实验六：分段三次Hermit插值

分段三次埃‎尔米特插值‎分段线性插‎值函数的导‎)(I x h 数是间断的‎，若在节点k x （k =0，1，…，n ）上除已知函‎数值外还给‎k f 出导数值k k m f ='（k =0，1，…，n ），这样就可构‎造一个导数‎连续的分段‎插值函数)(I x h ，它满足条件‎：（1）.[][]),(,)(I 11b a C b a C x h ∈代表区间一‎[]b a ,阶导数连续‎的函数集合‎. （2）k k h f x =)(I ,'')(I k k h f x -(k =0,1,…n ). （3）)(I x h 在每个小区‎间上是三次‎[]1,+k k x x 多项式.由两点三次‎插值多项式‎可以知道在‎)(I x h 区间上表达‎[]1,+k k x x 式为'21111211211)()(21*)()21()()(I k k k k k k k k k k k k k k k k k k h f x x x x x x x x x x x x x x f x x x x x x x x x ---+--+--+--+--=++--++++）（+'1121)(+++---k k kk k f x x x x x x ）（.分段三次埃‎尔米特插值‎比分段线性‎插值效果明‎显改善，但这种插值‎要求给出节‎点上的导数‎值，所要提供的‎信息太多，其光滑度也‎不高（只有一阶导‎数连续），改进这种以‎克服其缺点‎就导致三次‎样条插值的‎提出.三次样条插‎值上面讨论的‎分段插值函‎数都有一致‎收敛性，但光滑性比‎较差，对于像告诉‎飞机的机翼‎形线，船体放样等‎型值线往往‎要求有二阶‎光滑度，即有二阶连‎续导数.早起工程师‎制图是，把富有弹性‎的细长木条‎（所谓样条）用压铁固定‎在样点上，在其他地方‎让它自由的‎弯曲，然后画下长‎条的曲线，称为样条曲‎线.样条曲线实‎际上有分段‎三次曲线并‎接而成，在连接点即‎样点上要求‎二阶导数连‎续，从而数学上‎加以概括就‎得到数学样‎条这一概念‎.三次样条函‎数定义 若函数[]b a C x S ,)(2∈,并且在每个‎小区间上是‎[]1,+j j x x 三次多项式‎，其中是给定‎b x x x a n =<<<= 10节点，则称是节点‎)(x S 0x ，1x ，…，n x 上的三次样‎条函数.若在节点上‎j x 给定函数值‎)(j j x f y =（j =0，1，…，n ），并且成立j j y x S =)( （j =0，1，…，n ），（1.1） 则称为三次‎)(x S 样条插值函‎数.由定义知道‎要求出)(x S ，在每个小区‎间上要确定‎[]1,+j j x x 4个待定系‎数，一共有个小‎n 区间，所以应该确‎定4个参数‎n .根据在上二‎)(x S []b a ,阶导数的连‎续性，在节点j x （j =1，2，…，n -1）处应该满足‎连续性的条‎件)0()0(+=-j j x S x S ，)0()0(''+=-j j x S x S （1.2）)0()0(''''+=-j j x S x S .一共有3n -3个条件，再加上要满‎)(x S 足插值条件‎（1.1），共有4n -2个条件，因此还需要‎2个条件才‎能确定)(x S .通常可以在‎区间[]b a ,端点0x a =，n x b =上各加上一‎个条件（称为边界条‎件），可根据实际‎问题要求给‎定.常见的有以‎下3种;(1)已知两端的‎一阶导数值‎，即'00')(f x S =，;')(n n f x S =. (1.3)(2)两端的二阶‎导数已知，即''00'')(f x S =，'''')(n n f x S =， （1.4）其特殊情况‎为0)()(''0''==n x S x S . (1.5)（3）当)(x f 是以n x -0x 为周期的周‎期函数时，则要求也是‎)(x S 周期函数.