2020高考数学一轮复习 专题4-5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用(讲)

【2019最新】精选高考数学一轮复习 专题4-5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用（讲）【考纲解读】考 点考纲内容5年统计分析预测函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用了解函数 y ＝A sin (ωx ＋φ) 的物理意义，掌握 y ＝A sin (ωx ＋φ) 的图象，了解参数 A ， ω，φ 对函数图象变化的影响.2013浙江文6理4；2014浙江文4，理4； 2016浙江文11，理10.1.“五点法”作图；2.函数图象的变换；3.三角函数模型的应用问题.4.往往将恒等变换与图象和性质结合考查 5.备考重点：(1) 掌握函数图象的变换； (2) 掌握三角函数模型的应用.【知识清单】1.求三角函数解析式（1）的有关概念()sin y A x ωϕ=+()sin y A x ωϕ=+()0,0A ω>>， [)0,x ∈+∞表示一个振动量时振幅 周期频率 相位初相A2T πω=12f T ωπ==x ωϕ+ ϕ （2sin y A x ωϕ=+用五点法画一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：()sin y A x ωϕ=+xϕω-2ϕπωω-+πϕω- 32ϕπωω-+2πϕω-x ωϕ+2π π 32π 2π ()sin y A x ωϕ=+ 0A－A（3）由的图象求其函数式：()sin y A x ωϕ=+已知函数的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．()sin y A x ωϕ=+A ωϕ,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭（4）利用图象变换求解析式：由的图象向左或向右平移个单位，，得到函数，将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得，将图象上各点的纵坐标变为原来的倍()，便得.sin y x =()0ϕ>()0ϕ<ϕ()sin y x ϕ=+1ω0ω>()sin y x ωϕ=+A 0A >()sin y A x ωϕ=+2.三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数向左平移个单位，得到函数的图像;()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=+ 把函数向右平移个单位，得到函数的图像;()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=- 把函数向上平移个单位，得到函数的图像;()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=+ 把函数向下平移个单位，得到函数的图像.()y f x =()0ϕϕ>()y f x ϕ=- 伸缩变换:把函数图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的，得到函数的图像;()y f x =1ω()()01y f x ωω=<<把函数图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的，得到函数的图像;()y f x =1ω()()1y f x ωω=>把函数图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的，得到函数的图像;()y f x =A ()()1y Af x A =>把函数图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的，得到函数的图像.()y f x =A ()()01y Af x A =<<2.由的图象变换出的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少.sin y x =()sin y x ωϕ=+()0ω>x途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象.sin y x =()0ϕ>()0ϕ<ϕ1ω0ω>()sin y x ωϕ=+途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象.sin y x=1ω0ω>x 0ϕ>0ϕ<ωϕ||()sin y x ωϕ=+注意：函数的图象，可以看作把曲线上所有点向左(当时)或向右(当时)平行移动个单位长度而得到.sin() y x ωϕ=+sin y x ω=0ϕ>0ϕ<ϕω3 .函数的图像与性质的综合应用()sin y A x ωϕ=+ （1）的递增区间是，递减区间是.x y sin =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈ （2）对于和来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin()y A x ωφ=+cos()y A x ωφ=+sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与轴的交点，可由，解得，即其对称中心为．()2x k k Z πωϕπ+=+∈x ()x k k Z ωϕπ+=∈()k x k Z πϕω-=∈(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭（3）若为偶函数，则有;若为奇函数则有.sin()y A x ωϕ=+()2k k Z πϕπ=+∈()k k Z ϕπ=∈（4）的最小正周期都是.()sin()f x A x ωϕ=+2||T πω=【重点难点突破】考点1求三角函数解析式【1-1】【2018届河北省石家庄二中三模】将周期为的函数的图象向右平移个单位后，所得的函数解析式为（ ）A. B.C. D.【答案】A【1-2】【2018云南省师范大学附属中学适应性月考卷一】将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是（ ）()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6πA. B. C. D. sin2y x =cos2y x =2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】的图象向左平移单位得到的图象，即将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是，故选C.23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π222633y sin x sin x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6π2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【领悟技法】1.根据的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>(1) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；A A (2) 的确定：根据图象的最高点和最低点，即＝；h h(3) 的确定：结合图象，先求出周期，然后由 ()来确定；ωT 2T πω=0ω>ω(4) 求，常用的方法有：ϕ①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时已知)或代入图像与直线的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．