当前位置：文档之家 › 4.2线性变换的矩阵

4.2线性变换的矩阵

  • 格式：ppt
  • 大小：1.63 MB
  • 文档页数：26

下载文档原格式

  / 26

合集下载

各种矩阵的概念

各种矩阵的概念

各种矩阵的概念矩阵是现代数学的一个基本概念，广泛应用于线性代数、微积分、概率论、统计学等领域。

它是由若干行和列组成的一个矩形阵列。

在这篇文章中，我将介绍矩阵的基本概念和一些常见的矩阵类型。

一、基本概念1.1 元素：矩阵中每个所在行列交叉点上的数称为元素。

常用小写字母表示，如a_ij表示第i行第j列的元素。

1.2 阶数：矩阵的行数和列数称为矩阵的阶数。

如果一个矩阵有m行n列，记作m×n的矩阵，其中m和n分别表示矩阵的行数和列数。

1.3 主对角线：一个方阵从左上角到右下角的斜线称为主对角线。

1.4 零矩阵：所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，用0表示。

二、特殊类矩阵2.1 方阵：行数和列数相同的矩阵称为方阵。

它可以表示线性变换、线性方程组等。

2.2 对称矩阵：主对角线两侧的元素相等的方阵称为对称矩阵。

如果一个矩阵A 满足A_ij=A_ji，其中A_ij表示第i行第j列的元素，A_ji表示第j行第i列的元素，则称矩阵A为对称矩阵。

2.3 反对称矩阵：主对角线上的元素为零，且A_ij=-A_ji的方阵称为反对称矩阵。

2.4 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其余元素为零的方阵称为单位矩阵，用I表示。

例如，3×3的单位矩阵是[[1, 0, 0], [0, 1, 0], [0, 0, 1]]。

2.5 对角矩阵：主对角线以外的元素全部为零的方阵称为对角矩阵。

例如，一个对角矩阵可以表示特定向量的缩放因子。

2.6 上三角矩阵：主对角线以下的元素全部为零的方阵称为上三角矩阵。

例如，一个上三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线上方。

2.7 下三角矩阵：主对角线以上的元素全部为零的方阵称为下三角矩阵。

例如，一个下三角矩阵的所有元素在主对角线和主对角线下方。

三、矩阵运算3.1 矩阵的加法：相同阶数的两个矩阵相加，只需将对应位置上的元素相加。

3.2 矩阵的数乘：一个矩阵中的每个元素都乘以一个常数，结果仍然是一个矩阵。

线性变换的矩阵表示

线性变换的矩阵表示

即 x1 x1 (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) x 2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A x 2 . T M M x n xn
上式唯一地确定了一个 变换T , 并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换 .
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 那么这些矩阵之间有什么关系呢？ 定理１ 定理１ 设线性空间 Vn中取定两个基
α 1 ,α 2 ,L ,α n ; β 1 , β 2 , L , β n ,
所以D 所以 在这组基下的矩阵为
0 3 A= 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2 0 0 0 1 0
例2 实数域 R上所有一元多项式的集 合, 记作R[ x ], R[ x ]中次数小于 n的所有一元多项式 (包括零多项 式)组成的集合记作 R[ x ]n , 它对于多项式的加法和 数与多项式的乘法 , 构成R上的一个线性空间 .
∀α ∈ V n , 设 α = ∑ x i α i , 有
n
T (α ) = T ( ∑ x i α i ) = ∑ x i T (α i )
i =1 i =1
n
i =1
n
x1 x2 = (T (α 1), T (α 2 ),L , T (α n )) M xn x1 x2 = (α 1 ,α 2 ,L ,α n ) A , M xn
σ (1) = 0,
LLL ,
σ ( x ) = 1,
σ ( x 2) = 2 x ,