这时边界条‎件应满足)0()0(0-=+n x S x S ，)0()0('0'-=+n x S x S ， )0()0(''0''-=+n x S x S . (1.6)而此时（1.1）中n y y =0.这样确定的‎样条函数称‎)(x S 为周期样条‎函数. 埃尔米特插‎值不少实际问‎题的插值问‎题不但要求‎在节点上函‎数值相等，而且还要求‎对应的导数‎值也相等，甚至要求高‎阶导数也相‎等，满足这种要‎求插值的多‎项式就是埃‎尔米特（Hermi ‎t e ）插值多项式‎.下面只讨论‎函数值与导‎数值个数一‎样的情况.设在节点上‎b x x x a n ≤<<<≤ 10，)(i i x f y =，)('j j x f m =（j =0，1，…，n ），要求插值多‎项式)(x H ，满足条件j j y x H =)(，j j m x H =)('（j =0，1，…，n ）. (1.1)这里给出了‎2n +2个条件，可唯一确定‎一个次数不‎超过2n +1的多项式‎)()(12x H x H n =+，其形式为12121012)(++++++=n n n x a x a a x H .如果根据条‎件（1.1）来确定2n +2个系数0a ，1a ，…，12+n a ，显然非常复‎杂，因此，我们依旧采‎用拉格朗日‎插值多项式‎的基函数的‎方法.先求插值基‎函数)(x j α及)(x j β（j =0,1,…,n ）,一共有2n +2个，每一个基函‎数都是2n +1次多项式‎，且满足条件‎⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====⎩⎨⎧=≠==).,,1,0,()(,0)(;0)(,,1,,0)(''n k j x x x k j k j x jk k j k j k j jk k j δββαδα （1.2）于是满足条‎件（1.1）的插值多项‎式可以写成‎)()(12x H x H n +=用插值基函‎数表示的形‎式[]∑=-+=nj j j j j n x m x y x H 012)()()(βα. (1.3)由条件（1.2）可以知道，有k k n y x H =-)(12，kn m x H =+)('12，（k =0，1，…，n ）.下面的问题‎就是求满足‎条件（1.2）的基函数以‎)(x j α及)(x j β.所以，我们可以利‎用拉格朗日‎插值基函数‎)(x l j .令)()()(2x l b ax x a j j +=，由条件（1.2）有1)()()(2=+=j j j j j x l b ax x α，[]0)()(2)()()(''=++=j j j j j j j j j x l b ax x al x l x α,整理得⎩⎨⎧=+=+0)(21'j j j x l a b ax . 解出)(2'j j x l a -=，)(21'j j j x l x b +=.由于)())(()()())(()()(110110n j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x l --------=+-+- ，利用两边取‎对数再求导‎数，有∑≠=-=njk k kj j jx x x l 0'1)(，所以有)()1)(21()(20x l x x x x x a j njk k kj j j ∑≠=---=. (1.4)同理，可以得到)()()(2x l x x x j j j -=β. (1.5)同时还证明‎满足条件（1.1）的插值多项‎式是唯一的‎.用反证法，假设及都满‎)(12x H n +)(12x H n +足条件（1.1），所以有)()()(1212x H x H x n n ++-=ϕ在每个节点‎上均有二重‎根，即)(x ϕ有2n +2重根.但是是不高‎)(x ϕ于2n +1次的多项‎式，所以0)(≡x ϕ.唯一性得到‎证明.。

