邓肯-张模型公式推导 高土

可编辑修改精选全文完整版3.Duncan-Chang 模型参数的确定实验目的：Duncan 双曲线模型是一种建立在增量广义虎克定律基础上的非线性弹性模型，它在岩土工程界为人们所熟知和广泛应用。

这一类模型可以反映应力应变关系的非线性，参数的物理意义明确和易于确定， 本实验通过对不同围压的控制来模拟模型并确定其参数。

实验原理：点绘()a εσσ~31-曲线，如图3－1所示，Kondner 等人发现，可以用双曲线来拟和这些曲线。

对某一3σ，()a εσσ~31-关系可表示成：aab a εεσσ+=-31 （3－1）渐近线σ3＝常量E iE tσ1-σ3(σ1-σ3)uεa 0εa /(σ1-σ3)uεa ba图 3－1 ()a εσσ~31-关系曲线 图3－2 ()a a εσσε--31/关系曲线式中：a 和b 为试验常数。

上式也可以写成：a ab a εσσε+=-31 (3－2)以()31/σσε-a 为纵坐标，a ε为横坐标，构成新的坐标系，则双曲线转换成直线。

见图3－2。

其斜率为b ，截距为a 。

有增量广义虎克定律，如果只沿某一方向，譬如Z 方向，给土体施加应力增量ΔZσ，而保持其他方向的应力不变，可得：E zx σεΔΔ=(3－3) Ev zx σεΔΔ-= （3－4）则 xzE εσΔΔ= （3－5）zxv εεΔΔ-= （3－6）邓肯和张利用上述关系推导出弹性模量公式。

由式（3－5）得：()()aa E εσσεσσεσ∂-∂=-==313111ΔΔΔ （3－7）由此可见虎克定律中所用的弹性模量实际上是常规三轴试验()a εσσ~31-曲线的切线斜率。

这样的模量叫做切线弹性模量，可用t E 表示，见图3-1。

将式（3－1）代入式（3－7），得到：()2a tb a aE ε+= （3－8）由式（3－2）可得：ba a --=311σσε （3－9）式（3－9）代入式（3－8），得： ()[]23111σσ--=b a E t （3－10）由式（3－2）可得：当0→a ε时31→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a aa εσσε（3－11）而双曲线的初始切线模量i E 为： 031→⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=a a i E εεσσ （3－12） 见图3－1。

ANSYS土工结构计算案例ANSYS－CHINA广州办事处9:00 AM目录计算题目及计算要求说明 (1)题目一 (4)一、计算说明 (4)二、计算所用ANSYS邓肯－张的E－B模型说明 (5)三、计算有限元模型及计算结果 (6)题目二 (7)一、用三维有限元模型计算 (7)二、用三维有限元模型计算 (8)题目三 (10)一、计算说明 (10)二、计算有限元模型及边界条件 (10)三、强夯地基固结计算 (10)题目四 (17)一、计算说明 (17)二、计算几何模型和有限元模型 (17)三、计算结果 (18)1、计算边界条件 (18)2、计算结果 (19)3、结论 (20)计算题目及计算要求说明题目一：高桩码头桩基与岸坡相互作用的线性有限元和非线性有线元分析题目二：大圆筒结构、波浪与地基的相互作用分析（大圆筒作为重力式码头结构，波浪为水平动荷载，门吊为竖向动荷载,地基为三层以上地基包括自抛碎石垫层、粘土层、粉细砂层和岩层，粉细砂层可能在波浪动荷载作用下液化造成圆筒倾覆）题目三:（冲击荷载下）强夯地基固结有限元分析(提供固结方程或固结方程处理方案,孔隙水压力消散计算方案、沉降计算方案及其他一些处理技巧）题目四：在降雨情况下土工格栅加筋土挡墙边坡上公路稳定分析（由上至下为公路面层，垫层,挡墙，挡墙面板采用预制混凝土块0.6⨯0。

6⨯0.6m3,混凝土后方为钩挂式土工格栅，边坡比较陡，边坡有一定排水特性）。

具体处理方案包括：1、提供计算输入界面2、计算模型或采用本构情况3、前处理方案及网格划分技巧4、特殊材料或模型嵌入技术5、计算技巧及解决方案6、后处理提供内容具体报价方案包括:进行简单报价，涉及以上题目的各模块的综合报价（包括前后处理及解决以上问题的结构与岩土问题的模块报价。

