4.2线性变换的矩阵

各种矩阵的概念矩阵是现代数学的一个基本概念，广泛应用于线性代数、微积分、概率论、统计学等领域。

它是由若干行和列组成的一个矩形阵列。

在这篇文章中，我将介绍矩阵的基本概念和一些常见的矩阵类型。

一、基本概念1.1 元素：矩阵中每个所在行列交叉点上的数称为元素。

常用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。

1.2 阶数：矩阵的行数和列数称为矩阵的阶数。

如果一个矩阵有m行n列，记作m×n的矩阵，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。

1.3 主对角线：一个方阵从左上角到右下角的斜线称为主对角线。

1.4 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。

二、特殊类矩阵2.1 方阵：行数和列数相同的矩阵称为方阵。

它可以表示线性变换、线性方程组等。

2.2 对称矩阵：主对角线两侧的元素相等的方阵称为对称矩阵。

如果一个矩阵A 满足A_ij=A_ji，其中A_ij表示第i行第j列的元素，A_ji表示第j行第i列的元素，则称矩阵A为对称矩阵。

2.3 反对称矩阵：主对角线上的元素为零，且A_ij=-A_ji的方阵称为反对称矩阵。

2.4 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为零的方阵称为单位矩阵，用I表示。

例如，3×3的单位矩阵是[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]。

2.5 对角矩阵：主对角线以外的元素全部为零的方阵称为对角矩阵。

例如，一个对角矩阵可以表示特定向量的缩放因子。

2.6 上三角矩阵：主对角线以下的元素全部为零的方阵称为上三角矩阵。

例如，一个上三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线上方。

2.7 下三角矩阵：主对角线以上的元素全部为零的方阵称为下三角矩阵。

例如，一个下三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线下方。

三、矩阵运算3.1 矩阵的加法：相同阶数的两个矩阵相加，只需将对应位置上的元素相加。

3.2 矩阵的数乘：一个矩阵中的每个元素都乘以一个常数，结果仍然是一个矩阵。

线性变换的矩阵
1. 什么是线性变换
线性变换是指，将一个空间（原空间）中的数据点通过一种特定
的方式变换到另一个空间（目标空间）中的过程。

例如，一个空间中
的三维坐标点可以通过适当的变换被转换为另一个空间的二维坐标点。

线性变换可以使用数学方法描述，其中一种常用的方法是使用矩阵表示。

2. 线性变换的矩阵
矩阵是一种结构，用来表示线性变换。

其中，每一行和每一列分
别代表着原空间中的特征向量，矩阵中的元素则描述了这些特征向量
之间的线性关系。

当选定某种变换时，使用这些元素数值就可以确定
变换矩阵。

线性变换的矩阵融合了一种空间变换的信息，并且这种变换在该
空间的动态可以被精细控制，因此，线性变换的矩阵也被用于数值分
析中各种过程的模拟。

线性变换的矩阵除了可以应用在数学领域之外，还被用于统计学、机器学习、计算机图形学等很多领域中。

例如，线性变换的矩阵可以
被应用在图像处理中，将原始图像像素值转换到另一种像素值序列，
从而获得清晰的图像。

3. 总结
综上所述，线性变换的矩阵是一种结构，它不仅用于描述空间变换的信息，还被用于数值分析、统计学、机器学习、计算机图形学等诸多领域中。

它可以帮助我们进行准确、高效的运算，可以获得更好的处理结果。

《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。

可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。

以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。

希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。

高等数学二线性代数教材一、矩阵与向量1.1 矩阵的定义1.2 向量的定义1.3 矩阵与向量的加法和数乘运算1.4 矩阵的乘法1.5 矩阵的转置和逆二、线性方程组2.1 线性方程组的定义2.2 齐次线性方程组与非齐次线性方程组2.3 线性方程组的解的存在唯一性问题2.4 线性方程组解的结构三、向量空间3.1 向量空间的定义3.2 向量空间的子空间3.3 线性相关性与线性无关性3.4 向量空间的基与维数3.5 向量空间的直和与直积四、线性变换4.1 线性变换的定义4.2 线性变换的表示矩阵4.3 线性变换的性质4.4 线性变换与矩阵的关系五、特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量的定义5.2 特征值与特征向量的性质5.3 对角线化与相似矩阵5.4 实对称矩阵的对角化六、内积空间6.1 内积空间的定义6.2 内积的性质6.3 正交和正交补6.4 标准正交基与正交投影七、二次型与正定性7.1 二次型的定义7.2 二次型的矩阵表示7.3 二次型的规范形7.4 正定二次型及其判定八、广义逆与最小二乘8.1 广义逆的定义8.2 最小二乘问题的最优解与广义逆的关系8.3 广义逆的计算方法九、特征值问题与奇异值分解9.1 特征值问题的定义9.2 特征值问题与特征向量的计算9.3 奇异值分解的定义9.4 奇异值分解的应用十、附录10.1 结论与证明10.2 习题及解答以上是《高等数学二线性代数教材》的主要内容概要。

该教材以系统全面的方式介绍了矩阵与向量、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量等相关知识点。

通过该教材的学习，读者将能够掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本技能，并能够运用线性代数的方法解决实际问题。

大学数学线性代数线性代数是一门研究向量空间、线性变换以及其代数方程组解的数学学科，它在大学数学课程中占有重要地位。

本文将探讨线性代数的基本概念、矩阵运算、向量空间以及线性变换等内容。

一、向量与矩阵1.1 向量的定义与性质向量是线性代数的基本概念之一，它表示一个有大小和方向的量。

一般用箭头或粗体字母表示，如$\vec{v}$。

向量有很多重要性质，包括加法、数乘和点乘等运算。

1.2 矩阵的定义与性质矩阵是由若干个数排列成的矩形阵列，一般用大写字母表示。

矩阵可用于表示线性变换、解线性方程组等。

矩阵也有一些重要的性质，如加法、数乘和乘法等。

二、矩阵运算2.1 矩阵加法与数乘矩阵加法是指将两个具有相同维度的矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。

数乘是指将一个矩阵的每个元素乘以一个标量，得到一个新的矩阵。

2.2 矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的重要概念之一。

当两个矩阵相乘时，矩阵的列数等于另一个矩阵的行数。

乘积矩阵的元素由原矩阵的对应行与对应列的元素按一定规则计算得出。

三、向量空间3.1 向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。

向量空间包括零向量、闭性、加法逆元等性质。

3.2 子空间与基空间子空间是指向量空间的一个非空子集，且在相同的加法和数乘运算下仍然构成向量空间。

基空间是子空间中最基本的向量组合成的集合，可以表示整个子空间。

四、线性变换4.1 线性变换的定义与性质线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，同时保持向量空间的运算性质。