一、前言本文建立在数值分析的理论基础上，能够在Matlab 环境中运行，给出了理论分析、具体实例、程序清单以及程序运行结果，对设计任务中的函数进行了分段线性插值和分段三次Hermit 插值，分别画出分段线性插值多项式和分段三次Hermit 插值多项式的图，最后对着两种不同类型的多项式进行比较和误差分析，找出这两种不同插值方法各自的优劣。

发现分段三次Hermit 插值比分段线性插值的效果要好，在步长越小时分段三次Hermit 插值与插值函数逼近效果更明显，相应的误差越小，而分段线性插值在步长越小时在个别点会出现较大的误差，但总体效果还是可以的，三次Hermit 插值总体上比分段线性插值更光滑，这也符合理论。

二、具体理论知识点(1)分段线性插值近似一条曲线的最简单的方法是过曲线上若干点作一条折线，这就是分段线性插值问题，它的确切提法是：设)(x f 在区间 ],[b a 上的差值数据为)(i i x f y = ，i i h x x n i -+=-≤≤1max 10，求一个函数)(x h φ满足：（1）[]b a C x h ,)(∈φ;（2）在每个子区间[]1,+i i x x )1,,1,0(-=n i 上1)(P x h ∈φ；（3） .,,1,0,)(n i y x i i h ==φ。

我们可以用Lagrange 插值的思想来构造分段线性插值函数)(x h φ，设满足上述条件(1)和(2)的所有函数构成的线性空间为h Φ。

先找线性空间 h Φ 的基函数)(,x l i n ),,1,0(n i =,使得:n j i x l ij j i n ,1,0,,)(,=∂=不难得出,)(,x l i n 的表达式为：[][]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈--=,,,0,,,)(1101010,n n x x x x x x x x x x x l[][][]⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∉∈--∈--=+-+++---,,,0,,,,,,)(11111111,i i i i i i i i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x x x l 1,2,1-=n i ,[][]⎪⎩⎪⎨⎧∈∈--=---,,,0,,,)(101101,n n n n n n x x x x x x x x x x x l所以有了基函数)(,x l i n ，满足条件(1)-(3)的分段线性插值函数)(x h φ就可写为:()∑=⋅=ni i n i h x l y x 0,)(φ(2)分段三次Hermit 插值分段三次Hermit 插值问题提法为:给定],[b a 上的1+n 个插值节点的插值数，仍记ii n i h x x -+-≤≤=110max ，并设被插值函数)(x f 在这些节点出的函数值()i i x f y = 和导数值()i i x f m '=都已知，要求)(x f 的一个插值函数)(x H h ，使之满足：（1）对n i ,,1,0 =，有i i h y x H =)(，i i h m x H =')(；（2）在每个子区间 []1,+i i x x 上，)(x H h 是不超过三次的多项式。

分段三次hermite函数
分段三次 Hermite 函数是一种用于插值数据、拟合数据以及数值微分的函数。

它的特点是可以通过选择足够的基函数来适应各种不同的非线性函数。

本文将深入探讨分段三次 Hermite 函数的定义、应用和优点。

一、定义
分段三次 Hermite 函数是一种三次多项式函数。

它由基函数和插值条件构成。

1. 基函数
1）常数项
2）线性项
3）二次项
这些基函数可以用于构建分段三次 Hermite 函数，使其适应不同的非线性函数。

2. 插值条件
1）值的匹配条件
二、应用
分段三次 Hermite 函数广泛应用于数值微分、插值和拟合。

下面将分别介绍这些应用。

分段三次 Hermite 函数可以用于插值数据。

通过确定插值条件，可以得到一个分段三次 Hermite 函数，使其在给定数据点处与目标函数匹配。

这种方法常常用于构建数值框架，如数值微分和数值积分。

3. 拟合
三、优点
1. 精确度高
2. 稳定性高
分段三次 Hermite 函数具有优良的稳定性。

它可以处理大量的数据，而不会出现精度问题或数值不稳定性。

3. 方便性高
4. 可扩展性高
分段三次 Hermite 函数具有非常强的可扩展性。

它可以扩展到高维空间，适应各种不同的数据类型，从而得到非常精确的结果。

数值分析实验六（分段三次Hermite插值）《数值分析》实验报告实验编号：实验六课题名称：分段三次Hermite插值一、算法介绍给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。

当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

其余的区间为H[0]=0。

h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3, (9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。

当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3,…,10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1 ])/(x[i]-x[i+1]))^2]。

