2016-2017年上海市曹杨二中高二下期中

曹杨二中高二期中考数学卷2016.11一. 填空题1.三个平面最多把空间分成个部分2.两条异面直线所成角的取值范围是3.给出以下命题“已知点A 、B 都在直线l 上，若A 、B 都在平面α上，则直线l 在平面α上”，试用符号语言表述这个命题4.设E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的形状一定是5.设点A ∈平面α，点B ∈平面β，l αβ=，且点A ∉直线l ，点B ∉直线l ，则直线l 与过A 、B两点的直线的位置关系6.数列{}n a 中，设n S 是它的前n 项和，若2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =7.设a 、b 是两个不相等的正数，若11lim 2n n n nn a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是 8.计算1981891899189991899991n -++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=个9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1C 到直线BD 的距离为10.我们把b 除a 的余数r 记为mod r a b =，例如49mod5=，如图所示，若输入209a =，77b =，则循环体“mod r a b ←”被执行了次11.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =12.若三数a 、1、c 成等差数列，且2a 、1、2c 成等比数列，则22lim()n n a c a c →∞+=+13.在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互 相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面 互相平行；其中正确的有14.在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，若记位于第i 行第j 列的 数为ij a (,1,2,,)i j n =⋅⋅⋅，则当9n =时，表中所有满足2i j <的ij a 的和为二. 选择题15.已知右图是计算111124620S =+++⋅⋅⋅+的值的一 个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A. 10i > B. 10i <C. 20i > D. 20i <16.下列命题中，正确的共有（ ）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内；A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17.从21k +()k N ∈开始，连续21k +个自然数的和等于（ ）A.3(1)k +B. 33(1)k k ++C. 33(1)k k -+ D. 3(21)(1)k k ++ 18.已知方程组239246x y z x y z k x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩的解中，1y =-，则k 的值为（） A. 3B. 3-C. 1D. 1- 三. 解答题19.解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论；20.如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 为△ABC 和△ACD 重心，6BD =；（1）求MN 的长；（2）若A 、C 的位置发生变化，MN 的位置和长度会改变吗？21.已知长方体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，2AA '=；（1）求出异面直线AC '和BD 所成角的余弦值；（2）找出AC '与平面D DBB ''的交点，并说明理由；22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n a S a a =--(a 为常数，且0a ≠，1)a ≠； （1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （3）若数列{}n b 是（2）中的等比数列，数列(1)n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；23.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”； （1）若数列{}n a 的前n 项和2n n S =，*n N ∈，{}n a 是否是“H 数列”，说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ *()n N ∈成立；参考答案一. 填空题1.82.(0,]2π3.已知A l ∈，B l ∈，若A α∈，B α∈，则l α⊆4.平行四边形5.异面6. 3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩7.02b <<8. 110910n n +-- 9. 210.411. 1n -12.0或113. ①③ 14.88二. 选择题15.A16.C 17.B 18.B三. 解答题19.略；20.（1）2；（2）位置改变，长度不改变；21.（1）145；（2）略； 22.（1）n a ；（2）13；（3）3n n b =，错位相减，1239344n n n T +-=⋅+； 23.（1）是；（2）1-；（3）略；。

2018-2019学年曹杨二中高二下英语期中Ⅱ. Grammar and VocabularySection A (10’)Directions: After reading the passage below, fill in the blanks to make the passage coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word; for the other blanks, use one word that best fits each blank.A twist of fateWhen Tamara Rabi met Adriana Scott at a local McDonald’s restaurant, their lives changed forever. “I didn’t know what to say (21)______ ‘hi’. I was just so shocked -- it was like seeing myself,” says Adriana. They were both students at neighbouring universities in Long Island, New York, and they had grown up only 30 kilometres apart. They shared a birthday, they were exactly the same height and both loved hip hop. But the most important thing (22) ______ was shared between them was the same Mexican mother. Both girls grew up knowing that their mother (23)______ (give) them up for adoption when they were born, but they had no idea (24)______ they had a twin sister. Then, Justin Lattore, a friend of Adriana’s, went to Tamara’s twentieth birthday party. When he walked in and saw Tamara, hardly (25)______ he believe his eyes. “I was just shocked -- she looked so much like Adriana,” says Justin. Then it got clear -- they had to be sisters. In fact, Tamara had already noticed that strangers on her university campus often smiled and said hello, clearly (26)________ (mistake) her for someone else.Following the birthday, Justin put the two girls in touch and they arranged the McDonald’s meeting by email. “(27)________ she came towards me, she was walking like me, talking like me,” says Tamara. “We have the same mannerisms, the same interests and got the same grades at school,” adds Adriana. The girl even discovered that as children they had often had the same nightmare of a really loud noise (28)________ (follow) by a very quiet one. They had another sad factor in common. (29)________ of their adoptive fathers had died a few years before they met.N ow the twins are finishing their studies, and they meet often. “I feel she’s my sister, but our relationship right now is more like friends,” says Tamara. She’s optimistic and excited that their futures will be together. “We will always have each other. We don’t have any other brothers and sisters -- we are sure (30)________ (grow) old together!”Section B (10’)Directions: Complete the following passage by using the words in the box. Each word can onlyImagine working for an employer who, aware that you’re probably not sleeping enough at night, allows you to down tools and nap as part of your regular work ___31___ -- and not just forty winks at your desk, but a restorative snooze in a quiet room.These are some of the measures being used by a growing number of companies in Japan tocounter an epidemic of sleeplessness that costs its economy a(n) ___32___ $ 138 bn a year.Tech startups have been quickest to ___33___the “sleep debt” among irritable and unproductive employees. Last year, Nextbeat, an TT service provider, went as far as setting up two “strategic sleeping rooms” -- one for men, the other for women -- at its headquarters in Tokyo. The aroma-infused rooms ___34___ devices that block out background noise, allowing workers to stretch out on sofas for a(n) ___35___ nap. Mobile phones, tablets and laptops are banned.“Napping can do as much to improve someone’s ___36___as a balanced diet and exercise,” Emiko Sumikawa, a member of the Nextbeat board, told Kyodo news agency.Nextbeat also asks employees to leave work by 9 pm and to avoid doing excessive overtime, which has been ___37___ for a rising rate of death from overwork.Japanese workers have more reason than most to submit to （服从）the ___38___ for a daytime snooze, whether at work or during long commutes.A survey conducted using fitness trackers in 28 countries found that Japanese men and women sleep, on average, just 6 hours and 35 minutes a night -- 45 minutes less than the international average -- making them the most sleep-deprived of all. Estonians, Canadians, Belgians, Austrians, as well as the Dutch and French, all get a comparatively decent night’s sleep, according to the survey.The government has also come to appreciate the ___39___ of a well-rested workforce, with the health ministry recommending that all working-age people take a nap of up to 30 minutes in the early afternoon -- advice ___40___ embraced by some of the country’s politicians.Ⅲ. Reading ComprehensionSection A (15’)Directions: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Placebos（安慰剂）Prove PowerfulM any doctors know the story of “Mr. Wright”. In 1957 he was diagnosed with cancer, and given only days to live. He had tumours（肿瘤）the size of oranges. He heard that scientists had discovered a new medication, Krebiozen, that was ___41___ against cancer, and he begged the doctor to give it to him. His physician, Dr Phillip West, finally agreed. After Mr. Wright had been given an injection on a Friday afternoon, the ___42___doctor found his patient out of his “death bed”, joking with the nurses the following Monday. “The tumours”, the doctor wrote later, “had ___43___ like snow balls on a hot stove.”Two months later, Wright read medical reports that the medication was fake. His condition immediately got worse again. “Don’t ___44____ what you read in papers,” the doctor told Wright. Then he injected him with what he said was “a new super-refined double strength” version of the drug. ___45___, there was no drug, just a mix of salt and water, but again it worked. Wright was the picture of health for another two months until he read an official report saying that Krebiozen was ___46___. He died two days later.This story has been ___47___ by doctors for a long time, dismissed as one of those strange tales that medicine cannot explain. The idea that a pat ient’s ___48____ can make a fatal disease go away has been thought of as too strange. But now scientists are discovering that the placebo effect is more powerful than anyone had ever thought. They are also beginning to discover how such miraculous results are ___49___. Through new techniques of brain imagery, it can be shown that athought, a belief or a desire can cause chemical processes in the brain which can have powerful effects on the ___50___. Scientists are learning that some body reactions are not caused by information coming into the brain from the outside world, but by what the brain ___51___ to happen next.Placebos are “lies that ___52___,” said Dr Anne Harrington, a historian of science at Harvard University. “The word placebo is Latin for “I shall please” (or I shall make you happy) and it is typically a treatment that a doctor gives to ___53___ patients to please them,” she said. “It looks like medication, but has no healing ingredients whatsoever.” Nowadays, doctors have much more powerful medicines to fight disease. But these treatments have not diminished（减弱）the power of the placebo, quite the ___54___. Maybe when scientists fully understand how placebos work, the powerful healing effects of the human ___55___will be used more systematically!41.A. vague B. unique C. effective D. impossible42.A. astonished B. disappointed C. exhausted D. experienced43.A. expanded B. melted C. accumulated D. moved44.A. take down B. look for C. make out D. care about45.A. Actually B. Morcover C. Meanwhile D. Consequently46.A. beneficial B. popular C. worthless D. available47.A. studied B. ignored C. invented D. spread48.A. struggles B. promises C. rights D. beliefs49.A. achieved B. neglected C. emphasized D. mixed50.A. brain B. doctor C. body D. process51.A. advises B. expects C. instructs D. forbids52.A. heal B. hurt C. exist D. fade53.A. optimistic B. careful C. peculiar D. anxious54.A. point B. opposite C. time D. adventure55.A. relation B. strength C. being D. mindSection B (22’)Directions: Read the following three passages. Each passage is following by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A, B, C and D. Choose the one that fits best according to the information given in the passage you have just read.