【数学】上海市交大附中2010-2011学年高二下学期期中考试

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上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期中试卷命题:邰昭东 审核:杨逸峰一、填空题(本大题满分42分)本大题共有14题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分。

1. 1001001i i +=.2. 抛物线280y x +=的焦点坐标为.3. 双曲线2238x y -=的两条渐近线的夹角为.4. 从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外活动小组的活动,有种不同的安排方案。

5. 若复数214tz t i+=-+在复平面上对应的点在第四象限,则实数t 的取值范围是 6. 6名学生排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,则共有种排法。

7. 已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则实数a =. 8. 在抛物线220y x =上有一点P ,且P 与焦点的距离等于15,,则P 点坐标为. 9. 复数2)2321(i z -=是实系数方程012=++bx ax 的根,则=⨯b a . 10. 某抛物线形拱桥的跨度为20米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需用一根支柱支撑,其中最高支柱的高度是米.(答案保留两位小数........) 11. 已知焦点为(0,3)的双曲线方程是2288kx ky -=,则k =.12. 某高校食堂供应午饭,每位学生可以在食堂提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。

现在食堂准备了5种不同的荤菜,若要保证每位学生有200种以上不同的选择,则食堂至少还需要准备不同的素菜品种种.(结果用数值表示) 13. 从抛物线24y x =上一点P 引其准线的垂线,垂足为M ,设抛物线的焦点为F ,且||5PF =,则MPF ∆的面积为.14. 已知双曲线2222:1x y C a b-=,1F 、2F 分别为左右焦点,P 为C 上的任意一点,若122F PF π∠=,且124F PF S ∆=,则双曲线的虚轴长为.二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在对应的空格内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),一律得零分。

15. 虚数的平方是()(A) 正实数; (B) 虚数; (C) 负实数;(D) 虚数或负实数.16. 用1,2,3,4,5,这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 ( )(A)24个(B)30个(C) 40个 (D) 60个17. 过点(0,1)与抛物线22 (0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是 ()(A) 1(B)2 (C)3 (D) 418. 已知曲线C :22||||1x x y y a b-=(0a b >>),下列叙述中正确的是 ( )(A) 垂直于x 轴的直线与曲线C 存在两个交点(B) 直线y kx m =+(,k m R ∈)与曲线C 最多有三个交点(C) 曲线C 关于直线y x =-对称(D) 若111(,)P x y ,222(,)P x y 为曲线C 上任意两点,则有12120y y x x -<-三、解答题(本大题满分42分,8+10+10+14)本大题共有4小题,解答下列各题必须写出必要的步骤。

19. (本题满分8分)已知复数Z =Z 及1Z.20. (本题满分10分,其中第1小题5分,第二小题5分)已知复数z x yi =+(,x y R ∈)满足:2z z a +=,且z 在复平面上的对应点P 的轨迹C 经过点 (1)求C 的轨迹;(2)若过点(4,0)A ,倾斜角为4π的直线l 交轨迹C 于M N 、两点,求OMN △的面积S 。

21. (本题满分10分)已知关于x 的方程2224(1)10x m x m --++=的两根为1x 、2x ,且122x x +=,求实数m 的值。

22. (本题满分14分,其中第1小题4分,第二小题4分,第三小题6分)过抛物线22(0)y px p =>上一定点00(,) P x y 作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ,22(,)B x y ,(Ⅰ)若横坐标为2p的点到焦点的距离为1,求抛物线方程; (Ⅱ)若00(,) P x y 为抛物线的顶点,2APB π∠=,试证明:过A 、B 两点的直线必过定点(2,0)p ;(Ⅲ)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时,求12y y y +的值,并证明直线AB 的斜率是非零常数。

上海交通大学附属中学2010-2011学年度第二学期高二数学期中试卷答案一、填空题(本大题满分42分)本大题共有14题,只要求直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得零分。

23. 1001001i i+=.解: 21i =-,41i =,则:1001i =,10011i =,∴答案是224. 抛物线280y x +=的焦点坐标为.解:28,4,22py x p =-=-=- ∴焦点坐标为(2,0)- 25. 双曲线2238x y -=的两条渐近线的夹角为.解:渐近线为:y =∴夹角为:3π 26. 从甲、乙、丙三名学生中任意安排2名学生参加数学、外语两个课外活动小组的活动,有种不同的安排方案。

解:共有6种27. 若复数214tz t i +=-+在复平面上对应的点在第四象限,则实数t 的取值范围是 解: 2214(4)(1)t z t t t i i+=-+=--+ 240(1)0t t ⎧->⎨-+<⎩⇒221t t -<<⎧⎨>-⎩⇒(1, 2)t ∈- ∴t 的取值范围是(1, 2)-28. 6名学生排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,则共有种排法。

