参数三次埃尔米特插值实例分析

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5.4 三次Hermite插值

P( xi ) f ( xi ) fi P( xi ) f ( xi ) fi P( xi ) f ( xi ) fi
P ( m ) ( xi ) f ( m ) ( xi ) f i ( m )
i 0 ,1, , n
定义. 称满足(1)或(2)式的插值问题为Hermite插值，称满足(1)或(2)式的插值多项式P(x)为Hermite插值多项式，记为 H k ( x) ,k为多项式次数.
2
由于0 ( x0 ) 0 ( x1 ) 0( x1 ) 0, 故 0 ( x) 含有 ( x x0 )( x x1 ) 因子。可设
0 ( x) c( x x0 )( x x1 )2
2
其中c为待定系数。
1 . 由 0( x0 ) 1, 可得 c 2 ( x0 x1 )
2 2
x x0 x x 0 1
2
2
2 H 3 ( x) 21 2( x 1) x 2 2 31 2( x 2) x 1
x 2 x 12
3 x 3 13x 2 17x 9
f (1.5) H 3 (1.5) 2.625 f (1.7 ) H 3 (1.7 ) 2.931
2
三次Hermite插值多项式 H3 ( x) 的表达式为
H3 ( x) y00 ( x) y11( x) m00 ( x) m11( x)
可以证明，其余项为
f (4) ( ) R3 ( x ) f ( x ) H 3 ( x ) ( x x0 ) 2 ( x x1 ) 2 , 4! 其中介于 x0 , x1 之间。
x x1 x x0 1 ( x) 1 2 x x x x 0 1 1 0

三次埃尔米特插值

《计算方法》课程设计报告学生姓名:张学阳学号：1009300132陈洋1009300109刘睿1009300122 学院:理学院班级: 数学101题目: 分段线性及三次埃尔米特插值通用程序指导教师：宋云飞职称：讲师朱秀丽讲师尚宝欣讲师2012年12月30日目录目录 (I)一、摘要 (1)二、算法设计 (1)2.1分段线性插值 (1)2.2分段三次埃尔米特插值 (1)2.3功能框图 (1)三、例题计算 (1)四、误差及结果分析 (9)4.1例题误差分析 (1)4.2结点个数对插值结果的影响 (1)五、总结及心得体会 (12)参考文献 (13)源程序 (14)一、摘要分段线性插值与分段定义的线性插值,在相邻插值节点的区间上对应的是同一个线性函数。

由于它们的表现形式不一样从而产生为两种不同的计算方法,相应的误差表现形式也不一样.拉格朗日插值余项利用f(x)的二阶导数,要f(x)的二阶导数存在,对于二阶导数不存在的情况不能估算出它的误差,所以适用范围比较小.现在我们可以利用一阶导数就估算出误差,给计算带来许多的方便。

为了避免高次插值可能出现的大幅度波动现象，在实际应用中通常采用分段低次插值来提高近似程度，比如可用分段线性插值或分段三次埃尔米特插值来逼近已知函数，但它们的总体光滑性较差。

为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。

在代数插值过程中，人们为了获得较好的近似效果，通常情况下是增加插值节点数.由于二次插值比线性插值近似效果好，因此容易错误地认为插值多项式次数越高越好.事实上,随着插值节点的增多，插值多项式不一定收敛到被插值函数.。

通过分段低次插值或样条插值可以得到较好的近似逼近函数，分段低次插值具有公式简单、运算量小、稳定性好、收敛性有保证等优点.随着子区间长度h取得足够小，分段低次插值总能满足所要求的精度.因此分段低次插值应用十分广泛.。

分段线性插值是分段低次插值中常见的方法之一，在本文中对函数在(-5，5)上进行分段线性插值，取不同节点个数n，得到不同分段线性插值函数.并用MATLAB编写分段线性插值函数，最后比较用不同节点数所得插值函数与真实函数的误差，从而得出节点数与插值效果的关系。