( A )A Lesson Goes ViralAt the end of 2014, Tulsa, Oklahoma, sixth-grade teacher Melissa Bour received a friend request on Facebook from one of her students. She didn’t accept the request, but a quick browse through the girl’s friends list revealed the names of dozens of k ids from her classroom. Many of the students’ Facebook pages were completely public, meaning even strangers could search through the kids’ personal photos and messages.“I saw middle fingers, students dressed inappropriately, and extremely offensive language,” Melissa says. “It was disturbing.” When she brought up her discovery in class, the students thought is was nothing. So she created a post of her own.With a bright green Sharpie, she wrote on a piece of paper in all caps, “Dear Facebook: M y 12-year-old students think it is ‘no big deal’ that they are posting pictures of themselves... Pleasehelp me... [show them] how quickly their images can get around.” She put a picture of the letter on her Facebook page and asked people to share it.In hours, it was shared 108,000 times across dozens of states and four countries. She deleted it after eight hours, but it continued to spread. “I wanted to show them that it’s on the Internet forever,” she says.As she explained the results of he r experiment in class, the students’ “eyes got bigger and bigger,” she says. “It scared a few of them into deleting their pages completely,” she says. Others have removed inappropriate posts and used privacy settings to manage their pages.Her intent ion wasn’t to scare them off social media but to push them to be mindful of what they post. Melissa says, “I tell them, ‘just because everyone else is sharing doesn’t mean you have to.’”56.What did Melissa Bour find about her students’ Fackbook pages?A.They were not accessible to strangers.B.They contained improper messages.C.They appealed a lot to the public.D.They revealed nothing about the students.57.Why did Melissa put a picture of the letter on her Fackbook page?A.To prove the potential threat caused by sharing something online.B.To help students learn how to post something on Facebook.C.To turn to the public for tips on proper use of Fackbook.D.To scare her students off all social media.58.After Melissa told her students about the results of her experiment, they_______.A.ignored her warnings completelyB.began to share something meaningfulC.took no notice of what others postedD.realized the danger of social media59.What is the passage mainly about?A.How a teacher became popular with her unique post.B.How the students kept themselves away from social media.C.How a teacher raised students’ awareness of Internet security.D.How the students fought against their addiction to online games.( B )As much as we may want to protect children from all the terrible, horrible and very bad things in life, too often we don’t get a choice. These four new kids’ books serve as guides for a variety of difficulties and as important reminders that we have a choice in how we react to such trails. These stories introduce young readers to relatable characters who are processing and recovering from hardships and sorrows. Each book, in its own way, offers a guide for young readers who are facing their own struggles. Together, they teach a lesson for us all in resilience （还原能力）and hope.A. creative processesB. lovable charactersC. painful remindersD. difficult experiences61.Suppose you have just moved from Asia to America and your kids have trouble getting along with others at school, which of the following books are you going to pick for your children?A.The Secret Horses Of Briar HillB.Goodbye DaysC.Stef Soto, Taco QueenD.Why Can’t Grandma Remember My Name?62.The author writes this passage to ______.A.share some new parental skills with parentsB.teach kids how to write some dramatic storiesC.start a discussion on the topics of the new booksD.introduce some newly published books for kids( C )Living in an urban area with green spaces has a long-lasting positive impact on people’s mental well-being, a study has suggested. UK researchers found moving to a green space had a sustained positive effect, unlike pay rises or promotions, which only provided a short-term boost.Co-author Mathew White, from the University of Exeter, UK, explained that the study showed people living in greener urban areas were displaying fewer signs of depression or anxiety. “There could be a number of reason s,” he said, “for example,people do many things to make themselves happier: they strive of promotion or pay rises, or they get married. But the trouble with those things is that with those things is that within six months to a year, people are back to their original baseline levels of well-being. So, these things are not sustainable; they don’t make ushappy in the long term. We found that for some lottery winners who had won more than ￡500,000 the positive effect was definitely there, but after six months to a year, they were back to the baseline.”Dr. White said his team wanted to see whether living in greener urban areas had a lasting positive effect on people’s sense of well-being or whether the effect also disappeared after a period of time. To do this, the team used data from the British Household Panel Survey compiled by the University of Essex.Explaining what the data revealed, he said: “What you see is that even after three years, mental health is still better, which is unlike many other things that we think wil l make us happy.” He observed that people living in green spaces were less stressed, and less stressed people made more sensible decisions and communicated better.With a growing body of evidence establishing a link between urban green spaces and a positive impact on human well-being, Dr. White said, “There’s growing interest among public policy officials, but the trouble is who funds it. What we really need at a policy level is to decide where the money will come from to help support good quality loc al green spaces.”63.According to one study, what do green spaces do to people?A.Improve their work efficiency.B.Add to their sustained happiness.C.Help them build a positive attitude towards life.D.Lessen their concerns about material well-being.64.What does Dr. White try to find out about living in a greener urban area?A.How it affects different people.B.How strong its positive effect is.C.How long its positive effect lasts.D.How it benefits people physically.65.What did Dr. White’s research reveal about people living in a green environment?A.Their stress was more apparent than real.B.Their decisions required less deliberation.C.Their memories were greatly strengthened.D.Their communication with others improved.66.According to Dr. White, what should the government do to build more green spaces in cities?A.Find financial support.B.Improve urban planning.C.Involve local residents in the effort.D.Raise public awareness of the issue.Section C (8’)Directions: Read the following passage. Fill in each blank with a proper sentence given in the box.Pandas are one of the world’s most fascinating vegetarians. They have a meat eater’s digestive system, yet almost rely on bamboo -- all day, every day. ___67____To understand how pandas live on such a diet, researchers tracked pandas in the Qinling Mountains and observed what they ate for six years. The team also analyzed the panda diet in depth by measuring the amounts of nitrogen, phosphorus, and calcium -- the three most essential nutrients for mammals（哺乳动物）-- in the plant they are.“There is strong evidence that animals try their best to meet their nutritional needs,” a researcher said. “In areas with only one eatable plant, animals may try to eat different parts of the same food.”___68____ The two bamboo species in Qinling, wood bamboo and arrow bamboo, grow at different elevations and sprout（发芽）at different times of the year.In spring, pandas feed on young wood bamboo shoots, which are rich in nitrogen and phosphorous. ___69___ However, both species’ shoots have low calc ium levels, pushing pandas to eat young arrow bamboo leaves which are rich in calcium in mid-July.However, bamboo leaves fall heavily in winter, and their nutrient levels drop. ___70___.Records from Qinling show that among 25 cases of dead or ill pandas over the past 37 years, more than half occurred in March and April, right after the hardships of winter.