高等数学曲线积分和曲面积分课件

第十章 曲线积分与曲面积分 §1 对弧长的曲线积分计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程若()():x x tL a t b y y t =⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()(,,b L af x y ds f x t y t=⎰⎰ 若()()():x x t L y y t a t b z zt =⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则()()()()(,,,,b Laf x y z ds f x t y t z t =⎰⎰ 注意：上限一定要大于下限计算下列对弧长的曲线积分（1）ds yx L ⎰+222)(，其中L 为圆周222a y x =+； 解：法一：222()Lx yds +=⎰ 22()Lads ⎰4La ds =⎰45(2)2a a a ππ== 法二：cos:02sin x a L y a θθπθ=⎧≤≤⎨=⎩，222()Lx y ds +⎰ ()()222[cos sin ]a a πθθθ=+⎰25502a d a πθπ==⎰（2）ds eLy x ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+，直线x y =及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；解：()L OAABBO=++⎰⎰⎰⎰ ，其中:,00x x OA x a y =⎧≤≤⎨=⎩， cos :,0sin 4x a AB y a θπθθ=⎧≤≤⎨=⎩，:0x x BO x y x =⎧≤⎨=⎩aoA=⎰⎰01ax a e dx e ==-⎰a ABABe ds =⎰⎰ 4aa ABaee ds π==⎰（或AB⎰4πθ=⎰404aaae e ad ππθ==⎰）BO=⎰1ae ==- 故(2)24a Le a π=+-⎰（3）⎰L xds ，其中L 为抛物线122-=x y 上介于0=x 与1=x 之间的一段弧；解：由2:0121x x L x y x =⎧≤≤⎨=-⎩，得10L xds =⎰⎰32122(116)332x +==（4）⎰L ds y 2，其中L 为摆线的一拱)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x ； 解：[]22(1cos )Ly ds a t π=-⎰⎰5232(1cos )t dt π=-⎰52322(2sin)2tdtπ=⎰2358sin2ta dtπ=⎰令2tθ=）3516sina dπθθ=⎰353324225632sin325315a d a aπθθ==⨯⨯=⎰（5）dsxyL⎰，其中L为圆周222ayx=+；解：利用对称性14L Lxy ds xy ds=⎰⎰，其中1cos:0sin2x aLy aθπθθ=⎧≤≤⎨=⎩1144L L Lxy ds xy ds xyds==⎰⎰⎰204(cos)(sina aπθθθ=⎰3323224cos sin2sin2a d a aππθθθθ===⎰（6）dszyx⎰Γ++1，其中Γ为曲线tex t cos=，tey t sin=，t ez=上相应于t从0变到2的弧段；解：2221dsx y zΓ++⎰=⎰22)te dt e--==-⎰（7）dsy⎰Γ，其中Γ为空间圆周：⎪⎩⎪⎨⎧==++Γxyzyx2:222.解：由2222x y zy x⎧++=⎨=⎩，得2222x z+=，令cos02xzθθπθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩故cos:cos02xyzθθθπθ⎧=⎪Γ=≤≤⎨⎪=⎩。

