高中数学必修五,等差数列题型精讲精练

等差数列一．等差数列知识点：知识点1、等差数列的定义:①如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示知识点2、等差数列的判定方法：②定义法:对于数列，若(常数），则数列是等差数列③等差中项:对于数列,若,则数列是等差数列知识点3、等差数列的通项公式:④如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于n的一次函数知识点4、等差数列的前n项和：⑤⑥对于公式2整理后是关于n的没有常数项的二次函数知识点5、等差中项:⑥如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项即：或在一个等差数列中,从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项知识点6、等差数列的性质:⑦等差数列任意两项间的关系：如果是等差数列的第项，是等差数列的第项，且，公差为，则有⑧对于等差数列，若，则也就是:⑨若数列是等差数列，是其前n项的和,，那么,,成等差数列如下图所示：10、等差数列的前项和的性质：①若项数为，则，且，．②若项数为,则，且，（其中,）．二、题型选析：题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用)1、。

等差数列{a n｝的前三项依次为a-6，2a -5, -3a +2，则a 等于（）A . -1B . 1C 。

—2 D. 22．在数列｛a n}中，a1=2，2a n+1=2a n+1，则a101的值为( ）A．49 B．50 C．51 D．523．等差数列1,－1,－3，…，－89的项数是（)A．92 B．47 C．46 D．454、已知等差数列中,的值是（）（)A 15B 30C 31D 645. 首项为－24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是（）A.d＞B.d＜3 C。

≤d＜3 D.＜d≤36、。

在数列中，，且对任意大于1的正整数,点在直上,则=_____________。

专题等差数列【知识导图】【目标导航】1.理解等差数列的概念；2．掌握等差数列的判定方法；3．掌握等差数列的通项公式及等差中项的概念，并能简单应用.4.记住等差数列的一些常见性质；5．会用等差数列的性质解答一些简单的等差数列问题.【重难点精讲】重点一、等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．若公差d＝0，则这个数列为常数列.重点二、等差数列的递推公式与通项公式已知等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则有：递推公式通项公式a n －a n －1＝d (n ≥2)a n ＝a 1＋(n －1)d重点三、等差中项 如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项.即A ＝a ＋b 2. 重点四、等差数列{a n }的一些简单性质(1)对于任意正整数n 、m 都有a n －a m ＝(n －m )d .(2)对任意正整数p 、q 、r 、s ，若p ＋q ＝r ＋s ，则a p ＋a q ＝a r ＋a s .特别地对任意正整数p 、q 、r 若p ＋q ＝2r ，则a p ＋a q ＝2a r .(3)对于任意非零常数b ，若数列{a n }成等差，公差为d ，则{ba n }也成等差数列，且公差为bd .(4)若{a n }与{b n }都是等差数列，c n ＝a n ＋b n ，d n ＝a n －b n 则{c n }，{d n }都是等差数列．(5)等差数列{a n }的等间隔的项按原顺序构成的数列仍成等差数列．如a 1，a 4，a 7，…，a 3n －2，…成等差数列． 重点五、等差数列的单调性等差数列{a n }的公差为d ，则当d ＝0时，等差数列{a n }是常数列，当d <0时，等差数列{a n }是单调递减数列；当d >0时，等差数列{a n }是单调递增数列．【典题精练】考点1、等差数列的判断与证明 例1．已知数列{}n a 中，135a =，112n n a a -=- ()*2,n n N ≥∈，数列{}nb 满足11n n b a =-()*n N ∈。

等差与等比数列的综合问题【知识概述】一、两种数列综合考查有以下几种命题方式：1.嵌套式：将一种数列嵌套在另外一种数列中作为一个知识点进行考查；2.拼盘式：在一个综合问题中，将两种数列像一个拼盘一样拼在一起，来综合考查这两种数列的各种概念与性质3.引申式：将等差数列或者等比数列进行引申，将它与其他的数学知识产生联系，从而在考查数列知识的同时考查数学的其他相关知识二、等差数列与等比数列在一定情况下可以互相转换1.若{}n a 为等差数列{}(0,1)n a a a a ⇔>≠为等比数列；2.若{}n a 为等比数列{log }(0,1)a n a a a ⇔>≠为等差数列.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则4a = .2．[难度] 中设{}n a 为等差数列，{}n b 是各项都是正数的等比数列，111a b ==, 243a a b +=，243b b a =，求及{}n b 的前10项的和10S 及10T .3．[难度] 中设{}n a 是等差数列，1()2n a n b =，已知b 1＋b 2＋b 3＝821，b 1b 2b 3＝81. （1）求证：数列{b n }是等比数列；（2）求等差数列{a n }的通项a n .【经典例题】{}n a例1．设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知37,S =且1233,3,4a a a ++构成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式．（2）令31ln ,1,2n n b a n +==…, 求数列{}n b 的前n 项和n T .例2．已知数列{}n a 的前n 项和222n S n n =+，数列{}n b 的前n 项和2n n T b =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）设 2n n n c a b =，证明：当且仅当n ≥3时，1n c +< n c .例3．已知等差数列的公差d 不为0，设，（1）若 ，求数列的通项公式；（2）若成等比数列，求q 的值；（3）若.例4．已知数列{}n a 中，112a =,点*1(,2)()n n n a a n +-∈N 在直线y x =上. （1）令11n n nb a a +=--,求证数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n a 的通项；（3）设n S ，n T 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项和,是否存在实数λ使得数列n n S T n λ+⎧⎫⎨⎬⎩⎭等差数列？ 若存在，试求出λ，若不存在,则说明理由.【本课总结】}{n a 121-+++=n n n q a q a a S *1121,0,)1(N n q q a q a a T n n n n ∈≠-++-=-- 15,1,131===S a q }{n a 3211,,,S S S d a 且=*2222,1)1(2)1(1,1N n q q dq T q S q q n n n∈--=+--±≠）证明（1.等差和等比数列是两个基本的数列模型，是高考的重点和热点，将两种数列综合在一起进行考查是常见的命题形式，难度低中等，但若是在等差、等比数列的基础上引申和创新的问题，则一般难度较大，对考生的观察理解能力和灵活利用所学知识分析和解决问题的能力要求较高，命题的规律则通常是以一种类型数列为主导，兼顾另一种数列的相关知识，如中项公式等，目的是从基本量的角度给出确定数列的条件.解决等差数列与等比数列综合问题的关键，是能够熟练、准确和综合的运用相关的知识.注重总结常见问题的题型特征和命题规律以及相应的解题方法，并能比较深刻的理解和掌握问题中所蕴含的数学思想方法.2.请同学们体会如何将两种特殊数列进行综合，如何把他与其它的知识进行综合，不同的综合方式构成了不同难度的试题形式，当等差数列和等比数列综合的时候，要对这两个数列的基本知识进行很好的把握，把问题做适当的分解，便可以获得恰当的解题方法【活学活用】1．[难度] 中公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, ,则等于 .2. [难度] 中已知{}n a 是公差不为零的等差数列，11a =，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项;（2）求数列{}2n a 的前n 项和n S3. [难度] 难已知{}n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足3655a a =，2716a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式： （2）若数列{}n a 和数列{}n b 满足等式：*312123()2222n n n b b b b a n =++++∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n S .{}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S。

