变形及胡克定律
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A AL
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
当杆沿长度非均匀变形时
FN x
F
x
dx
L
x
dx源自文库dx
FN xdx EAx
dx
FN x EAx
x
E
无论变形均匀还是不 均匀，正应力与正应变的 关系都是相同的。
2、横向变形
△b=b1－b
b1 b
b
b
横向线应变
泊松比
图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆
F
3L
aB
2 2L a 刚 1L a 杆
a A1
F
L2 2L1
B L3 3L1
L1 1 L1
A1
2
L2 L2
2L1 L2
21 L
2L
1
3
L3 L3
3L1 L3
31 L
3L
1
结果:图示三杆虽然变形量各不
相同,但应变却是相同的.说明变形 和应变是两个有关系,但又不完全 相同的概念.
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
§4 拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
L
L
L L L 绝对变形
L 相对变形 L
表示轴向变形的程度
线应变: 描述弹性体在各点处线变
形程度的量
当杆沿长度均匀变形时
L
L
纵向线应变 (无量纲)
L
a
LCD a
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B 2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCD a EA
mA 0
FNCD 2F
B
2L2LCFDNCD
4FFa L EA
0
3
图示刚性杆上连接有三根杆子,其长度分别为 L,2L和3L,位置如图示.若已知力F及杆1的应变值 ε1,求:2,3两杆的应变值.
C.既有变形，又有位移； D.既无变形，又无位移。
FB
C
A
l
l2
一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一半为钢，另
一半为铝，则两段的（ B ）。
A.应力相同，变形相同；B.应力相同，变形不同； C.应力不同，变形相同；D.应力不同，变形不同。
在下列结论中，（ A ）是错误的。
A.若物体产生位移，则必定同时产生变形； B.若物体各点均无位移，则必定无变形； C.物体的变形与位移取决于外力的大小和方向； D.位移的大小取决于物体的变形与约束。
αα
LAB
LAC
FNAC L EA
FL
2 EA cos
A
A
A
AA
LAC
cos
FL
2EAcos2
F
LAC
A
LAB
1.3mm 100103 2
2 2.1105 106 252 106
4
cos 300
A
图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点 处受荷载F作用，试求B点的位移δB。
伸变形后，圆a、b分别为（ A ）。
A.圆形和圆形；B.圆形和椭圆形； C.椭圆形和圆形；D. 椭圆形和椭圆形。
a
b
A.正方形、正方形；B.正方形、菱形；
C.矩形、菱形；D.矩形、正方形。
q
a
b
q
图示结构，刚性杆AB由三根材料、横截面面积均相
同的杆支承。在结构中（ B ）为零。
A. 杆1的轴力； B. 杆2的轴力； C. C点的水平位移；D. C点的铅垂位移。
a
12
3
A b
C
B
b F
等直圆截面杆，若变形前在横截面上画 出两个圆a和b（如图示），则在轴向拉
图式平板，两端受均布载荷q作用，若变形前在板面划上两条平行
线段AB和CD，则变形后（ A ）。
A.AB∥CD，α角减小；B. AB∥CD，α角不变； C.AB∥CD，α角增大；D.AB不平行于CD。
AC
q
q
BD
图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形
a和b，则受力后正方形a、b分别变为（ C ）。
α＝300，杆长L＝2m，杆的直径d=25mm，材
料的弹性模量E＝2.1×105MPa，设在结点A处悬
挂一重物F＝100kN，试求结点A的位移δA。
X 0
FNAC sin FNAB sFin 0
B1
2
C Y 0
FNAC
FNAC cos
FNFANBAB c2ocsos F
0
FNAB FNAC
L
实验表明：在材料的线弹性范围内，△L与外力F
和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。
L FN L EA
胡克定律 EA ：拉抗（压）刚度
当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。
EA L L
L
i
FNi Li
EAi
FN EA L E
件的轴向变形△L，B点的位移δB和C 点的位移δC
A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位 移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
αD
BB1 B 2CC1
FNCD
F
A
C
a
CC1
CLCCD
ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LCFDLFNC12DELAcLoCsD FCD
2F a
EA cos2
B
4Fa
EAcos3
图示产生弯曲的梁，BC梁段（ B ）。
A.有变形，无位移；
B.有位移，无变形；
在材料的线弹性范围内，正应力与线应变呈正比关系。
当杆沿长度非均匀变形时
FN x
F
x
dx
L
x
dx源自文库dx
FN xdx EAx
dx
FN x EAx
x
E
无论变形均匀还是不 均匀，正应力与正应变的 关系都是相同的。
2、横向变形
△b=b1－b
b1 b
b
b
横向线应变
泊松比
图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆
F
3L
aB
2 2L a 刚 1L a 杆
a A1
F
L2 2L1
B L3 3L1
L1 1 L1
A1
2
L2 L2
2L1 L2
21 L
2L
1
3
L3 L3
3L1 L3
31 L
3L
1
结果:图示三杆虽然变形量各不
相同,但应变却是相同的.说明变形 和应变是两个有关系,但又不完全 相同的概念.
