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最新2.5-二次函数与一元二次方程(第-2-课时)课件PPT

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22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

22.2 二次函数与一元二次方程 课件 2024--2025学年人教版九年级数学上册

y y = x2-x+1
y = x2+x-2 1
x
y = x2-6x+9
y = x2-x+1 y = x2-6x+9 y = x2+x-2
抛物线与x轴公 共点个数
0个 1个
2个
公共点横 坐标
3 -2, 1
相应的一元二次方程的根
x2-x+1=0无解 x2-6x+9=0，x1=x2=3 x2+x-2=0，x1 = -2 , x2=1
【探究】如图以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时， 球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：h=20t-5t2
考虑以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要多少飞行时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要多少飞行时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多少时间？
飞出，4s时小球落回地面．
O
t
由以上内容我们发现，已知函数取定值，求自变量x的值时，二次
函数问题就转化成了一元二次方程问题．
y = ax2+bx+c(a≠0)0
二次函数
令 y=m
转化思想
m = ax2+bx+c(a≠0)0
一元二次方程
一般地，我们可以利用二次函数y=ax2+bx+c 深入讨论一元二 次方程ax2+bx+c=0.
y=ax2+bx+c(a≠0)0
令y=0 函数观点
ax2+bx+c=0(a≠0)0

《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT(第2课时)教学课件

《二次函数与一元二次方程》二次函数PPT(第2课时)教学课件
3.理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标.
新课导入
新课导入
情境引入
1.一元二次方程ax2+bx+c=0 的求根公式是什么？ 当b2－4ac≥0时，
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac<0时，方程无实数根.
新课导入
新课导入
2 . 求出下列一元二次方程的根： （1）x2+2x=0 （2）x2－2x+1=0 （3）x2-2x+2=0 . 解：（1）x1=0, x2=-2.
平移后的解析式为y=-(x+2)2+2=-x2-4x-2.
新课导入
新知探究
(3)由
y=2x+n, y=-x2-4x-2,
消去y得到x2+6x+n+2=0,
由题意Δ≥0,
∴36-4n-8≥0,∴n≤7,
∵n≥m,m=1,
∴1≤n≤7,
令y′=n2-4n=(n-2)2-4,
∴当n=2时,y′的值最小,最小值为-4,
新课导入
课堂小测
3.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m，0）， (-3m,0)(m≠0). （1）证明:4c=3b2. （2）若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值．
新课导入
课堂小测
解 :（1）证明：依题意知m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两个根． 根据一元二次方程根与系数的关系， 得m+(-3m)=-b , m·(-3m)=-c , b=2m , c=3m2 , ∴4c=12m2=3b2 .
新课导入
新知探究
【跟踪训练】 1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴的交点情况是( C )

人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程

人教版九年级上册数学课件：二次函数与一元二次方程

x
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
归纳:
当二次函y数 a x2 bxc,当给定y的值时,则二次函数
可转化为一元二次. 方程
如:二次函数 y x24x的值为 3,求自变量 x的值, 可以解一元二次方x程 2 4x 3(即x2 4x30). 反过来,解方程x2 4x30又可以看作已知二次 函数y x24x3的值为 0,球自变量 x的值.
如果h=20，那50-20t2= 20 ，
如果h=0，那50-20t2= 0 。 如果要想求t的值，那么我们可以求 方程
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
的解。
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
问题:王明手里抛出的篮球的飞行路线是一条抛物线,如果
不考虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
呢？
∴当球飞行2s时，它的高度为4m。 （3）解方程4.1=4t-t2 即： t2-4t+4.1=0
因为(-4)2-4×4.1＜0，所以方程无解，
从上面我们看出， 对于二次函数 高为个度什时为么间3在球mh其 二两的=？实 次4就 方（t –是程4t）∴2把的t中球1解=函解的，0方,t飞数。程已2=行0值4知=高4hht换度-的t2达成值不常，即到数：求4.，1t时2m-求4间。t=一t0，元
人教版九年级上册数学课件：二次函 数与一 元二次 方程
拓展升华
二次函数 yax2 bxc(a0)的图像如图，
根据图像解答下列问题：
（1）写出方程 ax2bxc0的两个根；