等差数列及其性质【知识概述】1.定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d 表示，即*1(,2)n n a a d n N n --=∈≥.2.通项公式：1(1)n a a n d =+-()n N *∈3.前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-=+= 4.递推公式：+1+n n a a d =()n N *∈5．中项公式：若b a 、、M 成等差数列，则2M +a b =，称M 为b a 、的等差中项， 即+M 2a b =；若数列{}n a 是等差数列，则n 112+(2)n n a a a n -+=≥. 6.等差数列的简单性质：)N (*∈k q p n m 、、、、（1）若m n p q +=+,则m n p q a a a a +=+；（2）2m n p +=,则2m n p a a a +=；（3）112m m m a a a -+=+；2+m m k m k a a a -+=（4）()m n a a m n d =+-;（5）21(21)m m S m a -=-;（6）232,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列.（7）()()n S f n an b f n n ==+⇔是n 的一次函数{}()n S f n n ⎧⎫⇔=⎨⎬⎩⎭成等差数列. （8）数列}{n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+是n 的二次函数且常数项为零.【学前诊断】1．[难度] 易已知等差数列}{n a 中，（1）若12497,1,16a a a a 则==+= ；（2） 若1232,13,a a a =+= 则456a a a ++= .2．[难度] 中已知数列{}n a 是等差数列，（1）若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=且k a =13,则k =________________.（2）若公差为-2，且,509741=+++a a a 则=++++99963a a a a .3．[难度] 中已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S（1）若.__________,4,8134111073==-=-+S a a a a a 则（2）若242,10,S S ==6S = .【经典例题】例1．在等差数列{}n a 中，259,33,a a ==求8a .例2．n S 设表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918,240,n S S ==若 430(9)n a n -=>，求n 的值.例3．在等差数列{}n a 中，230,100m m S S ==，3m S 求. 例4．已知数列{}n a 是一个等差数列，且251,5,n a a S ==-为其前n 项和.（1）求 {}n a 的通项n a ；（2）求n S 的最大值及相应的n 值；（3）12+n n T a a a =++….【本课总结】1．有关等差数列的计算问题一般有两种方法：基本量法：一个等差数列可以由首项1a 和公差d 完全确定，而首项1a 和公差d 又可以用其它两个独立的条件取代，因此在等差数列的有关计算中，可以依据方程思想，只要给出两个独立条件，就可以列方程组求出1a d 、，将问题转化为等差数列中的两个基本量1a d 、进行计算，可以说基本量法是万能大法.性质法： 数列简单性质的使用可以简化运算，如果能恰当的使用数列性质，就可以绕开经过首项1a 的独木桥，获得简洁明快的解题方法，解题时需充分关注角标之间的关系，注意挖掘题目中的隐含条件, 隐含条件发掘的越深刻，获得的解题方法就越优秀.2．证明或判断数列为等差数列主要有以下几种方法：①定义法：1n n a a d +-=恒成立{}n a ⇔成等差数列；②通项法：通项公式n a pn q =+是n 的一次函数{}n a ⇔成等差数列；③前n 项和法：前n 项和2n S pn qn =+是n 的二次函数且常数项为零{}n a ⇔成等差数列；④中项法：211n n n n a a a a +++-=-，即122n n n a a a ++=+{}n a ⇔成等差数列；3．求等差数列前n 项和的最值问题，常用途径有：①二次函数法：用求二次函数最值的方法求n S 的最大值，但要注意*n ∈N ；②图象法：利用二次函数图象的对称性，数形结合求n S 的最值；③通项法：利用等差数列的通项公式，重在考查数列的变化规律，对无穷等差数列{}n a ， 其前n 项和n S 有如下几种情况：（i ）当10,0a d ><时，若满足0n a ≥的最大自然数为N ，则n S 的最大值为N S ； （ii ）当10,0a d <>时，若满足0n a ≤的最大自然数为N ，则n S 的最小值为N S ；（iii ）当10,0a d >>时，n S 无最大值；（iv ）当10,0a d <<时，n S 无最小值.【活学活用】1．[难度] 中等差数列}{n a 中，（1）若,36,31001==a a 则=+983a a ;（2）若262,162a a ==，则10a = ;（3）若,4,126473-=+-=a a a a 则n a = .2. [难度] 中设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，（1）若39S =，636S =，则789a a a ++= ;（2）若102030,100,S S ==则30S ＝ .3. [难度] 难已知数列{}n a 的通项为215n a n =-，前n 项和为n S .（1）当n 为多少时，n S 取最小值、n S 取最小值;（2）求201220T a a a =+++，并求12n n T a a a =+++.。