能用通用模块计算尽量用通用模块,必须用CivilFEM模块计算的请注明.提供解决方案时间：2005年5月18日之前。

题目一高桩码头桩基与岸坡相互作用的线性有限元和非线性有线元分析一、计算说明高桩码头桩基与岸坡相互作用的线性有限元和非线性有线元分析，可以用空间有限元模型或平面有限元模型数值求解。

研究生课程作业邓肯张模型参数计算学生姓名李俊学科专业岩土工程学号201420105614任课教师周小文教授作业提交日期2014年12月1．计算轴向应变ch h∆∑=1ε式中 1ε－轴向应变；h ∆∑－固结下沉量，由轴向位移计测得0h －土样初始高度c h —按实测固结下沉的试样高度c h ∆—试样固结下沉量2．计算按实测固结下沉的试样高度，面积：式中 Ac －按实测固结下沉的试样面积0V －土样初始体积3．计算剪切过程中试样的平均面积：式中 a A －剪切过程中平均断面积c V －按实测固结下沉的试样的体积i V ∆－排水剪中剪切时的试样体积变化 按体变管或排水管读数求得1h ∆－固结下沉量，由轴向位移计测得 3. 计算主应力差cic h V V A ∆-=01h h V V A c i c a ∆-∆-=Cc c A h V ⨯=1031⨯=-aA CR σσ 式中 31σσ- － 主应力差 1σ―大主应力 3σ－小主应力 C －测力计率定系数 R －测力计读数2 数据处理2.1 3σ=100kPa 数据初步计算当3σ=100kPa 时，各数据初步计算如表1所示。

围压100kPa 数据初步计算表 表12.1.1 由切线模量计算数据 对公式)(311σσε-=a +b 1ε进行直线拟合，如图1所示。

图11131/()~εσσε-拟合曲线 a =0.0002，1i E a==5000kPa b ==0.0028，()131ult bσσ-==263.16kPa ()13f σσ-=204.26kPa ，()()1313f fultR σσσσ-=-=0.77622.1.2 由泊松比计算数据对公式()313/f D εεε-=+-进行直线拟合，如图2所示。

图2 313/~εεε--拟合曲线f=i ν=0.2122 D=2.72972.2 3σ=200kPa 数据初步计算当3σ=200kPa 时，各数据初步计算如表2所示。

土体邓肯—张非线性弹性模型参数反演分析土壤是一种自然界中拥有各种复杂性质的混合性介质，具有不同程度的弹性行为。

这一性质与土壤结构、特性有关，可以表现为弹性参数，而这些参数的准确估计，对于土体力学的研究和应用至关重要。

传统的方法，通常是在实验室对土样进行各种测试，以获得其参数。

但是，这种方法的弊端包括检测手段的局限性、实验现场偏差等，因此，这种方法往往会出现一定的偏差，从而影响土体力学分析结构的准确性。

为了解决这一问题，很重要的一个方法是通过反演分析来估计弹性参数，其主要思想是利用测量到的数据，拟合出一个统一的弹性模型，从而得出弹性参数，从而获得准确的弹性参数估计值。