数值分析实验六（分段三次Hermite插值）

数值分析实验六（分段三次Hermite插值）《数值分析》实验报告实验编号：实验六课题名称：分段三次Hermite插值一、算法介绍给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。

当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

其余的区间为H[0]=0。

h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3, (9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。

当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3,…,10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1 ])/(x[i]-x[i+1]))^2]。

其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。

当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。

构造函数H(x) =∑(y[i]*h[i]+y'[i]*H[i],(i=0,1,…,10)。

二、程序代码// testV iew.cpp : implementation of the CT estV iew class//#include "stdafx.h"#include "test.h"#include "testDoc.h"#include "testView.h"#ifdef _DEBUG#define new DEBUG_NEW#undef THIS_FILEstatic char THIS_FILE[] = __FILE__;#endif/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iewIMPLEMENT_DYNCREA TE(CTestView, CView)BEGIN_MESSAGE_MAP(CTestView, CView)//{{AFX_MSG_MAP(CTestView)// NOTE - the ClassWizard will add and remove mapping macros here.// DO NOT EDIT what you see in these blocks of generated code!//}}AFX_MSG_MAP// Standard printing commandsON_COMMAND(ID_FILE_PRINT, CView::OnFilePrint)ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_DIRECT, CV iew::OnFilePrint) ON_COMMAND(ID_FILE_PRINT_PREVIEW,CView::OnFilePrintPreview)END_MESSAGE_MAP()/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew construction/destructionCTestView::CTestV iew(){// TODO: add construction code here}CTestView::~CT estView(){}BOOL CTestView::PreCreateWindow(CREA TESTRUCT& cs){// TODO: Modify the Window class or styles here by modifying // the CREA TESTRUCT csreturn CV iew::PreCreateWindow(cs);}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew drawingvoid CTestView::OnDraw(CDC* pDC){CTestDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data hereint i,j,k;double x,y,p_x,p_y,l,xx[100],f[100],F[100],sum,p_sum;CPen MyPen,*OldPen;pDC->SetViewportOrg(400,400); //定义坐标原点for(i=-500;i<500;i++){pDC->SetPixel(0,i,RGB(0,0,0));pDC->SetPixel(i,0,RGB(0,0,0)); //画出坐标}pDC->TextOut(-210,5,"-1");pDC->TextOut(196,5,"1");//原函数MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(255,0,0));//定义画笔颜色OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen);x=-1.0,y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);for (x=-1.0;x<=1.0;x+=0.0001){y=1/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();//分段三次Hermite插值MyPen.CreatePen(PS_SOLID,1,RGB(0,0,0)); OldPen=pDC->SelectObject(&MyPen); x=-1.0,y=1.0/(1+25*x*x);p_x=x*200;p_y=-y*200;pDC->MoveTo(p_x,p_y);x=-1.0;for(i=0;i<=10;i++){f[i]=1/(1+25*x*x);xx[i]=x;F[i]=-50*x/(1+25*x*x)/(1+25*x*x); //导数x+=0.2;}x=-1.0;for(j=0;j<=1000;j++){sum=0;for(i=0;i<=10;i++){if(x==xx[i]){sum=f[i];p_x=x*200,p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}if(xxx[i]){y=(1+2*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]))*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=f[i]*y;y=(1+2*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]))*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=f[i+1]*y;y=(x-xx[i])*(x-xx[i+1])*(x-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1])/(xx[i]-xx[i+1]);sum+=F[i]*y;y=(x-xx[i+1])*(x-xx[i])*(x-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i])/(xx[i+1]-xx[i]);sum+=F[i+1]*y;p_x=x*200;p_y=-sum*200;pDC->LineT o(p_x,p_y);break;}}x+=0.002;}pDC->SelectObject(OldPen);MyPen.DeleteObject();/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew printingBOOL CTestView::OnPreparePrinting(CPrintInfo* pInfo){// default preparationreturn DoPreparePrinting(pInfo);}void CTestView::OnBeginPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add extra initialization before printing}void CTestView::OnEndPrinting(CDC* /*pDC*/, CPrintInfo* /*pInfo*/){// TODO: add cleanup after printing}/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew diagnostics#ifdef _DEBUGvoid CTestView::AssertV alid() const{CView::AssertV alid();}void CTestView::Dump(CDumpContext& dc) const{CView::Dump(dc);CTestDoc* CT estV iew::GetDocument() // non-debug version is inline{ASSERT(m_pDocument->IsKindOf(RUNTIME_CLASS(CT estD oc)));return (CT estDoc*)m_pDocument;}#endif //_DEBUG/////////////////////////////////////////////////////////////////// //////////// CTestV iew message handlers三、运算结果截屏红色的曲线为原函数图像，黑色曲线为分段三次Hermite插值曲线四、算法分析上述图像中黑色的曲线为分段分段三次Hermite插值多项式所对应的图像，由图像可看出黑色的分段三次Hermited插值函数图像和拉格朗日、分段线性插值相比与红色被逼近函数的重合度最好，说明分段三次Hermite插值在函数的各节点两边插值函数的导数是相等的，保证了在各节点的平滑性，且不会出现Runge现象。