基础巩固1等差数列｛a n｝中，a i= 1, d = 1，贝y S n等于…（）A . nB . n（n + 1）n n + 1C. n（n—1）D.㊁一2已知等差数列｛a n｝的前n项和为S n,且S101= 0，则有（）A . a1+ a101 > 0B . a1 + a101 < 0C. a1+ a101 = 0 D . a1+ a101 的符号不确定3等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若S2= 4, S4= 20,则数列｛a n｝的公差d等于（）A . 2B . 3C . 6D . 74已知｛a n｝为等差数列，a1 + a3 + a5= 105, a2 + a4+ a6= 99,以S n表示｛a n｝的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（）A . 21B . 20C . 19D . 185现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管根数为（）A . 9B . 10C . 19D . 206设数列｛ a n｝的首项a1 = —7,且满足a n+1 = a n+ 2（n€ N +），贝U a1 + a2+・・・+ a17 =7设等差数列｛a n｝的前n项和为S n,若a6= S3= 12,则a n = ____________ .8设数列｛a n｝的前n项和为S n= n2—4n+ 1,求通项公式.9首项为正数的等差数列｛a n｝，它的前3项和与前11项的和相等，问此数列的前多少项的和最大？10甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第 1 min走2 m ,以后每分钟比前1 min多走1 m,乙每分钟走5 m.（1）甲、乙开始运动后几分钟相遇？⑵如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前 1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？综合过关11已知数列｛a n｝的前n项和S n= n2—9n,第k项满足5< a k< 8,贝U k等于（）A . 9B . 8C . 7D . 612已知S n是等差数列｛a n｝的前n项和，S10> 0并且Sn= 0,若S n< Sk对n € N +恒成立, 则正整数k构成的集合为（）A . {5}B . {6}C . {5,6}D . {7}13已知两个等差数列｛a n ｝和｛b n ｝的前n 项和分别为A n 和B n ,且春=7n] 45，则使得£为B n n + 3 b n整数的正整数n 的个数是()A . 2B . 3C . 4D . 5S 914设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ,若a 5= 5a 3,则焉= _______________ • 15在小于100的正整数中共有多少个数被 3除余2 ?这些数的和是多少？能力提升16 数列｛ a n ｝的前 n 项和为 Si = nPa n (n € N +)，且 a 1M a 2. ⑴求常数P 的值；(2)证明：数列｛a n ｝是等差数列.3 ° 20517已知数列｛a n ｝的前n 项和为S n =-qn 2 + 一厂n ，求数列｛|a n |｝的前n 项和T n .参考答案1答案：D2解析:_ 101 a 1+ a 101 小 ._答案： C2a 1 + d = 4,3解析：解方程组得d = 3.4a 1 + 6d = 20,答案：B4解析：设公差为d ,则 a 1+ a 1+ 2d + a 1 + 4d = 105,解得a 1+ d + a 1 + 3d + a 1+ 5d = 99,n n — 1a 1 = 39, d =— 2,二S n = na 1 +2 d=—n 2 + 40n = — (n — 20)2+ 400, •••当 n = 20 时，S n 取最大值. 答案：B5解析：设由上到第n 层的钢管数为a n ,则｛a n ｝为等差数列，且公差 d = 1, a 1= 1, S n所以堆放19层时，所剩钢管数最少为 200 — 190= 10.答案：Bn n + 12 •要使剩余的则用到的钢管6解析：由题意得a n+1—a n= 2, • ｛a n｝是一个首项a1= —7,公差d= 2的等差数列.• a117 v 16+ a 2+…+ a i7= S i7= 17X (— 7) +2— x 2 = 153.答案：153a i + 5d = 12,7解析：设数列｛a n ｝的公差为d ，贝U解得d = 2, a 1= 2，所以a n = a 1 +3a 1+ 3d = 12, （n — 1）d = 2n.答案：2n8分析：a n = S n — S n -1（n 》2），必须验证对 n = 1时是否也成立，否则通项公式只能用分 段函数来表示.解：当 n = 1 时，a 1 = S 1 = 12— 4X 1 + 1 = — 2;当 n 》2 时，a n = S n 一 S n -1 = (n 2— 4n + 1) — [(n — 1)2— 4(n — 1) + 1] = 2n — 5. 又玄1工2X 1 — 5,—2, n = 1, 则a n =2n — 5, n 》2, n € N +.9分析：确定首项的符号，转化为求二次函数的最值. 解：T S 3= S 11 ,1 1••• 3a 1+ X 3X (3 — 1)d = 11a 1 + 寸 11X (11 — 1)d.d =—务1< 0.• •当n = 7时，0有最大值，即前7项和最大.10解：（1）设n min 后第一次相遇，依题意，有整理得 n 2+ 13n — 140= 0，解得 n = 7, n =— 20(舍去).第一次相遇是在开始运动后 7 min.6X 70= 0.解得 m = 15, m =— 28（舍去）. •第二次相遇是在开始运动后15 min.11解析： 当 n = 1 时，a 1 = S 1 = 12— 9 =— 8;当 n 》2 时，a n = S n — S n -1 = 2n — 10. 又 a 1= — 8 = 2X 1 —10,贝U a n = 2n — 10. 所以 5v 2k — 10v 8，且 k € N + ,解得 k = 8.n n — 1d =—缶1 n 2+希am =—挣1( n — 7)2 + 4913a1.2n + n n — 12 + 5n = 70.（2）设m min 后第二次相遇，依题意有 2m + m m — 12+ 5m = 3 X 70,整理得 m 2+ 13m —答案：B=0，贝V a i + a ii = 2a6= 0,贝V a6= 0，所以a5> 0,公差d= a6—a5=—a5V 0,所以S n 的最大值是S5或S6,所以若S n W S k对门€ N+恒成立，则正整数k= 5,6.答案：C2a n a i + a2n-i b n 2b n b i+b2n —i2n—i a i + a2n-122n—i b i + b2n-1答案：DS9 9 a i + a9、“ 2 9 a5 + a5 9a5XS5 2 5 a i+ a5 5 a3 + a3 5a3答案：915分析：这些数按大小排列后组成等差数列，转化为求等差数列的前n项和.解：将这些数按从小到大排列，设第n个数为a n，则｛a n｝是等差数列，a i = 2, d = 3, 则a n = 2 + (n—1) X 3 = 3n—1,令3n—1 v 100,解得n v罗,又n € N + ,••• n的最大值为33,即有33个被3除余2的数，这些数的和是S33= 33 X 2 + 叮X 3= 1 650.16(1)解:当n= 1 时，a i = Pa i;若P= 1 时,a i + a2= 2Pa2= 2a2.二a i = a2与已知矛盾，故P M 1，贝U a i = 0.当n = 2时，a i + a2= 2Pa2,•••(2P—i)a2= 0.T a i M a2, •• P =1(2)证明：由已知S n= §na n, a i = 0.n》2时，1 1a n= S n —S n —1 = gHa n —?(n —1)a n ,27n+ 19 n+ 112n+ 1.当为整数时,b n12市为整数, 则正整数n= 1,2,3,5,11.12 解析：S io 10 a i+ a io>0,贝Va+10 a i + a iii3解析: A2n-1 = 7 2n —1 + 45 = 14n+ 38 B2n-1 2n —1 + 3 2n+ 214解析：•/｛a n｝为等差数列,a n _ n — 1 a n -1_ n — 2... a 3_ 2 a n -1 n — 2 a n —2 n — 3 a 2 1--a n — a n —1 = a 2.二｛a n ｝是以a 2为公差，以a 1为首项的等差数列.QOCA17分析：由S n =—尹2 + ^n 知S n 是n 的缺常数项的二次式，所以数列｛a n ｝为等差数列, 可求出通项a n ，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出T n .解：a 1 = S 1= 101, 当n > 2时，3 2 205 3 2 205a n = S n — S n -1 =(—尹 2+三门)—[—<n — 1)2+牙(n — 1)] = — 3n + 104. 又•/ n = 1也适合上式，•••数列通项公式为 a n =— 3n + 104(n € N +). 由 a n = — 3n + 104》0, 得 n w 34.7,即当 n W 34 时，a n >0;当 n 》35 时，a n v 0. (1) 当 n w 34 时，3 n 205T n = a 1 + a 2 + . + a n = S n =— ?n 十~^n. (2) 当n 》35时，T n = |a 1|+ |a 2| + …+ |a 34|+ |a 35| + …+ |a n | =a 1 + a 2 + …+ a 34 — (a 35+ a 36 + …+ a n ) =2(a 1 + a 2 + …+ a 34) — (a 1 + a 2 + …+ a n )=2S 34 — S n = 3n 2 — ■2^5n + 3 502.故T n-|n 2 + 205nn w 34 ,討-学n + 3 502 n 》35.a n=n — a 21,--a n = (n — 1)a 2.。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）素养拓展19等差数列中Sn 的最值问题（精讲+精练）一、等差数列的通项公式和前n 项和公式1.等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，那么它的通项公式是1(1)=+-n a a n d ．2.等差数列的前n 项和公式设等差数列{}n a 的公差为d ，其前n 项和11()(1)22+-=+=n n n a a n n S na d ．注：数列{}n a 是等差数列⇔2=+n S An Bn （、A B 为常数）．二、等差数列的前n 项和的最值1.公差0{}>⇔n d a 为递增等差数列，n S 有最小值；公差0{}<⇔n d a 为递减等差数列，n S 有最大值；公差0{}=⇔n d a 为常数列．2.在等差数列{}n a 中（1）若100，><a d ，则满足1+≥0⎧⎨≤0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最大值m S ；（2）若100，<>a d ，则满足1+≤0⎧⎨≥0⎩m m a a 的项数m 使得n S 取得最小值m S ．即若100>⎧⎨<⎩a d ，则n S 有最大值（所有正项或非负项之和）；若100<⎧⎨>⎩a d ，则n S 有最小值（所有负项或非正项之和）．【典例1】（2022·全国·统考高考真题）记n S 为数列{}n a 的前n 项和．已知221nn S n a n+=+．二、题型精讲精练一、知识点梳理又4a ，7a ，9a 成等比数列，所以2749a a a =⋅，即()()()2111638a a a +=+⋅+，解得112a =-，所以13n a n =-，即有1123210,0a a a a <<<<= .则当12n =或13n =时，()min 78n S =-．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出n S 的最小值，适用于可以求出n S 的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．【题型训练-刷模拟】一、单选题若5，故②正确；当8n =或9n =时，n S 取得最大值，所以211k a b +-=或12，故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查的是等差数列的前n 项和最大值问题，思路是不难，大，即确定数列是递减数列，判断前多少项为非负项即可，但关键点在于如何求得正负项分界的项，即求得90a =，100a <，所以这里的关键是利用()217e 1ln 21a bS a b --≤≤-+，构造函数()e 1x f x x =--，利用导数判断函数单调性，结合最值解决这一问题.二、多选题三、填空题1四、解答题32．（2023·全国·高三专题练习）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1121526,a S S =-=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)求n S ，并求n S 的最小值.【答案】(1)228n a n =-；(2)227n S n n =-，最小值为182-．【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列前n 项和公式由1215S S =列出方程即可解出d ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）根据二次函数的性质或者邻项变号法即可判断何时n S 取最小值，并根据等差数列前n 项和公式求出nS。

