(全国通用)2014届高考数学总复习(考点引领+技巧点拨)矩阵与变换第1课时 线性变换、二阶矩阵及其乘法

《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）选修4－2 矩阵与变换第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值1. 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012，求MN . 解：MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10012＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤01210. 2. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273，若矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7a ，求a 、b 的值．解：由题意，知MM －1＝E ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 273⎣⎢⎡⎦⎥⎤b －2－7a ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab －1407b －213a －14＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎩⎪⎨⎪⎧ab －14＝1，7b －21＝0，3a －14＝1，解得a ＝5，b ＝3. 3. 求矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤12－12的特征多项式．解：f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－21λ－2＝(λ－1)(λ－2)＋2＝λ2－3λ＋4.4. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵M ＝[1 6－2－6]的特征值．解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－62λ＋6＝(λ＋2)·(λ＋3)＝0，令f(λ)＝0，得M 的特征值为λ1＝－2，λ2＝－3.5. (选修42P 73习题第1题改编)求矩阵N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3652的特征值及相应的特征向量．解：矩阵N 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－3－6－5λ－2＝(λ－8)·(λ＋3)＝0， 令f(λ)＝0，得N 的特征值为λ1＝－3，λ2＝8，当λ1＝－3时⎩⎪⎨⎪⎧－6x －6y ＝0，－5x －5y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1， 故特征值λ1＝－3的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 1； 当λ2＝8时⎩⎪⎨⎪⎧5x －6y ＝0，－5x ＋6y ＝0，一个解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝5，故特征值λ2＝8的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤65.1. 逆变换与逆矩阵(1) 对于二阶矩阵A 、B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．(2) 若二阶矩阵A 、B 均存在逆矩阵，则AB 也存在逆矩阵，且(AB )－1＝B －1A －1. (3) 利用行列式解二元一次方程组． 2. 特征值与特征向量(1) 设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使A α＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的属于特征值λ的一个特征向量．(2) 从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0)．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量．[备课札记]题型1 求逆矩阵与逆变换例1 用解方程组的方法求下列矩阵M 的逆矩阵．(1) M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101；(2) M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221. 解：(1) 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则由定义知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1101⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝1，b ＋d ＝0，c ＝0，d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，c ＝0，d ＝1，故M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－10 1. (2) 设M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d， 则由定义知⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，2a ＋c ＝0，2b ＋d ＝1，解得⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝23，d ＝－13，故M－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－13 2323－13.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1所对应的线性变换把点A(x ，y)变成点A′(13，5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解：依题意，由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1，得|M |＝1，则M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12.从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－31－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤135，得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－3， 故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－3，∴ A 点坐标为(2，－3)． 题型2 求特征值与特征向量例2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)．(1) 求实数a 的值；(2) 求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4 0，得2－2a ＝－4 a ＝3. (2) 由(1)知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时，⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0，－2x ＋（λ－1）y ＝0 2x －3y ＝0.∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32. 变式训练已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1221，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤17，计算M 5β.解：矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2－2λ－1＝λ2－2λ－3.令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1.令β＝m α1＋n α2，则m ＝4，n ＝－3. M 5β＝M 5(4α1－3α2)＝4(M 5α1)－3(M 5α2)＝4(λ51α1)－3(λ52α2)＝4×35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11－3×(－1)5⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤975969.题型3 根据特征值或特征向量求矩阵 例3 矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102有特征向量为e 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， (1) 求e 1和e 2对应的特征值；(2) 对向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤41，记作α＝e 1＋3e 2，利用这一表达式间接计算M 4α，M 10α.解：(1) 设向量e 1、e 2对应的特征值分别为λ1、λ2，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1102⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤10， 故λ1＝2，λ2＝1，即向量e 1，e 2对应的特征值分别是2，1. (2) 因为α＝e 1＋3e 2，所以M 4α＝M 4(e 1＋3e 2)＝M 4e 1＋3M 4e 2＝λ41e 1＋3λ42e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1916，M 10α＝M 10(e 1＋3e 2)＝M 10e 1＋3M 10e 2＝λ101e 1＋3λ102e 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤210＋3210.备选变式（教师专享）已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1有特征向量e 1→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，e 2→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，相应的特征值为λ1，λ2.(1) 求矩阵M 的逆矩阵M －1及λ1，λ2；(2) 对任意向量α→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，求M 100α→.解：(1) 由矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1变换的意义知M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1， 又Me 1→＝λ1e 1→，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝λ1⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，故λ1＝2，同理Me 2→＝λ2e 2→，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝λ2⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，故λ2＝－1.(2) 因为α→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝xe 1→＋ye 2→，所以M 100α→＝M 100(xe 1→＋y·e 2→)＝xM 100e 1→＋yM 100e 2→＝x λ1001e 1→＋y λ2100e 2→＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2100x y.1. 求函数f(x)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cosx sinx －1的值域．解：f(x)＝－2－sinxcosx ＝－2－12sin2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，－32.2. 已知矩阵A 的逆矩阵A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－143412－12，求矩阵A 的特征值． 解：∵ A －1A ＝E ，∴ A ＝(A －1)－1.∵ A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－14 34 12－12，∴ A ＝(A －1)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321. ∴ 矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝λ2－3λ－4.令f(λ)＝0，解得矩阵A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4. 3. (2013·江苏)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206，求矩阵A －1B . 解：设矩阵A 的逆矩阵为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 02⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a －b 2c 2d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，故a ＝－1，b ＝0，c ＝0，d ＝12.∴ 矩阵A 的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10 012， ∴ A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－10012⎣⎢⎡⎦⎥⎤1206＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－2 0 3. 4. 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1(a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1.(1) 求实数a 、b 的值；(2) 求A 2的逆矩阵．解：(1) 设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任一点P(x ，y)在矩阵A 对应的变换下的象是P′(x′，y ′)，由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝[]ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x′＝ax ，y ′＝bx ＋y. 因为P′(x′，y ′)在圆x 2＋y 2＝1上，所以(ax)2＋(bx ＋y)2＝1，化简可得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意可得a 2＋b 2＝2，2b ＝2 a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝1， 而由a>0可得a ＝b ＝1.(2) 由(1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1021 |A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.1. 已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1，若点P(1，1)在矩阵A 对应的变换作用下得到点P′(0，－8)．(1) 求实数a 的值； (2) 求矩阵A 的特征值．解：(1) 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－8，得a ＋1＝－8，所以a ＝－9. (2) 由(1)知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －1－9 1，则矩阵A 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 19 λ－1＝(λ－1)2－9＝λ2－2λ－8，令f(λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为－2或4.2. 已知M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1－43，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31，求二阶方阵X ，使MX ＝N .解：(解法1)设X ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x yz w ，据题意有⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1－43⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y z w ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31，根据矩阵乘法法则有⎩⎪⎨⎪⎧2x －z ＝4，2y －w ＝－1，－4x ＋3z ＝－3，－4y ＋3w ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝92，y ＝－1，z ＝5，w ＝－1，所以X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1. (解法2)因为MX ＝N ，所以X ＝M －1N ，M －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221.所以X ＝M －1N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤321221⎣⎢⎡⎦⎥⎤4－1－31＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92－15－1.3. 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21，其中a∈R ，若点P(1，－2)在矩阵M 的变换下得到点P′(－4，0)，求实数a 的值；并求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．解：由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 21⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－40，∴ 2－2a ＝－4 a ＝3.∴ M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2321，则矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－3－2λ－1＝(λ－2)(λ－1)－6＝λ2－3λ－4令f(λ)＝0，得矩阵M 的特征值为－1与4.当λ＝－1时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝0 x ＋y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值－1的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1；当λ＝4时， ⎩⎪⎨⎪⎧（λ－2）x －3y ＝0－2x ＋（λ－1）y ＝02x －3y ＝0，∴ 矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤32.4. 设矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b (其中a>0，b>0)．(1) 若a ＝2，b ＝3，求矩阵M 的逆矩阵M －1；(2) 若曲线C ：x 2＋y 2＝1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C′：x 24＋y 2＝1，求a 、b 的值．解：(1) 设矩阵M 的逆矩阵M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2，则MN －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001.又M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1x 2y 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，所以2x 1＝1，2y 1＝0，3x 2＝0，3y 2＝1，即x 1＝12，y 1＝0，x 2＝0，y 2＝13，故所求的逆矩阵M－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12013. (2) 设曲线C 上任意一点P(x ，y)，它在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到P′(x′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x′y′，即⎩⎪⎨⎪⎧ax ＝x′，by ＝y′.又点P′(x′，y ′)在曲线C′上，所以x′24＋y′2＝1，则a 2x 24＋b 2y 2＝1为曲线C 的方程．又已知曲线C 的方程为x 2＋y 2＝1，故⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1.又a>0，b>0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.1. 矩阵的逆矩阵(1) 已知A 、B 、C 为二阶矩阵，且AB ＝AC ，若矩阵A 存在逆矩阵，则B ＝C . (2) 对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (ad －bc≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤d ad －bc －b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 2. 二阶行列式与方程组的解对于关于x 、y 的二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n ，我们把⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab c d 称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值(或多项式)，记为det(A)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc.若将方程组中行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d 记为D ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪m b n d 记为D x ，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a m c n记为D y ，则当D≠0时，方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝D xD，y ＝D yD .请使用课时训练（B ）第2课时（见活页）.[备课札记]。

学案71 矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换导学目标： 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法.2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点).3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质．自主梳理1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy 中，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 称为________，其中a ，b ，c ，d 称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．2．矩阵的乘法行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换 (1)恒等变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1； (2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝_____________________________________________； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝____________；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍，k 1，k 2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝__________；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝__________，若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1.(其中k 为非零常数)． 4．线性变换的基本性质设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________；设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝__________.(1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝__________，②M (α＋β)＝______________________________.(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．自我检测1．点A (3，－6)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－10 12对应的变换作用下得到的点的坐标是________． 2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －20 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1，则它表示的方程组为______________．3．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，矩阵A 所确定的变换将点P (x ，y )变换成点Q ，则Q 点的坐标为________．4．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01对应的变换下作用后形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比为____________________．5．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变为点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求l 的方程．探究点一 几种常见的变换例1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 001，方程为y ＝2x ＋2；(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01，点A (2,5)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，曲线方程为x 2＋y 2＝4.变式迁移1 将点(2,4)先经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 002变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为________．探究点二 矩阵的乘法及几何意义例2 验证下列等式，并从几何变换的角度给予解释：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 113＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 101.变式迁移2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤22 22－22 22，求证：MN ＝NM .探究点三 矩阵与变换的综合应用例 3 已知两个城市甲与乙间的交通有陆路和航空两种，其陆路可用矩阵表示为M ＝错误!，航空可用矩阵表示为N ＝错误!.(1)试从NM 的结果中说明在这个网络里可以进行怎样的旅行？ (2)请计算M 2，并据此矩阵说明网络里可以进行怎样的旅行？ (3)请计算MNM ，并据此说明网络里可以做怎样的旅行？变式迁移3 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos β －sin βsin β cos β，试求AB ，并对其几何意义给予解释．1．常见的变换矩阵(1)恒等变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1；(2)伸压变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ；(3)反射变换矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1001，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1；(4)旋转变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ；(5)投影变换矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1010，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0001；(6)切变变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k1.2．矩阵的乘法不满足交换律，不满足消去律，但满足结合律．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤u v st ，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤au ＋bs av ＋bt cu ＋ds cv ＋dt .课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分) 1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (左)乘向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤p q 的法则是________． 2．在某个旋转变换中，顺时针旋转π3所对应的变换矩阵为________．3．直线2x ＋y －1＝0经矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1的变换后得到的直线方程为________．4．设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 将直线l ：x ＋y －1＝0变为直线x －y －2＝0，则a＝________，b ＝________.5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8455，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.则AB ＝________，AC ＝________. 6．曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为________．(其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.) 7．在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，△OAB 在矩阵MN的作用下变换所得的图形的面积为________(其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12222)． 8．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，则M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝________.二、解答题(共42分) 9．(14分)已知矩阵A ＝⎝⎛⎭⎪⎫1 121，向量β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12.求向量α，使得A 2α＝β.10．(14分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．11．(14分)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦⎤2－2 00.①求实数a ，b ，c ，d 的值；②求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程．学案71 矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换答案自主梳理1．二阶矩阵 元素 3.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 01 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 (4)k 1 k2 (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000 (6)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2 (1)λMα Mα＋Mβ自我检测1．(9，－3) 2.⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝03y ＝－1 3.(x －y ，y )4．1∶1解析 由题意知T M 为切变变换，故变换前后图形面积大小不变．5．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 (2)x ＋y ＋2＝0解析 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝－1.①⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2.②由①②联立得a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 234.(2)设(x ′，y ′)为l 上任意一点，在经矩阵M 变换下对应的点为(x ，y )， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′y ＝3x ′＋4y ′，代入x －y －4＝0得x ′＋y ′＋2＝0， 即x ＋y ＋2＝0. 课堂活动区例 1 解题导引 对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果．通过具体的矩阵对平面上给定图形(如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影．解 (1)所给方程表示的是一条直线．设A (x ，y )为直线上的任意一点，经过变换后的点为A ′(x ′，y ′)．∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴x ＝x ′，y ＝y ′.变换后的方程仍为y ＝2x ＋2. ∴该变换是恒等变换．(2)经过变化后变为(－2,5)，它们关于y 轴对称，故该变换为关于y 轴的反射变换． (3)所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A (x ，y )为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 001⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1， ∴2x ＝x 1，y ＝y 1.将之代入到x 2＋y 2＝4可得方程x 214＋y 124＝4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换．变式迁移1 (－8,2) 解析 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1002⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8 2 例2 解题导引 ①熟悉六种线性变换，方可理解矩阵乘法的几何意义．矩阵乘法MN 的几何意义为对向量连续依次实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．②因为矩阵的乘法运算不满足变换律，对应地，对一个向量a 先实施变换f ，再实施变换g 与先实施变换g ，再实施变换f ，其结果通常也是不一样的．因而做题时必须认真审题．弄清题意，不能混淆f (g (a ))和g (f (a ))．解 等式右边表示的是对点(x ，y )先作沿x 轴的切变变换得(x ＋y ，y )，再将所得的点进行保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍的伸压变换得(x ＋y,2y )，最后将得到的点作沿y 轴的切变变换得(x ＋y ，x ＋3y )．等式左边表示的是将点(x ，y )作如下变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1113⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y x ＋3y ，即它也是将点(x ，y )变成了点(x ＋y ，x ＋3y )，因此，等式两边表示的变换相同，所以有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 113＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 011⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1 变式迁移2 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24，NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－2222⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24， 故MN ＝NM .例3 解题导引 M 的意义表示陆路的网络图为甲→乙；N 的意义表示航空的网络图为甲→乙．解 (1)NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后航空的旅行．(2)M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0110⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后再陆路的旅行．(3)MNM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 111，这说明，在此网络中可以选择先陆路，再航空，然后再陆路的旅行．