线性变换有一些重要的性质，如保持向量加法和数乘、保持零向量等。

4.2 线性变换与矩阵的关系线性变换可以用矩阵表示，对应于矩阵乘法。

通过矩阵乘法，可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，便于进行计算。

五、线性代数的应用线性代数在科学、工程以及计算机科学等领域中有广泛的应用。

例如，在图像处理中，可以利用矩阵运算进行图像的变换与处理；在机器学习中，可以利用线性代数理论对数据进行降维和分类等。

第四章 线性变换在第三章中，我们介绍了同构的概念，它研究的是线性空间与线性空间之间的一种联系. 我们研究客观事物，固然要弄清楚个体事物单个的和总体的性质，但单个事物之间的各种各样的联系则更为重要. 基于此，本章将要研究线性空间本身的向量之间的一种最为基本、最为重要的联系——线性变换. 它是线性空间到它自身的映射是几何中旋转变换、投影变换以及别的科目中类似变换的一种推广. 其应用十分广泛，是线性代数的一个主要研究对象.在本章中，如果不特别声明，我们考虑的都是某个数域P 上的线性空间.§4.1 线性变换及其运算一个集合到它自身的映射，称为这个集合的一个变换. 线性变换就是线性空间到它自身的一种特殊变换. 我们给出它的定义.1. 线性变换的概念定义4.1.1 设A 是线性空间V 的一个变换，如果A 对于V 中任意的向量,αβ及数域P 中的任意数k ，满足：()()()+=+A A A αβαβ；()()k k =A A αα.则称A 是线性空间V 的一个线性变换. 以后我们一般用花体大写字母,,,A B C 来表示线性变换，用()A α或A α来表示向量α在线性变换A 下的象.说明 变换仅反映元素之间的一种单纯的对应关系，而线性变换则涉及到了线性空间中向量的运算. 从定义可以看出，线性变换保持向量的加法与数乘.例4.1.2 设V 是数域P 上的上的线性空间，λ是P 中的某个数，定义变换如下：(),()V λλ=∀∈A ααα.则容易看出，λA 是线性空间V 的一个线性变换.说明1）上例中的线性变换λA 称为由数λ决定的数乘变换.2）当1λ=时，就是V 的恒等变换或单位变换，记为E . 即E 将V 中的每个向量变为它自身.3）当0λ=时，0A 就是V 的零变换，记为0. 它把V 中的每个向量都变为0，即(),()V =∀∈00αα.例4.1.3 对于12(,,,)n n a a a P ∀=∈α，变换1211(,,,)(,,,)n n n a a a a a a -=A是n P 的一个线性变换.例4.1.4 令()()([,])xa f x f t dt x ab =∈⎰A ，则A 是线性空间[,]C a b 的一个线性变换.例 4.1.5 平面π上的向量构成了实数域上线性空间. 将π围绕着坐标原点逆时针方向旋转θ角度，就是一个线性变换，我们用θA 表示. 设平面π上的向量α在直角坐标系下的坐标是(,)x y ，那么旋转θ角度后α的坐标按照下面的公式计算：cos sin ()sin cos x x y y θθθθθ'-⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭A α. 例 4.1.6 设α是几何空间中某个固定的非零向量，将每个向量η变到它在α上的内射影的变换是一个线性变换，以N α来表示它，即(,)()(,)=N ααηηαα. 其中(,),(,)αηαα表示内积. 例4.1.7 设线性空间3P ，则显然222123123(,,)(,,)a a a a a a =A是3P 的一个变换，但如果取(1,0,0),(2,0,0)==αβ，则()(3,0,0)(9,0,0)+==A A αβ，而()()(1,0,0)(4,0,0)(5,0,0)+=+=A A αβ，则()()()+≠+A A A αβαβ. 所以，A 不是线性变换.2. 线性变换的性质线性变换具有如下的性质：性质1 ();()(),()V =-=-∀∈00A A A ααα.事实上，()(0)0();===0000A A A又()()(())()+-=+-==00A A A A αααα，所以()()-=-A A αα. 性质2 线性变换保持线性组合与线性关系式不变. 也就是说， 如果β是12,,,m ααα的一个线性组合：1122m m k k k =+++βααα，则经过线性变换A 之后，()A β是12(),(),,()m A A A ααα同样的线性组合： 1122()()()()m m k k k =+++A A A A βααα.如果12,,,m ααα之间有线性关系式：1122m m k k k +++=0ααα，则它们的象12(),(),,()m A A A ααα之间也有同样的关系：1122()()()m m k k k +++=0A A A ααα.性质3线性变换把线性相关的向量组变成线性相关的向量组. 也就是说，如果12,,,m ααα线性相关，则12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.事实上，若12,,,m ααα线性相关，则在数域P 中存在一组不全为零的数12,,,m k k k 使得1122m m k k k +++=0ααα.则由性质2与性质3得11221122()()()()()m m m m k k k k k k +++=+++==00A A A A A αααααα.从而12(),(),,()m A A A ααα也线性相关.说明 当12(),(),,()m A A A ααα线性相关时，12,,,m ααα未必是线性相关的；当12,,,m ααα线性无关时，12(),(),,()m A A A ααα未必是线性无关的. 如零变换.3. 线性变换的运算线性变换作为映射的一种特殊情形，它当然可以定义乘法、加法及数量乘法.下面我们来介绍线性变换的运算及其简单性质.定义 4.1.8 设12,A A 及A 都是数域P 上线性空间V 上的线性变换，V ∀∈α及k P ∀∈，现在定义：1）线性变换的加法：1212()()()+=+A A A A ααα； 2）线性变换的乘法：1212()()=A A A A αα； 3）数与线性变换的数量乘法：()()k k =A A αα.定理4.1.9 定义4.1.8中的线性变换的和12+A A 、乘积12A A 及数与线性变换的乘积k A 都还是线性变换.证明 仅证明12+A A 是线性变换，其余的类似证明.对于V 中任意的向量,αβ及数域P 上的任意数λ，由于12,A A 都是线性变换，则结合线性变换的和的定义有12121122()()()()()()()()++=+++=+++A A A A A A A A αβαβαβαβαβ 12121212(()())(()())()()()()=+++=+++A A A A A A A A ααββαβ； 1212121212()()()()()()k k k k k k k +=+=+=+=+A A A A A A A A A A αααααααα. 因此，12+A A 是线性空间V 上的线性变换. 证毕.由线性变换的加法及乘积的定义易知下述性质. 性质4 线性变换的加法满足1）结合律：123123()()++=++A A A A A A ； 2）交换律：1221+=+A A A A .说明 1）零变换0与任何线性变换A 的和仍是A ，即+=A 0A . 2）对每个线性变换A ，我们可以定义它的负变换-A ：()().V -=-∀∈A A ααα容易看出-A 也是线性的，且()+-=A A 0.性质5 线性变换的乘法满足 1）结合律：123123()()=A A A A A A ；2）对加法的左右分配律：12312113()+=+A A A A A A A ；1231323()+=+A A A A A A A . 说明 线性变换的乘法一般是不满足交换律的. 如在实数域R 上的线性空间[]x R ，定义线性变换0(())(),(())().xf x f x f x f t dt '==⎰D J则乘积D J 是恒等变换，但一般J D 却不是恒等变换.性质6 数与线性变换的数量乘法满足下面的规律：()()kl k l =A A ； ()k l k l +=+A A A ；1212()k k k +=+A A A A ；1=A A .注 线性变换所满足的全部运算规则，同矩阵所满足的运算规则完全一致. 如果用()V M 表示由数域P 上的线性空间V 的全体线性变换构成的集合，则()V M 构成数域P 上的一个线性空间.