2019年人教版高二数学必修五等差数列题型归纳类型一：等差数列的定义例1. -401是不是等差数列5913---、、………的项？如果是，是第几项？ 【思路点拨】要想判断一数是否为某一数列的其中一项，关键是要看是否存在一正整数n 值，使得n a 等于这一数.【解析】 由159(5)4a d =-=---=- 得54(1)41n a n n =---=--由题意知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得： 40141n -=--成立解得：100n =即401-是这个数列的第100项. 【总结升华】1. 根据所给数列求得首项1a 和公差d ，写出通项公式n a .2. 要注意解题步骤的规范性与准确性. 举一反三：【变式1】－20是不是等差数列0，72-，－7，……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由.【答案】由题意可知：10a =，72d =-，∴此数列的通项公式为：7722n a n =-+，令772022n -=-+，解得477n N =∉，所以－20不是这个数列的项. 【变式2】求集合*{|7,,100}M m m n n m ==∈<N 的元素的个数，并求这些元素的和.【答案】∵7100n <， ∴2147n <， ∵*n N ∈，∴M 中有14个元素符合条件，又∵满足条件的数7，14，21，…，98成等差数列，即17a =，7d =，1498a =，∴1414(798)7352S +==. 例2. 已知111,,a b c 成等差数列，求证：,,b c a c a ba b c +++也成等差数列.证法一：∵111,,a b c 成等差数列，∴211,b a c=+即 2()ac b a c =+∵22()()()b c a b c b c a a b c a b a c a c ac ac+++++++++===22222()2()()c a ac a c a c ac b a c b++++==+∴,,b c a c a ba b c+++成等差数列. 证法二：∵111,,a b c 成等差数列，∴,,a b c a b c a b ca b c++++++成等差数列，即1,1,1b c a c a ba b c ++++++成等差数列. ∴,,b c a c a b a b c+++成等差数列. 【总结升华】 证明三个数,,a b c 成等差数列的方法为：证明2b a c =+，即,,a b c 成等差数列⇔2b a c =+举一反三：【变式1】已知数列{}n a 的通项公式为35,n a n =-这个数列是等差数列吗？ 【答案】因为2n ≥时，135[3(1)5]3,n n a a n n --=----=所以数列{}n a 是等差数列，且公差为3.【变式2】已知数列{}n a 中，11a =，122n n n a a a +=+（*n N ∈），求证：1{}na 是等差数列.证明：∵122n n n a a a +=+，∴1211122n n n na a a a ++==+ ∴11112n n a a +-=，∴1{}n a 是公差为12的等差数列. 类型二：等差数列通项公式的应用例3．已知等差数列{}n a 中，1533a =，45153a =，试问217是否为此数列的项？若是，说明是第几项？若不是，说明理由.【思路点拨】等差数列的计算，一般优先考虑使用性质，如果不宜用性质，则回归为基本量1a d 、的问题，列出1a d 、的方程组.【解析】方法一：由通项公式得：151451143344153a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得1234a d =-⎧⎨=⎩，∴234(1)427n a n n =-+-=-（1n ≥，n N +∈）， ∴217427n =-，解得61n =.方法二：由等差数列性质，得451530a a d -=，即1533330d -=，解得4d =，∴154(15)n a a n =+-， ∴217334(15)n =+-，解得61n =. 方法三：由等差数列的几何意义可知，等差数列是一些共线的点， ∵点(15,33)P 、(45,153)Q 、(,217)R n 在同一条直线上， ∴153********451545n --=--，解得61n =.【总结升华】1. 等差数列的关键是首项1a 与公差d ；五个基本量1a 、n 、d 、n a 、n S 中，已知三个基本量便可求出其余两个量；2. 列方程（组）求等差数列的首项1a 和公差d ，再求出n a 、n S ，是数列中的基本方法. 举一反三：【变式1】在等差数列{}n a 中，已知51210,31,a a ==求首项1,a 与公差d .【答案】由115410121131a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得；12,5a d =-=【变式2】等差数列{}n a 中， 4d =， 18n a =， 48n S =，求1a 的值. 【答案】6或-2由题意得11(1)18(1)482n n a a n d n n S na d =+-=⎧⎪⎨-=+=⎪⎩即114(1)182(1)48a n na n n +-=⎧⎨+-=⎩，解得：164a n =⎧⎨=⎩或126a n =-⎧⎨=⎩. 【变式3】已知单调递增的等差数列{}n a 的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{a n }的通项公式．【答案】41=n a n －方法一：根据题意，设等差数列{}n a 的前三项分别为1112a a d a d ，＋，＋，则因为数列{}n a 为单调递增数列，因此，134a d ==，. ∴等差数列{}n a 的通项公式为41n a n =－.方法二：由于数列{}n a 为等差数列，因此可设前三项分别为a d a a d －，，＋，于是.由于数列{}n a 为单调递增数列，因此，从而 ∴41=n a n －.类型三：活用等差数列的性质解题例4. 已知等差数列{}n a 中，若381312a a a ++=，381328a a a =，求{}n a 的通项公式.【思路点拨】可以直接列方程组求解1a 和d ；同时留意到脚标31382+=⨯，可以用性质：当2m n p +=时2m n p a a a +=解题.【解析】∵31382a a a +=，∴38138312a a a a ++==即84a =，代入已知，有31331387a a a a +=⎧⎨⋅=⎩，解得31317a a =⎧⎨=⎩或31371a a =⎧⎨=⎩，当31a =，137a =时，133713133105a a d --===-，∴3334(3)555n a a n n =+-=-； 当37a =，131a =时，133173133105a a d --===--， ∴34455n a n =-+. 【总结升华】利用等差数列的性质解题，往往比较简捷. 举一反三：【变式1】在等差数列{}n a 中，2818a a +=，则5a = 【答案】9【变式2】在等差数列{}n a 中，2581120a a a a +++=，则67a a += 【答案】10【变式3】在等差数列{}n a 中，若169a a +=，47a =， 则3a = ， 9a =【答案】∵16439a a a a +=+=，47a =，∴349972a a =-=-=，∴435d a a =-=，∴94(94)32a a d =+-=.类型四：前n 项和公式及性质的运用例5．等差数列{}n a 前m 项和为30，前2m 项和为100，求它的前3m 项和.【思路点拨】利用等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+求解；或利用性质：“等差数列的连续10项和构成一个新的等差数列”和等差中项求解；或利用相关的函数（2n S An Bn =+）等知识求解.【解析】方法一：利用等差数列的前n 项和公式1(1)2n n n S na d -=+求解. 由已知得121(1)3022(21)21002m m m m S ma d m m S ma d -⎧=+=⎪⎪⎨-⎪=+=⎪⎩，解得122102040,a d m m m =+=，∴313(31)32102m m m S ma d -=+=. 方法二：利用等差数列前n 项和公式1()2n n n a a S +=及性质m n p q +=+，则a d -求解. 由已知得a由(3)-(2)及(2)-(1)结合(4)， 得3210m S =.方法三：根据性质：“已知{}n a 成等差数列，则232n n n n n S S S S S --，，，……，()1kn k n S S --，……()2k ≥成等差数列”解题.由上述性质，知232m m m m m S S S S S --，，成等差数列.∴322()2()m m m m m S S S S S +-=-，∴323()210m m m S S S =-=.方法四：由a d +的变形式解题，由上式知，1(1)2n S d a n n =+- ∴数列{}n S n 也成等差数列，即23,,23m m m S S Sm m m成等差数列， ∵23223m m m S S S m m m=+，又230100m m S S ==，， ∴3210m S =.方法五：∵{}n a 为等差数列， ∴设2n S An Bn =+∴2223042100m m S am bm S m a mb =+==+=，， 得220A m =，10B m= ∴2393210m S m a mb =+=.