半角的正弦余弦和正切

3.2.2 半角的正弦、余弦和正切学习目标1.了解半角公式推导的过程．2.理解半角的正弦、余弦和正切公式．3．能正确运用半角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明． 新知提炼半角公式自我尝试1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos α2＝ 1＋cos α2.( )(2)对于任意α∈R ，sin α2＝12sin α都不成立．() (3)若α是第一象限角，则tan α2＝ 1－cos α1＋cos α.() 2．若cos α＝13，且α∈(0，π)，则cos α2的值为() A ．63 B ．－63C ．±63D ．±333．已知cos α＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α2等于() A ．－1010 B ．1010C ．3310D ．－354．已知cos θ＝－35，且180°＜θ＜270°，则tan θ2＝________． 题型探究题型一 利用半角公式求值[学生用书P70]例1 已知sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2的值．方法归纳利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin 2 α2＝1－cos α2，cos 2 α2＝1＋cos α2计算． 跟踪训练 已知sin θcos θ＝1225，且π4＜θ＜π2，求sin θ，cos θ的值．题型二 三角函数式的化简[学生用书P70]例2 化简：（1－sin α－cos α）⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22－2cos α(－π＜α＜0)．互动探究 若本例中式子变为（1＋sin θ＋cos θ）⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π)， 则化简后的值是什么？方法归纳三角函数式化简的思路和方法(1)化简的思路：对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角公式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用．另外，还可以用切化弦、变量代换、角度归一等方法．(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂等．跟踪训练 化简：cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α－tan α2·（1＋cos α）1－cos α(0＜α＜π)．题型三 利用半角公式证明三角恒等式[学生用书P71]例3 求证：cos 2α1tan α2－tan α2＝14sin 2α.方法归纳(1)三角恒等式的证明，包括有条件的恒等式和无条件的恒等式两种．①无条件的恒等式证明，常用综合法(执因索果)和分析法(执果索因)，证明的形式有化繁为简，左右归一，变更论证等．②有条件的恒等式证明，常常先观察条件与欲证式中左、右两边三角函数的区别与联系，灵活使用条件，变形得证．(2)进行恒等变形时，既要注意分析角之间的差异，寻求角的变换方法，还要观察三角函数的结构特征，寻求化同名(化弦或化切)的方法，明确变形的目的．跟踪训练 求证：1＋sin θ－cos θ1＋sin θ＋cos θ＝tan θ2.素养提升半角公式的变形较多，应用时要针对题目的条件选择适当的公式．例如，待求式中同时含有sin α，cos α，tan α2时，应选择公式tan α2＝sin α1＋cos α＝1－ cos αsin α；含有三角函数的平方形式时，一般选择降幂公式；对根式的化简常常需要升幂去根号．失误防范运用半角公式求值时，要特别注意根据半角的范围去确定半角三角函数值的正负号，若半角的范围不明确则求值时正负号都要取．当堂检测1．设α∈(π，2π)，则 1＋cos （π＋α）2等于( ) A ．sin α2 B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α22．若cos 22°＝a ，则sin 11°＝________，cos 11°＝________．3．已知cos θ＝79，且270°＜θ＜360°，则cos θ2的值为________． 【参考答案】自我尝试1．(1)× (2)× (3)√2．A3．B4．－2题型探究例1 解 因为sin θ＝45，5π2＜θ＜3π， 所以cos θ＝－1－sin 2θ＝－35. 由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. 