定义 4.1.10 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果存在V 上的一个变换，记之为1-A，使得11--==A AAA E ，则称1-A为A 的逆变换，且称A 是可逆的.说明 一个线性变换未必有逆变换，如零变换就没有逆变换.定理4.1.12 设A 是数域P 上线性空间V 上的一个线性变换，如果A 是可逆的，则其逆变换1-A也是V 上的线性变换.证明 任取,V ∈αβ及k P ∈，则1111()[()()]----+=+AAA AA Aαβαβ111111()()()()------=+=+AA A AA A A Aαβαβ.11111()[()()][((())]k k k -----==AA A AA A Aααα11111[((())]()[(()]()k k k -----===AA AAA AAααα.故1-A是V 上的线性变换.4. 线性变换的多项式的概念由于线性变换的乘法满足结合律，当若干个线性变换A 相乘时，其最终结果是确定的，与乘积的结合方式无关. 所以我们可以用nn=AA AA .来表示n （n 是正整数）个线性变换A 的乘积，称nA 为A 的n 次幂. 并规定=AE .由此可以推出指数法则： ,()()m nm n m nmn+==AA A AA，（,m n 是正整数）. （1.1） 当线性变换A 可逆时，也可以定义A 的负整数幂为1()nn--=A A（n 是正整数）. 说明 1）在有了负整数幂概念后，（1.1）中的,m n 就可以取任意的整数了. 2）线性变换乘积的指数法则不成立，一般来说1212()n n n ≠A A A A .设1110()m m m m f x a x a x a x a --=++++是[]P x 上的一个多项式. A 是线性空间V 上的一个线性变换，定义1110()mm m m f a a a a --=++++A AAA E .容易看出，()f A 也是V 上的一个线性变换，称它为线性变换A 的多项式.§4.2 线性变换的矩阵考虑线性方程组=Ax β，其中A 是n 阶方阵，β是常数项向量组. 我们可以这样认为：把矩阵A 当作一种“对象”，它通过乘法“作用”于向量x ，产生的新的向量为Ax .例如，方程31315201134216-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A x β0 与31310201304220-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭↑↑↑A u 00通过矩阵A 通过乘法“作用”将x 变成了β. 而将u 变成了0. 于是，解方程A =x β，就要求出n P 中所有经过A “作用”后变为β的向量x . 而线性变换也就是在线性空间内部“作用”，将其中的一个向量变为其中的某个向量. 如此看来，线性变换与矩阵之间会有着千丝万缕的联系. 本节我们将要讨论线性变换与矩阵的关系，且利用矩阵来描述线性变换.1. 线性变换在基下的矩阵设A 是数域P 上线性空间V 的一个线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基.则V 的任一向量η都可以用12,,,n εεε来线性表示，即数域P 中存在唯一的一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.由于线性变换A 保持线性关系不变，则1122()()n n x x x =+++A A ηεεε1122()()()n n x x x =+++A A A εεε.（2.1） 也就是说，η的象()A η与基的象12(),(),,()n A A A εεε之间有着相同的关系.所以，只要知道基的象12(),(),,()n A A A εεε，那么线性空间V 中任一向量η的象()A η也就知道了.命题4.2.1 设1A ，2A 都是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，如果1A 与2A 在这组基上的作用相同，即12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. （2.2）则12=A A .（分析）1A 与2A 相等的意义是它们对V 中的每个向量的作用相同，所以，我们就只要证明对任一向量η，都有12()()=A A ηη即可. 证明 V 中的任一向量η都可以由12,,,n εεε线性表示，即存在一组数12,,,n x x x 使得1122n n x x x =+++ηεεε.则由假设有111121121()()()()n n x x x =+++A A A A ηεεε12122222()()()()n n x x x =+++=A A A A εεεη. 证毕. 说明 命题4.2.1表明了，一个线性变换在V 上的作用，完全由它在任一组基上的作用所决定.命题4.2.2 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，又12,,,n ααα是V 的任意的n 个向量，则存在唯一的线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εα. （2.3）（分析）只要找出这样的线性变换即可. 证明 设β是V 任一向量，且1122n n x x x =+++βεεε.现在定义V 的变换1122()n n x x x =+++A βααα. 我们先来说明A 满足（2.3）.因为11100100i i i i n -+=++++++εεεεεε，1,2,,i n =. 所以111()00100i i i i n i -+=++++++=A εαααααα，1,2,,i n =.我们还需要证明A 是线性的.设,ηγ是V 中任意两个向量，k 是P 中任一数，并设1122n n b b b =+++ηεεε，1122n n c c c =+++γεεε.则111222()()()n n n b c b c b c +=++++++ηγεεε；1122n n k kb kb kb =+++ηεεε.按照A 的定义有111222()()()()n n n b c b c b c +=++++++A ηγααα11221122()()()()n n n n b b b c c c =+++++++=+A A ααααααηγ； 11221122()()()n n n n k kb kb kb k b b b k =+++=+++=A A ηααααααη.所以A 是V 上的线性变换.唯一性可由命题4.2.1直接得到. 证毕.下面，我们就来讨论线性变换与矩阵的联系.设12,,,r ααα是数域P 上的线性空间V 的一组向量，A 是V 上的一个线性变换，我们约定1212(,,,)(,,,)r r =A A A A αααααα.定义4.2.3 设12,,,n εεε是数域P 上的线性空间V 的一组基，A 是V 上的一个线性变换，且11112121212122221122,,.n n n nn n n nn n a a a a a a a a a =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩A A A εεεεεεεεεεεε 用矩阵形式表示，即121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n ==A A A A A εεεεεεεεε，其中111212122212n n n n nn a a a a a a aa a ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A . 矩阵A 称为A 在基12,,,n εεε下的矩阵.例4.2.4 求[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D 在基11,,,n x x -下的矩阵.解 因为21210,1,2,,(1),n n x x x x n x --====-D D D D所以D 在基11,,,n x x -下的矩阵为0100002000010000n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭A . 例4.2.5 设W 是()n n m >维线性空间V 的子空间，12,,,m εεε是W 的一组基，把它扩充为V 的一组基12,,,n εεε. 定义线性变换A 如下：,1,2,,,,1,,.i i i i m i m n ==⎧⎨==+⎩0A A εεε 如此定义的线性变换A 称为对子空间W 的投影. 