其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。

当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。

构造函数H(x) =∑(y[i]*h[i]+y'[i]*H[i],(i=0,1,…,10)。

二、程序代码// testV iew.cpp : implementation of the CT estV iew class//#include "stdafx.h"#include "test.h"#include "testDoc.h"#include "testView.h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iewIMPLEMENT_DYNCREA TE(CTestView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CTestView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CTestView)// NOTE - the ClassWizard will add and remove mapping macros here.// DO NOT EDIT what you see in these blocks of generated code!//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CV iew::OnFilePrint) ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW,CView::OnFilePrintPreview)END_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew construction/destructionCTestView::CTestV iew(){// TODO: add construction code here}CTestView::~CT estView(){}BOOL CTestView::PreCreateWindow(CREA TESTRUCT& cs){// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying // the CREA TESTRUCT csreturn CV iew::PreCreateWindow(cs);}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew drawingvoid CTestView::OnDraw(CDC* pDC){CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereint i,j,k;double x,y,p_x,p_y,l,xx[100],f[100],F[100],sum,p_sum;CPen MyPen,*OldPen;pDC->SetViewportOrg(400,400); //定义坐标原点for(i=-500;i<500;i++){pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0)); //画出坐标}pDC->TextOut(-210,5,"-1");pDC->TextOut(196,5,"1");//原函数MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义画笔颜色OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen);x=-1.0,y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);for (x=-1.0;x<=1.0;x+=0.0001){y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();//分段三次Hermite插值MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,0)); OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen); x=-1.0,y=1.0/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);x=-1.0;for(i=0;i<=10;i++){f[i]=1/(1+25*x*x);xx[i]=x;F[i]=-50*x/(1+25*x*x)/(1+25*x*x); //导数x+=0.2;}x=-1.0;for(j=0;j<=1000;j++){sum=0;for(i=0;i<=10;i++){if(x==xx[i]){sum=f[i];p_x=x*200,p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}if(xxx[i]){y=(1+2*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]))*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=f[i]*y;y=(1+2*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]))*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=f[i+1]*y;y=(x-xx[i])*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=F[i]*y;y=(x-xx[i+1])*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=F[i+1]*y;p_x=x*200;p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}}x+=0.002;}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew printingBOOL CTestView::OnPreparePrinting(CPrintInfo* pInfo){// default preparationreturn DoPreparePrinting(pInfo);}void CTestView::OnBeginPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add extra initialization before printing}void CTestView::OnEndPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add cleanup after printing}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew diagnostics#ifdef _DEBUGvoid CTestView::AssertV alid() const{CView::AssertV alid();}void CTestView::Dump(CDumpContext& dc) const{CView::Dump(dc);CTestDoc* CT estV iew::GetDocument() // non-debug version is inline{ASSERT(m_pDocument->IsKindOf(RUNTIME_CLASS(CT estD oc)));return (CT estDoc*)m_pDocument;}#endif //_DEBUG/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew message handlers三、运算结果截屏红色的曲线为原函数图像，黑色曲线为分段三次Hermite插值曲线四、算法分析上述图像中黑色的曲线为分段分段三次Hermite插值多项式所对应的图像，由图像可看出黑色的分段三次Hermited插值函数图像和拉格朗日、分段线性插值相比与红色被逼近函数的重合度最好，说明分段三次Hermite插值在函数的各节点两边插值函数的导数是相等的，保证了在各节点的平滑性，且不会出现Runge现象。

