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静电场中的导体和电介质静电平衡时导体是个等势体，导体表面是等势面，大前提是整个导体都是一样的，不要因为单独说导体表面是个等势面就误以为导体表面和内部不是等势的。
（证明省略）由此公式得出：导体表面电荷密度大的地方场强大，面电荷密度小的地方场强小。
导体表面电荷分布规律①与导体形状有关②与附近有什么样的带电体有关。
定性分析来说，孤立导体面电荷密度与表面的曲率有关，但是并不是单一的函数关系。
拓展知识（尖端放电的原理以及应用；避雷针的原理）这是一个从带电体上吸取全部电荷的有效方法。
测量电量时，要在静电计上安装法拉第圆筒，并将带电体接触圆筒的内表面，就是为了吸取带电体的全部电量，使测量更准确。
库仑平方反比定律推出高斯定理，高斯定理推出静电平衡时电荷只能分布导体外表面。
所以可以由实验精确测定导体内部没有电荷，就证明了高斯定理的正确，进而就证明了库仑平方反比定律的正确。
所以说这是精确的，因为通过实验测定数据是一定会存在误差的，而通过实验测定导体内部没有电荷是不会存在误差的，所以是很精确的。
以上是库仑平方反比定律验证的发展历史。
见图2-1，导体壳内部没有电荷时，导体的电荷只是分布在外表面上，为了满足电荷守恒定理，见图2-1c，就要一边是正电荷，而另一边是负电荷，其实空腔内没有电场的说法是对于结果而言的，并不能看出本质，本质是外电场和感应电荷的电场在导体腔的内部总的场强为0。
使带电体不影响外界，则要求将带电体置于接地的金属壳或者金属网内，必须接地才能将金属壳或者金属网外表面感应电荷流入地下。
则外界不受带电体场强的作用，而本质上也是带电体的场强和内表面感应电荷的场强叠加作用使外界总场强为0。
孤立导体的电容：电容C与导体的尺寸和形状有关，与q，U无关，它的物理意义是使导体每升高单位电位所需要的电量。
电容器及其电容：对电容的理解要升高一个层次：电容是导体的一个基本属性，就好像水桶的容量一样，C=U/q。
然而导体A的附近有其他导体时，导体的电位不仅与自己的q 有关，还受到其他导体的影响。
第七章静电场中的导体————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第七章 静电场中的导体、电介质一、选择题：1. 已知厚度为d 的无限大带电导体平板，两表面上电荷均匀分布，电荷面密度均为σ，如图所示，则板外两侧的电场强度的大小为：[ ]（A ）E=02εσ （B ）E=02εσ （C ）E=0εσ （D ）E=02dεσ2. 两个同心薄金属体，半径分别为R 1和R 2（R 2>R 1），若分别带上电量为q 1和q 2的电荷，则两者的电势分别为U 1和U 2（选无穷远处为电势零点），现用导线将两球壳相连接，则它们的电势为[ ]（A ）U 1 （B ）U 2 （C ）U 1+U 2 （D ）21（U 1+U 2） 3.如图所示，一封闭的导体壳A 内有两个导体B 和C ，A 、C 不带电，B 带正电，则A 、B 、C 三导体的电势U A 、U B 、U C 的大小关系是[ ] （A ）U A =U B =U C （B ）U B > U A =U C（C ）U B >U C >U A （D ）U B >U A >U C4.一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板，电荷面密度为σ，则板的两侧离板的距离均为h 的两点a 、b 之间的电势差为： [ ]（A ）零 （B ）02εσ （C ）0εσh （D ）02εσh5. 当一个带电导体达到静电平衡时： [ ](A) 表面上电荷密度转大处电势较高(B) 表面曲率较大处电势。
(C)导体内部的电势比导体表面的电势高。
(D)导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零。
6. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一内、外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳内半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ ]dσσ A BCabhh dr1r 2r +Q（A ）E=rQ U rQ 0204,4πεπε=（B ）E=0，104r Q πε（C ）E=0，rQ 04πε （D ）E=0，204r Q πε7. 