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炎德·英才大联考湖南师大附中2020届高三月考试卷(二)数 学(理科)时量：120分钟 满分：150分一、选择题(本题共12小题，每题5分，共60分) 1.已知集合{}2230A x x x =--<，集合{}121x B x +=>，则B A =ð( )A.[)3,+∞B.()3,+∞C.(][),13,-∞-+∞UD.()(),13,-∞-+∞U2.已知函数()2f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使()00f x <”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.设4log 8a =，0.4log 8b =，0.42c =，则( )A.b c a <<B.c b a <<C.c a b <<D.b a c <<4.若平面区域30,230230x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值为( )5.函数4xey x=的图象可能是( )A. B.C. D.6.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是( )A.0.7B.0.75C.0.8D.0.9第6题图 第7题图7.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形又是正方形数的是( )A.289B.1024C.1225D.13788.已知A 、B 是圆22:16O x y +=上的两个动点，4AB =u u u r ，5233OC OA OB =-u u u r u u u r u u u r.若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅u u u r u u u u r的值为( )A.843+B.843-C.12D.49.点A 、B 为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>长轴的端点，C 、D 为椭圆E 短轴的端点，动点M 满足2MA MB=，若MAB ∆面积的最大值为8，MCD ∆面积的最小值为1，则椭圆的离心率为( ) A.23B.3C.22D.3 10.如图所示，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A B 上一动点，则1AP D P +的最小值为( )A.2B.622+C.22+D.22+11.已知函数()22ln f x x x =-与()()()sin 0g x x ωϕω=+>有两个公共点，则在下列函数中满足条件的周期最大的()g x =( )A.sin 22x ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B.sin 22x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭C.sin 2x ππ⎛⎫-⎪⎝⎭D.sin 2x ππ⎛⎫+⎪⎝⎭12.设D 是含数1的有限实数集，()f x 是定义在D 上的函数.若()f x 的图象绕原点逆时针旋转6π后与原图象重合，则在以下各项中，()1f 可能取值只能是( )B.2C.3D.0二、填空题(本题共4小题，每题5分，共20分)13.定积分x =⎰_________.14.在公差大于0的等差数列{}n a 中，71321a a -=，且1a ，31a -，65a +成等比数列，则数列(){}11n na --的前21项和为_________.15.若函数()y f x =的图象上存在两个点A ，B 关于原点对称，则称点对[],A B 为()y f x =的“友情点对”，点对[],A B 与[],B A 可看作同一个“友情点对”，若函数()322,0,69,0x f x x x x a a <⎧=⎨-+-+≥⎩恰好有两个“友情点对”，则实数a 的值为_________.16.点M 为棱长是的正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 球面上的动点，点N 为11B C 的中点，若满足DM BN ⊥，则动点M 的轨迹的长度为_________. 三、解答题(本题共70分) (一)必考题：共60分17.(12分)在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=. (1)求sin sin CA的值； (2)若1cos 4B =，2b =，求ABC ∆的面积S .18.(12分)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表： 质量指标值m 185m < 185205m ≤< 205m ≥等级三等品二等品一等品(1)根据以上抽样调查的数据，能否认为该企业生产这种产品符合“一、二等品至少要占到全部产品的92%的规定”？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；(3)该企业为提高产品的质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X 近似满足()218,140X N ～，则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？19.(12分)如图，ABCD 是边长为2的正方形，平面EAD ⊥面ABCD ，且EA ED =，O 是线段AD 的中点，过E 作直线//l AB ，F 是直线l 上一动点.(1)求证：OF BC ⊥；(2)若直线l 上存在唯一一点F 使得直线OF 与平面BCF 垂直，求此时二面角B OF C --的余弦值.20.(12分)已知抛物线C 的顶点为()0,0O ，焦点F 为()0,1.(1)求抛物线C 的方程；(2)过点F 作直线交抛物线C 于A ，B 两点，若直线AO 、BO 分别交直线:2l y x =-于M ，N 两点，求MN 的最小值.21.(12分)已知函数()2ln f x x x =.(1)求函数()f x 的单调区间；(2)证明：对任意的0t >，存在唯一的s ，使()t f s =；(3)设(2)中所确定的s 关于t 的函数为()s g t =，证明：当2t e >时，有()ln 215ln 2g t t <<.(二)选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.(10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数)，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. (1)求C 的普通方程和l 的倾斜角；(2)设点()0,2P ，l 和C 交于A ，B 两点，求PA PB +.23.(10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()13f x x x =-+-.(1)解不等式()1f x x ≤+；(2)设函数()f x 的最小值为c ，实数a ，b 满足0a >，0b >，a b c +=，求证：22111a b a b +≥++.。
