广义胡克定律90391
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13-2广义胡克定律与变形能-材料力学
1 m 形状改变
3 m
②形状改变比能：
证明在：
' 1
1
m
,
' 2
2
m
,
' 3
3
m
作用下，体积没有变化 。
3(1
2)
1'
' 2
' 3
E
3
1 2
E
(1'
' 2
' 3
)
1 2
E
[(1
m
)
(
2
1
该单元体所储存的应变
能为：
3
U
1 2
(
1e1
2
e
2
3e
3
)dxdydz
②比能：
u
U V
1 2
(
1e1
2e2
3e
3
)
③代入虎克定律：
u
1 2E
[12
2 2
2 3
2
(1
2
2
3
31
)]
（二）、体积改变比能 ut 与形状改变比能 u x
1.有关概念：
三、复杂应力状态下的变形比能 （一）、总应变比能
1.有关概念： ①应变能(变形能)：伴随弹性体的变 形而储存在弹性体的能量。用U表示；
材料力学广义胡克定律
材料力学广义胡克定律引言材料力学是研究物质在外力作用下的力学行为和性能的学科。
其中，广义胡克定律是材料力学中的重要定律之一。
本文将详细介绍材料力学广义胡克定律的定义、应用以及相关的概念和公式。
胡克定律的定义胡克定律是描述弹性体材料的应力-应变关系的定律。
它的基本假设是当材料受到小应力作用时，其应变是线性的。
根据胡克定律，应力与应变之间的关系可以表示为：σ=E⋅ε其中，σ是材料的应力，单位是帕斯卡（Pa）；E是材料的弹性模量，单位是帕斯卡（Pa）；ε是材料的应变，无单位。
广义胡克定律的引入广义胡克定律是对胡克定律的扩展和推广，它考虑了材料在大应力下的非线性行为。
在实际应用中，材料通常会遭受较大的应力，此时线性胡克定律不再适用。
为了描述材料在大应力下的力学行为，引入了广义胡克定律。
广义胡克定律的表达式广义胡克定律可以表示为：σ=E⋅ε+K⋅εn其中，σ是材料的应力，单位是帕斯卡（Pa）；E是材料的弹性模量，单位是帕斯卡（Pa）；ε是材料的应变，无单位；K是材料的非线性系数，单位是帕斯卡（Pa）；n是材料的非线性指数，无单位。
广义胡克定律的应用广义胡克定律可以描述材料在大应力下的非线性力学行为。
它广泛应用于工程领域中的材料设计、结构分析和强度计算等方面。
材料设计在材料设计中，广义胡克定律可以帮助工程师选择合适的材料和确定其力学性能。
通过测量材料的弹性模量和非线性系数，可以评估材料的强度和稳定性，从而选择最适合的材料。
结构分析在结构分析中，广义胡克定律可以用来计算结构在大应力下的变形和应力分布。
通过将广义胡克定律应用于结构的力学模型，可以预测结构在实际工作条件下的性能和安全性。
强度计算在强度计算中，广义胡克定律可以用来评估材料和结构的承载能力。
通过将广义胡克定律应用于强度分析，可以确定材料和结构在受到外力时的破坏点和失效机制，从而进行强度设计和优化。
广义胡克定律的实验验证广义胡克定律的有效性可以通过实验进行验证。
广义胡克定律
广义胡克定律1. 概述广义胡克定律是描述材料在受到外力作用下变形的力学定律，是胡克定律的一种扩展形式。
广义胡克定律表示了材料的应力与应变之间的线性关系。
根据广义胡克定律，应力与应变的关系可以通过材料的弹性模量来描述，弹性模量是材料特性的重要参数之一。
2. 胡克定律的表达式根据广义胡克定律，应力与应变之间的线性关系可以用以下表达式表示：σ = Eε其中，σ表示应力，单位为Pa（帕斯卡），E表示材料的弹性模量，单位为Pa，ε表示应变，无单位。
3. 弹性模量的定义弹性模量是衡量材料抵抗变形的能力的物理量，表示单位应力下材料的相对应变。
根据胡克定律，弹性模量E可以表示为应力与应变的比值：E = σ/ε这里E为弹性模量，σ为应力，ε为应变。
4. 弹性恢复能力根据广义胡克定律，材料在受到应力作用时，会发生弹性变形，即当外力撤除时，材料会恢复到原始形状。
这是因为材料具有弹性的特性，能够在受到外力作用后恢复原状，这种能力称为弹性恢复能力。
弹性恢复能力可以通过材料的弹性模量来衡量。
弹性模量越大，材料的弹性恢复能力就越强，反之则弹性恢复能力较弱。
5. 应力与应变的关系根据广义胡克定律，应力与应变之间的关系是线性的。
当材料受到外力作用时，会发生应力的产生，应力与应变的关系可以表示为：σ = Eε这里σ表示应力，E表示弹性模量，ε表示应变。
根据这个关系，应变是由应力和弹性模量决定的。
6. 应力应变曲线应力应变曲线是描述材料在受力过程中应力与应变关系的曲线。
根据广义胡克定律，应力应变曲线为直线，与应力与应变的线性关系相对应。
在应力应变曲线上，通常有三个重要点：比例极限点、弹性极限点和断裂点。