二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件

二次函数与一元二次方程之间的关系PPT课件
人教版 九年级上
第22章 二次函数
22.2 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程之
间的关系
提示：点击 进入习题
1
ax2＋bx＋c＝0；y＝0； 横
6
B
2A
7C
3C
8C
4A
9C
5 没有；有一个；有两个 10 见习题
答案显示
11 见习题 12 见习题 13 见习题
答案显示
1．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点横坐标， 就是求一元二次方程_a_x_2_＋__b_x_＋__c_＝__0___的两个根；一元
1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
∴方程 2ax2＋3x＋1＝0 有实数解． ∴Δ＝9－8a≥0，解得 a≤98. 又∵a≠0，∴a≤98且 a≠0.
(2)当a＝－1，二次函数y＝ax2＋2x－1的自变量x满足 m≤x≤m＋2时，函数y的最大值为－4，求m的值；
解：根据题意可得抛物线C：y＝－x2＋2x－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1. ∵a＜0，∴抛物线开口向下． 当y＝－4时，有－x2＋2x－1＝－4，解得x＝－1或x＝3. ①在直线x＝1左侧，y随x的增大而增大， ∴x＝m＋2＝－1时，y有最大值－4，则m＝－3；
(2)对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当x___≥__－__1___时，y 的值随x值的增大而增大；
(3)若关于x的方程ax2＋bx＋c＝k(a≠0)有两个不相等的实数 根，求k的取值范围．

二次函数与一元二次方程ppt课件

二次函数与一元二次方程ppt课件
垂直于直线x=2于点E.
在Rt△AQF中,
AQ2=AF2+QF2=1+m2,
在Rt△BQE中,
BQ2=BE2+EQ2=4+(3-m)2,
∵AQ=BQ,∴1+m2=4+(3-m)2,∴m=2,
∴Q点的坐标为(2,2).
数学
返回目录
(3)当点N在对称轴上时,NC与AC不垂直,所以AC应为正方形的对角线.
一个交点的横坐标为1,则另一个交点的横坐标为
A.-1
B.-2
C.2
D.3
D(
)
数学
返回目录
2.抛物线y=x2+4x+5-m与x轴有两个不同的交点,则m的取值
范
(
围
)
A.m<-1
B.0<m≤1
C.m<1
D.m>1
D
是
数学
返回目录
3.若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(-1,0),(2,0),则关于x
∴两个交点之间的距离为1-(-3)=4,故选C.
答案:C
数学
返回目录
▶▶ 对应练习
1.抛物线y=x2+4x+4与x轴的交点个数为 ( B
A.0个
B.1个
C.2个
D.3个
)
数学
返回目录
2.已知二次函数y=(m-1)x2+3x-1与x轴有交点,则m的取值范
D
围是
(
)
5
A.m>4
5
C.m>- 且m≠1
A,B,∴A(1,0),B(0,3).
又∵抛物线y=a(x-2)2+k经过点A(1,0),

2.5++二次函数与一元二次方程第2课时+课件+++2023--2024学年北师大版九年级数学下册+

2.5++二次函数与一元二次方程第2课时+课件+++2023--2024学年北师大版九年级数学下册+

A(－3，y1)，B(1，y2)两点，则关于x的不等式ax2＋ c≥－kx＋m的解集是( D )
A．x≤－3或x≥1
B．x≤－1或x≥3
C．－3≤x≤1
D．－1≤x≤3
返回
目录
7 ． 【 数 形 结 合 】 已 知 二 次 函 数 y ＝ ax2 ＋ bx － 1 的 图 象 过
A(2，0)，B(4，5)两点．
的解集？例如，如图①，y＝x2－2x－3的图象与x轴的
两个交点分别是A(－1，0)，B(3，0)．
此时x2－2x－3＝0有两个不相等的实数
根x1＝－1，x2＝3；
返回 目录
观察图象可以知道：在x轴上方的图象所有点的纵坐标大于 0，此时对应的x的取值范围是x<－1或x>3；所以不等式x2－ 2x－3>0的解集为x<－1或x>3.类比上述内容，相信你一定能 够解决如下的问题： (1)x2－2x－3<0的解集是_－__1_<_x_<_3___．
目录
(4)进一步探究函数图象解决问题：
①方程|x2－2x|＝
1 2
有____4____个实数根；
②在(2)问的平面直角坐标系中画出直线y＝－x＋1，根
据 图 象 写 出 方 程 |x2 － 2x| ＝ － x ＋ 1 的 一 个 正 数 根 约 为
__0_._4____．(精确到0.1)
解：如图.
其0<x1<1，
∴ 2＋2 0<－2ba<2＋2 1，∴1<－2ba<32，当－2ba<32时，b>－3a，
当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＝0，∴b＝－2a－
1 2
c，
返回 目录