因为5π4＜θ2＜3π2，所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－55. 所以tan θ2＝sin θ2cos θ2＝2cos θ2sin θ22cos 2θ2＝sin θ1＋cos θ＝2. 跟踪训练 解 因为sin θcos θ＝1225， 所以sin 2θ＝2425，又因为π4＜θ＜π2， 所以π2＜2θ＜π，sin θ ＞0，cos θ ＞0，所以cos 2θ＜0， 所以cos 2θ＝－1－sin 22θ＝－1－⎝⎛⎭⎫24252＝－725， 所以sin θ＝1－cos 2θ2＝1＋7252＝45， cos θ＝1＋cos 2θ2＝1－7252＝35. 例2 解 原式＝⎝⎛⎭⎫2sin 2 α2－2sin α2cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22×2sin 2α2＝2sin α2⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α2⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22⎪⎪⎪⎪sin α2 ＝sin α2⎝⎛⎭⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－sin α2cos α⎪⎪⎪⎪sin α2. 因为－π＜α＜0，所以－π2＜α2＜0，所以sin α2＜0，所以原式＝－sin α2cos α－sin α2＝cos α.互动探究 解：原式＝ ⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2 θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ24cos 2 θ2＝cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2 θ2－cos 2 θ2⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2cos θ⎪⎪⎪⎪cos θ2. 因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以cos θ2＞0，所以原式＝－cos θ. 跟踪训练 解 因为tan α2＝sin α1＋cos α，所以(1＋cos α)tan α2＝sin α， 又因为cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，且1－cos α＝2sin 2 α2， 所以原式＝－sin α－sin α2sin 2 α2＝－2sin α2⎪⎪⎪⎪sin α2＝－22sin α2cos α2⎪⎪⎪⎪sin α2. 因为0＜α＜π，所以0＜α2＜π2.所以sin α2＞0.所以原式＝－22cos α2. 例3 证明 法一：左边＝cos 2α1＋cos αsin α－1－cos αsin α＝cos 2α2cos αsin α＝ 12sin αcos α＝14sin 2α＝右边，所以原式成立． 法二：左边＝cos 2αcos α2sin α2－sin α2cos α2＝cos 2αcos 2α2－sin 2α2sin α2cos α2＝cos 2αsin α2cos α2cos 2α2－sin 2α2＝cos 2αsin α2cos α2cos α ＝sin α2cos α2cos α＝12sin αcos α＝14sin 2α＝右边．所以原式成立． 跟踪训练 证明 左边＝（1－cos θ）＋sin θ（1＋cos θ）＋sin θ＝2sin 2θ2＋2sin θ2cos θ22cos 2θ2＋2sin θ2cos θ2＝sin θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2＋cos θ2 ＝tan θ2＝右边． 当堂检测1．A 【解析】原式＝1－cos α2＝sin 2α2＝|sin α2|. 又因为α∈(π，2π)，所以α2∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin α2＞0，所以原式＝|sin α2|＝sin α2. 2． 1－a 2 1＋a 2【解析】cos 22°＝2cos 211°－1＝1－2sin 211°， 所以cos 11°＝1＋cos 22°2＝1＋a 2， sin 11°＝1－cos 22°2＝1－a 2. 3．－223【解析】因为cos θ＝2cos 2θ2－1， 所以cos 2θ2＝1＋cos θ2， 因为270°＜θ＜360°，所以135°＜θ2＜180°，所以cos θ2＜0， 所以cos θ2＝－1＋cos θ2＝－1＋792＝－223.。

