高数第十章曲线积分讲解

第十章曲线积分与曲面积分 第一节 对弧长的曲线积分一．对弧长的曲线积分的概念 1．引入平面曲线构件L 的线密度ρ是常数，则平面曲线L 的质量为L M ρ=平面曲线构件L 的线密度ρ非均匀的，即ρ是非常数，却是曲线构件L 上点的函数),(y x f =ρ，则平面曲线构件L 质量的计算是把曲线弧L 分成n 个小段:n s s s ∆∆∆,,,21 ，其中i s ∆也表示第i 段小弧的长（0≥i s ）。

在小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，则该小段弧的质量近似为i i i s f ∆),(ηξ曲线构件L 的质量近似为∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ那么，曲线构件L 的质量为∑=→∆=ni i i i s f M 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ2．对弧长的曲线积分的概念定义 设定义在平面曲线L 上的有界函数),(y x f ，将曲线弧L 任意分割成n 小段弧i s ∆，且并以i s ∆表示第i 段小弧的长，在每小段弧i s ∆上任意取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆ni iiisf 1),(ηξ当最大小段弧的长趋于零时，和式的极限存在∑=→∆ni i i i s f 1),(lim ηξλ则此极限值称为函数),(y x f 在平面曲线L 上对弧长的曲线积分（或称为第一类曲线积分）。

记作⎰Lds y x f ),(∑=→∆=ni i i i s f 1),(lim ηξλ其中}{max 1i ni s ∆=≤≤λ，),(y x f 叫做被积函数，ds y x f ),(叫做被积表达式，ds 称为弧微分，L 称为积分路径。

如果L 是封闭曲线，则曲线积分记为⎰Lds y x f ),(3．对弧长的曲线积分的性质 对弧长的曲线积分与积分路径无关，即⎰⎰=BAABds y x f ds y x f 弧弧),(),(。

由于对弧长的曲线积分的定义与定积分、重积分的定义类似，因此也有与它们相类似的性质。

曲线积分一． 第一型曲线积分（对弧长的曲线积分） ds y x f L ),(⎰ 引入：开始接触这个概念对大家可能都很突兀，我们从直观上看它的形式，形式和定积分⎰dx x f )(很像，Right ？那它的物理意义和几何意义按照自然界对称的法则应该和定积分也是相似的咯-----我们如果把),(y x f 看成是线密度函数的话，ds y x f L),(⎰可以理解成为曲线形构件的质量咯(*^__^*) ，这当然是它的物理意义；几何意义呢？想想定积分，几何意义是曲边梯形的面积，那么对第一型曲线积分就是曲面的面积咯，沿着一段弧函数对它的曲线积分就是曲面的面积（PS ：这个可以作为一种求曲面面积的求法，后面会有题目介绍） 想必通过上面形象的介绍，我们对第一型曲线积分有了一个初步的认识。

现在来看看它的求法：ds y x f L ),(⎰这个式子我们唯一没见过的就是ds 咯，在这里ds 实际上就是弧长，所以第一型也就是对弧长的曲线积分。

那么第一型的求法就等价于求ds ，然后解个定积分就ok 。

根据高数上学过的微分三角形，如果曲线能够表示成参数方程x =ϕ(t ), y =ψ (t ) (α≤t ≤β), 那么显然dtt t t t f ds y x f )()()]( ),([),(22ψϕψϕ'+'=，于是就有⎰⎰'+'=βαψϕψϕdt t t t t f ds y x f L)()()]( ),([),(22，当然如果不用表示成参数方程，把x 看为参数也可以。

注意注意注意注意注意：1.这里的定积分的下限α一定要小于上限β. 原因在于弧长始终是正的，所以t ∆>0,这样定积分的下限一定小于上限。

当然曲线不仅仅是平面上的，三维空间里也可以，计算方法还是一样 的，即dt t t t t t t f ds z y x f )()()()](),(),([),,(222ωψϕωψϕβα'+'+'=⎰⎰Γ。

高数第十章知识点总结
高数第十章主要涉及以下几个知识点：
1.平面曲线的切线和法线：
- 给定曲线的方程，求某点处的切线和法线的方程
- 求切线和法线的交点
- 利用切线和法线求解相关的几何问题
2.曲率与曲率半径：
- 计算曲线在某一点的曲率
- 求曲线的曲率半径
- 利用曲率和曲率半径解决问题，如判断曲线的凹凸性、确定曲线的渐近线等
3.参数方程与极坐标：
- 利用参数方程描述平面上的曲线
- 求参数方程的切线和法线
- 利用极坐标描述平面上的曲线
- 求极坐标曲线的切线和法线
4.空间曲线：
- 求空间曲线的切线和法平面
- 求空间曲线在某点的曲率和曲率半径
- 利用曲率和曲率半径解决空间曲线的运动问题
5.空间曲面：
- 利用方程求解空间曲面的切平面和法线方程
- 求曲面上某点的法向量、法线方程和曲率
- 利用曲率解决曲面上的问题，如判断曲面的性质、求曲面的渐近线等
以上是高数第十章的主要知识点，学习这些知识点可以帮助我们了解平面和空间曲线的性质及其相关应用。