比例极限点表示材料可以承受的最大应力，弹性极限点表示材料开始发生塑性变形的点，断裂点表示材料完全破坏的点。
7. 应用广义胡克定律在工程领域有着广泛的应用。
它是材料力学的基础，可以帮助工程师分析和设计结构的性能。
在材料选择和设计过程中，根据材料的弹性模量可以选择合适的材料，以满足工程需求。
胡克定律定义
胡克定律定义胡克定律，也叫作虎克定律，是力学弹性理论中的一条基本定律，表述为：在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的劲度系数k、弹簧的形变量x（伸长量或压缩量）成正比，k是自然界的恒定的常量，但与其他因素无关，只是与弹簧本身有关。
该定律是英国科学家罗伯特·胡克于1678年发现的。
胡克定律的内容在弹性限度内，弹簧的弹力f和弹簧的劲度系数k、弹簧的形变量x（伸长量或压缩量）成正比，k是自然界的恒定的常量。
表达式为：F=kx。
其中，F为弹力大小，k为劲度系数，x为弹簧形变量。
胡克定律的适用范围1. 胡克定律是静力学的初级定律，适用于形状规则、密度均匀的弹性体。
2. 胡克定律不适用于粘性物质、非弹性体、气体及非均质体。
3. 胡克定律中的形变量包括膨胀和收缩形变。
4. 在弹性限度内，弹性体的形变才满足胡克定律。
5. 弹性体的弹力与形变量成正比，这是物理学的基本规律之一。
6. 胡克定律在建筑领域、机械制造领域和材料科学领域都有广泛的应用。
7. 胡克定律不适用于具有复杂应力的弹性体，例如旋转弯曲、拉伸压缩等复杂形变的情况。
8. 在温度变化时，胡克定律也不适用。
9. 胡克定律是线弹性力学的三大基本定律之一，另外两个是能量守恒定律和动量守恒定律。
10. 在原子物理学中，胡克定律不适用，因为原子之间的作用力不受距离的变化而变化。
11. 在生物学中，细胞膜的弹性和张力与胡克定律不完全相符，因为细胞膜的弹性和张力与多种因素有关，包括膜的厚度、蛋白质的数量和分布等。
12. 在地球物理学中，地壳的弹性与胡克定律也有所不同，因为地壳的弹性受到地壳的厚度、密度和构造等因素的影响。
13. 在气象学中，大气压力的变化与胡克定律不完全相符，因为大气压力的变化受到温度、湿度和气候变化等多种因素的影响。
14. 在爆炸力学中，爆炸产生的冲击波和应力波与胡克定律也不相符，因为爆炸产生的应力波具有瞬时性和极大的冲击力。
15. 在材料科学中，材料的疲劳强度和寿命与胡克定律不完全相符，因为材料的疲劳强度和寿命受到多种因素的影响，包括材料的质量、加工工艺和使用环境等。
材料力学广义胡克定律ppt课件ppt课件
ab
x
1 1 ( 45 45 ) ( ) E E 1 16(1 )m E Ed 3
[例5] 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点
处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在
四、应力--应变关系
E ( y z ) x 2 x 1
E ( z x ) y 2 y 1 E ( x y ) z 2 z 1
xy G xy
yz G yz
主应变2为：
联立两式可解得：
0.3 6 2 1 3 44 . 3 20 . 3 10 9 E 21010 34.3 106
其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
[例2]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性
uf
状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有 体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。 状态2的体积应变： 1 2 ( V ) 2 [( 1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )] 0 E 状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形
uV
uf
[例1]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性 模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体 积应变V 和形状改变比能uf 。 P y
y x z
x
z
解： 由已知可直接求得： N P y 2 , z 0, A a
x 0,