设有一个带正电的导体球壳，若球壳内充满电介质，球壳外是真空时，球壳外一点的场强大小和电势用E 1，U 1表示；若球壳内、外均为真空时，壳外一点的场强大小和电势用E 2、U 2表示，则两种情况下，壳外同一处的场强大小和电势大小的关系为： [ ]（A ）E 1=E 2， U 1=U 2 （B ）E 1=E 2， U 1>U 2 （C ）E 1>E 2， U 1>U 2 （D ）E 1<E 2， U 1<U 28.一个未带电的空腔导体球壳，内半径为R ，在腔内离球心的距离为d 处（d<R ），固定一电量为+q 的点电荷，用导线把球壳接地后，再把地线撤去，选无穷远处为电势零点，则球心O 处的电势为 [ ]（A ）0 （B ）04q dπε （C ）-Rq 04πε (D))11(40Rd q-πε 9. 金属球A 与同心球壳B 组成电容器，球A 上带电荷q ，壳B 上带电荷Q ，测得球与壳间电势差为U AB ，可知该电容器的电容值为 [ ]（A ）q/U AB （B ）Q/U AB （C ）(q+Q)/U AB （D ）(q+Q)/(2U AB ) 10. 如右图所示，有一接地的金属球，用一弹簧吊起，金属球原来不带电，若在它的下方放置一电量为q 的点电荷，则 [ ] (A) 只有当q>0时，金属球才下移。
专业班级_____ ________学号________第七章静电场中的导体和电介质一、选择题：1，在带电体A旁有一不带电的导体壳B,C为导体壳空腔的一点，如下图所示。
则由静电屏蔽可知：[ B ]（A）带电体A在C点产生的电场强度为零；（B）带电体A与导体壳B的外表面的感应电荷在C点所产生的合电场强度为零；（C）带电体A与导体壳B的表面的感应电荷在C点所产生的合电场强度为零；（D）导体壳B的、外表面的感应电荷在C点产生的合电场强度为零。
解答单一就带电体A来说，它在C点产生的电场强度是不为零的。
对于不带电的导体壳B,由于它在带电体A这次，所以有感应电荷且只分布在外表面上（因其部没有带电体）此感应电荷也是要在C点产生电场强度的。
由导体的静电屏蔽现象，导体壳空腔C点的合电场强度为零，故选（B）。
2，在一孤立导体球壳，如果在偏离球心处放一点电荷+q，则在球壳、外表面上将出现感应电荷，其分布情况为 [ B ]（A）球壳表面分布均匀，外表面也均匀；（B）球壳表面分布不均匀，外表面均匀；（C）球壳表面分布均匀，外表面不均匀；（D）球壳的、外表面分布都不均匀。
解答 由于静电感应，球壳表面感应-q ，而外表面感应+q ，由于静电屏蔽，球壳部的点电荷+q 和表面的感应电荷不影响球壳外的电场，外表面的是球面，因此外表面的感应电荷均匀分布，如图11-7所示。
故选（B ）。
3. 当一个带电导体达到静电平衡时：[ D ](A) 表面上电荷密度较大处电势较高 (B) 表面曲率较大处电势较高。
(C)导体部的电势比导体表面的电势高。
(D)导体任一点与其表面上任一点的电势差等于零。
4. 如图示为一均匀带电球体，总电量为+Q ，其外部同心地罩一、外半径分别为r 1、r 2的金属球壳、设无穷远处为电势零点，则在球壳半径为r 的P 点处的场强和电势为： [ D ]（A ）E=r Q U r Q 0204,4πεπε=（B ）E=0，104r Q U πε= （C ）E=0，rQ U 04πε=（D ）E=0，204r Q U πε=5. 关于高斯定理，下列说法中哪一个是正确的？ [ C ]（A ）高斯面不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D为零。
第7章 静电场中的导体和电介质 习题及答案1. 半径分别为R 和r 的两个导体球，相距甚远。
用细导线连接两球并使它带电，电荷面密度分别为1σ和2σ。
忽略两个导体球的静电相互作用和细导线上电荷对导体球上电荷分布的影响。
试证明：Rr =21σσ 。
证明：因为两球相距甚远，半径为R 的导体球在半径为r 的导体球上产生的电势忽略不计，半径为r 的导体球在半径为R 的导体球上产生的电势忽略不计，所以半径为R 的导体球的电势为R R V 0211π4επσ=14εσR= 半径为r 的导体球的电势为r r V 0222π4επσ=24εσr= 用细导线连接两球，有21V V =，所以Rr =21σσ 2. 证明：对于两个无限大的平行平面带电导体板来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度总是大小相等而符号相同。
证明: 如图所示，设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ，2σ，3σ，4σ （1）取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合圆柱面为高斯面，由高斯定理得S S d E S∆+==⋅⎰)(10320σσε 故 +2σ03=σ上式说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反。