数值分析三次样条插值

0
2
1

n1
1
n2
2 n1
M d 0
MM dd n2 M d 2

1 1 2 2
n1 n1 n n
di f xi2, xi1, xi
华长生制作
7
2、三弯矩构造法
三次样条插值函数 S( x) 可以有多种表达式，有时用二阶导数
值S( xi) Mi (i 0,1,, n)
Mi
xi
表示时，使用更方便。在力学上解释
为细M梁i 在 S处( x的) 弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故
称用由于表S(示x)在区间的算[x法i , x为i三1](弯i 矩0,算1,法,。n 1) 上是三次多项式，
hn
n1 3
Mn

f
x0 , x1 f
xn1, xn
其中
0

h1 h1h n
1
0 ,
hn , 0 hnh0
d1

6(
f
[
x
,
0
x1]
f
x[ , n1
x
n])(h1
h
n)
1
.
可解出 M i (i 0,1,, n) ，方程组的矩阵形式为
2
hi
min hi
,M4
max x[a,b]
f (4) (x)
1in
华长生制作
16
精品课件！
精品课件！
可见S(x), S(x)和S(x)在[a,b]上一致收敛到f (x), f (x)和f (x)

两点三次埃尔米特插值余项证明

两点三次埃尔米特插值余项证明《两点三次埃尔米特插值余项证明》1. 概述在数值分析中，插值是一种常用的数值计算方法，用于在已知数据点之间估算未知数据点的值。

而埃尔米特插值则是一种特殊的插值方法，可以通过已知点的函数值以及导数值来构造插值多项式，进而进行函数值的估算。

2. 两点三次埃尔米特插值在插值问题中，特别是在微积分和数值分析中，两点三次埃尔米特插值是一种常见且重要的技术。

它通过两个数据点的函数值和导数值，构造出一个三次多项式，可以更加准确地近似原始函数，并且可以保持更高的导数连续性。

这种方法在实际问题中具有很强的适用性，尤其是在需要对曲线进行平滑插值的情况下。

3. 余项证明在使用插值方法进行数据估算时，余项是一个重要的概念。

它代表了插值多项式与原函数之间的差距，可以用来评估插值的准确性和可靠性。

对于两点三次埃尔米特插值而言，余项的证明是一项关键的工作，它可以帮助我们理解插值多项式的误差情况，进而指导我们对插值结果的使用和解释。

4. 个人观点和理解作为一种高级的数值计算方法，两点三次埃尔米特插值在实际问题中的应用非常广泛，尤其是在科学计算和工程领域。

通过对余项的详细证明和分析，我们可以更加深入地理解插值方法的原理和实际效果，进而更加灵活地应用这一技术解决实际问题。

5. 总结两点三次埃尔米特插值作为一种高级的插值方法，通过对已知点的函数值和导数值进行合理的处理，可以构造出一个更加精确的插值多项式，用于估算未知点的函数值。

在实际应用中，我们需要充分理解余项的证明和分析，以便更好地评估插值结果的准确性和可靠性。

通过以上文章内容的布局和深度处理，可以详细解释和讨论所提及的主题，从而全面了解和深入了解其背后的知识和原理。

6. 余项证明的数学推导在两点三次埃尔米特插值中，我们需要构造出一个三次多项式，以满足已知数据点的函数值和导数值。

设两个已知点为(x0, y0)和(x1, y1)，以及它们各自的一阶导数值y'0和y'1。

三次埃尔米特插值

为了克服这一缺点，一种全局化的分段插值方法——三次样条插值成为比较理想的工具。