投影A 在基12,,,n εεε下的矩阵为11100m ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭个1.说明 在取定一组基之后，我们就建立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射ϕ.定理4.2.6 设V 是数域P 上的n 维线性空间. 则映射:ϕ→A A是数域P 上的线性空间()V M 到n n P ⨯的一个一一映射，其中A 是线性变换在基12,,,n εεε下的矩阵.（分析）需要证明ϕ是双射，即既是单射，又是满射. 证明 ϕ显然是()V M 到n n P ⨯的映射. 设11()ϕ=A A ，22()ϕ=A A . 则112121(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 212122(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.如果12=A A ，则显然有12()(),1,2,,i i i n ==A A εε. 则由命题4.2.1知道，ϕ是单射.又对于n n P ⨯中的任一矩阵A ，令1212(,,,)(,,,)n n =A βββεεε.则由命题4.2.2知道，存在线性变换A 使得(),1,2,,i i i n ==A εβ，即有线性变换A 使得1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.所以ϕ又是满射. 故ϕ是一一映射.这个一一映射的重要性在于它保持运算. 也就是下面的定理.定理4.2.7 设1A ，2A 是数域P 上n 维线性空间V 的任意两个线性变换，1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B . 则在基12,,,n εεε下1）12+A A 的矩阵为+A B ； 2）12A A 的矩阵为AB ； 3）k A 的矩阵为k A . 证明 由于1A ，2A 在基12,,,n εεε下的矩阵分别是A 与B ，则有11212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 21212(,,,)(,,,)n n =B A εεεεεε.1）1212()(,,,)n +A A εεε112212(,,,)(,,,)n n =+A A εεεεεε1212(,,,)(,,,)n n =+A B εεεεεε12(,,,)().n =+A B εεε所以在基12,,,n εεε下，线性变换12+A A 的矩阵为+A B . 2）1212()(,,,)n A A εεε121211211212[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,).n n n n ====B BAB A A A A εεεεεεεεεεεε因此，在基12,,,n εεε下，线性变换12A A 的矩阵为AB . 3）112()(,,,)n k A εεε1121212[(,,,)][(,,,)](,,,)().n n n k k k ===A A A εεεεεεεεε 因此，在基12,,,n εεε下，线性变换k A 的矩阵为k A . 证毕.说明 结合定理4.2.7可以看出，在定理4.2.6中，V 的全体线性变换所构成的线性空间()V M 与n n P ⨯之间的映射，不仅是一一映射，而且还是同构映射. 即()V M 与n n P ⨯同构.推论4.2.8设A 是数域P 上n 维线性空间V 的一个线性变换. 则A 有逆变换的充分必要条件是A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵.且当A 在某组基下的矩阵为A 时，则1-A在这组基下的矩阵为1-A .证明 设A 有逆变换1-A，12,,,n εεε是V 任一组基，A 与1-A在基12,,,nεεε下的矩阵分别是A 与B ，即1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε，11212(,,,)(,,,)n n -=B Aεεεεεε.由定理4.2.7的2）有11212(,,,)(,,,)n n -=AB A Aεεεεεε，则有1212(,,,)(,,,)n n =AB E εεεεεε.而1212(,,,)(,,,)n n =E E εεεεεε，故=AB E .类似地有=BA E ，即有==AB BA E .所以1-=B A .故A 在任意基下的矩阵都是可逆矩阵，而且1-A在12,,,n εεε下的矩阵为1-A .反过来，如果A 在基12,,,n εεε下的矩阵是可逆阵A ，设1-A 是A 的逆矩阵. 则由定理4.2.6，必存在V 的一个唯一的线性变换B 使得11212(,,,)(,,,)n n -=A B εεεεεε.则1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==AA E A B εεεεεεεεε， 1121212(,,,)(,,,)(,,,)n n n -==A A E B A εεεεεεεεε.所以==AB B A E . 故A 有逆变换. 证毕.利用线性变换的矩阵，可以直接计算一个向量的象. 我们有下面的定理. 定理4.2.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，A 在基12,,,n εεε下的矩阵是A ，向量α在基12,,,n εεε下坐标为12(,,,)n x x x . 则()A α在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n y y y 可以按如下的公式计算：1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . （分析）实际上就是要求我们求出()A α在基12,,,n εεε下的坐标.证明 由于1212(,,,)n n x x x ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αεεε， 所以11221212()(,,,)(,,,)n n n n x x x x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A A A A A αεεεεεε. 又1212()(,,,)n n y yy ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A αεεε，而12,,,n εεε是V 的一组基，所以1122n n y x y x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.2.9说明了，()A α在某组基下的坐标完全由A 在这组基下的矩阵所决定. 这也就是说，对于某组基，如果给定了线性变换在这组基下的矩阵，也就等于给出了这个线性变换.2. 相似矩阵线性变换的矩阵与线性空间的基是密切联系的，一般来说，随着基的改变，同一线性变换的矩阵也会随之而改变. 读者肯定会要问：线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的呢？亦即改变后的矩阵之间有什么联系呢？下面的定理指明同一线性变换在不同的基下的矩阵之间的联系.定理 4.2.10 设A 是线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε与12,,,n ηηη是线性空间V 的两组基，A 在这两组基下的矩阵分别为,A B ，从基12,,,n εεε到12,,,n ηηη的过渡矩阵为C ，则1-=B C AC .证明 因为1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε， 1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，所以1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη，1212121211212(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,)n n n n n n -=====A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηηC C A C AC C AC故有1-=B C AC .