Ⅳ. Summary Writing (10’)Directions: Read the following passage. Summarize in no more than 60 words the main idea of the passage and how it is illustrated. Use your own words as far as possible.Where Arts Should Get Its Funding?Few people would contest the value of arts in a civilized society. Great art enriches people’s lives by providing pleasure, stimulation and an escape from the pres sure of everyday life. However, it is also true that many of the arts, such as classical music, the ballet, and the visual arts have always attracted a minority audience. The question is whether the arts should be publicly funded, or whether it is the consumers who should pay.It is my view that the government should subsidize the arts, for a number of reasons. First of all, without subsidies, many artists would undoubtedly be unable to survive financially. Government grants can enable them to work with artistic freedom, while if they worked independently or relied on private subsidies they might be subject to market pressures and the need to make a profit. Secondly, the arts contribute to a nation’s cultural heritage and can create a sense of social identity. They can also play an important role in education, community regeneration and even crime prevention. However, the main argument for public funding of the arts is not social usefulness, but rather because they are important for their own sake.Of course, there are those who argue that public money would be better spent on meeting the needs of the poorer members of society, rather than catering for the interests of an elite. However, I believe that a healthy society is one in which art and creativity are valued alongsidethese basic needs. Indeed, a civilized society ought to make the arts accessible to everyone, regardless of their background or income.In conclusion, the arts should be funded across a broad range of activities, for example, by supporting community or school theatre projects, or bringling sculptures and art installations to public places.Ⅴ. Translation (20’)Directions: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.72.这部电影没有评论中说的那么有趣。

2016-2017学年上海市杨浦区高二（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是．2．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是．3．（4分）若复数满足z满足=i2016+i2017（i为虚数单位），则复数z=．4．（4分）若方程=1表示椭圆，则实数m的取值范围为．5．（4分）若复数z满足|z﹣i|=1（i是虚数单位），则z的模的取值范围是．6．（4分）坐标原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是．7．（4分）在复数集中分解因式：3x2﹣6x+4=．8．（4分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=．9．（4分）双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为．10．（4分）若动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，则动点Q（x0y0，x0+y0）的轨迹方程是．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分11．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定12．（3分）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．13．（3分）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+1，“k≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若z是复数，则|z|2=z2B．任意两个复数不能比较大小C．当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈C）有两个不相等的实数根D．在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题要写出必要的步骤15．（8分）已知△ABC的三个顶点是A（3，﹣4）、B（0，4）、C（﹣6，0），求：（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程．16．（8分）已知复数z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i．（1）若z1=z2，且x，y∈R，求z1；和|z1|；（2）若z1=z2，且x∈R，y为纯虚数，求z1．17．（10分）已知关于x的方程x2﹣x+m=0m∈R）的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，求m的值．解：∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，∵|x1|+|x2|=3，x12+2|x1x2|+x22=9．（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误．如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程．18．（10分）在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，设动点的轨迹C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点k为何值时？19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．2016-2017学年上海市杨浦区高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分40分）本大题共有10题，要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）直线y=x+1的倾斜角是．【考点】I2：直线的倾斜角．【解答】解：设直线y=x+1的倾斜角为α，α∈[0，π）．∴tanα=1，解得α=．故答案为：．2．（4分）抛物线y2=2x的准线方程是．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线y2=2x，∴p=1，∴准线方程是x=﹣故答案为：x=﹣．3．（4分）若复数满足z满足=i2016+i2017（i为虚数单位），则复数z=2i．【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由=i2016+i2017=（i4）504+（i4）504•i=1+i，得z=（1+i）2=2i．故答案为：2i．4．（4分）若方程=1表示椭圆，则实数m的取值范围为．．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：方程=1表示椭圆，则，解得．故答案为：．5．（4分）若复数z满足|z﹣i|=1（i是虚数单位），则z的模的取值范围是[0，2] ．【考点】A8：复数的模．【解答】解：由|z﹣i|=1，可得z在复平面内对应点在以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上，如图，则z的模的取值范围是[0，2]，故答案为：[]0，2．6．（4分）坐标原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是．【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【解答】解：设原点（0，0）关于直线x﹣2y+2=0对称的点的坐标是（a，b），则，解得a=﹣，b=．∴要求的对称的点的坐标是．故答案为：．7．（4分）在复数集中分解因式：3x2﹣6x+4=．【考点】&M：因式分解定理．【解答】解：首先求出3x2﹣6x+4=0的虚根为：，所以：3x2﹣6x+4=，故答案为：8．（4分）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，﹣7）的圆交y轴于M、N两点，则|MN|=4．【考点】J2：圆的一般方程．【解答】解：设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则，∴D=﹣2，E=4，F=﹣20，∴x2+y2﹣2x+4y﹣20=0，令x=0，可得y2+4y﹣20=0，∴y=﹣2±2，∴|MN|=4．故答案为：4．9．（4分）双曲线﹣y2=1（n＞1）的两个焦点为F1，F2，P在双曲线上，且满足|PF1|+|PF2|=2，则△PF1F2的面积为1．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：令|PF1|=x，|PF2|=y，依题意可知解得x=+，y=﹣，∴x2+y2=（+）2+（﹣）2=4n+4∵|F1F2|=2∴|F1F2|2=4n+4∴x2+y2|F1F2|2∴△PF1F2为直角三角形∴△PF1F2的面积为xy=（2+）（﹣）=1故答案为：1．10．（4分）若动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，则动点Q（x0y0，x0+y0）的轨迹方程是．【考点】J3：轨迹方程．【解答】解：设Q（x，y），则x=x0y0，y=x0+y0，∵动点P（x0，y0）在圆C：x2+y2=1上运动，∴x02+y02=1，∴y2=2x+1∵x02+y02=1≥2|x0y0|=2x，∴﹣，∴所求轨迹方程为：．故答案为：：．二.选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，选对得3分，否则一律得零分11．（3分）点P（m2，5）与圆x2+y2=24的位置关系是（）A．在圆外B．在圆上C．在圆内D．不确定【考点】J5：点与圆的位置关系．【解答】解：已知圆的圆心为原点O，半径为，OP=，所以点在圆外，故选：A．12．（3分）与双曲线=1有共同的渐近线，且过点（2，2）的双曲线标准方程为（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：设所求的双曲线方程为，∵所求双曲线过点（2，2），则，即λ=﹣3，∴所求双曲线方程为．故选：B．13．（3分）已知抛物线C：y2=x与直线l：y=kx+1，“k≠0”是“直线l与抛物线C 有两个不同交点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：将直线方程代入抛物线方程得，即y=k•y2+1，∴ky2﹣y+1=0，当k=0时，方程只有一个解．当k≠0时，要使直线l与抛物线C有两个不同交点，则△=1﹣4k＞0，解得k＜且k≠0．∴“k≠0”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的必要不充分条件．故选：B．14．（3分）下列命题中，正确的是（）A．若z是复数，则|z|2=z2B．任意两个复数不能比较大小C．当b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈C）有两个不相等的实数根D．在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：对于A，若z=i，则|z|2=1，z2=﹣1，|z|2≠z2，故A错误；对于B，当两个复数均为实数时，可以比较大小，故B错误；对于C，只有当a，b，c均为实数时，在满足b2﹣4ac＞0时，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，故C错误；对于D，由z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位），设z对应的点Z（x，y），得，消去m得，y2=x，∴在复平面xOy上，复数z=m2+mi（m∈R，i是虚数单位）对应的点的轨迹方程是y2=x．故D正确．故选：D．三、解答题（本大题满分48分）本大题共有5题，解答下列各题要写出必要的步骤15．（8分）已知△ABC的三个顶点是A（3，﹣4）、B（0，4）、C（﹣6，0），求：（1）BC边上的高AD所在直线的一般式方程；（2）BC边上的中线AM所在直线的一般式方程．【考点】IJ：直线的一般式方程与直线的垂直关系．【解答】解：（1）是高AD所在直线的一个法向量，故l AD：3x+2y﹣1=0；（2）BC的中点M（﹣3，2），是BC边所在直线的一个方向向量，故l AM：x+y+1=0．16．（8分）已知复数z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i．（1）若z1=z2，且x，y∈R，求z1；和|z1|；（2）若z1=z2，且x∈R，y为纯虚数，求z1．【考点】A8：复数的模．【解答】解：（1）∵z1=（2x+1）+i，z2=y+（2﹣y）i，z1=z2，且x，y∈R，∴．∴；（2）由y为纯虚数，设y=bi（b∈R）∴z2=bi+（2﹣bi）i=b+（b+2）i，又∵z1=z2，x∈R，∴⇒，∴z1=﹣1+i．17．（10分）已知关于x的方程x2﹣x+m=0m∈R）的两根为x1、x2，且|x1|+|x2|=3，求m的值．解：∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，∵|x1|+|x2|=3，x12+2|x1x2|+x22=9．（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．请你仔细阅读上述解题过程，判断是否有错误．如果有，请指出错误之处，并写出正确的解答过程．【考点】3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：解题过程不正确．（2分）当两根正确的解答过程如下：x1、x2为虚根时，．（4分）∵x1、x2是x2﹣x+m=0的两个根，∴，①当△≥0即时，方程有两个实数根．∵|x1|+|x2|=3，∴．，即1﹣2m+2|m|=9，解得m=﹣2．（6分）②当△＜0即时，方程有一对共轭虚根．∵=|x2|2=m，∴|x1|==，解得m=，（9分）综上所述，m=﹣2或m=．（10分）18．（10分）在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，设动点的轨迹C．（Ⅰ）写出C的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点k为何值时？【考点】KH：直线与圆锥曲线的综合．【解答】解：（Ⅰ）∵在平面直角坐标xO中，动点P到两点，的距离之和为4，∴曲线C是焦点在y轴上的椭圆，设其方程为，由题意知2a=4，c=，则b=1，∴曲线C的方程为．（2）联立，化简，得（4+k2）x2+2kx﹣3=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=﹣+1=﹣+1，∵，∴=x1x2+y1y2=﹣﹣+1=0，解得k=．∴k=时，．19．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．（1）求证：点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求E的方程，并证明y轴为曲线E的分隔线．【考点】IG：直线的一般式方程与直线的性质．【解答】解：（1）把点（1，2）、（﹣1，0）分别代入x+y﹣1可得η=（1+2﹣1）（﹣1﹣1）=﹣4＜0，∴点（1，2）、（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔．（2）联立可得（1﹣4k2）x2=1，根据题意，此方程无解，故有1﹣4k2≤0，∴|k|≥．当|k|≥时，对于直线y=kx，曲线x2﹣4y2=1上的点（﹣1，0）和（1，0）满足η=﹣k2＜0，即点（﹣1，0）和（1，0）被y=kx分隔．故实数k的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．（3）设点M（x，y），则•|x|=1，故曲线E的方程为[x2+（y﹣2）2]x2=1 ①．对任意的y0，（0，y0）不是上述方程的解，即y轴与曲线E没有公共点．又曲线E上的点（1，2）、（﹣1，2）对于y轴（x=0）满足η=1×（﹣1）=﹣1＜0，即点（﹣1，2）和（1，2）被y轴分隔，所以y轴为曲线E的分隔线．。