变式迁移3 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos β －sin βsin β cos β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos αcos β－sin αsin β －cos αsin β－sin αcos βsin αcos β＋cos αsin β －sin αsin β＋cos αcos β ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α＋β －sin α＋βsin α＋β cos α＋β AB 表示的变换为逆时针旋转α＋β. A 表示逆时针旋转α，B 表示逆时针旋转β.课后练习区 1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤p q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ap ＋bq cp ＋dq 2.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1232－32 12解析 顺时针旋转π3即逆时针旋转53π，变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 5π3 －sin 53πsin 5π3 cos 5π3 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos π3 sin π3－sin π3 cos π3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12. 3．2x ＋y ＋1＝0解析 由变换矩阵M 知坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝－x y ′＝－y ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－x ′y ＝－y ′，代入直线方程2x ＋y －1＝0得2x ′＋y ′＋1＝0.即2x ＋y ＋1＝0.4．2 －1解析 在直线l 上任取一点P (x ，y )，经矩阵变换后为点P ′(x ′，y ′)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋y by ， 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ′＝ax ＋y ，y ′＝by .所以ax ＋y －by －2＝0，即ax ＋(1－b )y －2＝0，于是由a 1＝1－b 1＝－2－1，解得a ＝2，b ＝－1. 5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14 解析 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14， AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14. 6．y ＝2sin 2x解析 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2，即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y ， 则12y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x . 7．1解析 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0. 由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 102. 所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4. 所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 304⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4. 9．解 A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3 243.(4分) 设α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ，由A 2α＝β，得⎝⎛⎭⎪⎫3 24 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，(7分) 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.(14分)10．解 由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1 ⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0.(4分)由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤ 0－2， ⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．(10分) 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.(14分)11．解 方法一 ①由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(6分) ②因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)．由⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00， ⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－22得 点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象分别是点(0,0)，(－2,2)．(12分)从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .(14分) 方法二 ①同方法一．②设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y )在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x ′，y ′)，由⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎡⎦⎤－2x 2x得y ′＝－x ′，即点(x ′，y ′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y )的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .。

学案71 矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换导学目标： 1.了解矩阵的有关概念，理解二阶矩阵与平面列向量的乘法.2.了解几种常见的平面变换，理解矩阵对应的变换把平面上的直线变成直线(或者点).3.理解二阶矩阵的乘法及简单性质．自主梳理1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy 中，由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋by ，y ′＝cx ＋dy ，(其中a ，b ，c ，d 是常数)构成的变换称为线性变换．由四个数a ，b ，c ，d 排成的正方形数表⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 称为________，其中a ，b ，c ，d称为矩阵的________，矩阵通常用大写字母A ，B ，C ，…或(a ij )表示(其中i ，j 分别为元素a ij 所在的行和列)．2．矩阵的乘法行矩阵[a 11a 12]与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21的乘法规则为[a 11a 12]⎣⎢⎡⎦⎥⎤b 11b 21＝[a 11b 11＋a 12b 21]，二阶矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 与列矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 的乘法规则为⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋by cx ＋dy .矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1；(2)旋转变换R θ对应的矩阵是M ＝_____________________________________________； (3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝__________；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M 3＝____________；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 1 00 k 2，表示将每个点的横坐标变为原来的________倍，纵坐标变为原来的________倍，k 1，k 2均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x 轴的投影变换的矩阵为M ＝__________； (6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移|ky |个单位，则对应矩阵M ＝__________，若沿y 轴平移|kx |个单位，则对应矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1.(其中k 为非零常数)．4．线性变换的基本性质设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，规定实数λ与向量α的乘积λα＝__________；设向量α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2，规定向量α与β的和α＋β＝__________. (1)设M 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M (λα)＝__________，②M (α＋β)＝______________________________.(2)二阶矩阵对应的变换(线性变换)把平面上的直线变成直线(或一点)．自我检测1．点A (3，－6)在矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 －10 12对应的变换作用下得到的点的坐标是________． 2．设⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －20 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－1，则它表示的方程组为______________．3．设矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －10 1，矩阵A 所确定的变换将点P (x ，y )变换成点Q ，则Q 点的坐标为________．4．设△OAB 的三个点坐标为O (0,0)，A (A 1，A 2)，B (B 1，B 2)，在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01对应的变换下作用后形成△OA ′B ′，则△OAB 与△OA ′B ′的面积之比为____________________．5．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，－1)与(－2,1)分别变为点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在矩阵M 对应的变换作用下得到直线m ：x －y －4＝0，求l 的方程．探究点一 几种常见的变换例1 试讨论下列矩阵将所给图形变成了什么图形，并指出该变换是什么变换． (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，方程为y ＝2x ＋2； (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，点A (2,5)； (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1，曲线方程为x 2＋y 2＝4.变式迁移1 将点(2,4)先经过矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2变换后，再绕原点逆时针旋转90°角所得的点坐标为________．探究点二 矩阵的乘法及几何意义例2 验证下列等式，并从几何变换的角度给予解释： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1.变式迁移2 已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12和N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22，求证：MN ＝NM .探究点三 矩阵与变换的综合应用例3 已知两个城市甲与乙间的交通有陆路和航空两种，其陆路可用矩阵表示为M ＝错误!，航空可用矩阵表示为N ＝错误!.(1)试从NM 的结果中说明在这个网络里可以进行怎样的旅行？(2)请计算M 2，并据此矩阵说明网络里可以进行怎样的旅行？ (3)请计算MNM ，并据此说明网络里可以做怎样的旅行？变式迁移3 已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos β －sin βsin β cos β，试求AB ，并对其几何意义给予解释．1．常见的变换矩阵(1)恒等变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1；(2)伸压变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 00 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 k ；(3)反射变换矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 1，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1；(4)旋转变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ；(5)投影变换矩阵为M 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 0，M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 0，M 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 1；(6)切变变换矩阵为M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k 0 1或M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 0k 1.2．矩阵的乘法不满足交换律，不满足消去律，但满足结合律． 设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤u v s t ，则AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤au ＋bs av ＋bt cu ＋ds cv ＋dt .课后练习(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (左)乘向量⎣⎢⎡⎦⎥⎤p q 的法则是________．2．在某个旋转变换中，顺时针旋转π3所对应的变换矩阵为________．3．直线2x ＋y －1＝0经矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 00 －1的变换后得到的直线方程为________．4．设a ，b ∈R ，若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10b 将直线l ：x ＋y －1＝0变为直线x －y －2＝0，则a ＝________，b ＝________.5．已知A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5，C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1.则AB ＝________，AC ＝________.6．曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为________．(其中M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 00 1.)7．在直角坐标系中，△OAB 的顶点坐标O (0,0)，A (2,0)，B (1，2)，△OAB 在矩阵MN的作用下变换所得的图形的面积为________(其中矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤122022)． 8．已知二阶矩阵M 满足M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，则M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1＝________.二、解答题(共42分)9．(14分)已知矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1，向量β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12.求向量α，使得A 2α＝β.10．(14分)(2010·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,0)，B (－2,0)，C (－2,1)．设k 为非零实数，矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1，N ＝⎣⎡⎦⎤0 11 0，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到的点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 的面积的2倍，求k 的值．11．(14分)已知矩阵M ＝⎣⎡⎦⎤1b a 1，N ＝⎣⎡⎦⎤c 0 2d ，且MN ＝⎣⎡⎦⎤2－2 00.①求实数a ，b ，c ，d 的值；②求直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程．学案71 矩阵与变换 (一)二阶矩阵与变换答案自主梳理1．二阶矩阵 元素 3.(2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos θ －sin θsin θ cos θ(3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 －1 (4)k 1 k 2 (5)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 000 (6)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k 01 4.⎣⎢⎡⎦⎥⎤λx λy ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1＋x 2y 1＋y 2 (1)λM α M α＋M β自我检测1．(9，－3) 2.⎩⎪⎨⎪⎧4x －2y ＝03y ＝－1 3.(x －y ，y )4．1∶1解析 由题意知T M 为切变变换，故变换前后图形面积大小不变．5．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 (2)x ＋y ＋2＝0解析 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1c －d ＝－1.①⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝0－2c ＋d ＝－2.