定义4.2.11 设,A B 是数域P 上的两个n 阶矩阵，如果存在P 上的n 阶可逆矩阵C ，使得1-=C AC B ，则称A 与B 相似，记作A B .定理4.2.12 数域P 上的相似关系是一个等价关系.（分析）需要说明相似关系满足：反身性、对称性及传递性. 证明 设有n 阶矩阵,,A B D .1）因为=AE EA ，则1-=E AE A ，即A A ；2）如果AB ，则存在可逆阵C 使得1-=C AC B ，所以有111()---=C BC A .故BA ；3）如果AB ，BD ，则分别存在可逆阵12,C C 使得111122,--==C AC B C BC D ，所以11121121212()()()---==D C C AC C C C A C C . 故AD . 证毕.定理4.2.13 如果两个矩阵相似，则它们可以看作是同一个线性变换在某两组基下的矩阵.证明 设有n 阶矩阵A 与B 相似. 则n 阶可逆矩阵C 使得1-=C AC B . 又由定理4.2.6，A 可以看作是n 维线性空间V 的一个线性变换A 在某组基12,,,n εεε下的矩阵.则1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.令1212(,,,)(,,,)n n =C ηηηεεε，显然，12,,,n ηηη也是V 的一组基，而又1212121212112(,,,)[(,,,)][(,,,)][(,,,)](,,,)(,,,).n n n n n n -=====C CA C ACC AC A A A ηηηεεεεεεεεεεεεηηη即1212(,,,)(,,,).n n =B A ηηηηηη 证毕.例 4.2.14 设n 阶矩阵A 与B 相似，()f x 为任一多项式. 证明：()f A 与()f B 相似.（分析）需要找出一个可逆阵C 使得1()()f f -=B C A C . 证明 因为A 与B 相似，则存在可逆阵C ，使得1-=C AC B .现在设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++.则1110()n n n n f a a a a --=++++B B B B E11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C AC C AC C AC C C 11111110[][][][]n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C AC C C 11111110()()()()n n n n a a a a ------=++++C A C C A C C A C C E C11110()n n n n a a a a ---=++++C A A A E C1()f -=C A C故()f A 与()f B 相似.§4.3 线性变换的值域与核1. 线性变换的值域与核的概念定义4.3.1 设A 是线性空间V 的一个线性变换，则称集合{}()V ∀∈A αα为A 的值域，记作()V A （或Im A ）；称集合{}()V ∀∈=0且A ξξξ为A 的核，记作1()-0A（或Ker A ）. 即{}()()V V =∀∈A A αα；{}1()()V -∀∈=0=0且A A ξξξ.设,αβ是数域P 上的n 维线性空间V 的任意两个向量，k 是P 中任一常数. 显然()V A 与1()-0A是非空的，即它们都是V 的非空子集. 又由于(),()()k k +=+=A A A A A αβαβαα，即()V A 对加法与数乘是封闭的，所以()V A 是V 的一个子空间. 如果,==00A A αβ，则(),()()k k +=+===00A A A A A αβαβαα.所以1()-0A 也是V 的子空间. 故我们有下面的命题.命题4.3.2 V 的线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是V 的子空间.定义 4.3.3 将V 的线性变换A 的值域()V A 的维数称为线性变换A 的秩；1()-0A的维数称为线性变换A 的零度.例4.3.4 线性空间V 的零变换0的值域是{}0，而核就是V .例4.3.5线性空间[]n P x 的线性变换()()f x f x '=D ，则D 的值域就是1[]n P x -，D 的核就是P .V 的线性变换的值域()V A 是由全体象的集合而构成的. 这自然使我们联想到基象组12,,,n A A A εεε（12,,,n εεε是V 的一组基），它与值域()V A 之间有哪些联系呢？定理4.3.6 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，12,,,n εεε是V 的一组基，在这组基下的矩阵是A ，则1）A 的值域()V A 是由基的象12,,,n A A A εεε所生成的子空间，即12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）A 的秩等于A 的秩.证明 1）设α是线性空间V 的任一向量，它在基12,,,n εεε下的坐标为坐标为12(,,,)n x x x ，即1122n n x x x =+++αεεε.于是11221122()n n n n x x x x x x =+++=+++A A A A A αεεεεεε. 所以12(,,,)n L ∈A A A A αεεε，因而12()(,,,)n V L ⊂A A A A εεε. 再设12(,,,)n L A A A εεε中任一向量η，则存在一组数12,,,n k k k 使得11221122()n n n n k k k k k k =+++=+++A A A A ηεεεεεε这表明了V ⊂A η，所以12(,,,)n L V ⊂A A A A εεε.故12()(,,,)n V L =A A A A εεε.2）因为A 的秩等于dim ()V A ，由1）则有A 的秩等于12(,,,)n rank A A A εεε.又矩阵A 是由基象组的坐标按列而排成的. 而在n 维线性空间V 中取定一组基之后，把V 中的每一向量与它的坐标对应起来，我们就得到了V 到n P 的一个同构映射. 同构映射保持向量组的一切线性关系，因此基象组与它们的坐标组（即矩阵的列向量组）有相同的秩. 证毕.说明 上述定理表明了线性变换与矩阵的对应关系保持秩不变.定理4.3.7设A 是n 维线性空间V 的线性变换，则A 的秩+A 的零度n =.即1dim ()dim ()dim V V -+=0A A.证明 设A 的零度为r . 在核1()-0A中取一组基12,,,r εεε，现在将它扩充为V 的一组基121,,,,,,r r n +εεεεε. 又11()(,,,,,)r r n V L +=A A A A A εεεε，而12,,,r A A A εεε全是零向量，所以1()(,,)r n V L +=A A A εε.下面证明1,,r n +A A εε是()V A 的一组基. 显然()V A 中任一向量均可由1,,r n +A A εε线性表示，只需要证明1,,r n +A A εε线性无关即可. 设11r r n n λλ++++=0A A εε，则有11()r r n n λλ++++=0A εε，所以111()r r n n λλ-++++∈0Aεε，因此，11r r n n λλ++++εε可以用1()-0A 的基12,,,r εεε线性表示，设为111122r r n n r r λλλλλ++++=+++εεεεε. 而121,,,,,,r r n +εεεεε线性无关，所以0(1,2,,)i i n λ==.故1,,r n +A A εε线性无关. 因而A 的秩等于n r -，所以A 的秩+A 的零度n =. 证毕.说明 虽然()V A 与1()-0A的维数和是n ，但1()()V -+0A A 未必就是整个线性空间V . 如例4.3.5.推论4.3.7 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，则A 是单射⇔A 是满射. 证明 设A 是单射，则1(){}-=00A ，而又1dim ()dim ()dim V V -+=0A A. 所以dim ()dim V V =A .则()V V =A ，所以A 是满射，从而为双射.反过来，设A 是满射，仍由1dim ()dim ()dim V V -+=0A A有1(){}-=00A，即A 是单射，从而是双射.注 这是有限维线性空间的线性变换的一个特性. 