以邓肯张非线性弹性模型为例，它是一种单质点弹性模型，通常用于描述土壤（和其他各种介质）的弹性行为。

由于弹性建模的复杂性和模型参数对反演分析的影响，反演分析也就显得愈发重要。

一般来说，针对邓肯张模型，使用最小二乘反演分析方法时，必须假设材料的弹性参数是常量，只有这样，才能够获得较为合理的结果。

而这种准确性的提高，就得益于反演分析。

在反演分析研究中，有许多不同的算法，如模糊度法、遗传算法、模糊C步骤径向基函数神经网络法等。

它们的差别在于根据测量结果拟合出的模型参数是否满足实际情况，以及最终估计出的模型参数与实际参数之间的误差大小。

在实践中，一般情况下，遗传算法在速度和准确性方面都优于其他算法。

实际中，反演分析对于统计混合性土壤的参数估计有广泛的应用，如获得土壤弹性模型参数，应用于基坑和隧道开挖预测，以及应用于混凝土桩变形和结构衰减等。

反演分析的分析结果反映的是弹性参数的变化规律，为实际工程中的土体力学分析和设计提供了更为准确的依据。

因此，针对土体邓肯张非线性弹性模型参数反演分析，除了使用常规的测试实验方法外，还可以使用反演分析方法，这样就可以更好地获得土体的弹性参数，从而提高研究的准确性。

当掌握反演分析的原理，并使用正确的算法时，反演分析对估计弹性参数有很大的帮助，它为土体力学的研究和应用开辟了一条崭新的道路。

邓肯-张E-μ模型的改进沈广军【摘要】针对邓肯-张E-μ模型体变经验公式不能准确描述三轴剪切试验体积变形与轴向变形之间关系的问题,首先进行了粗粒土饱和样大型三轴剪切试验,并对试验结果进行了分析,提出了可以准确描述三轴剪切试验体积变形与轴向变形之间关系的体变经验公式,然后利用其他试验数据对该体变经验公式进行了验证,证明了该体变经验公式的通用性,最后基于该体变经验公式对邓肯-张E-μ模型进行了改进,提出了一种新的E-μ模型.【期刊名称】《河海大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(038)001【总页数】6页(P109-114)【关键词】土体;三轴试验;邓肯-张E-μ模型;体变经验公式【作者】沈广军【作者单位】河海大学岩土工程科学研究所,江苏,南京,210098【正文语种】中文【中图分类】TU411.3随着高土石坝、高速公路、高速铁路等工程的不断兴建,粗粒土的力学性质和本构模型成为岩土工程研究的一个重要课题.从土力学创立以来,已经建立了很多各具特色的本构模型,其中邓肯-张E-μ模型[1]由于形式简单且参数易于确定而在工程中得到了广泛应用.然而,很多试验数据表明,邓肯-张E-μ模型侧向应变-εr与轴向应变εa呈双曲线关系的假定常常并不满足.于是,Daniel等[2-5]提出了一些改进模型(包括Duncan等[5]提出的体积模量代替弹性模量的邓肯E-B模型).笔者通过分析发现,这些改进模型也不能很好地描述实际三轴剪切变形情况.为此,笔者进行了粗粒土饱和样大型三轴剪切试验,并通过对试验结果的分析,提出了可以准确描述三轴剪切试验体积变形与轴向变形之间关系的体变经验公式,在验证了该体变经验公式通用性的基础上,提出了一种改进的E-μ模型.为了研究粗粒土应力与应变之间的关系,笔者采用干密度为2.0g/cm3的砂岩粗粒料进行了饱和样等围压大型三轴排水剪切试验.试验仪器采用河海大学岩土工程科学研究所和长春朝阳仪器厂联合研制的LSW-1000型大型三轴流变仪,试样尺寸为∅300mm×600mm,最大允许粒径60mm,试验结果如图1(a)所示(其中:σ1表示第1主应力;σ3表示第3主应力).将试验得到的体积变形εv与轴向变形εa的关系通过εr=(εv-εa)/2变换成-εr与εa的关系,如图 1(b)所示.从图1(b)可以看出,试验-εr与εa之间并不呈很好的双曲线关系.如果-εr与εa之间呈很好的双曲线关系(即邓肯-张E-μ模型-εr与εa双曲线关系成立),则它们之间的关系可表示为式中f和D为参数.将式(1)变为按照式(2),-εr/εa与-εr的关系应为一直线.然而,笔者试验得出的-εr/εa与-εr并不存在很好的线性关系(图1(c)),且 f和D的规律性也不是很好.由此可以看出,邓肯-张E-μ模型-εr与εa之间呈双曲线关系的假定存在较大误差.由于-εr与εa之间的关系用双曲线拟合存在较大误差且参数规律性不是很好、参数不易确定,因此有必要对其进行改进.笔者经过研究发现,用可以很好地描述-εr与εa之间的关系.将式(3)变为式中:f′——直线的截距;D′——直线的斜率.将体变与轴变的关系变换成-εr/εa与的关系,如图1(d)所示.从图1(d)可以看出,同一围压时的-εr/εa与基本呈直线关系,-εr/εa计算与试验结果误差也较小,一般小于0.03.这说明式(4)能很好地描述试验结果.各围压时-εr与εa关系的拟合效果如图1(e)所示.从图1(e)可以看出,用-εr=f′εa+D′可以很好地描述-εr与εa之间的关系.从图1(a)可以看出,D′与围压σ3有关,随着σ3的增加而稍有增大,但不同围压之间D′的变化幅度不大,一般取同组试样不同围压下D′的平均值,不会产生太大误差,这里取同组试样不同围压下D′的平均值.不同围压下f′与lg(σ3/pa)的关系如图1(f)所示.由图1(f)可以看出,f′与lg(σ3/pa)呈线性关系,可以表示为式中:G′,F′——参数;pa——大气压力.利用式(3)及其参数并根据该试验条件所得计算结果如图1(g)实线所示.从图1(g)可以看出,式(3)能很好地描述实际土体体变规律,能准确地拟合试验结果,能同时准确地描述粗粒土低围压时的剪胀变形和高围压时的剪缩变形.为了对计算结果与试验结果进行比较,将邓肯-张E-μ模型体变经验公式计算结果、本文体变经验公式计算结果和试验结果统一用-εr/εa与εa关系曲线表示,如图1(h),(i),(j)所示.从图1(i),(j)可以看出:邓肯-张E-μ模型体变经验公式计算得到的-εr/εa在εa较小(即应力水平较小)时偏大,在εa特别大(即应力水平特别大)时明显偏大,而且偏大很多;本文体变经验公式计算结果介于邓肯-张E-μ模型体变经验公式计算结果与试验结果之间,且更贴近试验结果.由此可以看出,本文体变经验公式优于邓肯-张E-μ模型体变经验公式,能更好地描述实际变形规律.为了验证本文体变经验公式的通用性,对50组不同土体的等围压三轴排水、排气剪切试验数据(包括笔者进行的粗粒土风干样和饱和样剪切试验数据,双江口坝壳花岗岩粗粒料风干样、饱和样大型三轴排水(排气)剪切试验数据[6],小浪底堆石料干样、饱和样剪切试验数据[7],干密度为1.45g/cm3的横山坝壳砂砾料饱和样三轴排水剪切试验数据[8],干密度为1.54g/cm3的砂干样、饱和样排水(排气)剪切试验数据[9],三峡二期围堰复合料和垫层料三轴剪切试验数据[10],铁山坝斜墙黏性土三轴排水剪切试验数据[11]等)进行了分析.分析结果表明,本文体变经验公式计算结果与试验结果吻合较好,本文体变经验公式能在较大应变范围内准确描述土体随应力水平增加而变形由体缩向体胀发展的过程,能准确描述粗粒土在低围压下随应力水平增加而先剪缩后剪胀变形、高围压下随应力水平增加而一直剪缩变形,细粒土在低围压下随应力水平增加而一直剪胀变形、高围压下随应力水平增加而一直剪缩变形的过程.