有理三次三角Hermite插值样条曲线及其应用

π 2 （4），得：TH（i t）=
a
3
cos
π
2
t，a
3
sin
π
2
t
，它表示星形线，如图 5
所示，图中实线对应 t∈[0，1]，虚线对应 t∈[1，4]。
（4）令 qi=qi+1=（0，0），qi+2=（πa，0），qi+3=（0，-πa）（a≠0）及
摘要：给出一种有理三次三角 Hermite 插值样条曲线，具有三次 Hermite 插值样条相似的性质。该样条含有三角函数和形状参
2
数，利用形状参数的不同取值可以调控插值曲线的形状，甚至不用解方程组，就能使曲线达到 C 连续。此外，选择合适的控制点和形状参数，这种样条可以精确表示星形线和四叶玫瑰线等超越曲线。关键词：三次插值样条；有理三次三角插值样条；超越曲线；星形线；四叶玫瑰线 DOI：10.3778/j.issn.1002-8331.2010.05.003 文章编号：1002－8331（2010）05-0007-03 文献标识码：A 中图分类号：TP391
π 2 （2）令 qi=qi+2=（a，a），qi+1=（0，0），qi+3=
-
πa 2
，0
（a≠0），及
π 2 μi=μi+1，代入式（4），得 TH（i t）=
a cos π 2
t，a
3
cos
π
2
t
，它表示一
条三次抛物线，如图 4 所示。
图 3 椭;2=（a，0），qi+1=qi+3=（0，a）（a≠0）及 μi=μi+1，代入式
XIE Jin，TAN Jie-qing，LI Sheng-feng，et al.Rational cubic trigonometric Hermite interpolation spline curves and appli－ puter Engineering and Applications，2010，46（5）：7-9.

三次Hermite插值

检查插值多项式是否满足Hermite插值的约束条件，即插值多项式和原函数在节点处有相同的函数值和导数值。
04 实例分析
CHAPTER
实例一：已知数据点的插值
总结词
利用已知数据点进行插值，可三次Hermite插值方法，利用已知的数据点来估计未知点的值。这种方法能够更好地处理数据点的变化，并提高插值的精度。
CHAPTER
插值多项式的构造
定义
Hermite插值法是一种通过已知的离散数据点来构造一个多项式，使其能够准确地经过这些数据点，并尽可能地平滑地连接这些点的方法。
构造方法
Hermite插值多项式由两个部分组成，一个是线性函数，另一个是二次函数。线性函数部分用于确保插值多项式能够准确地经过数据点，而二次函数部分则用于保证插值多项式的平滑性。
实例二：未知数据点的插值
总结词
在未知数据点的情况下，可以通过三次 Hermite插值方法，预测并估计未知点的值。
详细描述
在数据点未知的情况下，可以利用三次 Hermite插值方法，根据已知的数据点来预测和估计未知点的值。这种方法能够为后续的数据分析和处理提供重要的参考依据。
实例三：复杂函数的插值
三次Hermite插值能够提供高精度的插值结果，特别是在处理
复杂函数时。
稳定性好
02
该方法在处理大数据集时表现出良好的稳定性，不易受到噪声
和异常值的影响。
易于实现
03
三次Hermite插值的算法相对简单，易于在计算机上实现和优
化。
三次Hermite插值的局限性
对初始数据敏感
三次Hermite插值的结果对初始数据的选择较为敏感，不同的初始数据可能导致不同的插值结果。