解:甲排在队尾:5!=120种排法; 甲不排在队尾:444!384⨯⨯=(甲有4种排法,此时乙有四种排法,剩下的4名学生有4!) ∴一共有:120+384=504种排法29. 已知双曲线221y x a-=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直,则实数a =.解:渐近线:y =;直线斜率:12k =,由垂直知:112=-,∴4a =30. 在抛物线220y x =上有一点P ,且P 与焦点的距离等于15,,则P 点坐标为.解:易知P 点横坐标为10,代入抛物线方程得:y =±∴P点坐标为:或(10,-31. 复数2)2321(i z -=是实系数方程012=++bx ax 的根,则=⨯b a . 解:211()22z ==--∴方程的两根分别是:12-、12-+12113144x x a =⋅=+=,1a ⇒=;121bx x a-=+=-,1b ⇒= ∴1a b ⨯=32. 某抛物线形拱桥的跨度为20米,拱高是4米,在建桥时,每隔4米需用一根支柱支撑,其中最高支柱的高度是米.(答案保留两位小数........) 解: 抛物线方程为:210025x y -=当2x =±时,10043.8425y -== ∴最高支柱的高度是3.84米.33. 已知焦点为(0,3)的双曲线方程是2288kx ky -=,则k =.解:22181y x k k-=-- ∴819k k --=1k ⇒=- 34. 某高校食堂供应午饭,每位学生可以在食堂提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种。

现在食堂准备了5种不同的荤菜,若要保证每位学生有200种以上不同的选择,则食堂至少还需要准备不同的素菜品种种.(结果用数值表示)解:答案:7 225200()x C C x Z +⨯>∈,(1)40x x ->,,7x ≥35. 从抛物线24y x =上一点P 引其准线的垂线,垂足为M ,设抛物线的焦点为F ,且||5PF =,则MPF ∆的面积为解:过F 作FD PM ⊥于D 点, 则2,MD =3PD =, 又5MP PF ==,∴4FD =∴11541022S MP FD =⋅=⨯⨯= 36. 已知双曲线2222:1x y C a b-=,1F 、2F 分别为左右焦点,P 为C 上的任意一点,若122F PF π∠=,且124F PF S ∆=,则双曲线的虚轴长为.解: 设1PF m =,2PF n =,则: 122PF PF a -=,即:2 m n a -=①; 又122F PF π∠=,所以:2221212PF PF F F +=,即:2224 m n c +=②;因为124F PF S ∆=,所以:142mn =②-①:2222244 =216c a m n m n mn -+--==∴2416b =,2b =,24b =;所以虚轴长为4二、选择题(本大题满分16分)本大题共有4题,每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在对应的空格内,选对得4分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在空格内),一律得零分。

37. 虚数的平方是()(A) 正实数; (B) 虚数; (C) 负实数;(D) 虚数或负实数.解: 选(D)。

38. 用1,2,3,4,5,这5个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有 ( )(A)24个(B)30个(C) 40个 (D) 60个解:先选个位数:24324⨯⨯=,。

∴选(A)。

39. 过点(0,1)与抛物线22 (0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是 ()(A) 1(B)2(C) 3 (D) 4解:三条直线:1:0l x =,;2:1l y =;3:12pl y x =+,切点2(,2)p。

∴选(C)。

40. 已知曲线C :22||||1x x y y a b-=(0a b >>),下列叙述中正确的是 ( )(A) 垂直于x 轴的直线与曲线C 存在两个交点(B) 直线y kx m =+(,k m R ∈)与曲线C 最多有三个交点(C) 曲线C 关于直线y x =-对称(D) 若111(,)P x y ,222(,)P x y 为曲线C 上任意两点,则有12120y y x x -<-解: 分四个象限讨论去绝对值符号,其中第二象限没有图像。

曲线C :222222222222111x y ab x y ab x y ab ⎧-=⎪⎪⎪-+=⎨⎪⎪+=⎪⎩, 大概图像:综上,选(B)。

三、解答题(本大题满分42分,8+10+10+14)本大题共有4小题,解答下列各题必须写出必要的步骤。

41. (本题满分8分)已知复数Z =Z 及1Z.解:Z ====…4分∴Z =…2分11Z ==+。

…2分42. (本题满分10分,其中第1小题5分,第二小题5分)已知复数z x yi =+(,x y R ∈)满足:2z z a +=,且z 在复平面上的对应点P 的轨迹C经过点 (1)求C 的轨迹;(2)若过点(4,0)A ,倾斜角为4π的直线l 交轨迹C 于M N 、两点,求OMN △的面积S 。