【高考领航】高考数学总复习 第1节 线性变换与二阶矩阵课件 苏教选修42

【高考领航】高考数学总复习 第1节 线性变换与二阶矩阵课件 苏教选修42

0或 1
M＝10
0伸压变换矩阵． k
当 M＝k0
0时确定的变换将平面图形作沿 1
x
轴方向伸长或压
缩，当 k>1 时伸长，当 0<k<1 时压缩．变换 TM 确定的变换不是简单
地把平面上的点(向量)沿 x 轴方向“向下压”或“向外伸”，它是 x
轴方向伸长或压缩，对于 x 轴下方的点向上压缩，对于 x 轴上的点
•5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。
•6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/152022/1/152022/1/151/15/2022
•7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/152022/1/15January 15, 2022
旋转中心为原点且逆时针旋转角α时，旋转变换的变换矩阵为
cos α sin α
c－ossinαα.旋转变换只会改变几何图形的位置，不会改变几
何图形的形状和大小，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋
转由旋转中心和旋转角所确定．绕定点旋转 180°的变换相当于关于
定点作中心反射变换．
(5)将一个平面图投影到某条直线(或某个点)的变换称为投影变 换，变换对应的矩阵称为投影变换矩阵，本节中主要研究的是由矩
表示．
(2)二阶矩阵00
0称为零矩阵，简记为 0
0，矩阵01
0称为二阶 1
单位矩阵，记作 E2.
2．矩阵的乘法
(1)
行
矩
阵
a11a12
与
列
矩
阵
b11 b21
的
乘

线性代数4.2 二次型的标准形与规范形

线性代数4.2 二次型的标准形与规范形
a11 a12 ... a1n x1 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = x Ax= ( x1 , x2 ,..., xn ) a a ... a 21 22 2n x2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 经过非退化线性替换 x = Cy a an2 ... ann x n1 n x1 c11 c12 ... c1n y1 ↑
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 )化为 f = y1 − y2 + 4 y3
y1= x1− x2 + x3 令 y2 = 2 x 2 + x 3 y3 = x 3
标准形
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = x1 − 3 x2 + 4 x3 − 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 6 x2 x3
2 2 2 f ( x1 , x2 , x3 ) = y1 − y2 + 4 y3
B= C T AC
↑
B
对称矩阵A与对角矩阵合同. 对称矩阵A与对角矩阵合同.
例 将 f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 x1 x2 + 2 x1 x3 − 4 x2 x3 化为规范形. 化为规范 规范形
制造”平方项. 此二次型没有平方项, 此二次型没有平方项, 先“制造”平方项. f ( x1 , x2 , x3 ) = 2 y1 ( y1 + y2 ) + 2 y1 y3 −4 ( y1 + y2 ) y3 解 令
2 2 = ( x1− x2 + x3 )2−4x2 +3 x3−4 x2 x3 2 2 2 = ( x1 − x2 + x3 )2 +(− x 2x2 −4x2x 33+x3) + 3x3 + x3 −(4 42 + 4 x 2 x 2 )

线性变换的矩阵表示

线性变换的矩阵表示
对任意的Vn, 设 x i i , 则有
n
T ( ) T ( x i i ) x i T ( i )
n
n
i 1
x1 x (T ( 1 ), T ( 2 ), , T ( n )) 2 xn
i 1
i 1
x1 x ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn 即 x1 x1 x x T [( 1 , 2 , , n ) 2 ] ( 1 , 2 , , n ) A 2 , xn xn 上式唯一地确定了一个变换T, 并且, 所确定的变 换T是以A为矩阵的线性变换. 反之, 以A为矩阵的线性变换T由上式唯一确定. 结论: 在Vn中取定一个基后, 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
0 1 0 0 0 0 2 0 . A 0 0 0 n 1 0 0 0 0 例3: 在R3中, T表示将向量投影到xoy平面的线性 变换, 即 T ( xi yj zk ) xi yj , (1) 取基为i , j , . k , 求T的矩阵 (2) 取基为 i , j , i j k , 求T的矩阵. 1 0 0 i 0 , j 1 , k 0 . 其中 0 0 1 1 0 0 解(1): Ti i 即 T ( i , j , k ) ( i , j , k ) 0 1 0 . j, Tj 0 0 0 T k 0
三、线性变换在不同基下的矩阵
上面的例子表明: 同一个线性变换在不同的基下 的矩阵不同. 那么, 这些矩阵之间有什么关系呢?