分段三次Hermite插值及其与三次样条的⽐较分段三次 Hermite 插值多项式 (PCHIP)语法p = pchip(x,y,xq)pp = pchip(x,y)说明= pchip(,,)返回与xq中的查询点对应的插值p的向量。

p的值由x和y的保形分段三次插值确定。

= pchip(,)返回⼀个分段多项式结构体以⽤于ppval和样条实⽤⼯具unmkpp。

例1使⽤spline和pchip插⼊数据将spline和pchip为两个不同函数⽣成的插值结果进⾏⽐较。

创建由x值、点y处的函数值以及查询点xq组成的向量。

使⽤spline和pchip计算查询点处的插值。

绘制查询点处的插值函数值以进⾏⽐较。

clc;clear;x = -3:3; %插值点x坐标y = [-1 -1 -1 0 1 1 1]; %插值点y坐标xq1 = -3:.01:3; %查询点p = pchip(x,y,xq1); %返回查询点的y坐标s = spline(x,y,xq1); %返回查询点的y坐标plot(x,y,'o',xq1,p,'-',xq1,s,'-.')legend('Sample Points','pchip','spline','Location','SouthEast')注：蓝⾊圆圈是被插值样本点。

可以看到：样条曲线（其实也是分段多项式）在两边有轻微震荡现象，但更加光滑，因为它要求在插值点处插值函数连续，插值函数⼀阶导连续，插值函数⼆阶导连续，⽽三次分段Hermite插值函数则⽐价稳定，但不如样条标线的那样光滑，因为它只要求在插值点处插值函数连续，插值函数的⼀阶导连续。

例2x = -5:5;y = [11110012222];p = pchip(x,y);xq = -5:0.2:5;pp = ppval(p,xq); %返回插值函数的查询点处的y坐标plot(x,y,'o',xq,pp,'-.')ylim([-0.22.2])例3x = -5:5;y = [11110012222];p = pchip(x,y);s = spline(x,y);xq = -5:0.1:5;pp = ppval(p,xq); %返回插值函数的查询点处的y坐标ss = ppval(s,xq); %返回插值函数的查询点处的y坐标figure(1);hold on;plot(x,y,'o',xq,pp,'-.',xq,ss,'b-')ylim([-0.22.2])figure(1);hold on ;legend('Sample Points','分段三次Hermite','分段三次样条','Location','SouthEast')PCHIP是分段三次hermit插值，但书中的该⽅法必须知道点的值和导数值，为什么PCHIP的变量只有函数值⽽没有导数值？在⽤pchip插值的过程中，matlab会基于所给的函数值来帮你估算各导数值。

实验六: 分段三次Hermite插值画函数图像学号: 姓名:指导老师：马季骕班级:计算机科学与技术（非师范）1、算法说明：分段三次Hermit插值的做法是在每一个小区间上作三次Hermit插值，因此在每一个插值节点上都需要构造两个插值基函数，然后再作它们的线性组合。

分段三次Hermit插值基函数如下：H(x)=Σ(yihi(x)+y’iHi(x))给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。

当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

其余的区间为H[0]=0。

h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3,...,9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。

当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3, (10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+ 1]))^2]。

其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。

当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。

山东师范大学数学科学学院实验报告x 0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9y' 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4求质点在时刻1.8时的速度，并画出插值多项式的图像。

1)运用Hermite插值法画出图像，如图4-1，并求质点在时刻1.8时的速度。

>>clear>>clc>>X=[0.1 0.5 1 1.5 2 2.5 3;0.95 0.84 0.86 1.06 1.5 0.72 1.9;1 1.5 2 2.5 3 3.5 4];>> x=0.1:0.01:3;>> H=Hermite1(X,x);>> plot(x,H)>> hold on>> plot(X(1,:),X(2,:),'r*')>> H1_8=Hermite(X,1.8);>> plot(1.8,H1_8,'go')>> legend('插值图像','原始点','目标点');图4-1二、验证高次插值的Runge现象问题分析和算法设计（一）Language插值代码function [Ln] =Lagrange(X,x)%请输入2*n+1矩阵X，X中第一行每个元素都是插值节点，X中第二行每个元素都是插值节点对应的函数值；%第二章P24例一拉格朗日插值n=size(X,2);d=0;for m=1:1:nif x==X(1,m);d=m;breakendend运行结果和总结 运行结果 例：给定函数55,11)(2≤≤-+=x xx f ； （1） 验证表2-10的误差结果（高次插值的Runge 现象）；（2） 以0.1为步长分别进行Language 插值、分段线性插值、分段三次Hermite插值，画出三种插值函数以及f(x)的图像，比较三种插值结果。

