2020年高考文科数学二轮专题复习二：不等式、逻辑、复数、框图(附解析)

第 2 讲不等式选讲考点 1绝对值不等式的解法1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c 型不等式的解法(1)c>0，则 |ax＋b|≤c 的解集为－ c≤ax＋b≤c，|ax＋b|≥c 的解集为 ax＋b≥c 或 ax＋b≤－ c，而后依据 a、b 的值解出即可．(2)c<0，则 |ax＋b|≤c 的解集为 ?，|ax＋b|≥c 的解集为R.2．|x－a|＋|x－b|≥c， |x－a|＋|x－b|≤c 型不等式的解法解这种含绝对值的不等式的一般步骤：(1)令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根；(2)把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间；(3)在所分区间上，依据绝对值的定义去掉绝对值符号，议论所得的不等式在这个区间上的解集；(4)这些解集的并集就是原不等式的解集．[例 1] [2019 ·全国卷Ⅱ][ 选修 4－5：不等式选讲 ]已知 f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)<0 的解集；(2)若 x∈(－∞， 1)时， f(x)<0，求 a 的取值范围．【分析】此题主要考察绝对值不等式的求解，意在考察考生的逻辑思想能力、运算求解能力，考察的中心修养是逻辑推理、数学运算．(1)当 a＝1 时， f(x)＝|x－1|x＋|x－ 2|(x－1)．当 x<1 时， f(x)＝－ 2(x－1)2<0；当 x≥1 时， f(x)≥0.所以，不等式 f(x)<0 的解集为 (－∞， 1)．(2)因为 f(a)＝0，所以 a≥1.当 a≥1，x∈(－∞， 1)时， f(x)＝(a－x)x＋(2－x)(x－a)＝2(a－x)(x －1)<0，所以， a 的取值范围是 [1，＋∞ )．解含有绝对值的不等式时，脱去绝对值符号的方法主要有：公式法、分段议论法、平方法、几何法等．这几种方法应用时各有益弊．在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简易；但若不等式含有多个绝对值符号，则应采纳分段议论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的状况下才能实行．所以，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视详细状况而定 .『对接训练』1．[2019 ·福建三明一中检测 ] 已知不等式 |2x＋3|＋|2x－1|<a 的解集为 M.(1)若 a＝6，求会合 M；(2)若 M≠?，务实数 a 的取值范围．分析： (1)当 a＝6 时，原不等式为 |2x＋3|＋|2x－1|<6，3当 x≤－2时，原不等式化为－ 2x－3＋1－2x<6，解得 x>－2，3∴－ 2<x≤－2；3 1当－2<x<2时，原不等式化为2x＋3＋1－2x<6，解得 4<6，3 1∴－ 2<x<2；1当 x≥2时，原不等式化为2x＋3＋2x－1<6，解得1x<1，∴ 2≤x<1.综上所述，会合M＝{ x|－2<x<1} ．(2)∵M≠?，∴不等式 |2x＋3|＋|2x－1|<a 恒有解．令 f(x)＝|2x＋3|＋|2x－1|，3 1则 f(x)＝2 |x＋2|＋|x－2| ≥4，∴a>4，即实数 a 的取值范围是 (4，＋∞ )．考点 2 绝对值不等式的证明1．绝对值三角不等式定理 1：若 a 、b 为实数，则 |a ＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当 ab ≥0 时，等号建立．定理 2：设 a 、b 、c 为实数，则 |a －c|≤|a －b|＋|b －c|. 等号建立 ? (a －b)(b －c)≥0，即 b 落在 a 、c 之间． 推论 1：||a|－|b||≤|a ＋b|. 推论 2：||a|－|b||≤|a －b|. 2．基本不等式(1)定理 1：假如 a ，b ∈R ，那么 a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号建立．a ＋b(2)定理 2：假如 a ，b>0，那么 2 ≥ ab ，当且仅当 a ＝b 时，等号建立．也能够表述为两个正数的算术均匀数大于或等于它们的几何均匀数．[例 2] [2019 ·全国卷 Ⅰ][ 选修 4－5：不等式选讲 ] 已知 a ，b ，c 为正数，且知足 abc ＝1.证明： 1 1 1 2 22 (1)a ＋b ＋c ≤a ＋b ＋c ；(2)(a ＋b)3＋(b ＋c)3＋(c ＋a)3≥ 24.【证明】 此题主要考察利用综合法以及基本不等式证明不等式，考察运算求解能力、推理论证能力，考察的中心修养是逻辑推理、数学运算．(1)因为 a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ， 且 abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2 ≥ab ＋bc ＋ca ＝ ab ＋bc ＋ca 1 1 1abc＝a ＋b ＋c . 所以 1＋1＋1≤a 2＋b 2 ＋c 2.a b c(2)因为 a ，b ，c 为正数且 abc ＝1，故有(a ＋b)3＋(b ＋ c)3＋(c ＋a)3≥33a ＋b 3 b ＋c 3 a ＋c3＝3(a ＋b)(b ＋c)(a ＋c)≥3×(2 ab)×(2 bc)×(2 ac)＝24. 所以 (a ＋b)3＋(b ＋c)3＋(c ＋a)3≥24.含绝对值不等式的证明主要分两类：一类是比较简单的不等式，能够经过平方法或换元法等去掉绝对值符号转变成常有的不等式的证明，另一类是利用绝对值三角不等式 ||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋ |b|，经过适合增添、拆项证明或利用放缩法、综合法剖析证明 .『对接训练』2．[2019 ·湖南长沙长郡中学调研 ] 已知函数 f(x)＝|x＋2|.(1)解不等式 f(x)>4－|x＋1|；4 1(2)已知 a＋b＝2(a>0，b>0)，求证： |x－2.5|－f(x)≤a＋b.分析： (1)f(x)>4－|x＋1|，即 |x＋2|＋|x＋1|>4，x<－2，则得 x<－3.5；－x－2－x－1>4，－2≤x<1，无解；x＋2－x－1>4，x≥－ 1，得 x>0.5.x＋2＋x＋1>4，所以原不等式的解集为 { x|x<－3.5 或 x>0.5} ．(2)证明： |x－2.5|－f(x)＝|x－2.5|－|x＋2|≤4.5，4 1 1 4 1 1 4b a 1a＋b＝2(a＋b) a＋b ＝2 4＋1＋a ＋b ≥2(5 ＋4)＝4.5，4 1所以 |x－2.5|－f(x)≤a＋b.课时作业 20不等式选讲1．[2019 ·江苏卷 ]设 x∈R，解不等式 |x|＋|2x－1|>2.分析：此题主要考察解不等式等基础知识，考察运算求解能力和推理论证能力．1 当 x<0 时，原不等式可化为－x＋1－2x>2，解得 x<－3；1当 0≤x≤2时，原不等式可化为x＋1－2x>2，即 x<－1，无解；1当 x>2时，原不等式可化为x＋2x－1>2，解得 x>1.1综上，原不等式的解集为{ x|x<－3或 x>1} ．2．[2019 ·陕西彬州质监 ] 已知函数 f(x)＝|x－3|－|x＋2|.(1)求函数 f(x)的值域；(2)若? x∈[－2,1]，使 f(x)≥x2＋a 建立，求 a 的取值范围．分析： (1)依题意可得 f(x)＝－2x＋1，－2<x<3，5，x≤－ 2.当－ 2<x<3 时，－ 5<－2x＋1<5，所以 f(x)的值域为 [－5,5]．(2)因为－ 2≤x≤1，所以 f(x)≥x2＋a 可化为－ 2x＋1≥x2＋a，得? x∈[－2,1]，使得 a≤－x2－ 2x＋1 建立．令 g(x)＝－ x2－2x＋1＝－ (x＋1)2＋2，则当 x∈[ －2,1]时， g(x)max＝2，所以 a 的取值范围为 (－∞， 2]．3．[2019 ·四川绵阳一诊 ] 已知函数 f(x)＝|2x＋1|－|x－m|(m∈R)．(1)当 m＝1 时，解不等式 f(x)≥2；(2)若对于 x 的不等式 f(x)≥|x－3|的解集包括 [3,4] ，求 m 的取值范围．分析： (1)m＝1 时， f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，1当 x≤－2时， f(x)＝－ 2x－1＋(x－1)＝－ x－2，由 f(x)≥2 得 x≤－ 4，综合得 x≤－ 4；1当－2<x<1 时， f(x)＝(2x＋1)＋(x－1)＝3x，2 2由 f(x)≥2 得 x≥3，综合得 3≤x<1；当 x≥1 时， f(x)＝(2x＋1)－(x－1)＝x＋2，由 f(x)≥2 得 x≥0，综合得 x≥1.2 所以当 m＝1 时， f(x)≥2 的解集是 { x|x≤－ 4 或 x≥3} ．(2)因为 f(x)＝|2x＋1|－|x－m|≥|x－3|的解集包括 [3,4] ，所以当 x∈[3,4] 时， |2x＋1|－|x－m|≥|x－3|恒建立． x∈ [3,4] 时，原式可变成 2x＋1－|x－m|≥x－3，即|x－m|≤x＋4，所以－ x－ 4≤x－m≤x＋4，则－ 4≤m≤2x＋4 在[3,4] 上恒建立，明显当 x＝3 时， 2x＋4 获得最小值 10，则 m 的取值范围是[ －4,10]．4．[2019 ·云南玉溪一中模考 ] 已知函数 f(x)＝|x＋1|＋|2x－1|.(1)解不等式 f(x)≤x ＋3；(2)若 g(x)＝|3x －2m|＋|3x －2|，对 ? x 1∈R ，? x 2∈R ，使得 f(x 1)＝ g(x 2)建立，务实数 m 的取值范围．x ≤－ 1，分析： (1)原不等式等价于－ 3x ≤x ＋311 或 － 1<x ≤2，或 x>2， －x ＋2≤x ＋3≤ ＋ ，3x x 31 3得－ 2≤x ≤2，1 3故原不等式的解集为 { x|－2≤x ≤2} ． (2)由 f(x)＝|x ＋1|＋|2x －1|＝－ 3x ，x ≤－ 1，1－x ＋2，－ 1<x ≤2， 可知当 x ＝12时， f(x)最小，无最大值，13x ，x>2，1 3且 f(x)min ＝f 2 ＝2.3设 A ＝{ y|y ＝f(x)} ，B ＝{ y|y ＝g(x)} ，则 A ＝{ y|y ≥2} ，因为 g(x)＝|3x －2m|＋|3x －2|≥|(3x －2m)－(3x －2)|＝|2m －2|，所以 B ＝{ y|y ≥|2m －2|} ．3 1 7由题意知 A? B ，所以 |2m －2|≤2，所以 m ∈ 4，4 .1 7故实数 m 的取值范围为 { m|4≤m ≤4} ．5．[2019 ·湖南衡阳八中模考 ] 已知函数 f(x)＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式 f(x)≤3；23(2)记函数 g(x)＝f(x)＋|x ＋ 1|的值域为 M ，若 t ∈M ，证明：t ＋1≥ t＋ 3t.－ 3x ，x ≤－ 1，1分析： (1)依题意，得 f(x)＝2－x ，－1<x<2，13x ，x ≥2.x ≤－ 1， 或－1<x<1，x ≥1，于是 f(x)≤3?2或2－3x ≤32－x ≤3 3x ≤3，解得－ 1≤x ≤1.即不等式 f(x)≤3 的解集为 { x|－1≤x ≤1} ． (2)g(x)＝f(x)＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥ |2x －1－2x －2|＝3，当且仅当 (2x －1)(2x ＋2)≤0 时，取等号，∴ M ＝[3，＋∞ )．要证 t 2＋1≥3t ＋3t ，即证 t 2－3t ＋1－3t ≥0.而 t 2－3t ＋1－3＝t 3－3t 2＋t －3＝t －3 t 2＋1. ttt∵ t ∈M ，∴ t －3≥0，t 2＋1>0，∴t －3 t 2＋1 ≥0.t∴ t2＋1≥3t ＋3t.6．[2019 ·全国卷 Ⅲ][ 选修 4－ 5：不等式选讲 ] 设 x ，y ，z ∈R ，且 x ＋y ＋z ＝1.(1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值； (2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a)2≥13建立，证明： a ≤－ 3 或 a ≥－ 1.分析： 此题主要考察基本不等式在求最值、不等式恒建立求参数问题中的应用，考察考生的化归与转变能力，考察的中心修养是逻辑推理、数学运算．(1)因为 [(x －1)＋ (y ＋1)＋(z ＋1)] 2＝ (x －1)2＋ (y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x － 1)(y ＋ 1)＋(y ＋ 1)(z ＋ 1)＋(z ＋ 1)(x －1)]≤ 3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2] ，故由已知得 (x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当 x ＝53，y ＝－ 13，1z ＝－ 3时等号建立．所以 (x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为 43.(2)因为 [(x －2)＋ (y －1)＋(z －a)]2＝ (x －2)2＋ (y －1)2＋(z －a)2＋2[(x － 2)(y － 1)＋(y － 1)(z － a)＋(z － a)(x －2)]≤ 3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a)2] ，(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a)2≥ 2＋a24－a故由已知得 3 ，当且仅当 x ＝ 3，＝ 1－a ，z ＝2a －2时等号建立．y 3 32＋a 2.所以 (x －2)2＋(y －1)2＋(z －a)2 的最小值为 32＋a 21由题设知3 ≥3，解得 a ≤－ 3 或 a ≥－ 1.。