对于无限维线性空间并不成立.例4.3.8 设A 是一个n n ⨯矩阵，2=A A . 证明：A 相似于对角阵B . 其中11100⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭B . （分析）要证明AB ，只要证明A 与B 是同一线性变换在某两组基下的矩阵即可.证明 设有n 维线性空间V ，12,,,n εεε是V 的一组基. 定义线性变换A 为：1212(,,,)(,,,)n n =A A εεεεεε.下面我们来证明A 在某组基下的矩阵就是B .因为2=A A ，所以2=AA . 对任意的()V ∈A α，则必存在V ∈β，使得()=A αβ.则2()====A A A A A αβββα.所以1()(){}V -0=0A A.而又1dim dim ()V n -+0=A A，所以1()()V V -=⊕0A A.因而在()V A 取一组基12,,,r ηηη，在1()-0A中取一组基1,,r n +ηη，所以121,,,,,,r r n +ηηηηη就是V 的一组基. 显然1122,,,,r r ===A A A ηηηηηη1,,r n +==00A A ηη.故1212(,,,)(,,,)n n =B A ηηηηηη.由定理4.2.13，同一线性变换在不同的基下的矩阵是相似的. 即A 相似于对角阵B . 证毕.2. 线性变换的值域与核的求法现在我们总结一下线性变换的值域与核的求法.设V 是数域P 上的n 维线性空间V ，A 是V 的线性变换，常通过下面的两种方法来求()V A 及1()-0A：第一种 取V 的一组基12,,,n εεε，由于1()(,,)r n V L +=A A A εε，所以先求出基象组12,,,n A A A εεε，再求出12(,,,)n rank A A A εεε及其一个极大无关组，也就得到了()V A 的维数及它的基； 设1()-∈0Aη，根据()=0A η来求确定1()-0A的维数与基.第二种 求出A 在基12,,,n εεε下的矩阵A ，所以A 的秩就等于A 的秩，且由于()i A ε在基12,,,n εεε下的坐标就是A 的第i 个列向量，从定理4.3.6的证明可以看出，利用同构，A 的列向量组的极大无关组对应12,,,n A A A εεε的极大无关组，从而可以确定()V A 的基. 设1()-∈0Aη，则由()=0A η知，η在基12,,,n εεε下的坐标12(,,,)n x x x 就是齐次线性方程组=0Ax 的解向量，所以=0Ax 的基础解系就是1()-0A的基在12,,,n εεε下的坐标.例 4.3.9 设V 是全体次数不超过n 的实系数多项式，再添上零多项式构成实数域上的线性空间，定义V 的线性变换：[()]()()(())f x xf x f x f x V '=-∀∈A .1）求A 的核1()-0A及值域()V A ；2）证明：1()()V V -=⊕0A A .1）解 取V 的一组基21,,,,n x x x ，则22(1,,,,)(1,,,,)n n x x x x x x =A A .其中100000000010001n -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭A . 求解齐次线性方程组=0Ax 得到基础解系(0,1,0,,0)T =ε. 令22(1,,,,)(1,,,,)(0,1,0,,0)n n T x x x x x x x ===ηε.则1()()L x -=0A ， 1dim ()1-=0A.又22323()(1,,,,)(1,0,,2,(1))(1,,,)n n nV L x xx L x x n x L x x x==--=A A A A A ， 所以dim ()V n =A .2）证明 由1）有12323()()()(1,,,)(1,,,,)n n V L x L x x x L x x xx V -+=+==0A A .又1dim ()dim ()1dim V n V -+=+=0A A ，故1()()V V -=⊕0A A . 证毕.§4.4 不变子空间我们知道，同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，而相似的矩阵也可以认为是同一个线性变换在不同基下的矩阵. 所以，我们可以选择适当的基，使得线性变换的矩阵尽可能的简单，这样通过简单的矩阵来把握所给的线性变换. 因此，我们引入不变子空间的概念.定义4.4.1设A 是数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换，W 是V 的子空间. 如果对于W 中任一向量α，均有W ∈A α，则称W 是A 的不变子空间，简记为-A 子空间.如果A 是线性空间V 的线性变换，W 是A 的不变子空间，由于W 中的向量在A 下的象仍然在W 中，这就使得有可能不必在整个线性空间V 中来研究A ，而只需要在W 中来考虑A 即可. 这样A 便又诱导出W 的一个线性变换，这个线性变换称为A 在W 上的限制（或A 在W 中的诱导变换），记作|W A . 因此()()|W W =∀∈A A βββ.在不致发生混淆时，有时也将|W A 记为A .说明 A 与|W A 的异同：A 是V 的线性变换，V 中每个向量在A 下都有确定的象；|W A 是不变子空间W 上的线性变换，对于W ∀∈β，有()|W =A A ββ，但对于V 中不属于W 的向量ξ，()|W =A A ξξ是没有意义的.例4.4.2 对于V 的任何线性变换A ，平凡子空间{}0及V 都是A 的不变子空间. 例4.4.3 []P x 的子空间[]n P x 是关于线性变换()()f x f x '=D的一个不变子空间.例4.4.4 线性变换A 的值域()V A 与核1()-0A都是A 的不变子空间.证明 任取()V ∈A α，则当然有V ∈α，所以有()V ∈A A α，即()V A 对A 不变. 对于任意的1()-∈0Aξ，有1()-=∈00A Aξ，即核1()-0A也是A 的不变子空间.证毕.例4.4.5 任何一个子空间都是数乘变换的不变子空间.证明 设W 是线性空间V 的任一子空间，λA 是数乘变换，则对于W 中的任一向量α，都有λλ=A αα.而W 是V 的子空间，所以W λ∈α，即W λ∈A α. 所以W 是λA 的不变子空间. 证毕.例4.4.6 如果线性变换A 与B 可交换，则B 的核1()-0B 与值域()V B 都是A 的不变子空间. 证明 在B 的核1()-0B 中任取一个向量α，则()()()===00B A B A A αα，所以1()-∈0A Bα. 即1()-0B 是A 的不变子空间.在B 的值域()V B 中任取一个向量()B β，则(())(())()V =∈A B B A B ββ.因此，值域()V B 也是A 的不变子空间. 证毕.例4.4.7 已知123321(,,)(,,)a a a a a a =A 是3P 的一个线性变换. 则子空间1212{(,,0)|,}W x x x x =∈F就不是A 的不变子空间. 如(1,2,0)W ∈，但(1,2,0)(0,2,1)W =∉A .命题 4.4.8 A 的不变子空间的交与和还是A 的不变子空间.证明 设1W 与2W 都是A 的不变子空间，α是12W W 中的任一向量，则1()W ∈A α且2()W ∈A α.所以，12()W W ∈A α. 故12W W 是A 的不变子空间.设β是12W W +中任一向量，则存在1W 中的向量1β与2W 中的向量2β，使得12=+βββ.则1212()()()()=+=+A A A A βββββ.又1122(),()W W ∈∈A A ββ，所以12()W W ∈+A β. 故12W W +也是A 的不变子空间.证毕.2. 不变子空间与线性变换的矩阵化简 下面我们来看不变子空间的一个应用.定理 4.4.9 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果1W 与2W 都是A 的不变子空间，且12V W W =⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 证明 设12,,,r εεε是1W 的一组基. 由于12V W W =⊕，则可设1,,r n +εε是2W 的一组基，且121,,,,,,r r n +εεεεε是V 的一组基. 