②由①②联立得a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，故M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4.(2)设(x ′，y ′)为l 上任意一点，在经矩阵M 变换下对应的点为(x ，y )，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′＋2y ′y ＝3x ′＋4y ′， 代入x －y －4＝0得x ′＋y ′＋2＝0， 即x ＋y ＋2＝0. 课堂活动区例1 解题导引 对于已知变换前后的象和原象，要求变换矩阵这类问题，我们显然无法对所有的变换进行一一尝试，用待定系数法解题可起到事半功倍的效果．通过具体的矩阵对平面上给定图形 (如正方形、三角形)的变换，应充分地认识到矩阵可表示如下的线性变换：恒等、反射、伸压、旋转、切变、投影．解 (1)所给方程表示的是一条直线．设A (x ，y )为直线上的任意一点，经过变换后的点为A ′(x ′，y ′)． ∵⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， ∴x ＝x ′，y ＝y ′.变换后的方程仍为y ＝2x ＋2. ∴该变换是恒等变换．(2)经过变化后变为(－2,5)，它们关于y 轴对称，故该变换为关于y 轴的反射变换． (3)所给方程是以原点为圆心，2为半径的圆，设A (x ，y )为曲线上的任意一点，经过变换后的点为A 1(x 1，y 1)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 00 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，∴2x ＝x 1，y ＝y 1.将之代入到x 2＋y 2＝4可得方程x 214＋y 124＝4，此方程表示椭圆，所给方程表示的是圆，该变换是伸压变换．变式迁移1 (－8,2) 解析 由题意知⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos 90° －sin 90°sin 90° cos 90°⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤24 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －21 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8 2例2 解题导引 ①熟悉六种线性变换，方可理解矩阵乘法的几何意义．矩阵乘法MN 的几何意义为对向量连续依次实施的两次几何变换(先T N 后T M )的复合变换．②因为矩阵的乘法运算不满足变换律，对应地，对一个向量a 先实施变换f ，再实施变换g 与先实施变换g ，再实施变换f ，其结果通常也是不一样的．因而做题时必须认真审题．弄清题意，不能混淆f (g (a ))和g (f (a ))．解 等式右边表示的是对点(x ，y )先作沿x 轴的切变变换得(x ＋y ，y )，再将所得的点进行保持横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍的伸压变换得(x ＋y,2y )，最后将得到的点作沿y 轴的切变变换得(x ＋y ，x ＋3y )．等式左边表示的是将点(x ，y )作如下变换：⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y x ＋3y ，即它也是将点(x ，y )变成了点(x ＋y ，x ＋3y )，因此，等式两边表示的变换相同，所以有⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1变式迁移2 解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24， NM ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 22 22－22 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 －3232 12＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2＋64 2－646－246＋24， 故MN ＝NM .例3 解题导引 M 的意义表示陆路的网络图为甲→乙；N 的意义表示航空的网络图为甲→乙．解 (1)NM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后航空的旅行．(2)M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路后再陆路的旅行．(3)MNM ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 11 0⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 1，这说明，在此网络中可以选择先陆路，再航空，然后再陆路的旅行．变式迁移3 解 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos α －sin αsin α cos α⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos β －sin βsin β cos β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos αcos β－sin αsin β －cos αsin β－sin αcos βsin αcos β＋cos αsin β －sin αsin β＋cos αcos β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋β －α＋βα＋β α＋βAB 表示的变换为逆时针旋转α＋β.A 表示逆时针旋转α，B 表示逆时针旋转β. 课后练习区1.⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤p q ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ap ＋bq cp ＋dq2.⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12解析 顺时针旋转π3即逆时针旋转53π，变换矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤cos 5π3 －sin 53πsin 5π3 cos5π3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ cos π3 sin π3－sin π3 cos π3＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 32－32 12.3．2x ＋y ＋1＝0解析 由变换矩阵M 知坐标变换公式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－x y ′＝－y，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－x ′y ＝－y ′，代入直线方程2x ＋y －1＝0得2x ′＋y ′＋1＝0.即2x ＋y ＋1＝0. 4．2 －1解析 在直线l 上任取一点P (x ，y )，经矩阵变换后为点P ′(x ′，y ′)，则由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 10 b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ax ＋y by ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ＋y ，y ′＝by . 所以ax ＋y －by －2＝0，即ax ＋(1－b )y －2＝0，于是由a 1＝1－b 1＝－2－1，解得a ＝2，b ＝－1.5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14 解析 AB ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤8 45 5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －7－2 14，AC ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2 －3－4 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 －23 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 －7－2 14.6．y ＝2sin 2x解析 MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 2⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 0 0 2， 即在矩阵MN 变换下⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12x 2y ， 则12y ′＝sin 2x ′，即曲线y ＝sin x 在矩阵MN 变换下的函数解析式为y ＝2sin 2x . 7．1解析 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤00＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00， ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤20＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤20，⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 220 －22⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1. 可知O ，A ，B 三点在矩阵MN 作用下变换所得的点分别为O ′(0,0)，A ′(2,0)，B ′(2，－1)．可知△O ′A ′B ′的面积为1.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4 解析 设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10，所以a ＝1，c ＝0. 由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22得，⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋b c ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，所以b ＝1，d ＝2. 所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2. 所以M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 10 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4. 所以M 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 30 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2－4. 9．解 A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 12 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3 24 3.(4分) 设α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ，由A 2α＝β，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3 24 3⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，(7分) 从而⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＝1，4x ＋3y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12.(14分) 10．解 由题设得MN ＝⎣⎡⎦⎤k 00 1 ⎣⎡⎦⎤0 11 0＝⎣⎡⎦⎤0 k 1 0.(4分)由⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00，⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－20＝⎣⎡⎦⎤ 0－2， ⎣⎡⎦⎤0 k 1 0⎣⎡⎦⎤－21＝⎣⎡⎦⎤k －2，可知A 1(0,0)，B 1(0，－2)，C 1(k ，－2)．(10分) 计算得△ABC 的面积是1，△A 1B 1C 1的面积是|k |，由题设知|k |＝2×1＝2，所以k 的值为－2或2.(14分)11．解 方法一 ①由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＋0＝2，2＋ad ＝0，bc ＋0＝－2，2b ＋d ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝－1，c ＝2，d ＝2.(6分)②因为矩阵M 对应的线性变换将直线变成直线(或点)，所以可取直线y ＝3x 上的两点(0,0)，(1,3)．由⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤00＝⎣⎡⎦⎤00， ⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤13＝⎣⎡⎦⎤－22得 点(0,0)，(1,3)在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象分别是点(0,0)，(－2,2)．(12分) 从而直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .(14分) 方法二 ①同方法一．②设直线y ＝3x 上的任意点(x ，y )在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象是点(x ′，y ′)，由⎣⎡⎦⎤x ′y ′＝⎣⎡⎦⎤1－1 －11⎣⎡⎦⎤x y ＝⎣⎡⎦⎤ x －y －x ＋y ＝⎣⎡⎦⎤－2x 2x 得y ′＝－x ′，即点(x ′，y ′)必在直线y ＝－x 上．由(x ，y )的任意性可知，直线y ＝3x 在矩阵M 所对应的线性变换作用下的象的方程为y ＝－x .。

《矩阵与变换》考试知识点一、151．已知矩阵111A a -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中a R ∈，若点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，求矩阵A 的两个特征值.【答案】矩阵A 的特征值为1-或3． 【解析】 【分析】根据点(1,1)P 在矩阵A 的变换下得到点(0,3)P '-，列出方程求出a ，从而可确定矩阵A ，再求出矩阵A 的特征多项式，令其等于0，即可求出矩阵A 的特征值． 【详解】由1110113a -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得13a +=-，所以4a =-， 故1141A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 则矩阵A 的特征多项式为2211()(1)42341f x -==--=---λλλλλ，令()0f λ=，解得1λ=-或3λ=， 所以矩阵A 的特征值为1-或3． 【点睛】本题主要考查矩阵的特征多项式及特征值的求法，属于中档题．2．已知关于x 、y 的二元一次方程组()4360260x y kx k y +=⎧⎨++=⎩的解满足0x y >>，求实数k的取值范围. 【答案】5,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】由题意得知0D ≠，求出x D 、y D 解出该方程组的解，然后由0x y D >>⎧⎨≠⎩列出关于k 的不等式组，解出即可. 【详解】由题意可得()4238D k k k =+-=+，()601x D k =-，()604y D k =-.由于方程组的解满足0x y >>，则0D ≠，该方程组的解为()()60186048x y k D x D k D k y D k ⎧-==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，由于00D x y y ≠⎧⎪>⎨⎪>⎩，即()()()806016048860408k k k k k k k ⎧⎪+≠⎪--⎪>⎨++⎪⎪->⎪+⎩，整理得802508408k k k k k ⎧⎪+≠⎪-⎪>⎨+⎪-⎪<⎪+⎩，解得542k <<. 因此，实数k 的取值范围是5,42⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，考查运算求解能力，属于中等题.3．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααααπααα-=⎧≤≤⎨+=⎩.【答案】见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-. 0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22πα≠且322πα≠时，即当4πα≠且34πα≠时，11sin cos x y D x DD y D αα⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪+⎩；②当4πα=时，方程组为2222x x =⎪⎪⎪=⎪⎩，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩；③当34πα=时，方程组为22x x =-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩.【答案】见解析 【解析】 【分析】计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况. 【详解】 系数行列式为2441m D m m==-，()242x m D m m mm+==-，()()222211y m m D m m m m m+==--=-+.①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，原方程组有唯一解()()()2224221142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩；②当240D m =-=时，2m =±.（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解；（ii ）当2m =时，0x yD D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=， 该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.5．用行列式方法解关于x y 、的方程组：()()1R 214ax y a x a y a-=⎧∈⎨--=⎩，并对解的情况进行讨论.【答案】1a =时无解；12a =-时无穷解；12a ≠-且1a ≠时有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩【解析】 【分析】本题先求出相关行列式D 、x D 、y D 的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论． 【详解】Q 关于x 、y 的方程组：1()2ax y a a R x ay a +=+⎧∈⎨+=⎩，()()1R 214ax y a x a y a -=⎧∈⎨--=⎩∴21||1(1)(1)1a D a a a a==-=+-，21||(12)121(1)(21)112a D a a a a a a a-==-+=-++=--+-211||(1)2x a D a a a a a a +==-=-，1||124124121x D a a a a a==-+=+-- 21||21(21)(1)12y a a D a a a a a +==--=+-，21||41(21)(21)14y a D a a a a==-=+-.