【总结升华】方程是解决这类问题的重要方法，当然具体题目也要注意数列本身的一些性质，它往往更能起到事半功倍的效果.举一反三：【变式1】等差数列{}n a 中，若123456789103080a a a a a a a a a a ++++=++++=，， 则1112131415a a a a a ++++= .【答案】比较对应项可知后一段中每一项总比前段每一项多5d ，故后一段和比前一段和多25d ，故三段依然构成等差数列，故由等差中项公式可知:a 11+a 12+a 13+a 14+a 15=2×80-30=130.【变式2】等差数列{}n a 中，m n S S =，且m n ≠， 则m n S +=_________. 【答案】方法一：数列{a n }成等差数列的充要条件是2n S an bn =+（其中a b ，为常数），故有22.......(1) (2)n m S an bn S am bm ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩ (2)-(1)得()()220a m n b m n -+-=， ∵m n ≠， ∴()0a m n b ++=，∴()()()()20m n S a m n b m n m n a m n b +=+++=+++=⎡⎤⎣⎦. 方法二:从等差数列2n S an bn =+去认识它是函数()2S x ax bx =+图象上的点.∵m n S S =，∴函数图象对称轴为2m nx +=， 故()20000m n S S a b +==⨯⨯=＋.【变式3】等差数列{}n a 前10项和为100，前20项和为10，求它的前30项和. 【答案】 方法一：由已知，得10120110(101)10100220(201)20102S a d S a d -⎧=+=⎪⎪⎨-⎪=+=⎪⎩，解得1910d =-，137120a =，∴30130(301)302702S a d -=+=-. 方法二：等差数列{}n a 中10S ，2010S S -，3020S S -，…构成新的等差数列，∴20101030202()()S S S S S -=+-， ∴3020103()270S S S =-=-.方法三：等差数列{}n a 中，设2n S An Bn =+，则21022010101001010020204002010S A B A B S A B A B ⎧=+=+=⎪⎨=+=+=⎪⎩，解得1920A =-，392B = ∴230193930()30270202S =⨯-+⨯=-. 例6．已知两等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且71427n n S n T n +=+，试求1111ab . 【思路点拨】利用前n 项和公式与性质22m n p m n p a a a +=⇒+=解题，或利用21(21)n n S n a -=-解决，或利用等差数列前n 项和2()n S An Bn An B n =+=+形式解题.【解析】 方法一：∵121112a a a +=，121112b bb += ∴ 1211211121112112112111()()21721142211421273()()2122a a a a a Sb T b b b b ++⋅⨯+=====⨯+++⋅. 方法二：由12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-得111121111121217211421421273a a S b b T ⨯+====⨯+方法三：由题设，令等差数列前n 项和(71)n S n nk =+， (427)n T n nk =+，则1(146)n n n a S S k n -=-=-，1(823)n n n b T T k n -=-=-， ∴111114841113a kb k ==. 【总结升华】依据等差数列的性质1212n n a a a -+=可以得到12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-，当已知两等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T 时，有2121n n n n a S b T --=，21212121m m n n a S n b m T ---=⋅-. 举一反三：【变式1】等差数列{}n a 中，若49a =， 则7S =_________.【答案】由12121(21)()(21)2n n n n a a S n a ---+==-，得7477963S a ==⨯=.【变式2】已知两等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，且4352n n S n T n +=-，则1010a b = .【答案】10191019419379519293a Sb T ⨯+===⨯-. 例7．一等差数列由3个数组成，3个数之和为9，3个数的平方和为35，求这个数列. 【思路点拨】本题设这三个数时，常规设法为a ， a d +，2a d +，但不如用对称设法设为a d -， a ， a d +.【解析】设这三个数分别为a d -， a ， a d +，则 222()()9()()35a d a a d a d a a d -+++=⎧⎨-+++=⎩，解得3a =，2d =±. ∴所求三个数分别为1，3，5或5，3，1. 【总结升华】1. 三个数成等差数列时，可设其分别为x d -， x ， x d +；若四个数成等差数列，可设其分别为3x d -，x d -，x d +，3x d +.举一反三：【变式】已知四个数成等差数列，且其平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此四个数.【答案】-1，2，5，8或8，5，2，-1或-8，-5，-2，1或1，-2，-5，-8类型五：等差数列前n 项和的最值问题例8．已知数列{}n a 是等差数列，10a >，917S S =，试问n 为何值时，数列的前n 项和最大？为什么？【思路点拨】要研究一个等差数列的前n 项和的最值问题，有两个基本途径：其一是利用n S 是n 的二次函数关系来考虑；其二是通过考察数列的单调性来解决.【解析】方法一：∵917S S =， ∴1193617136a d a d +=+即18100a d =-，∵10a >， ∴12025d a =-<， 又22111111(1)(1)2169()(26)(13)2225252525n a a n n n n S na d na a n n n a --=+=+-=--=--+， ∵10a >，∴ 当13n =， n S 有最大值为116925a . 方法二：要使n S 最大，n 必须使0n a ≥且10n a +≤， 即1111111227(1)02525227(1)025250nn a a n d a n a a a n a a +⎧=+-=-+≥⎪⎪⎪=-++≤⎨⎪⎪>⎪⎩解得252722n ≤≤， ∵n N +∈， ∴13n =时，n S 最大为131********13225S a d a ⨯=+=. 【总结升华】对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 1. 利用n a :当0n a >，0d <时，前n 项和有最大值. 可由0n a ≥，且10n a +≤，求得n 的值；当0n a <，0d >时，前n 项和有最小值. 可由0n a ≤，且10n a +≥，求得n 的值.2. 利用n S ：由21()22n d dS n a n =+-利用二次函数配方法求得最值时n 的值举一反三：【变式】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ， 已知312a =，120S >，130S <. （1）求公差d 的取值范围；（2）指出1S ，2S ，…，12S 中哪一个值最大，并说明理由. 【答案】（1）依题意，有1211313112(121)120213(131)1302212S a d S a d a a d ⨯-⎧=+>⎪⎪⨯-⎪=+<⎨⎪=+=⎪⎪⎩，即111211060122a d a d a d +>⎧⎪+<⎨⎪=-⎩， 解得2437d -<<-. （2）法一:由0d <，可知1231213...a a a a a >>>>>.设存在自然数n ，使得n S 就是1S ，2S ，…，12S 中的最大值，只需0n a ≥，10n a +≤， 由11212676761137713712()6()000213()001302a a S a a a a a a a a a S a +⎧==+>⎪+>>⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨+<<⎩⎩⎪==<⎪⎩，故6S 是1S ，2S ，…，12S 中的最大值.法二:221(1)12424[(5)](5)2228n n n d d S na d n d d-=+=----- ∵0d <， ∴2124[(5)]2n d--最小时，n S 最大，∵2437d -<<-， ∴1246(5) 6.52d<-<， ∴6n =时，2124[(5)]2n d--最小，故6S 是1S ，2S ，…，12S 中的最大值.。