2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷一.填空题1．三个平面最多把空间分割成个部分．2．两条异面直线所成的角的取值范围是．3．给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题．4．设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH的形状一定是．5．设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系．6．数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．7．a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是．8．计算81+891+8991+89991+…+81=．9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．10．我们把b除a的余数r记为r=abmodb，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r←abmodb”被执行了次．11．设S n是数列{a n}的前n项和，a1=﹣1，a n+1=S n S n+1，则S n=．12．若三个数a，1，c成等差数列（其中a≠c），且a2，1，c2成等比数列，则的值为．13．在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有．14．在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为．二.选择题15．如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜2016．下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个B．1个C．2个D．3个17．从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）318．已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1三.解答题19．解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．20．如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？21．已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．22．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．23．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．2016-2017学年上海市普陀区曹杨二中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（2015春•鹤岗校级期末）三个平面最多把空间分割成8个部分．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】空间位置关系与距离．【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目．【解答】解：三个平面两两平行时，可以把空间分成4部分，三个平面有两个平行，第三个与他们相交时，可以把空间分成6部分，三个平面交于同一直线时，可以把空间分成6部分，三个平面两两相交，交线相互平行时，可以把空间分成7部分，当两个平面相交，第三个平面同时与两个平面相交时，把空间分成8部分．所以空间中的三个平面最多能把空间分成8部分．故答案为：8．【点评】本题考查平面的基本性质及推论，要讨论三个平面不同的位置关系．2．（2009秋•三明期中）两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°] ．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】阅读型．【分析】由异面直线所成角的定义求解．【解答】解：由异面直线所成角的定义可知：过空间一点，分别作相应直线的平行线，两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角故两条异面直线所成的角的取值范围是（0°，90°]故答案为：（0°，90°]【点评】本题主要考查异面直线所成的角，同时，还考查了转化思想，属基础题．3．（2016秋•普陀区校级期中）给出以下命题“已知点A、B都在直线l上，若A、B都在平面α上，则直线l在平面α上”，试用符号语言表述这个命题已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【考点】平面的基本性质及推论．【专题】阅读型；定义法；空间位置关系与距离．【分析】根据几何符号语言的应用，对题目中的语句进行表示即可．【解答】解：用符号语言表述这个命题为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．故答案为：已知A∈l，B∈l，若A∈α，B∈α，则l⊆α．【点评】本题考查了空间几何符号语言的应用问题，是基础题目．4．（2016秋•普陀区校级期中）设E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形EFGH的形状一定是平行四边形．【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】证明FG∥EH，且FG=EH即可得出结论．【解答】解：如图，连接BD．因为FG是△CBD的中位线，所以FG∥BD，FG=BD．又因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，EH=BD．根据公理4，FG∥EH，且FG=EH．所以四边形EFGH是平行四边形．故答案为平行四边形【点评】主要考查知识点：简单几何体和公理四，证明平行四边形常用方法：对边平行且相等；或对边分别平行；或对角线相交且平分．要注意：对边相等的四边形不一定是平行四边形．5．（2016秋•普陀区校级期中）设点A∈平面α，点B∈平面β，α∩β=l，且点A∉直线l，点B∉直线l，则直线l与过A、B两点的直线的位置关系异面．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；反证法；空间位置关系与距离．【分析】假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ，由此能推导出A 在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．从而得到l与AB是异面直线．【解答】解：假设l与AB不是异面直线，那么它们在同一个平面上，记这个平面为γ．∵A和l都在平面γ上，∴由它们决定的平面α在平面γ上，∴平面γ=平面α．同理γ=平面β．∴α=β，∵A∈α，∴A∈β，所以A在α与β的交线l上，与已知点A∉直线l，点B∉直线l相互矛盾．∴假设不成立，∴l与AB是异面直线．故答案为：异面．【点评】本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．6．（2016秋•普陀区校级期中）数列{a n}中，设S n是它的前n项和，若log2（S n+1）=n+1，则数列{a n}的通项公式a n=．【考点】数列递推式．【专题】综合题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．【分析】由已知数列递推式求得S n，再由a n=S n﹣S n﹣1（n≥2）求得数列{a n}的通项公式．【解答】解：由log2（S n+1）=n+1，得S n+1=2n+1，∴，当n=1时，a1=S1=3；当n≥2时，，当n=1时，上式不成立，∴．故答案为：．【点评】本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是中档题．7．（2016秋•普陀区校级期中）a，b是不等的两正数，若=2，则b的取值范围是（0，2）．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；分类讨论；极限思想．==a，进而求出b的范围．【分析】当a＞b时，【解答】解：a，b是不等的两正数，且=2，须对a，b作如下讨论：=0，则==a，①当a＞b时，所以，a=2，因此，b∈（0，2），②当a＜b时，则=﹣b=2，而b＞0，故不合题意，舍去．综合以上讨论得，b∈（0，2），故答案为：（0，2）．【点评】本题主要考查了极限及其运算，以及应用常用极限|q|＜1，q n=0解题，属于基础题．8．（2016秋•普陀区校级期中）计算81+891+8991+89991+…+81=10n+1﹣9n﹣10．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；等差数列与等比数列．【分析】原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10），利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：原式=8×（10+102+…+10n）+（1+1+…+1）+（90+990+…+×10）=8×+n+（102﹣10）+（103﹣10）+…+（10n﹣10）=+n+﹣10（n﹣1）=10n+1﹣9n﹣10．故答案为：10n+1﹣9n﹣10．【点评】本题考查了分组求和、等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（2016秋•普陀区校级期中）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则点C1到直线BD的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离．【分析】如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．利用等腰三角形的性质可得：OC1⊥BD，因此OC1是点C1到直线BD的距离．【解答】解：如图所示，连接AC，BD，DC1，BC1．设AC∩BD=O，连接OC1．∵DC1=BC1，OB=OD．∴OC1⊥BD，∴OC1是点C1到直线BD的距离．OC1==．故答案为：．【点评】本题考查了正方体的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 10．（2016秋•普陀区校级期中）我们把b 除a 的余数r 记为r=abmodb ，例如4=9bmod5，如图所示，若输入a=209，b=77，则循环体“r ←abmodb ”被执行了 4 次．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a ，b ，r 的值，当r=0时满足条件，退出循环，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得 a=209，b=77， r=55不满足条件r=0，执行循环体，a=77，b=55，r=22 不满足条件r=0，执行循环体，a=55，b=22，r=11 不满足条件r=0，执行循环体，a=22，b=11，r=0 此时，满足条件r=0，退出循环，输出a 的值为22． 由此可得循环体“r ←abmodb ”被执行了4次． 故答案为：4．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a ，b ，r 的值是解题的关键，属于基础题．11．（2016秋•徐汇区校级期中）设S n 是数列{a n }的前n 项和，a 1=﹣1，a n +1=S n S n +1，则S n = ﹣ ． 【考点】数列的求和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列． 【分析】a n +1=S n S n +1，可得S n +1﹣S n =S n S n +1， =﹣1，再利用等差数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a n +1=S n S n +1，∴S n +1﹣S n =S n S n +1， ∴=﹣1，∴数列是等差数列，首项为﹣1，公差为﹣1．∴=﹣1﹣（n ﹣1）=﹣n ，解得S n =﹣． 故答案为：．【点评】本题考查数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 12．（2014•宝山区二模）若三个数a ，1，c 成等差数列（其中a ≠c ），且a 2，1，c 2成等比数列，则的值为 0 ．【考点】极限及其运算；等差数列的性质；等比数列的性质． 【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由等差中项的概念和等比中项的概念列式求得a ，c 的值，然后代入数列极限求得答案． 【解答】解：∵a ，1，c 成等差数列， ∴a +c=2 ①又a 2，1，c 2成等比数列， ∴a 2c 2=1 ② 联立①②得： 或或，∵a ≠c ， ∴或，则a +c=2，．∴=．故答案为：0．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了方程组的解法，训练了数列极限的求法，是基础的计算题．13．（2016秋•普陀区校级期中）在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行；其中正确的有①③．【考点】类比推理．【专题】综合题；转化思想；演绎法．【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①平行于同一平面的两个不同平面互相平行，正确；②平行于同一直线的两个不同平面互相平行或相交，不正确；③垂直于同一直线的两个不同平面互相平行，正确；④垂直于同一平面的两个不同平面互相平行或相交，不正确．故答案为①③．【点评】本题考查类比推理，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．14．（2016秋•普陀区校级期中）在n行n列矩阵中，若记位于第i行第j列的数为a ij（i，j=1，2，…，n），则当n=9时，表中所有满足2i＜j的a ij的和为88．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；演绎法；矩阵和变换．【分析】根据题意n=9时，求得所有满足2i＜j的a ij，相加即可求得答案．【解答】解：由题意可知：当i=1时，由2i＜j，∴j取3，4，5，6，7，8，9当i=2时，j取5，6，7，8，9当i=3时，j取7，8，9当i=4时，j取9∴表中所有满足2i＜j的a ij和为：a13+a14+a15+a16+a17+a18+a19+a25+a26+a27+a28+a29+a37+a38+a39+a49=3+4+5+6+7+8+9+6+7+8+9+1+9+1+2+3=88，故答案为：88【点评】本题考查高阶矩阵，考查学生的理解问题，分析解决问题的能力，考查a ij中i和j的字母含义，属于中档题．二.选择题15．（2013•沈河区模拟）如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断其中框内应填入的条件是（）A．i＞10 B．i＜10 C．i＞20 D．i＜20【考点】程序框图．【专题】阅读型；图表型．【分析】框图给出的是计算的值的一个程序框图，首先赋值i=1，执行s=0+时同时执行了i=i+1，和式共有10项作和，所以执行完s=后的i值为11，再判断时i=11应满足条件，由此可以得到正确答案．【解答】解：框图首先给变量s，n，i赋值s=0，n=2，i=1．判断，条件不满足，执行s=0+，n=2+2=4，i=1+1=2；判断，条件不满足，执行s=+，n=4+2=6，i=2+1=3；判断，条件不满足，执行s=++，n=6+2=8，i=3+1=4；…由此看出，当执行s=时，执行n=20+2=22，i=10+1=11．此时判断框中的条件应满足，所以判断框中的条件应是i＞10．故选C．【点评】本题考查了程序框图中的直到型循环，虽然是先进行了一次判断，但在不满足条件时执行循环，直到满足条件算法结束，此题是基础题．16．（2016秋•普陀区校级期中）下列命题中，正确的共有（）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内．A．0个B．1个C．2个D．3个【考点】平面的基本性质及推论．【专题】探究型；空间位置关系与距离．【分析】根据平面的基本性质及其推论逐一判断即可得解．【解答】解：对于①，因为平面也是可以无限延伸的，故错误；对于②，两个平面只要有一个公共点，就有一条通过该点的公共直线，故错误；对于③，交点分别含于两条直线，也分别含于两个平面，必然在交线上，故正确；对于④，一条直线与三角形的两边都相交，则两交点在三角形所在的平面内，则这条直线必在三角形所在的平面内，故正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，考查平面的基本性质及其推论的应用，属于基础题．17．（2016秋•普陀区校级期中）从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和等于（）A．（k+1）3B．（k+1）3+k3C．（k﹣1）3+k3D．（2k+1）（k+1）3【考点】数学归纳法．【专题】转化思想；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法．【分析】从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1），再利用等差数列的求和公式即可得出．【解答】解：从k2+1（k∈N）开始，连续2k+1个自然数的和=k2+1+k2+2+…+（k2+2k+1）=（2k+1）•k2+=2k3+3k2+3k+1=（k+1）2+k3．故选：B．【点评】本题考查了数学归纳法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（2016秋•普陀区校级期中）已知方程组的解中，y=﹣1，则k的值为（）A．3 B．﹣3 C．1 D．﹣1【考点】简单线性规划．【专题】转化思想；综合法；不等式的解法及应用．【分析】由已知方程组得到x，z，k的方程组，解之即可．【解答】解：由已知得到，解得；故选B．【点评】本题考查了三元一次方程组的解法；只要利用加减消元即可得到所求．三.解答题19．（2016秋•普陀区校级期中）解关于x、y的方程组，并对解的情况进行讨论．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】综合题；转化思想；演绎法；函数的性质及应用．【分析】将原方程组写成矩阵形式为Ax=b，其中A为2×2方阵，x为2个变量构成列向量，b为2个常数项构成列向量．而当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式D不等于0的时候，它有唯一解．并不是说有解．【解答】解：系数矩阵D非奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m≠0，即m≠1且m≠﹣2时，方程组有唯一的解，x==，y==．系数矩阵D奇异时，或者说行列式D=4﹣2m2﹣2m=0，即m=1或m=﹣2时，方程组有无数个解或无解．当m=﹣2时，原方程为无解，当m=1时，原方程组为，无解．【点评】本题主要考查克莱姆法则，克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立．20．（2016秋•普陀区校级期中）如图，A是△BCD所在平面外一点，M、N为△ABC和△ACD重心，BD=6；（1）求MN的长；（2）若A、C的位置发生变化，MN的位置和长度会改变吗？【考点】棱锥的结构特征．【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．【分析】（1）利用三角形的重心的性质，可得M、N分别是△ABC与△ACD的中线的一个三等分点，得=，由此利用平行线的性质与三角形中位线定理，算出MN与BD的关系，即可得到MN的长．（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．【解答】解：（1）延长AM、AN，分别交BC、CD于点E、F，连结EF．∵M、N分别是△ABC和△ACD的重心，∴AE、AF分别为△ABC和△ACD的中线，且=，可得MN∥EF且MN=EF，∵EF为△BCD的中位线，可得EF=BD，∴MN=BD=2；（2）由（1）可得位置改变，长度不改变．【点评】本题着重考查了三角形的重心性质、平行线的性质和三角形的中位线定理等知识，属于中档题．21．（2016秋•普陀区校级期中）已知长方体ABCD﹣A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=2；（1）求出异面直线AC'和BD所成角的余弦值；（2）找出AC'与平面D'DBB'的交点，并说明理由．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；异面直线及其所成的角．【专题】计算题；作图题；转化思想；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两条线段的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案．（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的性质，可得结论．【解答】解：（1）建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=4，AD=3，AA'=2；∴C'（4，3，2），B（4，0，0），D（0，3，0）则：=（4，3，2），=（﹣4，3，0）异面直线AC'和BD所成角的余弦值为：==；（2）连接BD'，DB'交于点O，则点O即为AC'与平面D'DBB'的交点，根据长方体的几何特征可得：O为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的球心，AC'为长方体ABCD﹣A'B'C'D'外接球的直径，故O为AC'中点，又由BD'，DB'交于点O，故O在平面D'DBB'上，故O即为AC'与平面D'DBB'的交点．【点评】本题考查的知识点是空间直线与直线，直线与平面的位置关系，异面直线的夹角，难度中档．22．（2016秋•普陀区校级期中）已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n=（a n﹣1）（a为常数，且a≠0，a≠1）；（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n=+1，若数列{b n}为等比数列，求a的值；（3）若数列{b n}是（2）中的等比数列，数列c n=（n﹣1）b n，求数列{c n}的前n项和T n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【专题】方程思想；作差法；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）由公式求得通项公式；（2）简化数列{b n}，再由等比数列的通项公式的结构特征，得出=0，解得参数a；（3）由（2）求出数列{c n}的通项，根据通项结构特征，采用错位相减法求数列{c n}的前n项和．【解答】解：（1）当n=1时，，∴a1=a，，当n≥2时，S n=（a n﹣1）且，两式做差化简得：a n=a•a n﹣1即：，∴数列{a n}是以a为首项，a为公比的等比数列，∴．（2）b n=+1=，若数列{b n}为等比数列，则=0，即．