（1）当12a ≠-且1a ≠时，有唯一解11211x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩，（2）当1a =时，无解； （3）当12a =-，时无穷解． 【点睛】本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题．6．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； ()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵． ()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭， 增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，170345210501052105210521021212025810254002120202001010*******⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪----- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7．用行列式解关于x 、y 的方程组3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩，并讨论说明解的情况.【答案】当1m =时，无穷解；当14m =-时，无解；当1m ≠且14m ≠-时，有唯一解，441x m =+，8341m y m +=-+. 【解析】 【分析】 先求出系数行列式D ，x D ，y D ，然后讨论m ，从而确定二元一次方程解的情况． 【详解】 解：3(31)484mx y m x my m -=⎧⎨+-=+⎩Q 21431(41)(1)431mm D m m m m m -∴+-==-+=+-++，4443148x D m mm -==--+，()()23853*******y m D m m m m m m ==--+++=-，①当1m ≠且14m ≠-时，0D ≠，原方程组有唯一解，即144(41)4(14)x D m x m D m m -===+++-，()()()()8318341141y D m m m y D m m m +-+===-+-++， ②当1m =时，0D =，0x D =，0y D =，原方程组有无穷解． ③当14m =-时，0D =，0x D ≠，原方程无解． 【点睛】本题主要考查了行列式，以及二元一次方程的解法，属于基础题．8．关于x 的不等式201x a x+<的解集为()1,b -．()1求实数a ，b 的值；()2若1z a bi =+，2z cos isin αα=+，且12z z 为纯虚数，求tan α的值．【答案】（1）1a =-，2b =（2）12- 【解析】 【分析】(1)由题意可得:1-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,利用根与系数的关系即可得出答案;(2)利用(1)的结果得()()1222z z cos sin cos sin i αααα=--+-为纯虚数,利用纯虚数的定义即可得出． 【详解】解：(1)不等式201x ax+<即()20x x a +-<的解集为()1,b -． 1∴-,b 是方程220x ax +-=的两个实数根,∴由1b a -+=-，2b -=-，解得1a =-,2b =． (2)由(1)知1,2a b =-=,()()()()121222z z i cos isin cos sin cos sin i αααααα∴=-++=--+-为纯虚数，20cos sin αα∴--=,20cos sin αα-≠,解得12tan α=-.【点睛】本题考查了行列式,复数的运算法则、纯虚数的定义、一元二次方程的根与系数的关系、一元二次不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.9．解方程：23649x xx=.【答案】1x = 【解析】 【分析】根据行列式的运算性质，求得29346xx x ⨯-⨯=，转化为322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2x t =，得到方程1231t t ⨯-⨯=，进而即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得23293449xx xx=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，方程两边同除6x，可得322()3()123xx ⨯-⨯=， 令3()2xt =，且0t >，则21()3xt =，可得1231t t⨯-⨯=，解32t =或1t =-（舍去）， 即33()22x=，解得1x =. 故答案为：1x =.本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.10．在平面直角坐标系xOy 中，设点()1,2A -在矩阵1001M -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到点A '，将点()3,4B 绕点A '逆时针旋转90o 得到点B '，求点B '的坐标． 【答案】()1,4- 【解析】试题分析：先根据矩阵运算确定()1,2A '，再利用向量旋转变换0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦确定：A B ''u u u u r.因为，所以1{4x y =-= 试题解析：解：设(),B x y '， 依题意，由10110122--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得()1,2A ' 则．记旋转矩阵0110N -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则01211022x y --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2122x y --⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，解得1{4x y =-=， 所以点B '的坐标为()1,4- 考点：矩阵运算，旋转矩阵11．已知向量102112A ⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦u r ，求矩阵1A -u r 的特征值和属于该特征值的特征向量.【答案】特征值：1,2-；对应特征向量：12⎛⎫ ⎪-⎝⎭，11⎛⎫⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】先求得1A -u r，以及其特征多项式()fλ，令()0f λ=解得特征值，最后根据特征向量的定义求解即可.设1A-u ra b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由A u r 1A -u r E =r可得 10? 1?02 10? 1?1? 2a b c d ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，解得1,1,2,0a b c d =-=-=-=， 故得1A-u r 1? 12? 0--⎛⎫= ⎪-⎝⎭. 则其特征多项式()()1? 1?122? f λλλλλ+==+-，令()0fλ=，可得特征值为121,2λλ==-.设11λ=对应的一个特征向量为x y α⎛⎫= ⎪⎝⎭，则由11A λαα-=r，的2y x =-，令1x =，则2y =- 故矩阵1A -u r的一个特征值11λ=对应的一个特征向量为12⎛⎫⎪-⎝⎭； 同理可得矩阵1A -u r 的一个特征值22λ=-对应的一个特征向量为11⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查矩阵特征值和特征向量的求解，属中档题.12．设矩阵12M x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2411N ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，若02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求矩阵M 的逆矩阵1M -．【答案】132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据矩阵的乘法运算求出MN ，然后由02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦列出方程组，即可求出4,3x y ==，从而确定矩阵M ，再利用求逆矩阵的公式，即可求出矩阵M 的逆矩阵1M -．解：因为02513MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ，所以25,413.x y x y -=⎧⎨-=⎩ 所以4,3x y ==；矩阵1243M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的逆矩阵132554155M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题主要考查矩阵的乘法运算及逆矩阵的求解．13．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程.【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =-【解析】 【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+， 所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．14．已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3. （1）求a ，b 的值；（2）求属于2λ的一个特征向量α. 【答案】（1）1a =，2b =；（2）11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r. 【解析】 【分析】（1）利用特征多项式，结合韦达定理，即可求a ，b 的值； （2）利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量． 【详解】（1）令2()()(4)(4)4014a bf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-， 于是124a λλ+=+，124a b λλ=+．解得1a =，2b =. （2）设x y α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，则122331443x x y x x A y x y y y α+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦r， 故2343x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x y =．于是11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ．【点睛】本题主要考查矩阵的特征值与特征向量等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想，属于基础题．15．已知矩阵1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，4123B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵M BA =，求矩阵M 的逆矩阵1M -． 【答案】13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【解析】试题分析：411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 试题解析：B ．因为411041230123M BA -⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13110101255M -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．16．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】 【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单17．已知a ，b R ∈，若M =13a b -⎡⎤⎢⎥⎣⎦所对应的变换T M 把直线2x-y=3变换成自身，试求实数a ，b ．【答案】【解析】 【分析】 【详解】 设则即此直线即为则..18．（1）已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB . （2）已知矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为3，求10M . 【答案】（1）51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;（2）29525295242952429525⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）依题意，利用矩阵变换求得11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得x 的值，即可求得矩阵M ，运用对角化矩阵，求得所求矩阵． 【详解】（1）解：111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦Q ，11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，又1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 1202AB ⎡⎤∴=⎢⎥-⎣⎦151********⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦． （2）解：矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为12()(1)()42f x x λλλλλ--==-----， 可得2(3)40x --=，解得1x =，即为1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.由()0f λ=可得13λ=，21λ=-， 当13λ=时，由12321x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x y x +=，23x y y +=，即x y =，取1x =， 可得属于3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当11λ=-时，由1221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2x y x +=-，2x y y +=-，即x y =-，取1x =，可得属于1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.设1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则111221122P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，13001M P P -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，101115904905904912952529524220159049111295242952522M P P -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘方的计算的知识.19．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量； （3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求4A βu r.【答案】（1）20a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；（3）先计算出126βαα=-+u r u u ru u r ，再利用()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案. 【详解】 （1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）知2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---， 令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=. 将11λ=-代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r.再将13λ=代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r.综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）设12m n βαα=+u ru u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，所以()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r()441148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.20．给定矩阵，；求A 4B ．【答案】【解析】试题分析：由题意已知矩阵A=，将其代入公式|λE ﹣A|=0，即可求出特征值λ1，λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B 用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A 4B 进行计算即可．解：设A 的一个特征值为λ，由题知=0（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3当λ1=2时，由=2，得A的属于特征值2的特征向量α1=当λ1=3时，由=3，得A的属于特征值3的特征向量α2=由于B==2+=2α1+α2故A4B=A4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2=+=点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．。

数学《矩阵与变换》复习知识点(1)一、151．已知命题P ：lim 0n n c →∞=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.【答案】112c -<< 【解析】 【分析】先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出2()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最后即可解决问题． 【详解】由已知命题:lim 0nn P c →∞=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。

