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数学归纳法【学习目标】1.知识与技能（1）了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤；（2）能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2.过程与方法（1）通过学习数学归纳法的原理和基本思想，了解数学方法的博大、精妙，形成对数学证明方法的进一步认识。
（2）通过了解数学归纳法是专门证明与正整数有关的命题，感受递推的思想。
3.情感、态度与价值观通过学习，加深对由一般到特殊以及由一般到特殊的认识规律的认识，进一步认识有限与无限的辩证关系，培养辩证的观点。
【要点梳理】要点一:数学归纳法的概念与原理数学归纳法的定义对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法要点诠释：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.数学归纳法的原理数学归纳法是专门证明与正整数集有关的命题的一种方法，它是一种完全归纳法。
它的证明共分两步：①证明了第一步，就获得了递推的基础。
但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性.在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对这几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立；②证明了第二步，就获得了递推的依据。
但没有第一步就失去了递推的基础.只有把第一步和第二步结合在一起，才能获得普遍性的结论。
其中第一步是命题成立的基础，称为“归纳基础”（或称特殊性），第二步是递推的证据，解决的是延续性问题（又称传递性问题）。
数学归纳法的功能和适用范围1.数学归纳法具有证明的功能，它将无穷的归纳过程根据归纳公理转化为有限的特殊演绎（直接验证和演绎推理相结合）过程.2. 数学归纳法一般被用于证明某些与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
目录目录 (1)考点一虚数单位i、复数 (2)考点二复数的代数表示法及其几何意义 (3)课后综合巩固练习 (4)考点一 虚数单位i 、复数1. i 是数学中的虚数单位，i 2=-1，所以i 是-1的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为 2.负数的运算1）复数的加法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M+N=（a+c ）+（b+d ）i ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．2）复数的乘法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M •N=（ac-bd ）+（ad+bc ）i ，与多项式乘法类似，只不过要加上i ．形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．4、复数的模： →OZ的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|= ⎷ a 2+b 21．（2019•湖北模拟）若复数232019|34|134i z i i i i i-=++++⋯+++，则复数z 对应的点在第( )象限 A ．一B ．二C ．三D ．四2．（2018秋•泉州月考）若复数z 满足(1)3z i i -=+，则z 的实部等于( ) A ．3- B ．0C ．1D ．23．（2019春•龙凤区校级月考）若ABC ∆是锐角三角形，则复数⎷ a 2+b 2(cos sin )(sin cos )z B A i B A =-+-对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．（2018秋•兴庆区校级月考）若复数cos sin z i θθ=+且221z z +=，则2sin (θ= ) A ．12B ．14C ．34 D ．14-5．（2018春•内江期末）下面是关于复数1(z i i =+为虚数单位）的四个命题：①z 对应的点在第一象限；②||2z =；③2z 是纯虚数；④z z >．其中真命题的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．46．（2018春•武清区期中）i 是虚数单位，2501i i i +++⋯+等于( ) A ．0B ．iC ．1i +D ．2i +考点二 复数的代数表示法及其几何意义1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi →复平面内的点z （a ，b ）→平面向量oz ． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|=|z-0|=a （a ＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； （2）|z-z 0|表示复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离．7．（2019春•安庆期末）复数2(1)21z m i i m i =-+++-对应的点在第二象限，其中m 为实数，i 为虚数单位，则实数的取值范围( )A ．(,1)-∞-B ．(1,1)-C ．(1,2)-D ．(-∞，1)(2-⋃，)+∞8．（2019春•松江区期末）已知复数1cos 2()z x f x i =+，2cos )z x x i =++，x R ∈，在复平面上，设复数1z ，2z 对应的点分别为1Z ，2Z ，若1290Z OZ ∠=︒，其中O 是坐标原点，则函数()f x 的最大值为( )A ．14-B ．14 C ．12-D ．129．