教案三埃尔米特插值法和分段低次插值法

分段三次埃‎尔米特插值‎分段线性插‎值函数的导‎)(I x h 数是间断的‎，若在节点k x （k =0，1，…，n ）上除已知函‎数值外还给‎k f 出导数值k k m f ='（k =0，1，…，n ），这样就可构‎造一个导数‎连续的分段‎插值函数)(I x h ，它满足条件‎：（1）.[][]),(,)(I 11b a C b a C x h ∈代表区间一‎[]b a ,阶导数连续‎的函数集合‎. （2）k k h f x =)(I ,'')(I k k h f x -(k =0,1,…n ). （3）)(I x h 在每个小区‎间上是三次‎[]1,+k k x x 多项式.由两点三次‎插值多项式‎可以知道在‎)(I x h 区间上表达‎[]1,+k k x x 式为'21111211211)()(21*)()21()()(I k k k k k k k k k k k k k k k k k k h f x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x ---+--+--+--+--=++--++++）（+'1121)(+++---k k kk k f x x x x x x ）（.分段三次埃‎尔米特插值‎比分段线性‎插值效果明‎显改善，但这种插值‎要求给出节‎点上的导数‎值，所要提供的‎信息太多，其光滑度也‎不高（只有一阶导‎数连续），改进这种以‎克服其缺点‎就导致三次‎样条插值的‎提出.三次样条插‎值上面讨论的‎分段插值函‎数都有一致‎收敛性，但光滑性比‎较差，对于像告诉‎飞机的机翼‎形线，船体放样等‎型值线往往‎要求有二阶‎光滑度，即有二阶连‎续导数.早起工程师‎制图是，把富有弹性‎的细长木条‎（所谓样条）用压铁固定‎在样点上，在其他地方‎让它自由的‎弯曲，然后画下长‎条的曲线，称为样条曲‎线.样条曲线实‎际上有分段‎三次曲线并‎接而成，在连接点即‎样点上要求‎二阶导数连‎续，从而数学上‎加以概括就‎得到数学样‎条这一概念‎.三次样条函‎数定义 若函数[]b a C x S ,)(2∈,并且在每个‎小区间上是‎[]1,+j j x x 三次多项式‎，其中是给定‎b x x x a n =<<<= 10节点，则称是节点‎)(x S 0x ，1x ，…，n x 上的三次样‎条函数.若在节点上‎j x 给定函数值‎)(j j x f y =（j =0，1，…，n ），并且成立j j y x S =)( （j =0，1，…，n ），（1.1） 则称为三次‎)(x S 样条插值函‎数.由定义知道‎要求出)(x S ，在每个小区‎间上要确定‎[]1,+j j x x 4个待定系‎数，一共有个小‎n 区间，所以应该确‎定4个参数‎n .根据在上二‎)(x S []b a ,阶导数的连‎续性，在节点j x （j =1，2，…，n -1）处应该满足‎连续性的条‎件)0()0(+=-j j x S x S ，)0()0(''+=-j j x S x S （1.2）)0()0(''''+=-j j x S x S .一共有3n -3个条件，再加上要满‎)(x S 足插值条件‎（1.1），共有4n -2个条件，因此还需要‎2个条件才‎能确定)(x S .通常可以在‎区间[]b a ,端点0x a =，n x b =上各加上一‎个条件（称为边界条‎件），可根据实际‎问题要求给‎定.常见的有以‎下3种;(1)已知两端的‎一阶导数值‎，即'00')(f x S =，;')(n n f x S =. (1.3)(2)两端的二阶‎导数已知，即''00'')(f x S =，'''')(n n f x S =， （1.4）其特殊情况‎为0)()(''0''==n x S x S . (1.5)（3）当)(x f 是以n x -0x 为周期的周‎期函数时，则要求也是‎)(x S 周期函数.这时边界条‎件应满足)0()0(0-=+n x S x S ，)0()0('0'-=+n x S x S ， )0()0(''0''-=+n x S x S . (1.6)而此时（1.1）中n y y =0.这样确定的‎样条函数称‎)(x S 为周期样条‎函数. 埃尔米特插‎值不少实际问‎题的插值问‎题不但要求‎在节点上函‎数值相等，而且还要求‎对应的导数‎值也相等，甚至要求高‎阶导数也相‎等，满足这种要‎求插值的多‎项式就是埃‎尔米特（Hermi ‎t e ）插值多项式‎.下面只讨论‎函数值与导‎数值个数一‎样的情况.设在节点上‎b x x x a n ≤<<<≤ 10，)(i i x f y =，)('j j x f m =（j =0，1，…，n ），要求插值多‎项式)(x H ，满足条件j j y x H =)(，j j m x H =)('（j =0，1，…，n ）. (1.1)这里给出了‎2n +2个条件，可唯一确定‎一个次数不‎超过2n +1的多项式‎)()(12x H x H n =+，其形式为12121012)(++++++=n n n x a x a a x H .如果根据条‎件（1.1）来确定2n +2个系数0a ，1a ，…，12+n a ，显然非常复‎杂，因此，我们依旧采‎用拉格朗日‎插值多项式‎的基函数的‎方法.先求插值基‎函数)(x j α及)(x j β（j =0,1,…,n ）,一共有2n +2个，每一个基函‎数都是2n +1次多项式‎，且满足条件‎⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎩⎨⎧=≠==).,,1,0,()(,0)(;0)(,,1,,0)(''n k j x x x k j k j x jk k j k j k j jk k j δββαδα （1.2）于是满足条‎件（1.1）的插值多项‎式可以写成‎)()(12x H x H n +=用插值基函‎数表示的形‎式[]∑=-+=nj j j j j n x m x y x H 012)()()(βα. (1.3)由条件（1.2）可以知道，有k k n y x H =-)(12，kn m x H =+)('12，（k =0，1，…，n ）.下面的问题‎就是求满足‎条件（1.2）的基函数以‎)(x j α及)(x j β.所以，我们可以利‎用拉格朗日‎插值基函数‎)(x l j .令)()()(2x l b ax x a j j +=，由条件（1.2）有1)()()(2=+=j j j j j x l b ax x α，[]0)()(2)()()(''=++=j j j j j j j j j x l b ax x al x l x α,整理得⎩⎨⎧=+=+0)(21'j j j x l a b ax . 解出)(2'j j x l a -=，)(21'j j j x l x b +=.由于)())(()()())(()()(110110n j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- ，利用两边取‎对数再求导‎数，有∑≠=-=njk k kj j jx x x l 0'1)(，所以有)()1)(21()(20x l x x x x x a j njk k kj j j ∑≠=---=. (1.4)同理，可以得到)()()(2x l x x x j j j -=β. (1.5)同时还证明‎满足条件（1.1）的插值多项‎式是唯一的‎.用反证法，假设及都满‎)(12x H n +)(12x H n +足条件（1.1），所以有)()()(1212x H x H x n n ++-=ϕ在每个节点‎上均有二重‎根，即)(x ϕ有2n +2重根.但是是不高‎)(x ϕ于2n +1次的多项‎式，所以0)(≡x ϕ.唯一性得到‎证明.。