线性变换的矩阵

线性变换的矩阵

线性变换的矩阵
1. 什么是线性变换
线性变换是指，将一个空间（原空间）中的数据点通过一种特定
的方式变换到另一个空间（目标空间）中的过程。

例如，一个空间中
的三维坐标点可以通过适当的变换被转换为另一个空间的二维坐标点。

线性变换可以使用数学方法描述，其中一种常用的方法是使用矩阵表示。

2. 线性变换的矩阵
矩阵是一种结构，用来表示线性变换。

其中，每一行和每一列分
别代表着原空间中的特征向量，矩阵中的元素则描述了这些特征向量
之间的线性关系。

当选定某种变换时，使用这些元素数值就可以确定
变换矩阵。

线性变换的矩阵融合了一种空间变换的信息，并且这种变换在该
空间的动态可以被精细控制，因此，线性变换的矩阵也被用于数值分
析中各种过程的模拟。

线性变换的矩阵除了可以应用在数学领域之外，还被用于统计学、机器学习、计算机图形学等很多领域中。

例如，线性变换的矩阵可以
被应用在图像处理中，将原始图像像素值转换到另一种像素值序列，
从而获得清晰的图像。

3. 总结
综上所述，线性变换的矩阵是一种结构，它不仅用于描述空间变换的信息，还被用于数值分析、统计学、机器学习、计算机图形学等诸多领域中。

它可以帮助我们进行准确、高效的运算，可以获得更好的处理结果。

《高等代数课后答案》(邱著)

《高等代数课后答案》(邱著)高等代数之后的答案(秋微写的)《高等代数》的内容由浅入深，循序渐进，符合当前两位学生的教学实践。

可作为高校数学与应用数学、信息与计算科学专业的教材，也可作为相关专业的教师、学生和自学者的参考。

以下是阳光网编著的《高等代数》答案(邱著)阅读地址。

希望你喜欢！点击进入：高等代数课后答案地址(邱执笔)高等代数(秋微著)目录前言(一)第一章决定因素(1)1.1一些预备知识(1)1.2二阶和三阶行列式(3)1.3n n阶行列式(7)1.4行列式的计算(18)1.5克莱姆法则(28)1.6行列式的一些应用(31)练习1(A)(35)练习1(B)(38)第二章矩阵(41)2.1矩阵的概念(41)2.2矩阵运算(44)2.3初等变换和初等矩阵(54)2.4可逆矩阵(67)2.5矩阵的秩(76)2.6分块矩阵及其应用(79)练习2(A)(90)练习2(B)(93)第三章线性空间(95)3.1矢量(96)3.2向量的线性相关性(98)3.3向量组的秩(103)3.4矩阵的行秩和列秩(106)3.5线性空间(111)3.6基础、尺寸和坐标(114)3.7基变换和转移矩阵(118)3.8子空间(122)3.9同构(131)3.10线性方程(135)练习3(A)(147)练习3(B)(150)第四章线性变换(152)4.1线性变换及其运算(152)4.2线性变换矩阵(156)4.3线性变换的范围和核心(165)4.4不变子空间(169)练习4(A)(173)练习4(B)(175)第五章多项式(176)5.1一元多项式(176)5.2多项式可整除(178)5.3倍大公因数(181)5.4因式分解定理(186)5.5重因子(189)5.6多项式函数(191)5.7复系数和实系数多项式的因式分解(195) 5.8有理系数多项式(198)5.9多元多项式(202)5.10对称多项式(206)练习5(A)(211)练习5(B)(213)第六章特征值(216)6.1特征值和特征向量(216)6.2特征多项式(221)6.3对角化(225)练习6(A)(231)练习6(B)(232)第七章-矩阵(234)7.1-矩阵及其初等变换(234)7.2-矩阵的标准型(238)7.3不变因子(242)7.4矩阵相似性的确定(245)7.5基本因素(247)7.6乔丹范式(251)7.7x小多项式(256)练习7(A)(259)第八章二次型(261)8.1二次型及其矩阵表示(261)8.2将二次型转化为标准型(264)8.3惯性定理(271)8.4正定二次型(274)练习8(A)(279)练习8(B)(280)第九章欧几里得空间(282)9.1欧氏空间的定义和基本性质(282) 9.2标准正交基(285)9.3正交子空间(291)9.4正交变换和对称变换(293)9.5实对称方阵的正交相似性(297)练习9(A)(303)练习9(B)(306)练习答案(308)参考文献312。