,,A h ωy h =②五点法：确定值时，由函数最开始与轴的交点的横坐标为 (即令，)确定.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与轴的交点）为，其他依次类推即可.ϕ()sin y A x k ωϕ=++x ϕω-0x ωϕ+=x ϕω=-ϕx 002x k ωϕπ+=+ 2.注意：（1）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；（2）函数图象与x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；（3）函数取最值的点与相邻的与x 轴的交点间的距离为其函数的个周期.41【触类旁通】【变式一】【2018安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟摸底】已知函数的图象如图所示，若将函数的图象向左平移个单位，则所得图象对应的函数可以为（ ）()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭()f x 2πA. B. 32sin 24y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭32sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C. D. 52sin 24y x π⎛⎫=-+⎪⎝⎭52sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由图易知： ， ，∴，即，2A =3T 2π88ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭2ω=()()2cos 2f x x ϕ=+ 由五点法作图知： ，得： ，∴3cos 218πϕ⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭32π8πϕ⨯+=4πϕ=即，将函数的图象向左平移个单位，得： ，()2cos 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x 2πy 2cos 224x ππ⎡⎤⎛⎫=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即=53y 2cos 22cos 2424x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦32sin 24x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭故选A.【变式二】【2018安徽省××市××县第一中学上学期第一次月考】函数 的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位后的解析式为（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据函数的部分图象知，，解得，根据五点法画正弦函数图象，知时，，解得，将的图象向左平移个单位后，得到，故选 B.考点2 三角函数图象的变换【2-1】【2018届浙江省××市第一中学高三上期中】为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭cos2y x =A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位6π3π C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位6π3π 【答案】A【2-2】【2018黑龙江省大庆实验中学上学期期初考】已知函数的最小正周期为，则函数的图象（ ）()cos (0)6f x x ωπωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭π()f xA. 可由函数的图象向左平移个单位而得()cos2g x x=3π B. 可由函数的图象向右平移个单位而得()cos2g x x =3πC. 可由函数的图象向左平移个单位而得()cos2g x x =6πD. 可由函数的图象向右平移个单位而得()cos2g x x =6π【答案】D【解析】由已知得， 则的图象可由函数的图象向右平移个单位而得，故选D.22πωπ==()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭()cos2g x x =6π【领悟技法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．,x y2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要意函数图象平移的规律，是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．注3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数. 【触类旁通】【变式一】【2018届福建省两大名校一模】将函数的图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值为( )A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据辅助角公式，我们可将函数化为余弦函数型函数的形式，进而得到平移后函数的解析式，结合所得图象对应的函数为偶函数及余弦型函数的性质，即可求出答案.详解：，将其图象向左平移（）个单位长度，所得图象对应的解析式为，由于为偶函数，则，则，由于，故当时，.故选：C.【变式二】【2018届浙江省××市第一中学9月测试】由函数的图象，变换得到函数的图象，这个变换可以是（ ）A. 向左平移B. 向右平移C. 向左平移D. 向右平移【答案】B【解析】由函数的图象，变换得到函数的图象向右平移.故选：B考点3函数的图像与性质的综合应用()sin y A x ωϕ=+【3-1】【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间上单调递增B. 在区间上单调递减C. 在区间上单调递增D. 在区间上单调递减【答案】A【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得一个单调递增区间为：.函数的单调递减区间满足：，即，令可得一个单调递减区间为：.本题选择A 选项.【3-2】【2017浙江杭州二模】设函数.()()()2cos cos 3sin f x x x x R =+∈ （1）求函数的周期和单调递增区间；()y f x =（2）当时，求函数的最大值.0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x【答案】（1）；（2）3.(),36k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭试题解析：（1）因为 .()()2cos cos 3sin f x x x x =+=2sin 216x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭2226k x πππ-≤+≤Q ， ，22k ππ+36k x k ππππ∴-≤≤+∴函数的单调递增区间为： ；()y f x =,36k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k Z ∈（2）， ，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Q 72,666x πππ⎡⎤∴+∈⎢⎥⎣⎦1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤∴+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()2sin 216f x x π⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭的最大值是3.