由于所有验证结果基本一样,这里仅给出2种验证结果.采用干密度为2.078g/cm3的双江口坝壳花岗岩粗粒土饱和样大型三轴排水剪切试验数据(图2(a))[6]对本文体变经验公式进行验证.将试验数据整理成-εr/εa～关系曲线,如图2(b)所示.从图2(b)可以看出,-εr/εa与呈很好的线性关系.将其表示成-εr/εa=f′+D′,各个围压的D′相差不大,取其平均值D′=1.08.f′随着围压的增加而减小,将f′与lg(σ3/pa)的关系曲线绘出,如图2(c)所示.从图2(c)可以看出,f′与lg(σ3/pa)呈很好的线性关系,据此确定出的G′=0.425,F′=0.348.利用本文体变经验公式及其参数并根据该试验条件所得计算结果如图2(d)所示.从图2(d)可以看出,本文体变经验公式能很好地拟合试验结果.图2(e)比较了本文体变经验公式与邓肯-张E-μ模型体变经验公式的拟合效果.从图2(e)可以看出,本文体变经验公式优于邓肯-张E-μ模型体变经验公式.采用干密度为1.45g/cm3的横山坝壳砂砾料饱和样三轴排水剪切试验数据(图3(a))[8]对本文体变经验公式进行验证.将试验数据整理成-εr/εa～关系曲线,如图3(b)所示.从图3(b)可以看出,-εr/εa与呈很好的线性关系.将其表示成-εr/εa=f′+D′,各个围压的D′相差不大,取其平均值D′=1.30.f′随着围压的增加而减小,将 f与lg(σ3/pa)的关系曲线绘出,如图3(c)所示.从图3(c)可以看出,f与lg(σ3/pa)呈很好的线性关系,据此确定出的G′=0.028,F′=0.132.利用本文体变经验公式及其参数并根据该试验条件所得计算结果如图3(d)所示.从图3(d)可以看出,本文体变经验公式能很好地拟合试验结果.图3(e)比较了本文体变经验公式与邓肯-张E-μ模型体变经验公式的拟合效果.从图3(e)可以看出,本文体变经验公式优于邓肯-张E-μ模型体变经验公式.邓肯-张 E-μ模型为式中:c——黏聚力,非黏性土c=0;φ——摩擦角;φ0,Δφ——计算摩擦角的参数;(σ1-σ3)f——破坏时侧向抗压强度;Rf——破坏比;K,n,G,F,D ——试验常数.该模型主要参数c,φ(或φ0,Δφ),Rf,K,n,G,F 和D可通过三轴剪切试验确定.依据本文所提出的体变经验公式_对邓肯-张E-μ模型体变_经验公式进行改进,则可得到改进的E-μ模型式中G′,F′,D′为试验常数.由于虎克定律不能反映剪胀性,因此有必要限制μt的取值范围,故令μt≤0.49.a.本文分析得出的等围压三轴排水剪切试验-εr与εa呈-εr=f′εa+关系的结果对很多土体都非常适用.b.体变参量f′和D′规律性很好,且易于准确确定.c.利用本文体变经验公式及其参数预测得到的三轴排水剪切试验条件下的试验结果与实际试验结果吻合很好.d.本文所提出的体变经验公式明显优于邓肯-张E-μ模型体变经验公式.e.与邓肯-张E-μ模型相比,改进的E-μ模型参数更易准确确定,拟合效果更好. 【相关文献】[1]DUNCAN J M,CHANG C Y.Nonlinear analysis of stress and strain in soils[J].Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division,ASCE,1970,96(5):1629-1653.[2]DANIEL D E,OLSON R E.Stress-strain properties of compacted clays[J].Journal of the Geotechnical Engineering Division,ASCE,1974,100(10):1123-1136.[3]沈珠江.考虑剪胀性的土和石料的非线性应力应变模式[J].水利水运科学研究,1986(4):1-14.(SHEN Zhu-jiang.A nonlinear dilatant stress-strain mode for soil and rockmaterials[J].Hydro-science and Engineering,1986(4):1-14.(in Chinese))[4]司洪洋.确定土石坝坝壳料邓肯模型参数的几个问题[J].水力发电,1983(8):31-35.(SI Hong-yang.Several problems of determining the earth and rockfill dam parameter of duncan model[J].Water Power,1983(8):31-35.(in Chinese))[5]DUNCAN J M,BYRNE P,WONG K S,et al.Strength,tress-strain and bulk modulus parameters for FEA of stress and movements in soil masses,Report No.UCB/GT/80-01[R].California:California University,1980.[6]左永振.粗粒料的蠕变和湿化试验研究[D].武汉:长江科学院,2008.[7]李广信.干、湿状态的小浪底土坝堆石料的三轴试验研究[R].北京:清华大学,1988.[8]沈珠江,王剑平.横山水库土石坝有效应力应变分析[J].水利学报,1990(4):59-65.(SHEN Zhu-jiang,WANG Jian-ping.Effective stress and strain analysis of Hengsan reservoir earth-rock dam[J].Journal of Hydraulic Engineering,1990(4):59-65.(in Chinese))[9]沈珠江,左元明.坝壳砂砾料的浸水变形特性的测定[R].南京:南京水利科学研究院,1986.[10]张嘎,张建民.粗颗粒土的应力应变特性及其数学描述研究[J].岩土力学,2004,25(10):1587-1591.(ZHANG Ga,ZHANG Jian-min.Study on behavior of coarse grained soil and its modeling[J].Rock and Soil Mechanics,2004,25(10):1587-1591.(in Chinese))[11]谢晓华,沈珠江.土石坝计算中非线性模型的改进[J].水利水运工程学报,1988(3):43-55.(XIE Xiao-hua,SHEN Zhu-jiang.Modification of nonlinear model in the stress-strain analysis of earth and rockfill dam[J].Hydro-science and Engineering,1988(3):43-55.(in Chinese))。