（3）由（2）知，∴∴T n=0×3+1×32+2×33+…+（n﹣1）3n…①3T n=0×32+1×33+2×34+…+（n﹣2）×3n+（n﹣1）×3n+1…②①﹣②得：﹣2T n=32+33+34+…+3n﹣（n﹣1）×3n+1=∴．【点评】本题主要考查求数列通项公式，已知等比数列求参数，求数列前n项和，利用错位相减求前前n项和是关键．23．（2014•江苏）设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S n=a m，则称{a n}是“H数列”．（1）若数列{a n}的前n项和为S n=2n（n∈N*），证明：{a n}是“H数列”；（2）设{a n}是等差数列，其首项a1=1，公差d＜0，若{a n}是“H数列”，求d的值；（3）证明：对任意的等差数列{a n}，总存在两个“H数列”{b n}和{c n}，使得a n=b n+c n（n∈N*）成立．【考点】数列的应用；等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”即可得到a n，再利用“H”数列的意义即可得出．（2）利用等差数列的前n项和即可得出S n，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，取n=2和根据d＜0即可得出；（3）设{a n}的公差为d，构造数列：b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，c n=（n﹣1）（a1+d），可证明{b n}和{c n}是等差数列．再利用等差数列的前n项和公式及其通项公式、“H”的意义即可得出．【解答】解：（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣2n﹣1=2n﹣1，当n=1时，a1=S1=2．当n=1时，S1=a1．当n≥2时，S n=a n+1．∴数列{a n}是“H”数列．（2）S n==，对∀n∈N*，∃m∈N*使S n=a m，即，取n=2时，得1+d=（m﹣1）d，解得，∵d＜0，∴m＜2，又m∈N*，∴m=1，∴d=﹣1．（3）设{a n}的公差为d，令b n=a1﹣（n﹣1）a1=（2﹣n）a1，对∀n∈N*，b n+1﹣b n=﹣a1，c n=（n﹣1）（a1+d），对∀n∈N*，c n+1﹣c n=a1+d，则b n+c n=a1+（n﹣1）d=a n，且数列{b n}和{c n}是等差数列．数列{b n}的前n项和T n=，令T n=（2﹣m）a1，则．当n=1时，m=1；当n=2时，m=1．当n≥3时，由于n与n﹣3的奇偶性不同，即n（n﹣3）为非负偶数，m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使T n=b m成立，即{b n}为H数列．数列{c n}的前n项和R n=，令c m=（m﹣1）（a1+d）=R n，则m=．∵对∀n∈N*，n（n﹣3）为非负偶数，∴m∈N*．因此对∀n∈N*，都可找到m∈N*，使R n=c m成立，即{c n}为H数列．因此命题得证．【点评】本题考查了利用“当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，当n=1时，a1=S1”求a n、等差数列的前n项和公式及其通项公式、新定义“H”的意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、构造法，属于难题．。

曹杨二中2018-2019学年度第二学期高二期中考试数学试卷一、填空题1.曲线x y 82=的准线方程为_________. 2.若方程13122=-+-k y k x 表示椭圆,则实数k 的取值范围是__________. 3.双曲线122=-my x 的实轴长是虚轴长的2倍,则m 的值为_______.4.直线l 的一个方向向量()，，21=则l 与直线01=+-y x 的夹角为________. 5.已知直线，05:=+-y x l 圆C:()()，12222=++-y x 则直线l 被圆C 所截得的线段的长为______.6.设21F F 、是双曲线12422=-y x 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且，2143PF PF =则 21F PF △的周长为________.7.若直线()1-=x m y 与曲线422=-y x 只有一个公共点,则实数m 的值为_______. 8.如图，A 、B 为椭圆()012222＞＞b a by a x =+的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线与其交于点C ，若AB ∥OC(O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为______.9.已知21F F 、是双曲线()0012222＞，＞b a by a x =-的左、右焦点,过点1F 且斜率为2的直线l 交双曲线的左支于点P,若直线，l PF ⊥2则双曲线的渐近线方程是__________. 10.设抛物线C:x y 42=的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为32的直线与C 交于M 、N 两点,则FM ⋅的值为_________.11.在平面上，一个区域内两点间距离最大值称为区域的直径，则方程()()22222y y x x y x +=-+围成封闭区域的直径是________. 12.在如图所示的平面中，点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点，AB=BC=2，过动点P 作半圆的切线PQ ，若PC=2PQ ，则△PAC 的面积的最大值是_________.二、选择题13.“00=≠=B C A 且”是“022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的方程”的____条件A.充分非必要B.不要非充分C.充要D.既非充分又非必要14.已知()111b a P ，与()221b a P ，是直线1+=kx y (k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组⎩⎨⎧=+=+112211y b x a y b x a 的解的情况是 A.无论21P P k 、、如何,总是无解 B.无论21P P k 、、如何,总有唯一解C.存在，、、21P P k 使之恰有两解D.存在，、、21P P k 使之有无穷多解15.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量，，01=⋅==b a a 点Q 满足()，+=2曲线{}，1|==P C 区域{}，＜，＜R r R r P ≤≤=Ω0|若Q C 为两段分离的曲线，A.31＜＜＜R rB.R r ≤31＜＜C.31＜＜R r ≤D.R r ＜＜＜3116.在平面直角坐标系中，以()()0021，、，a a 为圆心的两圆21O O 、均过(1.0)，两圆与y 轴正 半轴分别交于()()，，、，2100y y 且满足，0ln ln 21=+y y 则点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2111a a ，的轨迹是 A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线三、解答题17.已知地她物线ax y 42=(0＞a 且a 为常数)，F 为其焦点，若焦点F 是椭圆1222=+y x 的一个焦点。

2018-2019学年上海市曹杨二中高二下学期期中数学试题一、单选题1．已知()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A.无论12k P P 、、如何,总是无解B.无论12k P P 、、如何,总有唯一解C.存在12k P P 、、，使之恰有两解D.存在12k P P 、、，使之有无穷多解 【答案】B【解析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出1122,,,a b a b 的关系，再求解方程组的解，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，点()111P a b ，与()122P a b ，是直线1y kx =+(k 为常数)上两个不同的点， 直线1y kx =+的斜率存在，所以2121b b k a a -=-，即12a a ≠，且11221,1b ka b ka =+=+，所以211212122121a b a b ka a ka a a a a a -=-+-=-， 由方程组11221(1)1(2)a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩，21(1)(2)b b ⨯-⨯可得：122121()a b a b x b b -=-，即1221()a a x b b -=-，所以方程组有唯一的解． 故选B ． 【点睛】本题主要考查了直线方程的应用，直线的斜率的求法，以及一次函数根与系数的关系和方程组的综合应用，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．2．在平面直角坐标系xOy 中，已知向量10a b a b a b ==⋅=、，，，点Q 满足()2OQ a b =+，曲线{}1C P OP ==，区域{}|0P r PQ R r R Ω=<≤≤<，，若C Ω为两段分离的曲线，则（ ）A.13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<【答案】A【解析】不妨设(1,0),(0,1)a b ==，由{}1C P O P ==，所以点P 的轨迹表示一个单位圆，又由{}|0P r PQ R r R Ω=<≤≤<，表示的平面区域为：以Q 为圆心，内径为r 外径为R 的圆环，根据CΩ为两端分离的曲线，则单位圆与圆环的内外均相交，利用圆与圆的位置关系，即可求解． 【详解】由题意，平面直角坐标系xOy 中，已知向量10a b a b a b ==⋅=、，，， 不妨设(1,0),(0,1)a b ==，则()2(2,OQ a b =+=，由{}1C P OP ==，所以点P 的轨迹表示一个单位圆，又由{}|0P r PQ R r R Ω=<≤≤<，表示的平面区域为：以Q 为圆心，内径为r 外径为R 的圆环， 若CΩ为两端分离的曲线，则单位圆与圆环的内外均相交，所以11OQ r R OQ -<<<+，因为2OQ =，所以13r R <<<． 故选A ． 【点睛】本题主要考查了平面向量在几何问题中的应用，其中根据已知条件得到点P 的轨迹，以及{}|0P r PQ R r R Ω=<≤≤<，所表示的平面区域，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 3．以()()12,0,,0a a 为圆心的两圆均过()1,0，与y 轴正半轴分别交于()()120,,0,y y ，且满足12ln ln 0y y +=，则点1211,a a ⎛⎫⎪⎝⎭的轨迹是（ ） A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线【答案】A【解析】根据圆心和圆上点建立关于半径的方程，得到21112y a =-和22212y a =-；根据12ln ln 0y y +=整理出12112a a +=，从而得到点的轨迹.【详解】因为111r a =- 21112y a ⇒=- 同理：22212y a =- 又因为12ln ln 0y y +=，所以121y y =则()()1212121a a --=，即12122a a a a =+ 12112a a ⇒+= 设1211x a y a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则2x y +=为直线本题正确选项：A 【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求解问题，关键在于能够将所求动点的横纵坐标建立起等量关系，从而转化为轨迹方程.二、填空题4．抛物线28y x =的准线方程是 . 【答案】2x =-【解析】试题分析：由抛物线方程可知2822pp =∴=，所以准线方程为2x =- 【考点】抛物线性质5．若方程22113x y k k +=--表示椭圆,则实数k 的取值范围是__________.【答案】()3,+∞【解析】由方程表示椭圆，得到不等式组103013k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，即可求解，得到答案．【详解】由题意，方程22113x yk k +=--表示椭圆，则满足103013k k k k ->⎧⎪->⎨⎪-≠-⎩，解得3k >，即实数k 的取值范围是()3,+∞． 故答案为：()3,+∞．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程的形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．双曲线221x my -=的实轴长是虚轴长的2倍,则m 的值为_______. 【答案】4【解析】利用双曲线的标准方程，即可得到实轴长与虚轴长的关系，即可求解m 得值，得到答案． 【详解】由题意，双曲线221x my -=，可化为2211y x m-=，所以2211,a b m==， 又由实轴长是虚轴长的2倍，可得222a b =⨯，即224a b =，所以41m=，解得4m =．故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单几何性质，其中解答中熟记双曲线的标准方程和简单的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．直线l 的一个方向向量()12d =，，则l 与直线10x y -+=的夹角为________.【答案】arccos10【解析】由直线10x y -+=的方向向量为(1,1)a =，利用向量的夹角公式，即可求解． 【详解】由题意，直线10x y -+=的方向向量为(1,1)a =， 又由直线l 的一个方向向量()12d =，，根据向量的夹角公式，可得cos ,102a d a d ad⋅===⋅，又由两直线的夹角[0,]2πθ∈，所以两直线的夹角为arccos10，则 故答案为：arccos 10． 【点睛】本题主要考查了两直线的夹角的大小的求法，其中解答中熟记直线的方向向量，以及向量的夹角公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．已知直线:50l x y --=，圆C:()()22221x y -++=，则直线l 被圆C 所截得的线段的长为______.【解析】先求得圆心到直线:50l x y --=的距离为2d =，再利用圆的弦长公式，即可求解． 【详解】由题意，圆()()22:221C x y -++=的圆心坐标为(2,2)C -，半径为1r =，圆心到直线:50l x y --=的距离为d ==，由圆的弦长公式，可得==即直线l 被圆C ．． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的弦长公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．9．设1F ，2F 是双曲线22124y x -=的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且1234PF PF =，则12PF F ∆的周长为___.【答案】24【解析】先由双曲线的方程求出|F 1F 2|＝10，再由3|PF 1|＝4|PF 2|，运用双曲线的定义，求出|PF 1|＝8，|PF 2|＝6，由此能求出△PF 1F 2的周长． 【详解】双曲线x 22y 24-=1的a ＝1，c ==5，两个焦点F 1（﹣5，0），F 2（5，0）， 即|F 1F 2|＝10，由3|PF 1|＝4|PF 2|，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|43=x ， 由双曲线的定义知，43x ﹣x ＝2，解得x ＝6． ∴|PF 1|＝8，|PF 2|＝6， |F 1F 2|＝10，则△PF 1F 2的周长为|PF 1|+|PF 2|+|F 1F 2|＝8+6+10＝24． 故答案为：24． 【点睛】本题考查双曲线的定义和性质的应用，考查三角形周长的计算，熟练运用定义是关键，属于基础题．10．若直线()1y m x =-与曲线224x y -=只有一个公共点,则实数m 的值为_______. 【答案】{1,}3±±【解析】当直线()1y m x =-与双曲线的渐近线平行时，满足题意，当直线与右支相切时，直线与双曲线有且只有一个交点，即可求解． 【详解】由双曲线224x y -=可得其渐近线的方程为y x =±，①当直线()1y m x =-与双曲线的渐近线y x =±平行时，即1m =±时，直线与双曲线有且只有一个公共点，满足题意；②当直线()1y m x =-与右支相切时，直线与双曲线有且只有一个交点，联立方程组()2214y m x x y ⎧=-⎨-=⎩，整理得2222(1)240m x m x m --++=，令42244(1)(4)0m m m ∆=--+=，得234m =，解得3m =±， 综上可知，实数m 的取值集合{1,}3±±．故答案为：{1,±±． 【点睛】本题主要考查了直线与曲线的位置关系的应用，其中解答中根据双曲线的渐近线的性质，以及直线与双曲线的位置关系的判定方法，分类讨论求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思想，以及推理与运算能力，属于基础题．11．如图，A 、B 为椭圆()222210x y a b a b+=＞＞的两个顶点，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线与其交于点C ，若AB ∥OC(O 为坐标原点)，则直线AB 的斜率为______.【答案】2【解析】由椭圆的方程及过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线，求得2(,0),(0,),(,)b A a B b C c a-，根据//AB OC ，求得b c =，进而得到a =，利用斜率公式，即可求解． 【详解】由题意，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，过椭圆的右焦点F 作x 轴的垂线与其交于点C ，可得2(,0),(0,),(,)b A a B b C c a-，又由//AB OC ，可得2b b a a c=，整理得2bc b =，即b c =，又由22222a b c b a =+=⇒=，所以直线AB 的斜率为2b k a ===．故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程，熟练应用椭圆的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．12．已知12F F 、是双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左、右焦点,过点1F 且斜率为2的直线l 交双曲线的左支于点P,若直线2PF l ⊥，则双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】2y x =±【解析】先求出过点1F 且斜率为2的直线的方程，再利用垂直关系得出直线1PF 的方程，求出它们的焦点坐标及点P 的坐标，利用点P 在双曲线上，代入求得,,a b c 的关系式，进而求得其渐近线的方程，得到答案． 【详解】由题意，过过点1F 且斜率为2的直线l 的方程为2()y x c =+，因为2PF l ⊥，所以直线1PF 的斜率为12-，所以直线1PF 的方程为1()2y x c =--，两直线联立方程组，解得交点P 的坐标为34(,)55c c-，如图所示，将点P 代入双曲线的方程，可得222234()()551c c a b --=，整理得22222291625b c a c a b -=，又由222b c a =-，代入得222222229()1625()c a c a c a c a --=-，整理得4224950250c a c a -+=，解得225c a =，可得224b a =，即2b a =， 所以双曲线的渐近线的方程为2y x =±． 故答案为：2y x =±．、【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程，以及双曲线的简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．13．设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为23的直线与C 交于,M N 两点，则FM FN ⋅=________. 【答案】8【解析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出M 、N 的坐标，然后求解向量的数量积即可． 【详解】抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（﹣2，0）且斜率为23的直线为：3y=2x+4，联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2﹣6y+8=0，解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），02FM =（，），FN =（3，4）． 则FM FN ⋅=（0，2）•（3，4）=8． 故答案为：8. 【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。