教学资料范本【2020最新】人教版最新高考文科数学复习试卷(2)及参考答案编辑：__________________时间：__________________(附参考答案) 数 学（文史类）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数=534ii +- （A ） （B ）1i -1i -+（C ） （D ）1i +1i --【解析】复数，选C.i ii i i i i i +=+=+-++=-+1171717)4)(4()4)(35(435【答案】C（2）设变量x,y 满足约束条件,则目标函数z=3x-2y的最小值为⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3【解析】做出不等式对应的可行域如图，由得，由图象可知当直线经过点时，直线的截距最大，而此时最小为，选 B.yx z 23-=223z x y -=223z x y -=)2,0(C 223zx y -=y x z 23-=423-=-=y x z 【答案】B（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80【解析】第一次循环，第二次循环，第三次循环，第四次循环满足条件输出，选 C.2,2330==-=n S 3,83322==-+=n S 4,2633823==-+=n S 26=S 【答案】C（4） 已知，则a ，b ，c 的大小关系为120.2512,(),2log 22a b c -===（A ）c<b<a （B ）c<a<b （C ）b<a<c （D ）b<c<a【解析】因为，所以，，所以，选 A.122.02.022)21(<==-b a b <<114log 2log 2log 25255<===c a b c <<【答案】A（5）设xR ，则“x>”是“2x2+x-1>0”的∈12 （A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件 （D ） 既不充分也不必要条件【解析】不等式的解集为或，所以“”是“”成立的充分不必要条件，选A.0122>-+x x 21>x 1-<x 21>x 0122>-+x x【答案】A（6）下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为（A ） cos 2y x =，xR ∈（B ） xy 2log =，xR 且x ≠0∈（C ） 2x xe e y --=，xR ∈ （D ）31y x =+，xR ∈【解析】函数为偶函数，且当时，函数为增函数，所以在上也为增函数，选B.x y 2log =0>x x x y 22log log ==)2,1( 【答案】B（7）将函数（其中>0）的图像向右平移个单位长度，所得图像经过点，则的最小值是()sin f x x ω=ω4π)0,43(πω（A ） （B ）1 C ） （D ）21353【解析】函数向右平移得到函数，因为此时函数过点，所以，即所以,所以的最小值为2，选 D.4π)4sin()4(sin )4()(ωπωπωπ-=-=-=x x x f x g )0,43(π0)443(sin =-ππω,2)443(πωπππωk ==-Z k k ∈=,2ωω 【答案】D（8）在△ABC 中， A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足=，=(1-)， R 。

2．分式不等式的解法 先通分化为一边为f xg x ，一边为0的形式，再等价转化为整式不等式．注意A B >0⇔A ·B >0；A B <0⇔A ·B <0；AB≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≥0B ≠0；A B≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ·B ≤0B ≠0.如果用去分母的方法，一定要考虑分母的符号．3．高次不等式的解法只要求会解可化为一边为0，另一边可分解为一次或二次的积式的，解法用穿根法，要注意穿根时“奇过偶不过”．如(x －1)(x ＋1)2(x ＋2)3>0穿根时，－2点穿过，－1点返回，故解为x <－2或x >1.4．含绝对值不等式的解法一是令每个绝对值式为0，找出其零点作为分界点，分段讨论，二是平方法．（三）基础自测1．(2010·江西理)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x的解集是( )A ．(0,2)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)∪(0，＋∞) [答案] A⎪⎪⎪⎪⎪⎪x >x得x <0不等式x ＋2<0|3－x <0}－2或－2<－2}|3－x <0}－2}－2}解本题时，容易将不等式3－x <0，∴－2<－2<则⎩⎪⎨⎪⎧f f f，∴－2<k <－1或3<k <4.6．关于x 的不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则实数a ＝____________. [答案] 12[解析] 原不等式可化为a －x ＋1x －1＜0.∵解集为{x |x ＜1或x ＞2}， ∴a －1＜0且－1a －1＝2. ∴a ＝12.7．解不等式－1<x 2＋2x －1≤2.[解析] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1≤2x 2＋2x －1>－1，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x －3≤0x 2＋2x >0①②解①(x ＋3)(x －1)≤0，∴－3≤x ≤1， 解②x (x ＋2)>0，∴x <－2或x >0， ∴－3≤x <－2或0<x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－3≤x <－2或0<x ≤1}．（四）典型例题1.命题方向：一元二次不等式的解法 [例1] (文)解下列不等式(1)－x 2＋2x －23＞0；(2)9x 2－6x ＋1≥0.[分析] 结合相应的二次方程的根，一元二次函数的图像可求得解集．[解析] (1)两边都乘以－3，得3x 2－6x ＋2＜0，∵3＞0，且方程3x 2－6x ＋2＝0的解是x 1＝1－33，x 2＝1＋33，∴原不等式的解集是{x |1－33＜x ＜1＋33}． (2)方法一：∵不等式9x 2－6x ＋1≥0，其相应方程9x 2－6x ＋1＝0， Δ＝(－6)2－4×9＝0， ∴上述方程有两相等实根x ＝13.结合二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图像知，原不等式的解集为R. 方法二：9x 2－6x ＋1≥0⇔(3x －1)2≥0，所以原不等式的解集为{x |x >2a或x <2}．②当a ＝1时，2＝2a所以原不等式的解集为{x |x ≠2且x ∈R }．③当a >1时，两根的大小顺序为2>2a 解集为{x |x >2或x <2a}综上所述，不等式的解集为： a ＝0时，{x |x <2} a ＝1时，{x |x ≠2}a <0时，{x |2a<x <2}0<a <1时，{x |x >2a或x <2}．a >1时，{x |x >2或x <2a}.3.命题方向：分时不等式与高次不等式[例3] (1)解关于x 的不等式ax ＋2x ＋1≥2(a ∈R)．(2)解不等式：2x 2－5x －1x 2－3x ＋2＞1.[解析] (1)原不等式可化为a －xx ＋1≥0.①当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠－1}． ②当a >2时，原不等式的解集为{x |x ≥0或x <－1}． ③当a <2时，原不等式的解集为{x |－1<x ≤0}．(2)原不等式等价变形为x 2－2x －3x 2－3x ＋2>0，等价变形为(x 2－2x －3)(x 2－3x ＋2)>0， 即(x ＋1)(x －1)(x －2)(x －3)>0.由穿根法可得所求不等式解集为{x |x <－1或1<x <2或x >3}．跟踪练习3：已知函数f (x )＝x 2ax ＋b(a ，b 为常数)且方程f (x )－x ＋12＝0有两个实根为x 1＝3，x 2＝4.(1)求函数f (x )的解析式；(2)设k ＞1，解关于x 的不等式f (x )＜k ＋x －k2－x.[分析] 本题主要考查求函数的解析式及含参分式不等式的解法，f (x )－x ＋12＝0为一元二次方程，可以利用根与系数的关系求出函数f (x )的解析式，这是问题的突破口．[解析] (1)将x 1＝3，x 2＝4分别代入方程x 2ax ＋b－x ＋12＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧93a ＋b＝－9，164a ＋b ＝－8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2.所以f (x )＝x 22－x (x ≠2)．(2)不等式即为x 22－x ＜k ＋x －k2－x，可化为x 2－k ＋x ＋k2－x＜0，即(x －2)(x －1)(x －k )＞0.①当1＜k ＜2，解集为x ∈(1，k )∪(2，＋∞)；②当k ＝2时，不等式为(x －2)2(x －1)＞0，解集为x ∈(1,2)∪(2，＋∞)； ③当k ＞2时，解集为x ∈(1,2)∪(k ，＋∞)．4.命题方向：恒成立问题[例4] (2011·青岛模拟)函数f (x )＝x 2＋ax ＋3. (1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．[分析] (1)f (x )≥a 可化为x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，即解集为R ，应满足开口向上，Δ≤0. (2)结合二次函数的有关知识，讨论Δ，对称轴，端点值列出不等式组进行求解． [解析] (1)∵x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分如下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图像恒在x 轴上方时，满足条件时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图(2)，g (x )的图像与x 轴有交点，但在x ∈[－2，＋∞]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x ＝－a2＜－2，g －，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a－a2＜－24－2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6a ＞4a ≤73③如图(3)，g (x )的图像与x 轴有交点， 但在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0x ＝－a2＞2，g，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－－a－a2＞24＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－6a ＜－4a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.[点评] (1)ax 2＋bx ＋c ≥0的解集为R.即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0b ＝0c ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0Δ≤0(2)ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R.即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0c ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0Δ≤0(3)ax 2＋bx ＋c ≥0在(m ，n )上恒成立或ax 2＋bx ＋c ＝0在(m ，n )有根，应画出相应二次函数的图像．从Δ，对称轴，端点值三方面去限制，列出相应的不等式组． 跟踪练习4已知f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围． [解析] 解法1：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图像的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，结合图像知，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a ，恒成立，只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a 解得－3≤a ＜－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2，由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围为－3≤a ≤1.