二次函数与一元二次方程(第2课时)同步课件


自主合作，探究新知
做一做：（1）请利用图像求一元二次方程 x2+2x-10=3 的近似根.
x
2.9 2.8 2.7 2.6
y 1.21 0.44 -0.31 -1.04
x -4.9 -4.8 -4.7 -4.6 y 1.21 0.44 -0.31 -1.04
因此 x=-4.7和 x=2.7 是方程的近似根.
随堂练习
(2)取3和4的中间数3.5代入表达式中试值． 当x＝3.5时，y＝3.52－2×3.5－6＝－0.75＜0； 当x＝4时，y＞0，在3.5＜x＜4范围内， y随x的增大而增大，∴3.5＜x2＜4.
(3)取3.5和4的中间数3.75代入表达式中试值． 当x＝3.75时，y＝3.752－2×3.75－6＝0.562 5＞0； 当x＝3.5时，y＜0.在3.5＜x＜3.75范围内， y随x的增大而增大， ∴3.5＜x2＜3.75.
随堂练习
4.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图 所示，顶点坐标为(－1，－3.2)，由图象可知关于x 的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根分别是x1＝ 1.3，x2＝__－__3_._3__．
随堂练习
5. 二 次 函 数 y=ax²+bx+c 的 图 象 如 图 所 示 , 则 方 程 ax²+bx+c=0 的 两 个 根 是 _____x_1=_1_,___x_2_=_3_____ 若 函 数 y ＜0,则对应x的取值范围是__1_＜__x_＜__3___
自主合作，探究新知
练一练：利用函数的图象，求方程x2＋2x－3＝0的根． 解：先把方程化成x2＝－2x＋3.如图， 在同一直角坐标系中分别画出函数 y＝x2和y＝－2x＋3的图象， 则方程x2＋2x－3＝0的解为x＝－3或x＝1.

人教版数学九年级上册22.2 二次函数和一元二次方程课件(共55张PPT)

当已知二次函数 y 值，求自变量 x值时，可以看作是解对应的一 元二次方程.相反地，由解一元二次方程，又可看作是二次函数值 为0时，求自变量x的值
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为3，求自变量 x 的值， 可以解一元二次方程－x2＋4x=3 ( 即x2－4x+3=0 ). 反过来，解方程 x2－4x+3=0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x+3 的值为0，求自 变量x的值，还可以看做y = －x2＋4x 和y=3的交点
x
-1
-2
-3
-4 -5
当x1=x2=-3时，函数值为0.
二、利用一元二次方程讨论二次函数与x轴的交点
思考
问题1 不解方程，判断下列一元二次方程根的情况. (1)x2+x-2=0； ∵∆ = b2-4ac=9>0，∴方程有两个不相等的实数根. (2)x2-6x+9=0； ∵∆ = b2-4ac=0，∴方程有两个相等的实数根. (3)x2-x+1=0. ∵∆ = b2-4ac=-3<0，∴方程有没有实数根.
公共点的坐标.
(1)y=x2+x-2；
y
两个（-2,0），（1,0）
2 1
-2 -1 O 1 2 x
-1
-2
(2)y=x2-6x+9；
y 4
一个（3,0）
3
2
1
-1 O 1 2 3 4
x
(3)y=x2-x+1
y 4
没有公共点
3
2 1
-1 O 1 2
x
二次函数图象与x轴的公共点我们也可以通过平移来观察，发现最多有两 个公共点，最少没有公共点.
O