1 y 0 [ x ( y 0)] E P x y 2 , a z P P 1 0, 2 2 , 3 2 a a 1 2 1 2 P P V ( 1 2 3 ) (0 2 2 )
x
1 1 ( 45 45 ) ( ) E E 1 16(1 )m E Ed 3
[例5] 壁厚 t =10mm , 外径 D=60mm 的薄壁圆筒, 在表面上 k 点
处与其轴线成 45°和135° 角即 x, y 两方向分别贴上应变片,然后在
四、应力--应变关系
E ( y z ) x 2 x 1
E ( z x ) y 2 y 1 E ( x y ) z 2 z 1
xy G xy
yz G yz
主应变2为：
联立两式可解得：
0.3 6 2 1 3 44 . 3 20 . 3 10 9 E 21010 34.3 106
其方向必与1和3垂直，沿构件表面的法线方向。
[例2]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性
uf
状态1受平均正应力m作用，因各向均匀受力，故只有 体积改变，而无形状改变，相应的比能称为体积改变比能uV。 状态2的体积应变： 1 2 ( V ) 2 [( 1 m ) ( 2 m ) ( 3 m )] 0 E 状态2无体积改变，只有形状改变，相应的比能称为形
uV
uf
[例1]边长为a 的一立方钢块正好置于刚性槽中，钢块的弹性 模量为E 、泊桑比为 ，顶面受铅直压力P 作用，求钢块的体 积应变V 和形状改变比能uf 。 P y
y x z
x
z
解： 由已知可直接求得： N P y 2 , z 0, A a
x 0,
1 y 0 [ x ( y 0)] E P x y 2 , a z P P 1 0, 2 2 , 3 2 a a 1 2 1 2 P P V ( 1 2 3 ) (0 2 2 )
广义虎克定律
变形后体积： 体积应变e：
dy
1
dz dx V1 (1 1 2 3 )dxdydz
K
1 2 V1 V 1 2 3 = e 1 2 3 E V E = 1 2 3 K m 3(1 2 ) 3
min 20MPa
20MPa
1 40MPa
max
2 20MPa
1 3
2
3 20MPa
40 20 30MPa 2
2001年长安大学
3、三向应力状态的体积应变
变形前体积：
2
V dxdydz
3
变形后三个棱边为：
dx 1dx，dy 2 dy，dz 3dz
ห้องสมุดไป่ตู้
E 1 ' 2 —— 2 方向的线应变 即：Y方向的线应变 E
' 3
' 1
1
—— 1 方向的线应变 即：X方向的线应变
1
E
——
3 方向的线应变 即：Z方向的线应变
2
1
3
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E
8.5.2 复杂应力状态的变形比能
2
dy dx
dz
u
1
1 2 2 2 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
1 1 1 2 2 3 3 2
u uv u f
体 积 改 变 比 能 形 状 改 变 比 能
2 2
2
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa, =0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩.
dy
1
dz dx V1 (1 1 2 3 )dxdydz
K
1 2 V1 V 1 2 3 = e 1 2 3 E V E = 1 2 3 K m 3(1 2 ) 3
min 20MPa
20MPa
1 40MPa
max
2 20MPa
1 3
2
3 20MPa
40 20 30MPa 2
2001年长安大学
3、三向应力状态的体积应变
变形前体积：
2
V dxdydz
3
变形后三个棱边为：
dx 1dx，dy 2 dy，dz 3dz
ห้องสมุดไป่ตู้
E 1 ' 2 —— 2 方向的线应变 即：Y方向的线应变 E
' 3
' 1
1
—— 1 方向的线应变 即：X方向的线应变
1
E
——
3 方向的线应变 即：Z方向的线应变
2
1
3
1 1 1 2 3 E 1 2 2 3 1 E
8.5.2 复杂应力状态的变形比能
2
dy dx
dz
u
1
1 2 2 2 1 2 3 2 ( 1 2 2 3 3 1 ) 2E
1 1 1 2 2 3 3 2
u uv u f
体 积 改 变 比 能 形 状 改 变 比 能
2 2
2
一受扭圆轴,直径d=20mm,圆轴的材料为 钢,E=200GPa, =0.3.现测得圆轴表面上与轴线成450 方向的应变为ε=5.2×10-4,试求圆轴所承受的扭矩.