实验六分段三次Hermite插值画函数图像

实验六: 分段三次Hermite插值画函数图像学号: 姓名:指导老师：马季骕班级:计算机科学与技术（非师范）1、算法说明：分段三次Hermit插值的做法是在每一个小区间上作三次Hermit插值，因此在每一个插值节点上都需要构造两个插值基函数，然后再作它们的线性组合。

分段三次Hermit插值基函数如下：H(x)=Σ(yihi(x)+y’iHi(x))给定的函数为f(x)=1/(25*x*x+1)，将给定区间分成10分，得到11个节点：x[0],x[1],...,x[10]，构造插值函数的基函数。

当x在(x[0],x[1])区间上时，H[0] = (x-x[0])*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

其余的区间为H[0]=0。

h[0]= [1+2*(x-x[0])/(x[1]-x[0])]*[((x-x[1])/(x[0]-x[1]))^2]。

当x在[x[i-1],x[i]] (i=1,2,3,...,9)区间上时，H[i]=(x-x[i])*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2]，h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i-1]-x[i])]*[((x-x[i-1])/(x[i]-x[i-1]))^2)。

当x在(x[i],x[i+1]](i=1,2,3, (10)区间上其余的区间为H[i]=(x-x[i])[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+1]))^2],h[i]=[1+2*(x-x[i])/(x[i+1]-x[i])]*[((x-x[i+1])/(x[i]-x[i+ 1]))^2]。

其余区间上均为H[i]=0,h[i]=0(i=1,2,…,10)。

当x在(x[9],x[10])区间上时，H[10] = (x-x[9])(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余的区间为H[10]=0.h[10]= (1+2*((x-x[9])/(x[10]-x[9])))(((x-x[10])/(x[9]-x[10]))^2).其余区间h[10]=0。

三次Hermite插值曲线的能量优化

下面讨论当自由变量 α1 α 2 β1 β 2 取何值时，曲线
p(u) 的能量函数 f (α1 α 2 β1 β 2) 最小。
之满足如下条件：
ì p(u i ) = p i , p(u i + 1/3) = α1, p(u i + 2/3) = α 2 , p(u i + 1) = p i + 1 í î p′(u i ) = T i , p′(u i + 1/3) = β1, p′(u i + 2/3) = β 2 , p′(u i + 1) = T i + 1 α1 、 α 2 、β1 和 β 2 是四个自由变量。其中，
光顺性是一个在 CAGD 中应用很普遍又很重要的
概念，国内外许多学者对此作了大量研究，提出了很多光顺方法，如 Kjellander 法、量法及最小二乘法等 [13]。其中，能量法是一种整体优化方法，其光顺效果好，为人们普遍采用的一种曲线光顺方法。光顺法的关键是：能量函数的确定，优化问题的求解。对于曲线 p(u) ，一般选用 ||p(u)″||2 du 和 p ‴(u)du 作为曲线的能量函数。其中，p″(u) 为 p(u) 的二阶导数，体现了曲线的曲率因素。 p ‴(u) 为 p(u) 的三阶导数，体现了曲线的挠率因素。由于上述两个能量函数不依赖曲线的参数化，能取得较好的光顺效果，且计算量较小，便于在计算机上实现，故在曲线光顺优化中得到了普遍的应用。
f (α1 α 2 β1 β 2) = u ||p″(u)||2 du = u
i
ui + 1
ui + 1 3
i
||p″(u)||2 du + ||p″(u)||2 ห้องสมุดไป่ตู้u