《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122 学院:理学院班级: 数学101题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录 (I)一、摘要 (1)二、算法设计 (1)2.1分段线性插值 (1)2.2分段三次埃尔米特插值 (1)2.3功能框图 (1)三、例题计算 (1)四、误差及结果分析 (9)4.1例题误差分析 (1)4.2结点个数对插值结果的影响 (1)五、总结及心得体会 (12)参考文献 (13)源程序 (14)一、摘要分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。

由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。

为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。

为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。

在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。

通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。

分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。

埃尔米特插值法1. 引言埃尔米特插值法是一种用于数据插值的数值方法。

它通过给定的数据点来构造一个多项式函数，该函数在这些数据点上与给定的函数具有相同的函数值和导数值。

埃尔米特插值法可以应用于各种领域，如数学、物理、计算机图形学等。

2. 插值问题在实际问题中，我们常常需要根据已知数据点来估计未知数据点的函数值。

这就是插值问题。

给定n个不同的数据点(x0,y0),(x1,y1),...,(x n,y n)，我们希望找到一个多项式函数P(x)，使得P(x i)=y i对所有i=0,1,...,n成立。

3. 埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式是满足以下条件的多项式： - 在每个已知数据点上具有相同的函数值：P(x i)=y i - 在每个已知数据点上具有相同的导数值：P′(x i)=m i其中m i是给定的导数值。

为了构造埃尔米特插值多项式，我们需要利用这些条件来确定其系数。

4. 构造埃尔米特插值多项式埃尔米特插值多项式的一般形式为：P(x)=∑ℎini=0(x)⋅y i+∑g ini=0(x)⋅m i其中ℎi(x)和g i(x)是满足以下条件的基函数： - ℎi(x j)=δij，其中δij是克罗内克（Kronecker）符号，当i=j时取值为1，否则为0。