希望对你有所帮助！。

第十章 曲线积分与曲面积分一．曲线积分的计算 （1）基本计算1.第一类：对弧长线积分的计算(,)Lf x y ds ⎰关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩()t αβ≤≤做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）(,)[(),(,()Lf x y ds f t t βαϕψαβ=<⎰⎰例 L 为圆周221,x y +=则22xy Le ds +=⎰2e π 参数方程，曲线代入解 cos :(02)sin x L y θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩ds d θθ==22x y Leds +=⎰202ed e πθπ=⎰例 计算2⎰L x ds ，其中2222:(0)0⎧++=>⎨-=⎩x y z a L a x y . (8分)解 由于 22222222::00⎧⎧++=+=⇒⎨⎨-=-=⎩⎩x y z a x z a L L x y x y 所以L 的参数方程可表示为:(02)sin θθπθ⎧=⎪⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩x L y t z a (3分)θθ==ds ad (2分) 故23222cos 22ππθθ==⎰⎰La a x ds ad(3分) 【例10.22】求⎰,式中L 为圆周22(0)x y ax a +=>解 L 的极坐标方程为:,(),cos 22L ds ad r a θθππθθθθ=⎧-≤≤==⎨=⎩则222cos 2a ad a ππθθ-=⋅=⎰⎰第二类：对坐标的线积分的计算 关键是用曲线L:(),(),x t y t ϕψ=⎧⎨=⎩(:)t αβ→做变量替换（被积函数，积分变元，积分范围）''(,)(,){[(),()]()[(),()]()}LP x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt βαϕψϕϕψψ+=+⎰⎰例 设L 为抛物线2y x =从点()0,0到()2,4一段弧，则()22Lx y dx -=⎰5615-注意微元，及参数方程的形式【例10.17】 求2L ydx xdy x +⎰，其中L 是曲线ln y x =上从点(1,0)到点(,1)e 的一段弧. 解 由ln y x =得1,ydx dy x e x==，故原式=1121002()|y y ydy e dy y e e +=+=⎰⎰⑵ 基本技巧① 利用对称性简化计算；对弧长的线积分，对称性同二重积分 例 计算3222(),Lx y ds L x y R 其中：++=⎰解：33()LLLx y ds xds y ds =+=0+⎰⎰⎰ 第一个L 关于y 对称，第二个L 关于x 对称【例10.15】 求yL xe ds ⎰，其中L 是由cos (0)sin x a ta y a t =⎧>⎨=⎩所表示的曲线上相应于233t ππ≤≤的一段弧.解 （法一）ds adt ==,故 原式=22sin sin 3333cos |0a ta ta t e adt aeππππ⋅⋅==⎰.（法二）容易看出积分弧段关于y 轴对称，而被积函数是关于变量x 的奇函数，故0y Lxe ds =⎰【例10.18】 求2()Lx y ds +⎰，其中L 为圆周222x y a +=.解 由对称性得0Lxyds =⎰，故22222()(2)()2LLLLx y ds x xy y ds x y ds xyds +=++=++⎰⎰⎰⎰2223022LLa ds a ds a a a ππ=+==⋅=⎰⎰对坐标的线积分，对称性为，当平面曲线L 是分段光滑的，关于x 对称，L 在上半平面与下半平面部分的走向相反时，若P 对y 为偶函数，则，0LPdx =⎰奇函数，则12LL Pdx Pdx =⎰⎰。

第十章 曲线积分和曲面积分1. 第一型曲线积分和第二型曲线积分有什么关系？答：第二型曲线积分是借助于第一型曲线积分定义的，但是它与第一型曲线积分的一个主要区别是：它和曲线的方向有关，这是因为切向量)cos ,cos ,(cos γβα和曲线的方向有关，因此∫∫−++−=++LL Rdz Qdy Pdx Rdz dy Q Pdx ，其中−L 表示与L 方向相反的曲线。

这种区别在计算公式上的表现是：在光滑曲线L ：βαωψϕ≤≤===t t z t y t x ),(),(),(上的第一型曲线积分为：dt t t t t t t f ds z y x f L 222)()()())(),(),((),,(ωψϕωψϕβα′+′+′=∫∫。

右边的定积分的上限总大于下限，而对于第二型曲线积分，如果取L 的方向与参数t 增加的方向一致，则有：∫++Ldz z y x R dy z y x Q dx z y x P ),,(),,(),,( ∫′=βαϕωψϕ)())(),(),(({t t t t P Q +))(),(),((t t t ωψϕdt t t t t R t )}())(),(),(()(ωωψϕψ′+′ 而∫−++L Rdz Qdy Pdx∫′=αβϕωψϕ)())(),(),(({t t t t P Q ++′)())(),(),((t t t t ψωψϕdt t t t t R )}())(),(),((ωωψϕ′ 即右端定积分的上下限与曲线的方向有关，下限对应于曲线的起点，上限对应于曲线的终点。