广义胡克定律
第四章 广义胡克定律第四章 广义胡克定律 (1)§4.1节广义胡克定律 (2)§4.2节拉梅常数与工程弹性常数 (5)§4.3节弹性应变能函数 (7)§4.1节 广义胡克定律（一）单向应力状态下胡克定律单向应力状态下，处于线弹性阶段材料，其应力与应变关系可由下式表示：x x E σε=其中E 为材料的弹性模量。
（二）三维广义胡克定律三维条件下，物体应力状态可由6个分量表示，而应变状态也由6个分量表示。
假设应力与应变的各个分量之间均相关，一般地，1111111222133314121523163122211122222333241225232631333111322233333412352336311241114222433344124523463123511152225c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεεεεεεσεε=+++++=+++++=+++++=+++++=++33354125523563131611162226333641265236631c c c c c c c c c εεεεσεεεεεε⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++⎪=+++++⎪⎩ 或写作111213141516111121222324252622223132333435363333121241424344454623235152535455563131616263646566c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c c σεσεσεσεσεσε⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎥⎥⎥⎥⎥ 其中，mn C （,1,,6m n ="）为弹性常数。
广义胡克定律公式推导
广义胡克定律公式推导
广义胡克定律是描述材料弹性行为的重要定律，其公式为 F - k·x 或 F - k·x，其中 F 是施加的外部力，k 是物体的劲度系数，x 是形变量。
在三维情况下，广义胡克定律是三个方程，可以将这三个方程的应力应变提出来写成矩阵形式。
首先，将三维情况下的广义胡克定律写成矢量形式，即 F = k·e，其中 e 是应变矢量，定义为形变前后物体的长度差。
接着，将矢量 F 与应变矢量 e 之间的关系表示为矩阵形式，即 F = k·E，其中 E 是胡克应变矩阵，定义为胡克应变矩阵胡克应变矩阵。
最后，将胡克应变矩阵表示成矢量胡克应变矩阵，即 E = [e_x e_y e_z],然后将其代入矩阵形式的广义胡克定律中，得到三维情况下的广义胡克定律矩阵形式为:
[F_x - k·e_x] = [0 0 0]
[F_y - k·e_y] = [0 0 0]
[F_z - k·e_z] = [0 0 0]
其中，F_x、F_y、F_z 分别表示外部力在 x、y、z 方向上的投影，e_x、e_y、e_z 分别表示对应的应变矢量。
可以看出，三维情况下的广义胡克定律矩阵形式正是反映了物体在三维空间中的弹性行为。
弹性与塑性力学基础-第四章广义虎克定律和弹性力学解题PPT课件
x y
1
E 1
E
[ [
x y
( (
y x
z
)]
z )]
z
1 E
[
z
(
x
y
)]
xy
xy G
yz
yz G
zx
-
zx G
(4-4)
9
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.4 广义胡克定律的不同形式 ➢ 将式(4-4)的前三式左右两边相加后，则有
(4-7)
➢ 弹性阶段应力主轴和应变主- 轴重合（注意：应力或应变球张量对
应力主轴或应变主轴无影响）
13
弹性与塑性 力学基础
第四章 广义胡克定律和弹性力学解题的 基本方程与方法
§4-1 广义胡克定律
4.1.3 广义胡克定律的不同形式
➢ 各向同性体的胡克定律(4-4)是以应力表示应变，在求解某些问题
特例：垂直于x轴的边界上， l= 1，m＝0，
应力边界条件简化为
(x)s Sx,(xy)s Sy
垂直于y轴的边界上，
l=0，m= 1，应力边界条件简化为
(y)s Sy,(yx)s Sx
受力平衡图
即：应力分量边界值等于对应- 面力分量
24
弹性与塑性 第四章 广义胡克定律和弹性力学解题
力学基础
的基本方程与方法
xy x
K
y
0
z z
xz x
yz y
K
z
0
i,jjK j0 (i,jx,y,z)
-
(4-10) (4-10')
16
广义胡克定律
广义胡克定律 强度理论[知识回顾]1、 轴向拉（压）变形在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过）横向变形2）纯剪切[导入新课]胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。
[新课教学]x x E εσ=E xx y σμμεε-=-=γτG =广义胡克定律 强度理论一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law ）1、主应力单元体－叠加法只在1σ作用下：1方向只在2σ作用下：1方向 1方向由1σ、2σ、3σ共同作用引起的应变只在3σ作用下：1方向即同理：2、非主应力单元体可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内，线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关， 满足应用叠加原理的条件。