- g i(x j)=0对所有i,j成立。

基于这些条件，我们可以求解出基函数ℎi(x)和g i(x)的表达式，并将其代入埃尔米特插值多项式的公式中。

5. 插值误差估计在实际应用中，我们通常需要估计插值多项式的误差。

通过使用泰勒展开和拉格朗日余项定理，可以得到以下插值误差的估计公式：f(x)−P n(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)(x−x1)...(x−x n)其中f(n+1)(ξ)是函数f(x)在x0,x1,...,x n之间某个点ξ处的(n+1)阶导数。

6. 示例假设我们有以下数据点：(0,1),(1,2),(2,−1)。

我们希望通过这些数据点构造一个埃尔米特插值多项式。

数值分析实验六（分段三次Hermite插值）《数值分析》实验报告实验编号：实验六课题名称：分段三次Hermite插值一、算法介绍给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。

当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

其余的区间为H[0]=0。

h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3, (9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。

当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3,…,10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1 ])/(x[i]-x[i+1]))^2]。

其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。

当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。

构造函数H(x) =∑(y[i]*h[i]+y'[i]*H[i],(i=0,1,…,10)。

二、程序代码// testV iew.cpp : implementation of the CT estV iew class//#include "stdafx.h"#include "test.h"#include "testDoc.h"#include "testView.h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iewIMPLEMENT_DYNCREA TE(CTestView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CTestView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CTestView)// NOTE - the ClassWizard will add and remove mapping macros here.// DO NOT EDIT what you see in these blocks of generated code!//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CV iew::OnFilePrint) ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW,CView::OnFilePrintPreview)END_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew construction/destructionCTestView::CTestV iew(){// TODO: add construction code here}CTestView::~CT estView(){}BOOL CTestView::PreCreateWindow(CREA TESTRUCT& cs){// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying // the CREA TESTRUCT csreturn CV iew::PreCreateWindow(cs);}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew drawingvoid CTestView::OnDraw(CDC* pDC){CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereint i,j,k;double x,y,p_x,p_y,l,xx[100],f[100],F[100],sum,p_sum;CPen MyPen,*OldPen;pDC->SetViewportOrg(400,400); //定义坐标原点for(i=-500;i<500;i++){pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0)); //画出坐标}pDC->TextOut(-210,5,"-1");pDC->TextOut(196,5,"1");//原函数MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义画笔颜色OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen);x=-1.0,y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);for (x=-1.0;x<=1.0;x+=0.0001){y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();//分段三次Hermite插值MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,0)); OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen); x=-1.0,y=1.0/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);x=-1.0;for(i=0;i<=10;i++){f[i]=1/(1+25*x*x);xx[i]=x;F[i]=-50*x/(1+25*x*x)/(1+25*x*x); //导数x+=0.2;}x=-1.0;for(j=0;j<=1000;j++){sum=0;for(i=0;i<=10;i++){if(x==xx[i]){sum=f[i];p_x=x*200,p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}if(xxx[i]){y=(1+2*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]))*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=f[i]*y;y=(1+2*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]))*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=f[i+1]*y;y=(x-xx[i])*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=F[i]*y;y=(x-xx[i+1])*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=F[i+1]*y;p_x=x*200;p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}}x+=0.002;}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew printingBOOL CTestView::OnPreparePrinting(CPrintInfo* pInfo){// default preparationreturn DoPreparePrinting(pInfo);}void CTestView::OnBeginPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add extra initialization before printing}void CTestView::OnEndPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add cleanup after printing}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew diagnostics#ifdef _DEBUGvoid CTestView::AssertV alid() const{CView::AssertV alid();}void CTestView::Dump(CDumpContext& dc) const{CView::Dump(dc);CTestDoc* CT estV iew::GetDocument() // non-debug version is inline{ASSERT(m_pDocument->IsKindOf(RUNTIME_CLASS(CT estD oc)));return (CT estDoc*)m_pDocument;}#endif //_DEBUG/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew message handlers三、运算结果截屏红色的曲线为原函数图像，黑色曲线为分段三次Hermite插值曲线四、算法分析上述图像中黑色的曲线为分段分段三次Hermite插值多项式所对应的图像，由图像可看出黑色的分段三次Hermited插值函数图像和拉格朗日、分段线性插值相比与红色被逼近函数的重合度最好，说明分段三次Hermite插值在函数的各节点两边插值函数的导数是相等的，保证了在各节点的平滑性，且不会出现Runge现象。

