分21n =+......................................................................................................3分∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................4分 第三类解法：113a S ==..........1分; 221a S S =-.......1分;12+=n a n ...........1分,共3分第四类解法：由S n 22n n =+可知{}n a 等差数列.........................................................................2分 且13a =，212132d a a S S =-=--=...............................................................................4分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................5分（2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++....................................................7分 111()22123n n =-++..........................................................................8分 则1111111[()().......()]235572123n T n n =-+-++-++................................................9分 111()2323n =-+.........................................................................10分 11646n =-+...........................................................................11分 1.6<...........................................................................................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ~2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)PX <<. 附: ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()n i ii n i i x y nx y b xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-. 若X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】(1) ∵令5n =,11357,5n i i x x n ====∑114595n i i y y n ====∑,.........................................1分 【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴1()28757928.n i i i x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ .......................................................................2分 2221()2955750.n i i xn x =-=-⨯=∑ ...............................................................................................3分 ∴280.5650b ∧-==- ....................................................................................................4分【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴9(0.56)712.92.a y b x ∧∧=-=--⨯= （或者：32325） ...............................................5分∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+ ....................................................................6分(2) 由0.560b ∧=-<知y 与x 之间是负相关， ....................................................................7分【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克) （或者：23925） ....................................................................8分【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】(3)由(1)知7x μ==，又由2221[(27)5s σ==-22(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+- 10,=得3.2σ= ......................................................................................................................9分【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】从而(3.813.4)P X <<=(2)P X μσμσ-<<+ ..........................................................10分()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+ ...............................................11分【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】 0.8185= ........................................................................12分【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，==1A B A D ，,3==CD CB 60BCD ∠= ，31=CC .（1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；（2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值.解:(1) 解法(一): 60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=C A .. ...............1分（没有这一步扣一分） ∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............2分设M 是BD 的中点,连接1MC .........................................................................................................2分C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB ∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴1MC ⊥BD ................................................................................................3分 ），（430,1E,3(4M ,)33,0(1，C,∴13(,44MC =- ,(1,0,)4DE =. ................................................ ..........4分13100444MC DE =-⨯+=,∴1MC ⊥DE ..............................................5分（证得1MC ⊥ME 或BE也行）DE与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD .1MC在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1 (6)分解法(二): 设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..............................................................1分,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角...........................................................2分60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,13,22MA MC ==................................................3分(正确计算出才给这1分)AE E A 31=,31=CC ,∴142EM C M ==………………4分(至少算出一个)1,4C E =.............................................................................................5分 ∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴平面EBD ⊥平面BD C 1......................................................................................................6分解法(三): 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2=C A . 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ........................................................2分EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角 (3)分则），（430,1E ，)33,0(1，C,3(,44M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)∴1(,4ME =,13(4MC =- .∴113()(044ME MC ∙=⨯-+= ................................5分 ∴ME ⊥1MC,∠190EMC = ,二面角1C BD E --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面BD C 1................................................6分解法四: 连结AC ,11AC ,11B D ,交点为O 和N ，如图. 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠= ,2=C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分 则O 是BD 的中点.C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB O 是BD 的中点,∴11C D C B =. O 是BD 的中点,∴1OC ⊥BD ............3分1,24E-（0，）,(0)2B ，,13(0,2C ，∴13(0,2OC =,1(,224BE =-- .1310()022OC BE =+⨯-+= ,∴1OC ⊥BE (5)分BE与BD 相交于O , ∴1OC ⊥平面EBD . 