解法2：由已知得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0a ＜－1f －（五）思想方法点拨1．解不等式的核心问题是不等式的同解变形，是将复杂的、生疏的不等式问题转化为简单的、熟悉的不等式问题．不等式的性质则是不等式变形的理论依据，方程的根、函数的性质和图像都与不等式的解法密切相关，要善于把它们有机地联系起来，互相转化． 2．一元二次不等式的解法技巧 (1)关于一元二次不等式的求解，主要是研究当x 2的系数为正值的一种情形(当x 2的系数为负值时，可先化成正值来解决)．对于一元二次不等式的解集，有的学生因为理解不够而死记硬背，常常将对应的二次不等式应该是空集还是实数集混淆，要解决这个问题，最好的办法就是将二次不等式与对应的二次方程、二次函数的图像真正联系起来，时时注意数形结合，这样就不会出现那样的错误了，要注意真正理解不等式解的含义．(2)对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不要忽视对其中的参数恰当地分类讨论，尤其是涉及形式上看似二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参变量时，往往需要针对这个系数是否为零进行分类讨论，并且如果对应的二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参变量时，还要再次针对这两根的大小进行分类讨论．3．一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)的解法是不等式的基础，因为很多不等式的求解最终都是转化为一元一次不等式(组)和一元二次不等式(组)进行的． 4．三个“二次”的关系A ．(－2,1)B ．(0,3)C ．(－1,2)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) [答案] B[解析] ∵f (x －1)>0， ∴由图知－1<x －1<2， ∴0<x <3.(理)(08·天津)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1 x <0x －1 x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是( )A ．{x |－1≤x ≤2－1}B ．{x |x ≤1}C ．{x |x ≤2－1}D ．{x |－2－1≤x ≤2－1} [答案] C[解析] 不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1等价于(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0x ＋x ＋－x ＋＋1]≤1或(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0x ＋x ＋x ＋－1]≤1，解不等式组(1)得x <－1； 解不等式组(2)得－1≤x ≤2－1.因此原不等式的解集是{x |x ≤2－1}，选C.5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1x <2log 3x 2－x ≥2，则不等式f (x )>2的解集为( )A ．(1,2)∪(3，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(1,2)∪(10，＋∞)D ．(1,2) [答案] C[解析] 解法1：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1xlog 3x 2－x，∴不等式f (x )>2可化为①⎩⎪⎨⎪⎧x <22e x －1>2或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2log 3x 2－.解①得1<x <2，解②得x >10，综上，不等式f (x )>2的解集为(1,2)∪(10，＋∞)． 解法2：利用特殊值法． ∴f (x )当x ≥2时单调递增，∴当x ∈(10，＋∞)时满足f (x )>2，据此排除A 、D ，9．若log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，则a 的取值范围是________． [答案] 12<a <1[解析] ∵a 2＋1>2a ，log a (a 2＋1)<log a (2a )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0<a <12a >1，∴12<a <1.10．函数f (x )是定义在R 上的减函数，A (3，－1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1是其图像上两点，那么|f (2x－1)|<1的解集为________． [答案] (－1,2)[解析] 不等式|f (2x－1)|<1可化为 －1<f (2x－1)<1，∵f (3)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1， ∴f (3)<f (2x－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，∵f (x )在R 上单调减，∴3>2x－1>－12，解得－1<x <2.11．设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足|m |≤2的一切实数m 都成立，则x 的取值范围为____________． [分析] 问题可变成关于m 的一次不等式(x 2－1)m －(2x －1)＜0在m ∈[－2,2]上恒成立． [答案] (7－12，3＋12) [解析] 设f (m )＝(x 2－1)m －(2x －1)，则⎩⎪⎨⎪⎧f＝x 2－－x －＜0，f －＝－x 2－－x －＜0，.解得x ∈(7－12，3＋12)． [点评] 本题直接求解不好入手，而构造函数，利用函数的单调性解决问题，不失为一个好方法． 三、解答题12．若不等式(1－a )x 2－4x ＋6＞0的解集是{x |－3＜x ＜1}． (1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0； (2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R. [解析] (1)由题意知1－a ＜0且－3和1是方程 (1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根．∴⎩⎪⎨⎪⎧1－a ＜0，41－a＝－2，61－a ＝－3，解得a ＝3，∴不等式2x 2＋(2－a )x －a ＞0，即为2x 2－x －3＞0，解得x ＜－1或x ＞32.∴所求不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞32}．(2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0 若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.13．(1)解关于x 的不等式(lg x )2－lg x －2>0；(2)若不等式(lg x )2－(2＋m )lg x ＋m －1>0对于|m |≤1恒成立，求x 的取值范围． [解析] (1)∵(lg x )2－lg x －2>0， ∴(lg x ＋1)(lg x －2)>0， ∴lg x <－1或lg x >2， ∴0<x <110或x >100.∴不等式的解集为{x |0<x <110或x >100}．(2)设y ＝lg x ，则y 2－(2＋m )y ＋m －1>0， ∴y 2－2y －my ＋m －1>0， ∴(1－y )m ＋(y 2－2y －1)>0. 当y ＝1时，不等式不成立．设f (m )＝(1－y )m ＋(y 2－2y －1)，则f (m )是m 的一次函数，且一次函数为单调函数． 当－1≤m ≤1时，若要f (m )>0恒成立则⎩⎪⎨⎪⎧f f －，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 2－3y >0y 2－y －2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧y <0或y >3y <－1或y >2，∴y <－1或y >3， ∴lg x <－1或lg x >3. ∴0<x <110或x >1000.∴x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(1000，＋∞)． 14．已知f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在区间[0,1]上是增函数，在区间(－∞，0)，(1，＋∞)上是减函数．又f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝32.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[0，m ](m >0)上恒有f (x )≤x 成立，求m 的取值范围． [解析] (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，3a ＋2b ＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝0，b ＝－32a .∴f ′(x )＝3ax 2－3ax ，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3a 4－3a 2＝32，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2x 3＋3x 2.(2)令f (x )≤x ，即－2x 3＋3x 2－x ≤0， ∴x (2x －1)(x －1)≥0，∴0≤x ≤12或x ≥1.又f (x )≤x 在区间[0，m ]上恒成立， ∴0<m ≤12.15．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x (百台)，其总成本为G (x )(万元)，其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)；销售收入R (x )(万元)满足：R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋4.2x －0≤xx ，假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律． (1)要使工厂有赢利，产量x 应控制在什么范围内？ (2)工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？ [解析] 依题意，G (x )＝x ＋2 设利润函数为f (x )，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.4x 2＋3.2x －x ，8.2－x x(1)要使工厂有赢利，即解不等式f (x )>0， 当0≤x ≤5时，解不等式－0.4x 2＋3.2x －2.8>02．(2010·福建文)若x ，y ∈R ，且⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －2y ＋3≥0，y ≥x ，不等式组表示的可行域如图所示： 画出l 0：x ＋2y ＝0平行移动l 0到l 的位置，当l 通过M 时，z 能取到最小值． 此时M (1,1)，即z min ＝3.3．若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋kx ＋my －4＝0组⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＋1≥0kx －my ≤0表示的平面区域的面积是(5．(2010·陕西理)铁矿石A和B的含铁率为表：a b(万吨)A50% 1B70% 0.5可见可行域中的点A (1,2)到原点距离最小为[点评] 考查线性规划的基本知识和转化的思想，关键是形式联想，由7．画出下列不等式或不等式组表示的平面区域：(1)3x ＋2y ＋6>0；(2)⎩⎪⎨⎪⎧x <32y ≥x 3x ＋2y ≥6（四）典型例题1.命题方向：二元一次不等式表示的区域[例1] 若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥02x ＋y ≤2y ≥0x ＋y ≤aA ．a ≥4B ．0<a ≤1 C[答案] D 跟踪练习1设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，[分析] 画出可行域，根据图形判断其可行域是什么图形，再根据相应的公式求解．[答案] 9故选C.[点评] 1.求目标函数的最值，必须先准确地作出线性可行域再作出目标函数对应的直线，点，进而求出目标函数的最值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －my ＋1＝02x －y －3＝0得A ⎝⎛3m ＋12m －1，52m －平移y ＝－x ，当其经过点A 时，x ＋解得m ＝1.3.命题方向：简单线性规划的实际应用[例3] 制订投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目. 