第十七讲曲线积分与曲面积分17 . 1 曲线积分与曲面积分的概念一、第一型曲线积分1 ．物理意义一条可求长的空间曲线L ，其密度为()(),,,,,x y z x y z L ρ∈，，试求L 的质量．显然取曲线的弧长微元dl ，其长度记为ds ，则对应的质量微元为(),,dm x y z ds ρ=，那么整个曲线L 的质量为(),,Lm x y z ds ρ=⎰·这种类型的积分称为第一型的曲线积分． 2 ．定义设L 是空间中可求长的曲线段，函数(),,f x y z 定义在 L 上，对 L 作分割 T ，将 L 分成n 个小曲线段 ()1,2,...,,i i L i n L =的弧长记为 i s ∆，记1m a x i i nT s ≤≤=∆，，任取(),,i i i i L ξηζ∈，若有极限()01lim ,,ni i i i T i f s J ξηζ→=∆=∑，且极限J 与分割 T 无关，与介点(),,i i i i L ξηζ∈的取法无关，则称函数 f 在曲线 L 上可积，并称这种积分为第一型的曲线积分，记为(),,LJ f x y z ds =⎰．又称对弧长的积分．注：当1f ≡ 时，Lds L =∆⎰（L ∆表示曲线儿的弧长）第一型曲线积分性质同定积分，这里不赘述． 3 ．计算转化为定积分．( l ）若曲线()()()():x x t L y y t t z z t αβ=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩，则()()()()(,,,,LJ f x y z ds f x t y t z t βα==⎰⎰( 2 ）若曲线()(),,0:,,0F x y z LG x y z =⎧⎪⎨=⎪⎩，则一般要将它转化成参数方程（ 1 ）的形式，有时可用特殊方法解决．例 17 . 1 计算下列曲线积分：( 1 ) ()222Lx y z ds ++⎰其中()cos :sin 02x a t L y a t t z bt π=⎧⎪=≤≤⎨⎪=⎩( 2 ）2Lx ds ⎰，其中：2222x y z a x y z ⎧++=⎨++=⎩解： ( 1 ) ()()()222222220322cos sin 823Lxy z dsa t a tb t b a πππ++⎡=++⎣⎫=+⎪⎭⎰⎰（ 2 ）（方法1：特殊方法），由对称性知222LLLx ds y ds z ds ==⎰⎰⎰，所以有()23222212333L L L a a x ds x y z ds ds π=++==⎰⎰⎰（方法 2 ：一般方法）将 L 的方程化为参数方程．为此，将()z x y =-+代入2222x y z a ++=，化简后得2222a x y xy ++=，将坐标轴旋转4π得))x X Y y X Y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，新坐标系下方程为2223X Ya +=令(),02sin X t t Y a t π⎧=⎪≤≤⎨⎪=⎩，则得 L 的参数方程为(),02x t t y t t t z t π⎧=⎪⎪⎪=+≤≤⎨⎪⎪=⎪⎩所以有32223La x ds t t ππ⎫==⎪⎭⎰⎰注：方法 2 虽然麻烦，但它十分重要，希望读者一定要掌握这一方法． 例 17 · 2 若平面曲线以极坐标()()12ρρθθθθ=≤≤表示，试给出计算(),Lf x y ds ⎰的公式，并计算曲线积分Lxds ⎰，其中():0k L ae k θρ=>在圆a ρ=内的部分解：令()()()12cos ,sin x y ρθθθθθρθθ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩，则()()()()()()''''cos sin sin cos x y θρθθρθθθρθθρθθ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩，于是有()()()(12,cos ,sin Lds f x y ds f θθθθρθθρθθθ===⎰⎰下面计算Lxds ⎰。

第八章 曲线积分和曲面积分我们前面已学过定积分和重积分，当一个函数定义在空间的曲线或曲面时，则要求我们计算曲线积分或曲面积分。

由于物理背景的不同，我们还须区别曲线或曲面的方向性，因此我们要分别研究两种不同类型的积分。

§1 第一型曲线积分与曲面积分１． 第一型曲线积分我们研究如下的一个理想问题，给定空间的一条曲线物体L ，L 上每点有线密度，现在我们要求它的质量。

我们对此问题作如下限制，设L 是空间的可求长曲线，端点为A 和B ，密度函数(,,)f x y z 在L 上定义。

为了求质量，象定积分一样，我们对L 作一分割，01,,,,(,1,2,,,)n j A A A A B A j n L ===L L 在上，这样我们就将L 分成n 小段，设每段的长度为j s V 。

在每段弧长上任取一点ξηςｊｊｊ（，，），作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V以此作为L 质量的近似值。

最后我们令1max{}0j j ns λ≤≤=→V ，即可得到L 质量的精确值M ，即,01lim (,)nj j j j j M f s λξης→==∑V由此我们可得到以下定义 定义设L 是空间可求长曲线，(,,)f x y z 在L 上连续，L 的两个端点为A,B ，依次用分点01,,,n A A A A B ==L 将L 分成n 小段。

每小段弧及弧长均记为j s V ，在j s V 上任取一点(,,)j j j j P ξης=，作和式,1(,)nj jj j j f s ξης=∑V如果当1max{}0j j ns λ≤≤=→V 时，上述和式的极限存在，且不依赖于L 的分法及j P 的选取，则称这一极限值为(,,)f x y z 。

在L 上的第一型曲线积分，记作(,,)Lf x y z ds ∫。

第一型曲线积分也有类似于定积分的一些性质，如关于被积函数的线性及关于曲线的可加性，它与定积分的一个差别是第一型曲线积分与曲线的方向无关。