1OC在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1 (6)分(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A ，DA ⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量...........8分32B （,1C ，3(2DB =，1DC =设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，302x y ⎧+=⎪⎨=， 取1,x =得y z ==平面BD C 1的法量(1,m =...................................10分 【另解：由（1）知当13A E AE =时，ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是 ME=1(,4】cos ,||||DA mDA m DA m ∙<>=⨯.............................................................................................11分7=∴由图可知二面角1C C D B --的平面角的余弦值为7....................................12分 解法二: (第1问未建系)60BCD ∠= ,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠= ,2=C A 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ..................7分(1,0,0)A ,DA⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA=是平面1C DC 的法向量 (8)分3,22B （，0）,1C ，3(,22DB =，1DC = ,设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z = ,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，3020x y ⎧+=⎪=， 取1,x =得y z ==平面BD C 1的法量(1,m = (10)分cos ,||||DA mDA m DA m ∙<>=⨯.................................................................................................11分=.∴由图可知二面角1C C D B --.......................................12分解法三: (几何法)设N 是CD 的中点,过N 作NF ⊥D C 1于F ,连接FB ,如图.......................................................7分60BCD ∠= ,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD .侧面D C 1⊥底面ABCD , ∴ NB ⊥侧面D C 1..........8分 NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1∴∠BFN 是二面角1C C D B --的平面角...................9分依题意可得NB =32, NFBF..................11分 ∴cos ∠BFN =NF BF∴二面角1C C D B --....................12分 20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）.(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C的长轴长的最小值.解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =.......................................................................1分设直线l 的方程为4x my =+........................................................................................................2分令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =- (3)分联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y my --=,12211216,4,4y y y y y y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =, (4)分∴32m =.........................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --= (6)分解法二: 由题意得抛物线方程为24y x =.....................................................................................1分设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =- (3)分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得24160ky y k --=,1221124,4,16y y k y y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩解得12y =-,28y =, (4)分∴23k =.........................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --= (6)分解法三: 由题意得抛物线方程为24y x =.................................................................................1分设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =, 得21204,0x x k =->..............3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩解得11x =,216x =,...............................................................................................................4分∴2.3k =..................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --=.........................................................................................6分第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。
【关键字】试题2017届普通高中毕业生第二次适应性测试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A．B．C．D．2.复数在复平面内对应的点在第一象限，则的取值范围是（）A．B．C．D．3.若椭圆：的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．4.在中，，，，则内角的正弦值为（）A．B． C. D．5.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（）A．B． C. 1 D．6.若向量，，向量在方向上的投影为2，若，则的大小为（）A．2 B． C. 4 D．7.执行如图的程序框图，输出的的值是（）A．28 B．36 C. 45 D．558.若以函数的图象中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则的值为（）A．1 B．2 C. D．9.已知底面是边长为2的正方体的四棱锥中，四棱锥的侧棱长都为4，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B． C. D．10.定义，设，则由函数的图象与轴、直线所围成的封闭图形的面积为（）A．B． C. D．11.函数是（）A．奇函数B．偶函数C.既是奇函数也是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数12.设实数满足关系：，，则实数的最大值为（）A．2 B． C. 3 D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设变量满足约束条件，则目标函数的最大值是．14.若锐角满足，，则．15.过动点作圆：的切线，其中为切点，若（为坐标原点），则的最小值是．16.定义在上的函数，如果存在函数（为常数），使得对一切实数都成立，则称为函数的一个承托函数，给出如下命题：①函数是函数的一个承托函数；②函数是函数的一个承托函数；③若函数是函数的一个承托函数，则的取值范围是；④值域是的函数不存在承托函数.其中正确的命题的个数为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）记数列的前项和为，求证：.18. 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：x 2 5 8 9 11y 12 10 8 8 7（1）求出与的返回方程；（2）判断与之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为，请用所求返回方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温～，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，求.附：①返回方程中，，.②10 3.2≈， 3.2 1.8≈，若X ～2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.19. 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，3CB CD ==，60BCD ∠=，13CC =．（1）若E 是线段1A A 上的点且满足13A E AE =，求证：平面EBD ⊥平面1C BD ； （2）求二面角1C C D B --的平面角的余弦值．20. 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ，1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点，过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）． （1）若||4||MB AM =，求直线l 的方程；（2）若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上，直线l 与椭圆1C 有公共点，求椭圆1C 的长轴长的最小值．21. 已知函数()ln f x x ax =-，1()g x a x=+． （1）讨论函数()()()F x f x g x =-的单调性；（2）若()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程已知圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中0ρ≥，[0,2]θπ∈），若倾斜角为34π且经过坐标原点的直线l 与圆E 相交于点A （A 点不是原点）．（1）求点A 的极坐标；（2）设直线m 过线段OA 的中点M ，且直线m 交圆E 于,B C 两点，求||||||MB MC -的最大值．23.选修4-5：不等式选讲（1）解不等式|1||3|4x x +++<；（2）若,a b 满足（1）中不等式，求证：2|||22|a b ab a b -<++．试卷答案一、选择题1-5:BACAD 6-10: DCCAC 11、12：DB 二、填空题13. 14 14. 17615. 827 16. 2三、解答题17. 解：（1）第一类解法： 当1n =时，13a =. 当2n ≥时，1n n n a S S -=-222(1)2(1)n n n n =+----.21n =+.而13a =也满足21n a n =+.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+. （2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++. 111()22123n n =-++. 则1111111[()()()]235572123n T n n =-+-++-++. 111()2323n =-+. 11646n =-+. 16< 18. 解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】(1) ∵令5n =,113575n i i x x n ====∑，114595n i i y y n ====∑, 【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴1()28757928ni ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑2221()2955750nii xn x =-=-⨯=∑∴^280.5650b -==- 【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】∴^^^9(0.56)712.92a y b x =-=--⨯=（或者：32325） ∴所求的回归方程是^0.5612.92y x =-+ (2) 由^0.560b =-<知y 与x 之间是负相关， 【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量^0.5612.929.56y x =-+=(千克) （或者：23925） 【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】 (3)由(1)知7x μ==，又由22222221[(27)(57)(87)(97)(117)]105s σ==-+-+-+-+-=得 3.2σ=【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】 从而(3.813.4)(2)P X P X μσμσ<<=-<<+ .