三角函数公式大全及记忆口诀一、正弦函数（sine function）公式：1. 正弦函数的定义：在直角三角形中，正弦函数是对边与斜边之比，表示为sinθ。

2. 正弦函数的基本关系式：sinθ = 对边 / 斜边3. 弦函数的平方和恒等式：sin²θ + cos²θ = 1二、余弦函数（cosine function）公式：1. 余弦函数的定义：在直角三角形中，余弦函数是邻边与斜边之比，表示为cosθ。

2. 余弦函数的基本关系式：cosθ = 邻边 / 斜边3. 弦函数与余弦函数的关系：cosθ = sin(90° - θ)三、正切函数（tangent function）公式：1. 正切函数的定义：在直角三角形中，正切函数是对边与邻边之比，表示为tanθ。

2. 正切函数的基本关系式：tanθ = 对边 / 邻边3. 弦函数与正切函数的关系：tanθ = sinθ / cosθ四、余切函数（cotangent function）公式：1. 余切函数的定义：在直角三角形中，余切函数是邻边与对边之比，表示为cotθ。

2. 余切函数的基本关系式：cotθ = 邻边 / 对边3. 弦函数与余切函数的关系：cotθ = 1 / tanθ = cosθ / sinθ五、正割函数（secant function）公式：1. 正割函数的定义：在直角三角形中，正割函数是斜边与邻边之比，表示为secθ。

2. 正割函数的基本关系式：secθ = 斜边 / 邻边= 1 / cosθ六、余割函数（cosecant function）公式：1. 余割函数的定义：在直角三角形中，余割函数是斜边与对边之比，表示为cscθ。

2. 余割函数的基本关系式：cscθ = 斜边 / 对边= 1 / sinθ七、和差公式：1. 正弦函数和差公式：sin(θ±φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ2. 余弦函数和差公式：cos(θ±φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ3. 正切函数和差公式：tan(θ±φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓tanθtanφ)八、倍角公式：1. 正弦函数倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ2. 余弦函数倍角公式：cos2θ = cos²θ - sin²θ = 2cos²θ - 1= 1 - 2sin²θ3. 正切函数倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan²θ)九、半角公式：1. 正弦函数半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦函数半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 +cosθ)]十、和差化积公式：1. 正弦函数和差化积公式：sinθ ± sinφ = 2sin[(θ ±φ)/2]cos[(θ ∓ φ)/2]2. 余弦函数和差化积公式：cosθ + cosφ = 2cos[(θ +φ)/2]cos[(θ - φ)/2]3. 正切函数和差化积公式：tanθ ± tanφ = sin(θ ± φ) /cosθcosφ以上是三角函数的常用公式。

常用三角函数公式及口诀常用的诱导公式有以下几组： 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα (k∈Z) cos(2kπ+α)=cosα (k∈Z) tan(2kπ+α)=tanα (k∈Z) cot(2kπ+α)=cotα (k∈Z) 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。

半角的正弦余弦正切公式正弦的半角公式是指，对于任意角x，有sin(x/2) = ±√((1 - cos x)/2)。

余弦的半角公式是指，对于任意角x，有cos(x/2) = ±√((1 + cos x)/2)。

正切的半角公式是指，对于任意角x，有tan(x/2) = ±√((1 - cos x)/(1 + cos x))。

这些半角公式在三角学中起到了重要的作用，可以将一个角的正弦、余弦或正切值表示为另一个角的正弦、余弦或正切值的函数。

这些公式可以用来简化计算，减少计算复杂度。

我们来证明正弦的半角公式：根据泰勒级数展开，我们知道sin x = x - x^3/3! + x^5/5! -x^7/7! + ...。

将x替换为(2y)，则有sin (2y) = (2y) - (2y)^3/3! + (2y)^5/5! - (2y)^7/7! + ...=2y-(8y^3/3!)+(32y^5/5!)-(128y^7/7!)+...再将y替换为(x/2)，我们有sin x = sin (2(x/2))=2(x/2)-(8((x/2)^3)/3!)+(32((x/2)^5)/5!)-(128((x/2)^7)/7!)+...根据幂函数的乘法法则和阶乘的定义，我们可以简化上述等式：sin x = 2(x/2) - (8(x^3/2^3)/3!) + (32(x^5/2^5)/5!) -(128(x^7/2^7)/7!) + ...=x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...然后我们考虑sin(x/2)的幂级数展开：sin (x/2) = (x/2) - ((x/2)^3/3!) + ((x/2)^5/5!) -((x/2)^7/7!) + ...我们可以将sin x的幂级数展开与sin (x/2)的幂级数展开进行比较：x-(x^3/3!)+(x^5/5!)-(x^7/7!)+...=(x/2)-((x/2)^3/3!)+((x/2)^5/5!)-((x/2)^7/7!)+...通过对比可以看到，两个展开式的各项对应系数相等。