山东师范大学数学科学学院实验报告x 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9y' 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4求质点在时刻1.8时的速度，并画出插值多项式的图像。

1)运用Hermite插值法画出图像，如图4-1，并求质点在时刻1.8时的速度。

>>clear>>clc>>X=[0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3;0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9;1 1.5 2 2.5 3 3.5 4];>> x=0.1:0.01:3;>> H=Hermite1(X,x);>> plot(x,H)>> hold on>> plot(X(1,:),X(2,:),'r*')>> H1_8=Hermite(X,1.8);>> plot(1.8,H1_8,'go')>> legend('插值图像','原始点','目标点');图4-1二、验证高次插值的Runge现象问题分析和算法设计（一）Language插值代码function [Ln] =Lagrange(X,x)%请输入2*n+1矩阵X，X中第一行每个元素都是插值节点，X中第二行每个元素都是插值节点对应的函数值；%第二章P24例一拉格朗日插值n=size(X,2);d=0;for m=1:1:nif x==X(1,m);d=m;breakendend运行结果和总结 运行结果 例：给定函数55,11)(2≤≤-+=x xx f ； （1） 验证表2-10的误差结果（高次插值的Runge 现象）；（2） 以0.1为步长分别进行Language 插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值，画出三种插值函数以及f(x)的图像，比较三种插值结果。

实验四分段三次埃尔米特插值（一）实验目的掌握分段三次埃尔米特插值算法。

（二）实验项目内容1．写出计算步骤和流程图。

2．对每种算法分别用C或c#程序实现。

3．调试程序。

可用以下数据进行调试。

已知函数y=1/(1+x2)在区间[0,3]上取等距插值节点，求区间[0,3]上的分段三次埃尔米特插值函数，并利用它求出f(1.5)的近似值（0.3075）。

x0 1 2iy 1 0.5 0.2 iy 0 -0.5 -0.16 i（三）主要仪器设备微机（四）实验室名称公共计算机实验室（五）实验报告撰写实验四分段三次埃尔米特插值实验报告一、流程图二、 程序代码#include<stdio.h>#include<math.h>float f0(float x) N Y开始输入i x ,i y ,xy=0, j=0t=1i j ix x t t x x -=- i=0,…j-1,j+1,…n i y y ty =+j=n? 输出y结束j=j+1{return((x-1)*(x-1)*(2*x+1));}float f1(float x){return(x*x*(-2*x+3));}float g0(float x){return(x*(x-1)*(x-1));}float g1(float x){return(x*x*(x-1));}void main(){float x0,x1,x,y0,y1,yy0,yy1,h,p;printf("输入x0,x1,x,y0,y1和yy0,yy1的取值");scanf("%f%f%f%f%f%f%f",&x0,&x1,&x,&y0,&y1,&yy0,&yy1); h=x1-x0;p=y0*f0((x-x0)/h)+y1*f1((x-x0)/h)+h*yy0*g0((x-x0)/h)+h*yy1*g1((x-x0)/h);printf("%f\n",p);}三、运行结果【截图】。

复习：1.数值计算方法的含义 2．误差及误差限 3.误差与有效数字4.数值计算中应注意的问题第二章 插值方法一．插值的含义 问题提出：已知函数()y f x =在n+1个点01,,,n x x x 上的函数值01,,,n y y y ，求任意一点x '的函数值()f x '。

说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。

解决方法：构造一个简单函数()P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则用()P x '作为函数值()f x '的近似值。

二、泰勒（Taylor ）插值 1.问题提出：已知复杂函数()y f x =在0x 点的函数值()0f x ，求0x 附近另一点0x h +的函数值()0f x h +。

2.解决方法：构造一个代数多项式函数()n P x ，使得()n P x 与()f x 在0x x =点充分逼近。

泰勒多项式为：()()()()()()()()()200000002!!n n n f x f x P x f x f x x x x x x x n '''=+-+-++-显然，()n P x 与()f x 在0x x =点，具有相同的i 阶导数值（i=0,1,…,n ）。

3.几何意义为：()n P x 与()f x 都过点()()00,x f x ；()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处的切线重合； ()n P x 与()f x 在点()()00,x f x 处具有相同的凹凸性；其几何意义可以由下图描述，显然函数()3f x 能相对较好地在0x 点逼近()f x 。