()(2)P X P X μσμμμσ=-<<+<<+11()(22)22P X P X μσμσμσμσ=-<<++-<<+ 【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】 0.8185=【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19. 解:(1) 解法(一):60BCD ∠=,1AB AD ==，CB CD ==∴90CDA ∠=,2CA =（没有这一步扣一分）∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系.设M 是BD 的中点,连接1MC .1CC ⊥平面ABCD , CB CD ==∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴1MC BD ⊥.E，3(4M，1C，∴13(,44MC=-,(1,0,4DE =.13100444MC DE•=-⨯++=,∴1MC DE⊥.（证得1MC ME⊥或BE也行）DE与BD相交于D, ∴1MC⊥平面EBD.1MC在平面BDC1内, ∴平面EBD⊥平面BDC1(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A，DA⊥平面1C DC，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC的一个法向量.3(2B,1C，3(2DB =，1DC =设平面1C BD的法向量是(,,)m x y z=,则1m DBm DC⎧•=⎪⎨•=⎪⎩，322x y⎧+=⎪+=，取1x=，得y z==平面1C BD的法量(1,m=-.7cos,7||||DA mDA mDA m•<>==•∴由图可知二面角1C CD B--.20. 解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x=.设直线l的方程为4x my=+.令211(,)4yA y，222(,)4yB y，其中1y<. 由||4||MB AM=,得214y y=-.联立244y xx my⎧=⎨=+⎩，可得24160y my--=,1221121644y yy yy y m=-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩，解得12y=-,28y=,2∴直线l 的方程为2380x y --=.(2)设00(,)P x y ,直线:4l x my =+，点P 在抛物线2C 上,∴直线l 的斜率存在, 0m ≠,O P 关于直线:4l x my =+对称,所以000042211x y m y m x ⎧=⨯+⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪⎩.解得02028181x m m y m ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩. 故2288(,)11mP m m-++代入抛物线22:4C y x =，可得11m =，21m =- . 直线l 的方程为4x y =+或4x y =-+.设椭圆为221(1)1x λλλλ+=>-. 联立直线和椭圆,消去x 整理得 22(21)8(1)17160y y λλλλ-±--+-=0∆≥∴2264(1)4(21)(1716)0λλλλ-+--+≥，解得172λ≥. 则2172a ≥，即a ≥∴椭圆1C21. 解：（1）1()()()ln (0)F x f x g x x ax a x x=-=---> '211()F x a x x=-+. ①若0a ≤时，0)(>'x F ，则()()()F x f x g x =-在(0,)+∞上是增函数.②若0a > 时，则()()()F x f x g x =-在上是增函数.()()()F x f x g x =-在)+∞上是减函数. （2）若()()0f x g x ≤在定义域内恒成立,考虑以下情形: ①当()0f x ≤，()0g x ≥同时恒成立时， 由()ln 0f x x ax =-≤，ln xa x≥恒成立.e∵由()0g x ≥，10a x +≥恒成立得：0a ≥.∴1a e≥. ②当()0f x ≥，()0g x ≤同时恒成立时，a 不存在； ③当0a <时，∵()ln f x x ax =-为增函数，1()g x a x=+为减函数, 若它们有共同零点，则()()0f x g x ≤恒成立. 由()ln 0f x x ax =-=，1()0g x a x=+=,联立方程组解得：a e =-. 综上：1a e≥或a e =-. 22. 解: (1)直线l 的倾斜角为34π,∴点A 的极角34πθ=.代入圆E 的极坐标方程得ρ=∴点A 的极坐标3)4π.(2)由(1)得线段OA 的中点M 的极坐标是3)4π, ∴M 的直角坐标为(1,1)-.圆E 的极坐标方程为4sin ρθ=,∴圆E 的直角坐标方程为2240x y y +-=.设直线m 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩(t 为参数).代入2240x y y +-=，得22(sin cos )20t t αα-+-=.24(sin cos )80αα∆=++>设,B C 的参数依次为12,t t ,则122(sin cos )t t αα+=+.∴1212||||||||||||||MB MC t t t t -=-=+.2|sin cos |sin()|4πααα=+=+∴||||||MB MC -的最大值为此时直线m 的倾斜角为4π) 23. 解：（1）当3x <-时，|1||3|13244x x x x x +++=----=--<, 解得4x >-，所以43x -<<-.当31x -≤<-时，|1||3|1324x x x x +++=--++=<,解得31x -≤<-当1x ≥-时，|1||3|13244x x x x x +++=+++=+< 解得0x <，所以10x -≤<（2）证明：224()(22)a b ab a b --++22224416a b a b ab ab =+++(4)(4)0ab b a =++>∴224()(22)0a b ab a b --++> ∴2|||22|a b ab a b -<++2017年南宁市高中毕业班第二次适应性测试数学试卷（理科）评分标准一、选择题1．已知集合{}|310A x x =+<，{}2|610B x x x =--≤,则=B A A. 11[,]32- B. Φ C. 1(,)3-∞ D.1{}3【答案】B2．复数11ia +(R)a ∈在复平面内对应的点在第一象限，则a 的取值范围是A. 0 aB. 10<<aC. 1>aD. 1-<a 【答案】A3．若椭圆C ：12222=+by a x (0)a b >>的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为A.21B. 33C. 22D. 42【答案】C4．在ABC ∆中，53cos =B ，65==AB AC ，，则角C 的正弦值为 A.2524 B. 2516 C. 259 D. 257【答案】A5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A.31 B. 32C. 1D. 43【答案】D6．已知向量），（01=a ，），（21=b ，向量c 在a 方向上的投影为2. 若c //b，则c 的大小为A.. 2B. 5C. 4D. 52 【答案】D 7．执行如图的程序框图，输出的S 的值是 A. 28 B. 36 C. 45 D. 55 【答案】C 8．若以函数()0sin >=ωωx A y 的图像中相邻三个最值点为顶点的三角形是面积为1的直角三角形，则ω的值为A.1B. 2C. πD. π2 【答案】C开始A =1，S =0A ≤9输出SA=A+1结束 S=S+A是否 第7题图9．已知底面是边长为2的正方形的四棱锥ABCD P -中，四棱锥的侧棱长都为4,E 是PB 的中点，则异面直线AD 与CE 所成角的余弦值为A.4B. 3C.12D. 2 【答案】A 10.定义,,min{,},>,a ab a b b a b ≤⎧=⎨⎩设21()=min{,}f x x x ，则由函数()f x 的图像与x 轴、直线=2x 所围成的封闭图形的面积为A.712 B. 512 C. 1+ln 23 D. 1+ln 26【答案】C 11．函数11()33x f x -=-是A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数也是偶函数D. 既不是奇函数也不是偶函数 【答案】D 12．设实数e d c b a ,,,,同时满足关系:,8=++++e d c b a 1622222=++++e d c b a ，则实数e 的最大值为 A.2 B.516 C. 3 D. 25【答案】B解： 将题设条件变形为2222216,8e d c b a e d c b a -=+++-=+++， 代入由柯西不等式得如下不等式222222222(1111)(1111)()a b c d a b c d ⋅+⋅+⋅+⋅≤++++++有)16(4)8(22e e -≤-，解这个一元二次不等式，得.5160≤≤e 所以，当56====d c b a 时，实数e 取得最大值.516 二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分. 把答案填答题卷相应题中横线上.13．设变量y x ,满足约束条件22344x y x y x y -≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩,则目标函数2z y x =-的最大值是 【答案】1414若锐角βα,满足54sin =α，32)tan(=-βα，则=βtan ▲ ．【答案】176 15. 过动点M 作圆:22221x y -+-=（）（）的切线MN ,其中N 为切点，若||||MO MN =(O 为坐标原点)，则||MN 的最小值是 ▲ . 【答案】82716．定义在R 上的函数()f x ，如果存在函数()g x ax b =+，(,a b 为常数），使得()()f x g x ≥对一切实数x 都成立，则称()g x 为函数()f x 的一个承托函数.给出如下命题:①函数()2g x =-是函数ln ,0,()1,0x x f x x >⎧=⎨≤⎩的一个承托函数;②函数()1g x x =-是函数()sin f x x x =+的一个承托函数;③若函数()g x ax =是函数()f x =e x 的一个承托函数,则a 的取值范围是[0,e]; ④值域是R 的函数()f x 不存在承托函数.其中正确的命题的个数为 ▲ . 【答案】2三．解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足:*2,2N n n n S n ∈+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：16nT <. 解：（1）第一类解法： 当n=1时，13a =....................................................................................................1分 当2n ≥时1--=n n n S S a .....................................................................................2分222(1)2(1)n n n n =+----................................................................................3分21n =+....................................................................................................................4分 而13a =也满足21n a n =+...................................................................................5分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................6分 第二类解法：1--=n n n S S a ........................................................................................1分222(1)2(1)n n n n =+----.....................................................................2分21n =+......................................................................................................3分 ∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................4分 第三类解法：113a S ==..........1分; 221a S S .......1分;12+=n a n ...........1分,共3分第四类解法： 由S n22n n=+可知{}n a 等差数列.........................................................................2分 且13a =，212132da a S S ...............................................................................4分∴数列{}n a 的通项公式为12+=n a n .................................................................................5分 （2）∵12+=n a n ,∴111(21)(23)n n a a n n +=++....................................................7分111()22123n n =-++..........................................................................8分 则1111111[()().......