第五章 线性变换 S2 线性变换矩阵

§3 线性变换和矩阵一、线性变换关于基的矩阵设V 是数域P 上n 维线性空间.n εεε,,,21 V 的一组基，此刻成立线性变换与矩阵关系.空间V 中任意一个向量ξ能够被基n εεε,,,21 线性表出，即有关系式nn x x x εεεξ+++= 2211(1)其中系数是唯一确信的，它们确实是ξ在这组基下的坐标.由于线性变换维持线性关系不变，因此在ξ的像A ξ与基的像A 1ε,A 2ε,…，A n ε之间也必然有相同的关系：A ξ=A （n n x x x εεε+++ 2211） =1x A (1ε)+2x A (2ε)+…+n x A (n ε) (2)上式说明，若是明白了基n εεε,,,21 的像，那么线性空间中任意一个向量ξ的像也就明白了，或说1. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，若是线性变换Å与ℬ在这组基上的作用相同，即A i ε=B i ε， ,,,2,1n i =那么A = B .结论1的意义确实是，一个线性变换完全被它在一组基上的作用所决定.下面指出，基向量的像却完全能够是任意的，也确实是2. 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，关于任意一组向量n ααα,,,21 必然有一个线性变换Å使A i ε=i α .,,2,1n i =定理1 设n εεε,,,21 是线性空间V 的一组基，n ααα,,,21 是V 中任意n 个向量.存在唯一的线性变换Å使A i ε=i α .,,2,1n i =概念2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是V 中的一个线性变换.基向量的像能够被基线性表出：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222112212211111n nn n n n n n n n a a a A a a a A a a a A εεεεεεεεεεεε 用矩阵表示确实是A （n εεε,,,21 ）=（A (1ε)，A Å(2ε)，…， A (n ε)）=A n ),,,(21εεε (5) 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 矩阵A 称为线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵.例 1 设m εεε,,,21 是n )(m n >维线性空间V 的子空间W 的一组基，把它扩充为V 的一组基n εεε,,,21 .指定线性变换A 如下⎩⎨⎧+====.,,1,0,,,2,1,n m i A m i A ii i εεε 如此确信的线性变换A 称为子空间W 的一个投影.不难证明A 2=A投影A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛00111如此，在取定一组基以后，就成立了由数域P 上的n 维线性空间V 的线性变换到数域P 上的n n ⨯矩阵的一个映射.前面结论1说明那个映射是单射，结论2说明那个映射是满射.换句话说，在这二者之间成立了一个双射.那个对应的重要性表此刻它维持运算，即有定理2 设n εεε,,,21 是数域P 上n 维线性空间V 的一组基，在这组基下，每一个线性变换按公式（5）对应一个n n ⨯矩阵，那个对应具有以下性质：1）线性变换的和对应于矩阵的和；2）线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；3）线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；4）可逆的线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵.定理2 说明数域P 上n 维线性空间V 的全部线性变换组成的集合)(V L 关于线性变换的加法与数量乘法组成P 上一个线性空间，与数域P 上n 级方阵组成的线性空间n n P ⨯同构.定理3 设线性变换A 在基n εεε,,,21 下的矩阵是A ，向量ξ在基n εεε,,,21 下的坐标是),,,(21n x x x ,那么A ξ在基n εεε,,,21 下的坐标),,,(21n y y y 能够按公式⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n x x x A y y y 2121 计算.二、同一个线性变换在不同基下的矩阵的关系.线性变换的矩阵是与空间中一组基联系在一路的.一样说来，随着基的改变，同一个线性变换就有不同的矩阵.为了利用矩阵来研究线性变换，有必要弄清楚线性变换的矩阵是如何随着基的改变而改变的.定理4设线性空间V 中线性变换A 在两组基n εεε,,,21 , (6)n ηηη,,,21 (7)下的矩阵别离为A 和B 从基（6）到（7）的过渡矩阵是X ，于是AX X B 1-=.定理4 告知咱们，同一个线性变换A 在不同基下的矩阵之间的关系. 概念3 设A ，B 为数域P 上两个n 级方阵，若是能够找到数域P 上的n 级可逆方阵X ，使得AX X B 1-=，就说A 相似于B ，记作B A ~.相似是矩阵之间的一种关系，这种关系具有下面三个性质：1. 反身性：A A ~2. 对称性：若是B A ~，那么A B ~.3. 传递性：若是B A ~,C B ~,那么C A ~.定理 5 线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，若是两个矩阵相似，那么它们能够看做同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵.矩阵的相似关于运算有下面的性质.若是X A X B 111-=,X A X B 212-=，那么X A A X B B )(21121+=+-,X A A X B B )(21121-=由此可知，若是AX X B 1-=，且)(x f 是数域P 上一多项式，那么X A f X B f )()(1-=利用矩阵相似的那个性质能够简化矩阵的计算.例 2 设V 是数域P 上一个二维线性空间，21,εε是一组基，线性变换A 在21,εε下的矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0112 计算A 在V 的另一组基21,ηη下的矩阵，那个地址⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2111),(),(2121εεηη。