（2）在A 内部任取一点P ，则其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即0222204030201=---εσεσεσεσ 又 +2σ03=σ 故 1σ4σ=3. 半径为R 的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为R d 3=处有一点电荷+q ，试求：金属球上的感应电荷的电量。
解：如图所示，设金属球表面感应电荷为q '，金属球接地时电势0=V由电势叠加原理，球心电势为=O V R qdq R 3π4π4100εε+⎰03π4π400=+'=Rq R q εε 故 -='q 3q 4．半径为1R 的导体球，带有电量q ，球外有内外半径分别为2R 、3R 的同心导体球壳，球壳带有电量Q 。
第七章 静电场中的导体和电介质
教学基本要求
1 .理解导体静电感应原理和静电平衡概念，掌握导体静电平衡条件，会计算同心导体球壳和平行导体组合存在时带电体上的电荷分布以及空间的静电场分布。
2.理解电容器和电容的概念。
3. 理解电介质极化概念和有介质时的高斯定理和环路定理，会计算某些有均匀介质存在时静电场的电位移和场强分布。
4.理解电场能量密度的概念，和计算一些简单的对称情况下电场储存的能量。
教学内容提要
1. 导体的静电平衡条件
导体的静电平衡就是指导体上的电荷与电场相互作用、相互制约达到平衡的问题。
导体达到静电平衡时必须满足：
（1） 导体内部的场强处处为零；
（2） 导体表面的场强处处与导体表面垂直。
2. 导体静电平衡时的电荷分布
（1） 电荷只分布在导体表面；
（2） 空腔导体， 当空腔内无带电体时，电荷只分布在导体的外表面。
当空腔内 有带电体q 时，空腔内表面感应电荷的电量为-q ，外表面感应电荷电量为q 。
（3）电荷在表面上的分布情况与表面形状以及周围有无其他带电体、导体和电介质均有关系，比较复杂。
对于孤立导体，表面曲率大处电荷面密度大，曲率小处电荷面密度小，曲率为负值时，电荷面密度最小。
3.静电平衡时导体上的电势分布 导体为等势体，其表面为等势面。
4.电容
描述导体或电容器容纳电荷能力的物理量。
导体所带电量与电势的比值称为孤立导体的电容，即 q c v
=
电容器两极板中任一极板所带电量与两极板间的电势差之比称为电容器的电容，即 q c v
=
∆ 电容只与电容器的几何形状及极板间的介质性质有关，与电容器是否带电及带电的多少无关。
5.电介质的极化
处于电场中的电介质，其表面会出现束缚电荷。
此时，介质中的电场为外场0E 与极化产生的附加电场'E 的矢量和，即 0'+E =E E u
无极分子的极化是由于外电场使无极分子的正负电荷中心产生相对位移，形成电偶极子，它们的电矩和外电场的方向相同，使得介质表面出现正负电荷。
有极分子的极化是由于外电场力矩使有极分子的电矩发生转动，其趋势是转向与外场一致的方向，宏观上在介质的界面出现正负束缚电荷。
6.介质中的高斯定理
穿过任一封闭曲面的D 通量等于该曲面所包围的自由电荷的代数和，即
i
s
d q
=
∑⎰⎰
D s
利用介质中的高斯定理可以简便地求解具有一定对称性的介质中的电场问题。
7.介质中的环路定理
介质中的场强沿任一闭合回路的积分等于零，即
l
d 0=⎰E l
该定理说明，有介质时的静电场仍然是保守场。
8.静电场的能量
单位体积的电场中所储存的能量称为电场能量密度。
重点和难点分析
1.关于静电平衡条件
把场强叠加原理应用到有导体存在的问题时，特别要注意，由于静电感应各导体单独存在时的电荷分布会发生变化，应根据变化后的电荷分布来计算各导体的电场并把它们叠加起来，而不是各导体单独存在时的电荷分布决定的电场的叠加。
2.导体接地问题
（1）所谓导体接地是将地球看作一个大导体球，导体接地表示导体与地球等势。
（2）只有孤立导体接地时，导体上的电荷全部流入地下而不带电。
对于非孤立导体，接地导体上的感应电荷一般不为零，导体上的电荷分布由静电平衡条件决定。
3.有电介质时的电容器问题
（1）电容器的两极板之间存在均匀电介质时，无论电介质是不是充满两极板之间的空间，电容器的电容值增大。
当充满时，r 0c c ε=，没充满时，必须先计算两极板的电势差，在
根据电容的定义12
q q
C V V V =
=
∆-计算。
（2）当电介质没充满两极板间的空间时，插入的电介质的形状不同，真空中与电介质中的
场强大小关系和电位移大小关系不同。
例题分析
例7-1 两块很大且靠得很近的平行导体板A 和B 的面积均为S ，且分别带有等量正电荷Q ， 求：（1）两导体板的电荷分布；