（2019春•河南期中）设复数z 的共轭复数是z ，且||1z =，又(1,0)A -与(0,1)B 为定点，则函数()|(1)()|f z z z i =+-取最大值时在复平面上以z ，A ，B 三点为顶点的图形是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形10．（2019•安徽二模）已知i 为虚数单位，在复平面内，复数22ii+的共轭复数对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．（2019•河南三模）已知z 的共轭复数是z ，且||12(z z i i =+-为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．（2019春•东湖区校级月考）设复数()a iz a R a i-=∈+在复平面内对应的点位于第一象限，则a 的取值范围是( ) A ．1a <- B ．0a <C ．0a >D ．1a >课后综合巩固练习13．（2019春•扬州期末）设a R ∈，若复数(2)(2)i a i -+在复平面内对应的点位于直线y x =-上，则a = ．14．（2019春•诸暨市校级期中）已知复数(,)z x yi x y R =+∈满足|1|z x -=，那么z 在复平面上对应的点(,)x y 的轨迹方程 ； ．15．（2019春•青浦区期末）若复数z 满足||2z =，则|3||3|z z ++-的取值范围是 ． 16．（2018春•南康区校级月考）已知m R ∈，复数2(2)(1)(12)z i m m i i =+---+（其中i 为虚数单位），若复数z 在复平面上对应的点位于第四象限，则实数m 的取值范围是17．（2018春•厦门期末）如图，在复平面内，向量OA 对应的复数12z i =+，OA 绕点O 逆时针旋转90︒后对应的复数为2z ，则12||z z += ．18．（2018春•朔州期末）若i 是虚数单位，复数z 满足121zi i =+-，则复数z 在复平面内对应点的坐标为 ．19．（2018春•沭阳县期中）已知复数1(3)z m m i =-+-，()m R ∈对应的点在x 轴上方，则m 的取值范围是 ．。
1.虚数单位i(1)i 2=- 1(即一1的平方根是 ±).(2)实数可以与i 进行四则运算，进行运算时原有的加、乘运算律仍然成立.i 4n = 1, i 4n +1= i , i 4n + 2=_ 1, i 4n + 3=_i(n € N + ),则有 2. 复数的分类了实数b = 0复数 a + bi , (a , b € R) i 虚数 fb z 0 'i \ f\3. 共轭复数设复数z 的共轭复数为z ,则--- 2 2(1) z • = |z| = 1 z 1 ；(2) z 为实数？ z = z ; z 为纯虚数？ z =- z .4. 复数相等的条件复数相等的充要条件为 a + bi = c + di ? a = c , b = d(a , b , c , d € R) •特别地，a + bi = 0? a = b = 0(a , b € R).5. 复数的运算(1)加法和减法运算：(a + bi) ±+ di) = (a 乂)+ (b ±d)i(a , b , c , d € R).⑵乘法和除法运算：复数的乘法按多项式相乘进行运算，即(a + bi)(c + di) = (ac - bd)+ (ad + bc)i ;复数除法是乘法的逆运算，其实质是分母实数化. 逢型一 复数的概念［例 1］复数 z = Iog 3(x 2-3x — 3) + ilog 2(x — 3)，当 x 为何实数时,(1)z € R ? (2)z 为虚数？ (3)z 为纯虚数?归纳・n n +1 i + i(3)i 的幕具有周期性:n +2 n +3 + i n '2+ i n 3= 0(n € N +). 纯虚数a = 0 非纯虚数0［解］(1) •••一个复数是实数的充要条件是虚部为X2—3X—3>0, ①log^x —3 尸0,由②得x= 4，经验证满足①式.•••当x = 4 时，z€ R.(2) •••一个复数是虚数的充要条件是虚部不等于0,x2—3x —3>0,•- log2 x—3 丰0,••当<x<4 或x>4 时，z 为虚数.(3) •••一个复数是纯虚数的充要条件是其实部为0且虚部不为0,__ (2)|log3 x —3x—3 = 0,• log2 x— 3 丰0,X —3>0.x=—1 或x= 4,解得无解.x>3且x丰4.•复数z不可能是纯虚数.惜:题发挥解决此类问题的关键是正确理解复数的分类与复数的实部和虚部之间的关系，另外要注意某些函数的定义域.跟;踪演练a + 2i1.若复数z= -■_7 + (2 —i)为纯虚数，求实数a.解：「z=兰+ (2-⑴丑号I + (2 —i)1+ i 2=七予(2-。
高中数学高中数学新课程标准数学选修1—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理 练习（P30）1、由12341a a a a ====，猜想1na=.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=××. 4、略. 练习（P33）1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，p 是非零常数，则{}n a 是等比数列；是等比数列； …………………………大前提…………………………大前提又因为0cq ¹，则q 是非零常数，则11n n nna cq q a cq ++==；……………………小前提……………………小前提 所以，通项公式为(0)n n a cq cq =¹的数列{}n a 是等比数列.……………………结论……………………结论 3、由A D B D >，得到ACD BCD Ð>Ð的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是因为这个推理的大前提是“在同一“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中. 4、略.习题2.1A 组（P35） 1、2(1)n -（n 是质数，且5n ³）是24的倍数.2、21n a n =+()n N *Î. 3、2F V E +=+. 