高等数学二线性代数教材

高等数学二线性代数教材一、矩阵与向量1.1 矩阵的定义1.2 向量的定义1.3 矩阵与向量的加法和数乘运算1.4 矩阵的乘法1.5 矩阵的转置和逆二、线性方程组2.1 线性方程组的定义2.2 齐次线性方程组与非齐次线性方程组2.3 线性方程组的解的存在唯一性问题2.4 线性方程组解的结构三、向量空间3.1 向量空间的定义3.2 向量空间的子空间3.3 线性相关性与线性无关性3.4 向量空间的基与维数3.5 向量空间的直和与直积四、线性变换4.1 线性变换的定义4.2 线性变换的表示矩阵4.3 线性变换的性质4.4 线性变换与矩阵的关系五、特征值与特征向量5.1 特征值与特征向量的定义5.2 特征值与特征向量的性质5.3 对角线化与相似矩阵5.4 实对称矩阵的对角化六、内积空间6.1 内积空间的定义6.2 内积的性质6.3 正交和正交补6.4 标准正交基与正交投影七、二次型与正定性7.1 二次型的定义7.2 二次型的矩阵表示7.3 二次型的规范形7.4 正定二次型及其判定八、广义逆与最小二乘8.1 广义逆的定义8.2 最小二乘问题的最优解与广义逆的关系8.3 广义逆的计算方法九、特征值问题与奇异值分解9.1 特征值问题的定义9.2 特征值问题与特征向量的计算9.3 奇异值分解的定义9.4 奇异值分解的应用十、附录10.1 结论与证明10.2 习题及解答以上是《高等数学二线性代数教材》的主要内容概要。

该教材以系统全面的方式介绍了矩阵与向量、线性方程组、向量空间、线性变换、特征值与特征向量等相关知识点。

通过该教材的学习，读者将能够掌握线性代数的基本概念、基本理论和基本技能，并能够运用线性代数的方法解决实际问题。

线性变换的矩阵表示式


0 1 0 0 0 2 A 0 0 0 0 0 0
0 0
n 1
0
例3 在 R3中,T表示将向量投影到xOy平面的线性
变换,即
(1)取基为Ti(,xji,
k,
yj zk) xi 求T的矩阵;
yj ,
(2)取基为
i ,
j,
i
j
k,
求T的矩阵.
解 即
Ti i ,
(1)
TTkj
j, 0,
1
T (i , j , k ) (i , j , k ) 0
0 1
0 0.
0 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
T i ,
(2)
T T
j ,
i j
,
即
1 0 1
T ( , , ) ( , , ) 0 1 1.
0 0 0
此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵．
i 1
i 1
x1
(T ( 1),T (
2),
,T (
n))
x2
xn
x1
( 1 , 2 , , n)A x2 ,
xn
即
T ( 1 , 2 ,
,
n)
x1 x2
( 1 , 2 ,
,
n) A
x1 x2 .
x
n
xn
上式唯一地确定了一个变换T ,并且所确定的 变换T是以A为矩阵的线性变换.
x
n
xn
可知 : 在基 1 , 2 , , n下,
的坐标为
x1
x2 ;
xn
T ( )的坐标为
x1
T ( ) A x2 .

大学数学线性代数

大学数学线性代数线性代数是一门研究向量空间、线性变换以及其代数方程组解的数学学科，它在大学数学课程中占有重要地位。

本文将探讨线性代数的基本概念、矩阵运算、向量空间以及线性变换等内容。

一、向量与矩阵1.1 向量的定义与性质向量是线性代数的基本概念之一，它表示一个有大小和方向的量。

一般用箭头或粗体字母表示，如$\vec{v}$。

向量有很多重要性质，包括加法、数乘和点乘等运算。

1.2 矩阵的定义与性质矩阵是由若干个数排列成的矩形阵列，一般用大写字母表示。

矩阵可用于表示线性变换、解线性方程组等。

矩阵也有一些重要的性质，如加法、数乘和乘法等。

二、矩阵运算2.1 矩阵加法与数乘矩阵加法是指将两个具有相同维度的矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。