又1W 与2W 都是A 的不变子空间，则可设111111111,11,11,1(),(),(),().r r r r rr r r r r r n r n n r n r nn n a a a a a a a a +++++++=++⎧⎪⎪⎪=++⎪⎨=++⎪⎪⎪=++⎪⎩AA A Aεεεεεεεεεεεε所以，A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A . 其中11111r r rr a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ， 1,11,2,1r r r n n r nn a a a a ++++⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 证毕.说明 定理4.4.9反过来也成立. 如果A 在基121,,,,,,r r n +εεεεε下的矩阵是1200⎛⎫ ⎪⎝⎭A A ， 则由12,,,r εεε与1,,r n +εε所生成的子空间都是A 的不变子空间.（请读者自己给出证明）我们将上述定理4.4.9进行推广，其证明是与定理4.4.9类似的. 推论4.4.10 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,s W W W 都是A的不变子空间，且12s V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：12s ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A . 说明 推论4.4.10反过来也是成立的. 即如果A 在基12,,,(1,2,,)ii i ini s =εεε下的矩阵是12s ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A ， 则由12,,,(1,2,,)ii i in i s =εεε所生成的子空间都是A 的不变子空间.由推论4.4.10立刻有：推论4.4.11设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换. 如果12,,,n W W W 都是A的一维不变子空间，且12n V W W W =⊕⊕⊕，则可在V 中选择一组适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是对角矩阵：12s a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.说明 定理4.4.9及上面的推论告诉我们两个事实：1）对于一个线性变换A ，如果V 可以分解成一些子空间的直和，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵是准对角矩阵.2）矩阵相似于准对角矩阵与线性空间分解为不变子空间的直和是相当的.习题A1. 判别下面的变换，哪些是线性变换，哪些不是：1）在线性空间V 中，()=+A ηηα，其中V ∈α是一固定的向量； 2）在线性空间V 中，()=A ηα，其中V ∈α是一固定的向量； 3）在线性空间[]n P x 中，()()f x f x '=A ；4）在线性空间3P 中，221231233(,,)(,,)x x x x x x x =+A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =A ；123122331(,,)(,,)x x x x x x x x x =+++A ；123123(,,)(0,,0)x x x x x x =++A ；5）在n n P ⨯中，(),=X AXB A 其中,A B 是n n P ⨯中两个固定的矩阵. 2. 证明：21,1,1x x x +++是线性空间3[]P x 的一组基. 并求出线性变换()()f x f x '=A在这组基下的矩阵. 3. 在22P ⨯中定义线性变换1()a b X c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭X A ；2()a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭X X A ；3()a b a b c d c d ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭X X A . 分别求出1A ，2A ，3A 在基11122122,,,E E E E 下的矩阵.4. 设在数域P 上的三维线性空间V 上的线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 求1）A 在基321,,εεε下的矩阵；2）A 在基123,,k εεε下的矩阵，其中k P ∈，且0k ≠； 3）A 在基1223,,+εεεε下的矩阵.5.设,A B 是线性变换，如果=,-A B B A E 证明：1=,k kk k --A B B AAk 是大于1的正整数.6.设n 阶矩阵A 和B 相似，且A 可逆. 则AB 与BA 相似.7.设V 是数域P 上的二维线性空间，线性变换A 在基12,εε下的矩阵是2110⎛⎫⎪-⎝⎭. 12,ηη也是V 的一组基，且从基12,εε到12,ηη的过渡矩阵为1112-⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 求A 在基12,ηη下的矩阵及21,10kk ⎛⎫⎪-⎝⎭为正整数. 8.证明：方阵12n a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭与 12n i i i a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭相似，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列.9.如果A 和B 相似，C 和D 相似，证明⎛⎫ ⎪⎝⎭00A B 与⎛⎫ ⎪⎝⎭00C D 相似.10.设1234,,,εεεε是四维线性空间V 的一组基，线性变换A 在基1234,,,εεεε下的矩阵是1021121312552212⎛⎫⎪- ⎪⎪⎪--⎝⎭. 1）求A 在基11242234334342,3,,2=-+=--=+=ηεεεηεεεηεεηε下的矩阵； 2）求A 的值域与核；3）在A 的值域中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵；4）在A 的核中选择一组基，把它扩充为V 的一组基，并求A 在这组基下的矩阵.11. 设W 是线性空间V 的一个子空间，A 是V 的一个线性变换. 证明：如果W 是A 的不变子空间，则可以选择适当的基，使得A 在这组基下的矩阵具有如下形状：⎛⎫ ⎪⎝⎭0A C B . 12.设A 是n 维线性空间V 的可逆的线性变换，W 是V 的子空间，且对于A 不变.证明：W 也是1-A 的不变子空间.习题B1. 设A 是数域P 上n 维线性空间V 上的线性变换，12,W W 是V 的两个子空间，且12V W W =⊕.证明：A 可逆的充分必要条件是12()()V W W =⊕A A .2. 设A 是n 维线性空间V 的一个线性变换，且1n -≠0A ，n=0A. 证明：在V 中存在一组基，使得A 在这组基下的矩阵是0000100001000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 3. 设A 是有限维线性空间V 的一个线性变换，W 是V 的一个子空间. 证明：1dim ()dim[()]dim W W W -+=0A A.4. 设,A B 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：AB 的秩≥A 的秩+B 的秩n -.5. 设12,,,s A A A 是线性空间V 的s 个两两不同的线性变换，则在V 中必存在向量η，使得12(),(),,()s A A A ηηη也两两不同.6. 设,A B 是线性空间V 线性变换，且2=A A ，2=BB . 证明：1）,A B 有相同的值域,⇔==A B B B A A ； 2）,A B 有相同的核,⇔==A B A B A B . 7. 设A 是n 维线性空间V 线性变换. 证明：A 的秩=2A 的秩1()()V V -⇔=⊕0A A.8. 设A 是n 维线性空间V 线性变换，且2=A A . 证明：1）1(){()|}V -=-∈0AA ξξξ；2）若B 是V 线性变换，则1()-0A 与()V A 都是B 的不变子空间⇔=AB B A .。