4、当6n £时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *Î.5、212111(2)n n A A A n p++³-（2n >，且n N *Î）. 6、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *Î）.7、如图，作DE ∥AB 交BC 于E . 因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形所以四边形ABED 是平行四边形是平行四边形.. 因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等. . DEBAC（第7题）又因为四边形ABED 是平行四边形是平行四边形. .所以所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等， 又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的. 又因为△DEC 是等腰三角形是等腰三角形, , 所以DEC C Ð=Ð 因为平行线的同位角相等因为平行线的同位角相等 又因为DEC Ð与B Ð是平行线AB 和DE 的同位角的同位角, , 所以DEC B Ð=Ð 因为等于同角的两个角是相等的，因为等于同角的两个角是相等的， 又因为DEC C Ð=Ð，DEC B Ð=Ð, 所以B C Ð=Ð习题2.1B 组（P35） 1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P42）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2q q q q q q q -=+-=，所以，命题得证. 2、要证67225+>+，只需证22(67)(225)+>+， 即证1324213410+>+，即证42210>，只需要22(42)(210)>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，原命题得证.3、因为、因为222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b a a a a -=-+==， 又因为又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab a a a a a a a a a a +-=+-=×22222222sin (1cos )sinsin161616sin tan cos cos aa aa a a aa-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P43）1、假设B Ð不是锐角，则90B г°. 因此9090180C B Ð+г°+°=°. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B Ð一定是锐角.2、假设2，3，5成等差数列，则2325=+.所以22(23)(25)=+，化简得5210=，从而225(210)=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立. 从而，2，3，5不可能成等差数列. 说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点.习题2.2A 组（P44） 1、因为、因为(1tan )(1tan )2A B ++=展开得展开得1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B p <+<，从而2A B p+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -¹.①式变形得①式变形得 tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B p <+<，所以4A B p+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明. 2、因为PD ^平面ABC ，所以PD AB ^. 因为AC BC =，所以ABC D 是等腰三角形. 因此ABC D 底边上的中线CD 也是底边上的高，也是底边上的高， 因而CD AB ^ 所以AB ^平面PDC . 因此AB PC ^.3、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B p<不成立，即2B p³，则B 是ABC D 的最大内角，的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而从而 11112a c b b b +>+=. 这与211b a c =+矛盾.所以，假设不成立，因此，2B p<.习题2.2B 组（P44） 1、因为、因为 1tan 12tan aa-=+，所以12tan 0a +=，从而2sin cos 0a a +=.另一方面，要证另一方面，要证3sin 24cos2a a =-， 只要证226sin cos 4(cos sin )a a a a =-- 即证即证 222sin 3sin cos 2cos 0a a a a --=，即证即证 (2s i n c o s )(s i n 2c o s a a a a+-= 由2sin cos 0a a +=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0a a a a +-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.2、由已知条件得、由已知条件得2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ②要证2a cx y +=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy +=由①②，得由①②，得22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2x y a b b c a b b a c b c a b a c b c=++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证.