【3-3】平潭国际“花式风筝冲浪”集训队，在平潭龙凤头海滨浴场进行集训，海滨区域的某个观测点观测到该处水深（米）是随着一天的时间呈周期性变化，某天各时刻的水深数据的近似值如下表：y ()024,t t ≤≤单位小时t0 3 6 9 12 15 18 21 241.52．41.50．61.42.41.60.61.5（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图（坐标系在答题卷中）.观察散点图，从 ①， ②，③()sin y A t ωφ=+()cos b y A t ωφ=++sin y A t b ω=-+(A 0,0,0)ωπφ>>-<<中选择一个合适的函数模型，并求出该拟合模型的函数解析式；（Ⅱ）为保证队员安全，规定在一天中的5～18时且水深不低于1.05米的时候进行训练，根据（Ⅰ） 中的选择的函数解析式，试问：这一天可以安排什么时间段组织训练，才能确保集训队员的安全.【答案】(1) 选②做为函数模型， ;(2) 这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练.()cos b y A t ωφ=++0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭才能确保集训队员的安全.【解析】试题分析 ：（1）先画出散点图，可知选②做为函数模型，同时可求出各参数， , 代最值点可求.（2）由（Ⅰ）知： ,令，可解得 .max min max min 2,,22b A T πω+-===φπy 0.9sin t 1.56⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5t 18≤≤y 1.05≥5t 711t 18≤≤≤≤或试题解析：（Ⅰ）根据表中近似数据画出散点图，如图所示：-依题意，选②做为函数模型，()cos b y A t ωφ=++（Ⅱ）由（Ⅰ）知： 0.9sin 1.56y t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令，即 1.05y ≥0.9sin 1.5 1.056t π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭又518t ≤≤Q∴这一天可以安排早上5点至7点以及11点至18点的时间段组织训练， 才能确保集训队员的安全. 【领悟技法】1. 求形如或 (其中A ≠0，)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“ ()”视为一个“整体”；②A>0(A<0)时，所列不等式的方向与 ()， ()的单调区间对应的不等式方向相同(反)．()sin y A x ωϕ=+()cos y A x ωϕ=+0ω>x ωϕ+0ω>sin y x =x R ∈cos y x =x R ∈ 2. 如何确定函数当时函数的单调性sin()(0)y A x A ωϕ=+>0ω<对于函数求其单调区间，要特别注意的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为的形式，然后求其单调递增区间，应把放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把放在正弦函数的递增区间之内.sin()y A x ωϕ=+ωsin()y A x ωϕ=---x ωϕ--x ωϕ--3.求函数 (或，或)的单调区间的步骤：sin()y A x ωϕ=+cos()y A x ωϕ=+tan()y A x ωϕ=+ (1)将化为正．ω(2)将看成一个整体，由三角函数的单调性求解．x ωϕ+4．特别提醒：解答三角函数的问题时，不要漏了“”. 三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．求解三角函数的单调区间时若的系数为负应先化为正，同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域．k Z ∈x 【触类旁通】【变式一】【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A. 在区间 上单调递增B. 在区间 上单调递减C. 在区间 上单调递增D. 在区间 上单调递减【答案】A【解析】分析：首先确定平移之后的对应函数的解析式，然后逐一考查所给的选项是否符合题意即可.详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：.则函数的单调递增区间满足：，即，令可得函数的一个单调递增区间为，选项A 正确，B 错误；函数的单调递减区间满足：，即，令可得函数的一个单调递减区间为，选项C ，D 错误；本题选择A 选项.【变式二】【2018福建省闽侯第六中学第一次月考】将函数的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再往上平移1个单位，所得图象对应的函数在下面哪个区间上单调递增（ ）sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭12A. B. C. D. ,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭2,63ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 【答案】A【易错试题常警惕】易错典例：将函数的图像向右平移个单位长度后得到函数的图像,若,的图像都经过点,则的值可以是( )()()sin 2,22f x x ππθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭()0ϕϕ>()g x ()f x ()g x 3P ⎛ ⎝⎭ϕA. B. C. D.53π56π2π6π易错分析：函数的图像向右平移个单位长度误写成.()()sin 2f x x θ=+ϕ()()sin 2g x x ϕθ=++正确解析：依题意,因为,的图像都经过点,所以,又因为,所以,或,即或,,在,中,取,即得,故选B.()()()sin 2sin 22g x x x ϕθθϕ=-+=+-⎡⎤⎣⎦()f x ()g x 30,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()3sin 23sin 22θθϕ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩22ππθ-<<3πθ=2233k ππϕπ-=+22233k ππϕπ-=+k ϕπ=-6k πϕπ=--k Z ∈6k πϕπ=--k Z ∈1k =-56ϕπ=温馨提醒：(1)三角函数图像变换是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住“只能对函数关系式中的变换”的原则．(2)对于三角函数图像平移变换问题,其移变换规则是“左加右减”,并且在变换过程中只变换其中的自变量,如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向,另外,当两个函数的名称不同时,首先要将函数名称统一,其次要把变换成,最后确定平移的单位,并根据的符号确定平移的方向.,x y x x x ωϕ+x ϕωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭ϕω【学科素养提升之思想方法篇】数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想我国著名数学家华罗庚曾说过:"数形结合百般好，隔裂分家万事休.""数"与"形"反映了事物两个方面的属性.我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系.