根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利分别为投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过才能使可能的盈利最大？[解析] 设投资人分别用x 万元、y 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤10，0.3x ＋0.1y ≤1.8x ≥0，y ≥0.目标函数z ＝x ＋0.5y .上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分作直线l 0：x ＋0.5y ＝0，并作平行于直线过可行域上的M 点，且与直线x ＋解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝10，0.3x ＋0.1y ＝1.8.此时z ＝1×4＋0.5×6＝7(万元∵7>0 ∴当x ＝4，y ＝6时z 取得最大值．答：投资人用4万元投资甲项目，跟踪练习3由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝03x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)(1)由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z3求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z3∴z max ＝4×5－3×2＝14. (2)∵z ＝y x ＝y －0x －0.∴z 的值即是可行域中的点与原点观察图形可知z min ＝k OB ＝25.(3)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点d ＝|OC |＝2，d ＝|OB |＝x －a 2＋y －b2表示点(x ，y )与点(a ，b )的距离．(2)y x表示点(x ，y )与原点(0,0)连线的斜率；y －bx －a表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率． 这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键． 跟踪练习4：设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x －y ≤2，0≤y ≤3，则z ＝y ＋3x ＋3的取值范围是____________． [分析] 此题考点为线性规划的可行域、直线的斜率．解题关键是懂得将求z 的取值范围转化为求可行域内的点(x ，y )与点(－3，－3)连线的斜率的取值范围．[解析] 画出可行域如图，z 表示可行域内的点(x ，y )与点E (－3，－3)连线的斜率，则由图像可知，连线过点C 时斜率最小，过点B 时斜率最大．k BC ＝0＋32＋3＝35，k EB ＝3＋3－1＋3＝3， 所以z 的取值范围是[35，3]．[答案] [35，3][点评] 此类题可以归类为求y －ax －b的取值范围，即求点(b ，a )(注：点(b ，a )在可行域外)与可行域内的点(x ，y )的连线的斜率．（五）思想方法点拨：1．用二元一次不等式表示平面区域，是简单线性规划问题的基础．2．直线把平面分成的每一个区域内所有点的坐标各同时满足一个不等式，确定不等式Ax ＋By ＋C ＞0(＜0，≤0，≥0)表示直线Ax ＋By ＋C ＝0的哪一侧区域，常用下列的方法确定：先由等式定直线，然后在直线的某一侧任取(x 0，y 0)，把它的坐标代入Ax ＋By ＋C ＞0，若不等式成立，则和(x 0，y 0)同侧的点都满足不等式，从而平面区域被找到，否则，直线的另一区域为不等式Ax ＋By ＋C ＞0所表示的区域．3．在线性约束条件下，当b ＞0时，求目标函数z ＝ax ＋by ＋c 的最小值或最大值的求解程序为： (1)作出可行域；的直线，在可行域内平移，当移至A (6,0)时，x ＋满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x －5y ＋10≤0x ＋y －8≤0，则目标函数11 C ．11，－3 D 平移至可行域上的点(3,5)时，若使目标函数Z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，A.14B.35 C ．4 D.53 [答案] B[解析] 目标函数Z ＝ax ＋y (a >0)取得最大值的最优解有无穷多个，则l 应与AC 重合， 即－a ＝K AC ＝225－21－5＝－35，∴a ＝35.4．(2008·山东)设二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0，所表示的平面区域为M ，使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像过区域M 的a 的取值范围是( )A ．[1,3]B ．[2，10]C ．[2,9]D ．[10，9] [答案] C[解析] 由二元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －19≥0x －y ＋8≥02x ＋y －14≤0得所表示的平面区域M 为图中阴影部分．交点为A (1,9)，B (3,8)，C (2,10)．∴使函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图像过区域M 的a 的取值范围为[2,9]．故选C.5．在平面直角坐标系xOy 中，已知平面区域A ＝{(x ，y )x ＋y ≤1，且x ≥0，y ≥0}，则平面区域B ＝{ (x ＋y ，x －y )(x ，y )∈A }的面积为( )A ．2B ．1 C.12 D.14[答案] B[解析] 记x ＋y ＝m ，在如图所示的三角形ABC区域内(含边界)运动时，目标函数( )B．[－1,1]D．(－1,1)kx＋z，结合图形，要使直线的截距z最大的一个最优解为1,1]．，如果目标函数z＝x－y的最小值为－1，则实数4 D．3二、填空题9．已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是____________． [答案] (－7,24)[解析] ∵点(－3，－1)，和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧， ∴(－9＋2－a )(12＋12－a )＜0. ∴(a ＋7)(a －24)＜0.∴－7＜a ＜24.10．设D 是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤102x ＋y ≥30≤x ≤4y ≥1所表示的平面区域，则区域D 中的点P (x ，y )到直线x ＋y ＝10的距离的最大值是____________．[答案] 4 2[解析] 画出不等式组所表示的平面区域D 如图中阴影部分所示(包括边界)，显然直线y ＝1与2x ＋y ＝3的交点(1,1)到直线x ＋y ＝10的距离最大，根据点到直线的距离公式可以求得最大值为4 2.11．(2011·淮南一中月考)在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥02x ＋y －4≤0f x ，y所表示的平面区域的面积是72，请写出满足条件的一个不等式f (x ，y )≤0：____________.[答案] 2x －7y ≤0[解析] 如图所示，先画出不等式组中已给出的三个不等式所表示的平面区域，它是一个直角三角形(包括边界)，其面积为4.再过原点作一条直线l ：kx －y ＝0(k ＞0)，l 与直线2x ＋y －4＝0的交点P 的横坐标为4k ＋2，由12×4×4k ＋2＝72得k ＝27，所以满足条件的一个不等式为27x －y ≤0，即2x －7y ≤0. 三、解答题的值最小，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时，目标函数z ＝2y －2x 最大，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝2得A 的坐标经过可行域上的点B 时，截距最小，即z ＝2×1－2×1＋4＝4.的取值范围是多少？2,0]为减函数，在[0,4]上为增函数．b )<1， ，可行域如图阴影部分．而b ＋3a ＋3可看作表示的平面区域如图所示．图中阴影部分即为可行域．，9，2取最小值，单位晚餐时最好．。

高三数学二轮复习重点高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

10不等式、推理与证明考纲原文（十三）不等式1．不等关系认识现实世界和平常生活中的不等关系，认识不等式（组）的本质背景.2．一元二次不等式（ 1）会从本质情境中抽象出一元二次不等式模型.（ 2）经过函数图像认识一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.（ 3 ）会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.3．二元一次不等式组与简单线性规划问题（ 1 ）会从本质情境中抽象出二元一次不等式组.（ 2 ）认识二元一次不等式的几何意义，能用平面地域表示二元一次不等式组.（ 3 ）会从本质情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.4．基本不等式：（1）认识基本不等式的证明过程 .（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（十八）推理与证明1．合情推理与演绎推理（ 1 ）认识合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，认识合情推理在数学发现中的作用. （ 2 ）认识演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.（3）认识合情推理和演绎推理之间的联系和差异.2．直接证明与间接证明（ 1）认识直接证明的两种基本方法——解析法和综合法；认识解析法和综合法的思虑过程、特点.（ 2）认识间接证明的一种基本方法——反证法；认识反证法的思虑过程、特点.3．数学归纳法认识数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.这部分内容与2018 考纲对照没有什么变化，主要以客观题的形式出现，命题方向以下:不等式的命题方向为：（1）选择题、填空题中以简单的线性规划、不等式的性质为主，有时也与其他知识相交汇，试题难度中等；（ 2）解答题中平常以其他知识为主，结合不等式的相关知识或相关不等式问题的证明等，试题难度中等偏上.推理与证明的命题方向为：（ 1）选择题或填空题中常将相关归纳方法的应用与其他知识相交汇，有时以数学文化为背景，试题难度中等；（ 2）解答题中平常以其他知识为主，经过推理与证明来解决相关问题，注意反证法的应用，试题难度中等或中等偏上.考向一解不等式样题 1 （ 2018 新课标全国Ⅲ理科）设 a log 0.3 ， b log 2 0.3 ，则A．B．C．D．【答案】 B【解析】∵ a log 0.3 ， b log 2，，，, 即，又，，即，应选 B.考向二一元二次不等式的解法样题 2（2018新课标全国Ⅰ理科）已知会集，则e R AA．B．C．D．【答案】 B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，应选 B．样题 3若不等式的解集为, 则不等式的解集为A．或B．C．D．或【答案】 B考向三目标函数的最值问题样题4（2018新课标I理科）若x，y满足拘束条件，则z 3x 2 y 的最大值为_____________ ．【答案】 6【解析】依照题中所给的拘束条件，画出其对应的可行域，以下列图：由 z 3x 2 y 可得，画出直线y3 x ，将其上下搬动，结合z 的几何意义，可知2 2当直线过点 B 时， z 获取最大值，由，解得 B 2,0 ，此时，故答案为 6.【名师点睛】该题观察的是相关线性规划的问题，在求解的过程中，第一需要正确画出拘束条件对应的可行域，此后依照目标函数的形式，判断z 的几何意义，此后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，依照不同样的形式，应用相应的方法求解.样题 5 已知 x, y 满足，则的取值范围是A．121,81 B．121,732 2C．65,73 D．65,81【答案】 A【解析】作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，目标函数表示点 P 3, 4与可行域内点的距离的平方，点P到直线x y 4 的距离：，点 P 到坐标原点的距离加上半径：，则目标函数的取值范围是121 ,81 . 应选 A．2考向四利用线性规划解决实责问题样题 6某颜料公司生产两种产品，其中生产每吨产品，需要甲染料 1 吨，乙染料 4 吨，丙染料 2 吨，生产每吨产品，需要甲染料 1 吨，乙染料0 吨，丙染料 5 吨，且该公司一天之内甲、乙、丙三种染料的用量分别不高出50 吨、 160 吨和 200 吨，若是产品的利润为300 元 / 吨，产品的利润为200 元 / 吨，则该颜料公司一天之内可获取的最大利润为A．14000 元B． 16000 元C．16000 元D． 20000 元【答案】 A【解析】依题意，将题中数据统计以下表所示：设该公司一天内安排生产产品吨、产品吨，所获利润为元，依照题意得目标函数为，拘束条件为, 欲求目标函数的最大值，先画出拘束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示，则点，，，，作直线，当搬动该直线过点时，获取最大值，则也获取最大值（也可经过代入凸多边形端点进行计算，比较大小求得）.故.所以工厂每天生产产品 40 吨，产品10吨时，才可获取最大利润，为14000 元 . 选 A．考向五推理样题 7 （ 2017 新课标全国Ⅱ理科）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师咨询成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀， 2 位优秀，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．依照以上信息，则A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩【答案】 D考向六数学归纳法样题 8设数列{a n}的前n项和为S n，且方程x2－ a n x－ a n=0有一根为 S n－1( n∈N*)．（1）求a1，a2；（2）猜想数列 { S n} 的通项公式，并给出证明．【解析】（ 1）当n=1 时，方程x2－ a1x－ a1=0有一根为 S1－1=a1－1，2 1∴( a1－ 1) －a1( a1 －1) － a1=0，解得 a1=2.当n=2时，方程 x2－ a2x－a2=0有一根为 S2－1=a1+a2－1=a2－1，2∴ a2－ 1 2－2 a2－1 － 2 ，解得 212 a 2 a =0 a =6.下面用数学归纳法证明这个结论．①当 n =1 时，结论成立．*k②假设 n =k ( k ∈ N ， k ≥1) 时结论成立，即 S k =k ＋ 1，1 1k ＋ 1 k 1 .当 n = k +1 时， S =2－ S k =k =k ＋ 2=(k 1) 1k+12－k ＋ 1即当 n =k +1 时结论成立．n由①②知 S n =n ＋ 1对任意的正整数 n 都成立．。