2.试判断下列结果是否正确，为什么？ 设∫=L xdy I ，L 是圆周：222a y x =+，取逆时针方向，由于积分曲线是关于y 轴对称，被函数x 是关于x 的奇函数，所以∫=Lxdy I 0=。

答：这是不对的，因为第二型曲线积分不能这样用“对称性”，事实上，2220220cos )sin (cos a d a a d a I πθθθθππ===∫∫这是因为第二型曲线积分（以及第二型曲面积分）涉及积分域的定向问题，奇偶对称性比较复杂. 设L 关于y 轴对称,（1L 为L 在y 轴右侧的部分）有∫∫=L L dy y x Q dy y x Q 为偶函数关于当为奇函数关于当x )y ,x (Q 0x )y ,x (Q ),(2),(1如图10-14设21L L L +=，1:(), :0L yx x a ϕ=→，2:(),:0L y x x a ϕ=−−→ 则∫∫∫+=LL L dy y x Q dy y x Q dy y x Q 12),(),(),( dx x x x Q dx x x x Q a a)())(,()())(,(00−′−−++′+=∫∫−ϕϕϕϕ对dx x x x Q a )())(,(0−′−−∫−ϕϕx t =−0(,())()a Q t t t dt ϕϕ′−∫ 则dx x x x Q x x Q dy y x Q La)())](,())(,([),(0ϕϕϕ′−−=∫∫=′=∫∫为偶函数关于为奇函数关于x y x Q x y x Q dy y x Q dx x x x Q a L ),(0),(),(2)())(,(201ϕϕ3.在与路径无关的等价命题中，为什么要限制D 为单连通区域？答：若D 不是单连通域，则与路径无关的等价命题可能不成立. 如,例：计算∫+−=L y x ydx xdy I 22，其中L 为一条分段光滑且不经过原点的连通闭曲线，L 的方向为逆时针方向。

第十章曲线积分与曲面积分习题详解习题10—11 计算下列对弧长的曲线积分： （1）LI xds =⎰，其中L 是圆221x y +=中(0,1)A到B 之间的一段劣弧；解: L AB =的参数方程为：cos ,sin x y θθ==()42ππθ-≤≤，于是2cos I ππθ-=⎰4cos (1d ππθθ-==+⎰．（2）(1)Lx y ds ++⎰ ，其中L 是顶点为(0,0),(1,0)O A 及(0,1)B 所成三角形的边界；解: L 是分段光滑的闭曲线，如图9－2所示，根据积分的可加性，则有(1)Lx y ds ++⎰(1)OAx y ds =++⎰(1)ABx y ds +++⎰ (1)BOx y ds +++⎰，由于OA :0y =，01x ≤≤，于是ds dx ===，故 103(1)(01)2x y ds x dx ++=++=⎰⎰OA， 而:AB 1y x =-,01x ≤≤，于是ds ==． 故10(1)[(1)ABx y ds x x ++=+-+=⎰⎰，同理可知:BO 0x =（01y ≤≤），0d s =，则13(1)[01]2BOx y ds y dy ++=++=⎰⎰． xyoABC综上所述33(1)322Lx y ds -+=+=+⎰ （3）⎰，其中L 为圆周22x y x +=；解 直接化为定积分．1L 的参数方程为11cos 22x θ=+,1sin 2y θ=（02θπ≤≤）, 且12ds d θθ==．于是201cos222d πθθ=⋅=⎰⎰．（4）2 Lx yzds ⎰，其中L 为折线段ABCD ，这里(0,0,0)A ，(0,0,2),B (1,0,2),C(1,2,3)D ；解 如图所示， 2222 LABBCCDx yzds x yzds x yzds x yzds =++⎰⎰⎰⎰．线段AB 的参数方程为 0,0,2(01)x y z t t ===≤≤，则ds =2dt ==，故02200 12=⋅⋅⋅=⎰⎰dt t yzds x AB．线段BC 的参数方程为,0,2(01)x t y z t ===≤≤，则,ds dt ==故122 0020BCx yzds t dt =⋅⋅⋅=⎰⎰，线段CD 的参数方程为1,2,2x y t z t===+)10(≤≤t ，则ds ==，故1122012(2))x yzds t t t t dt =⋅⋅+=+=⎰⎰ 2 (2所以2222LBB CC Dx y z d s x y z d sx y z d sd s =++⎰⎰⎰⎰2 求八分之一球面2221(0,0,0)x y z x y z ++=≥≥≥的边界曲线的重心，设曲线的密度1ρ=。