2020年湖南省、湖北省四校高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合P ={x|4<x <10}，Q ={x|3<x <7}，则P ∪Q 等于( )A. {x|3<x <7}B. {x|3<x <10}C. {x|3<x <4}D. {x|4<x <7}2. 已知i 是虚数单位，若(a +i)i 3=b +2i(a ∈R,b ∈R)，则a +bi 的共轭复数为( )A. −1−2iB. 1−2iC. −2−iD. 2−i3. 已知正方形ABCD 如图所示，其中AC ，BD 相交于O 点，E ，F ，G ，H ，I ，J 分别为AD ，AO ，DO ，BC ，BO ，CO 的中点，阴影部分中的两个圆分别为△ABO 与△CDO 的内切圆，若往正方形ABCD 中随机投掷一点，则该点落在图中阴影区域内的概率为( )A. 1+(2−√2)π2 B. 1+(4−2√2)π4 C. 1+(6−2√2)π4 D. 1+(6−4√2)π44. 已知△ABC ，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. 1 B. 2C. 3D. 45. 定义在R 上的函数f(x)=(12)|x−m|−1为偶函数，记a =f(log 0.52)，b =f(log 21.5)，c =f(m)，则A. c <a <bB. a <c <bC. a <b <cD. c <b <a6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，某多面体的三视图如图中粗实线所示，则该多面体的各个面中面积最大的面的面积为( )A. 4√2B. 4C. 6√2D. 67. 双曲线x 2−y 2=4的左支上一点P(a,b)到直线y =x 的距离为√2，则a +b =( )A. 2B. −2C. 4D. −48. 点P(a,a +1)在不等式x +ay −3>0所表示的平面区域内，则a 的取值范围为( )A. (−3,1)B. (−∞,−3)∪(1,+∞)C. (−1,3)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)9. 已知AABC 的内角A ，B.C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sinB−sinA sinC=b−c a+b则角A 的大小是( )A. π6B. π3C. π4D. π210. 已知函数f (x )=2sinωx ⋅cos 2(ωx2−π4)−sin 2ωx (ω>0)在区间[−2π3,5π6]上是增函数，且在区间[0,π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是( )A. (0,35]B. [12,35]C. [12,34]D. [12,52)11. 抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过F 作斜率为√33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则ΔAHF 的面积是( )A. 4B. 3√3C. 4√3D. 812. 三棱锥O −ABC 中，OA ，OB ，OC 两两垂直，OC =2x ，OA =x ，OB =y ，且x +y =3，则三棱锥O −ABC 体积的最大值为( )A. 4B. 8C. 43D. 83二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在二项式(√x +1ax 2)5(a >0)的展开式中x −5的系数与常数项相等，则a 的值是______． 14. 数一数，三棱锥、三棱柱、四棱锥、四棱柱，正方体，正八面体等的几何体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)，由此归纳出一般的凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足的关系为__________．15. 已知函数f (x)=(x −2)e x +e +1，g(x)=ax +xln x ，对任意的m ∈[1e ,3]，总存在n ∈[1e ,3]使得g(m)≥f (n)成立，则实数a 的取值范围为________． 16. 在ΔABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，则的值为_______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 已知在数列{a n }中，a 1=4,a n+1=a n +2(n ∈N ∗)(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n=(√2)a n−2−3n，求|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b10|18.如图(1)，等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，AD=2√2，E、F分别是CD的两个三等分点．若把等腰梯形沿虚线AF、BE折起，使得点C和点D重合，记为点P.如图(2)，(1)求证：平面PEF⊥平面ABEF；(2)求平面PAE与平面PAB所成锐二面角的余弦值．19.某市拟定2016年城市建设A，B，C三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对A，B，C三项重点工程竞标成功的概率分别为a，b，14(a>b)，已知三项工程都竞标成功的概率为124，至少有一项工程竞标成功的概率为34．(1)求a与b的值；(2)公司准备对该公司参加A，B，C三个项目的竞标团队进行奖励，A项目竞标成功奖励2万元，B项目竞标成功奖励4万元，C项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．20.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，离心率为12，直线l与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．(1)求椭圆的方程；(2)若直线l过点M(−4,0)，求当△ABF面积最大时直线AB的方程．21.已知函数f(x)=x−alnx−1，曲线y=f(x)在(1,0)处的切线经过点(e,0)．(1)证明：f(x)≥0；(2)若当x ∈[1,+∞)时，f(1x )≥(lnx)2p+lnx ，求p 的取值范围．22. 已知直线l ：{x =2+√22ty =1+√22t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．圆O 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ−π4)． (Ⅰ)求圆心的极坐标；(Ⅱ)设点M 的直角坐标为(2,1)，直线l 与圆O 的交点为A ，B ，求|MA|⋅|MB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −2|+|ax +2a −1|．(1)当a =1时，求不等式f(x)≤5的解集；(2)当x ≥4时，不等式f(x)≥x 恒成立．求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：集合P ={x|4<x <10}，Q ={x|3<x <7}，则P ∪Q ={x|3<x <10}， 故选：B ．直接利用集合的并集的运算法则，求出P ∪Q 即可． 本题考查集合的并集的基本运算，考查基本知识的应用．2.答案：C解析：本题主要考查复数的运算，复数相等及共轭复数的概念，属于基础题． 解：由已知得−ai +1=b +2i ， ∴a =−2，b =1，∴a +bi 的共轭复数为−2−i ． 故选C ．3.答案：D解析：本题主要考查几何概型的概率公式的应用，求出阴影部分的面积是解决本题的关键． 根据条件分别求出小正方形和三角形内切圆的面积，结合几何概型的概率公式进行计算即可． 解：设正方形的边长为1，则对角线AC =√2，则AO =√22，即小正方形的边长FO =√24，则小正方形的面积S =(√24)2=18，则等腰直角三角形AOB 中，设内切圆的圆心为M ，半径为r ，则由等积法得12AD ⋅r +12AB ⋅r +12AB ⋅r =12AB ⋅AD ， 即(√22+√22+1)r =√22×√22，得r =12(√2+1)=√2−12则一个小圆的面积S =π(√2−12)2=3−2√24π， 则阴影部分的面积S =3−2√24π×2+18×2=1+(6−4√2)π4， 则对应的概率P =1+(6−4√2)π4， 故选：D ．