矩阵与线性变换的性质与求解在线性代数中，矩阵与线性变换是两个重要的概念。

矩阵是一个由数值排列成的矩形阵列，而线性变换则是将一个向量空间的元素映射到另一个向量空间的过程。

本文将讨论矩阵与线性变换的性质以及如何求解相关问题。

一、矩阵的基本性质1.1 矩阵的定义和表示矩阵由m行n列的数排列而成，可表示为一个mxn的矩阵A。

其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。

1.2 矩阵的运算矩阵之间可以进行加法和数乘运算。

设矩阵A、B是同型矩阵，则有：- 加法：A + B = (a_ij + b_ij)- 数乘：kA = (ka_ij)1.3 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行与列对调得到的新矩阵。

设A为mxn 的矩阵，则其转置表示为A^T。

即A^T的第i行第j列的元素为A 的第j行第i列的元素。

二、线性变换的基本性质2.1 线性变换的定义线性变换是指将一个向量空间V的元素映射到另一个向量空间W的过程，且满足两个性质：- 加法性：T(u + v) = T(u) + T(v)，其中u、v ∈ V。

- 数乘性：T(ku) = kT(u)，其中k为标量。

2.2 线性变换的矩阵表示对于线性变换T: V → W，我们可以找到V和W的基，用矩阵A表示线性变换T。

设V的基为{v_1, v_2, ..., v_n}，W的基为{w_1, w_2, ..., w_m}，则A为一个mxn的矩阵，其中A的第j列为T(v_j)在W基下的坐标。

三、矩阵与线性变换的关系3.1 线性变换的矩阵表示对于一个线性变换T: V → W，可以找到V和W的基，通过计算T(v_j)在W基下的坐标构成一个mxn的矩阵A来表示线性变换T。

3.2 矩阵的作用矩阵A作用于向量v可以得到矩阵向量乘积Av，表示向量v 在线性变换T下的像。

3.3 矩阵的性质- 逆矩阵：若矩阵A是可逆的，则存在矩阵B使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵。

- 矩阵的行列式：行列式用来确定一个矩阵是否可逆，行列式为0表示矩阵不可逆。

线性代数教案同济版第一章绪论1.1 线性代数的起源与发展介绍线性代数的概念、起源和发展历程。

强调线性代数在数学、物理、工程、计算机科学等领域的应用。

1.2 为什么要学习线性代数解释线性代数的重要性，包括解决实际问题和理论研究。

引导学生理解线性代数与其他数学分支的关系。

1.3 线性代数的基本概念介绍向量、向量空间、线性相关与线性无关等基本概念。

解释向量的几何表示和坐标表示。

1.4 线性方程组介绍线性方程组的定义和基本性质。

解释线性方程组的解法和求解过程。

第二章矩阵及其运算2.1 矩阵的定义与基本性质介绍矩阵的概念和矩阵的元素。

解释矩阵的运算规则和矩阵的转置。

2.2 矩阵的运算教授矩阵的加法、减法、乘法、除法等基本运算。

给出矩阵运算的例子和练习题。

2.3 逆矩阵介绍逆矩阵的概念和性质。

教授逆矩阵的求法和应用。

2.4 矩阵的特殊类型介绍单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵等特殊类型的矩阵。

解释特殊矩阵的性质和应用。

第三章线性方程组的求解3.1 高斯消元法介绍高斯消元法的原理和步骤。

给出高斯消元法的例题和练习题。

3.2 克莱姆法则介绍克莱姆法则的原理和条件。

解释克莱姆法则的应用和求解过程。

3.3 矩阵的秩介绍矩阵秩的概念和性质。

教授矩阵秩的求法和应用。

3.4 线性方程组的解的结构解释线性方程组解的性质和结构。

给出线性方程组解的例子和练习题。

第四章向量空间与线性变换4.1 向量空间的概念与性质介绍向量空间的概念和向量空间的性质。

解释向量空间的基本运算和向量空间的基。

4.2 线性变换的概念与性质介绍线性变换的定义和性质。

解释线性变换的矩阵表示和线性变换的域。

4.3 线性变换的运算教授线性变换的加法、减法和乘法等运算。

给出线性变换的例子和练习题。

4.4 特征值与特征向量介绍特征值和特征向量的概念和性质。

教授特征值和特征向量的求法和应用。

第五章特征值与特征向量5.1 特征值和特征向量的概念与性质介绍特征值和特征向量的定义和性质。