数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数"或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.【典例】【2018届××市城六区一模】函数（）的部分图象如图所示，()()3sin f x x ωϕ=+0,2πωϕ＞＜其中是函数的一个零点．0x ()f x (I)写出及的值；ωϕ，0x(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值．()f x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值为；最大值为.0112,,.612x ππωϕ===3-32【解析】试题分析：（Ⅰ）结合函数的最小正周期可得，由时的函数值可得，函数的解析式为： ，则.2ω=0x =6πϕ=()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭01112x π=（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，结合正弦函数的性质可得函数在区间上的最小值为；最大值为.()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3-32（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ，()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭因为，所以，,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦52,666x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦ 当即时， 的最小值为.2=,62x ππ+-=3x π-()f x 3-当即时， 的最大值为.2=,66x ππ+=0x ()f x 32。

6
Z,所以函数 g(x)的图象关于点
π
,0
3
,g(x)的图象的对称轴为直线 2x-
A 项错误;令
中心对称,故
π
2π π
5π
<-2 +2kπ,k∈Z,得- +kπ≤x≤12 +kπ,k∈Z,在区间
3
12
间为
π
0,12
,故 C 项正确;f
项错误.故选 BC.
π
x+ 6
+1=2cos
π
2x+
3
2π
2x- =kπ,得
有的点(
π
x+ 5
的图象,只要把函数 y=3sin
)
4
A.横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变
3
B.横坐标缩短到原来的4,纵坐标不变
4
C.纵坐标伸长到原来的3倍,横坐标不变
3
D.纵坐标缩短到原来的 ,横坐标不变
4
π
x+5
的图象上所
答案 C
解析 依题意,应把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的
4
倍,横坐标不变.
π 3π
0, ,π, ,2π.
2
2
微思考 如图所示为函数y=sin(ωx+φ)的部分图象.利用零点代入求φ时,
ωx1+φ,ωx2+φ取哪些值?
提示 若利用x1这样的零点(图象经过(x1,0)时函数单调递减)代入求φ的值,
应令ωx1+φ=π+2kπ(k∈Z);而如果利用x2这样的零点(图象经过(x2,0)时函数
2
移 φ(φ>0)个单位长度,所得的图象关于 y 轴对称,则 φ 的最小值为(

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用一、填空题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移_____个单位 【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可 2. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝3．(·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为【解析】把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为【解析】将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z【解析】根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.【答案】32【解析】观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.8．(·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x 的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________． 【答案】 5【解析】由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－12＝ 5.9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.【答案】2210．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 【答案】143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.二、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ) 0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．12．(·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？ 解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60， 又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.由题设知t ＝0时y ＝10， 将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2，因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)．(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85，即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。

π 2x＋6
＋
1＋
a，
2π ∵ f(x)的最大值为 2，∴ a＝－ 1，最小正周期 T＝ 2 ＝ π．
π (2)由 (1) 知 f(x)＝ 2sin 2x＋ 6 ，列表：
x π
2x＋6
0
π 5π 2π 11π
6
12
3
12
π
ππ
3π
13 π
6
2
π
2
2π
6
π f(x) ＝2sin 2x＋6
1
2
0
－2
0
1
1．将函数
y＝
2sin2
x＋
π的图像向右平移 6
1个周期后，所得图像对应的函数为 4
(
)
π A ． y＝ 2sin 2x＋ 4
π B ． y＝ 2sin 2x＋3
C．y＝ 2sin
2x－
π 4
D ． y＝ 2sin 2x－π3
解析 ： D，函数
y＝ 2sin
2x＋
π 6
的周期为
π，将函数
y＝ 2sin 2x＋ π6 的图像向右平移
π
5π
π
π
7π
x＋6
－6
－2
0
2
π
6
2π
π
π
5π
x
－π
－3
－6
3
6
π
y
－1
－2
0
2
0
－1
作图如图：
π 9．已知函数 f(x)＝ sin 2x＋ 6 .
(1)请用“五点法”画出函数 f(x)在一个周期上的图像；
(2)求 f (x)在区间
π， 12