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2
公式推导
参数三次曲线，简称 PC 曲线，表示为： ��(t) = ��0 + ��1 t + ��2 �� 2 + ��3 �� 3 , �� ∈ [0,1] 确定四个系数矢量的方法是给定曲线两端点及其切矢。对函数中参数 t 求导，得： �� ′ (��) = = ��1 + 2��2 �� + 3��3 �� 2 �� 用�� = 0,1代入以上两式，得： ��0 = ��(0) ��0 + ��1 + ��2 + ��3 = ��(1) ��1 = ��′ (0) ��1 + 2��2 + 3��3 = ��′ (1) 写成矩阵形式： ��(0) 1 0 0 0 ��0 �� (1) 1 1 1 1 1 [ ] [�� ] = ′ �� (0) 0 1 0 0 2 �� 0 1 2 3 3 [��′ (1)] 于是可得： ��0 1 0 0 0 ��(0) ��1 0 0 1 0 ��(1) [�� ] = [ ] 2 −3 3 −2 −1 ��′ (0) ��3 2 −2 1 1 [��′ (1)] 将上式代入函数方程，得： 1 0 0 0 ��(0) 0 0 1 0 ��(1) ��(t) = [1 �� 2 �� 3 ] [ ] −3 3 −2 −1 ��′ (0) 2 −2 1 1 [��′ (1)] 上式即与标量形式的三次埃尔米特插值相对应的参数形式，即定义在区间�� ∈ [0,1]
′ ⃗ ，即��′ ⃗ 为0 0 = ��n−1 = 0，此时矩阵方程有解，使用高斯消元法即可解得一组解。
通过以上步骤求得每个数据点的切矢，以及知道他们的坐标，即可进行分段参数三次埃尔米特插值，这里以�� = 0.34�� 3 + 3��为被插曲线，使用等距参数化取得数据点进行插值，插值曲线如下图所示： 3 被插函数y=0.34*x. +3*x，姓名: 彭茂武学号:2018210378
0
图 3 插值曲线为自由曲线
4
分段参数三次埃尔米特插值
由以上两点参数三次埃尔米特插值的特点，我们可以对多个数据点进行 n 次两点插值，然后将其组合成一条曲线，这种方法称为分段参数三次埃尔米特插值，其中最大的问题是将 n 端三次参数曲线光滑拼接。这里引出两端曲线光滑拼接的条件： 1.边界重合：前一段曲线的终点为后一段曲线的起点； 2.切向矢量连续：前一段曲线终点处的切矢等于后一段曲线起点处的切矢； 3.曲率连续：前一段曲线终点处的二阶切矢等于后一段曲线起点处的二阶切矢。即： �� (1) = �� (0) ′ { ��′ �� (1) = �� (0) ′′ ��′′ �� (1) = �� (0) 对��(��) 求二阶导数得： 1 0 0 0 ��(0) 0 0 1 0 ��(1) ��′′ (t) = [0 0 2 6��] [ ] −3 3 −2 −1 ��′ (0) 2 −2 1 1 [��′ (1)] 将�� = 0,1代入得： ′ ′ ��′′ �� (0) = −6�� (0) + 6�� (1) − 4�� (0) − 2�� (1) ′ ′ ��′′ �� (1) = 6�� (0) − 6�� (1) + 2�� (0) + 4�� (1) 化简可得： ′ ′ ��′ �� (0) + 4�� (0) + ��r (1) = 3[�� (1) − �� (0)] 上式即为两段三次参数曲线光滑连接的条件。则 n 段三次参数曲线光滑连接的条件为： ′ ′ ��′ �� = 1,2,3, ⋯ , n ��−1 + 4�� + ��+1 = 3[��+1 − ��−1 ], 利用这个公式，可以得到：
60
40
20
Y轴
0
-20
-40
数据点被插曲线插值曲线 -6 -4 -2 0 X轴 2 4 6 8
-60 -8
被插函数y=0.34*x. +3*x，姓名: 彭茂武学号:2018210378 60
图 4 等距划分为 10 段时的插值曲线 3
40
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Y轴
0
-20
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数据点被插曲线插值曲线 -6 -4 -2 0 X轴 2 4 6 8