4.误差分析（泰勒余项定理）：()()()()()()1101!n n n f P x f x x x n ξ++-=-+，其中ξ在0x 与x 之间。

5.举例：已知函数()f x ()115f 。

埃尔米特插值法埃尔米特插值法是一种利用已知数据点构建插值函数的方法，它可以通过给定的数据点来预测未知数据点的值。

这种方法是由德国数学家埃尔米特在19世纪末发明的，因此得名。

埃尔米特插值法的基本思想是利用已知数据点和其导数来构造一个多项式函数，该函数可以完美地通过这些数据点，并在每个点处具有相同的导数。

这样，就可以使用该多项式函数来计算任意位置处的函数值和导数。

具体而言，假设我们有n个数据点(xi,yi)，其中i=0,1,…,n-1。

我们还假设我们已经知道了每个数据点处的导数yi'。

那么，我们可以通过以下方式构造一个n次多项式函数p(x)：p(x) = Σ[i=0,n-1] Li(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Li(x)和Mi(x)分别为拉格朗日插值基函数和埃尔米特插值基函数。

拉格朗日插值基函数Li(x)定义为：Li(x) = Π[j=0,j≠i,n-1] (x-xj)/(xi-xj)而埃尔米特插值基函数Mi(x)定义为：Mi(x) = [1-2(xi-x)/hi]L^2i(x) + (x-xi)/hi L'i(x)其中hi为第i个数据点的步长，即xi+1-xi，L'i(x)为Li(x)的一阶导数。

使用这些基函数，我们可以计算任意位置x处的函数值p(x)。

此外，我们还可以通过求导来计算p(x)在任意位置x处的导数。

具体而言，p(x)在位置x处的导数可以表示为：p'(x) = Σ[i=0,n-1] Mi'(x)yi + Σ[i=0,n-1] Mi(x)yi'其中Mi'(x)为Mi(x)的一阶导数。

需要注意的是，在实际应用中，我们通常不知道每个数据点处的精确导数值。

因此，我们需要根据已知数据点推断出这些导数值。

一种常见的方法是使用差分逼近法来估计数据点处的导数值。

总之，埃尔米特插值法是一个强大而灵活的插值方法，它可以用于各种不同类型的数据集，并且能够提供高精度和高效率的预测结果。

《数值分析》教学大纲误差分析和解的精度改进第五节大型稀疏方程组的迭代法第五节极小化方法第六节Matlab与应用实例难点：列主元高斯消元法，直接矩阵三角分解。

迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR迭代法。

重点：迭代法的收敛性，雅可比迭代法，高斯-塞德尔迭代法，SOR迭代法。

第四章代数特征值问题(8学时)乘幂法是一种计算实矩阵的按模最大的特征值及其相应的特征向量的方法。

其特点是不破坏原始矩阵，直接使用原矩阵进行计算。

而反幂法常用于求按模最小的特征值及其相应的特征向量，其有效性依赖于特征值的分布情况。

雅可比方法、QR方法都属于变换法，经过正交相似变换，将原矩阵化为易于求特征值的特殊形式。

优点是收敛速度快，稳定性好。

第一节特征值的估计与数值稳定性第二节幂法与反幂法第三节求实对称矩阵特征值的雅可比（Jacobi）方法第四节求矩阵全部特征值的QR方法第五节Matlab与应用实例难点：QR 方法。

重点：利用吉文斯(Givens)矩阵和豪斯豪尔德（Householder）变换阵求矩阵的正交分解。

相似变换。

第五章函数插值(6学时)代数插值是函数逼近的重要方法，也是数值积分、数值微分及微分方程数值解法的基础。

常用的插值法有适用于非等距节点的拉格朗日插值多项式、牛顿插值多项式，还有适用于等距节点的牛顿前差插值多项式和牛顿后差插值多项式。

为了插值多项式能与被插函数较好地吻合，我们介绍了埃尔米特插值多项式。

鉴于高次插值的不稳定性，在插值点较多情况下，一般采用分段低次插值法，此类方法计算简单且具有良好的稳定性和收敛性，应用较广泛。

样条插值函数也是分段插值函数，它可以保证分段插值函数在整个区间上具有连续的二阶导数，因此具有较好的光滑性，收敛性和稳定性。

掌握上述常用插值方法及其优点、缺点，能够根据实际问题选择适当的插值方法进行函数逼近，并且能够编写程序。

第一节插值基本问题第二节两种基本的代数插值第三节埃尔米特（Hermite）插值第四节分段低次插值第五节样条插值第六节多维插值第七节Matlab与应用实例难点：埃尔米特插值，三次样条插值。