数乘是指将一个矩阵的每个元素乘以一个标量，得到一个新的矩阵。

2.2 矩阵乘法矩阵乘法是线性代数中的重要概念之一。

当两个矩阵相乘时，矩阵的列数等于另一个矩阵的行数。

乘积矩阵的元素由原矩阵的对应行与对应列的元素按一定规则计算得出。

三、向量空间3.1 向量空间的定义向量空间是指具有加法和数乘运算的集合，满足一定的公理。

向量空间包括零向量、闭性、加法逆元等性质。

3.2 子空间与基空间子空间是指向量空间的一个非空子集，且在相同的加法和数乘运算下仍然构成向量空间。

基空间是子空间中最基本的向量组合成的集合，可以表示整个子空间。

四、线性变换4.1 线性变换的定义与性质线性变换是指将一个向量空间映射到另一个向量空间的变换，同时保持向量空间的运算性质。

线性变换有一些重要的性质，如保持向量加法和数乘、保持零向量等。

4.2 线性变换与矩阵的关系线性变换可以用矩阵表示，对应于矩阵乘法。

通过矩阵乘法，可以将线性变换转化为矩阵的乘法运算，便于进行计算。

五、线性代数的应用线性代数在科学、工程以及计算机科学等领域中有广泛的应用。

例如，在图像处理中，可以利用矩阵运算进行图像的变换与处理；在机器学习中，可以利用线性代数理论对数据进行降维和分类等。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