一、选择题1．命题“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为()A．若x≠1，则x≠1或x≠－1B．若x＝1，则x＝1或x＝－1C．若x≠1，则x≠1且x≠－1D．若x＝1，则x＝1且x＝－1解析：选C.命题：“若x2＝1，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2≠1”，即“若x≠1，则x≠1且x≠－1”．2．(2019·蓉城名校第一次联考)设复数z＝x＋y i(x，y∈R)满足z＝3＋2i2＋i5，则y＋2x＋1的值为()A.32 B.23C．1 D.13解析：选A.z＝3＋2i2＋i5＝1＋i＝x＋y i⇒x＝1，y＝1，所以y＋2x＋1＝32.故选A. 3．(一题多解)(2019·唐山市摸底考试)设z＝i（1－2i）2－i，则|z|＝()A. 5 B．2C.415D．1解析：选D.通解：因为z＝i（1－2i）2－i＝2＋i2－i＝（2＋i）25＝35＋45i，所以|z|＝⎝⎛⎭⎪⎫352＋⎝⎛⎭⎪⎫452＝1，故选D.优解：|z |＝|i （1－2i ）2－i |＝|i （1－2i ）||2－i|＝|i||1－2i|5＝55＝1，故选D. 4．(2019·郑州市第二次质量预测)已知全集U ＝R ，A ＝{x |y ＝ln(1－x 2)}，B ＝{y |y ＝4x －2}，则A ∩(∁U B )＝( )A ．(－1，0)B ．[0，1)C ．(0，1)D ．(－1，0]解析：选D.A ＝{x |1－x 2>0}＝(－1，1)，B ＝{y |y >0}，所以∁U B ＝{y |y ≤0}，所以A ∩(∁U B )＝(－1，0]，故选D.5．(2019·重庆市学业质量调研)已知p ：(2－x )(x ＋1)>0；q ：0≤x ≤1，则p 成立是q 成立的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.若p 成立，则x 满足－1<x <2，则p 成立是q 成立的必要不充分条件，故选A.6．已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为(1，－1)，(3，1)，则z 2z 1等于( ) A ．1－2iB ．1＋2i C.15－25i D.32－12i解析：选B.因为z 1＝1－i ，z 2＝3＋i ，所以z 2z 1＝3＋i 1－i＝1＋2i. 7．设i 为虚数单位，若复数z ＝a 1－2i＋|i|(a ∈R )的实部与虚部互为相反数，则a ＝( )A ．－5B ．－53C ．－1D ．－13 解析：选 B.z ＝a 1－2i ＋|i|＝a （1＋2i ）（1－2i ）（1＋2i ）＋1＝a 5＋1＋2a 5i ，因为a 5＋1＝－2a 5，所以a ＝－53.8．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，则如图所示的阴影部分表示的集合是( )A ．(－2，1)B ．[－1，0]∪[1，2)C ．(－2，－1)∪[0，1]D ．[0，1]解析：选C.因为集合A ＝{x |x (x ＋2)＜0}，B ＝{x ||x |≤1}，所以A ＝{x |－2＜x ＜0}，B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∪B ＝(－2，1]，A ∩B ＝[－1，0)，所以阴影部分表示的集合为∁A ∪B (A ∩B )＝(－2，－1)∪[0，1]，故选C.9．已知i 为虚数单位，若复数z 满足(1＋i)z ＝2－i ，则z 在复平面内的对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.z ＝2－i 1＋i ＝（2－i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝12－32i ， 则z ＝12＋32i ，即z 在复平面内的对应点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，位于第一象限．10．已知集合P＝{x|x2－2x－8＞0}，Q＝{x|x≥a}，P∪Q＝R，则a的取值范围是()A．(－2，＋∞) B．(4，＋∞)C．(－∞，－2] D．(－∞，4]解析：选C.集合P＝{x|x2－2x－8＞0}＝{x|x＜－2或x＞4}，Q＝{x|x≥a}，若P∪Q＝R，则a≤－2，即a的取值范围是(－∞，－2]，故选C.11．(2019·广东省七校联考)已知命题p：∃x∈R，x－1≥lg x，命题q：∀x∈(0，π)，sin x＋1sin x>2，则下列判断正确的是()A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题C．p∨(綈q)是假命题D．p∧(綈q)是真命题解析：选D.对于命题p，当x＝10时，x－1≥lg x成立，所以命题p是真命题；对于命题q，当x＝π2时，sin x＋1sin x>2不成立，所以命题q是假命题．根据复合命题真假的判断，可知p∧(綈q)是真命题，故选D.12．下列命题是真命题的是()A．∀x∈(2，＋∞)，x2>2xB．“x2＋5x－6>0”是“x>2”的充分不必要条件C．设{a n}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{a n}为递增数列”的既不充分也不必要条件D．a⊥b的充要条件是a·b＝0解析：选C.当a1<0，q>1时，数列{a n}递减；当a1<0，数列{a n}递增时，0<q<1.A 选项当x＝4时，x2与2x显然相等．B选项由x2＋5x－6>0得{x|x>1或x<－6}，{x|x>2}⊆{x|x>1或x<－6}，故“x2＋5x－6>0”是“x>2”的必要不充分条件，D选项，当a ＝0或b ＝0时，a ·b ＝0但不垂直．二、填空题13．已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析：因为B ＝{a ，a 2＋3}，A ∩B ＝{1}，所以a ＝1或a 2＋3＝1，因为a ∈R ，所以a ＝1.经检验，满足题意．答案：114．若z 1＝3－2i ，z 2＝1＋a i(a ∈R )，z 1·z 2为实数，则a 等于________． 解析：由z 1＝3－2i ，z 2＝1＋a i(a ∈R )，则z 1·z 2＝(3－2i)(1＋a i)＝3＋3a i －2i －2a i 2＝(3＋2a )＋(3a －2)i.因为z 1·z 2为实数，所以3a －2＝0，解得a ＝23.答案：2315．命题p ：“∀x ∈R ，ax 2－2ax ＋3>0恒成立”，命题q ：“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”，若p ∨q 为假命题，则实数a 的取值范围是________．解析：因为p ∨q 为假命题，所以命题p 和q 都是假命题，命题p 是真命题的充要条件是a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4a 2－12a <0⇒0≤a <3，所以其为假的充要条件是a <0或a ≥3，命题q 的否定是真命题，即对∀x ∈R ，x 2＋(a －1)x ＋1≥0，所以Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3，所以－1≤a <0或a ＝3.答案：－1≤a<0或a＝316．已知命题：“∀x∈[1，2]，x2＋2x＋a<0”为假命题，则实数a的取值范围为________．解析：原命题等价于“∃x∈[1，2]，使x2＋2x＋a≥0”．即“∃x∈[1，2]，使a≥－x2－2x”为真命题，设f(x)＝－x2－2x，x∈[1，2]，f(x)min＝f(2)＝－8.所以a≥－8.答案：a≥－8。

1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．[解析] 由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2．[答案] 22．(2019·江苏省六市高三调研)函数f (x )＝lg （5－x 2）的定义域是________．[解析] 由题意得⎩⎨⎧lg （5－x 2）≥0，5－x 2＞0，解得－2≤x ≤2，所以所求函数的定义域为[－2，2]．[答案] [－2，2]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________．[解析] 因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数， 所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13．又f (－x )＝f (x )， 所以b ＝0，所以a ＋b ＝13． [答案] 134．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________． [解析] 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1．①将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1．② ①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1． [答案] x ＋15．(2019·江苏省高考名校联考信息(八))已知a ∈R ，函数f (x )＝a －24x ＋1的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13，则关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0的解集为______．[解析] 因为函数f (x )＝a －24x ＋1的图象经过点A (12，13)，所以f (12)＝a －23＝13，解得a ＝1，所以f (x )＝1－24x ＋1＝4x－14x ＋1，易知函数f (x )是R 上的增函数．又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，所以关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0可转化为f (x 2＋x )<f (8－x )，所以x 2＋x <8－x ，即x 2＋2x －8<0，解得－4<x <2．[答案] －4<x <26．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＝12f (x ＋2)，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝x 2＋1，则log 2 f (8)＝______．[解析] 由题意得f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (8)＝2f (6)＝4f (4)＝8f (2)＝16f (0)＝16，所以log 2f (8)＝log 216＝4．[答案] 47．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．[解析] 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2．因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6． [答案] 68．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎨⎧14x 2－x ＋2，x ＞0，2，x ≤0，则不等式f (－x 2－1)≤f (－x 2＋5x )的解集为________．