第二章 复习参考题A 组（P46）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *Î）个圆圈.2、333n 个（n N *Î）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==………… 猜想()2n f n =.4、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A ¢，B ¢，C ¢，D ¢，则，则1O A O B O C O D A A B B C C D D ¢¢¢¢+++=¢¢¢¢ 用“体积法”证明：用“体积法”证明： O A O B O C O DA AB BC CD D¢¢¢¢+++¢¢¢¢ O B C D O C D AO D A B OA B C A B C D BC D A CD AB D A B CV VV V V VVV --------=+++1A B C D A B C DVV --==5、要证、要证(1tan )(1tan )2A B ++= 只需证只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=即证即证t a n t a n 1t a n t a A B A B +=- 由54A B p +=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k p p +¹+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式.所以，命题得证. 第二章 复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；部分； （2）2n 条线段；条线段；（3）222n n ++部分. 2、因为90BSC Ð=°，所以BSC D 是直角三角形.A BCDA'B'D'C'（第4题）在Rt BSC D 中，有222BC SB SC =+.类似地，得类似地，得 222AC SA SC =+，222AB SB SA =+ 在ABC D 中，根据余弦定理得中，根据余弦定理得2222cos 02AB AC BC SA A AB AC AB AC+-==>××2222cos 02AB BC AC SB B AB BCAB BC+-==>×× 2222cos 02BC AC AB SC C BC ACBC AC +-==>×× 因此，,,A B C 均为锐角，从而ABC D 是锐角三角形. 3、要证、要证cos 44cos 43b a -= 因为因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)b a b a -=´-´ 2212sin 24(12sin 2)b a =--´-222218s i n c o s 4(18s i n c o s )b b a a =--´-222218s i n (1s i n )4[18s i n (1s i n )]bb a a=---´-- 只需证只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3b b a a ---´--= 由已知条件，得由已知条件，得 sincos sin2q q a +=，2sin sin cos b q q =，代入上式的左端，得代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]b b a a ---´-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )q q q q a a =---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )q q q q q q q q =--+++-222238s i n c o s 8s i nc o s 68s i n c o s 8s i nc o sq q q q q q q q =--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43b a -=。
汈A1．1独立性检验要点1独立事件(1)独立事件的定义对于两个事件A，B，如果有P(AB)＝P(A)P(B)就称事件A与B互相独立，简称A与B 独立．(2)当事件A与B独立时，事件A与B、A与B、A与B也独立．要点2字母表示的2×2列联表：表中：n＋1＝n11＋n21，＋2＝n12＋n22，1＋＝n11＋n12，2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n12＋n21＋n22．要点3 χ2统计量根据上表给定的数据引入χ2(读作“卡方”)统计量．它的表达式是χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋·n 2＋·n ＋1·n ＋2．要点4 独立性检验思想(1)用H 0表示事件A 与B 独立的决定式，即H 0： P(AB)＝P(A)P(B)，称H 0为统计假设．(2)用χ2与其临界值3.841与6.635的大小关系来决定是否拒绝统计假设H 0，如表：1．事件相互独立与事件互斥的区别是什么？答：(1)事件相互独立可以理解为两个事件的发生彼此互不影响，或者影响可以忽略不计，其概率表现形式为P(A ∩B)＝P(A)P(B)；(2)事件互斥指的是两个事件不能同时发生，若一个发生则另一个一定不会发生，其概率表现形式为P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)．2．在进行χ2运算，判断变量相关时，若χ2＝56.632，P(χ2>6.635)≈0.01和P(χ2>3.841)≈0.05，哪种说法是正确的？