等差数列一、创设情景，揭示课题，研探新知1.等差数列的定义：（1）等差数列的通项公式；（2）等差数列的求和公式。

2.等差数列的性质： 已知数列{n a }是等差数列，则（1）对任意m ，n N +∈，()n m a a n m d =+-，n ma a d n m-=-()m n ≠； （2）若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+ （3）等差数列前n 项和公式：1()2n n n a a S +=或1(1)2n n n S na d -=+⨯ 注意：①等差数列前n 项和公式又可化成式子：n da n d S n )2(212-+=，当0≠d ，此式可看作二次项系数为2d ，一次项系数为21da -，常数项为零的二次式；②当0>d 时，n S 有最小值；当0<d 时，n S 有最大值；③图象：抛物线x da x d y )2(212-+=上的一群独立点。

（4）利用n a 与n S 的关系：11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩二、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 在等差数列{}n a 中，10100S =，10010S =，求110S ？解法一：设该等差数列首项1a ，公差d，则111109109101001021009911001025a a d a d d ⨯⎧⎧=+=⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⨯⎪⎪+==-⎪⎪⎩⎩，所以，11011101091101102S a d ⨯=+=-． 解法二：在等差数列中，10S , 20S －10S , 30S －20S , ……, 100S －90S , 110S－100S , 成等差数列，∴ 新数列的前10项和＝原数列的前100项和，1010S ＋2910⨯·D ＝100S ＝10, 解得D ＝－22 ∴ 110S －100S ＝10S ＋10×D ＝－120, ∴ 110S ＝－110.拓展练习1：在等差数列中，p S q =，q S p =，则()p q S p q +=-+．拓展练习2：已知数列{},n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若n S m =，m S n =，求n m S +拓展练习3：已知等差数列前n 项和为a ，前2n 项和为b ，求前3n 项的和。