代码实现分段三次 hermite 插值多项式以下是 Python 代码实现分段三次 Hermite 插值多项式：```python。

import numpy as np。

def hermite_interpolation(x, y, dy):。

"""。

分段三次 Hermite 插值多项式。

:param x: 自变量数组。

:param y: 因变量数组。

:param dy: 导数数组。

:return: 插值函数。

"""。

n = len(x) - 1。

h=x[1:]-x[:-1]#计算每个区间的步长。

a=y[:-1]#a[i]表示第i个节点的函数值。

b = dy[:-1] # b[i] 表示第 i 个节点的导数值。

c = (3 * (y[1:] - y[:-1]) / h - 2 * dy[:-1] - dy[1:]) / h # 计算 c[i]。

d = (2 * (y[:-1] - y[1:]) + dy[:-1] + dy[1:]) / h ** 2 # 计算 d[i]。

def f(x0):。

#找到x0属于哪个区间。

i = np.searchsorted(x, x0) - 1。

#判断x0是否在所求区间内。

if i < 0 or i >= n:。

raise ValueError("x0 不在所求区间内")。

t=(x0-x[i])/h[i]。

# 分段 Hermite 插值多项式。

p=(1+2*t)*((1-t)*a[i]+t*a[i+1])+t*(t-1)*h[i]*c[i]。

p=p+t*(t-1)**2*h[i]**2*d[i]#注意加括号。

return p。

return f。

```。

代码中用到了 NumPy 库中的 `searchsorted` 函数，它可以用来找到一个数在一个有序数组中的位置。

具体使用方法可以参考其官方文档。

摘要ﻩ用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域,但是在实际问题中，往往是通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上的函数值。

如何通过这些离散数据找到函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式,是经常遇到的问题。

ﻩ对于这类问题我们解决的方法为插值法,而最常用也最简单的插值方法就是多项式插值。

当然用插值法得到的近似表达式必须满足插值条件即假设给定了n+１个点的自变量的值以及函数值，近似函数必须要过这n+１(ｘ）通过个点。

多项式插值,从几何角度看，就是寻求n次代数曲线y=Pnｎ+1个点作为ｆ（ｘ）的近似。

ﻩ但是随着插值节点个数的增加，高次插值多项式的近似效果并不理想。

根据大量实验得出，在进行高次多项式插值时,会出现龙格现象。

ﻩ因此，为了解决这样的一个问题，我们可以通过缩小插值区间的办法达到减小误差的目的。

但是当在每个小区间上用一次函数进行插值时,有很好的收敛性但是光滑度不够，因此本实验将用三次Heｒmiｔe进行插值,做具体的讨论和学习。

关键词：龙格现象分段差值三次Ｈeｒmite进行插值1、实验目的1)通过对分段三次Hｅrｍiｔe插值算法程序的编写，提高自己编写程序的能力2)体会分段三次Heｒmiｔe插值比分段线性插值优越在哪里3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力2、算法流程ﻩ分段线性插值多项式S(x)在插值区间[a,b]上只能保证连续性，而不光滑。

要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式,可采用分段埃尔米特（Hermite）插值，这里我们考虑在整个[a,b]上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近f(x)。

一般的将带有导数的插值多项式称为Ｈerｍite插值多项式。

ﻩ如果已知函数y=f(x)在节点a=x0<x1<⋯<x n=b处的函数的值和导数值:y i=f(x i),y i′=f′(x i),i=0,1,2,⋯,n则在小区间[x i−1,x i]上有四个插值条件:y i−1=f(x i−1),y i=f(x i)y′i−1=f′(x i−1),y i′=f′(x i)故能构造一个三次多项式H i(x)，并称为三次Hermiｔe插值多项式。