答：两种说法均正确．由P(χ2>6.635)≈0.01的含义是有99%的把握认为两变量相关，也就是说判断出错的可能性只有1%；而P(χ2>3.841)≈0.05的含义是有95%的把握认为两变量相关，也就是说判断出错的可能性只有5%.题型一 相互独立事件的概率例1 甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮，如果两人投中的概率都是0.6，计算： (1)两人都投中的概率；(2)其中恰有一人投中的概率； (3)至少有一人投中的概率．【解析】 (1)设A ＝“甲投篮一次，投中”，B ＝“乙投篮一次，投中”，则A ∩B ＝“两人各投篮一次，都投中”．由题意知，事件A 与B 相互独立．∴P(A ∩B)＝P(A)·P(B)＝0.6×0.6＝0.36.(2)事件“两人各投篮一次，恰好有一个投中”包括两种情况，一种是甲投中、乙未投中(事件A ∩B 发生)，另一种是甲未投中、乙投中(事件A ∩B 发生)，根据题意，这两种情况在各投篮一次时不可能同时发生，即事件A ∩B 与A ∩B 互斥，并且A 与B ，A 与B 各自相互独立，因而所求概率为P(A ∩B)＋P(A ∩B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B) ＝0.6×(1－0.6)＋(1－0.6)×0.6＝0.48.(3)事件“两人各投篮一次，至少有一人投中”的对立事件“两人各投篮一次，均未投中”的概率是P(A ∩B)＝P(A)·P(B)＝(1－0.6)×(1－0.6)＝0.16因此至少有一人投中的概率为 P(A ∪B)＝1－P(A ∩B)＝1－0.16＝0.84.探究1 1.相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互不影响；两个事件互斥是指两个事件在同一试验中不可能同时发生，即互斥的两个事件彼此之间有关联．2．在求事件的概率时，有时遇到求“至少……”或“至多……”等事件概率的问题，如果从正面解决这些问题，它们是诸多事件的和或积，求解过程繁琐，但这些事件的对立事件却往往很简单，其概率也易求出．此时，可逆向思考，先求其对立事件的概率，进而求得原来事件的概率．思考题1 (2010·金华高二检测)甲、乙、丙三人参加一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约．甲表示只要面试合格就签约，乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求：(1)至少一人面试合格的概率；(2)没有人签约的概率．【提示】 “面试是否合格互不影响”说明三人面试合格为相互独立事件，“至少一人面试合格”的对立事件为“三人面试都不合格”，可用对立事件概率公式求解．【解析】 用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格，由题意知A ，B ，C 相互独立，且P(A)＝P(B)＝P(C)＝12.(1)设至少有一人面试合格为事件D ，则 P(D)＝1－P(A B C )＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝78.(2)设没有人签约为事件E ，则 P(E)＝P(ABC)＋P(A BC)＋P(A B C)＝P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＋P(A)·P(B)·P(C)＝(12)3＋(12)3＋(12)3＝38.题型二 独立性检验的应用例2 某地震观测站对地下水位的变化和发生地震的情况共进行了1700次观测，列联表如下：有震 无震 合计 有变化 98 902 1000 无变化 82 618 700 合计 180 **** ****【解析】 根据列联表中的数据得到 χ2＝1700×（98×618－902×82）21000×700×180×1520≈1.594<3.841，∴没有充分的证据显示地下水位的变化与地震的发生有关．可以认为二者是无关的． 探究2 检验两个变量是否相互独立，主要依据是利用χ2＝n （n 11n 22－n 12n 21）2n 1＋·n 2＋·n ＋1·n ＋2公式计算χ2的值，再利用该值与两个值3.841，6.635进行比较作出判断．思考题2 在从烟台——大连的某次航运中，海上出现恶劣气候．随机调查男、女乘客在船上晕船的情况如表所示：晕船(B) 不晕船(B) 合计 男人(A) 32 51 83 女人(A) 8 24 32 合计 40 75 115【解析】 由公式得χ2的值为 χ2＝115×（32×24－51×8）283×32×40×75≈1.870.因为1.870<3.841，所以我们没有理由说晕船跟性别有关．题型三 独立性检验的综合应用例3 同时抛掷两颗均匀的骰子，请回答以下问题： (1)求两颗骰子都出现2点的概率；(2)若同时抛掷两颗骰子180次，其中甲骰子出现20次2点，乙骰子出现30次2点，问两颗骰子出现2点是否相关？【思路点拨】 解答本题(1)可利用相互独立事件同时发生的概率公式计算．解答本题(2)可利用2×2列联表检验．【解析】 (1)每颗骰子出现2点的概率都为16，由相互独立事件同时发生的概率公式得两颗骰子都出现2点的概率为16×16＝136.(2)依题意，列2×2列联表如下：出现2点 出现其他点合计 甲骰子 20 160 180 乙骰子 30 150 180 合计 50 310 360由公式计算得χ2＝360×（20×150－160×30）250×310×180×180≈2.323.因为2.323<3.841，因此我们没有理由说两颗骰子出现2点相关．探究3 统计的基本思维模式是归纳，它的特征之一是通过部分数据的性质来推测全部数据的性质，因此，统计推断是可能犯错误的，即从数据上体现的只是统计关系，而不是因果关系．思考题3 下表是某地区的一种传染病与饮用水的调查表：得病 不得病 总计 干净水 52 466 518 不干净水 94 218 312 总计 146 684 830【解析】 由公式得χ2的值为χ2＝830×（52×218－466×94）2146×684×518×312≈54.212.因为54.212>6.635，所以我们有99%的把握认为这种传染病与饮用不干净水有关．