4.答案：C解析：本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．根据平面向量加法的三角形，用AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 即可得出λ，μ的值． 解：∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −3AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴λ=3，μ=−2． 故选：C ．5.答案：C解析：解：∵定义在R 上的函数f(x)=(12)|x−m|−1为偶函数， ∴f(x)=f(−x)，即(12)|x−m|−1=(12)|−x−m|−1， 解得：m =0，∴f(x)=(1)|x|−1，2)x−1为减函数，当x≥0时，f(x)=(12∵a=f(log0.52)=f(−1)=f(1)，b=f(log21.5)，c=f(0)，1>log21.5>0，故a<b<c，故选：C．由已知可得m=0，结合指数函数的图象和性质，分析函数的单调性，进而可得答案．本题考查的知识点是函数的单调性，函数的奇偶性，指数函数的图象和性质，难度不大6.答案：A解析：本题考查三视图求几何体的表面积，结合三视图和对应的正方体复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力，属于基础题．复原几何体，根据长方体面积公式计算即可．解：由三视图可知该多面体的直观图如图中正方体内的粗线部分所示，显然面积最大的面的面积为2√2×2=4√2．故选A．7.答案：B解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题，解题时要注意点到直线的距离公式的应用．由点到直线的距离得a−b=2或a−b=−2，把P(a,b)代入双曲线方程，得(a+b)(a−b)=4，由此能求出a+b的值．解：∵双曲线x2−y2=4左支上一点P(a,b)到直线y=x的距离为√2，∴由点到直线的距离得a−b=2或a−b=−2，把P(a,b)代入双曲线方程，得a2−b2=4，(a+b)(a−b)=4，a+b=2或a+b=−2，∵P在双曲线左支上，且双曲线的一条渐近线为y=−x，∴a+b<0，∴a+b=−2．故选B．8.答案：B解析：本题主要考查二元一次不等式表示平面区域，利用点和区域的关系直接代入解不等式即可，属于基本知识的考查．根据二元一次不等式表示平面区域，利用点和区域的关系进行求解即可．解：∵点P(a,a+1)在不等式x+ay−3>0所表示的平面区域内，∴点P(a,a+1)满足不等式成立，即a+a(a+1)−3>0，∴a<−3或a>1，即a的取值范围为(−∞,−3)∪(1,+∞)，故选B.9.答案：B解析：解：由sinB−sinAsinC =b−ca+b，利用正弦定理可得：b−ac=b−ca+b．∴b2+c2−a2=bc．∴cosA=b2+c2−a22bc =bc2bc=12，又∵A∈(0,π)，∴A=π3．故选：B．由sinB−sinAsinC =b−ca+b，利用正弦定理可得：b−ac=b−ca+b.再利用余弦定理即可得出．本题考查了正弦定理余弦定理、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.答案：B解析：本题主要考查三角函数的图象和性质，利用单调性，最值与周期的关系是解决本题的关键．结合三角函数单调性，最值与周期T的关系，建立不等式进行求解即可．解：由f(x)=2sinωx⋅cos2(ωx2−π4)−sin2ωx(ω>0)，化简，f(x)=sinωx(1+sinωx)−sin2ωx=sinωx，由ωx=π2+2kπ，k∈z，即x=π2ω+2kπω=π2ω(1+4k)时，取得最大值1，因为x∈[0,π]上恰好取得一次最大值，所以k=0，π2ω∈[0,π]，所以ω≥12，f(x)在区间[−2π5,5π6]上是增函数，根据题意π2ω≥5π6，即ω≤35，结合上面所述，ω∈[12,35 ]，故选：B．11.答案：C解析：先判断△AHF为等边三角形，求出A的坐标，可求出等边△AHF的边长AH的值，△AHF的面积可求．本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断△AHF为等边三角形是解题的关键．解：由抛物线的定义可得AF=AH，∵AF的斜率等于√33，∴AF的倾斜角等于30°，∵AH⊥X轴，∴∠FAH=60°，故△AHF为等边三角形．又焦点F(0,1)，AF的方程为y−1=√33x，设A(m,m24)，m>0，由AF=AH得2(m24−1)=m24+1，∴m=2√3，故等边△AHF的边长AH=4，∴△AHF的面积是12×4×4sin60°=4√3，故选：C．12.答案：C解析：本题主要考查棱锥体积公式，利用导数求函数在定区间的最值，是中档题．由题意，可得V=3x2−x33，利用导数研究函数的单调性和最值，即可得解．解：由题意，三棱锥O−ABC中，OA，OB，OC两两垂直，因为OC=2x，OA=x，OB=y，且x+y=3，所以y=3−x，0<x<3，所以V=13×2x22×y=x2y3=x2(3−x)3=3x2−x33(0<x<3)，所以Vˈ=6x−3x23=2x−x2=x(2−x)，令Vˈ=0，得x=2或x=0(舍去)，当0<x<2时，V′>0，V=3x2−x33单调递增；当2<x<3时，V′<0，V=3x2−x33单调递减；∴x=2时，V取得最大值，V最大为43．故选C．13.答案：√2解析：解：∵二项式(√x+1ax2)5(a>0)的展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅(1a)r⋅x5−5r2，令5−5r2=−5，求得r=3，故展开式中x−5的系数为C53⋅(1a)3；令5−5r2=0，求得r=1，故展开式中的常数项为C51⋅1a=5a，由为C53⋅(1a )3=5⋅1a，可得a=√2，(负值舍去)故答案为：√2．根据二项展开式的通项公式，求出展开式中x−5的系数、展开式中的常数项，再根据它们相等，求出a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.答案：F+V−E=2解析：凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)，举例如下：①正方体：F=6,V=8,E=12，得V+F−E=8+6−12=2；②三棱柱：F=5,V=6,E=9，得V+F−E=6+5−9=2；③三棱锥：F=4,V=4,E=6，得V+F−E=4+4−6=2；…；由此可猜想凸多面体的面数(F)，顶点数(V)，棱数(E)满足的关系为F+V−E=2.再通过举例四棱锥、六棱柱、…等，发现上述公式都成立.因此归纳出一般结论：F+V−E=2．15.答案：[1,+∞)解析：本题考查导数中的恒成立问题，利用导数研究函数的最值相关知识，问题转化为当x∈[1e,3]时，g(x)≥f(x)min恒成立，先由f(x)的导数求出函数的最小值为1，即当x∈[1e ,3]时，g(x)=ax+xln x≥1，分离参数可得a≥x−x2ln x，记ℎ(x)=x−x2ln x，然后利用导数求出函数ℎ(x)的最大值，即可求解．解：对任意的m∈[1e ,3]，总存在n∈[1e,3]使得g(m)≥f(n)成立，即当x∈[1e,3]时，g(x)≥f(x)min恒成立，∵f(x)=(x−2)e x+e+1，∴f′(x)=(x−1)e x，∴当x∈[1e,1)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，∴当x∈(1,3]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，∴f(x)min=f(1)=1，当x∈[1e ,3]时，g(x)=ax+xln x≥1，则a≥x−x2ln x，记ℎ(x)=x−x2ln x，ℎ′(x)=1−2xln x−x，ℎ′(1)=0，令k(x)=ℎ′(x)，则k′(x)=−3−2ln x，k′(x)在[1e ,3]上单调递减，k′(x)≤k′(1e)=−1，∴ℎ′(x)单调递减，∴当x∈(1e,1)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，当x∈(1,3)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，∴ℎ(x)max=ℎ(1)=1，故当a≥1时，g(x)≥1．