人教A版数学必修一必修①精讲精练答案

2020高中数学精讲精练 第一章 集合与简易逻辑第1课时 集合的概念及运算【考点导读】1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用．2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义．3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用．4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】1.集合{(,)02,02,,}x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),(2,0),(2,1)}．2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ⋂=∅．3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ⋂=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ⋃=，{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，求集合B .分析：先化简集合A ，由R B C A R ⋃=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题.解：（1）{12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ⋃=，R A C A R ⋃=， 可得A B ⊆.而{01R B C A x x ⋂=<<或23}x <<，∴{01x x <<或23}x <<.B ⊆借助数轴可得B A =⋃{01x x <<或23}x <<{03}x x =<<.{0,2}【反馈演练】1．设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A U ⋂=_________． 2．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P +Q =},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P +Q 中元素的个数是____8___个．3．设集合2{60}P x x x =--<，{23}Q x a x a =≤≤+.（1）若P Q P ⋃=，求实数a 的取值范围；（2）若P Q ⋂=∅，求实数a 的取值范围；（3）若{03}P Q x x ⋂=≤<，求实数a 的值.解：（1）由题意知：{23}P x x =-<<，P Q P ⋃=，Q P ∴⊆.①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >．②当Q ≠∅时，得2233a a -<≤+<，解得10a -<<．综上，(1,0)(3,)a ∈-⋃+∞．（2）①当Q =∅时，得23a a >+，解得3a >；②当Q ≠∅时，得23,3223a a a a ≤+⎧⎨+≤-≥⎩或，解得3532a a ≤-≤≤或． 综上，3(,5][,)2a ∈-∞-⋃+∞． （3）由{03}P Q x x ⋂=≤<，则0a =．第2课 命题及逻辑联结词【考点导读】1. 了解命题的逆命题，否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．2. 了解逻辑联结词“或”，“且”，“非”的含义；能用“或”，“且”，“非”表述相关的数学内容．3. 理解全称量词与存在量词的意义；能用全称量词与存在量词叙述简单的数学内容．理解对含有一个量词的命题的否定的意义；能正确地对含有一个量词的命题进行否定．【基础练习】1.下列语句中：①230x -=；②你是高三的学生吗？③315+=；④536x ->．其中，不是命题的有____①②④_____．2.一般地若用p 和q 分别表示原命题的条件和结论，则它的逆命题可表示为若q 则p ，否命题可表示为 p q ⌝⌝若则，逆否命题可表示为q p ⌝⌝若则；原命题与逆否命题互为逆否命题，否命题与逆命题互为逆否命题．【范例解析】例1. 写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题并判断真假.（1） 平行四边形的对边相等；（2） 菱形的对角线互相垂直平分；（3） 设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+.分析：先将原命题改为“若p 则q ”，在写出其它三种命题.解：（1）原命题：若一个四边形是平行四边形，则其两组对边相等；真命题；逆命题：若一个四边形的两组对边相等，则这个四边形是平行四边形；真命题；否命题：若一个四边形不是平行四边形，则其两组对边至少一组不相等；真命题；逆否命题：若一个四边形的两组对边至少一组不相等，则这个四边形不是平行四边形；真命题.（2）原命题：若一个四边形是菱形，则其对角线互相垂直平分；真命题；逆命题：若一个四边形的对角线互相垂直平分，则这个四边形是菱形；真命题；否命题：若一个四边形不是菱形，则其对角线不垂直或不平分；真命题；逆否命题：若一个四边形的对角线不垂直或不平分，则这个四边形不是菱形；真命题.（3）原命题：设,,,a b c d R ∈，若,a b c d ==，则a c b d +=+；真命题；逆命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +=+，则,a b c d ==；假命题；否命题：设,,,a b c d R ∈，若a b ≠或c d ≠，则a c b d +≠+；假命题；逆否命题：设,,,a b c d R ∈，若a c b d +≠+，则a b ≠或c d ≠；真命题.点评：已知原命题写出其它的三种命题首先应把命题写成“若p则q”的形式，找出其条件p 和结论q，再根据四种命题的定义写出其它命题；对于含大前提的命题，在改写命题时大前提不要动；在写命题p的否定即p⌝时，要注意对p中的关键词的否定，如“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”，“都是”的否定为“不都是”等.