[解析] 因为－x 2－1≤－1＜0，所以f (－x 2－1)＝2，当－x 2＋5x ≤0时，f (－x 2－1)＝f (－x 2＋5x )＝2，原不等式成立，此时，x ≥5或x ≤0；当－x 2＋5x ＞0时，则需f (－x 2＋5x )≥2，即14(－x 2＋5x )2－(－x 2＋5x )＋2≥2，－x 2＋5x ≥4，得1≤x ≤4．故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．[答案] (－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)9．(2019·江苏省高考名校联考(五))已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx (m ∈R )．若函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上单调递减，则实数m 的最小值为________．[解析] 当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m 22－m 24，所以当m ≤0时，函数y＝f (x )在区间(－2，1)上不可能单调递减，所以不满足条件；当m ＞0时，根据函数的图象可知，函数y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，m 2上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m 2≤－2，m2≥1，即m ≥4，所以实数m 的最小值为4．[答案] 410．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号)．[解析] 当x ∈[0，π4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除①，③．当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝22．因为22＜1＋5， 所以f (π2)＜f (π4)＝f (3π4)，从而排除④． [答案] ②11．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．[解] 由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得xax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1ax ＋b －1＝0， 解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ， 又因方程有唯一解，故1－ba ＝0， 解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f(x)＝2xx＋2．12．已知函数f(x)＝a x＋b(a>0，a≠1)．(1)若f(x)的图象如图(1)所示，求a，b的值；(2)若f(x)的图象如图(2)所示，求a、b的取值范围；(3)在(1)中，若|f(x)|＝m有且仅有一个实数解，求出m的范围．[解] (1)f(x)的图象过点(2，0)，(0，－2)，所以a2＋b＝0，a0＋b＝－2，解得a＝3，b＝－3．(2)由题图(2)知，f(x)单调递减，所以0<a<1，又f(0)<0，即a0＋b<0，所以b<－1．(3)画出y＝|f(x)|的草图，如图所示，知当m＝0或m≥3时，|f(x)|＝m有且仅有一个实数解．13．已知函数f(x)＝e x－e－x(x∈R且e为自然对数的底数)．(1)判断函数f(x)的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式f(x－t)＋f(x2－t2)≥0对一切x∈R都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝e x －e －x ，且y ＝e x 是增函数， y ＝－e －x 是增函数，所以f (x )是增函数． 由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数且是奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立，f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立，x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立，t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R 恒成立，t 2＋t ≤(x 2＋x )min 对一切x ∈R 恒成立，即t 2＋t ≤－14，(2t ＋1)2≤0，所以t ＝－12．即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． 14．(2019·扬州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )． (1)求f (2 016)的值；(2)求证：函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(3)若f (x )在区间[0，2]上是增函数，试比较f (－25)，f (11)，f (80)的大小． [解] (1)因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －4)＝－{－f [(x －4)－4]} ＝f (x －8)，知函数f (x )的周期为T ＝8． 所以f (2 016)＝f (252×8)＝f (0)． 又f (x )为定义在R 上的奇函数． 所以f (0)＝0，故f (2 016)＝0．(2)证明：因为f(x)＝－f(x－4)，所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，即f(2＋x)＝f(2－x)成立．故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2，2]上为增函数，则有f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．。

专题升级训练2 平面向量、复数、框图及合情推理 ( 时间： 一、选择题 ( 本大题共 6 小题，每题 1．(2020 ·安徽合肥六中最后一卷，理 则实数 a 的值是 ( ) ．60 分钟 满分： 100 分 )6 分，共 36 分)1) 设 i 为虚数单位，复数z ＝ ( a ＋ i)(3 －4i)∈R ，4433 A. 3B ．－ 3C ．－ 4D. 42．阅读下边的程序框图，若输出s 的值为－7，则判断框内可填写 ()．A ．i <3?B ． i <4?C ．i <5?3．阅读下列图所示的程序框图，运转相应的程序，输出的D ．i <6?s 值等于 ( )．A ．－ 3B ．－ 10C ．0D ．8 4．已知向量 a ＝ (1 ，2) ，a ·b ＝ 5， |a －b| ＝ 2 5，则 |b| ＝ ( )．A. 5B ．2 5C ．5D ．255．如下图的三角形数阵叫“莱布尼兹调解三角形”，它们是由整数的倒数构成的，第1 1 1 1n 行有 n 个数且两头的数均为 n ( n ≥2) ，其他每个数是它下一行左右相邻两数的和， 如1＝ 2＋ 2，1 1 1 1 1 1 2＝ 3＋ 6，3＝ 4＋ 12， ，则第 7 行第 4 个数 ( 从左往右数 ) 为( ) ．1 1 1 1A.B.C.D.14010560426．已知两点 A (1， 0)，B (1 ， 3) ， O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠ AOC ＝ 5π6，uuur uuur uuurOC 2OA OB (λ∈R)，则λ＝( ) ．1 1A．－2 B. 2 C．－ 1 D．1二、填空题 ( 本大题共 3 小题，每题 6 分，共 18分)7．两点平分单位圆时，相关系为sin α＋si n(π＋α)＝0；三点平分单位圆时，相关2π4π系为 sin α＋ sin α＋＋ sin α＋＝ 0. 由此能够推知：四点平分单位圆时的相应正3 3确关系为 ______.8．已知向量 a，b 知足 |b| ＝2，a＝ (6 ，－ 8) ，a 在 b 方向上的投影是－ 5，则 a 与 b 的夹角为 _________________.9．(2020 ·安徽江南十校联考，文14) 如图搁置的正方形ABCD，AB＝1. A，D分别在 x 轴、uuur uuury 轴的正半轴(含原点)上滑动，则OC OB的最大值是___________.三、解答题 ( 本大题共 3 小题，共 46 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤 )1 1 1 110． ( 本小题满分15 分 ) 已知函数x3 x 3 x3 x 3f x ,g x .5 5(1)证明 f ( x)是奇函数；(2) 分别计算 f (4)－5f (2) g(2)，f (9)－5f (3) g(3)的值，由此归纳出波及函数 f ( x)和对全部不等于0 的实数x都建立的一个等式，并证明．11． ( 本小题满分15 分 ) 已知向量a＝ (cosθ，sinθ)，θ∈[0，π]，向量b＝ ( g( x) 3，－1) ．(1)若 a⊥b，求θ的值；(2)若 |2a －b|< m恒建立，务实数m的取值范围．12． ( 本小题满分16 分 ) 已知向量 a＝ (cosθ，sinθ)和b＝(2－ sinθ，cosθ )，11π17πθ∈12 ，12.(1)求 |a ＋ b| 的最大值；4 10(2) 若 |a ＋ b| ＝ 5 ，求sin 2 θ 的值．参照答案一、选择题 1．D 分析： z ＝ ( a ＋ i)(3 ∴3－ 4a ＝ 0，－ 4i)＝ (3 a ＋ 4) ＋ (3 － 4a )i∈ R ， 3即 a ＝ 4，应选 D.2．D 分析： i ＝ 1， s ＝ 2 ； s ＝2－ 1＝ 1， i ＝ 1＋ 2＝ 3； s ＝1－ 3＝－ 2， i ＝ 3＋ 2＝ 5； s ＝－ 2－ 5＝－ 7， i ＝5＋ 2＝ 7.因输出 s 的值为－ 7，循环停止，故判断框内应填“3．D224．C 分析：∵|a － b | ＝( a － b ) ＝ 2 0，i <6？”，应选D.22∴|a| ＋ |b| － 2a ·b ＝ 20. 又 a ＝ (1,2) ， a ·b ＝ 5， ∴ (*) 式可化为 5＋ | b | 2 －10＝ 20，∴|b | 2＝ 25，∴|b | ＝5.115．A 分析：由“第 n 行有 n 个数且两头的数均为 n ( n ≥2) ”可知，第 7 行第 1 个数为 7，由“其他每个数是它下一行左右相邻两数的和”可知，第 1 1 17行第 2个数为 － ＝，同理，6 74211 1 1 1 1第 7 行第 3 个数为 30－ 42＝ 105，第 7 行第 4 个数为 60－ 105＝ 140.6．B 分析：如下图：5π 3 1∠AOC ＝ 6 ，依据三角函数的定义，可设 C － 2 r ， 2r . uuur uur uuur 3 1∵ OC2OAOB ，∴ － 2 r ， 2r ＝ ( － 2,0) ＋ ( λ ， 3λ) ，3r ＝－ 2，－λ12∴解得 λ＝ 2.12r ＝ 3λ，二、填空题7． sin α＋ sinπ＋ sin( α＋π ) ＋ sin3π＝ 0α＋ 2 α＋ 2分析：由类比推理可知，四π3π 点平分单位圆时， α 与 α＋π 的终边互为反向延伸线，α＋ 2 与 α＋ 2 的终边互为反向延长线，如图．18．120° 分析：由题意得， | a | ·cos 〈 a ， b 〉＝－ 5，即 cos 〈 a ， b 〉＝－ 2，∴〈 a ， b 〉＝ 120°.9． 2 分析：设∠ BAx ＝ θ，则 B (sin θ ＋ cos θ， sinθ) ， C (cos θ ， sin θ＋ cosπθ),0 ≤ θ≤，2uuur uuur∴ OC OB ＝ (cos θ， sin θ ＋ cos θ) ·(sinθ＋cos θ ，sin θ)＝sin θ cos θ＋ cos 2θ＋ sin 2θ＋sin θcos θ＝ 1＋ sin 2 θ≤2.三、解答题10． (1) 证明： f ( x ) 的定义域为 ( －∞ ，0) ∪(0 ，＋∞ ) ，1(x) 3 (x)又 f ( － x ) ＝51113x 3x 3＝－ f ( x ) ，5故 f ( x ) 是奇函数．(2) 解：计算知 f (4) － 5f (2) g (2) ＝ 0，f (9) － 5f (3) g (3) ＝ 0，于是猜想 f ( x 2) －5f ( x ) g ( x ) ＝ 0( x ∈R 且 x ≠0) ．22x 3 x证明： f ( x ) －5f ( x ) g ( x ) ＝52 13x 3 x551 1 13x 3 x 3 ＝ 0. 511．解： (1) ∵ a ⊥ b ，∴ 3cos θ－ sinθ ＝ 0，得 tan θ＝3.又 θ ∈[0 ，π ] ，∴ θ＝ π. 3(2) ∵2a － b ＝(2cos θ－ 3，2sin θ＋ 1) ，∴|2 a － b | 2＝ (2cos θ－3) 2＋ (2sinθ ＋ 1) 2＝ 8＋ 8 1sin θ－ cos θ ＝ 8＋ 8sin θ－ π.2233又 θ ∈[0 ，π ] ，∴ θ－ π － π 2π .3 ∈ 3 ，3 π 3 ∴ s in θ － 3 ∈ － 2 ， 1 .∴ |2 a － b | 2 的最大值为 16. ∴|2 a － b | 的最大值为 4. 又|2 a － b |< m 恒建立，∴ m >4.12．解： (1) a ＋ b ＝ (cos θ－ sin θ＋ 2， cos θ ＋ sin θ) ， | ＋| ＝ (cosθ －sinθ ＋ 2) 2 ＋(cosθ ＋sinθ ) 2ab4＋ 2 2(cos θ－ sin θ ) ＝4＋ 4cosπ＝ θ＋ 4＝21＋cos θ＋π . 411π 17π7π π 5π ∵θ∈ 12，12 ，∴ 6 ≤θ ＋ 4 ≤ 3 ， 3 ≤cos θ ＋ π 1 max∴－ 2 4 ≤ 2. ∴|a ＋ b | ＝ 6.(2) 由已知 | a ＋ b | ＝ 4 10 ＋ π 35 ，得 cos θ 4 ＝ 5 ，sin 2 θ＝－ cos 2 θ＋ π4＝ 1－ 2cos 2θ＋π ＝ 1－2× 9 ＝ 7 .42525。