一、选择题1．(0分)[ID ：13608]已知台风中心位于城市A 北偏东α︒的150千米处，以v 千米/时沿正西方向快速移动，2小时后到达距城市A 北偏西β︒的200千米处.若3sin sin 4αβ=，则v =（ ）A ．60B ．80C ．100D ．1252．(0分)[ID ：13583]已知向量()22cos ,3m x =，()1,sin2n x =，设函数()f x m n =⋅，则下列关于函数()y f x =的性质的描述正确的是( )A ．关于直线12x π=对称B ．关于点5,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．周期为2πD ．()y f x =在,03π⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数 3．(0分)[ID ：13579]当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是( ) A ．14B ．12C ．2D ．44．(0分)[ID ：13556]已知2sin()34πα+=，则sin 2α=（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．32-5．(0分)[ID ：13555]如图，由四个边上为1的等边三角形平成一个边长为2的等边三角形，各顶点依次为1236,,,,A A A A ，则12j i A A A A ⋅，{}(),1,2,3,,6i j ∈的值组成的集合为（ ）.A ．{}2,1,0,1,2--B ．12,1,,0,1,22⎧⎫---⎨⎬⎩⎭C ．3113,1,,0,,1,2222⎧⎫---⎨⎬⎩⎭D ．31132,,1,,0,,1,,22222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭6．(0分)[ID ：13624]设,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，3sin 5α=，则tan( )A ．34B ．34-C ．43D ．43-7．(0分)[ID ：13623]已知函数sin cos 66y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则其最小正周期和图象的一条对称轴方程分别为( ) A ．2π，6x π=B ．2π，12x π=C ．π，6x π=D ．π，12x π=8．(0分)[ID ：13620]已知点()()()()1,1,1,2,2,1,3,4A B C D ---，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）A B C ．D ． 9．(0分)[ID ：13595]若1sin 63a π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23a π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A ．79-B ．13-C ．13D ．7910．(0分)[ID ：13571]已知点P 是直线:260l x y +-=上的动点，过点P 作圆222:(2)C x y r ++=(0)r >的两条切线PM ，PN ，M ，N 为切点.若MPN ∠的最大值为60︒，则r 的值为（ ）A ．2B ．1C ．D 11．(0分)[ID ：13567]把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位长度，那么所得图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝－π2 B ．x ＝－π4C ．x ＝π8D ．x ＝π412．(0分)[ID ：13563]平面向量a 与b 的夹角23π，(2,0)a =，223a b +=，则a b ⋅=（ ）A ．B ．-C ．-2D ．213．(0分)[ID ：13562]函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值为（ ） A ．12πB ．4π C ．3π D ．512π14．(0分)[ID ：13536]将函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象，则2g π⎛⎫⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．2C ．2-D ．015．(0分)[ID ：13529]设O 是△ABC 所在平面上的一点，且满足()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，则△ABC 的形状一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．以上都不对二、填空题16．(0分)[ID ：13710]已知在ABC ∆所在的平面内有一点P ，满足PA PB PC AB ++=，则PBC ∆与ABC ∆的面积之比是_____．17．(0分)[ID ：13697]在ABC ∆中， 、、A B C 所对边分别为a b c 、、，若tan 210tan A cB b++=，则A =____________. 18．(0分)[ID ：13692]已知tan 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan tan 2xx=____________________． 19．(0分)[ID ：13691]已知α为锐角，5cos 5α=，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________．20．(0分)[ID ：13680]函数y=sin2x+2sin 2x 的最小正周期T 为_______.21．(0分)[ID ：13667]在ABC ∆中，sin 2cos sin A B C =，则ABC ∆为_____三角形． 22．(0分)[ID ：13660]在正△ABC 中，若6AB =，2DC BD =，则AD BC ⋅=________23．(0分)[ID ：13653]已知3cos 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则25sin cos 66παπα⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为__________ .24．(0分)[ID ：13645]如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，1AB AD ==．若点E 为边CD 上的动点，当AE BE ⋅取到最小值时，DE 的长为______．25．(0分)[ID ：13639]一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .三、解答题26．(0分)[ID ：13794]已知(1,2)a =，b (3,2)=-，当k 为何值时. （1）ka b +与3a b -垂直？（2）ka b +与3a b -平行？平行时它们是同向还是反向？27．(0分)[ID ：13761]已知向量()3,2a x x =+-，向量()1,4b x =-，其中05x ≤≤. （1）用x 表示a b ⋅；（2）求a b ⋅的最值，并求此时,a b 夹角的大小.28．(0分)[ID ：13757]设()2cos 22cos 16f x x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 的单调增区间；（2）在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若1,12A f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆面积的最大值．29．(0分)[ID ：13756]已知平行四边形OABC 中，若P 是该平面上任意一点，则满足OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ （λ,μ∈R ）.（1）若P 是BC 的中点，求λ+μ的值； （2）若A 、B 、P 三点共线，求证：λ+μ=1.30．(0分)[ID ：13738]已知向量a ＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b ＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)．设函数f(x)＝a b ⋅＋λ(x∈R)的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈1,12⎛⎫⎪⎝⎭.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若y ＝f(x)的图象经过点,04π⎛⎫⎪⎝⎭，求函数f(x)在区间30,5π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题1．D2．D3．D4．A5．D6．A7．D8．A9．A10．D11．A12．C13．B14．A15．A二、填空题16．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合18．【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式19．【解析】【分析】先利用同角三角函数关系计算sinαtanα再利用两角和的正切即可求得结论【详解】∵α为锐角∴∴tanα2∴tan故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系考查两角和的正切公式考查学生的20．【解析】考点：此题主要考查三角函数的概念化简性质考查运算能力21．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式22．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题23．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题24．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定25．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为三、解答题26．27．28．29．30．2016-2017年度第*次考试试卷参考解析【参考解析】**科目模拟测试1．D 解析：D 【解析】 【分析】如图所示，分别在Rt ADB ，Rt ADC ，求出AD ，建立,αβ关系，结合已知，求出sin α，sin β，进而得出,BD CD ，即可求解.【详解】如图所示，150AB =，200AC =，BAD ∠=α，CAD β∠=. 在Rt ADB 中，cos 150cos AD AB αα==，sin 150sin BD AB αα==.在Rt ADC 中，cos 200cos AD AC ββ==，sin 200sin CD AC ββ==，所以150cos 200cos αβ=，即3cos 4cos αβ=①， 又3sin sin 4αβ=②， 由①②解得4sin 5β=，3cos 5β=，3sin 5α=，4cos 5α=. 所以3sin 150905BD AB α==⨯=， 4sin 2001605CD AC β==⨯=，所以90160250BC BD CD =+=+=，所以2501252v ==. 故选:D.【点睛】本题考查解直角三角形、同角间的三角函数关系、三角方程的求解，考查计算能力，属于中档题.2．D解析：D【分析】 【详解】()22cos 2cos 2212sin(2)16f x x x x x x π=+=+=++，当12x π=时,sin(2)sin163x ππ+=≠±,∴f (x )不关于直线12x π=对称；当512x π=时,2sin(2)116x π++= ,∴f (x )关于点5(,1)12π对称； f (x )得周期22T ππ==， 当(,0)3x π∈-时,2(,)626x πππ+∈-,∴f (x )在(,0)3π-上是增函数． 本题选择D 选项.3．D解析：D 【解析】 【分析】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x =-利用二次函数求最值即可解答 【详解】分子与分母同除以2cos x ，得21()tan tan f x x x=-，22110,0tan 1,tan tan tan 424x x x x x π⎛⎫<<∴<<∴-=--+⎪⎝⎭ 1tan 2x ∴=时，2tan tan x x -的最大值为14综上，22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值为4 故选D 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，考查二次函数求最值，注意公式的合理运用，是基础题4．A解析：A 【解析】 【分析】将问题中的角2α看作未知角，条件中的角4απ+看作已知角，由未知角与已知角的关系2()242ππαα+-=，可以用已知角表示未知角，然后通过利用诱导公式以及二倍角公式即可求解未知角的正弦值. 【详解】因为sin 42πα⎛⎫+=⎪⎝⎭， 又因为2()242ππαα+-=，所以22()42ππαα=+-，则有2sin 2sin 2()42 sin 2()24 cos 2()412sin ()412ππααππαπαπα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=-+⎡⎤=--+⎢⎥⎣⎦=故选A. 【点睛】本题考查了三角函数值的求解问题，属于给值求值类型，常常利用角的关系对问题进行等价转化，再运用相关的诱导公式、两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式进行求解，属于基础题.5．D解析：D 【解析】 【分析】通过观察图形知道向量j i A A 分成以下三个类型：①小三角形边上的向量，②大三角形边上的向量，③大三角形中线向量，这样求出每种情况下12A A ，j i A A 的值，从而求得答案．【详解】对向量j i A A 分成以下几种类型：边长为1的小三角形边上的向量，只需找一个小三角形，与其它小三角形124A A A 边上的向量相等；大三角形136A A A 边上的向量，和它的中线上的向量，所以有：12121A A A A ⋅=,12211A A A A ⋅=-,114212A A A A ⋅=,411212A A A A ⋅=-, 214212A A A A ⋅=-,412212A A A A ⋅=,11322A A A A ⋅=,31122A A A A ⋅=-11621A A A A ⋅=,314223A A A A ⋅=-,413223A A A A ⋅=,212126620A A A A A A A A ⋅=⋅=,∴12j i A A A A ⋅，{}(),1,2,3,,6i j ∈的值组成的集合为31132,,1,,0,,1,,22222⎧⎫----⎨⎬⎩⎭.故选：D ． 【点睛】本题考查等边三角形中线的特点、相等向量、相反向量等概念、向量数量积的运算，考查分类讨论思想和运算求解能力．6．A解析：A 【解析】 【分析】由平方关系得出cos α，再结合诱导公式以及商数关系得出答案. 【详解】4cos 5α==-sin 353tan()tan cos 544απααα⎛⎫-=-=-=-⨯-= ⎪⎝⎭ 故选：A 【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系以及诱导公式，属于中档题.7．D解析：D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数解析式，利用周期公式，正弦函数的对称轴，即可得出答案. 【详解】1sin sin cos 622x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，1cos cos sin 622x x x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11cos sin 22y x x x x ⎫∴=+-⎪⎪⎝⎭⎝⎭)221sin cos cos sin 2x x x x =⋅+-1sin 224x x =+ 1sin 223x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭22T ππ∴== 由2,32πππ+=+∈x k k Z ，得,122k x k Z ππ=+∈ 当0k =时，12x π=，即该函数图象的一条对称轴方程为12x π=故选：D 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的周期以及对称轴，涉及了三角恒等变换，属于中档题.8．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】(2,1)AB =，(5,5)CD =，向量AB 在CD 方向上的投影为2AB CD CD⋅==，故选A ． 9．A解析：A 【解析】 【分析】根据诱导公式和余弦的倍角公式，化简得2cos(2)cos(2)cos[2()]336a a a πππ+=--=--2[12sin ()]6a π=---，即可求解． 【详解】 由题意，可得22cos(2)cos[(2)]cos(2)cos[2()]3336a a a a πππππ+=--+=--=-- 27[12sin ()]69a π=---=-，故选A ．【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中合理配凑，以及准确利用诱导公式和余弦的倍角公式化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．D解析：D 【解析】 【分析】根据题意，画出图象，当MPN ∠取得最大值时，则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==，当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值，结合已知，即可求得答案. 【详解】结合题意，绘制图象如下：当MPN ∠取得最大值时， 则MPC ∠取得最大值，而sin MC rMPC PC PC∠==， 当PC 取得最小值时，MPC ∠取得最大值.故PC 的最小值为点C 到该直线的距离， 故222521d ==+故1sin 30225r PC ==︒=，解得5r = 故选：D . 【点睛】本题主要考查了圆的基础知识，和数形结合，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.11．A解析：A 【解析】 把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得πsin(2)6y x =+ ，再将图象向右平移π3个单位长度得πππsin(2())sin(2)cos 2362y x x x =-+=-=-，一条对称轴方程为x ＝－π2，选A.点睛：三角函数的图象变换，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也常出现在题目中，所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈；函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈；函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.12．C解析：C 【解析】 【分析】求得22,2cos 3a ab b b π=⋅=⋅=-，将223a b +=平方列方程求解即可. 【详解】因为平面向量a 与b 的夹角为()2,2,0,2233a ab π=+=， 所以22,2cos3a ab b b π=⋅=⋅=-，()2212a b +=，即为2224444412a a b b b b +⋅+=-+=,解得2(1b =-舍去）， 则2a b ⋅=-，故选C. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的定义和性质，以及平面向量的模，属于中档题.平面向量的运算性质主要有两个：（1）cos a b a b θ⋅=；（2）22a a =.13．B解析：B 【解析】函数()()2sin 3f x x ϕ=+的图象向右平移动12π个单位得到：()2sin(3)4f x x πϕ=+-图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，故424k k πππϕπϕπ-=-⇒=-，所以ϕ的最小值为4π 14．A 解析：A 【解析】 【分析】根据平移关系求出()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，代入即可求解. 