第2课时等差数列的性质及应用课后篇巩固探究A组1.已知等差数列{a n}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是()A.15B.30C.31D.64解析:∵{a n}是等差数列,∴a7+a9=a4+a12,∴a12=16-1=15.答案:A2.已知{a n}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则a20等于()A.-1B.1C.3D.7解析:∵a1+a3+a5=105,∴3a3=105,解得a3=35,同理由a2+a4+a6=99,得a4=33.∵d=a4-a3=33-35=-2,∴a20=a4+(20-4)d=33+16×(-2)=1.答案:B3.若{a n}是等差数列,则下列数列中仍为等差数列的有()①{a n+3}②{a n2}③{a n+1-a n}④{2a n}⑤{2a n+n}A.1个B.2个C.3个D.4个解析:根据等差数列的定义判断,若{a n}是等差数列,则{a n+3},{a n+1-a n},{2a n},{2a n+n}均为等差数列,而{a n2}不一定是等差数列.答案:D4.已知等差数列{a n}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则有()A.a1+a101>0B.a2+a100<0C.a3+a100≤0D.a51=0解析:由题设a1+a2+a3+…+a101=101a51=0,得a51=0.答案:D5.若等差数列的前三项依次是x-1,x+1,2x+3,则其通项公式为()A.a n=2n-5B.a n=2n-3C.a n=2n-1D.a n=2n+1解析:∵x-1,x+1,2x+3是等差数列的前三项,∴2(x+1)=x-1+2x+3,解得x=0.∴a 1=x-1=-1,a 2=1,a 3=3,∴d=2. ∴a n =-1+2(n-1)=2n-3,故选B .答案:B6.在等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 2+a 5+a 8=33,则a 3+a 6+a 9= . 解析:由等差数列的性质,得(a 1+a 4+a 7)+(a 3+a 6+a 9)=2(a 2+a 5+a 8), 即39+(a 3+a 6+a 9)=2×33, 故a 3+a 6+a 9=66-39=27. 答案:277.若lg 2,lg(2x -1),lg(2x +3)成等差数列,则x 的值是 . 解析:由题意,知2lg(2x -1)=lg 2+lg(2x +3),则(2x -1)2=2(2x +3),即(2x )2-4·2x -5=0,∴(2x -5)(2x +1)=0,∴2x =5,∴x=log 25.答案:log 258.已知一个等差数列由三个数构成,这三个数之和为9,平方和为35,则这三个数构成的等差数列为 . 答案:1,3,5或5,3,19.在等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=15,a 2a 4a 6=45,求数列{a n }的通项公式. 解∵a 1+a 7=2a 4=a 2+a 6,∴a 1+a 4+a 7=3a 4=15,∴a 4=5, ∴a 2+a 6=10,a 2a 6=9.∴a 2,a 6是方程x 2-10x+9=0的两根. ∴{a 2=1,a 6=9或{a 2=9,a 6=1.若a 2=1,a 6=9,则d=a 6-a 26-2=2,∴a n =2n-3. 若a 2=9,a 6=1,则d=a 6-a2=-2,∴a n =13-2n.∴数列{a n }的通项公式为a n =2n-3或a n =13-2n.10.已知f (x )=x 2-2x-3,等差数列{a n }中,a 1=f (x-1),a 2=-32,a 3=f (x ),求: (1)x 的值; (2)通项a n .解(1)由f (x )=x 2-2x-3,得a 1=f (x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x 2-4x ,a 3=x 2-2x-3,又因为{a n }为等差数列,所以2a 2=a 1+a 3,即-3=x 2-4x+x 2-2x-3,解得x=0或x=3.(2)当x=0时,a 1=0,d=a 2-a 1=-32, 此时a n =a 1+(n-1)d=-32(n-1); 当x=3时,a 1=-3,d=a 2-a 1=32, 此时a n =a 1+(n-1)d=32(n-3).B 组1.在数列{a n }中,若a 2=2,a 6=0,且数列{1a n +1}是等差数列,则a 4等于( )A.12B.13C.14D.16解析:令b n =1a n +1,则b 2=1a 2+1=13,b 6=1a 6+1=1. 由题意知{b n }是等差数列,∴b 6-b 2=(6-2)d=4d=23,∴d=16. ∴b 4=b 2+2d=13+2×16=23. ∵b 4=1a4+1,∴a 4=12. 答案:A2.已知数列{a n }为等差数列,且a 1+a 7+a 13=4π,则tan(a 2+a 12)的值为( ) A.√3B.±√3C.-√33D.-√3解析:∵{a n }为等差数列,∴a 1+a 7+a 13=3a 7=4π.∴a 7=4π3,tan(a 2+a 12)=tan 2a 7=tan 8π3=-√3.答案:D3.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为( ) A.1升B.67升C.47升D.37升解析:设所构成的等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由题意得{a 1+a 2+a 3+a 4=3,a 7+a 8+a 9=4,即{4a 1+6d =3,3a 1+21d =4,解得{a 1=1322,d =766,所以a 5=a 1+4d=6766. 答案:B 4.导学号33194007在等差数列{a n }中,如果a 2+a 5+a 8=9,那么关于x 的方程x 2+(a 4+a 6)x+10=0( ) A.无实根B.有两个相等实根C.有两个不等实根D.不能确定有无实根解析:∵a 4+a 6=a 2+a 8=2a 5,即3a 5=9,∴a 5=3.又a 4+a 6=2a 5=6,∴关于x 的方程为x 2+6x+10=0,则判别式Δ=62-4×10<0,∴无实数解.答案:A5.已知log a b ,-1,log b a 成等差数列,且a ,b 为关于x 的方程x 2-cx+d=0的两根,则d= . 解析:由已知,得log a b+log b a=-2,即lgb lga +lgalgb=-2,从而有(lg a+lg b )2=0,可得lg a=-lg b=lg 1b,即ab=1.故由根与系数的关系得d=ab=1. 答案:1 6.导学号33194008已知方程(x 2-2x+m )(x 2-2x+n )=0的四个根组成一个首项为14的等差数列,则|m-n|= .解析:由题意设这4个根为14,14+d ,14+2d ,14+3d.可得14+(14+3d)=2,∴d=12.∴这4个根依次为14,34,54,74.∴n=14×74=716,m=34×54=1516或n=1516,m=716.∴|m-n|=12.答案:127.两个等差数列5,8,11,…和3,7,11,…都有100项,那么它们共有多少相同的项? 解在数列{a n }中,a 1=5,公差d 1=8-5=3.∴a n =a 1+(n-1)d 1=3n+2.在数列{b n }中,b 1=3,公差d 2=7-3=4,∴b n =b 1+(n-1)d 2=4n-1.令a n =b m ,则3n+2=4m-1,∴n=4m 3-1. ∵m ,n ∈N +,∴m=3k (k ∈N +),又{0<m ≤100,0<n ≤100,解得0<m ≤75. ∴0<3k ≤75,∴0<k ≤25,∴k=1,2,3,…,25. ∴两个数列共有25个公共项.8.导学号33194009已知数列{a n }中,a 1=35,a n a n-1+1=2a n-1(n ≥2,n ∈N +).数列{b n }中,b n =1a n -1(n ∈N +). (1)求证:{b n }是等差数列;(2)求数列{a n }的通项公式,并求其最大、最小项. (1)证明由a n a n-1+1=2a n-1,得a n a n-1-a n-1=a n-1-1,∴1an -1=a n -1a n -1-1=b n ,又b n-1=1a n -1-1, ∴b n -b n-1=a n -1a n -1-1−1a n -1-1=1(n ≥2,n ∈N +). ∵b 1=1a1-1=-52, ∴数列{b n }是以-52为首项,1为公差的等差数列.(2)解由(1)知b n =n-3.5,又由b n =1a n -1得a n =1+1b n =1+1n -3.5. 点(n ,a n )在函数y=1x -3.5+1的图像上. 显然,在区间(3.5,+∞)上,y=1x -3.5+1递减且y>1;在区间(0,3.5)上,y=1x -3.5+1递减且y<1.因此,当n=4时,a n 取得最大值3;当n=3时,a n 取得最小值-1.。