E11σε='E21σμε-=''E 31σμε-='''111εεεε'''+''+'=()[]32111σσμσε+-=E()[]13221σσμσε+-=E()[]21331σσμσε+-=E [][][]⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111小变形，线弹性范围内，符合叠加原理3、体积应变单元体，边长分别为dx 、dy 和dz 。
在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。
变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++=将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是，单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-=VVV θ称为体积应变（或体应变）。
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§10.4 空间应力状态及广义胡克定律一、空间应力状态简介当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。
本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。
先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，如图10-16(a)所示。
该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决定。
于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。
同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。
这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。
当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。
D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。
由于D点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。
图10-16 空间应力状态及其应力圆二、最大、最小正应力和最大剪应力从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。
画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为：σmax=σ1，σmin=σ3单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。
而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl 点的纵坐标，即等于该应力圆半径： 13max 2σστ-=Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行，且与σ1和σ3主平面交450。
三、广义胡克定律在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律 E σε= （a ）此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出：'E σεμεμ=-=- （b ）在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即G τγ= 或 G τγ=（c ）对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图10.1所示。
根据剪应力互等定律，τxy =－τyx ，τxz =－τzx ，τyz =－τzy ，因而，在这9个应力分量中只有6个是独立的。
这种情况可以看成是三组单向应力（图10-17）和三组纯剪切的组合。
对于各向同性材料，在线弹性范围内，处于小变形时，线应变只与正应力有关，与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关，与正应力无关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。
因此，求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应变时不考虑正应力的影响。
于是只要利用（a ）、（b ）、（c ）三式求出与各个应力分量对应的应变分量，然后进行叠加即可。
图10-17 应力分解如在正应力σx 单独作用时(图10-17(b))，单元体在x 方向的线应变xxx E σε=；在σy 单独作用时(图10-17(c))，单元体在x 方向的线应变为：yxy E σεμ=-；在σz 单独作用时(图10-17 (d))，单元体在x 方向的线应变为zxz E σεμ=-；在σx 、σy 、σz 共同作用下，单元体在x 方向的线应变为：1()x xx xy xzy x Z x y z E E E E εεεεμσσμσσμσσ=++=--=-+⎡⎤⎣⎦同理，可求出单元体在y 和z 方向的线应变εy 和εz 。