【详解】由题函数()2sin 24f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图象， 所以()g x 32sin 22sin 2444x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以2g π⎛⎫⎪⎝⎭32sin 2sin 44πππ⎛⎫=-==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】此题考查根据函数的平移求函数解析式，并根据函数解析式求函数值，需要熟练掌握函数的平移变换.15．A解析：A 【解析】 【分析】根据已知条件，利用向量的线性运算以及数量积运算，证得AB AC =，由此证得ABC ∆是等腰三角形.【详解】由()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=，得()()0CB OB OA OC OA ⎡⎤⋅-+-=⎣⎦，()()0AB AC AB AC -⋅+=，220ABAC -=，所以AB AC =，所以ABC ∆是等腰三角形. 故选：A 【点睛】本小题主要考查平面向量线性运算，考查平面向量数量积运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.二、填空题16．【解析】【分析】根据向量条件确定点是边上的三等分点从而可求与的面积之比【详解】因为所以所以点在边上且是靠近点一侧的三等分点所以和的面积之比为故答案为：【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用熟练应解析：2:3【解析】 【分析】根据向量条件，确定点P 是CA 边上的三等分点，从而可求PBC ∆与ABC ∆的面积之比． 【详解】因为PA PB PC AB ++=，所以2PC AB PB PA AB BP AP AP =--=++=，所以点P 在边CA 上，且是靠近点A 一侧的三等分点，所以PBC ∆和ABC ∆的面积之比为2:3．故答案为：2:3． 【点睛】本题主要考查平面向量在几何中的应用，熟练应用平面向量知识是解题的关键，属于常考题.17．【解析】【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式再把正切化成弦整理后可得解出即可【详解】由正弦定理可得故通分得到因为所以故即因为故填【点睛】在解三角形中如果题设条件是边角的混合解析：23π. 【解析】 【分析】利用正弦定理把边角混合关系化成关于角的三角函数的关系式，再把正切化成弦，整理后可得120cos A +=，解出A 即可. 【详解】由正弦定理可得tan 2sin 10tan sin A C B B ++=，故sin cos 2sin 10cos sin sin A B CA B B++=， 通分得到()sin 2sin 0cos sin sin A B CA BB++=，sin 2sin 0cos sin sin C C A B B +=. 因为(),0,B C π∈，所以sin 0sin C B ≠，故120cos A+=即1cos 2A =-.因为()0,A π∈，故23A π=，填23π.【点睛】在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.18．【解析】试题分析：考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式 解析：49【解析】 试题分析：12tan 1133tan 22tan tan 2141tan 3419x x x x x π⨯+⎛⎫+=∴=∴=∴== ⎪-⎝⎭-1tan 433tan 294x x ∴== 考点：两角和的正切公式与正切的二倍角公式19．【解析】【分析】先利用同角三角函数关系计算sinαtanα再利用两角和的正切即可求得结论【详解】∵α为锐角∴∴tanα2∴tan 故答案为【点睛】本题考查同角三角函数关系考查两角和的正切公式考查学生的【解析】 【分析】先利用同角三角函数关系，计算sin α，tan α，再利用两角和的正切，即可求得结论． 【详解】∵α为锐角，cos α=，∴sin α=∴tan αsin cos αα==2 ∴tan 11234112tan tan πααα++⎛⎫+===-⎪--⎝⎭ 故答案为3- 【点睛】本题考查同角三角函数关系，考查两角和的正切公式，考查学生的计算能力，属于基础题．20．【解析】考点：此题主要考查三角函数的概念化简性质考查运算能力 解析：π【解析】sin 2cos 2)2sin(2).3y x x x T ππ=-=-+∴=考点：此题主要考查三角函数的概念、化简、性质，考查运算能力.21．等腰【解析】【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出然后利用两角差的正弦公式得出由此可判断出的形状【详解】因为所以即所以即所以因为所以因此是等腰三角形故答案为等腰【点睛】本题考查利用内角和定理诱导公式解析：等腰 【解析】 【分析】利用内角和定理以及诱导公式得出()sin sin A B C =+，然后利用两角差的正弦公式得出B C =，由此可判断出ABC ∆的形状.【详解】因为()A B C π=-+，所以()sin 2cos sin B C B C π⎡⎤-+=⎣⎦，即()sin 2cos sin B C B C +=，所以sin cos cos sin 2cos sin B C B C B C +=， 即sin cos cos sin 0B C B C -=，所以()sin 0B C -=，因为B 、()0,C π∈，(),B C ππ-∈-，所以B C =，因此，ABC ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查利用内角和定理、诱导公式以及三角恒等变换思想来判断三角形的形状，考查推理能力，属于中等题.22．【解析】【分析】由可得利用向量的线性运算可得再求出和即可【详解】由题意则故答案为:【点睛】本题考查了平面向量的线性运算考查了向量数量积的计算考查学生的计算能力属于基础题 解析：6-【解析】 【分析】由2DC BD =可得13BD BC =,利用向量的线性运算可得()21133AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+ ⎪⎝⎭,再求出AB BC ⋅和2BC 即可.【详解】由题意,2DC BD =,则13BD BC =, 66cos6018AB BC BA BC ︒⋅=-⋅=-⨯=-,26636BC =⨯=,()211118366333AD BC AB BD BC AB BC BC AB BC BC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=⋅+=-+⨯=- ⎪⎝⎭.故答案为:6-.【点睛】本题考查了平面向量的线性运算,考查了向量数量积的计算,考查学生的计算能力,属于基础题.23．【解析】分析：由同角三角函数关系得诱导公式得进而得解详解：由得所以故答案为：点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式属于基础题 23+ 【解析】分析：由同角三角函数关系得222sin 11666cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，诱导公式得5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，进而得解.详解：由cos 6πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，得22212sin 11166633cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.5cos cos π cos 666πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=--= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.所以252sin cos 663παπα+⎛⎫⎛⎫--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.点睛：本题主要考查了同角三角函数的关系和诱导公式，属于基础题.24．【解析】【分析】设由已知结合余弦定理可求而展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质即可求出结果【详解】设中由余弦定理可得中此时故答案为：【点睛】本题以向量的基本运算为载体主要考查了向量的数量积的定解析：4【解析】 【分析】设DE x =，由已知结合余弦定理可求30ABD BDA ∠=∠=︒，而()()AE BE AD DE BA AD DE ⋅=+⋅++，展开结合向量的数量积的运算及二次函数的性质，即可求出结果． 【详解】 设DE x =，1201BAD AB AD ∠=︒==，，ABD △中，由余弦定理可得，2221BD AB AD 2AB AD cos1201121132︒⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，BD ∴=ABD ∆中，30ABD BDA ∠=∠=︒，AB BC AD CD ⊥⊥，()()AE BE AD DE BA AD DE ∴⋅=+⋅++22AD BA AD AD DE DE BA DE AD DE =⋅++⋅+⋅+⋅+223311cos 60101cos150022x x x x ︒︒=⨯⨯++-++⨯⨯++ 23322x x =-+ 23212141616x ⎛⎫=-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭， 此时34DE x ==， 故答案为：34． 【点睛】本题以向量的基本运算为载体，主要考查了向量的数量积的定义的应用及二次函数的最值的求解，属于知识的简单综合．25．3【解析】【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图再由弧长公式即可求解【详解】由题意作出过球心且垂直于二面角棱的截面图如图所示因为二面角为120°所以设球的半径为由弧长公式可得解得故答案为解析：3 【解析】 【分析】根据题意画出过球心且垂直于二面角棱的截面图，再由弧长公式，即可求解． 【详解】由题意，作出过球心且垂直于二面角棱的截面图，如图所示， 因为二面角为120°，所以603AOB π∠==，设球的半径为R ，由弧长公式可得3R ππ=，解得3R =．故答案为3．【点睛】本题主要考查了二面角的平面角的概念及应用，以及弧长公式的应用，着重考查了空间想象能力与思维能力，属于基础题．三、解答题 26．（1) 19k =（2) 13k =-,反向 【解析】 【分析】（1）计算得到(3,22)ka b k k +=-+，3(10,4)a b -=-，计算()(3)0ka b a b +⋅-=得到答案.（2）根据()(3)ka b a b +-∥得到4(3)10(22)k k --=+，计算并判断方向得到答案， 【详解】（1)(1,2)(3,2)(3,22)ka b k k k +=+-=-+；3(1,2)3(3,2)(10,4)a b -=--=-()(3)ka b a b +⊥-，得()(3)10(3)4(22)2380ka b a b k k k +⋅-=--+=-=，19k = （2)()(3)ka b a b +-∥，得4(3)10(22)k k --=+，13k =- 此时1041,(10,4)333ka b ⎛⎫+=-=-- ⎪⎝⎭，所以方向相反.【点睛】本题考查了向量的平行和垂直，意在考查学生的计算能力.27．（1）a b ⋅=()214x ---（2）a b ⋅的最大值为4-，夹角为arccos 17π- 【解析】 【分析】（1）根据坐标形式下的向量的数量积运算，用x 表示出a b ⋅；（2）由二次函数确定出a b ⋅的最大值，并利用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从而求解出夹角的大小. 【详解】（1）因为()3,2a x x =+-，()1,4b x =-，所以()()()()2231422514a b x x x x x x ⋅=+-+-=-+-=---； （2）因为a b ⋅=()214x ---，且05x ≤≤，所以当1x =时，a b ⋅有最大值4-，此时()()4,1,0,4a b =-=，所以cos ,a b <>==,a b π<>=-. 【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示以及相关计算，难度一般.已知两个向量,a b ，若要求解两个向量的夹角，可先通过向量的夹角公式cos ,a b a b a b⋅<>=先求解出夹角的余弦值，若,a b <>非特殊角，再通过反三角函数即可得到向量的夹角大小.28．（1）()f x 的单调递增区间是(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）4【解析】 【分析】利用二倍角公式、两角和差余弦公式和辅助角公式可化简函数为()sin 26f x x π⎛⎫+ ⎝=⎪⎭；（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解出x 的范围即为所求的单调递增区间；（2）利用A 为锐角和12A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭可求得A ；利用余弦定理和基本不等式可求得1bc ≤，代入三角形面积公式即可求得面积的最大值. 【详解】()1cos 2cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin cos 223332f x x x x x x x xπππ⎛⎫=-+=-+=+ ⎪⎝⎭sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：()36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈()f x ∴的单调递增区间为：(),36k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦（2）sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2,663A πππ⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭62A ππ∴+=，即3A π= 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2212b c bc bc bc bc +-=≥-=（当且仅当b c=时取等号）1sin 244ABC S bc A bc ∆∴==≤（当且仅当b c =时取等号）即ABC ∆【点睛】本题考查三角函数与解三角形知识的综合应用，涉及到利用三角恒等变换公式对三角函数进行化简、正弦型函数单调区间的求解、余弦定理和三角形面积公式的应用、利用基本不等式求解三角形面积的最值等知识，属于常考题型.29．（1）12 （2）证明见解析【解析】 【分析】（1）OP⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ ,再结合BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =−OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ,可求出λ,μ; （2）设AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R ),可得OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,结合AB ⃑⃑⃑⃑⃑ =AO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,可得到OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1−t )OA⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,从而可证明λ+μ=1. 【详解】（1）由题意,OP⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +BP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ +12AO ⃑⃑⃑⃑⃑ =OB ⃑⃑⃑⃑⃑ −12OA ⃑⃑⃑⃑⃑ , 又OP⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故λ=−12,μ=1,即λ+μ=12. （2）A 、B 、P 三点共线，设AP⃑⃑⃑⃑⃑ =tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ (t ∈R ), 则OP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +AP ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tAB ⃑⃑⃑⃑⃑ =OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +t (AO ⃑⃑⃑⃑⃑ +OB ⃑⃑⃑⃑⃑ )=(1−t )OA ⃑⃑⃑⃑⃑ +tOB ⃑⃑⃑⃑⃑ , 又OP⃑⃑⃑⃑⃑ =λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ ,故λ=1−t,μ=t ,即λ+μ=1. 【点睛】本题考查了平面向量共线定理的运用,考查了向量的线性运算,考查了学生的推理能力,属于基础题.30．(1)56π；(2)12,22⎡⎤---⎣⎦ . 【解析】 试题分析：(1)整理函数的解析式可得：56ω=，利用最小正周期公式可得函数的最小正周期为65π ； (2)化简三角函数的解析式()52sin 236f x x π⎛⎫=--⎪⎝⎭，结合函数的定义域可得函数的取值范围是12,22⎡⎤---⎣⎦ .试题解析：(1)因为f(x)＝sin 2ωx－cos 2ωx＋2sinωx·cosωx＋λ＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ ＝2sin＋λ.由直线x＝π是y＝f(x)图象的一条对称轴，可得sin＝±1，所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，即ω＝＋(k∈Z)．又ω∈，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.所以f(x)的最小正周期是.(2)由y＝f(x)的图象过点，得f＝0，即λ＝－2sin＝－2sin＝－，即λ＝－.故f(x)＝2sin－，由0≤x≤，有－≤x－≤，所以－≤sin≤1，得－1－≤2sin x－－≤2－.故函数f(x)在上的取值范围为[－1－，2－]．。