()]235572123n T n n =-+-++-++................................................9分111()2323n =-+.........................................................................10分11646n =-+...........................................................................11分1.6<...........................................................................................................................................12分 18． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 某食品店为了了解气温对销售量的影响，随机记录了该店1月份中5天的日销售量y （单位：千克）与该地当日最低气温x （单位：C ）的数据，如下表：（1）求出y 与x 的回归方程y b x a ∧∧∧=+；（2）判断y 与x 之间是正相关还是负相关；若该地1月份某天的最低气温为6C ，请用所求回归方程预测该店当日的销售量；（3）设该地1月份的日最低气温X ~2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s ，求(3.813.4)P X <<.附: ①回归方程y b x a ∧∧∧=+中, 1221()()ni ii nii x y nx yb xn x ∧==-=-∑∑,a y b x ∧∧=-.X ~2(,)N μσ,则()0.6826P X μσμσ-<<+=,(22)0.9544P X μσμσ-<<+=.解：【提示：本题第（1）、（2）问与第（3）问没有太多关系，考生第（1）、（2）问做不对，第（3）问也可能做对，请老师们留意】 (1)∵令5n =,11357,5n i i x x n ====∑114595n i i y y n ====∑,.........................................1分【说明：如果考生往下算不对结果，只要上面的两个平均数算对其中一个即可给1分】 ∴1()28757928.ni ii x y nx y =-=-⨯⨯=-∑ .......................................................................2分2221()2955750.nii xn x =-=-⨯=∑ ...............................................................................................3分 ∴280.5650b ∧-==- ....................................................................................................4分【说明：2分至4分段，如果考生不是分步计算，而是整个公式一起代入计算，正确的直接 给完这部分的分；如果结果不对，只能给1分】 ∴9(0.56)712.92.a yb x ∧∧=-=--⨯= （或者：32325） ...............................................5分∴所求的回归方程是0.5612.92y x ∧=-+ ....................................................................6分(2) 由0.560b ∧=-<知y 与x 之间是负相关， ....................................................................7分【说明：此处只要考生能回答负相关即可给这1分】将6x =代入回归方程可预测该店当日的销售量0.56612.929.56y ∧=-⨯+=(千克) （或者：23925） ....................................................................8分【说明：此处只要考生能算得正确的答案即可给这1分】(3)由(1)知7x μ==，又由2221[(27)5s σ==-22(57)(87)+-+-+22(97)(117)]-+-10,=得3.2σ= ......................................................................................................................9分【说明：此处要求考生算对方差才能给这1分】从而(3.813.4)P X <<=(2)P X μσμσ-<<+ ..........................................................10分()P X μσμ=-<<(2)P X μμσ+<<+1()2P X μσμσ=-<<+1(22)2P X μσμσ+-<<+ ...............................................11分【说明：此处不管考生用什么方法进行变换，只要有变换过程都给这1分】0.8185= ........................................................................12分【说明：此处是结论分1分，必须正确才给】19． (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 如图，已知侧棱垂直于底面的四棱柱1111-D C B A ABCD 中，==1AB AD ，,3==CD CB 60BCD ∠=，31=CC .（1）若E 是线段A A 1上的点且满足AE E A 31=,求证: 平面EBD ⊥平面BD C 1；（2）求二面角1C C D B 的平面角的余弦值.解:(1) 解法(一):60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2= C A .. ...............1分（没有这一步扣一分）∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............2分设M 是BD 的中点,连接1MC .........................................................................................................2分C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB ∴11C D C B =.M 是BD 的中点,∴1MC ⊥BD ................................................................................................3分），（430,1E,3(4M ,)33,0(1，C ,∴13(,44MC =-,(1,0,4DE =. ................................................ ..........4分13100444MC DE =-⨯++=,∴1MC ⊥DE ..............................................5分 （证得1MC ⊥ME 或BE 也行）DE 与BD 相交于D, ∴1MC ⊥平面EBD .1MC 在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1..............................................................6分解法(二): 设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC ..............................................................1分 ,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角...........................................................2分60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠=,13,22MA MC ................................................3分(正确计算出才给这1分)AE E A 31=,31=CC ,∴142EM C M ==………………4分(至少算出一个)14C E =.............................................................................................5分∴22211C E C M EM =+,即1C E ⊥EM .∴二面角1C BD E --的平面角为直角. ∴平面EBD ⊥平面BD C 1......................................................................................................6分解法(三): 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB ∴90CDA ∠=,2= C A . 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分设M 是BD 的中点,连接EM 和11,MC EC..,,CD CB AD AB ==∴BD ⊥CA 且,,C A M 共线. ........................................................2分EA ⊥平面ABCD , C C 1⊥平面ABCD ,∴BD ⊥ME ,BD ⊥1MC .∴∠1EMC 是二面角1C BD E --的平面角.............................................................................3分 则），（430,1E ，)33,0(1，C,3(,44M ......................4分(至少正确写出一个点的坐标)∴1(,4ME =,13(4MC =-.∴113()(044ME MC •=⨯-++=................................5分 ∴ME ⊥1MC ,∠190EMC =,二面角1C BD E --的平面角为直角,平面EBD ⊥平面BD C 1................................................6分解法四: 连结AC ,11A C ,11B D ,交点为O 和N ，如图. 60BCD ∠=,,3,1====CD CB AD AB∴90CDA ∠=,2= C A .以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，ON 为z 轴，建立空间直角坐标系. ...............1分则O 是BD 的中点.C C 1⊥平面ABCD , ,3==CD CB O 是BD 的中点,∴11C D C B =. O 是BD 的中点,∴1OC ⊥BD ............3分1,2E -（0，,0)B ，,13(0,2C∴13(0,2OC =,1(22BE =--. 13310()0222OC BE =-+⨯-+=,∴1OC ⊥BE .........................................5分BE 与BD 相交于O , ∴1OC ⊥平面EBD .1OC 在平面BD C 1内, ∴平面EBD ⊥平面BD C 1..............................................................6分(2) 解法一: (若第1问已经建系)(1,0,0)A ，DA⊥平面1C DC ，∴(1,0,0)DA =是平面1C DC 的一个法向量...........8分32B （,1C ，3(2DB =，1DC = 设平面BD C 1的法向量是(,,)m x y z=,则10,0m DB m DC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，30220x y⎧+=⎪+=， 取1,x =得y z ==.