故实数a的取值范围为[1,+∞)．故答案为[1,+∞)16.答案：−14解析：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．由条件利用正弦定理求得a=2c，b=3c2，再由余弦定理求得cosA=b2+c2−a22bc的值．解：在△ABC中，∵b−c=14a①，2sinB=3sinC，∴2b=3c②，∴由①②可得a=2c，b=3c2．再由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc =9c24+c2−4c23c⋅c=−14，故答案为：−14．17.答案：解：(1)在数列{a n}中，a1=4,a n+1=a n+2(n∈N∗)，可得a n=4+2(n−1)=2n+2；(2)b n=(√2)a n−2−3n=(√2)2n−3n=2n−3n，则|b1|+|b2|+|b3|+⋯+|b10|=|2−3|+|4−6|+|8−9|+|16−12|+⋯+|210−30|=1+2+1+(16+32+⋯+210)−(12+⋯+30)=4+16(1−27)1−2−12×7×42=1889．解析：(1)运用等差数列的定义和通项公式，即可得到所求通项；(2)求得b n=(√2)a n−2−3n=(√2)2n−3n，运用等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查运算能力，属于中档题．18.答案：证明：(1)∵等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，AD=2√2，E，F是CD的两个三等分点，∴ABEF是正方形，∴BE⊥EF，又∵BE⊥PE，且PE∩EF=E，PE⊂平面PEF，EF⊂平面PEF，∴BE⊥面PEF，又BE⊂平面ABEF，∴平面PEF⊥平面ABEF．解：(2)取EF的中点O，连接PO，过O作BE的平行线交AB于G，∵PE =PF ，O 为EF 的中点，∴PO ⊥EF PO ⊂平面PEF ，平面PEF ∩平面ABEF =EF ， 则PO ⊥面ABEF ，以O 为原点，OG ，OE ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则A(2,−1,0)，B(2,1，0)，E(0,1，0)，P(0,0，√3)，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,2，0)，EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−1,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−1,−√3)， 设平面PAE 的法向量n ⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2x 1+2y 1=0n ⃗ ⋅EP ⃗⃗⃗⃗⃗ =−y 1+√3z 1=0, 取z =1，得n ⃗ =(√3,√3,1)，设平面PAB 的法向量m⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{m⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2y 2=0m ⃗⃗⃗ ⋅PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 2−y 2−√3z 2=0, 取x =√3，得m ⃗⃗⃗ =(√3,0，2)，设平面PAE 与平面PAB 所成锐二面角为θ， 则cosθ=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||n⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=√7⋅√7=57． ∴平面PAE 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值为57．解析：本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．(1)推导出BE ⊥EF ，BE ⊥PE ，从而BE ⊥面PEF ，由此能证明平面PEF ⊥平面ABEF ．(2)取EF 的中点O ，连接PO ，过O 作BE 的平行线交AB 于G ，则PO ⊥面ABEF ，以O 为原点，OE ，OP 为y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面PAE 与平面PAB 所成锐二面角的余弦值．19.答案：解：(1)由题意得{1−(1−a)(1−14)(1−b)=3414ab=124，由a >b ，解得a =12，b =13．(2)由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X ，则X 的值可以为0，2，4，6，8，10， P(X =0)=12×23×34=14，P(X=2)=12×23×34=14，P(X=4)=12×13×34=18，P(X=6)=12×23×14+12×13×34=524，P(X=8)=12×23×14=112，P(X=10)=12×13×14=124，P(X=12)=12×13×14=124，∴X的分布列为：E(X)=0×14+2×14+4×18+6×524+8×112+10×124+12×124=236．解析：(1)由题意利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式列出方程组，能求出a与b的值．(2)由题意，令竞标团队获得奖励金额为随机变量X，则X的值可以为0，2，4，6，8，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E(X)．本题考查相互独立事件、离散型随机变量分布列与期望等基础知识，意在考查学生的运算求解能力、审读能力、获取数据信息的能力，以及方程思想与分类讨论思想的应用．20.答案：解：(1)设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的定义，得|AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|=2a，而△ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a，当且仅当AB过点F′时，等号成立，所以4a=8，即a=2，又离心率为12，所以c=1,b=√3，所以椭圆的方程为x24+y23=1．(2)设直线AB的方程为x=my−4，与椭圆方程联立得(3m2+4)y2−24my+36=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则△=576m 2−4×36(3m 2+4)=144(m 2−4)>0， 且y 1+y 2=24m 3m 2+4，y 1y 2=363m 2+4， |AB|=√1+m 2|y 1−y 2|， 点F 到直线AB 的距离d =√1+m 2， 所以S △ABF =12|AB|·d ， 即 S △ABF =12⋅3|y 1−y 2|=18√m2−43m 2+4②，令t =√m 2−4(t >0)，则②式可化为S △ABF =18t 3t 2+16=183t+16t≤2√3t⋅t=3√34，当且仅当3t =16t，即m =±2√213时，等号成立， 所以直线AB 的方程为x =2√213y −4或x =−2√213y −4．