2020年高考理科数学二轮专题复习二：不等式、逻辑复数与框图（附解析）1．学会因式分解，解一元二次不等式； 2．掌握绝对值不等式的解法； 3．掌握绝对值三角不等式的解法；4．深刻理解命题的基本形式与真假判断，掌握全称量词与特称命题； 5．掌握逻辑连接词“且”或“非”；6．掌握复数的混合运算，学会求复数的模以及判断复数所在象限； 7．根据条件学会求程序框图的结果．1．不等式的基本性质（1）a b b a >⇔<（对称性） （2）a b >，b c a c >⇒>（传递a ） （3）a b a c b c >⇒+>+（加法单调性）（4）a b >，c d a c b d >⇒+>+（同向不等式相加） （5）a b >，c d a c b d <⇒->-（异向不等式相减） （6）a b >，0c ac bc >⇒>（7）a b >，0c ac bc <⇒<（乘法单调性）（8）0a b >>，0c d ac bd >>⇒>（同向不等式相乘） （9）0a b >>，0a bc d c d<<⇒>（同向不等式相除） （10）a b >，110ab a b>⇒<（倒数关系） （11）0(n n a b a b n Z >>⇒>∈，且1)n >（乘方法则） （12）0a b n Z >>⇒>∈，且1)n >（开方法则）（13）0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<2．不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解． 特例①一元一次不等式ax b >ax b >解的讨论； ②一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()f x f xg x g x >⇔>；()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩． （3）指数不等式：转化为代数不等式()()(1)()()f x g x a a a f x g x >>⇔>；()()(01)()()f x g x a a a f x g x ><<⇔< ()(0,0)()lg lg f x a b a b f x a b >>>⇔⋅>3．复数1．形如(,)a bi a b +∈R 的数叫做复数，复数通常用字母z 表示．全体复数构成的集合叫做复数集，一般用大写字母C 表示．其中a ，b 分别叫做复数a bi +的实部与虚部． 2．复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 如果,,,a b c d ∈R ，那么a bi c di a c +=+⇔=且b d =． 特别地，00a bi a +=⇔=，0b =．两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小． 3．复数的分类复数(,)a bi a b +∈R ，0b =时为实数；0b ≠时为虚数，0a =，0b ≠时为纯虚数，即复数（a bi +，,a b ∈R ）(0)(0)(0)b b a =⎧⎨≠=⎩实数虚数当时为纯虚数．4．复平面直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数复平面内的点．Z（a ，b ）5．共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 表示，即如果z a bi =+，那么(,)z a bi a b =-∈R ． (2)共轭复数的性质①z z z ∈⇔=R ；②非零复数z 是纯虚数0z z ⇔+=；③2z z a +=，2z z bi -=；④1212z z z z ±=±；1212z z z z ⋅=⋅；11222()(0)z zz z z =≠．(3)两个共轭复数的积两个共轭复数z ，z 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即22||||z z z z ⋅==．6．复数的模向量OZ uuu r的模r 叫做复数(,)z a bi a b =+∈R 的模(或长度)，记作||z 或||a bi +．由模的定义可知||||z a bi r =+==（显然0r ≥，r ∈R ）．当0b =时，复数a bi +表示实数a ，此时||r a ==． 7．复数的加法与减法两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)， 即()()()()(,,,)a bi c di a c b d i a b c d +±+=±+±∈R ． 8．复数的乘法 (1)复数的乘法法则复数乘法按多项式乘法法则进行，设1z a bi =+，2(,,,)z c di a b c d =+∈R ， 则它们的积12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=-++． (2)复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何123,,z z z C ∈， 有①1221z z z z ⋅=⋅ (交换律)； ②123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅(结合律)； ③1231213()z z z z z z z +=+(分配律)． 9．复数的除法复数除法的实质是分母实数化， 即22()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+2222(,,,,0)ac bd bc adi a b c d c di c d c d+-=+∈+≠++R ．4．程序框图程序框图（也叫流程图、算法框图）是由一些框图和带箭头的流线组成的，其中框图表示各种操作的类型，框图中的文字和符合表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序．流程图通常由输入、输出框、流程线、处理框、判断框、起止框等构成．1．关于x 的不等式13x x +-≥的解集是（ ）A ．(,1]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,1][2,)-∞-+∞UD ．[1,2]-2．在复平面上，复数241ii++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第四象限 3．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤B ．00x ∃>，使得00(1)1xx e +≤C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤，总有(1)1x x e +≤经典常规题（45分钟）4．执行下边的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x = 5．已知函数2()4f x x ax =-++，()11g x x x =++-． （1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．1．若关于x 的不等式23ax -<的解集为51{}33x x -<<，则a = ． 2．在复平面内，复数2(12)1ii i+++的共轭复数对应的点位于第 象限． 3．执行如图的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知a ∈R ，命题:[1,2]p x ∀∈，20x a -≥，命题:q x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是 ．高频易错题1．用数学归纳法证明11111271()24264n n -++++>∈*N L 成立，其初始值至少应取（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．102．设i 是虚数单位，复数12aii +-为纯虚数，则实数a 为（ ） A ．2 B ．2- C ．12-D ．123．已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件4．执行如图程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．若不等式2121222x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．精准预测题6．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则ab的值为 ． 7．已知a ∈R ，命题:[2,1]p x ∀∈--，20x a -≥，命题:q x ∃∈R ，22(2)0x ax a +--=． （1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．8．设函数()271f x x =-+． （1）求不等式()1f x x ≤-的解集；（2）若存在x 使不等式()f x ax ≤成立，求实数a 的取值范围．2020年高考理科数学二轮专题复习二：不等式、逻辑复数与框图（解析）1．学会因式分解，解一元二次不等式； 2．掌握绝对值不等式的解法； 3．掌握绝对值三角不等式的解法；4．深刻理解命题的基本形式与真假判断，掌握全称量词与特称命题； 5．掌握逻辑连接词“且”或“非”；6．掌握复数的混合运算，学会求复数的模以及判断复数所在象限； 7．根据条件学会求程序框图的结果．1．不等式的基本性质（1）a b b a >⇔<（对称性） （2）a b >，b c a c >⇒>（传递a ） （3）a b a c b c >⇒+>+（加法单调性）（4）a b >，c d a c b d >⇒+>+（同向不等式相加） （5）a b >，c d a c b d <⇒->-（异向不等式相减） （6）a b >，0c ac bc >⇒>（7）a b >，0c ac bc <⇒<（乘法单调性）（8）0a b >>，0c d ac bd >>⇒>（同向不等式相乘） （9）0a b >>，0a bc d c d<<⇒>（同向不等式相除） （10）a b >，110ab a b>⇒<（倒数关系） （11）0(n n a b a b n Z >>⇒>∈，且1)n >（乘方法则） （12）0a b n Z >>⇒>∈，且1)n >（开方法则）（13）0a b a b ->⇔>；0a b a b -=⇔=；0a b a b -<⇔<2．不等式的解法（1）整式不等式的解法（根轴法）．步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解． 特例①一元一次不等式ax b >ax b >解的讨论； ②一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>≠解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则()0()()0()f x f xg x g x >⇔>；()()0()0()0()f x g x f x g x g x ≥⎧≥⇔⎨≠⎩． （3）指数不等式：转化为代数不等式()()(1)()()f x g x a a a f x g x >>⇔>；()()(01)()()f x g x a a a f x g x ><<⇔< ()(0,0)()lg lg f x a b a b f x a b >>>⇔⋅>3．复数1．形如(,)a bi a b +∈R 的数叫做复数，复数通常用字母z 表示．全体复数构成的集合叫做复数集， 一般用大写字母C 表示．其中a ，b 分别叫做复数a bi +的实部与虚部． 2．复数相等如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等． 如果,,,a b c d ∈R ，那么a bi c di a c +=+⇔=且b d =． 特别地，00a bi a +=⇔=，0b =．两个实数可以比较大小，但对于两个复数，如果不全是实数，就只能说相等或不相等，不能比较大小． 3．复数的分类复数(,)a bi a b +∈R ，0b =时为实数；0b ≠时为虚数，0a =，0b ≠时为纯虚数，即复数（a bi +，,a b ∈R ）(0)(0)(0)b b a =⎧⎨≠=⎩实数虚数当时为纯虚数．4．复平面直角坐标系中，表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点表示实数，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 复数集和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数复平面内的点． 5．共轭复数（1）当两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做互为共轭复数．复数z 的共轭复数用z 表示，即如果z a bi =+，那么(,)z a bi a b =-∈R ．(2)共轭复数的性质 ①z z z ∈⇔=R ；②非零复数z 是纯虚数0z z ⇔+=；③2z z a +=，2z z bi -=；④1212z z z z ±=±；1212z z z z ⋅=⋅；11222()(0)z z z z z =≠． (3)两个共轭复数的积两个共轭复数z ，z 的积是一个实数，这个实数等于每一个复数的模的平方，即22||||z z z z ⋅==．