平面BD C 1的法量(1,m =-...................................10分【另解：由（1）知当13A E AE =时，ME ⊥平面BD C 1，则平面BD C 1的法向量是ME=1(,4】cos,||||DA mDA mDA m•<>=⨯................................................... ..........................................11分=∴由图可知二面角1C CD B的平面角的余弦值为....................................12分解法二: (第1问未建系)60BCD∠=,,3,1====CDCBADAB∴90CDA∠=,2=C A以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，建立空间直角坐标系. ..................7分(1,0,0)A,DA⊥平面1C DC，∴(1,0,0)DA=是平面1C DC的法向量............................................................................. ........8分32B（,1C，3(2DB=，1DC =,设平面BDC1的法向量是(,,)m x y z=,则10,m DBm DC⎧=⎪⎨=⎪⎩，32x y⎧+=⎪⎨+=，取1,x=得yz==.平面BDC1的法量(1,m=-.......................................10分cos,||||DA mDA mDA m•<>=⨯................................................... ..............................................11分=.∴由图可知二面角1C C D B 的平面角的余弦值为7.......................................12分 解法三: (几何法)设N 是CD 的中点,过N 作NF ⊥D C 1于F ,连接FB ,如图.......................................................7分60BCD ∠=,,3==CD CB ∴ NB ⊥CD .侧面D C 1⊥底面ABCD , ∴ NB ⊥侧面D C 1..........8分NF ⊥D C 1,∴BF ⊥D C 1 ∴∠BFN 是二面角1C C D B 的平面角 (9)分依题意可得NB =32, NF=,BF..................11分 ∴cos ∠BFN =NF BF=7∴二面角1C C D B 的平面角的余弦值为7....................12分 20. (本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．） 已知椭圆1C 和抛物线2C 有公共焦点(1,0)F ,1C 的中心和2C 的顶点都在坐标原点,过点(4,0)M 的直线l 与抛物线2C 分别相交于,A B 两点（其中点A 在第四象限内）.(1)若||4||MB AM =,求直线l 的方程;(2)若坐标原点O 关于直线l 的对称点P 在抛物线2C 上,直线l 与椭圆1C 有公共点,求椭圆1C 的长轴长的最小值.解：（1）解法一:由题意得抛物线方程为24y x =.......................................................................1分设直线l 的方程为4x my =+........................................................................................................2分 令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-................................3分联立24,4,y x x my ⎧=⎨=+⎩可得24160y my --=,12211216,4,4y y y y y y m =-⎧⎪=-⎨⎪+=⎩解得12y =-,28y =,..................4分 ∴32m =.........................................................................................................................................5分 ∴直线l 的方程为2380x y --=................................................................................................6分解法二: 由题意得抛物线方程为24y x =.....................................................................................1分设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分 令211(,),4y A y 222(,),4y B y 其中10y <.由||4||MB AM =,得214y y =-................................3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得24160ky y k --=,1221124,4,16y y k y y y y ⎧+=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩解得12y =-,28y =,................4分 ∴23k =.........................................................................................................................................5分 ∴直线l 的方程为2380x y --=...............................................................................................6分解法三: 由题意得抛物线方程为24y x =.................................................................................1分设直线l 的方程为(4)y k x =-...................................................................................................2分令11(,),A x y 22(,),B x y 其中2140,x x >>>由||4||MB AM =,得21204,0x x k =->..............3分联立24,(4)y x y k x ⎧=⎨=-⎩可得2222(84)160k x k x k -++=,2122211284,204,16k x x k x x x x ⎧++=⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩解得11x =,216x =,...............................................................................................................4分 ∴2.3k =..................................................................................................................................5分∴直线l 的方程为2380x y --=.........................................................................................6分第一问得分点分析：（1）求出抛物线方程，得1分。
2017年广西柳州市、钦州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A．（0，3]B．（0，3） C．[0，3]D．[3，+∞）2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a﹣bi）2=（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i3．甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：下列说法错误的是（）A．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B．乙同学的数学成绩平均值是81.5C．丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平D．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三4．已知平面向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．66．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．147．将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．D．8．在△ABC中，，BC边上的高等于，则cosA=（）A．B．C．D．9．若x＞y＞1，0＜a＜b＜1，则下列各式中一定成立的是（）A．x a＞y b B．x a＜y b C．a x＜b y D．a x＞b y10．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（）A．B．C．（6，+∞）D．[6，+∞）12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足条件，则z=2x+y﹣5的最小值为．14．已知tanα=2，则=．15．已知，则在的展开式中，所有项的系数和为．16．已知圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆M的方程为（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣3sinθ）2=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，且λS n=λ﹣a n，其中λ≠0且λ≠﹣1．（1）证明：{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求λ．18．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．21．已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．2017年广西柳州市、钦州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A．（0，3]B．（0，3） C．[0，3]D．[3，+∞）【考点】交集及其运算．【分析】分别求出关于集合A、B的范围，取交集即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3≤0}=[﹣1，3]，B={y|y=2x}=（0，+∞），则A∩B=（0，3]，故选：A．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a﹣bi）2=（）A．3+4i B．3﹣4i C．5﹣4i D．5+4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由共轭复数的概念求得a，b的值，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，∴a=2，b=1，则（a﹣bi）2=（2﹣i）2=3﹣4i．故选：B．3．甲、乙、丙三名同学6次数学测试成绩及班级平均分（单位：分）如表：下列说法错误的是（）A．甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定B．乙同学的数学成绩平均值是81.5C．丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平D．在6次测验中，每一次成绩都是甲第一、乙第二、丙第三【考点】众数、中位数、平均数．【分析】由统计表利用平均数能求出结果．【解答】解：由统计表知：甲同学的数学学习成绩高于班级平均水平，且较稳定，故A 正确；乙同学的数学成绩平均值是：（88+80+85+78+86+72）=81.5，故B正确；丙同学的数学学习成绩低于班级平均水平，故C正确；在6次测验成绩是甲第一、丙第二、乙第三，故D错误．故选：D．4．已知平面向量，满足，且，则向量与夹角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】设向量、的夹角为θ，根据平面向量数量积的定义进行化简即可求出结果．【解答】解：设向量、的夹角为θ，由，且，得+•=3，即22+2×1×cosθ=3，解得cosθ=﹣．故选：D．5．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出塔顶灯的盏数，由题意可知灯的盏数自上而下构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可．