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《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122 学院:理学院班级: 数学101题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录 (I)一、摘要 (1)二、算法设计 (1)2.1分段线性插值 (1)2.2分段三次埃尔米特插值 (1)2.3功能框图 (1)三、例题计算 (1)四、误差及结果分析 (9)4.1例题误差分析 (1)4.2结点个数对插值结果的影响 (1)五、总结及心得体会 (12)参考文献 (13)源程序 (14)一、摘要分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。
由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。
为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。
为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。
在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。
通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。
分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。
数值分析实验六（分段三次Hermite插值）《数值分析》实验报告实验编号：实验六课题名称：分段三次Hermite插值一、算法介绍给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。
当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。
其余的区间为H[0]=0。
h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。
当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3, (9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。
当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3,…,10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1 ])/(x[i]-x[i+1]))^2]。
其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。
当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。
构造函数H(x) =∑(y[i]*h[i]+y'[i]*H[i],(i=0,1,…,10)。
二、程序代码// testV iew.cpp : implementation of the CT estV iew class//#include "stdafx.h"#include "test.h"#include "testDoc.h"#include "testView.h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iewIMPLEMENT_DYNCREA TE(CTestView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CTestView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CTestView)// NOTE - the ClassWizard will add and remove mapping macros here.// DO NOT EDIT what you see in these blocks of generated code!//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CV iew::OnFilePrint) ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW,CView::OnFilePrintPreview)END_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew construction/destructionCTestView::CTestV iew(){// TODO: add construction code here}CTestView::~CT estView(){}BOOL CTestView::PreCreateWindow(CREA TESTRUCT& cs){// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying // the CREA TESTRUCT csreturn CV iew::PreCreateWindow(cs);}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew drawingvoid CTestView::OnDraw(CDC* pDC){CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereint i,j,k;double x,y,p_x,p_y,l,xx[100],f[100],F[100],sum,p_sum;CPen MyPen,*OldPen;pDC->SetViewportOrg(400,400); //定义坐标原点for(i=-500;i<500;i++){pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0)); //画出坐标}pDC->TextOut(-210,5,"-1");pDC->TextOut(196,5,"1");//原函数MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义画笔颜色OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen);x=-1.0,y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);for (x=-1.0;x<=1.0;x+=0.0001){y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();//分段三次Hermite插值MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,0)); OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen); x=-1.0,y=1.0/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);x=-1.0;for(i=0;i<=10;i++){f[i]=1/(1+25*x*x);xx[i]=x;F[i]=-50*x/(1+25*x*x)/(1+25*x*x); //导数x+=0.2;}x=-1.0;for(j=0;j<=1000;j++){sum=0;for(i=0;i<=10;i++){if(x==xx[i]){sum=f[i];p_x=x*200,p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}if(xxx[i]){y=(1+2*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]))*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=f[i]*y;y=(1+2*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]))*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=f[i+1]*y;y=(x-xx[i])*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=F[i]*y;y=(x-xx[i+1])*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=F[i+1]*y;p_x=x*200;p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}}x+=0.002;}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew printingBOOL CTestView::OnPreparePrinting(CPrintInfo* pInfo){// default preparationreturn DoPreparePrinting(pInfo);}void CTestView::OnBeginPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add extra initialization before printing}void CTestView::OnEndPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add cleanup after printing}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew diagnostics#ifdef _DEBUGvoid CTestView::AssertV alid() const{CView::AssertV alid();}void CTestView::Dump(CDumpContext& dc) const{CView::Dump(dc);CTestDoc* CT estV iew::GetDocument() // non-debug version is inline{ASSERT(m_pDocument->IsKindOf(RUNTIME_CLASS(CT estD oc)));return (CT estDoc*)m_pDocument;}#endif //_DEBUG/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew message handlers三、运算结果截屏红色的曲线为原函数图像，黑色曲线为分段三次Hermite插值曲线四、算法分析上述图像中黑色的曲线为分段分段三次Hermite插值多项式所对应的图像，由图像可看出黑色的分段三次Hermited插值函数图像和拉格朗日、分段线性插值相比与红色被逼近函数的重合度最好，说明分段三次Hermite插值在函数的各节点两边插值函数的导数是相等的，保证了在各节点的平滑性，且不会出现Runge现象。
两点三次埃尔米特插值余项证明《两点三次埃尔米特插值余项证明》1. 概述在数值分析中，插值是一种常用的数值计算方法，用于在已知数据点之间估算未知数据点的值。
而埃尔米特插值则是一种特殊的插值方法，可以通过已知点的函数值以及导数值来构造插值多项式，进而进行函数值的估算。
2. 两点三次埃尔米特插值在插值问题中，特别是在微积分和数值分析中，两点三次埃尔米特插值是一种常见且重要的技术。
它通过两个数据点的函数值和导数值，构造出一个三次多项式，可以更加准确地近似原始函数，并且可以保持更高的导数连续性。
这种方法在实际问题中具有很强的适用性，尤其是在需要对曲线进行平滑插值的情况下。
3. 余项证明在使用插值方法进行数据估算时，余项是一个重要的概念。
它代表了插值多项式与原函数之间的差距，可以用来评估插值的准确性和可靠性。
对于两点三次埃尔米特插值而言，余项的证明是一项关键的工作，它可以帮助我们理解插值多项式的误差情况，进而指导我们对插值结果的使用和解释。
4. 个人观点和理解作为一种高级的数值计算方法，两点三次埃尔米特插值在实际问题中的应用非常广泛，尤其是在科学计算和工程领域。
通过对余项的详细证明和分析，我们可以更加深入地理解插值方法的原理和实际效果，进而更加灵活地应用这一技术解决实际问题。