邓肯-张EB模型参数求解的二次优化法陈立宏【摘要】邓肯-张非线性弹性模型是土石坝工程中最常用的本构模型.水利行业《土工试验规程》中根据应力水平75％和90％两点法进行计算时,得到的结果往往并不合理,有时n值还可能出现负数.一般的适线法仅仅对单个试样结果进行优化,而并不是针对整组试验结果,因此无法得到最优结果.提出了一种二步优化的参数计算方法,首先对每级围压下单个试样的试验成果采用适线法优化,得到每级围压下的参数a、b.在此基础上,计算得到参数K、n、Rf的初值.然后以邓肯-张理论为基础,根据获得的参数初值针对整组试验成果进行二次优化,以理论计算与试验的应力应变曲线差的平方和最小为目标函数,从而得到EB模型的主要参数.该方法简单实用,能够快速和准确地获得邓肯-张模型参数,并结合糯扎渡大坝堆石料三轴试验数据,对方法进行了验证.%Duncan-Chang nonlinear elastic constitutive model is the most used one in embankment dam engineering.The Specification of Soil Test in hydraulic industry proposes a computational method based on the values of two points from the stress-axial strain curve of the triaxial testing results.The stress levels of these two points are 75％ and 90％respectively.However the proposed method cannot obtain reasonable results all the times,and sometimes even the parameter n maybe negative.Curve fitting methods make some progress,but still could not gain the optimal value for the parameters because these methods only based on single sample result.A two step optimization method for acquiring the optimal values of Duncan-Chang model is presented herein.First,the traditional curve fitting method is adopted to obtain thevalues of parameters a and b under each confining pressure.Then the parameters K,n and Rf are ing these parameters as initial values,a second optimization procedure is carried out to fit all the resultsof triaxial test to gain the parameters of Duncan-Chang model,in which,the minimum square sum of the differences of stress and strain curves of theoretical calculation and experiment is taken as the objectivefunction.The method is simple and practical,and can quickly and accurately obtain the parameters of DuncanZhang model.The method is validated based on the triaxial test data of Nuozhadu Dam.【期刊名称】《水力发电》【年(卷),期】2017(043)008【总页数】5页(P52-55,75)【关键词】堆石料;邓肯-张模型;优化方法;土石坝【作者】陈立宏【作者单位】北京交通大学土建学院,北京100044【正文语种】中文【中图分类】TU413堆石料作为高土石坝工程的主体填料,其工程特性和本构模型参数一直为大家所关注。