解析：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式、直线、椭圆性质的合理运用，属于中档题．(1)设椭圆的右焦点为F′，由椭圆的定义，得a =2，又离心率为12，从而c =1,b =√3，由此能求出椭圆的方程．(2)设直线AB 的方程为x =my −4，与椭圆方程联立得(3m 2+4)y 2−24my +36=0.由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出直线AB 的方程．21.答案：解：(1)证明：函数f(x)=x −alnx −1的导数为f′(x)=1−ax ，曲线y =f(x)在(1,0)处的切线为y =f′(1)(x −1)， 即y =(1−a)(x −1)由题意得0=(1−a)(e −1)，解得a =1， 所以f(x)=x −lnx −1， 从而f′(x)=1−1x =x−1x，因为当x ∈(0,1)时，f′(x)<0，当x ∈(1,+∞)时，f′(x)>0．所以f(x)在区间(0,1)上是减函数，区间(1,+∞)上是增函数，从而f(x)≥f(1)=0；(2)由题意知，当x∈[1,+∞)时，p+lnx≠0，所以p>0，从而当x∈[1,+∞)时，p+lnx>0，由题意知1x +lnx−1≥(lnx)2p+lnx，即[(p−1)x+1]lnx−px+p≥0，其中x∈[1,+∞)，设g(x)=[(p−1)x+1]lnx−px+p，其中x∈[1,+∞)设ℎ(x)=g′(x)，即，其中x∈[1,+∞)则ℎ′(x)=(p−1)x−1x2，其中x∈[1,+∞)，①当p≥2时，因为x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)是增函数；从而当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)>ℎ(1)=0，所以g(x)是增函数，从而g(x)≥g(1)=0．故当p≥2时符合题意；②当1<p<2时，因为x∈(1,1p−1)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)在区间(1,1p−1)上是减函数，从而当x∈(1,1p−1)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)在(1,1p−1)上是减函数，从而g(1p−1)<g(1)=0，故当1<p<2时不符合题意．③当0<p≤1时，因为x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)<0，所以ℎ(x)是减函数，从而当x∈(1,+∞)时，ℎ(x)<ℎ(1)=0，所以g(x)是减函数，从而g(2)<g(1)=0，故当0<p≤1时不符合题意．综上p的取值范围是[2,+∞)．解析：本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数单调性、极值，考查分类讨论思想方法和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于较难题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率和方程，代入已知点可得a，求得单调区间，可得f(x)的最值，即可得证；(2)由题意可得p >0，化简原不等式，设g(x)=[(p −1)x +1]lnx −px +p ，其中x ∈[1,+∞)，求得导数，讨论p 的范围，判断单调性，即可得到所求范围．22.答案：解：(I)圆O 的极坐标方程为ρ=2√2cos(θ−π4)．由题意可知圆的直角坐标系方程为x 2+y 2=2x +2y ， 整理得：(x −1)2+(y −1)2=2， 圆心坐标为(1,1)，所以圆心的极坐标为(√2,π4)；(II)因为圆的直角坐标系方程为x 2+y 2=2x +2y ，直线方程为{x =2+√22ty =1+√22t，(t 为参数)t 1和t 2为A 和B 对应的参数，带入圆的方程并整理得：t 2+√2t −1=0， 所以|MA|·|MB|=|t 1·t 2|=1．解析：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线和圆的位置关系式的应用，一元二次方程根和系数关系的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用(Ⅰ)结论，进一步利用一元二次方程根和系数关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)当a =1时，不等式f(x)≤5化为|x −2|+|x +1|≤5．当x <−1时，2−x −x −1≤5，解得x ≥−2，所以−2≤x <−1； 当−1≤x ≤2时，2−x +x +1=3≤5，所以−1≤x ≤2； 当x >2时，x −2+x +1≤5，解得x ≤3，所以2<x ≤3． 综上所述，a =1时，不等式f(x)≤5的解集为[−2,3]．(2)当x ≥4时，不等式f(x)≥x 化为x −2+|ax +2a −1|≥x ，即|ax +2a −1|≥2．由|ax +2a −1|≥2，得ax +2a −1≤−2或ax +2a −1≥2，即a(x +2)≤−1或a(x +2)≥3．当x ≥4时，若不等式a(x +2)≤−1恒成立，则a ≤−16；当x ≥4时，若不等式a ≥3x+2恒成立，则a ≥12．所以实数a 的取值范围为．解析：本题考查绝对值不等式的解法与恒成立问题，体现了等价转化的数学思想，属中档题． (1)当a =1时，不等式f(x)≤5化为|x −2|+|x +1|≤5，通过讨论x 的范围，从而求得不等式f(x)≤5的解集；(2)原不等式等价于|ax +2a −1|≥2，利用不等式恒成立即可求出a 的范围．。
炎德·英才大联考湖南师大附中2020届高三月考试卷(六)数学(理科)参考答案一、选择题二、填空题13.3014.24015.21e +16.1656三、解答题∴由正弦定理可得：sin sin cos sin sin A B C C B =+ ∴()sin sin cos sin sin B C B C C B +=+ 可得：cos sin sin sin B C C B = ∵sin 0C ≠，∴cos sin B B = ∵0B π<<，∴4πB = (2)∵4πB =3sin sin cos 4πA C C C C ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭又∵304πC <<，且cos y C =在30,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减sin A C -的取值范围是⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭18.【解析】(1)设AC 与BD 相交点O ，连接FO∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，且O 为AC 中点 ∵FA FC =，∴AC FO ⊥ 又FO BD O =I ， ∴AC ⊥平面BDEF(2)连接DF ，∵四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=︒ ∴DBF △为等边三角形 ∵O 为BD 中点，∴FO BD ⊥ 又AC FO ⊥，∴FO ⊥平面ABCD ∵OA ，OB ，OF 两两垂直∴建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示设2AB =，∵四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒ ∴2BD =，23AC = ∵DBF △为等边三角形 ∴3OF =∴()3,0,0A，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,3F∴()3,1,0AD =--u u u r ，()3,0,3AF =-u u u r ，()3,1,0AB =-u u u r设平面ABF 的法向量为(),,x y z =n则33030AF x z AB x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩u u u r u u u r n n ，取1x =，得()1,3,1=n 设直线AD 与平面ABF 所成角为θ，则直线AD 与两面ABF 所成角的正弦值为：15sin cos ,5AD AD AD θ⋅===⋅u u u ru u u r u u u rn n n19.