5. 总结两点三次埃尔米特插值作为一种高级的插值方法，通过对已知点的函数值和导数值进行合理的处理，可以构造出一个更加精确的插值多项式，用于估算未知点的函数值。
在实际应用中，我们需要充分理解余项的证明和分析，以便更好地评估插值结果的准确性和可靠性。
通过以上文章内容的布局和深度处理，可以详细解释和讨论所提及的主题，从而全面了解和深入了解其背后的知识和原理。
6. 余项证明的数学推导在两点三次埃尔米特插值中，我们需要构造出一个三次多项式，以满足已知数据点的函数值和导数值。
设两个已知点为(x0, y0)和(x1, y1)，以及它们各自的一阶导数值y'0和y'1。
《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122 学院:理学院班级: 数学101题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录 (I)一、摘要 (1)二、算法设计 (1)2.1分段线性插值 (1)2.2分段三次埃尔米特插值 (1)2.3功能框图 (1)三、例题计算 (1)四、误差及结果分析 (9)4.1例题误差分析 (1)4.2结点个数对插值结果的影响 (1)五、总结及心得体会 (12)参考文献 (13)源程序 (14)一、摘要分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。
由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。
为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。
为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。
在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。
通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。
分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。
实验六: 分段三次Hermite插值画函数图像学号: 姓名:指导老师：马季骕班级:计算机科学与技术（非师范）1、算法说明：分段三次Hermit插值的做法是在每一个小区间上作三次Hermit插值，因此在每一个插值节点上都需要构造两个插值基函数，然后再作它们的线性组合。
分段三次Hermit插值基函数如下：H(x)=Σ(yihi(x)+y’iHi(x))给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。
当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。
其余的区间为H[0]=0。
h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。
当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3,...,9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。
当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3, (10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+ 1]))^2]。
其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。
当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。
实验四分段三次埃尔米特插值（一）实验目的掌握分段三次埃尔米特插值算法。
（二）实验项目内容1．写出计算步骤和流程图。
2．对每种算法分别用C或c#程序实现。
3．调试程序。
可用以下数据进行调试。
已知函数y=1/(1+x2)在区间[0,3]上取等距插值节点，求区间[0,3]上的分段三次埃尔米特插值函数，并利用它求出f(1.5)的近似值（0.3075）。
x0 1 2iy 1 0.5 0.2 iy 0 -0.5 -0.16 i（三）主要仪器设备微机（四）实验室名称公共计算机实验室（五）实验报告撰写实验四分段三次埃尔米特插值实验报告一、流程图二、 程序代码#include<stdio.h>#include<math.h>float f0(float x) N Y开始输入i x ,i y ,xy=0, j=0t=1i j ix x t t x x -=- i=0,…j-1,j+1,…n i y y ty =+j=n? 输出y结束j=j+1{return((x-1)*(x-1)*(2*x+1));}float f1(float x){return(x*x*(-2*x+3));}float g0(float x){return(x*(x-1)*(x-1));}float g1(float x){return(x*x*(x-1));}void main(){float x0,x1,x,y0,y1,yy0,yy1,h,p;printf("输入x0,x1,x,y0,y1和yy0,yy1的取值");scanf("%f%f%f%f%f%f%f",&x0,&x1,&x,&y0,&y1,&yy0,&yy1); h=x1-x0;p=y0*f0((x-x0)/h)+y1*f1((x-x0)/h)+h*yy0*g0((x-x0)/h)+h*yy1*g1((x-x0)/h);printf("%f\n",p);}三、运行结果【截图】。
两点三次hermite插值例题Hermite插值是一种数值分析方法，用于在给定的数据点上生成一个多项式函数，以便通过这些数据点来近似描述一个函数。
Hermite插值是利用函数值和导数值来进行插值的一种方法，它可以更精确地逼近给定的数据点。
下面我将通过一个例题来说明Hermite插值的过程。
假设我们有以下数据点，(1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2)，我们要使用Hermite插值来找到通过这些点的多项式函数。
首先，我们需要计算每个数据点的导数值。
因为数据点中有重复的x值，我们需要分别计算每个x值对应的导数值。