1．某人独立射击三次，每次射中的概率为0.6，则三次中至少有一次射中的概率为() A．0.216B．0.064C．0.936 D．0.036答案 C解析可以考虑利用对立事件的概率以及相互独立事件的关系来求．P＝1－0.4×0.4×0.4＝0.936.2．根据2×2列联表，以下各式：①n＋1＝n11＋n21；②n＋2＝n12＋n22；③n1＋＝n11＋n21；④n2＋＝n12＋n22；⑤n＝n＋1＋n＋2＋n1＋＋n2＋.其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 B解析∵n＋1＝n11＋n21，n＋2＝n12＋n22，n1＋＝n11＋n12，n2＋＝n21＋n22，n＝n11＋n21＋n12＋n22.∴①②正确，故选B.3．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并有99%以上的把握认为这个结论是成立的，下列说法中正确的() A．100个吸烟者中至少有99个患有肺癌B．1个人吸烟，那么这个人一定患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有答案 D4．经过对χ2的统计量的研究，得到了若干个观测值，当χ2<2.706时，我们认为两分类变量A、B()A．有95%的把握认为A与B有关系B．有99%的把握认为A与B有关系C．没有充分理由说明A与B有关系D．不能确定答案 C5．若两个分类变量X和Y的2×2列联表为：则X与Y答案99.9%解析χ2≈18.8>10.828.故有99.9%的把握认为X与Y有关系．课时作业(一)一、选择题1．有两个分类变量X 与Y 的一组数据，由其列联表计算得χ2≈4.523，则认为X 与Y 有关系是错误的可信度为( )A ．95%B ．90%C ．5%D ．10% 答案 C 解析 P(χ2≥3.841)＝0.05.故选C.2．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和及格统计人数后，得到如下列联表：班级与成绩列联表则随机变量χ2A ．0.600 B ．0.828 C ．2.712 D ．6.004 答案 A解析 χ2＝90×（11×37－34×8）245×45×19×71≈0.600.3．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表：A ．99%B ．95%C ．90%D ．无充分根据 答案 B解析 χ2＝50×（18×15－9×8）227×23×26×24≈5.059>3.841.4．掷一枚硬币，记事件A ：“出现正面”，B ：“出现反面”，则有( ) A ．A 与B 相互独立 B ．P(AB)＝P(A)·P(B) C ．A 与B 不相互独立D ．P(AB)＝14答案 C解析 ∵事件A 与事件B 是对立事件，故排除A 、B 、D ，∴应选C.5．在一次独立性检验中，根据计算结果，认为A 与B 无关的可能性不足1%，那么χ2的一个可能取值为( )A ．6.635B ．5.024C ．7.897D ．3.841 答案 C解析 由χ2的数值与两个临界值3.841、6.635进行对比．6．如果有95%的把握说事件A 和B 有关，那么具体算出的数据满足( )A ．χ2>3.841B ．χ2<3.841C ．χ2>6.635D ．χ2<6.635 答案 A解析 根据独立性检验的两个临界值及其与χ2大小关系的意义可知，如果有95%的把握说事件A 和B 有关时，统计量χ2>3.841，故选A. 二、填空题7．某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课程的学生的一些情况，具体数据如下：χ2≈4.844，因为χ2>3.841，所以可判定选修统计专业与性别有关．那么这种判断出错的可能性为________．答案 5% 8．大学生和研究生毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数.答案 99%9．在独立性检验中，选用χ2作为统计量，当χ2满足条件________时，我们有90%的把握说事件A 与B 有关．答案 χ2>2.70610．统计推断，当________时，有95%的把握说事件A 与B 有关；当________时，认为没有充分的证据显示事件A 与B 是有关的．答案 χ2>3.841，χ2≤2.706解析 结合χ2的临界值表可知，当χ2>3.841时有95%的把握说事件A 与B 有关；当χ2≤2.706时认为没有充分的证明显示事件A 与B 是有关的． 11．有2×2答案 10.76解析 χ2＝189×（54×63－32×40）294×95×86×103≈10.76.三、解答题12．205份样品分别接种于甲、乙两种培养基上，经过规定的一段时间后，检查培养的效果．结果分为阳性和阴性，资料如下．试分析这两种培养基的培养效果是否有显著差别．(α＝0.001)解析 χ2＝205×（36×103－34×32）268×137×70×135≈15.984，因为15.984>10.828，χ2≥10.828的概率约为0.001，所以拒绝H 0.因此有99.9%以上的把握认为这两种培养基的培养效果有显著差异．13．某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A 疾病”．经调查发现，在不服用该药品的418人中仅有18人患A 疾病．请用所学知识分析该药品对患A 疾病是否有效？提示 由题中所给数据可列出2×2列联表，将数据代入χ2进行求解可得结论． 解析 将问题中的数据写成2×2列联表：将上述数据代入公式χ2＝n·（n 11n 22－n 12·n 21）2n 1＋·n 2＋·n ＋1·n ＋2中，计算可得χ2≈0.0414，因为0.0414<3.841，故没有充分理由认为该保键药品对预防A 疾病有效．14．(2010·辽宁卷)为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B.下表1和表2分别是注射药物A 和药物B 后的试验结果．