2016-2017学年上海市高二（下）期中数学试卷一、填空题1．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为．3．若复数z满足，则= ．4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，则a的值为．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于．7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为．8．参数方程（t为参数），化为一般方程为．9．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．10．M是抛物线y=4x2+1上的一个动点，且点M是线段OP的中点（O为原点），P的轨迹方程为．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为cm3．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是．二、选择题13．命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：115．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）三、简答题17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，（1）求点P的轨迹C（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1．（1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点D到平面A1BC1的距离d．19．复数z满足z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．21．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．2016-2017学年上海市师大二附中高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为 2 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线的性质求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：p=2．故答案为：2．2．方向向量为，且过点A（3，4）的直线的一般式方程为2x﹣y﹣2=0 ．【考点】IG：直线的一般式方程．【分析】根据点向式方程计算即可【解答】解：方向向量为，且过点A（3，4）的方程为=，即2x﹣y﹣2=0，故答案为：2x﹣y﹣2=0．3．若复数z满足，则= ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算；A8：复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值．【解答】解：∵==，∴．故答案为：．4．直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，则a的值为2±．【考点】IV：两直线的夹角与到角问题．【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得a的值．【解答】解：直线x+y﹣2=0的斜率为﹣1，和ax﹣y+1=0的斜率为a，直线x+y﹣2=0和ax﹣y+1=0的夹角为，∴tan==||，求得a==2﹣，或a==2+，故答案为：2±．5．已知点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，则k= ．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可．【解答】解：点（﹣4，0）是椭圆kx2+3ky2=1的一个焦点，可得：，解得k=．故答案为：．6．如果实数x，y满足线性约束条件，则z=x﹣y+1的最小值等于﹣2 ．【考点】7C：简单线性规划．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x可得当直线经过点A（﹣2，1）时，z 取最小值，代值计算可得．【解答】解：作出线性约束条件，所对应的可行域（如图），变形目标函数可得y=x+1+z，平移直线y=x可知，当直线经过点A（﹣2，1）时，截距取最小值，z取最小值，代值计算可得z的最小值为z=﹣2﹣1+1=﹣2故答案为：﹣2．7．正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为45°．【考点】MI：直线与平面所成的角；L3：棱锥的结构特征．【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系求出此角．【解答】解：如图，四棱锥P﹣ABCD中，过P作PO⊥平面ABCD于O，连接AO，则AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即为所求线面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求线面角为45°．故答案为45°．8．参数方程（t为参数），化为一般方程为x+y﹣2=0 ．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【分析】参数方程消去参数t，能求出其一般方程．【解答】解：∵参数方程（t为参数），∴消去参数t，得：x=1+（1﹣y），整理，得一般方程为：x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．9．以椭圆3x2+13y2=39的焦点为顶点，以为渐近线的双曲线方程为．【考点】KI：圆锥曲线的综合．【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即可．【解答】解：以椭圆3x2+13y2=39的焦点为（±，0），则双曲线的顶点（±，0），可得a=，以为渐近线的双曲线，可得b=，所求的双曲线方程为：．故答案为：．10．M是抛物线y=4x2+1上的一个动点，且点M是线段OP的中点（O为原点），P的轨迹方程为y=2x2+2 ．【考点】KK：圆锥曲线的轨迹问题．【分析】设出P的坐标，求出M的坐标，动点M在抛物线y=4x2+1上运动，点M满足抛物线方程，代入求解，即可得到P的轨迹方程．【解答】解：设P的坐标（x，y），由题意点M为线段OP的中点，可知M（，），动点M在抛物线y=4x2+1上运动，所以=4+1，所以y=2x2+2动点P的轨迹方程为：y=2x2+2．故答案为：y=2x2+2．11．某地球仪上北纬60°纬线长度为6πcm，则该地球仪的体积为288 cm3．【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径，再求体积．【解答】解：由题意：地球仪上北纬60°纬线的周长为6πcm，纬圆半径是：3cm，地球仪的半径是：6cm；地球仪的体积是：π×63=288cm3，故答案为：288π．12．若圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，则a的取值范围是（0，）．【考点】JA：圆与圆的位置关系及其判定．【分析】转化题目，为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解即可．【解答】解：圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=1（a＞0）上总存在两个点到原点的距离为1，转化为：以原点为圆心1为半径的圆与已知圆相交，可得1﹣1＜＜1+1，可得0＜2，即a∈（0，）．故答案为：（0，）二、选择题13．命题p：a≥1；命题q：关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若关于x的实系数方程x2﹣2x+a=0有虚数解，则判别式△＜0，即8﹣4a＜0，解得a＞2，∴p是q的必要不充分条件，故选：B14．若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为S1、S2，则S1：S2=（）A．1：1 B．2：1 C．3：2 D．4：1【考点】LG：球的体积和表面积．【分析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为1，结合圆柱的表面积的公式以及球的表面积即可得到答案．【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为1，所以等边圆柱的表面积为：S1=6π，球的表面积为：S2=4π．所以圆柱的表面积与球的表面积之比为S1：S2=3：2．故选C．15．如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体是（）A．（2）（3）（4） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（4）【考点】L7：简单空间图形的三视图．【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图，圆柱的侧视图与主视图一样，圆锥的侧视图与主视图一样，四棱柱侧视图与主视图一样，得到结果．【解答】解：要找三视图中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体，需要看出所给的四个几何体的三视图，正方体的三视图都是正方形，都相同，不合题意，圆柱的侧视图与主视图一样，符合题意，圆锥的侧视图与主视图一样，符合题意，四棱柱侧视图与主视图一样，符合题意，故符合题意的有（2）（3）（4）三个，故选A．16．如果函数y=|x|﹣2的图象与曲线C：x2+y2=λ恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．{2}∪（4，+∞）B．（2，+∞）C．{2，4} D．（4，+∞）【考点】J8：直线与圆相交的性质．【分析】根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，抓住两个关键点，当圆O 与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，由三角形AOB为等腰直角三角形，利用三线合一得到OC为斜边AB的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出OC的长，平方即可确定出此时λ的值；当圆O半径为2时，两函数图象有3个公共点，半径大于2时，恰好有2个公共点，即半径大于2时，满足题意，求出此时λ的范围，即可确定出所有满足题意λ的范围．【解答】解：根据题意画出函数y=|x|﹣2与曲线C：x2+y2=λ的图象，如图所示，当AB与圆O相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过O作OC⊥AB，∵OA=OB=2，∠AOB=90°，∴根据勾股定理得：AB=2，∴OC=AB=，此时λ=OC2=2；当圆O半径大于2，即λ＞4时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，综上，实数λ的取值范围是{2}∪（4，+∞）．故选A三、简答题17．直角坐标系中，已知动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，（1）求点P的轨迹C（2）点A（3，1），P在曲线C上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点P的坐标．【考点】IW：与直线有关的动点轨迹方程．【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出曲线C的方程；（2）要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点即可【解答】解：（1）（1）设P（x，y），∵动点P（x，y）到定点F（0，2）的距离与它到y=﹣1距离之差为1，∴，整理得x2=8y∴点P的轨迹C是以原点为顶点，对称轴为y轴的抛物线．（2）如图，要使|PA|+|PF|的值最小，则三点P，A，F三点共线，此时点P为直线AF与抛物线的交点．直线AF方程：x+3y﹣6=0由得P（，）|PA|+|PF|的最小值为．18．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如下所示的几何体ABCD﹣A1C1D1．（1）若A1C1的中点为O1，求异面直线BO1与A1D1所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）求点D到平面A1BC1的距离d．【考点】MK：点、线、面间的距离计算；LM：异面直线及其所成的角．【分析】（1）建立空间直角坐标系．求出相关点的坐标，求出．利用空间向量的连结求解异面直线BO1与A1D1所成的角．（2）求出平面ABD的法向量．通过空间向量的距离公式求解即可．【解答】（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分，第2小题满分．（理科）解：（1）按如图所示建立空间直角坐标系．由题知，可得点D（0，0，0）、B（2，2，0）、D1（0，0，3）、A1（2，0，3）、C1（0，2，3）．由O1是A1C1中点，可得O1（1，1，3）．于是，．设异面直线BO1与A1D1所成的角为θ，则．因此，异面直线BO1与A1D1所成的角为．（2）设是平面ABD的法向量．∴又，∴取z=2，可得即平面BA1C1的一个法向量是．∴=．19．复数z满足z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，求|z|的最大值．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），则，代入z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a+1）2+（b+2）2=8．则z在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以为半径的圆．数形结合求|z|的最大值．【解答】解：设z=a+bi（a，b∈R），则，代入z+（1﹣2i）z+（1+2i）=3，得（a2+b2+2a+4b）+（b﹣2a﹣b+2a）i=3，即a2+b2+2a+4b=3，化为（a+1）2+（b+2）2=8．∴z在复平面内所对应点的轨迹为以（﹣1，﹣2）为圆心，以为半径的圆．∴|z|=，则|z|的最大值为．20．已知直线l：kx﹣y+1+2k=0，k∈R（1）直线过定点P，求点P坐标；（2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设三角形OAB的面积为4，求出直线l方程．【考点】IO：过两条直线交点的直线系方程．【分析】（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0可得直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）（2）令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4，解得k【解答】解：（1）由kx﹣y+1+2k=0，可得k（x+2）+（1﹣y）=0∴直线l：kx﹣y+1+2k=0必过直线x+2=0，1﹣y=0的交点（﹣2，1）∴P（﹣2，1）．（2）∵直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，∴k＞0令y=0，得A（﹣）；令x=0，得B（0，1+2k）三角形OAB的面积为s===4解得k=∴直线l方程为：x﹣2y+4=021．椭圆C：过点M（2，0），且右焦点为F（1，0），过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点．设点P（4，3），记PA、PB的斜率分别为k1和k2．（1）求椭圆C的方程；（2）如果直线l的斜率等于﹣1，求出k1•k2的值；（3）探讨k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出k1+k2的取值范围．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用已知条件求出b，即可求解椭圆方程．（2）直线l：y=﹣x+1，设AB坐标，联立利用韦达定理以及斜率公式求解即可．（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A，B，求出斜率，即可；当直线AB的斜率存在时，设其为k，求直线AB：y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程组，利用韦达定理以及斜率公式化简求解即可．【解答】解：（1）∵a=2，又c=1，∴，∴椭圆方程为…（2）直线l：y=﹣x+1，设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得7x2﹣8x﹣8=0，有，．……（3）当直线AB的斜率不存在时，不妨设A（1，），B（1，﹣），则，，故k1+k2=2．…当直线AB的斜率存在时，设其为k，则直线AB：y=k（x﹣1），设A（x1，y1）B（x2，y2），由消y得（4k2+3）x2﹣8k2x+（4k2﹣12）=0，有，．…=…。

曹杨二中高二期中考数学卷2016.11一. 填空题1.三个平面最多把空间分成个部分2.两条异面直线所成角的取值范围是3.给出以下命题“已知点A 、B 都在直线l 上，若A 、B 都在平面α上，则直线l 在平面α上”，试用符号语言表述这个命题4.设E 、F 、G 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则四边形EFGH 的形状一定是5.设点A ∈平面α，点B ∈平面β，l αβ=，且点A ∉直线l ，点B ∉直线l ，则直线l 与过A 、B两点的直线的位置关系6.数列{}n a 中，设n S 是它的前n 项和，若2log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式n a =7.设a 、b 是两个不相等的正数，若11lim 2n n n nn a b a b ++→∞-=+，则b 的取值范围是 8.计算1981891899189991899991n -++++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=个9.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1C 到直线BD 的距离为10.我们把b 除a 的余数r 记为mod r a b =，例如49mod5=，如图所示，若输入209a =，77b =，则循环体“mod r a b ←”被执行了次11.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =12.若三数a 、1、c 成等差数列，且2a 、1、2c 成等比数列，则22lim()n n a c a c →∞+=+13.在学习公理四“平行于同一条直线的两条直线平行”时，有同学进行类比，提出了下列命题：① 平行于同一平面的两个不同平面互相平行；② 平行于同一直线的两个不同平面互 相平行；③ 垂直于同一直线的两个不同平面互相平行；④ 垂直于同一平面的两个不同平面 互相平行；其中正确的有14.在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n ⋅⋅⋅--⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅- ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅---⎝⎭中，若记位于第i 行第j 列的 数为ij a (,1,2,,)i j n =⋅⋅⋅，则当9n =时，表中所有满足2i j <的ij a 的和为二. 选择题15.已知右图是计算111124620S =+++⋅⋅⋅+的值的一 个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ） A. 10i > B. 10i <C. 20i > D. 20i <16.下列命题中，正确的共有（ ）①因为直线是无限的，所以平面内的一条直线就可以延伸到平面外去；②两个平面有时只相交于一个公共点；③分别在两个相交平面内的两条直线如果相交，则交点只可能在两个平面的交线上；④一条直线与三角形的两边都相交，则这条直线必在三角形所在的平面内；A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个17.从21k +()k N ∈开始，连续21k +个自然数的和等于（ ）A.3(1)k +B. 33(1)k k ++C. 33(1)k k -+ D. 3(21)(1)k k ++ 18.已知方程组239246x y z x y z k x y z -+=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩的解中，1y =-，则k 的值为（） A. 3B. 3-C. 1D. 1- 三. 解答题19.解关于x 、y 的方程组(1)2024160x m y m mx y +++-=⎧⎨++=⎩，并对解的情况进行讨论；20.如图，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 为△ABC 和△ACD 重心，6BD =；（1）求MN 的长；（2）若A 、C 的位置发生变化，MN 的位置和长度会改变吗？21.已知长方体ABCD A B C D ''''-中，4AB =，3AD =，2AA '=；（1）求出异面直线AC '和BD 所成角的余弦值；（2）找出AC '与平面D DBB ''的交点，并说明理由；22.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n a S a a =--(a 为常数，且0a ≠，1)a ≠； （1）求{}n a 的通项公式；（2）设21n n nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值； （3）若数列{}n b 是（2）中的等比数列，数列(1)n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ；23.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则称{}n a 是“H 数列”； （1）若数列{}n a 的前n 项和2n n S =，*n N ∈，{}n a 是否是“H 数列”，说明理由；（2）设{}n a 是等差数列，其首项11a =，公差0d <，若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；（3）证明：对任意的等差数列{}n a ，总存在两个“H 数列”{}n b 和{}n c ，使得n n n a b c =+ *()n N ∈成立；参考答案一. 填空题1.82.(0,]2π3.已知A l ∈，B l ∈，若A α∈，B α∈，则l α⊆4.平行四边形5.异面6. 3,12,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩7.02b <<8. 110910n n +-- 9. 210.411. 1n -12.0或113. ①③ 14.88二. 选择题15.A16.C 17.B 18.B三. 解答题19.略；20.（1）2；（2）位置改变，长度不改变；21.（1）145；（2）略； 22.（1）n a ；（2）13；（3）3n n b =，错位相减，1239344n n n T +-=⋅+； 23.（1）是；（2）1-；（3）略；。