三阶行列式5236418x cx-中第一行、第二列元素的代数余子式记为()f x ，则2()4f x x cx =-+-，且函数()f x 在上单调递增．∴函数()f x 在1(,]4-∞上单调递增，11242c c ⇒厖，Q 命题Q 是假命题，12c ∴<． ∴命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，实数c 的取值范围是112c -<<． 【点睛】本题主要考查极限及其运算、三阶行列式的代数余子式，解答的关键是代数余子式的符号问题．2．计算：12131201221122120-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】91559124-⎛⎫⎪--⎝⎭【解析】 【分析】直接利用矩阵计算法则得到答案. 【详解】121312011213140222112212021122240-⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 123319155213629124----⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力.3．解方程组()32021mx y x m y m+-=⎧⎨+-=⎩，并求使得x y >的实数m 的取值范围.【答案】()1,3 【解析】 【分析】计算出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，求出方程组的解，再由x y >列出关于m 的不等式，解出即可. 【详解】 由题意可得()()2362321m D m m m m m ==--=+--，2321x D m m m ==---，()()224222y m D m m m m==-=-+.①当0D ≠时，即当260m m --≠时，即当2m ≠-且3m ≠时，1323x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩.x y >Q ，则()()()2222133m m m ->--，即()22130m m ⎧-<⎪⎨-≠⎪⎩，解得13m <<； ②当2m =-时，方程组为2320232x y x y -+-=⎧⎨-=-⎩，则有232x y -=，该方程组有无穷多解，x y >不能总成立；③当3m =时，方程组为33202230x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，即203302x y x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+-=⎪⎩，该方程组无解.综上所述，实数m 的取值范围是()1,3. 【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，同时也考查了分式不等式的求解，在解题时要注意对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.4．解方程组()sin cos 2cos 0cos cos 2sin x y x y ααααπααα-=⎧≤≤⎨+=⎩.【答案】见解析. 【解析】 【分析】求出行列式D 、x D 、y D ，对D 分0D ≠和0D =两种情况分类讨论，利用方程组的解与行列式之间的关系求出方程组的解，或者将参数的值代入方程组进行求解，由此得出方程组的解. 【详解】由题意得()sin cos2cos cos2sin cos cos2D ααααααα=+=+，()cos cos2sin cos2sin cos cos2x D ααααααα=+=+， 22sin cos cos2y D ααα=-=-. 0απ≤≤Q ，022απ∴≤≤.①当0D ≠时，即当cos20α≠时，即当22πα≠且322πα≠时，即当4πα≠且34πα≠时，11sin cos x y D x DD y D αα⎧==⎪⎪⎨⎪==-⎪+⎩； ②当4πα=时，方程组为==，则该方程组的解为1x y R =⎧⎨∈⎩；③当34πα=时，方程组为x x =⎨⎪=⎪⎩，该方程组的解为1x y R =-⎧⎨∈⎩.【点睛】本题考查二元一次方程组的求解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.5．用行列式解方程组252,23,24 1.x y z y z x y z ++=-⎧⎪--=⎨⎪++=-⎩【答案】1337313x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩【解析】 【分析】先根据方程组中x ，y ，z 的系数及常数项求得D ，x D ，y D ，z D ，再对a 的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】方程组可转化为：125202324111x y z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-⎦--⎣，1912502241D =-=-， 13922532141x D --=-=-，12503221121y D --==--，1312203241z D ---==-，所以13,37,31.3x y z D x D D y D D z D ⎧==⎪⎪⎪==-⎨⎪⎪==-⎪⎩【点睛】本题考查三元一次方程组的矩阵形式、线性方程组的行列式求解，考查运算求解能力．6．不等式21101x xba xa ->-的解是12x <<，试求a ，b 的值. 【答案】12a =-，1b =-或1a =-，2b =- . 【解析】 【分析】将行列式展开，由行列式大于0，即ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，由1和2是方程ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知，列方程组即可求得a 和b 的值． 【详解】2111x xb a xa-=-x 2×（﹣a ）×（﹣1）+x +abx ﹣x 2×（﹣a ）﹣ax 2﹣（﹣1）×b ＝ax 2+（1+ab ）x +b ＞0，∵不等式的解为1＜x ＜2，∴a ＜0，且1，2为一元二次方程：ax 2+（1+ab ）x +b ＝0的两个根，由韦达定理可知：11212ab ab a +⎧+=-⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，整理得：2a 2+3a +1＝0，解得：12a b =-⎧⎨=-⎩或121a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，故a ＝﹣1，b ＝﹣2或a 12=-，b ＝﹣1． 【点睛】本题考查行列式的展开，考查一元二次不等式与一元二次方程的关系及韦达定理，考查计算能力，属于中档题．7．利用行列式解关于x 、y 的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩.【答案】见解析 【解析】 【分析】计算出系数行列式D ，以及x D 、y D ，然后分0D ≠和0D =两种情况讨论，在0D ≠时，直接利用行列式求出方程组的解，在0D =时，得出2m =±，结合行列式讨论原方程组解的情况.【详解】 系数行列式为2441m D m m==-，()242x m D m m mm+==-，()()222211y m m D m m m m m+==--=-+.①当240D m =-≠时，即当2m ≠±时，原方程组有唯一解()()()2224221142x y m m D m x D m m D m m m y D m m ⎧-===⎪⎪-+⎨-++⎪===⎪-+⎩；②当240D m =-=时，2m =±.（i ）当2m =-时，0D =，8x D =，4y D =，原方程组无解； （ii ）当2m =时，0x y D D D ===，原方程为24422x y x y +=⎧⎨+=⎩，可化为22x y +=，该方程组有无数组解，即12x R x y ∈⎧⎪⎨=-⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求二元一次方程组的解，解题时要对系数行列式是否为零进行分类讨论，考查运算求解能力与分类讨论思想的应用，属于中等题.8．已知P :矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2；Q :行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2,若P 是Q 成立的充分条件,求实数m 的取值范围.【答案】[2,)+∞ 【解析】 【分析】先根据行列式中元素1-的代数余子式的值求出P ，再根据矩阵图某个列向量的模不小于2求出Q ，结合P 是Q 成立的充分条件可得实数m 的取值范围. 【详解】因为矩阵图5110x x ⎛⎫+⎪+ ⎪ ⎝的某个列向量的模不小于2，所以521x x +≥+，解得 13x -≤≤；因为行列式114203121mx ----中元素1-的代数余子式的值不大于2，所以2323211mm x x --=-+≤，即21m x ≤-； 因为P 是Q 成立的充分条件，所以213m -≥，解得2m ≥；故实数m 的取值范围是[2,)+∞.【点睛】本题主要考查矩阵和行列式的运算及充分条件，明确矩阵和行列式的运算规则是求解的关键，充分条件转化为集合的包含关系，侧重考查数学运算的核心素养.9．证明：（1）11122212a b a a a b b b =； （2）1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）根据行列式的运算，分别化简得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-，即可求解；（2）根据行列式的运算，分别化简得1212122122a ka b kb a b a b a b ++=-，11122122a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】（1）根据行列式的运算，可得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-， 所以11122212a b a a a b b b =.（2）根据行列式的运算，可得121212212222()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+ 122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，又由11122122a b a b a b a b =-，所以1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sincossin 222sincos 022sec12A A cBB B -=-求角C 的大小.【答案】2π 【解析】 【分析】先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】由sincossin 222sincos 0sin cos sin sin cos 2222222sec12A A cBB A BC B A B -=⇒++=-sin sin 22A B C +⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫==⎪⎝⎭，sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭，sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又Q 3,2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242C ππ+=∴， 解得2C π=【点睛】本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值.【答案】2πθ=【解析】 【分析】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩，又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++=因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=.【点睛】本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知圆C 经矩阵332a M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦变换后得到圆22:13C x y '+=，求实数a 的值.【答案】2a = 【解析】 【分析】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x ax yy x y =+⎧⎨=-''⎩，代入计算得到答案.【详解】设圆C 上任一点(,)x y ，经M 变换后得到(),x y ''，则332x a x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则332x ax yy x y=+⎧⎨=-''⎩，由(),x y ''在22:13C x y '+=上， 可得22(3)(32)13ax y x y ++-=，即()22292(36)1313a x a xy y ++-+=， 由方程表示圆，可得2913a +=，2(36)0a -=，则2a =. 【点睛】本题考查了圆的矩阵变换，意在考查学生的应用能力.13．设函数()271f x x ax =-++（a 为实数）. （1）若1a =-，解不等式()0f x ≥； （2）若当01xx>-时，关于x 的不等式()1f x ≥成立，求a 的取值范围； （3）设21()1x g x ax +=--，若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)8{|3x x ≤或6}x ≥;(2)[5,)-+∞;(3)[4,)-+∞ 【解析】 【分析】(1)代入1a =-直接解不等式即可; (2)由01xx>-解得01x <<,故可将()1f x ≥化为(2)70a x -+≥,从而求出a 的范围; (3)化简()g x ,故可将题设条件变为:存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立,因此求出2722x x ---的最小值即可得出结论.【详解】(1)若1a =-,则()271f x x x =-+- 由()0f x ≥得|27|1x x -≥-, 即270271x x x ->⎧⎨-≥-⎩或270721x x x -≤⎧⎨-≥-⎩, 解得6x ≥或83x ≤, 故不等式的解集为8{|3x x ≤或6}x ≥; (2)由01xx>-解得01x <<, 由()1f x ≥得|27|0x ax -+≥,当01x <<时,该不等式即为(2)70a x -+≥,设()(2)7F x a x =-+,则有(0)70(1)50F F a =>⎧⎨=+≥⎩解得5a ≥-,因此实数a 的取值范围为[5,)-+∞; (3)21()1x g x ax +=--2|1|(1)x a x =-++, 若存在x 使不等式()()f x g x ≤成立,即存在x 使271x ax -++2|1|(1)x a x ≤-++成立, 即存在x 使1|27||22|a x x -≥---成立, 又272227(22)5x x x x ---≤---=, 所以527225x x -≤---≤, 所以15a -≥-,即4a ≥-, 所以a 的取值范围为:[4,)-+∞ 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式,结合了恒成立,能成立等问题,属于综合应用题.解决恒成立,能成立问题时,常将其转化为最值问题求解.14．已知=是矩阵M=属于特征值λ1=2的一个特征向量．（Ⅰ）求矩阵M ； （Ⅱ）若，求M 10a ．【答案】（Ⅰ）M=；（Ⅱ）M 10=．【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意，M =，从而，由此能求出矩阵M ．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M 的特征多项式为f （λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），矩阵M 的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M 属于特征值λ2=1的特征向量，由已知得=，由此能求出M 10．（Ⅱ）（方法二）M 2=MM=，，M 5=M 3M 2，M 10=M 5M 5，由此能求出M 10． 解：（Ⅰ）依题意，M=，，∴，解得a=1，b=2．∴矩阵M=．（Ⅱ）（方法一）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1，设=是矩阵M属于特征值λ2=1的特征向量，则，∴，取x=1，得=，∴，∴M10==．（Ⅱ）（方法二）M2=MM=，，M5=M3M2==，M10=M5M5==，∴M10=．点评：本题考查矩阵与变换、特殊性征向量及其特征值的综合应用等基本知识，考查运算求解能力．15．[选修4-2：矩阵与变换]已知矩阵A=0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B=1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦.求AB;若曲线C1;22y=182x+在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2 ，求C2的方程.【答案】（1）0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）228x y+=【解析】试题分析：（1）直接由矩阵乘法可得；（2）先根据矩阵乘法可得坐标之间关系，代入原曲线方程可得曲线2C 的方程．试题解析：解：（1）因为A =0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B =1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以AB =01101002⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 0210⎡⎤⎢⎥⎣⎦. （2）设()00,Q x y 为曲线1C 上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为(),P x y ,则000210x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即002y x x y =⎧⎨=⎩，所以002x yx y =⎧⎪⎨=⎪⎩. 因为()00,Q x y 在曲线1C 上，所以2200188x y +=，从而22188x y +=，即228x y +=.因此曲线1C 在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线2C ： 228x y +=. 点睛:（1）矩阵乘法注意对应相乘：a b m p am bn ap bq c d n q cm dn cp dq ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）矩阵变换：a b x x c d y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣'⎦⎦'表示点(,)x y 在矩阵a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦变换下变成点(,)x y ''．16．已知向量11α-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦v 是矩阵103a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的属于特征值λ的一个特征向量. （1）求实数a ，λ的值；（2）求2A .【答案】（1）4,3.a λ=⎧⎨=⎩（2）216709A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）根据特征值的定义可知A αλα=u r u r，利用待定系数法求得实数a ，λ的值。

【高中数学】高考数学《矩阵与变换》解析(1)一、151．已知命题P ：lim 0n n c →∞=，其中c 为常数，命题Q ：把三阶行列式5236418x c x ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭中第一行，第二列元素的代数余子式记为()f x ，且函数()f x 在1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦上单调递增，若命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，求实数c 的取值范围.【答案】112c -<< 【解析】 【分析】先由已知命题P 是真命题，得：11c -<<，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代数余子式写出2()4f x x cx =-+-，结合函数()f x 在上单调递增．求得c 的取值范围，最后即可解决问题． 【详解】由已知命题:lim 0nn P c →∞=，其中c 为常数，是真命题，得：11c -<<。