(疱疹面积单位：mm 2)表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表(2)完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．表3：解析(1)从频率分布直方图中可以看出注射药物A后皮肤疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B后皮肤疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数．(2)表3：χ2＝200×（70×65－35×30）2100×100×105×95≈24.56.由于χ2>10.828，所以有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”．1．2 回归分析要点1 回归直线方程的求法： 在回归直线方程y^＝a^＋b^x 中， b^＝错误!＝错误!x 其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i .要点2 相关系数计算r ＝错误!＝错误!a^＝y －b^x ＝5－1.23×4＝0.08. ∴Y 对x 的回归直线方程为： y^＝a^＋b^x ＝0.08＋1.23x. (3)当x ＝10时，y^＝0.08＋1.23×10＝12.38(万元)．即估计使用10年时维修费用是12.38万元． 探究1 求回归直线方程的步骤：(1)画散点图；(2)计算a^、b^；(3)写出方程。
目录目录 (1)考点一虚数单位i、复数 (2)考点二复数的代数表示法及其几何意义 (4)课后综合巩固练习 (7)考点一 虚数单位i 、复数1. i 是数学中的虚数单位，i 2=-1，所以i 是-1的平方根．我们把a+bi 的数叫做复数，把a=0且b ≠0的数叫做纯虚数，a ≠0，且b=0叫做实数．复数的模为 2.负数的运算1）复数的加法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M+N=（a+c ）+（b+d ）i ，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．2）复数的乘法，若M=a+bi ，N=c+di ，那么M •N=（ac-bd ）+（ad+bc ）i ，与多项式乘法类似，只不过要加上i ．形如a+bi （a ，b ∈R ）的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi 为实数；若b ≠0，则a+bi 为虚数；若a=0，b ≠0，则a+bi 为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di ⇔a=c ，b=d （a ，b ，c ，d ∈R ）．3、共轭复数：a+bi 与c+di 共轭⇔a=c ，b+d=0（a ，b ，c ，d ∈R ）．4、复数的模： →OZ的长度叫做复数z=a+bi 的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|= ⎷ a 2+b 2．1．（2019春•泉州期末）若(2)(1)z m m i =-++为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．2-B ．1-C ．1D ．2【分析】由实部为0且虚部不为0列式求解实数m 的值． 【解答】解：(2)(1)z m m i =-++为纯虚数，∴2010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得2m =，故选：D ．⎷ a 2+b 2【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．2．（2019春•哈尔滨期中）已知复数12z i =+，则z 的虚部是( )A ．2iB ．2i -C ．2D ．2-解：12z i =+故选：D ．【点评】本题考查复数的基本概念，是基础题．3．（2019•青羊区校级模拟）设i 是虚数单位，m ，n 为实数，复数z m ni =+为虚数，则()A ．0m =B ．0n ≠C ．0m =且0n ≠D ．0mn ≠【分析】根据复数的有关概念进行判断即可． 【解答】解：若复数是虚数，则0n ≠， 故选：B ．【点评】本题主要考查复数的有关概念，利用虚数的定义是解决本题的关键．比较基础． 4．（2019•沈阳三模）已知i 为虚数单位，则232019i i i i +++⋯+等于( )A ．iB ．1C ．i -D ．1-【分析】利用等比数列前n 项和化简，再由虚数单位i 的性质及复数代数形式的乘除运算化简得答案．故选：D ．【点评】本题考查等比数列前n 项和，考查虚数单位i 的性质，是基础题． 5．（2019•遂宁模拟）已知复数z 满足12iz i =+，则z 的虚部是( )A ．i -B ．1-C ．2D ．2i -【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：由12iz i =+，z ∴的虚部是1-．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．6．（2019•吉林三模）若2(6)(2)z m m m i =+-+-为纯虚数，则实数m 的值为()A ．2-B ．2C ．3D ．3-【分析】根据复数为纯虚数的充要条件列出方程组，求出m 的值即可． 【解答】解：2(6)(2)z m m m i =+-+-为纯虚数，∴26020m m m ⎧+-=⎨-≠⎩，解得3m =-，故选：D ．【点评】本题考查复数为纯虚数的充要条件，牢记复数的基本概念是解题的关键，属于基础题．7．（2019•江门一模）i 是虚数单位，20191()(1i i+=- ) A ．iB ．i -C ．1D ．1-【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚数单位i 的性质计算． 解：115043i i =-． 故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，是基础题．