最后得1()x x y z E εσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ 1()y y z x E εσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ （10-9）1()z z x y E εσμσσ=-+⎡⎤⎣⎦ 对于剪应变与剪应力之间，由于剪应变只与剪应力有关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。
因而仍然是（c ）式所表示的关系。
这样，在xy 、yz 、zx 三个面内的剪应变分别是12(1)xy xy xy G E μγττ+==12(1)yz yz yz G E μγττ+== （10-10）12(1)zx zx zx G E μγττ+== 公式（10-9）和（10-10）就是三向应力状态时的广义胡克定律。
当单元体的六个面是主平面时，使x 、y 、z 的方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致，这时有1,2,3,0,0,0,x y z xy yz zx σσσσσστττ======广义胡克定律化为： []11231()E εσμσσ=-+ []22311()E εσμσσ=-+ （10-11）[]33121()E εσμσσ=-+ 0,0,0xy yz zx γγγ===ε1、ε2、ε3方向分别与主应力σ1、σ2、σ3的方向一致，称为一点处的主应变。
三个主应变按代数值的大小排列，ε1 ≥ ε2 ≥ε3，其中，ε1和ε3分别是该点处沿各方向线应变的最大值和最小值。
四、 体积应变单位体积的改变称为体积应变（体应变）。
图10-18所示的主单元体，边长分别是dx 、dy 和dz 。
在3个互相垂直的面上有主应力σ1、σ2和σ3。
单元体变形前的体积为: v = dxdydz ;变形后的体积为：v 1=（dx +ε1dx)(dy +ε2dy)(dz +ε3dz)则体积应变为： 1123()()()v v v dx dx dy dy dz dz dxdydz v v dxdydzεεεθ∆-+++-===(1)(1)(1)1x y z εεε=+++-123122331123εεεεεεεεεεεε=++++++略去高阶微量，得123θεεε=++ （10-12）将广义胡克定律式(10-11)代入上式，得到以应力表示的体积应变12312312()E μθεεεσσσ-=++=++ （10-13）令 图10-18 主应力单1231()3mσσσσ=++ （10-14）则 3(12)m m E K μσσθ-== （10-15）式中：3(12)E K μ=-称为体积弹性模量，σm 称为平均主应力。
公式（10-15）表明，体积应变θ与平均主应力σm 成正比，即体积胡克定律。
单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关，至于三个主应力之间的比例对体积应变没有影响。
若将图10-19（a ）中所示单元体分解为（b ）和（c ）两种情况的叠加，在（c ）图中，由于各面上的主应力为平均主应力，该单元体各边长按相同比例伸长或缩短，所以单元体只发生体积改变而不发生形状改变。
在图（b ）中，三个主应力之和为零，由式（10-13）可得其体积应变θ也为零，表明该单元体只发生形状改变而不发生体积改变。
由此可知，图（a ）所示的单元体的变形将同时包括体积改变和形状改变。
五、 复杂应力状态下的弹性变形比能弹性变形比能是指物体在外力作用处于弹性状态下，在单位体积内储存的变形能。
在单向应力状态下，当应力σ与应变ε满足线性关系时，根据外力功和应变能在数值上相等的关系，导出变形比能的计算公式为12u σε=图10-19 单元体应力的组合在复杂应力状态下的单元体的变形比能为1122331()2u σεσεσε=++将将广义胡克定律(10.11)式代入上式，经过整理后得出：[][][]{}1123221333211()()()2u E σσμσσσσμσσσσμσσ=-++-++-+22212312233112()2E σσσμσσσσσσ⎡⎤=++-++⎣⎦ （10-16） 式（10-16）就是在复杂应力状态下杆件的弹性变形比能计算公式。
由于单元体的变形包括体积改变和形状改变，所以变形比能也可以看成由体积改变比能和形状改变比能这两部分的组合。
d u u u θ=+式中：u θ为体积改变比能，d u 为形状改变比能。
对于图（10-19（c ））中的单元体，各面上的正应力为：1231()3m σσσσ==++，将σm代入式（10-16）得体积改变比能： 22222212()2m m m m m m u E θσσσμσσσ⎡⎤=++-++⎣⎦212312()6E μσσσ-=++ （10-17） 形状改变比能：22221231223311231122()()26d u u u E E θμσσσμσσσσσσσσσ-⎡⎤=-=++-++-++⎣⎦22212312233116E μσσσσσσσσσ+⎡⎤=++---⎣⎦2221223311[()()()]6E μσσσσσσ+=-+-+- （10-18）例10-7 如图10-20所示钢梁，在梁的A 点处测得线应变640010,x ε-=⨯612010,y ε-=-⨯ 试求：A 点处沿x 、y 方向的正应力和z 方向的线应变。
已知弹性模量E=200GPa ，泊松比μ=0.3。
图10-20 钢梁上某点A 的位置解：因为A 点的单元体上σz=0，该单元体处于平面应力状态，将εx 、εy 、E 、μ代入公式（10-9），得69140010(0.3)20010x y σσ-⨯=-⨯691120010(0.3)20010y x σσ--⨯=-⨯解得：σx=80MPa ，σy=0再由。