图示的杆系是由两根圆截面钢杆铰接而成。已知
§4 拉（压）杆的变形.胡克定律`
杆件在轴向拉压时：
沿轴线方向产生伸长或缩短——纵向变形 横向尺寸也相应地发生改变——横向变形
1、纵向变形
L
L
L L L 绝对变形
L 相对变形 L
表示轴向变形的程度
线应变: 描述弹性体在各点处线变
形程度的量
当杆沿长度均匀变形时
L
L
纵向线应变 (无量纲)
L
a
LCD a
D
FNCD
Fa
A
C 刚杆
B
L C1
L
2
2
B1
B 2LCD 2a
2. 已知EA
LCD
FNCD a EA
mA 0
FNCD 2F
B
2L2LCFDNCD
4FFa L EA
0
3
图示刚性杆上连接有三根杆子,其长度分别为 L,2L和3L,位置如图示.若已知力F及杆1的应变值 ε1,求:2,3两杆的应变值.
C.既有变形，又有位移； D.既无变形，又无位移。
FB
C
A
l
l2
一等直拉杆在两端承受拉力作用，若其一半为钢，另
一半为铝，则两段的（ B ）。
A.应力相同，变形相同；B.应力相同，变形不同； C.应力不同，变形相同；D.应力不同，变形不同。
在下列结论中，（ A ）是错误的。
A.若物体产生位移，则必定同时产生变形； B.若物体各点均无位移，则必定无变形； C.物体的变形与位移取决于外力的大小和方向； D.位移的大小取决于物体的变形与约束。
αα
LAB
LAC
FNAC L EA
FL
2 EA cos
A
A
A
AA
LAC
cos
FL
2EAcos2
F
LAC
A
LAB
1.3mm 100103 2
2 2.1105 106 252 106
4
cos 300
A
图所示结构，刚性横梁AB由斜杆CD吊在水 平位置上，斜杆CD的抗拉刚度为EA，B点 处受荷载F作用，试求B点的位移δB。
伸变形后，圆a、b分别为（ A ）。
A.圆形和圆形；B.圆形和椭圆形； C.椭圆形和圆形；D. 椭圆形和椭圆形。
a
b
A.正方形、正方形；B.正方形、菱形；
C.矩形、菱形；D.矩形、正方形。
q
a
b
q
图示结构，刚性杆AB由三根材料、横截面面积均相
同的杆支承。在结构中（ B ）为零。
A. 杆1的轴力； B. 杆2的轴力； C. C点的水平位移；D. C点的铅垂位移。
a
12
3
A b
C
B
b F
等直圆截面杆，若变形前在横截面上画 出两个圆a和b（如图示），则在轴向拉
图式平板，两端受均布载荷q作用，若变形前在板面划上两条平行
线段AB和CD，则变形后（ A ）。
A.AB∥CD，α角减小；B. AB∥CD，α角不变； C.AB∥CD，α角增大；D.AB不平行于CD。
AC
q
q
BD
图示单向均匀拉伸的板条。若受力前在其表面画上两个正方形
a和b，则受力后正方形a、b分别变为（ C ）。
α＝300，杆长L＝2m，杆的直径d=25mm，材
料的弹性模量E＝2.1×105MPa，设在结点A处悬
挂一重物F＝100kN，试求结点A的位移δA。
X 0
FNAC sin FNAB sFin 0
B1
2
C Y 0
FNAC
FNAC cos
FNFANBAB c2ocsos F
0
FNAB FNAC
L
实验表明：在材料的线弹性范围内，△L与外力F
和杆长L成正比，与横截面面积A成反比。
L FN L EA
胡克定律 EA ：拉抗（压）刚度
当拉（压）杆有两个以上的外力作用时，需要先画出轴力图，然后 分段计算各段的变形，各段变形的代数和即为杆的总伸长量。
EA L L
L
i
FNi Li
EAi
FN EA L E
件的轴向变形△L，B点的位移δB和C 点的位移δC
A L
F
F
B
LAB
FL EA
B
C
L
C
B
FL EA
图示结构，横梁AB是刚性杆，吊杆CD是等截面直杆， B点受荷载F作用,试在下面两种情况下分别计算B点的位 移δB。1、已经测出CD杆的轴向应变ε；2、已知CD杆 的抗拉刚度EA.
1. 已知ε
LCD
αD
BB1 B 2CC1
FNCD
F
A
C
a
CC1
CLCCD
ccooss
C
C1
L/2
L/2
B
mA 0
FNCD
2F
cos
B1
LCFDLFNC12DELAcLoCsD FCD
2F a
EA cos2
B
4Fa
EAcos3
图示产生弯曲的梁，BC梁段（ B ）。
A.有变形，无位移；
B.有位移，无变形；