矩阵与线性变换的性质与求解方法线性变换是线性代数中的重要概念，而矩阵则是线性变换的一个重要工具。

矩阵与线性变换之间有着密切的联系，矩阵可以描述线性变换的性质和求解方法。

本文将主要探讨矩阵与线性变换的性质以及求解方法。

1. 线性变换的定义与性质在开始讨论矩阵与线性变换的关系之前，我们先了解一下线性变换的定义和性质。

线性变换是指在向量空间中，保持加法和数乘运算的函数。

具体而言，对于向量空间V中的两个向量u和v 以及一个标量c，线性变换T应满足以下两个性质：（1）T(u + v) = T(u) + T(v) （加法性质）（2）T(cu) = cT(u) （数乘性质）2. 矩阵与线性变换的关系矩阵可以用来表示线性变换，这一点是线性代数的一项重要概念。

假设我们有一个线性变换T，将向量空间V中的向量映射到向量空间W中的向量，可以用以下形式表示：T(x) = Ax其中，x是向量空间V中的一个向量，A是一个矩阵，T(x)是线性变换T作用在向量x上的结果。

3. 线性变换的矩阵表示当线性变换T被表示为矩阵A时，我们可以通过矩阵与向量的乘法来计算线性变换作用于向量上的结果。

具体而言，对于线性变换T(x) = Ax，将向量x表示为列向量[x1, x2, ..., xn]，矩阵A为一个m×n的矩阵，则可以用以下形式计算线性变换的结果：T(x) = Ax = [a1_1 x1 + a1_2 x2 + ... + a1_n xn, a2_1 x1 + a2_2 x2 + ... + a2_n xn, ..., am_1 x1 + am_2 x2 + ... + am_n xn]4. 线性变换的求解方法在实际问题中，我们需要求解线性变换作用于给定向量上的结果。

有两种常见的求解方法：矩阵乘法和矩阵求逆。

（1）矩阵乘法：如果我们已知线性变换T的矩阵表示A和向量x，我们可以通过矩阵乘法来计算线性变换的结果T(x)。

将向量x表示为列向量[x1, x2, ..., xn]，矩阵A为一个m×n的矩阵，则可以用以下形式计算线性变换的结果：T(x) = Ax（2）矩阵求逆：如果我们已知线性变换T的矩阵表示A和线性变换的结果T(x)，我们可以通过求解方程组Ax = T(x)来求解向量x。

向量空间中的线性变换和矩阵变换在线性代数中，向量空间是一个重要的概念，它是一组元素的集合，这些元素可以相加和相乘，满足一些特定的规则。

线性变换和矩阵变换则是向量空间中的基本操作，它们有着重要的应用，例如在机器学习和物理学等领域中。

一、线性变换的定义和性质线性变换是指将一个向量空间中的向量映射到另一个向量空间中的向量的变换。

严格地说，线性变换应该满足以下两个性质：1. 对于任意向量a和b，有T(a+b) = T(a) + T(b)；2. 对于任意向量a和标量k，有T(ka) = kT(a)。

这两个性质分别对应向量的加法和乘法。

线性变换不仅用于向量空间中，还可以应用于其他数学领域，例如微积分和拓扑学等。

线性变换有很多重要的性质，例如：1. 线性变换可以用矩阵表示；2. 线性变换保持向量空间的结构不变；3. 线性变换可以有逆变换，逆变换也是线性变换。

这些性质使得线性变换成为了一个非常常见的数学工具。

二、矩阵变换的定义和性质矩阵变换是指将一个向量空间中的向量用矩阵相乘的方式进行变换。

矩阵变换的定义可以表示为：T(x) = Ax其中T表示矩阵变换，A表示一个矩阵，x表示一个向量。

矩阵变换中的矩阵A具有很多特殊的性质，例如：1. 矩阵A可以表示线性变换；2. 矩阵A的行列式为0时，矩阵A不可逆，否则可逆；3. 矩阵A的秩表示变换后空间的维度；4. 矩阵A的特征值和特征向量可以用于描述变换的性质。

矩阵变换可以方便地进行计算，并且可以应用于很多实际问题中。

三、线性变换与矩阵变换的关系线性变换和矩阵变换有着密切的关系。

事实上，线性变换可以用矩阵表示，也可以通过矩阵变换来实现。

具体来说，任何一个线性变换T都可以表示成矩阵变换的形式：T(x) = Ax其中x表示一个向量，A表示一个矩阵。

如果我们在一个标准基下进行求解，那么矩阵A的每一列就是变换后的基向量的坐标。

同时，任何一个矩阵变换也可以表示成线性变换的形式。

对于任意矩阵A，可以定义一个线性变换T，使得：T(x) = Ax这里的x同样表示一个向量。