新人教版九年级数学上册《二次函数与一元二次方程》(第2课时)课件

谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……第2源自图3．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象
一定过点( D )
A．(1，－1)
B．(－1，1)
C．(－1，－1)
D．(1，1)
4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，
N ＝ 4a － 2b ＋ c ， P ＝ 2a － b ， 则 M ， N ， P 中 ， 值 小 于 0 的 数 有
14．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，D两点，与y轴交于点
C，抛物线的顶点B在第一象限，若点A的坐标为(1，0)．试分别判断
a，b，c，b2－4ac，2a＋b，2a－b，a＋b＋c，a－b－c的符号．
解：a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0；由对称 轴的位置可知：－2ba＜1，可得－b＞2a， ∴2a＋b＜0；2a－b＜0；a＋b＋c＝0，a－b－c＜0
16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，
B(3，2)．
(1)求m的值和抛物线的解析式；
(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)
(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比 较y1与y2的大小．
解：(1)∵直线y＝x＋m经过点A(1，0)，∴0＝1
8．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论中
正确的是(
)D
A．ac＞0
B．当x＞1时，y随x的增大而减小
C．b－2a＝0
D．x＝3是关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根
9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1.

《二次函数与一元二次方程》参考PPT课件


有两个不相 等的实数根
b2 – 4ac > 0
只有一个交点 有两个相等的 实数根
b2 – 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac < 0 16
随堂练习
1.不与x轴相交的抛物线是（ D ）
A. y = 2x2 – 3
B. y=－2 x2 + 3
C. y= －x2 – 3x D. y=－2(x+1)2 －3
7.一元二次方程 3 x2+x－10=0的两个根是x1－2 ， x2=5/3，那么二次函数 y= 3 x2+x－10与x轴的交点坐
标是＿＿(＿-2＿，＿0)＿(＿5/＿3，. 0)
19
8.已知抛物线y = ax2+bx+c的图象如图,则关 于x的方程ax2 + bx + c－3 = 0根的情况是（ A）
20.5 m
6
0m
0s
4s
（4）当 h = 0 时， 20 t – 5 t 2 = 0 t2－4t =0 t 1 = 0，t 2 = 4 当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。
7
二次函数与一元二次方程的关系（1）
已知二次函数，求自变量的值
2.若抛物线 y = ax2+bx+c= 0，当 a>0，c<0时，图
象与x轴交点情况是（ C ）
A. 无交点
B. 只有一个交点
C. 有两个交点 D. 不能确定
17
3. 如果关于x的一元二次方程 x2－2x+m=0有两
个相等的实数根，则m=＿1＿＿，此时抛物线 y=x2－ 2x+m与x轴有＿1＿个交点.
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一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判
别式Δ=b2-4ac
b2-4ac > 0 b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的 横坐标就 是当y=0时自变量x的值, 即一元二次方程 ax2+bx+c=0的根.
你能利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根吗？ 由图象可知,图象与x轴有两个交点,其横坐 标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间 。
y=ax2＋bx＋c经过 三、四
象
限．
3. 在平原上，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行
的高度y（m）与飞行时间x（s）的关系满足
y=-x2＋10x．5
（1）经过_____25s ，炮弹达到它的最高点，最
高点的高度10是_____ m ．
练习
4.一元二次方程ax2+bx+c=0的根就是二次 函数y=ax2+bx+c 与_ｘ__轴__交点的_横___坐标。 5.一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次 函数y=ax2+bx+c 与直线____y_=__h__交点的 ____横_____坐标 .
（1）2x2+x-15=0
(2)3x2-x-1=0