【解析】(1)抛物线216y x =的焦点()4,0F ，准线方程为4x =-，圆()22416x y -+=的圆心()4,0，半径4r =，当直线l 过焦点F 且垂直于x 轴时，216AB p ==,28DC r ==，由抛物线与圆的对称性知4AC BD == 则16AC BD ⋅=当直线l 过焦点F 不垂直于x 轴时 设直线l 的方程为()4y k x =-联立抛物线方程可得()2222816160k x k x k -++= 设()11,A x y ，()22,B x y ，可得122168x x k+=+，1216x x =可得()()()()1212444416AC BD AF CF BF DF x xx x ⋅=--=+-+-==则AC BD ⋅为定值16(2)当直线l 过焦点F 且垂直于x 轴时，168128AB AF ⋅=⋅= 当直线l 过焦点F 不垂直于x 轴时可得()()12184AB AF x x x ⋅=+++()()31111141684x x x x x +⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭设()()34t f t t+=，0t >，可得()()()22224t t f t t-+'= 可得2t >时，()f t 递增；02t <<时，()f t 递减 可得()f t 在2t =处取得极小值，且为最小值108 综上可得AB AF ⋅的最小值为10820.【解析】(1)设A 、B 、C 职工的每份保单保险公司的收益为随机变量X 、Y 、Z ，则X 、Y 、Z 的分布列为：X 2542510010-⨯P51110- 5110Y 254251010-⨯P52110- 5210Z 404405010-⨯P41110- 4110∴()()455112512510010151010E X ⎛⎫=⨯-+-⨯⨯= ⎪⎝⎭ ()()45522251251001051010E Y ⎛⎫=⨯-+-⨯⨯= ⎪⎝⎭()()44411401405010101010E Z ⎛⎫=⨯-+-⨯⨯=- ⎪⎝⎭保险公司的利润的期望值为12000156000520001010000090000⨯+⨯-⨯-= ∴保险公司在该业务所获利润的期望值为9万元(2)方案1：企业不与保险公司合作，则企业每年安全支出与固定开支共为：4444554121120001001060001001020005012104610101010⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯=⨯ 方案2：企业与保险公司合作，则企业支出保险金额为：()412000256000252000400.737.110⨯+⨯+⨯⨯=⨯44461037.110⨯>⨯建议企业选择方案221.【解析】(1)函数()f x 可化为()ln ,ln ,0x x a x af x a x x x a --≥⎧=⎨--<<⎩当0x a <<时，()110f x x '=--<，()f x 在()0,a 上总是递减的 当x a ≥时，()111x f x x x-'=-=若1a ≥，则()0f x '≥，故()f x 在[),a +∞上递增若01a <<，则当1a x ≤<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '> 故()f x 在[),1a 上递减，在()1,+∞上递增，而()f x 在x a =处连续 所以当1a ≥时，()f x 在()0,a 上递减，在[),a +∞上递增 当01a <<时，()f x 在()0,1上递减，在[)1,+∞上递增 (2)由(1)可知当1a =，1x >时，1ln 0x x --> 即ln 1x x <-，所以ln 11x x x<- 所以222222222ln 2ln 3ln 1111112323n n n ++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-222111123n n ⎛⎫=--++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()111123341n n n ⎛⎫<--++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪⨯⨯+⎝⎭ 11121n n ⎛⎫=--- ⎪+⎝⎭()()()()()()212112*********n n n n n n n n n -+---+=--==+++22.【解析】(1)由sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，消去α得C 的普通方程是：2216x y +=由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-= 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入上式，化简得2y x =+∴直线l 的倾斜角为4π(2)在曲线C 上任取一点),sin Mαα直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为()0,2则MQ ==当且仅当2sin 5α=-时，MQ23.【解析】(1)()9f x ≤可化为2419x x -++≤故0339x x >⎧⎨-≤⎩或1259x x -≤≤⎧⎨-≤⎩或1339x x <-⎧⎨-+≤⎩解得24x <≤，或12x -≤≤，或21x -≤<- 综上，不等式的解集为[]2,4-(2)由题意：()225f x x a a x x =-+⇔=-+，[]0,2x ∈故方程()2f x x a =-+在[]0,2有解⇔函数y a =和函数25y x x =-+的图象在区间[]0,2上有交点，∵当[]0,2x ∈时，2195,74y x x ⎡⎤=-+∈⎢⎥⎣⎦∴实数a 的取值范围是19,74⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
2020年湖南省长沙市长高考数学模拟试卷(理科)(4月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知复数z 满足(1−i )⋅z =|√3+i|，则z =( )A. 1−iB. 1+iC. 2−2iD. 2+2i2. 已知集合A ={x|1≤x ≤4}，B ={x 2≥9}，则A ∩(∁R B)=( )A. [3,4]B. (−3,4]C. [1,3)D. (−∞,−3]∪[1,+∞)3. 若光线从点A(−3,5)射到直线3x −4y +4=0上，反射后经过点B(2,15)，则光线从A 点反射到B 点所经过的路程为( )A. 5√2B. 5√13C. 5√17D. 5√54. 某校周五的课程表设计中，要求安排8节课(上午4节、下午4节)，分别安排语文、数学、英语、物理、化学、生物、政治、历史各一节，其中生物只能安排在第一节或最后一节，数学和英语在安排时必须相邻(注：上午的最后一节与下午的第一节不记作相邻)，则周五的课程顺序的编排方法共有( )A. 4800种B. 2400种C. 1200种D. 240种5. 过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. √5 B. 2√5 C. 5 D. 106. 