【解答】解：由题意设塔顶有a盏灯，由题意由上往下数第n层就有2n﹣1•a盏灯，∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，即．解得：a=3．故选：A．6．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．7．将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则y=g（x）图象的一条对称轴是（）A．x=B．x=C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的对称性．【分析】根据函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，得到g（x）=3sin（2x﹣），从而得到g（x）图象的一条对称轴是．【解答】解：将函数f（x）=3sin（4x+）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得函数y=3sin（2x+）的图象，再向右平移个单位长度，可得y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）的图象，故g（x）=3sin（2x﹣）．令2x﹣=kπ+，k∈z，得到x=•π+，k∈z．则得y=g（x）图象的一条对称轴是，故选：C．8．在△ABC中，，BC边上的高等于，则cosA=（）A．B．C．D．【考点】三角形中的几何计算．【分析】由题意，设BC=x，那么BC边上的高等于，利用勾股定理建立关系，求出AC，AB，在利于余弦定理求cosA的值．【解答】解：由题意，设BC=x，那么BC边上的高AD=，∵∠B=30°，∴BAD=60°，AB=，BD=AB•sin60°=x，则DC=x﹣=．那么：．由余弦定理可得：cosA==．故选B．9．若x＞y＞1，0＜a＜b＜1，则下列各式中一定成立的是（）A．x a＞y b B．x a＜y b C．a x＜b y D．a x＞b y【考点】不等式比较大小．【分析】根据指数函数的性质判断即可．∵x＞y＞1，0＜a＜b＜1，故a x＜a y＜b y，故选：C，10．过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，则离心率e的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与双曲线的位置关系．【分析】根据直线与双曲线相交的情形，分两种情况讨论：①AB只与双曲线右支相交，②AB与双曲线的两支都相交，分析其弦长的最小值，利用符合条件的直线的数目，综合可得答案．【解答】解：由题意过双曲线的左焦点F作直线l与双曲线交于A，B两点，使得|AB|=4b，若这样的直线有且仅有两条，可得＜|AB|=4b，并且2a＞4b，e＞1，可得：e＞或1综合可得，有2条直线符合条件时，：e＞或1．故选：D．11．已知函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），则a+2b的取值范围为（）A．B．C．（6，+∞）D．[6，+∞）【考点】函数的值域．【分析】根据对数的性质的可知：函数f（x）=|lg（x﹣1）|，若1＜a＜b且f（a）=f（b），可得，即，可得a，b的关系，利用基本不等式求解a+2b的取值范围∵1＜a＜b且f（a）=f（b），则b＞2，1＜a＜2，∴，即，可得：ab﹣a﹣b=0．那么：a=．则a+2b===，当且仅当b=时取等号．∵b＞2∴a+2b=＞6．故选：C．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则它的体积为（）A．48 B．16 C．32 D．16【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图画出此几何体：镶嵌在正方体中的四棱锥，由正方体的位置关系判断底面是矩形，做出四棱锥的高后，利用线面垂直的判定定理进行证明，由等面积法求出四棱锥的高，利用椎体的体积公式求出答案．【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为4，O、A、D分别为棱的中点，∴OD=2，AB=DC=OC=2，做OE⊥CD，垂足是E，∵BC⊥平面ODC，∴BC⊥OE、BC⊥CD，则四边形ABCD是矩形，∵CD∩BC=C，∴OE⊥平面ABCD，∵△ODC的面积S==6，∴6==，得OE=，∴此四棱锥O﹣ABCD的体积V===16，故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足条件，则z=2x+y﹣5的最小值为﹣6．【考点】简单线性规划．【分析】先利用二元一次不等式表示平面区域的性质画出线性约束条件对应的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合得最优解，代入目标函数即可得目标函数的最值【解答】解：画出的可行域如图阴影区域：由得A（﹣1，1）目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线l，由图数形结合可知：当l过点A时，z最小为﹣2×1+1﹣5=﹣6．故答案为：﹣6．14．已知tanα=2，则=﹣1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式和二倍角公式化简，构造tanα，可得答案．【解答】解：由==，∵tanα=2，∴=．故答案为：﹣1．15．已知，则在的展开式中，所有项的系数和为310．【考点】二项式定理的应用；定积分．【分析】利用定积分求出a，令x=1，可得在的展开式中，所有项的系数和．【解答】解：==2，令x=1，可得在的展开式中，所有项的系数和为310．故答案为：310．16．已知圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆M的方程为（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣3sinθ）2=1（θ∈R），过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则∠APB的最大值为．【考点】圆的切线方程．【分析】首先判断圆与圆的位置关系，进一步利用特殊位置把结论转化为解三角形问题，最后求出∠APB的最大值．【解答】解：圆C的方程为（x﹣3）2+y2=1，圆心坐标为：C（3，0）半径r=1．圆M的方程（x﹣3﹣3cosθ）2+（y﹣sinθ）2=1，圆心坐标为：M（3+3cosθ，3sinθ），半径R=1．由于cos2θ+sin2θ=1，|C1C2|＞R+r，所以两圆相离．过M上任意一点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A、B，则要求∠APB 的最大值，只需满足：在圆M找到距离圆C最近点即可．所以|PC|=3﹣1=2，|AC|=1．解得：∠APC=，所以：∠APB=，即∠APB的最大值为．故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．设数列{a n}的前n项和为S n，且λS n=λ﹣a n，其中λ≠0且λ≠﹣1．（1）证明：{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若，求λ．【考点】数列递推式．【分析】（1）利用已知条件求出数列的首项以及数列相邻两项的关系，利用数列是等比数列，求出公比，然后求解通项公式．（2）利用数列的通项公式以及已知条件推出λ的关系式，求解即可．【解答】解：（1）当n=1时，λa1=λ﹣a1，∵λ≠0且λ≠﹣1，∴，当n≥2时，λS n﹣1=λ﹣a n﹣1，λS n=λ﹣a n，两式相减得（1+λ）a n=a n﹣1，因为λ≠﹣1，∴，因此{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴．（2）由λS n=λ﹣a n得=∴，∴λ=1或λ=﹣3．18．某市公租房的房源位于A，B，C，D四个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，在该市的甲、乙、丙三位申请人中：（1）求恰有1人申请A片区房源的概率；（2）用x表示选择A片区的人数，求x的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）求出实验发生包含的事件是3位申请人中，满足条件的所有事件有43种结果．恰有1人申请A片区房源结果，然后求解概率．（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，求出概率，得到X的分布列然后求解期望即可．【解答】解：（1）本题是一个等可能事件的概率，实验发生包含的事件是3位申请人中，每一个有四种选择，共有43种结果．满足条件的事件恰有1人申请A片区房源有，根据等可能事件的概率．（2）ξ的所有可能结果为0，1，2，3，依题意，，，，，∴X的分布列为：∴ξ的数学期望：．法2：每个片区被申请的概率均为，没被选中的概率均为，ξ的所有可能结果为0，1，2，3，且ξ～B（3，），，，，，∴X的分布列为：∴X的数学期望：．（Eξ=1×=）．19．在四棱锥P﹣ABCD中，，，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．（1）求证：O是AD中点；（2）证明：BC⊥PB；（3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）证明PO⊥底面ABCD，说明点O为△ABD的外心，然后判断点O 为AD中点．（2）证明PO⊥面ABCD，推出BC⊥PO，证明CB⊥BO，BC⊥PO，证明CB⊥面PBO，推出BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系，求出相关点的坐标，平面PAB的法向量，平面PBC的法向量，利用空间向量的数量积求解所以该二面角的余弦值即可．【解答】解：（1）证明：∵△PAB和△PBD都是等边三角形，∴PA=PB=PD，又∵PO⊥底面ABCD，∴OA=OB=OD，则点O为△ABD的外心，又因为△ABD是直角三角形，∴点O为AD中点．（2）证明：由（1）知，点P在底面的射影为点O，点O为AD中点，于是PO⊥面ABCD，∴BC⊥PO，∵在Rt△ABD中，BD=BA，OB⊥AD，∴，又，∴，从而即CB⊥BO，由BC⊥PO，CB⊥BO得CB⊥面PBO，∴BC⊥PB．（3）以点O为原点，以OB，OD，OP所在射线为x轴，y轴，z轴建系如图，∵AB=2，则O（0，0，0），，，，，，，，，设面PAB的法向量为，则，，得，，取x=1，得y=﹣1，z=1，故．设面PBC的法向量为，则，，得s=0，，取r=1，则t=1，故，于是，由图观察知A﹣PB﹣C为钝二面角，所以该二面角的余弦值为．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆结果的点，求出长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程；（2）求出k AP k BP=﹣，设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，利用k OM k ON=﹣，推出t2=2m2+4，利用三角形的面积公式，化简求解即可推出结论．【解答】（1）解：椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（2，）且离心率等于，可得=，即：，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆方程为：．（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，且AP∥OM，BP∥ON，设P（2cosθ，2sinθ）则直线AP，BP斜率必存在且不为0，又由已知k AP k BP===．因为AP∥OM，BP∥ON，所以k OM k ON=设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，得（2+m2）y2+2mty+t2﹣8=0…①，设M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=﹣，y1y2=，x1x2=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2=，所以k OM k ON===﹣，得t2=2m2+4，=|t||y1﹣y2|==又S△MON===2，即△MON的面积为定值2…21．已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当t≥1时，不等式f（2t﹣1）≥2f（t）﹣3恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）根据a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，得到t=1时，不等式显然恒成立，当t＞1时，问题转化为，在t＞1上恒成立，令，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：（1），令g（x）=2x2+2x+a，判别式为：△=4﹣8a，①：当△=4﹣8a≤0，得，此时g（x）≥0，从而f'（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．②：当△=4﹣8a＞0，即，令g（x）=2x2+2x+a=0，得方程的根（舍去），，若a＜0，此时x2＞0，g（x）＞0，得，由g（x）＜0，得，∴f（x）在上单调递增，在单调递减，若，此时g（x）=2x2+2x+a的对称轴为，g（0）=a＞0，∴g（x）＞g（0）=a＞0，从而f（x）在（0，+∞）上单调递增．综上：当a≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0，f（x）在上单调递增，单调递减．