课时作业(三)1．若数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋5，则此数列( ) A ．是公差为2的等差数列 B ．是公差为5的等差数列 C ．是首项为5的等差数列 D ．是公差为n 的等差数列答案 A2．等差数列－3，－1，1，…，的第1 000项为( ) A ．1 990 B ．1 995 C ．2 010 D ．2 015答案 B3．{a n }是首项a 1＝1，公差d ＝3的等差数列，若a n ＝2 017，则n 等于( ) A ．673 B ．670 C ．669 D ．668 答案 A4．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，则a 6＝( ) A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 答案 C 解析设公差为d ，由题意，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝7，a 1＋d ＋6＝a 1＋4d ，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝2，∴a 6＝a 1＋5d ＝3＋10＝13.5．lg(3－2)与lg(3＋2)的等差中项为( ) A ．0B ．lg 3－23＋2C ．lg(5－26)D ．1答案 A 解析等差中项为lg （3－2）＋lg （3＋2）2＝lg[（3－2）（3＋2）]2＝lg12＝0. 6．若a ≠b ，两个等差数列a ，x 1，x 2，b 与a ，y 1，y 2，y 3，b 的公差分别为d 1，d 2，则d 1d 2＝( )A.32B.23 C.43 D.34答案 C解析 ∵d 1＝b －a4－1，d 2＝b －a5－1，∴d 1d 2＝43.7．在数列{a n }中，a 1＝15，3a n ＋1＝3a n －2，那么该数列中相邻两项的乘积为负数的是( ) A ．a 21和a 22 B ．a 22和a 23 C ．a 23和a 24 D ．a 24和a 25答案 C解析 由3a n ＋1＝3a n －2可知{a n }为等差数列，又a 1＝15， ∴a n ＝15＋(n －1)·(－23)＝－23n ＋473＝47－2n3. 令a n ·a n ＋1<0，即47－2n 3·47－2（n ＋1）3<0， 可得452<n<472.又n ∈N *，∴n ＝23.(或由a n ＞0，得n ≤23，∴a 23＞0，a 24＜0)8．(2015·山东师大附中月考卷)在等差数列－5，－312，－2，－12，……中，每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为( ) A ．a n ＝34n －234 B ．a n ＝－5－32(n －1) C ．a n ＝－5－34(n －1) D ．a n ＝54n 2－3n答案 A解析 首项为－5，公差为－312＋52＝34， ∴a n ＝－5＋(n －1)·34＝34n －234.9．若a ，b ，c 成等差数列，则二次函数y ＝ax 2＋2bx ＋c 的图像与x 轴交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．1或2答案 D解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c. Δ＝(2b)2－4ac ＝(a ＋c)2－4ac ＝(a －c)2≥0.10．首项为－24的等差数列，从第10项起为正数，则公差d 的取值范围是( ) A ．d>83 B ．d<3 C.83≤d<3 D.83<d ≤3答案 D解析 从第10项起为正数，则a 10>0且a 9≤0.由⎩⎨⎧－24＋9d>0，－24＋8d ≤0，可得83<d ≤3. 11．等差数列2，5，8，…，107共有________项． 答案 3612．{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝________． 答案 －12解析 方法一：由于a 7－2a 4＝a 1＋6d －2(a 1＋3d)＝－a 1＝－1，则a 1＝1，又由于a 3＝a 1＋2d ＝1＋2d ＝0，解得d ＝－12.方法二：a 7＝a 3＋4d ＝4d ，a 4＝a 3＋d ＝d ，代入条件即可得d. 13．已知f(n ＋1)＝f(n)－14(n ∈N *)，且f(2)＝2，则f(101)＝____________．答案 ∵{f(n)}为等差数列，公差为－14， ∴f(1)＝f(2)－(－14)＝2＋14＝94.∴f(101)＝f(1)＋100·d ＝94＋100×(－14)＝－914. 14．已知等差数列5，2，－1，….(1)求数列的第20项； (2)问－112是它的第几项？ (3)数列从第几项开始小于－20? (4)在－20到－40之间有多少项？答案 (1)－52 (2)第40项 (3)从第10项开始 (4)6项15．已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，a 2＋a 4＝12，求数列{a n }的通项公式． 解析由已知得⎩⎨⎧a 1＋a 1＋2d ＝8，a 1＋d ＋a 1＋3d ＝12，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n.16．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次，奥运会如因故不能举行，届数照算．(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)2016年的奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？解析 (1)由题意知，举行奥运会的年份构成的数列是一个以1 896为首项，4为公差的等差数列，这个数列的通项公式为a n ＝1 896＋4(n －1)＝1 892＋4n(n ∈N *)．(2)假设a n ＝2 016，由2 016＝1 892＋4n ，得n ＝31. 假设a n ＝2 050，2 050＝1 892＋4n 无正整数解．所以2016年的奥运会是第31届，2050年不举行奥运会．。