已知两条直线a ，b 和平面α，若a ⊥b ，b ⊄α，则“a ⊥α”是“b//α”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如右图所示的程序框图中，如果输入三个实数为=3，=7，=2，则输出结果为( )A. 2B. 3C. 7D. x8.函数f(x)=sin(ωx+ϕ)(x∈R,ω>0,0≤ϕ<2π)的部分图象如图所示，则()A. ω=π2,ϕ=π4B. ω=π3,ϕ=π6C. ω=π4,ϕ=π4D. ω=π4,ϕ=5π49.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线与圆x2+(y−2)2=1相切，则双曲线的离心率为()A. √2B. 2C. √3D. 310.在数列{a n}中，若对任意的n∈N∗，均有a n+a n+1+a n+2为定值，且a7=2,a9=3,a98=4，则数列{a n}的前100项的和S100=()A. 132B. 299C. 68D. 9911.已知函数f(x)满足f(x)=f′(1)e x−1−f(0)x+12x2，则f(x)的单调递增区间为()A. (−∞,0)B. (−∞,1)C. (1,+∞)D. (0,+∞)12.已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，ΔABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为()A. √26B. √36C. √23D. √22二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.公差d不为0的等差数列{a n}的部分项a k1，a k2，a k3，…构成等比数列，且k1=1，k2=2，k3=6，则k4=________．14.函数y=x3−2x2+x的单调递减区间是____________．15.已知抛物线C：y2=x的焦点为F，A(x0,y0)是抛物线上一点，|AF|=54x0，则x0=______．16.若函数f(x)=ax3−x2+x−5在区间(1,2)上单调递增，则a的范围为__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C对边分别为a，b，c，已知ba+c =a+b−ca+b．(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若a=15，b=10，求cos B的值．18.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，△DAB≌△DCB，E为线段BD上的一点，且EB=ED=EC=BC，连接CE并延长交AD于F．(1)若G为PD的中点，求证：平面PAD⊥平面CGF；(2)若BC=2，PA=3，求平面BCP与平面DCP所成锐二面角的余弦值．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P，Q在椭圆上，P点坐标是(3,1)，△PF1F2的面积为2√2．(1)①求椭圆C的标准方程；②若∠F1QF2=π3，求QF1⋅QF2的值．(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数k的值．20.进入高三，同学们的学习越来越紧张，学生休息和锻炼的时间也减少了．学校为了提高学生的学习效率，鼓励学生加强体育锻炼．某校高中三年级共有学生1000人，其中男生650人，女生350人．为调查该年级学生每周平均体育锻炼时间t(单位：小时)的情况，考虑到性别差异，现采用分层抽样的方法，收集200名学生每周体育锻炼时间t的样本数据．(1)根据这200个样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间t的频率分布直方图(如图所示).其中样本数据分组区间为：(0,2]，(2,4]，(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12].根据图中数据，求t的平均数并估计该年级学生每周平均体育锻炼时间大于6小时的概率．(2)在样本数据中，有25位女生的每周平均体育锻炼时间t超过6个小时．请填写下面每周平均体育锻炼时间t与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该年级学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”．附：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)21.已知函数f(x)=−e x+a(x+1)．(Ⅰ)讨论函数f(x)单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值且最大值大于−a2+a时，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，0≤a<π)，曲线C的参数方程为为参数)，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)设C与l交于M、N两点(异于O点)，求|OM|+|ON|的最大值．23.设函数f(x)=|2x+2|−|x−2|．(Ⅰ)求不等式f(x)>2的解集；(Ⅱ)若∀x∈R，f(x)≥m恒成立，求实数m的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算，与复数的模化简求得z，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，与复数的模，是基础题．解：根据题意得，z=|√3+i|1−i =21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，故选B．2.答案：C解析：解：B={x|x≤−3，或x≥3}；∴∁R B={x|−3<x<3}；∴A∩(∁R B)=[1,3)．故选：C．可求出集合B，然后进行交集、补集的运算即可．考查描述法的定义，一元二次不等式的解法，以及交集、补集的运算．3.答案：B解析：本题考查光线从A到B的路程，利用轴对称转化成两点间距离公式，属基础题．解：根据光学原理，光线从A到B的距离，等于点A关于直线3x−4y+4=0的对称点A′到点B的距离，设A关于直线3x−4y+4=0对称的点A′(a,b)，则3×−3+a2−4×5+b2+4=0且b−5a+3×34=−1，解得a=3，b=−3，即A′(3,−3)，所以A′B=√3−22+(15+3)2=5√13．故选B．4.答案：B解析：本题考查分步计数原理和排列的综合运用，属于中档题．分三步，利用相邻问题用捆绑法，特殊位置优先排列，进行求解即可．解：分步排列，第一步：因为由题意知生物只能出现在第一节或最后一节，所以从第一个位置和最后一个位置选一个位置把生物安排，有A 21=2种编排方法；第二步：因为数学和英语在安排时必须相邻，注意数学和英语之间还有一个排列，有5A 22=10种编排方法；第三步：剩下的5节课安排5科课程，有A 55=120种编排方法． 根据分步计数原理知共有2×10×120=2400种编排方法． 故选B ．5.答案：D解析：解：f(x)=2x+32x−4=1+72x−2，∴函数f(x)=2x+32x−4的图象关于点P(2,1)对称，∴过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点， A ，B 两点关于点P(2,1)对称，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2，|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√22+1=√5， ∴则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×5=10． 故选：D ． f(x)=2x+32x−4=1+72x−2，可得函数f(x)=2x+32x−4的图象关于点P(2,1)对称，过点P(2,1)的直线l 与函数f(x)=2x+32x−4的图象交于A ，B 两点，A ，B 两点关于点P(2,1)对称⇒OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=2OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2即可．本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题．6.答案：A解析：解：若a⊥b，b⊄α，a⊥α，则b//α，是充分条件，若a⊥b，b⊄α，b//α，推不出a⊥α，不是必要条件，则“a⊥α”是“b//α”的充分不必要条件，故选：A．分别判断出充分性和不必要性即可．本题考查了充分必要条件，考查线面、线线的位置关系，是一道基础题．7.答案：C解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是判断并输出三个数中最大值。