例2.写出由下列各组命题构成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并判断真假. （1）p：2是4的约数，q：2是6的约数；（2）p：矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相平分；（3）p：方程210-+=的两实根的绝对值相等.x xx x-+=的两实根的符号相同，q：方程210分析：先写出三种形式命题，根据真值表判断真假.解：（1）p或q：2是4的约数或2是6的约数，真命题；p且q：2是4的约数且2是6的约数，真命题；非p：2不是4的约数，假命题.（2）p或q：矩形的对角线相等或互相平分，真命题；p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题；非p：矩形的对角线不相等，假命题.（3）p或q：方程210-+=的两实根的符号相同或绝对值相等，假命题；x xp且q：方程210-+=的两实根的符号相同且绝对值相等，假命题；x x非p：方程210-+=的两实根的符号不同，真命题.x x点评：判断含有逻辑联结词“或”，“且”，“非”的命题的真假，先要把结构弄清楚，确定命题构成的形式以及构成它们的命题p，q的真假然后根据真值表判断构成新命题的真假.例3.写出下列命题的否定，并判断真假.（1）p：所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（2）p：每一个非负数的平方都是正数；（3）p：存在一个三角形，它的内角和大于180°；（4）p：有的四边形没有外接圆；（5）p：某些梯形的对角线互相平分.分析：全称命题“,()∃∈⌝”，特称命题“,()x M p x∃∈”的x M p xx M p x∀∈”的否定是“,()否定是“,()∀∈⌝” .x M p x解：⌝：存在末位数字是0或5的整数，但它不能被5整除，假命题；（1）p⌝：存在一个非负数的平方不是正数，真命题；（2）p⌝：任意一个三角形，它的内角和都不大于180°，真命题；（3）p（4）p ⌝：所有四边形都有外接圆，假命题；（5）p ⌝：任一梯形的对角线都不互相平分，真命题.点评：一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：【反馈演练】1．命题“若a M ∈，则b M ∉”的逆否命题是__________________.2．已知命题p ：1sin ,≤∈∀x R x ，则:p ⌝,sin 1x R x ∃∈>.3．若命题m 的否命题n ，命题n 的逆命题p ，则p 是m 的____逆否命题____.4．命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为________________________． 5．分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假．（1）设,a b R ∈，若0ab =，则0a =或0b =；（2）设,a b R ∈，若0,0a b >>，则0ab >．解：（1）逆命题：设,a b R ∈，若0a =或0b =，则0ab =；真命题；否命题：设,a b R ∈，若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠；真命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠；真命题；（2）逆命题：设,a b R ∈，若0ab >，则0,0a b >>；假命题；否命题：设,a b R ∈，若0a ≤或0b ≤，则0ab ≤；假命题；逆否命题：设,a b R ∈，若0ab ≤，则0a ≤或0b ≤；真命题．若b M ∈，则a M ∉ 若a b ≤，则221a b ≤-第3 课时 充分条件和必要条件【考点导读】1. 理解充分条件，必要条件和充要条件的意义；会判断充分条件，必要条件和充要条件．2. 从集合的观点理解充要条件，有以下一些结论：若集合P Q ⊆，则P 是Q 的充分条件；若集合P Q ⊇，则P 是Q 的必要条件；若集合P Q =，则P 是Q 的充要条件．3. 会证明简单的充要条件的命题，进一步增强逻辑思维能力．【基础练习】1.若p q ⇒，则p 是q 的充分条件．若q p ⇒，则p 是q 的必要条件．若p q ⇔，则p 是q 的充要条件．2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）已知:2p x >，:2q x ≥，那么p 是q 的_____充分不必要___条件．（2）已知:p 两直线平行，:q 内错角相等，那么p 是q 的____充要_____条件．（3）已知:p 四边形的四条边相等，:q 四边形是正方形，那么p 是q 的___必要不充分__条件．3.若x R ∈，则1x >的一个必要不充分条件是0x >．【范例解析】例.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.（1）2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的___________________条件；（2）(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的___________________条件； （3）αβ=是tan tan αβ=的___________________条件；（4）3x y +≠是1x ≠或2y ≠的___________________条件.分析：从集合观点“小范围⇒大范围”进行理解判断，注意特殊值的使用.解：（1）因为2,2.x y >⎧⎨>⎩结合不等式性质易得4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，反之不成立，若12x =，10y =，有4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩，但2,2.x y >⎧⎨>⎩不成立，所以2,2.x y >⎧⎨>⎩是4,4.x y xy +>⎧⎨>⎩的充分不必要条件.