（2）由题意有（2t﹣1）2+2（2t﹣1）+aln（2t﹣1）≥2t2+4t+2alnt﹣3恒成立，即a[ln（2t﹣1）﹣2lnt]≥﹣2t2+4t﹣2，即a[ln（2t﹣1）﹣lnt2]≥2[（2t﹣1）﹣t2]恒成立，当t=1时，不等式显然恒成立，当t＞1时，t2﹣（2t﹣1）=（t﹣1）2＞0，所以t2＞2t﹣1，则lnt2＞ln（2t﹣1），于是，在t＞1上恒成立，令，设A（t2，lnt2），B（2t﹣1，ln（2t﹣1）），则，且A，B两点在y=lnx的图象上，又t2＞1，2t﹣1＞1，故0＜k AB＜y'|x=1=1，所以，故a≤2为所求．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．已知曲线C在直角坐标系xOy下的参数方程为（θ为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的极坐标方程是ρcos（θ﹣）=3，射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点，与直线l交于B，求线段AB的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开利用互化公式即可得出极坐标方程．（II）射线OT：θ=（ρ＞0）分别与曲线C，直线l的极坐标方程联立解出交点坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（θ为参数），消去参数化为：（x﹣1）2+y2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2=0，化为极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2=0．（II）联立，化为：ρ2﹣ρ﹣2=0，ρ＞0，解得ρ=2．射线OT：θ=（ρ＞0）与曲线C交于A点．联立，解得ρ=6，射线OT：θ=（ρ＞0）与直线l交于B，∴线段AB的长=6﹣2=4．23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c=M，求证： +≥1．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解答】解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|=5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M=4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c=4，即 [（a+b）+（b+c）]=1∴+= [（a+b）+（b+c）]（+）=（1+1++）≥（2+2）≥×4=1，当且仅当=即a+b=b+c=2，即a=c，a+b=2时，取等号．∴+≥1成立．2017年3月15日。
2017年广西高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（）A．{2，5}B．（6，+∞）C．（0，5） D．（1，5）2．复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i3．设a=log25，b=log26，，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c4．设向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），则λ+x 的值是（）A．﹣B．C．﹣D．5．已知tanα=3，则等于（）A．B．C．D．26．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．2 C．D．07．将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f（）=D．f（x）的图象关于（，0）对称8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（）A．94 B．99 C．45 D．2039．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C 两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（）A．33 B．35 C．37 D．3911．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8π B． +8π C．16+8πD． +16π12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，e]B．[，+∞）C．[，e]D．[，]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（x﹣1）7的展开式中x2的系数为．14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为．15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O表面积的最小值为．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为平万千米．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记a n表示第n排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列{2n•a n}的前20项的和为S20，求log2S20﹣log220的值．18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X 的分布列及数学期望．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．20．如图，F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．21．已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．2017年广西高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．下列集合中，是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（）A．{2，5}B．（6，+∞）C．（0，5） D．（1，5）【考点】子集与真子集．【分析】求解二次不等式化简A，然后可得集合A的真子集．【解答】解：因为A={x|x2＜5x}={x|0＜x＜5}，所以是集合A={x|x2＜5x}的真子集的是（1，5）．故选：D．2．复数的实部与虚部分别为（）A．7，﹣3 B．7，﹣3i C．﹣7，3 D．﹣7，3i【考点】复数的基本概念．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z得答案．【解答】解：=，∴z的实部与虚部分别为7，﹣3．故选：A．3．设a=log25，b=log26，，则（）A．c＞b＞a B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．a＞b＞c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数、指数函数的性质直接求解．【解答】解：∵log24=2＜a=log25＜b=log26＜log28=3，=3，∴c＞b＞a．故选：A．4．设向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），若+=λ（λ∈R），则λ+x 的值是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标运算与向量相等，列出方程组求出λ和x的值，即可求出λ+x的值．【解答】解：向量=（1，2），=（﹣3，5），=（4，x），∴+=（﹣2，7），又+=λ（λ∈R），∴，解得λ=﹣，x=﹣14；∴λ+x=﹣﹣14=﹣．故选：C．5．已知tanα=3，则等于（）A．B．C．D．2【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式化弦为切，即可计算得解．【解答】解：∵tanα=3，∴===．故选：B．6．设x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．B．2 C．D．0【考点】简单线性规划．【分析】首先画出可行域，根据事情是区域内的点与原点连接的直线的斜率的最大值，求之即可．【解答】解：由已知得到可行域如图：则表示区域内的点与原点连接的直线的斜率，所以与C连接的直线斜率最大，且C（2，3），所以的最大值为；故选：A．7．将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）的图象，则（）A．f（x）=﹣sin2x B．f（x）的图象关于x=﹣对称C．f（）=D．f（x）的图象关于（，0）对称【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用诱导公式、y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．【解答】解：将函数y=cos（2x+）的图象向左平移个单位后，得到f（x）=cos[2（x+）+]=cos（2x+）=﹣sin（2x+）的图象，故排除A；当x=﹣时，f（x）=1，为最大值，故f（x）的图象关于x=﹣对称，故B正确；f（）=﹣sin=﹣sin=﹣，故排除C；当x=时，f（x）=﹣sin=﹣≠0，故f（x）的图象不关于（，0）对称，故D错误，故选：B．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x=2，n=4，则输出的s等于（）A．94 B．99 C．45 D．203【考点】程序框图．【分析】输入x和n的值，求出k的值，比较即可．【解答】解：第一次运算：s=2，s=5，k=2；第二次运算：s=5+2=7，s=16，k=3；第三次运算：s=16+3=19，s=41，k=4；第四次运算：s=41+4=45，s=94，k=5＞4，输出s=94，故选：A．9．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C 两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，故选D．10．2015年年岁史诗大剧《芈月传》风靡大江南北，影响力不亚于以前的《甄嬛传》．某记者调查了大量《芈月传》的观众，发现年龄段与爱看的比例存在较好的线性相关关系，年龄在[10，14]，[15，19]，[20，24]，[25，29]，[30，34]的爱看比例分别为10%，18%，20%，30%，t%．现用这5个年龄段的中间值x代表年龄段，如12代表[10，14]，17代表[15，19]，根据前四个数据求得x关于爱看比例y的线性回归方程为，由此可推测t的值为（）A．33 B．35 C．37 D．39【考点】线性回归方程．【分析】计算前四组数据的平均数，代入线性回归方程求出k的值，再由回归直线方程求出x=32时的值即可．【解答】解：前四组数据的平均数为，=×（12+17+22+27）=19.5，=×（10+18+20+30）=19.5，代入线性回归方程=kx﹣4.68，得19.5=k×19.5﹣4.68，解得k=1.24，∴线性回归方程为=1.24x﹣4.68；当x=32时，=1.24×32﹣4.68≈35，由此可推测t的值为35．故选：B．11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A． +8π B． +8π C．16+8πD． +16π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是下面为半圆柱体、上面为四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式即可求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是下面为半个圆柱、上面为一个四棱锥的组合体，且四棱锥的底面是俯视图中小矩形的两条边分别是2、4，其中一条侧棱与底面垂直，高为2，圆柱的底面圆半径为2、母线长为4，所以该几何体的体积为V=×2×4×2+×π×22×4=+8π．故选：A．12．已知定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[2，e]B．[，+∞）C．[，e]D．[，]【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】由条件利用函数的奇偶性和单调性，可得0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax﹣lnx，则由g′（x）=a﹣=0，求得x=．分类讨论求得g（x）的最大值和最小值，从而求得a的范围．【解答】解：∵定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上递减，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若不等式f（﹣ax+lnx+1）+f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，则2f（ax﹣lnx﹣1）≥2f（1）对x∈[1，3]恒成立，即f（ax﹣lnx﹣1）≥f（1）对x∈[1，3]恒成立．∴﹣1≤ax﹣lnx﹣1≤1 对x∈[1，3]恒成立，即0≤ax﹣lnx≤2对x∈[1，3]恒成立．令g（x）=ax﹣lnx，则由g′（x）=a﹣=0，求得x=．