矩阵A称为线性变换 下的矩阵. 矩阵 称为线性变换 σ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵 称为
注： ① A的第 列是 σ (ε i ) 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的坐标， 的第i列是 下的坐标， 的第
它是唯一的. 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 它是唯一的. 故 σ 在取定一组基下的矩阵是唯一的. 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； ② 单位变换在任意一组基下的矩阵皆为单位矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 零变换在任意一组基下的矩阵皆为零矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵； 数乘变换在任意一组基下的矩阵皆为数量矩阵；
高 等 代 数
命题4.2.1设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基， ,τ 是线性空间V的一组基 σ 的一组基， 命题
的线性变换， 为V的线性变换，若 σ (ε i ) = τ (ε i ), i = 1, 2,L , n . 的线性变换 则 σ =τ. 证：对 ∀ξ ∈ V , ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
σ (ε 1 ) = α11ε 1 + α 21ε 2 + L + α n1ε n σ (ε 2 ) = α12ε 1 + α 22ε 2 + L + α n 2ε n LLLLLLLLLLLLL σ (ε ) = α ε + α ε + L + α ε n nn n 1n 1 2n 2
从而， (ξ ) = x1σ (ε 1 ) + x2σ (ε 2 ) + L + xnσ (ε n ). 从而， σ
σ 由此知， 完全确定. 由此知， (ξ ) 由 σ (ε 1 ),σ (ε 2 ),L ,σ (ε n ) 完全确定
所以要求V中任一向量在 下的象，只需求出V的 所以要求 中任一向量在 σ 下的象，只需求出 的 下的象即可. 一组基在 σ 下的象即可
i =1 i =1 n n
高 等 代 数
则
β ＋γ ＝∑ bi＋c）ε i , （ i
i =1 n
n
k β = ∑ (kbi )ε i
i =1 n n
n
（ 于是 σ ( β ＋γ ) = ∑ bi＋c）α i = ∑ biα i + ∑ ciα i i
i =1 i =1 i =1
= σ ( β ) + σ (γ )
∴
( kσ ) ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ( kσ ) ( ε 1 ) ,L , ( kσ ) ( ε n ) )
= kσ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = k ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
kσ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵为 kA.
③ Q
= σ ( ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B ) = σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B
下的矩阵为AB. ∴ στ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n下的矩阵为
= ( kσ ( ε 1 ) ,L , kσ ( ε n ) ) = k ( σ ( ε 1 ) ,L ,σ ( ε n ) ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) ( kA )
一、线性变换在基下的矩阵 二、相似矩阵
高 等 代 数
一、 线性变换在基下的矩阵 是线性空间V的一组基 的一组基， 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基，σ 为V 的线性变换. 的线性变换 则对任意 ξ ∈ V 存在唯一的一组数
x1 , x2 ,L , xn ∈ P , 使 ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n
高 等 代 数
定理4.2. 设线性变换 σ 在基ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵为A, 定理4.2.3 下的矩阵为 4.2.
ξ ∈ V 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标为 ( x1 , x2 ,L , xn ),
σ (ξ )在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的坐标为 ( y1 , y2 ,L , yn ),
P n×n 中 在这组基下， 的每一个线性变换都与 基，在这组基下，V的每一个线性变换都与
的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： 的唯一一个矩阵对应，且具有以下性质： ① 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的和对应于矩阵的和； 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； ② 线性变换的乘积对应于矩阵的乘积； 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； ③ 线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积； 可逆线性变换与可逆矩阵对应， ④ 可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应 于逆矩阵. 于逆矩阵
高 等 代 数
定理4.2.4 设线性空间V的线性变换 σ 在两组基 定理 设线性空间 的线性变换
ε 1 , 2 ,L , ε n ε η1 ,η2 ,L ,ηn
(Ⅰ) Ⅰ (Ⅱ) Ⅱ
下的矩阵分别为A、B， 下的矩阵分别为A、B，且从基(Ⅰ) 到基(Ⅱ)的过渡 Ⅰ Ⅱ 矩阵矩阵是X， 矩阵矩阵是 ，则
高 等 代 数
为两个线性变换， 证：设 σ ,τ 为两个线性变换，它们在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵分别为A、 ， 下的矩阵分别为 、B，即
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A τ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) B
用矩阵表示即为
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = (σε 1 ,σε 2 ,L ,σε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A
高 等 代 数
ห้องสมุดไป่ตู้ 其中
α11 α 21 A= L α n1
L L L α n 2 L α nn
α12 L α1n α 22 L α 2 n ,
∴ σ + τ 在基 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 下的矩阵为A＋B. 下的矩阵为 ＋
高 等 代 数
② Q (στ ) ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = σ (τ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) )
= ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) ( AB )
高 等 代 数
命题4.2.2 是线性空间V的一组基 的一组基， 命题4.2.2 设ε 1 , ε 2 ,L , ε n 是线性空间 的一组基，对V中 中 任意n个向量 任意 个向量 α1 ,α 2 ,L ,α n , 都存在线性变换 σ 使
σ (ε i ) = α i ,
i = 1,2,L , n
则有
y1 x1 y2 x2 M ＝ A M . y x n n
高 等 代 数
证：由已知有
σ ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) = ( ε 1 , ε 2 ,L , ε n ) A,
x1 x2 ξ＝( ε 1 , 2 ,L , ε n ) , ε M x n y1 y2 σ (ξ ) = ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) . ε M y n
高 等 代 数
例1. 设线性空间 P 的线性变换 σ 为
3
σ ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 , x2 , x1 + x2 )
求 σ 在标准基 ε 1 , ε 2 , ε 3 下的矩阵. 下的矩阵 解： Q σ (ε 1 ) = σ (1,0,0) = (1,0,1)
σ (ε 2 ) = σ (0,1,0) = (0,1,1)
σ ( k β ) = ∑ (kbi )α i = k ∑ biα i = kσ ( β )
i =1 i =1
n
n
∴ σ 为V的线性变换 的线性变换. 的线性变换
又 ε i = 0ε 1 + L + 0ε i −1 + ε i + 0ε i +1 + L + 0ε n
∴ σ (ε i ) = α i ,
σ (ε 3 ) = σ (0,0,1) = (0,0,0)
1 0 0 ∴ σ (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) = (ε 1 , ε 2 , ε 3 ) 0 1 0 1 1 0
高 等 代 数
线性变换运算与矩阵运算 定理4.2. 定理4.2.2 设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n为数域 上线性空间 的一组 4.2.2 为数域P上线性空间 上线性空间V的一组
i = 1,2,L , n
高 等 代 数
定义4.2.1 定义4.2.1
设 ε 1 , ε 2 ,L , ε n 为数域P上线性空间 的一组基， 为数域 上线性空间V的一组基， 上线性空间 的一组基 σ 的线性变换. 为V的线性变换 基向量的象可以被基线性表出 设 的线性变换 基向量的象可以被基线性表出,设
证：∀ξ ∈ V , 设ξ = x1ε 1 + x2ε 2 + L + xnε n 定义 σ : V → V , σ ( ξ )＝x1α1 + x2α 2 + L + xnα n， 的一个变换， 易知 σ 为V的一个变换，下证它是线性的 的一个变换 下证它是线性的. 任取 β，γ ∈ V , 设 β = ∑ biε i , γ = ∑ ciε i
ε 于是， 于是，σ (η1 ,η 2 ,L ,η n ) = σ ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) X
= ( ε 1 , 2 ,L , ε n ) AX = (η1 ,η2 ,L ,η n ) X - 1 AX . ε