三阶行列式5236418x cx-中第一行、第二列元素的代数余子式记为()f x ，则2()4f x x cx =-+-，且函数()f x 在上单调递增．∴函数()f x 在1(,]4-∞上单调递增，11242c c ⇒厖，Q 命题Q 是假命题，12c ∴<． ∴命题P 是真命题，而命题Q 是假命题，实数c 的取值范围是112c -<<． 【点睛】本题主要考查极限及其运算、三阶行列式的代数余子式，解答的关键是代数余子式的符号问题．2．解方程：23649x xx=.【答案】1x = 【解析】【分析】根据行列式的运算性质，求得29346xx x ⨯-⨯=，转化为322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2x t =，得到方程1231t t ⨯-⨯=，进而即可求解【详解】根据行列式的运算性质，可得23293449xx xx=⨯-⨯，即29346x x x ⨯-⨯=，方程两边同除6x ，可得322()3()123xx⨯-⨯=，令3()2xt =，且0t >，则21()3xt =，可得1231t t⨯-⨯=，解32t =或1t =-（舍去）， 即33()22x=，解得1x =. 故答案为：1x =. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及指数幂的运算和一元二次方程的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合指数幂的运算和一元二次方程的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能，属于基础题.3．解关于x ，y 的方程组93x ay aax y +=⎧⎨+=⎩.【答案】分类讨论，详见解析 【解析】 【分析】分别计算得到29D a =-，6x D a =，23y D a =-，讨论得到答案.【详解】2199a D a a ==-，639x a a D a ==，2133y a D a a ==-.当3a ≠±时，0D ≠，此时方程有唯一解：2226939a x a a y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩； 当3a =±时，0D =，0x D ≠，方程无解. 综上所述：3a ≠±，有唯一解；3a =±，无解. 【点睛】本题考查了通过行列式讨论方程组的解的情况，分类讨论是一个常用的方法，需要同学熟练掌握.4．（1）计算行列式34912，5111022，28728--的值；（2）你能否从（1）中的结论得出一个一般的结论？试证明你的结论； （3）你发现的（2）的结论，在三阶行列式中是否成立？【答案】（1）三个行列式的值都为0；（2）0a bka kb=或()0a ka k b kb =∈R ；证明见解析；（3）成立 【解析】 【分析】（1）分别进行化简计算即可求得；（2）观察可知对应行或列应成比例关系，化简求值即可证明； （3）可假设成立，再结合运算关系进行求证即可 【详解】 （1）3436360912=-=，51111011001022=-=，2856560728-=-=-；（2）由（1）可知0a bka kb=或()0a ka k b kb =∈R ，证明如下： 0a bkab kab ka kb =-=，0a ka kab kab b kb=-=，即0a bka kb=或()0a ka k b kb=∈R 成立；（3）假设三阶行列式中成立，即0ab ckakbkc na nb nc=或0a ka na b kb nb c kcnc=证明如下：0a b ckakbkc knabc knabc knabc knabc knabc knabc na nb nc =++---=0a ka nab kb nb knabc knabc knabc knabc knabc knabc c kcnc=++---= 得证，故三阶行列式也成立 【点睛】本题考查行列式的简单计算，结论的类比推理，属于基础题5．关于ϕ的矩阵()cos sin sin cos A ϕϕϕϕϕ-⎛⎫=⎪⎝⎭，列向量12x X x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.（1）已知11x =，23x =，45ϕ=︒，计算()A X ϕ，并指出该算式表示的意义； （2）把反比例函数1xy =的图象绕坐标原点逆时针旋转45︒，求得到曲线的方程；（3）已知数列12n n a =，n *∈N ，猜想并计算()()()12n A a A a A a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅. 【答案】（1）⎛⎝，表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）22122y x -=； （3）cos1sin1sin1cos1-⎛⎫⎪⎝⎭.【解析】 【分析】（1）根据向量与矩阵的乘法可计算结果，由旋转变换的运算法则即可得到算式表示的意义；（2）由题意，得旋转变换矩阵cos sin4422sin cos 4422A ππππ⎛⎛⎫--⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，设xy =1上的任意点(),P x y '''在变换矩阵A 作用下为(,)P x y ，确定坐标之间的关系，即可求得曲线的方程；（3）分别求出n =1，n =2，n =3时矩阵相乘的结果，由此猜想算式关于n 的表达式，从而可求得所求算式的结果. 【详解】（1）()cos sin11442233sin cos 4422A X ππϕππ⎛⎛⎫--⎪⎛⎛⎫⎛⎫ ⎪===⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 该算式表示把向量X 逆时针旋转45︒得到的向量；（2）由题意，得旋转变换矩阵cos sin4422sin cos 4422A ππππ⎛⎛⎫--⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 设xy =1上的任意点(),P x y '''在变换矩阵A 的作用下为(,)P x y ，则2222x x y y ⎛- ⎛⎫⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪''⎝⎭，2222x x y y x y ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=+'''⎩'⎪，则2222222222y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫''''''-=+--== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将曲线xy =1绕坐标原点按逆时针方向旋转45︒，所得曲线的方程为22122y x -=；（3）当n =1时，()111cos sin2211sin cos 22n n n nA a ⎛⎫- ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭； 当n =2时，()()2212221111cos sin cos sin 22221111sin cos sin cos 2222A a A a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222222211111111cos cos sin sin cos sin cos sin 2222222211111111sin cos sin cos cos cos sin sin 22222222⎛⎫--- ⎪=⎪ ⎪+- ⎪⎝⎭22221111cos()sin()22221111sin()cos()2222⎛⎫+-+ ⎪= ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭，当n =3时，()()()22331232233111111cos sin cos sincos sin222222111111sin cos sin cos sin cos 222222A a A a A a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪=⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23232323111111cos()sin()222222111111sin()cos()222222⎛⎫++-++ ⎪= ⎪ ⎪++++ ⎪⎝⎭，由此猜想：当n =k 时，()()()221222111111cos sin cos sincos sin222222111111sin cos sin cos sin cos 222222k k k kkA a A a A a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪=⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L222211111111cos()sin()cos(1)sin(1)2222222211111111sin()cos()sin(1)cos(1)22222222k k k k k k k k ⎛⎫⎛⎫+++-+++--- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L L L L ，当k →+∞时，1112k-→， 所以()()()12cos1sin1sin1cos1n A a A a A a -⎛⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查向量经矩阵变换后的向量求法，曲线的旋转变换和矩阵的乘法，关键掌握住变换的运算法则和矩阵的乘法公式，属中档题.6．求证：sin cos 1sin 2cos 21sin 22sin sin 3cos31xx xx x x xx =-. 【答案】证明见解析【解析】 【分析】先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】sin cos 1sin 2cos 2sin cos sin cos sin 2cos 21sin 3cos3sin 3cos3sin 2cos 2sin 3cos31x x x x x x x xx x x x x x x xxx =-+=sin （-x ）-sin（-2x ）+sin （-x ）=sin 2x -sin 2x . 【点睛】本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的正弦公式，属于中档题．7．用行列式解关于的二元一次方程组：12(1)x y x k y k +=⎧⎨++=⎩.【答案】1k =时,方程组无解; 1k ≠时,12,11k x y k k -==-- 【解析】 【分析】由题方程组中x ,y 的系数及常数项求出D,D ,D X y ,然后再讨论k 的值进行求解方程组的解. 【详解】由题意可得:11D 21k =+= 1k -,11D 11X kk ==+,11 D 22y k k==-,∴当D ?10k =-≠即1k ≠时,方程组有唯一解即D 1D 1X x k ==-,D 2 D 1y k y k -==-; 当D ?10k =-=即1k =时,方程组无解.综上所述: 1k ≠时,方程组有唯一解1121x k k y k ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩; 1k =时,方程组无解. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的矩阵形式、线性方程组解得存在性、唯一性以及二元方程解法等基础知识,考查了学生的运算能力,属于中档题.8．已知线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．()1写出方程组的系数矩阵和增广矩阵； ()2运用矩阵变换求解方程组．【答案】（1）矩阵为5225⎛⎫ ⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）34212021x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】 【分析】()1由线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，能写出方程组的系数矩阵和增广矩阵．()2由170345010521052102121258102540202001012121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫→→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，能求出方程组的解． 【详解】（1）Q 线性方程组5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩．∴方程组的系数矩阵为5225⎛⎫⎪⎝⎭，增广矩阵为5210.258⎛⎫⎪⎝⎭（2）因为5210258x y x y +=⎧⎨+=⎩，1703452105010521052105210212120258102540021202020010101212121⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪∴→→→→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪-----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，34212021x y ⎧=⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩．【点睛】本题考查方程组的系数矩阵和增广矩阵的求法，考查运用矩阵变换求解方程组，考查矩阵的初等变换等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．证明：（1）11122212a b a a a b b b =； （2）1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据行列式的运算，分别化简得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-，即可求解；（2）根据行列式的运算，分别化简得1212122122a ka b kb a b a b a b ++=-，11122122a b a b a b a b =-，即可求解. 【详解】（1）根据行列式的运算，可得11121222a b a b b a a b =-，12122112a aa b a b b b =-， 所以11122212a b a a a b b b =. （2）根据行列式的运算，可得121212212222()()a ka b kb a ka b b kb a a b ++=+-+122221221221()()a b ka b a b ka b a b a b =+-+=-，又由11122122a b a b a b a b =-，所以1212112222a kab kb a b a b a b ++=. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算及其应用，其中解答中熟记行列式的运算法则，准确化简是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．定义()111111n n n n x x n N y y +*+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为向量()111,n n n OP x y +++=u u u u u v 的一个矩阵变换， （1）若()12,3P ，求2OP u u u v ，3OP u u u v； （2）设向量()11,0OP =u u u v ，O 为坐标原点，请计算9OP u u u v 并探究2017OP u u u u u u v的坐标. 【答案】（1）()21,5OP =-u u u v ，()36,4OP =-u u u v；（2）()25216,0. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系可直接计算2OP uuu r ，3OP u u ur .（2）根据向量的递推关系可得816n n OP OP +=u u u u u r u u u r 对任意的*n N ∈恒成立，据此可求9OP u u u r、2017OP u u u u u u r的坐标.【详解】（1）因为()12,3P ，故123OP ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ，设2x OP y ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r ， 则11211135x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以215OP -⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 即()21,5OP =-u u u r ，同理()36,4OP =-u u u r . （2）因为111111n n n n x x y y ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以11n n n n nn x x y y x y ++-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 故21121122n n n n n n n n x x y y y x y x ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3223222222n n n n n n n n n n x x y y x y x y y x ++++++---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭，43343344n n n n n n n n x x y x y x y y ++++++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以44n n OP OP +=-u u u u u r u u u r ，故816n n OP OP +=u u u u u r u u u r . 又9811=⨯+，20174504182521=⨯+=⨯+,()911616,0OP OP ==u u u r u u u r所以()252252201711616,0OP OP ==u u u u u u r u u u r . 【点睛】本题考查向量的坐标计算及向量的递推关系，解题过程中注意根据已知的递推关系构建新的递推关系，此问题为中档题.11．直线l 经矩阵M ＝cos sin sin cos θθθθ-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(其中θ∈(0，π))作用变换后得到直线l ′：y ＝2x ，若直线l 与l ′垂直，求θ的值.【答案】2πθ=【解析】 【分析】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)，根据矩阵变换运算得到x ′，y ′，代入直线l ′：y ＝2x ，得到直线l 方程，再由两直线垂直求解. 【详解】在l 上任取一点P (x ，y )，设P 经矩阵M 变换后得到点P ′(x ′，y ′)cos sin cos sin sin cos sin cos x x y x y x y y θθθθθθθθ''-⋅-⋅⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⋅+⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦故cos sin sin cos x x y y x y θθθθ=-'=+'⎧⎨⎩，又P ′在直线l ′：y ＝2x 上，即y ′＝2x ′ 则sin cos 2cos 2sin x y x y θθθθ+=-即直线l ：(sin 2cos )(2sin cos )0x y θθθθ-++= 因为l 与l ′垂直，故sin 2cos 1=cos 02sin cos 2θθθθθ-⇒=+又(0,)θπ∈，故2πθ=.【点睛】本题主要考查矩阵变换研究两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.12．已知,,x y z 是关于的方程组000ax by cz cx ay bz bx cy az ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解.（1）求证：()111a bc a b ca b a b c c a bcabc =++； （2）设01,,,z a b c =分别为ABC ∆三边长，试判断ABC ∆的形状，并说明理由；（3）设,,a b c 为不全相等的实数，试判断"0"a b c ++=是“222000o x y z ++>”的 条件，并证明.①充分非必要；②必要非充分；③充分且必要；④非充分非必要. 