①当≤1，即a＜0 或a≥1时，g′（x）≥0在[1，3]上恒成立，g（x）为增函数，∵最小值g（1）=a≥0，最大值g（3）=3a﹣ln3≤2，∴0≤a≤，综合可得，1≤a≤．②当≥3，即0＜a≤时，g′（x）≤0在[1，3]上恒成立，g（x）为减函数，∵最大值g（1）=a≤2，最小值g（3）=3a﹣ln3≥0，∴≤a≤2，综合可得，a无解．③当1＜＜3，即＜a＜1时，在[1，）上，g′（x）＜0恒成立，g（x）为减函数；在（，3]上，g′（x）＞0恒成立，g（x）为增函数．故函数的最小值为g（）=1﹣ln，∵g（1）=a，g（3）=3a﹣ln3，g（3）﹣g （1）=2a﹣ln3．若2a﹣ln3＞0，即ln＜a＜1，∵g（3）﹣g（1）＞0，则最大值为g（3）=3a ﹣ln3，此时，由1﹣ln≥0，g（3）=3a﹣ln3≤2，求得≤a≤，综合可得，ln＜a＜1．若2a﹣ln3≤0，即＜a≤ln3=ln，∵g（3）﹣g（1）≤0，则最大值为g（1）=a，此时，最小值1﹣ln≥0，最大值g（1）=a≤2，求得≤a≤2，综合可得≤a≤ln．综合①②③可得，1≤a≤或ln＜a＜1或≤a≤ln，即≤a≤，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（x﹣1）7的展开式中x2的系数为﹣21．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．=，令7﹣r=2，解得r=5．【解答】解：通项公式T r+1∴（x﹣1）7的展开式中x2的系数为﹣=﹣21．故答案为：﹣21．14．已知曲线C由抛物线y2=8x及其准线组成，则曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为4．【考点】抛物线的简单性质．【分析】分别求出抛物线y2=8x及其准线与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数，即可得到结论．【解答】解：圆的圆心坐标为（﹣3，0），半径为4，抛物线的顶点为（0，0），焦点为（2，0），所以圆（x+3）2+y2=16与抛物线y2=8x的交点个数为2．圆心到准线x=﹣2的距离为1，小于半径，直线与圆有两个交点，综上所述，曲线C与圆（x+3）2+y2=16的交点的个数为4．故答案为：4．15．若体积为4的长方体的一个面的面积为1，且这个长方体8个顶点都在球O 的球面上，则球O表面积的最小值为18π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，可得c=4，长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，求出直径的最小值，即可求出球O表面积的最小值．【解答】解：设长方体的三度为a，b，c，则ab=1，abc=4，∴c=4．长方体的对角线的长度，就是外接球的直径，所以2r=≥=3，当且仅当a=b时，r的最小值为，所以球O表面积的最小值为：4πr2=18π．故答案为：18π．16．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步，欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为21平万千米．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】由题意画出图象，并求出AB、BC、AC的长，由余弦定理求出cosB，由平方关系求出sinB的值，代入三角形的面积公式求出该沙田的面积．【解答】解：由题意画出图象：且AB=13里=6500米，BC=14里=7000米，AC=15里=7500米，在△ABC中，由余弦定理得，cosB===，所以sinB==，则该沙田的面积：即△ABC的面积S===21000000（平方米）=21（平方千米），故答案为：21．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．某体育场一角的看台共有20排座位，且此看台的座位是这样排列的：第一排由2个座位，从第二排起每一排都比前一排多1个座位，记a n表示第n排的座位数．（1）确定此看台共有多少个座位；（2）设数列{2n•a n}的前20项的和为S20，求log2S20﹣log220的值．【考点】数列的求和．【分析】（1）由题意可得数列{a n}为等差数列，根据等差数列通项公式即可求得a n=2+（n﹣1）=n+1，（1≤n≤20），由此看台共有座位个数为S20，由等差数列前n项和公式即可求得S20．（2）由（1）可知2n•a n=（n+1）•2n，利用“错位相减法”即可求得数列{2n•a n}的前20项的和为S20，代入根据对数的运算性质即可求得log2S20﹣log220的值．【解答】解：（1）由题意可得数列{a n}为等差数列，首项a1=2，公差d=1，∴a n=2+（n﹣1）=n+1，（1≤n≤20），∴由等差数列前n项和公式可知：此看台共有S20===230；（2）由2n•a n=（n+1）•2n，数列{2n•a n}的前20项和S20=2•2+3•22+4•23+…+21•220，∴2S20=2•22+3•23+4•24+…+21•221，两式相减得：﹣S20=2•2+22+23+…+220﹣21•221，=2+﹣21•221，=﹣20•221，∴S20=20•221，log2S20﹣log220=log220•221﹣log220=log220+log2221﹣log220=21．∴log2S20﹣log220=21．18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）=．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B．【解答】解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B.，．所以X的分布列为：故（或）．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形，∠ACC1=∠CC1B1=60°，AC=2．（1）求证：AB1⊥CC1；（2）若AB1=3，A1C1的中点为D1，求二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，由此能证明CC1⊥AB1．（2）分别以OB1，OC1，OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣AB1﹣D1的余弦值．【解答】证明：（1）连结AC1，则△ACC1，△B1C1C都是正三角形，取CC1中点O，连结OA，OB1，则CC1⊥OA，CC1⊥OB1，∵OA ∩OB 1=O ，∴CC 1⊥平面OAB 1， ∵AB 1⊂平面OAB 1，∴CC 1⊥AB 1． 解：（2）由（1）知OA=OB 1=3，又AB 1=3，∴OA 2+OB 12=AB 12，∴OA ⊥OB 1，OA ⊥平面B 1C 1C ，如图，分别以OB 1，OC 1，OA 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则C （0，﹣，0），B 1（3，0，0），A （0，0，3），C 1（0，，0），A 1（0，2，3），D 1（0，，），设平面CAB 1的法向量=（x ，y ，z ），∵=（3，0，﹣3），=（1，﹣，1），∴，取x=1，得=（），设平面AB 1D 1的法向量=（a ，b ，c ），∵=（0，，﹣），=（﹣3，，），∴，取b=1，得=（），∴cos ＜＞===，由图知二面角C ﹣AB 1﹣D 1的平面角为钝角，∴二面角C ﹣AB 1﹣D 1的余弦值为﹣．20．如图，F 1，F 2为椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点，D ，E 是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（，）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试探讨△AOB的面积S是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的标准方程．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，当直线AB的斜率不存在时，S=1．当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式能求出△ABC的面积为1．【解答】解：（1）∵F1，F2为椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，|F1F2|=2，|DE|=，∴，解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为=1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则P（，y1），Q（），由OP⊥OQ，即=0，（*）①当直线AB的斜率不存在时，S=|x1|×|y1﹣y2|=1．②当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，m≠0，联立，得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=16（4k2+1﹣m2），，同理，，代入（*），整理，得4k2+1=2m2，此时，△=16m2＞0，AB=|x1﹣x2|=，h=，∴S=1，综上，△ABC的面积为1．21．已知函数f（x）=4x2+﹣a，g（x）=f（x）+b，其中a，b为常数．（1）若x=1是函数y=xf（x）的一个极值点，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若函数f（x）有2个零点，f（g（x））有6个零点，求a+b的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求得函数y=xf（x）的导数，由极值的概念可得a=12，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；（2）求出f（x）的导数和单调区间，以及极值，由零点个数为2，可得a=3，作出y=f（x）的图象，令t=g（x），由题意可得t=﹣1或t=，即f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，由图象可得﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即可得到所求a+b的范围．【解答】解：（1）函数f（x）=4x2+﹣a，则y=xf（x）=4x3+1﹣ax的导数为y′=12x2﹣a，由题意可得12﹣a=0，解得a=12，即有f（x）=4x2+﹣12，f′（x）=8x﹣，可得曲线在点（1，f（1））处的切线斜率为7，切点为（1，﹣7），即有曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y+7=7（x﹣1），即为y=7x﹣14；（2）由f（x）=4x2+﹣a，导数f′（x）=8x﹣，当x＞时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＜0或0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）递减．可得x=处取得极小值，且为3﹣a，由f（x）有两个零点，可得3﹣a=0，即a=3，零点分别为﹣1，．令t=g（x），即有f（t）=0，可得t=﹣1或，则f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b，由题意可得f（x）=﹣1﹣b或f（x）=﹣b都有3个实数解，则﹣1﹣b＞0，且﹣b＞0，即b＜﹣1且b＜，可得b＜﹣1，即有a+b＜2．则a+b的范围是（﹣∞，2）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x﹣）2+（y+1）2=9，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线OP：θ=（p∈R）与圆C交于点M，N，求线段MN的长．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用直角坐标方程化为极坐标方程的方法，求圆C的极坐标方程；（2）利用|MN|=|ρ1﹣ρ2|，求线段MN的长．【解答】解：（1）（x﹣）2+（y+1）2=9可化为x2+y2﹣2x+2y﹣5=0，故其极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0．…（2）将θ=代入ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣5=0，得ρ2﹣2ρ﹣5=0，∴ρ1+ρ2=2，ρ1ρ2=﹣5，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|==2．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x+2|﹣|2x﹣1|，M为不等式f（x）＞0的解集．（1）求M；（2）求证：当x，y∈M时，|x+y+xy|＜15．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，求出M的范围即可；（2）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（1）f（x）=，当x＜﹣2时，由x﹣3＞0得，x＞3，舍去；当﹣2≤x≤时，由3x+1＞0得，x＞﹣，即﹣＜x≤；当x＞时，由﹣x+3＞0得，x＜3，即＜x＜3，综上，M=（﹣，3）；（2）证明：∵x，y∈M，∴|x|＜3，|y|＜3，∴|x+y+xy|≤|x+y|+|xy|≤|x|+|y|+|xy|=|x|+|y|+|x||y|＜3+3+3×3=15．2017年3月23日。