��′ 3( ��2 − ��0 ) − ��′ 1 0 ��′ 3(�� − �� ) 3 1 2 = ∙ ∙ ∙ ∙ 1 ∙ ∙ ′ ′ ] ( �� [ 3 �� − �� 1 4 [ ��−2 ] ��−1 ��−3 ) − ��n−1 )] 其中有 n 个未知数，n-2 个方程，所以无法求得解，把两个端点看成自由点，即切矢 4 1 1 4 1 1 ∙ ∙ [
参数三次埃尔米特插值实例分析 1 前言
由前面学习的知识得知，多项式曲线在处理多点高次插值时会出现震荡的问题（即 Runge 现象），使曲线的光滑度大打折扣，特别是在两端。而单一低次多项式曲线难以描述复杂形状的曲线。故而，唯一选择就是将一段段低次曲线在满足一定连接条件下拼接起来，这个过程生成的曲线称为组合曲线。相应用分片定义的曲面称为组合曲面。由于人们不希望一条组合曲线包含太多段，且并非次数越低越好，在实践中，设计人员逐渐总结得到三次曲线是一个较好的折中。因为参数三次曲线是既可以带有拐点的平面曲线，又能生成空间曲线的次数最低的参数多项式曲线。在参数三次曲线中，埃尔米特插值具备形式简单，物理意义明确，控制简单的优点，故本次实验选用埃尔米特插值方法来进行分段插值。
5
5.1
附录
两点参数三次埃尔米特插值 matlab 代码
x=[10 30]; y=[10 30]; %两端点坐标 x_=[15 5]; y_=[25 25]; %两控制点坐标 plot(x,y,'ok',x_,y_,'sk',x,y,'--b'); hold on; plot([x(1),x_(1)],[y(1),y_(1)],'r'); h1=plot([x(2),x_(2)],[y(2),y_(2)],'r'); hold on; t=linspace(0,1,16); %插值细分量 H=[(t.^0)',t',(t.^2)',(t.^3)']*[1,0,0,0;0,0,1,0;-3,3,-2,-1;2,-2,1,1]*[x(1),y(1);x(2),y(2);x_(1)x(1),y_(1)-y(1);x_(2)-x(2),y_(2)-y(2)]; %进行参数三次埃尔米特插值 plot(H(:,1),H(:,2),'-k'); xlim([0,45]); ylim([0,35]); xlabel('X轴') ylabel('Y轴') set(get(get(h1,'Annotation'),'LegendInformation'),'IconDisplayStyle','off'); legend('端点','控制点','弦线','控制点','插值曲线',0); title('两点参数埃尔米特插值 '); grid on; hold on; 5.2 N=30; 分段参数三次埃尔米特插值 matlab 代码
function X=Guass(A,b)
n=size(A,1); X=zeros(n,1); for j=1:n-1 T=[]; a=A(j:n,j); m=find(abs(a)==max(abs(a))); A([j,m(1)+j-1],:) = A([j+m(1)-1,j],:); [b(j), b(j+m(1)-1)] = deal(b(m(1)+j-1),b(j)); for i=1:n-j T(i)=-A(i+j,j)/A(j,j); A(i+j,:)=A(i+j,:)+A(j,:)*T(i); b(i+j)= b(i+j)+b(j)*T(i); end end for i=n:-1:1 sum=0; for j=n:-1:i+1 sum=sum+X(j)*A(i,j); end X(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end
பைடு நூலகம்
0
图 1 插值曲线为直线
35
30
25

参数三次埃尔米特插值实例分析

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5.4 三次Hermite插值

三次埃尔米特插值

数值分析实验六（分段三次Hermite插值）

数值分析三次样条插值

两点三次埃尔米特插值余项证明

三次埃尔米特插值

有理三次三角Hermite插值样条曲线及其应用

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三次Hermite插值曲线的能量优化

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