2020届湖南省四大名校原创精准模拟考试（一）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题 （共12小题，每小题5分，满分60分）1．设全集=U R ,集合{}()(){}2|log 2,|310A x x B x x x =≤=-+≥，则()U C B A =（）A ．(],1-∞-B ．{}|103x x x ≤-<<或 C ．[)0,3 D ．()0,32．i ）A ．i -B ．1-C ．iD ．13．执行如图所示的程序框图，则输出的i 的值为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．74．若()0,απ∈，且3s i n2c o s 2αα+=，则t a n 2α=（ ）A ．23B ．12 CD ．325,,a b c 的大小关系为 （ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 6.已知函数()()sin f x A x πϕ=+的部分图象如图所示，点,B C 是该图象与x 轴的交点，过点C 的直线与该图象交于,D E 两点，则()()B D B E B E C E +⋅-的值为（） A ．1- B ．12-C ．12D ．2 7．已知()3,2A ，若点P 是抛物线28y x =上任意一点，点Q 是圆()2221x y -+=上任意一点，则PA PQ +的最小值为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知O 是坐标原点，点()1,1A -，若点(),M x y 为平面区域210011x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪<-≤⎩上的一个动点，则AO OM ⋅的取值范围是（ ）A ．[]2,0-B ．[)2,0-C ．[]0,2D ．(]0,29．有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（ ） A ．42 B ．48 C ．54 D ．6010．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为i a （4,3,2,1=i ），此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为i h （4,3,2,1=i ），若k a a a a ====43214321，则kSh h h h 24324321=+++．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为i S （4,3,2,1=i ），此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为i H （4,3,2,1=i ），若K S S S S ====43214321，则4321432H H H H +++等于 （） A ．2V K B ．2V K C ．3V K D ．3VK11.已知,M N 分别是直线1:3460l x y ++=和 2:34120l x y +-=上的动点，点(,)P m n 满足2MP PN =，则22m n +的最小值为（ ） A.6425 B. 3625C. 65D. 012．球O 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的内切球，P 为球O 的球面上动点，M 为11B C 中点，DP BM ⊥，则点P 的轨迹周长为（ ）A ．π33B ．π332C D二、填空题 （共4小题，每小题5分，满分20分） 13．已知,x y 的取值如表：若,x y 具有线性相关关系，且回归方程为ˆ0.95 2.6yx =+，则a =________． 14.已知正项数列{}n a 中，11a =，22a =，222122n n n a a a ++=+，n N *∈,则6a 等于 .15.若△ABC 的内角满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是________． 16. 已知函数()xm y e=的图像与函数3y x =的图像在(]0,27内有两个公共点，则m 的取值范围是 .三、解答题 （共6大题，选作题10分，其它每题12分，共70分） 17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11S =，且对任意正整数n ，都有111n n n S n S S n +++=-+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn n a b =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18． 某工厂共有男女员工500人，现从中抽取100位员工对他们每月完成合格产品的件数统计如下：（1）其中每月完成合格产品的件数不少于3200件的员工被评为“生产能手”.由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为是否为“生产能手”与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的，计件单价为1元；超出(0,200]件的部分，累进计件单价为1.2元；超出(200,400]件的部分，累进计件单价为1.3元；超出400件以上的部分，累进计件单价为1.4元.将这4段中各段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）不少于3100元的人数为Z ，求Z 的分布列和数学期望.附：，10.8286.6353.8410.0010.0100.050.19.如图，已知四边形ABCD 为梯形，//AB CD ,90DAB ∠=,11BDD B 为矩形，平面11BDD B ⊥平面ABCD ，又11AB AD BB ===,2CD =． （1）证明：11CB AD ⊥；（2）求二面角11B AD C --的余弦值．20．已知椭圆()2222: 1 0x y C a b a b+=>>的离心率为2，焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的点，12PF F ∆面积的最大值是2． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OM ON OD +=,判定四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由．21. 已知函数232()()ln 2(1)(1)(,)f x x x x x a x a x b a b R =+++--++∈. （1）当0,0a b ==时，求()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）若()0f x ≥恒成立，求2b a -的最小值。