6．复数的模向量OZ uuu r 的模r 叫做复数(,)z a bi a b =+∈R 的模(或长度)，记作||z 或||a bi +．由模的定义可知||||z a bi r =+==（显然0r ≥，r ∈R ）．当0b =时，复数a bi +表示实数a ，此时||r a ==．7．复数的加法与减法两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即()()()()(,,,)a bi c di a c b d i a b c d +±+=±+±∈R ．8．复数的乘法(1)复数的乘法法则复数乘法按多项式乘法法则进行，设1z a bi =+，2(,,,)z c di a b c d =+∈R ，则它们的积12()()()()z z a bi c di ac bd ad bc i ⋅=+⋅+=-++．(2)复数乘法的运算律复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．对任何123,,z z z C ∈，有①1221z z z z ⋅=⋅ (交换律)；②123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅(结合律)；③1231213()z z z z z z z +=+(分配律)．9．复数的除法复数除法的实质是分母实数化， 即22()()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad i c di c di c di c d ++-++-==++-+2222(,,,,0)ac bd bc ad i a b c d c di c d c d +-=+∈+≠++R ．4．程序框图程序框图（也叫流程图、算法框图）是由一些框图和带箭头的流线组成的，其中框图表示各种操作的类型，框图中的文字和符合表示操作的内容，带箭头的流线表示操作的先后次序．流程图通常由输入、输出框、流程线、处理框、判断框、起止框等构成．1．关于x 的不等式13x x +-≥的解集是（ ） A ．(,1]-∞- B ．[2,)+∞ C ．(,1][2,)-∞-+∞U D ．[1,2]-【答案】C【解析】当1x ≥时，13x x +-≥，解得2x ≥；当01x <<时，13x x +-≥，无解；当0x ≤，13x x -+-≥，解得1x ≤-，综上，不等式的解集是(,1][2,)-∞-+∞U ，故选C ．2．在复平面上，复数241i i++对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第三象限 C ．第二象限 D ．第四象限【答案】A【解析】∵24(24)(1)6231(1)(1)2i i i i i i i i ++-+===+++-， ∴复数241i i++对应的点的坐标为(3,1)，位于第一象限，故选A ． 3．已知命题:0p x ∀>，总有(1)1x x e +>，则p ⌝为（ ）A ．00x ∃≤，使得00(1)1x x e +≤B ．00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤C ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤D ．0x ∀≤，总有(1)1x x e +≤【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知，p ⌝为00x ∃>，使得00(1)1x x e +≤．故选B ．经典常规题（45分钟）4．执行下边的程序框图，如果输入的0x =，1y =，1n =，则输出x ，y 的值满足（ ）A ．2y x =B ．3y x =C ．4y x =D ．5y x =【答案】D【解析】输入0x =，1y =，1n =，则0x =，1y =，不满足2236x y +≥，故3n =，则1x =，3y =，不满足2236x y +≥，故5n =，则3x =，15y =，满足2236x y +≥，故5y x =，故选D ．5．已知函数2()4f x x ax =-++，()11g x x x =++-．（1）当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；（2）若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．【答案】（1）1[1,]2-；（2）[1,1]-． 【解析】（1）当1a =时，2()4f x x x =-++，是开口向下，对称轴为12x =的二次函数，2,1()112,112,1x x g x x x x x x >⎧⎪=++-=-≤≤⎨⎪-<-⎩．当(0,)x ∈+∞时，令242x x x -++=，解得12x =， ()g x 在(1,)+∞上单调递增，()f x 在(1,)+∞上单调递减，∴此时()()f x g x ≥的解集为； 当[1,1]x ∈-时，()2g x =，()(1)2f x f ≥-=，∴此时()()f x g x ≥的解集为[1,1]-．当(,1)x ∈-∞-时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且(1)(1)2g f -=-=．∴此时()()f x g x ≥的解集为∅．综上所述，()()f x g x ≥的解集为1[1,]2-． （2）依题意得：242x ax -++≥在[1,1]-恒成立，即220x ax --≤在[1,1]-恒成立，则只需221120(1)(1)20a a ⎧-⋅-≤⎪⎨----≤⎪⎩，解得11a -≤≤， 故a 的取值范围是[1,1]-．1．若关于x 的不等式23ax -<的解集为51{}33x x -<<，则a = ． 【答案】3-【解析】∵关于x 的不等式23ax -<的解集为51{}33x x -<<， ∴53-和13是23ax -=的两个根，∴5()2331233a a ⎧⋅--=±⎪⎪⎨⎪⋅-=±⎪⎩，∴3a =-，故答案为3-．高频易错题2．在复平面内，复数2(12)1i i i+++的共轭复数对应的点位于第 象限． 【答案】三【解析】由22(1)159(12)1441441(1)(1)222i i i i i i i i i i i i -+++=+++=++-=-+++-， ∴复数2(12)1i i i +++的共轭复数为5922i --，对应的点的坐标为59(,)22--，位于第三象限． 故答案为三．3．执行如图的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的S =（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】执行程序框图，有0S =，1k =，1a =-，代入循环，第一次满足循环，1S =-，1a =，2k =；满足条件，第二次满足循环，1S =，1a =-，3k =；满足条件，第三次满足循环，2S =-，1a =，4k =；满足条件，第四次满足循环，2S =，1a =-，5k =；满足条件，第五次满足循环，3S =-，1a =，6k =；满足条件，第六次满足循环，3S =，1a =-，7k =；76≤不成立，退出循环输出，3S =，故选B ．4．已知z 的共轭复数是z ，且12z z i =+-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】设z x yi =+（x ，y ∈R12(1)(2)x yi i x y i =-+-=+-+，∴120x y =++=⎪⎩，解得322x y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴复数z 在复平面内对应的点为3(,2)2-，此点位于第四象限．故选D ．5．已知a ∈R ，命题:[1,2]p x ∀∈，20x a -≥，命题:q x ∃∈R ，2220x ax a ++-=，若命题p q ∧为真命题，则实数a 的取值范围是 ．【答案】2a ≤-或1a =【解析】若命题p ：“[1,2]x ∀∈，20x a -≥”为真，则10a -≥，解得1a ≤，若命题q ：“x ∃∈R ，2220x ax a ++-=”为真，则244(2)0Δa a =--≥，解得2a ≤-或1a ≥， 若命题“p q ∧”是真命题，则2a ≤-或1a =，故答案为2a ≤-或1a =．1．用数学归纳法证明11111271()24264n n -++++>∈*N L 成立，其初始值至少应取（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10【答案】B精准预测题【解析】不等式左边的和为111222112n n --=--，当7n =时，61272264--=， 当8n =时，71272264-->， 所以使得不等式成立的n 的初始值最小为8，故选B ． 2．设i 是虚数单位，复数12ai i +-为纯虚数，则实数a 为（ ） A ．2 B ．2- C ．12- D ．12【答案】A【解析】复数1(1)(2)222(2)(2)5ai ai i a ai i i i i +++-++==--+，它是纯虚数，所以2a =，故选A ． 3．已知函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数2()f x x bx c =++，则“0c <”时，240Δb c =->，函数与x 有两个交点， 所以“0x ∃∈R ，使0()0f x <”成立，而“0x ∃∈R ，使0()0f x <”即20x bx c ++<，240Δb c =->，即240b c ->，即24b c >，c 不一定有0c <，综上函数2()f x x bx c =++，则“0c <”是“0x ∃∈R ，使0()0f x <”的充分不必要条件，故选A ．4．执行如图程序框图，如果输入的4a =，6b =，那么输出的n =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】模拟执行程序，可得：4a =，6b =，0n =，0s =，执行循环体，2a =，4b =，6a =，6s =，1n =，不满足条件16s >，执行循环体，2a =-，6b =，4a =，10s =，2n =，不满足条件16s >，执行循环体，2a =，4b =，6a =，16s =，3n =，不满足条件16s >，执行循环体，2a =-，6b =，4a =，20s =，4n =，满足条件16s >，退出循环，输出n 的值为4．故选B ．5．若不等式2121222x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】1[1,]2- 【解析】31,212123,22131,2x x x x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪-++=-+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩，∴当12x =时，212x x -++的最小值为52， ∵不等式2121222x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，∴215222a a ++≤， ∴211022a a +-≤，∴112a -≤≤，∴实数a 的取值范围是1[1,]2-． 故答案为1[1,]2-． 6．已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位，若(1)(1)i bi a +-=，则a b的值为 ． 【答案】2【解析】∵(1)(1)1(1)i bi b b i a +-=++-=，a ，b ∈R ，∴110b a b +=⎧⎨-=⎩，解得21a b =⎧⎨=⎩，∴2a b =，故答案为2． 7．已知a ∈R ，命题:[2,1]p x ∀∈--，20x a -≥，命题:q x ∃∈R ，22(2)0x ax a +--=．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围．【答案】（1）1a ≤；（2）1a >或21a -<<．【解析】（1）因为命题:[2,1]p x ∀∈--，20x a -≥．令2()f x x a =-，根据题意，只要[2,1]x ∈--时，min ()0f x ≥即可，也就是10a -≥，即1a ≤．（2）由（1）可知，当命题p 为真命题时，1a ≤，命题q 为真命题时，244(2)0Δa a =+-≥，解得2a ≤-或1a ≥，因为命题“p q ∨”为真命题，命题“p q ∧”为假命题，所以命题p 与q 一真一假，当命题p 为真，命题q 为假时，21a -<<，当命题q 为假，命题p 为真时，1a >．综上：1a >或21a -<<．8．设函数()271f x x =-+．（1）求不等式()1f x x ≤-的解集；（2）若存在x 使不等式()f x ax ≤成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[3,5]；（2）2(,2)[,)7-∞-∞U ． 【解析】（1）原不等式等价于2711x x -+≤-，当1x <时，(27)1(1)x x --+≤--，解得7x ≥，∴x 不存在； 当712x ≤≤时，(27)11x x --+≤-，解得3x ≥，∴732x ≤≤； 当72x >时，2711x x -+≤-，解得5x ≤，∴752x <≤． 综上，不等式的解集为[3,5]．（2）782,2()726,2x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩，作出()f x 的图象如图，。