邓肯－张模型是一个非线性本构模型，既然是一个本构模型，可想而之他反应的是应力与应变之间的关系。

说它是非线性的，那么反映应力应变关系的模量就不是一个常数Ｅ那么简单。

在介绍该模型之前，先要介绍一个概念，就是反映非线性关系的增量广义胡克定律： 1123()tt tv d d d d E E σεσσ=-+ （1） 1963年，康纳（Kondner ）根据大量土的三轴试验的应力应变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验13()~a σσε-曲线，即：13aaa b εσσε-=+ （2）其中，a 、b 为试验常数。

对于常规三轴压缩试验，1a εε=。

邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一种目前被广泛的增量弹性模型，一般被称为邓肯－张（Duncan-Chang ）模型。

在常规三轴压缩试验中，13aaa b εσσε-=+可以写成：1113a b εεσσ=+- （3）将常规三轴压缩试验的结果按1113~εεσσ-的关系进行整理，则二者近似成线性关系(见图1)。

其中，a 为直线的截距；b 为直线的斜率。

在常规三轴压缩试验中，由于230d d σσ==，所以切线模量为ε1/(σ1-σ3)1-σ3)ult图11113~εεσσ-线性关系图13211()()t d aE d a b σσεε-==+ （4） 在试验的起始点，10ε=，t i E E =，则：1i E a=，这表明a 表示的是在这个试验中的起始变形模量E i 的倒数。

如果1ε→∞，则： 131()ult bσσ-=（5） 由此可以看出b 代表的是双曲线的渐近线所对应的极限偏差应力13()ult σσ-的倒数。

在土的试样中，如果应力应变曲线近似于双曲线关系，则往往是根据一定的应变值（如115%ε=）来确定土的强度13()f σσ-，而不可能在试验中使1ε无限大，求取13()ult σσ-；对于有峰值点的情况，取1313()()f σσσσ-=-峰，这样1313()()f σσσσ--ult <。