对于数据点(1, 2)和(1, 3)，我们可以假设它们对应的导数值分别为2和3；对于数据点(2, 1)和(2, 2)，我们可以假设它们对应的导数值分别为1和2。
接下来，我们将使用这些数据点和导数值来构建Hermite插值多项式。
Hermite插值多项式的一般形式为：\[P(x) = \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1, \ldots, x_i](x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{i-1}) + \sum_{i=0}^{n}f[x_0, x_1,\ldots, x_i, x_i](x-x_0)(x-x_1)\ldots(x-x_{i-1})^2\]其中，\[f[x_0, x_1, \ldots, x_i]\]表示数据点\[x_0, x_1, \ldots, x_i\]处的插值函数值。
这个式子的第一部分表示通过数据点的函数值进行插值，第二部分表示通过数据点的导数值进行插值。
我们可以根据给定的数据点和导数值，计算出Hermite插值多项式。
最终得到的多项式函数就是通过这些数据点进行Hermite插值得到的结果。
总结起来，Hermite插值是一种利用函数值和导数值进行插值的方法，可以更精确地逼近给定的数据点。
通过计算数据点的导数值和使用Hermite插值多项式的公式，我们可以得到一个通过这些数据点的多项式函数。
基于保形分段三次hermite插值的响应面法基于保形分段三次Hermite插值的响应面法是一种可以应用于优化设计的新型方法，它主要用于在目标函数的多变量和多约束分布中去寻找最优解。
该方法可以将多变量多约束中的灵活变量相对简单设定，从而有效减少计算时间，提高效率，更好的解决多变量多约束优化问题。
一、原理：1、三次Hermite插值：三次Hermite插值指的是给定一组有序点，根据这些定点求出关于时间t的函数表达式。
三次插值用基函数来表达它，基函数可以灵活改变，相比其他插值法，三次Hermite插值有着更大的拟合能力，能够更好的描述曲线上每一个点。
2、保形性：将多维优化问题转化成单变量时，利用基于三次Hermite插值的响应面法可以使得优化后的目标函数的响应表现保持原有的形态，特别是左右斜率的分布保持原有的形态不变，使得最优解明显改善了。
二、响应面法的实现步骤：1、函数的选择：在响应面法的算法中，首先需要考虑一个适合的模型函数，这个函数将被作为最终优化结果的目标函数。
2、模型数据的建立：在设置模型函数后，就要建立起数据库，在计算中，将响应面拟合到这些数据点上，以期待最终完成拟合。
3、基函数的选择：计算的基础是基函数的选择，这里推荐使用三次Hermite插值，其特性是可以控制曲线的斜率，这可以有效保证模型函数的质量。
4、解算：有了优化设计模型函数，模型数据以及基函数之后，就可以通过求解响应面，来求解最优解。
三、基于保形分段三次Hermite插值的响应面法的优缺点：1、优点：（1）这种方法可以在较短的时间内求出优化解，解算时间大大缩短；（2）可以很好的拟合斜率变化的望多变量函数，有效保持函数的形状；（2）能够在固定变量的情况下有效求解；（3）能够确定非凸型函数的最优解。
2、缺点：（1）计算量较大；（2）函数取值范围必须是有限范围；（3）解的可靠性需要被认为实验证实。
总结：基于保形分段三次Hermite插值的响应面法是一种有效的求解多变量多约束优化问题的算法，它具有计算快、稳定性好、非凸型函数有效求解并可以使得原有函数的形状等优点，但也存在着计算量大、解取值范围有限以及解的可靠性需要被认为实验证实等缺点，建议使用者在使用该方法时，要充分考虑优缺点，以保证优化设计的有效性和正确性。
摘要用函数来表示变量间的数量关系广泛应用于各学科领域，但是在实际问题中，往往是通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上的函数值。
如何通过这些离散数据找到函数的一个满足精度要求且便于使用的近似表达式，是经常遇到的问题。
对于这类问题我们解决的方法为插值法，而最常用也最简单的插值方法就是多项式插值。
当然用插值法得到的近似表达式必须满足插值条件即假设给定了 n+1 个点的自变量的值以及函数值，近似函数必须要过这n+1 个点。
多项式插值，从几何角度看，就是寻求 n 次代数曲线y=Pn （x）通过 n+1 个点作为 f（x）的近似。
但是随着插值节点个数的增加，高次插值多项式的近似效果并不理想。
根据大量实验得出，在进行高次多项式插值时，会出现龙格现象。
因此，为了解决这样的一个问题，我们可以通过缩小插值区间的办法达到减小误差的目的。
但是当在每个小区间上用一次函数进行插值时，有很好的收敛性但是光滑度不够，因此本实验将用三次 Hermite 进行插值，做具体的讨论和学习。
关键词：龙格现象分段差值三次Hermite 进行插值i i ‒ 1 i ‒ 1 i iH 2(x ),x ∈ [x 1,x 2] ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ H n (x ),x ∈ [x n ‒ 1,x n ]1、实验目的1) 通过对分段三次 Hermite 插值算法程序的编写，提高自己编写程序的能力2) 体会分段三次 Hermite 插值比分段线性插值优越在哪里 3) 用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力2、算法流程分段线性插值多项式S (x )在插值区间[a ,b ]上只能保证连续性，而不光滑。
要想得到在插值区间上光滑的分段线性插值多项式，可采用分段埃尔米特（Hermite ）插值，这里我们考虑在整个[a ,b ]上用分段三次埃尔米特插值多项式来逼近f (x )。
一般的将带有导数的插值多项式称为 Hermite 插值多项式。
如果已知函数y = f (x )在节点a = x 0 < x 1 < ⋯ < x n = b 处的函数的值 和导数值：y i = f (x i ),y ' = f '(x i ),i = 0,1,2,⋯,n则在小区间[x i ‒ 1,x i ]上有四个插值条件：y i ‒ 1 = f (x i ‒ 1),y i = f (x i )y ' = f '(x ),y ' = f '(x ) 故能构造一个三次多项式H i (x )，并称为三次 Hermite 插值多项式。