问题解决： 2.如图，一个圆形喷水池的中央竖立安装了一个柱形喷水装置 OA，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物 线路径流下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度 y(m)与
水平距离 x(m)之间的关系式是 y x2 2x 7（x>0）.柱子 OA 4
没有做好产前准备所出现的问题
1. 转款时间太长，有时甚至高达2-3天， 2. 部分难点工序员工因没有进行产前培训，大
货时容易产生工序瓶颈 3. 设备故障发生的频率较高，而直接影响了流
程的顺畅。 4. 品质标准没有事先确定，导致大货生产时返
工多。
有了充足的产前准备的好处：
1.员工在2天前就有了一个培训学习的过程， 充分了解了其工艺制作和制作难点。
2.每个员工对自己所制作工序的品质要求 有了清楚的了解，她们在制作中就不会 担心品质有问题而不敢放胆制作.
3.缩短转款时间，消除了学习曲线对效率 的影响
产前准备不足对效率的影响
产前准备充分对效率的引响
产前准备的主要工作内容
1.生产办的制作: 由组长负责，为使大货的生产顺畅，在不 改变样品外观的情况下，尽量将较复杂工序简单化 ；尽量设 计特种辅助工具或利用特种机器代替手工工作，降低工作难 度。
(如何更准确估计近似值？)
x2≈2.3是方程的另一个近似根。
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(1) 用描点法作二次函数y=x2+2x-10 图象； (2) 作直线y=3；
(3) 观察估计抛物线y=x2+2x-10 和直线y=3 的交点的横坐标； 由图象可知,它们有两个交点,其横 坐标一个在-5与-4之间,另一个在2 与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(如何更准确估计近似值？)
(4) 借助计算器确定方程x2+2x-10=3 的方程的近似根为: x1≈-4.7,x2≈2.7.
利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.
(1) 原方程可变形为x2+2x-13=0；
(2) 用描点法作二次函数y=x2+2x13的图象； (3) 观察估计抛物线y=x2+2x-13和 x轴的交点的横坐标；
（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物 线于点G，当t为何值时，△ACG的 面积最大？最大值为多少？
（3）在动点P，Q运动的过程中，当 t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C， Q，E，H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
Toyota Production System
TPS生产模式
由图象可知,它们有两个交点,其 横坐标一个在-5与-4之间,另一个 在2与3之间,分别约为-4.7和2.7.
(4) 借助计算器确定方程x2+2x10=3的近似根为:
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ≈-4.7,x2≈2.7.;
随堂练习 利用二次函数的图象求一元二次方程-2x2+4x+1=0的近似根.
知识技能
1.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根。
的高度为多少米？若不计其他因 素，水池的半径至少为多少米， 才能使喷出的水流不至于落在池 外？(结果保留根号)
联系拓广
3.利用二次函数y=2x2与一次函数y=x+2的图象，求一元 二次方程2x2=x+2 的近似根。
归纳小结
• 一元二次方程ax2+bx+c=h的根就是二次 函数y=ax2+bx+c 与直线y=h（h是实数） 图象交点的横坐标 。
2.5-二次函数与一元二次方程(第 -2-课时)
复习
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程 ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图象
和x轴的交点
有两个交点
有一个交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
有两个不同的实数根 有两个相等的实数根
5.如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B （1，0），C（3，0），D（3，4）．以A为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运 动．同时动点Q从点C出发，沿线段 CD向点D运动．点P，Q的运动速度 均为每秒1个单位．运动时间为t秒． 过点P作PE⊥AB交AC于点E． （1）直接写出点A的坐标，并求出 抛物线的解析式；
• 既可以用求根公式求二次方程的根，也 可以通过画二次函数图象来估计一元二 次方程的根。
练习
1. 抛物线y=ax2+bx+c经过点(0, 0)与(12, 0), 最高
点纵坐标是3, 求这条抛物线的表达式 _y____11_2_x_2 __x_______ . 2. 若a＜0，b＞0，c ＜ 0，△＜0，那么抛物线
之 产前准备 及产前培训
一、什么是产前准备？
产前准备是指为满足生产线的顺利进行，保证生产流 程的顺利开展，在大货生产前由技术员、检验人员、 组长、品质主管、机修各部门人员通力合作从技术， 物料，流程，品质，设备，人员等方面所做的准备工 作
产前准备之目标
a.消除学习曲线对生产的影响 b.降低成本，提高生产效率 c. 快速转款