以土的常三轴实验学习Duncan-Chang本构关系模型一、实验过程1、试样制备试验土样取自于南水北调焦作段一处工程，取回后，人工制成含水量15%的土体。

在实验制样过程中，由于含水量较高，所以在通过制样器后，土柱未能成型，于是在原来土样基础上，添加了较干的土，再在制样器侧壁涂抹凡士林。

最后制成高度7厘米，直径3.5厘米的土柱实验样品2、不固结不排水（UU）剪切试验试验是在土木工程学院深部矿井重点实验室进行的，试验装置如图1所示。

图1 常三轴实验仪主要试验步骤为(1)记录体变管的初始读数；(2)对试样加周围压力，并在周围压力下固结。

当孔隙水压力的读数接近零时，说明固结完成，记下排水管的读数；(3)开动马达，合上离合器，按0.0065%/min的剪切应变速率对试样加载。

按百分表读数为0，30，60，90，120，150，180，210，240，300，360，420，480，540，600，660，⋯，的间隙记读排水管读数和量力环量表读数，直到试样破坏为止。

二、邓肯张双曲线模型到目前为止，国内外学者提出的土体本构模型不计其数，但是真正广泛用于工程实际的模型却为数不多，邓肯-张模型为其中之一。

该模型是一种建立在增量广义虎克定律基础上的非线性弹性模型，可经反映应力～应变关系的非线性，模型参数只有８个，且物理意义明确，易于掌握，并可通过静三轴试验全部确定，便于在数值计算中运用，因而，得到了广泛地应用。

1、邓肯-张双曲线模型的本质邓肯-张双曲线模型的本质在于假定土的应力应变之间的关系具有双曲线性质，见图2（a)。

图2(a ） 12()~a σσε- 双曲线图2（b) 1131/()~εσσε-关系图2 三轴试验的应力应变典型关系理论图1963年，康纳（Kondner ）根据大量土的三轴试验的应力应变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验13()~a σσε-曲线，即aab a εεσσ+=-31 （1）其中，,a b 为试验常数。

邓肯-张模型公式推导 高土邓肯－张模型是一个非线性本构模型，既然是一个本构模型，可想而之他反应的是应力与应变之间的关系。

说它是非线性的，那么反映应力应变关系的模量就不是一个常数Ｅ那么简单。

在介绍该模型之前，先要介绍一个概念，就是反映非线性关系的增量广义胡克定律： 1123()tt tv d d d d E E σεσσ=-+ （1）1963年，康纳（Kondner ）根据大量土的三轴试验的应力应变关系曲线，提出可以用双曲线拟合出一般土的三轴试验13()~a σσε-曲线，即：13aaa b εσσε-=+（2）其中，a 、b 为试验常数。

对于常规三轴压缩试验，1a εε=。

邓肯等人根据这一双曲线应力应变关系提出了一种目前被广泛的增量弹性模型，一般被称为邓肯－张（Duncan-Chang ）模型。

在常规三轴压缩试验中，13aaa b εσσε-=+可以写成：1113a b εεσσ=+-（3）将常规三轴压缩试验的结果按1113~εεσσ-的关系进行整理，则二者近似成线性关系(见图1)。

其中，a 为直线的截距；b 为直线的斜率。

在常规三轴压缩试验中，由于230d d σσ==，所以切线模量为ε1/(σ1-σ3)-σ3)ult图11113~εεσσ-线性关系图13211()()t d aE d a b σσεε-==+ （4）在试验的起始点，10ε=，t i E E =，则：1i E a=，这表明a 表示的是在这个试验中的起始变形模量E i 的倒数。

如果1ε→∞，则：131()ult bσσ-=（5）由此可以看出b 代表的是双曲线的渐近线所对应的极限偏差应力13()ult σσ-的倒数。

在土的试样中，如果应力应变曲线近似于双曲线关系，则往往是根据一定的应变值（如115%ε=）来确定土的强度13()f σσ-，而不可能在试验中使1ε无限大，求取13()ult σσ-；对于有峰值点的情况，取1313()()f σσσσ-=-峰，这样1313()()f σσσσ--ult <。