【答案】（1）见解析（2）等边，见解析（3）④，见解析【解析】【分析】（1）将行列式的前两列加到第三列上即可得出结论；（2）由方程组有非零解得出a b cc a bb c a=0，即111a bc ab c=0，将行列式展开化简即可得出a＝b＝c；（3）利用（1），（2）的结论即可答案．【详解】（1）证明：将行列式的前两列加到第三列上，得：a b c a b a b cc a b c a a b cb c a b c a b c++=++=++（a+b+c）•111a bc ab c．（2）∵z0＝1，∴方程组有非零解，∴a b cc a bb c a=0，由（1）可知（a+b+c）•111a bc ab c=0．∵a、b、c分别为△ABC三边长，∴a+b+c≠0，∴111a bc ab c=0，即a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝0，∴2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2bc﹣2ac＝0，即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣c）2＝0，∴a＝b＝c，∴△ABC是等边三角形．（3）若a+b+c＝0，显然（0，0，0）是方程组的一组解，即x02+y02+z02＝0，∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的充分条件；若x02+y02+z02＞0，则方程组有非零解，∴a b cc a bb c a=（a+b+c）•111a bc ab c=0．∴a+b+c＝0或111a bc ab c=0．由（2）可知a+b+c＝0或a＝b＝c．∴a+b+c＝0”不是“x02+y02+z02＞0”的必要条件．故答案为④．【点睛】本题考查了行列式变换，齐次线性方程组的解与系数行列式的关系，属于中档题．13．已知矩阵13m P m m ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，x Q y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2M m -⎛⎫= ⎪⎝⎭，13N m ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，若PQ =M +N .(1) 写出PQ =M +N 所表示的关于x 、y 的二元一次方程组； (2) 用行列式解上述二元一次方程组.【答案】(1) 1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩；(2) 见解析【解析】 【分析】(1)利用矩阵的乘法和加法的运算法则直接计算并化简即可得出答案；(2)先由二元一次方程组中的系数和常数项计算出D ，D x ，D y ，然后再讨论m 的取值范围，①当m ≠0,且m ≠-3时，②当m =0时，③当m =-3时，分别求出方程组的解即可得出答案. 【详解】解：(1) 由题意可得PQ=13mm m ⎛⎫ ⎪-⎝⎭x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭=3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭，M+N=213m m -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭=123m -⎛⎫ ⎪+⎝⎭，所以由PQ= M+N ，可得3mx y mx my +⎛⎫ ⎪-⎝⎭=123m -⎛⎫⎪+⎝⎭，即得1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩； (2) 由题意可得行列式1(3)3m D m m m m==-+-，1(3)231x D m m m==--++- ,12(3)323y mD m m m m -==++①当m ≠0,且m ≠-3时，D ≠0，方程组有唯一解12x m y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩；②当m =0时，D =0,但D x ≠0，方程组无解； ③当m =-3时，D =D x =D y =0，方程组有无穷多解31x ty t =⎧⎨=-⎩(t ∈R ).【点睛】本题考查了矩阵的乘法加法运算法则的应用，考查了用行列式求解二元一次方程组方法的应用，对参数的讨论是用行列式解二元一次方程组的关键，考查了运算能力，属于一般难度的题.14．定义“矩阵”的一种运算()x a b ax by cx dy c y d ⎡⎤⎛⎫⋅=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，该运算的意义为点(),x y 在矩阵a b c d ⎛⎫⎪⎝⎭的变换下成点()ax by cx dy ++，，设矩阵11A ⎛=-⎭()1已知点P 在矩阵A 的变换后得到的点Q的坐标为)2，试求点P 的坐标；()2是否存在这样的直线：它上面的任一点经矩阵A 变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由． 【答案】（1）14⎫⎪⎭（2）存在，直线方程为：y x =或y = 【解析】 【分析】()1设(),P x y ，由题意，得出关于x 、y 的方程，解之即得P 点的坐标；()2对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在这样的直线，设直线方程为：()0y kx b k =+≠，该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y +-仍在该直线上，再结合求方程的解，即可求得k ，b 值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在． 【详解】()1设(),P x y由题意，有124x x y y ⎧=⎧⎪+=⎪⎪⎨⎨-=⎪⎪⎩=⎪⎩，即P点的坐标为14⎫⎪⎭． ()2假设存在这样的直线，因为平行坐标轴的直线显然不满足条件，所以设直线方程为：()0y kx b k =+≠因为该直线上的任一点(),M x y，经变换后得到的点()N x y +-仍在该直线上()-=++y k x b即)()10k x y b --=，其中()0y kx b k =+≠代入得()2220k x b +++=对任意的x ∈R恒成立()22020k b +=+=⎪⎩解之得0k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩0k b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故直线方程为y x =或y =． 【点睛】此题主要考查矩阵变换的问题，其中涉及到矩阵的求法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想，属于中档题．15．已知二阶矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征值1λ=-所对应的一个特征向量为13-⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（1）求矩阵M ；（2）设曲线C 在变换矩阵M 作用下得到的曲线C '的方程为2y x =，求曲线C 的方程. 【答案】（1）2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦（2）292y x x =- 【解析】 【分析】（1）根据特征值和特征向量的定义式写出相应的矩阵等式，转化成线性方程组可得,a b 的值，即可得到矩阵M ；（2）根据矩阵对应的变换写出对应的矩阵恒等式，通过坐标转化计算可得出曲线C 的方程． 【详解】解：（1）依题意得111333a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即31333a b -+=⎧⎨-+=-⎩，解得20a b =⎧⎨=⎩，所以2130M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦； （2）设曲线C 上一点(,)P x y 在矩阵M 的作用下得到曲线2y x =上一点(),P x y '''，则2130x x y y ''⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x x y y x ''=+⎧⎨=⎩， 因为2y x ''=，所以292x x y =+， 所以曲线C 的方程为292y x x =-． 【点睛】本题主要考查特征值和特征向量的定义计算的能力，以及矩阵对应的变换得出变换前的曲线方程，本题属中档题．16．已知二阶矩阵，矩阵属于特征值的一个特征向量为，属于特征值的一个特征向量为.求矩阵.【答案】【解析】 【分析】运用矩阵定义列出方程组求解矩阵 【详解】由特征值、特征向量定义可知，，即，得同理可得解得，，，.因此矩阵【点睛】本题考查了由矩阵特征值和特征向量求矩阵，只需运用定义得出方程组即可求出结果，较为简单17．已知直线l ：0ax y -=在矩阵0112A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点()1,1，求实数a 的值. 【答案】1a =- 【解析】 【分析】根据矩阵变换得到()210a x ay ''-++=，将点()1,1代入方程，计算得到答案. 【详解】设(),P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点､(),P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2x x y y x =-+⎧⎨='''⎩， 代入0ax y -=，整理得()210a x ay ''-++=.将点()1,1代入上述方程，解得1a =-. 【点睛】本题考查了矩阵变换，意在考查学生的计计算能力和转化能力.18．（1）已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB .（2）已知矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为3，求10M . 【答案】（1）51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;（2）29525295242952429525⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）依题意，利用矩阵变换求得11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵乘法的性质可求得答案．（2）根据特征多项式的一个零点为3，可得x 的值，即可求得矩阵M ，运用对角化矩阵，求得所求矩阵． 【详解】（1）解：111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦Q ，11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，又1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，1202AB ⎡⎤∴=⎢⎥-⎣⎦15114410102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦． （2）解：矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为12()(1)()42f x x λλλλλ--==-----， 可得2(3)40x --=，解得1x =，即为1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.由()0f λ=可得13λ=，21λ=-， 当13λ=时，由12321x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x y x +=，23x y y +=，即x y =，取1x =， 可得属于3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当11λ=-时，由1221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2x y x +=-，2x y y +=-，即x y =-，取1x =，可得属于1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.设1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则111221122P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，13001M P P -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 101115904905904912952529524220159049111295242952522M P P -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘方的计算的知识.19．已知a ，b R ∈，点()1,1P -在矩阵13a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到点()1,3Q . （1）求a ，b 的值；（2）求矩阵A 的特征值和特征向量；（3）若向量59β⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r，求4A βu r .【答案】（1）20a b =⎧⎨=⎩；（2）矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）485489⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；（3）先计算出126βαα=-+u r u u ru u r ，再利用()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r 计算即可得到答案. 【详解】 （1）由题意知，11113133a a b b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 则1133a b -=⎧⎨-=⎩，解得2a b =⎧⎨=⎩. （2）由（1）知2130A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，矩阵A 的特征多项式()()21233f λλλλλ--==---， 令()0f λ=，得到A 的特征值为11λ=-，13λ=. 将11λ=-代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得3y x =-，所以矩阵A 的属于特征值1-的一个特征向量为113α⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦u u r.再将13λ=代入方程组()2030x y x y λλ⎧--=⎨-+=⎩，解得y x =，所以矩阵A 的属于特征值3的一个特征向量为211α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u u r.综上，矩阵A 的特征值为1-，3，分别对应的一个特征值为13⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，11⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（3）设12m n βαα=+u ru u r u u r ，即5119313m n m n m n +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以539m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得16m n =-⎧⎨=⎩，所以126βαα=-+u r u u r u u r ，所以()4444121266A A A A βαααα=-+=-+u r u u r u u r u u r u u r()441148516331489⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--+⨯=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 【点睛】本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.20．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，且sincossin 222sincos 022sec12A A cBB B -=-求角C 的大小.【答案】2π 【解析】 【分析】先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】由sincossin 222sincos 0sin cos sin sin cos 2222222sec12A A cBB A BC B A B -=⇒++=-sin sin 22A B C +⎛⎫⇒+= ⎪⎝⎭又()C A B π=-+，∴ sin sin cos 222A B C C π+-⎛⎫==⎪⎝⎭，sin sin sin cos 2222A B C C C +⎛⎫+=⇔+= ⎪⎝⎭，sin 12424C C ππ⎛⎫⎛⎫+=⇒+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又Q 3,2444C πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，242C ππ+=∴， 解得2C π=【点睛】本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题。

专题八选考系列第1讲矩阵与变换1. 计算:(1) ; (2) .2. 若直线y=kx在矩阵对应的变换作用下得到的直线过点P(4,1),求实数k的值.3. (2013·连云港模拟)已知矩阵M=,点A(1,0)在矩阵M对应变换作用下变为A'(1,2),求矩阵M 的逆矩阵M-1.4. 设A=,B=,X=,试解方程AX=B.5. 设数列,满足a n+1=3a n+2b n,b n+1=2b n,且满足=M,求二阶矩阵M.6. (2012·高淳模拟)在平面直角坐标系xOy中,设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=对应的变换作用下得到曲线F,求曲线F的方程.7. (2013·海安模拟)已知矩阵A=,向量α=.(1) 求A的逆矩阵;(2) 计算A5α的值.8. (2013·扬州期末)若矩阵A有特征值λ1=3,λ2=-1,它们所对应的特征向量分别为e1=和e2=,求矩阵A.9. 已知矩阵M=,N=.(1) 求矩阵MN;(2) 若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到点Q(0,1),求点P的坐标.10. (2013·苏、锡、常、镇四市调研)已知点A(0,0),B(2,0),C(2,2)在矩阵M=对应的变换作用下得到的对应点分别为A'(0,0),B'(,1),C'(0,2),求矩阵M.【高考押题】11.已知矩阵M=对应的变换将点A(1,1)变为A'(0,2),将曲线C:xy=1变为曲线C',求:(1) 实数a,b的值;(2) 曲线C'的方程.专题八选考系列第1讲矩阵与变换1. (1) 原式==.(2) 原式==.2. 设变换T:→,则==,即代入直线y=kx,得x'=ky',将点P(4,1)代入得k=4.3. 因为=,所以a=1,b=2,所以M=,所以M-1=.4. 由已知可得A-1=,X=A-1B==,即5. 由题知=,所以=,所以M==.6. 设P(x0,y0)是椭圆上任意一点,点P(x0,y0)在矩阵A对应的变换下变为点P'(x'0,y'0),则有=,即所以又因为点P在椭圆上,故4+=1,从而(x'0)2+(y'0)2=1,所以曲线F的方程是x2+y2=1.7. (1) 因为|A|==6≠0,故A-1==.(2) 矩阵A的特征多项式为f (λ)==λ2-5λ+6,由f(λ)=0,解得λ1=2,λ2=3.当λ1=2时,解得a1=;当λ2=3时,解得a2=,设α=ma1+na2,得解得m=3,n=1.则A5α=A5(3a1+a2)=3(A5a1)+A5a2=3(a1)+a2=3×25+35=.8. 设A=,由得即解得所以A=.9. (1) MN==.(2) 方法一:设点P(x,y),则=,即解得即点P.方法二:设点P(x,y),因为=,所以==,即点P.10. 由题意得=,所以则a=,c=.又=,所以则b=-,d=,所以矩阵M=.11. (1) 由题意知=,即解得(2) 设P'(x,y)是曲线C'上任意一点,则由题意得=,即解得因为x0y0=1,所以·=1,即-=1, 故曲线C'的方程为-=1.。