（2）如果B 板接地，此时两板的电荷分布。
解：（1）设两板的四个面的面点荷密度分别为1σ、2σ、3σ、4σ，根据电荷守恒定律有， 12S s Q σσ+
=
34S s Q σσ+=
根据静电平衡条件，A 板内的任一点的场强为零，即有：
12340000
02222σσσσ
εεεε---= 同理，对于B 板内的任一点有：
12340000
02222σσσσ
εεεε++-= 联立求解得：14Q
S
σσ==
230σσ==
（2）当B 板接地时，其电势为零，同时它由原先的带正电变化为带与A 板等量的负电，且A 、B 板的电荷都分布在内表面。
例7-2 如图所示，一平行板电容器两极板面积都是S ，相距为d ，分别维持电势A U =U ，
B U =0不变．现把一块带有电量q 的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S ，
片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．
解: 依次设A ,C ,B 从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1σ，2σ，3σ，4σ,5σ,6σ如图所示．由静电平衡条件，电荷守恒定律及维持U U AB =可得以下6个方程
⎪
⎪⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎪
⎪⎨⎧
++++==+=+-==+=+===+6
543215432
0654
30021
00
1σσσσσσσσσσεσσσσεσσd U
S q S q
d
U U C S S q B A 解得 S
q
261==σσ
S
q d U
2032-=
-=εσσ
S
q d
U
2054+
=
-=εσσ 所以CB 间电场 S
q
d U E 00422εεσ+
==
)2d (212d 02
S
q U E U U CB C ε+=== 注意：因为C 片带电，所以2U U C ≠
，若C 片不带电，显然2
U U C = 例7-3 在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r ε，金属球带电Q ．试求： (1)电介质内、外的场强；
(2)电介质层内、外的电势； (3)金属球的电势．
解: 利用有介质时的高斯定理∑⎰=⋅q S D S
d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r r
Q E r r Q D r εε =
=内; 介质外)(2R r <场强
3
03π4,π4r
r
Q E r Qr D ε ==外 (2)介质外)(2R r >电势
r
Q
E U 0r
π4r d ε=
⋅=⎰∞ 外
介质内)(21R r R <<电势
2
020π4)11(π4R Q
R r q
r εεε+
-=
)1
1(π42
0R r Q r r -+=
εεε
r
d r d ⋅+⋅=⎰⎰
∞∞
r
r
E E U 外内
(3)金属球的电势
r d r d 2
21
⋅+⋅=⎰⎰∞R R R E E U 外内
⎰
⎰
∞
+=22
2
2
0π44πdr R R R
r r Qdr
r Q εεε
)1
1(π42
10R R Q r r -+=
εεε
例7-4 两个同轴的圆柱面，长度均为l ，半径分别为1R 和2R (2R ＞1R )，且l >>2R -1R ，两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时，求： (1)在半径r 处(1R ＜r ＜2R ，厚度为dr ，长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；
(2)电介质中的总电场能量； (3)圆柱形电容器的电容． 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S
则 rlD S D S π2d )
(=⋅⎰
当)(21R r R <<时，
Q q =∑
∴ rl
Q
D π2=
(1)电场能量密度 2222
2π82l r Q D w εε==
薄壳中 rl
r
Q rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222===
(2)电介质中总电场能量
⎰
⎰===2
1
1
22
2ln π4π4d d R R V
R R l Q rl r Q W W εε (3)电容：∵ C
Q W 22
=
∴ )
/ln(π22122R R l
W Q C ε=
=。