考点二 复数的代数表示法及其几何意义1、复数的代数表示法建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，x 轴的单位是1，y 轴的单位是i ，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z=a+bi →复平面内的点z （a ，b ）→平面向量oz ． 2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： （1）|z|=|z-0|=a （a ＞0）表示复数z 对应的点到原点的距离为a ； （2）|z-z 0|表示复数z 对应的点与复数z0对应的点之间的距离．8．（2019春•淄博期末）在复平面内，复数(13)(z i i i =+为虚数单位）对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(13)3z i i i =+=-+，∴复数z 对应的点的坐标为(3,1)-，位于第二象限．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．9．（2019春•汉中期末）复数2(1)z i =+在复平面内对应的点在()A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：22(1)122z i i i i =+=++=，∴复数2(1)z i =+在复平面内对应的点的坐标为(0,2)，在虚轴上．故选：B ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．10．（2019春•齐齐哈尔期末）若复数z 满足24iz i =+（其中i 为虚数单位），在在复平面内z 对应的点位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．∴在复平面内z 对应的点的坐标为(4,2)-，位于第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．11．（2019春•宁德期末）已知复数(12)(1)z i i =+-，则其共轭复数z 对应的点在复平面上位于()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【解答】解：(12)(1)1223z i i i i i =+-=-++=+，故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．12．（2019春•石家庄期末）在复平面内，复数1ii -的对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：i 故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．课后综合巩固练习1．（2019春•通州区期末）在复平面内，复数1(i i -为虚数单位）的共轭复数对应的点位于第 象限．【分析】直接由已知的复数得到其共轭复数，然后指明在复平面内对应点的坐标．故答案为：一．【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义和共轭复数的概念，属基础题． 2．（2019春•杨浦区校级期末）复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部是 10 ．【分析】根据41i =知，要求复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部，只需求出1!2!3!1098i i i ⨯+⨯+⨯的虚部．【解答】解：41i =，故4!5!10!761i i i ⨯+⨯+⋯+⨯均为实数，∴要求复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部，只需求出1!2!3!1098i i i ⨯+⨯+⨯的虚部．1!2!3!26109810981710i i i i i i i ⨯+⨯+⨯=++=-+．∴复数1!2!10!1091i i i ⨯+⨯+⋯+⨯的虚部是10．故答案为：10．【点评】本题考查复数幂的运算，考查了虚数单位i 的性质，属基础题．3．（2019春•九江期末）若复数22(2)(2)()a a a a i a R -+--∈为纯虚数，则a = 0 ．【分析】直接利用实部为0且虚部不为0求解． 【解答】解：复数22(2)(2)()a a a a i a R -+--∈为纯虚数，∴222020a a a a ⎧-=⎨--≠⎩，解得0a =．故答案为：0．【点评】本题考查复数的基本概念，考查一元二次方程的解法，是基础题．4．（2019春•宁县校级期中）2019i = i -【分析】复数2019i 可化为45043()i i ，根据41i =得出结果即可．【解答】解：20194504345043()ii i i i ⨯+===-．故答案为：i -．【点评】本题考查了复数的运算，关键是知道41i=，属基础题．5．（2019春•宁县校级期中）已知x ，y R ∈，若3(2)x i y i +=-，则x y +== 5【分析】根据复数相等可得023x y =⎧⎨-=⎩，然后计算x y +即可．【解答】解：因为3(2)x i y i +=-，所以023x y =⎧⎨-=⎩，所以05x y =⎧⎨=⎩，所以5x y +=． 故答案为：5．【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件，属基础题 6．（2019•海安县校级模拟）在复平面内，复数11i-对应的点位于第 一 象限． 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案． 解：1故答案为：一．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．7．（2019春•常州期中）若复数z 满足23z z i +=-其中i 为虚数单位，z 为z 的共轭复数，则z 在复平面内对应的点位于第 四 象限．答案．【解答】解：设(,)z a bi a b R =+∈，。