（2）因为(4)(1)0x x -+≥的解集为[1,4]-，401x x -≥+的解集为(1,4]-，故(4)(1)0x x -+≥是401x x -≥+的必要不充分条件. （3）当2παβ==时，tan ,tan αβ均不存在；当tan tan αβ=时，取4πα=，54πβ=，但αβ≠，所以αβ=是tan tan αβ=的既不充分也不必要条件.（4）原问题等价其逆否形式，即判断“1x =且2y =是3x y +=的____条件”，故3x y +≠是1x ≠或2y ≠的充分不必要条件.点评：①判断p 是q 的什么条件，实际上是判断“若p 则q ”和它的逆命题“若q 则p ”的真假，若原命题为真，逆命题为假，则p 为q 的充分不必要条件；若原命题为假，逆命题为真，则p 为q 的必要不充分条件；若原命题为真，逆命题为真，则p 为q 的充要条件；若原命题，逆命题均为假，则p 为q 的既不充分也不必要条件.②在判断时注意反例法的应用.③在判断“若p 则q ”的真假困难时，则可以判断它的逆否命题“若⌝q 则⌝p ”的真假.【反馈演练】1．设集合}30|{≤<=x x M ，}20|{≤<=x x N ，则“M a ∈”是“N a ∈”的_必要不充分 条件．2．已知p ：1＜x ＜2，q ：x (x －3)＜0，则p 是q 的 条件．3．已知条件2:{10}p A x R x ax =∈++≤，条件2:{320}q B x R x x =∈-+≤．若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：:{12}q B x R x =∈≤≤，若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，则A B ⊆．若A =∅，则240a -<，即22a -<<；若A ≠∅，则240,a x ⎧-≥≤≤解得522a -≤≤-． 综上所述，522a -≤<．充分不必要。

高中数学必修1课后习题答案第一章 集合与函数概念1．1集合1．1．1集合的含义与表示练习（第5页）1．（1）中国∈A ，美国∉A ，印度∈A ，英国∉A ；中国和印度是属于亚洲的国家，美国在北美洲，英国在欧洲．（2）1-∉A 2{|}{0,1}A x x x ===．（3）3∉B 2{|60}{3,2}B x x x =+-==-．（4）8∈C ，9.1∉C 9.1N ∉．2．解：（1）因为方程290x -=的实数根为123,3x x =-=，所以由方程290x -=的所有实数根组成的集合为{3,3}-；（2）因为小于8的素数为2,3,5,7，所以由小于8的所有素数组成的集合为{2,3,5,7}； （3）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，即一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点为(1,4)，所以一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合为{(1,4)}；（4）由453x -<，得2x <，所以不等式453x -<的解集为{|2}x x <．1．1．2集合间的基本关系练习（第7页）1．解：按子集元素个数来分类，不取任何元素，得∅；取一个元素，得{},{},{}a b c ；取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ，即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ∅．2．（1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素；（2）20{|0}x x ∈= 2{|0}{0}x x ==；（3）2{|10}x R x ∅=∈+= 方程210x +=无实数根，2{|10}x R x ∈+==∅；（4）{0,1}N （或{0,1}N ⊆） {0,1}是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0}2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ⊆=） 2{|}{0,1}x x x ==；（6）2{2,1}{|320}x x x =-+= 方程2320x x -+=两根为121,2x x ==．3．解：（1）因为{|8}{1,2,4,8}B x x ==是的约数，所以A B ；（2）当2k z =时，36k z =；当21k z =+时，363k z =+，即B 是A 的真子集，B A ；（3）因为4与10的最小公倍数是20，所以A B =．1．1．3集合的基本运算练习（第11页）1．解：{3,5,6,8}{4,5,7,8}{5,8}A B ==，{3,5,6,8}{4,5,7,8}{3,4,5,6,7,8}A B ==．2．解：方程2450x x --=的两根为121,5x x =-=，方程210x -=的两根为121,1x x =-=，得{1,5},{1,1}A B =-=-，即{1},{1,1,5}A B A B =-=-．3．解：{|}AB x x =是等腰直角三角形， {|}AB x x =是等腰三角形或直角三角形． 4．解：显然{2,4,6}U B =，{1,3,6,7}U A =， 则(){2,4}U A B =，()(){6}U U A B =．1．1集合习题1．1 （第11页） A 组1．（1）237Q ∈ 237是有理数； （2）23N ∈ 239=是个自然数； （3）Q π∉π是个无理数，不是有理数； （42R 2是实数； （59Z 93=是个整数； （6）25)N ∈ 2(5)5=是个自然数．2．（1）5A ∈； （2）7A ∉； （3）10A -∈．当2k =时，315k -=；当3k =-时，3110k -=-；3．解：（1）大于1且小于6的整数为2,3,4,5，即{2,3,4,5}为所求；（2）方程(1)(2)0x x -+=的两个实根为122,1x x =-=，即{2,1}-为所求；（3）由不等式3213x -<-≤，得12x -<≤，且x Z ∈，即{0,1,2}为所求．4．解：（1）显然有20x ≥，得244x -≥-，即4y ≥-，得二次函数24y x =-的函数值组成的集合为{|4}y y ≥-； （2）显然有0x ≠，得反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合为{|0}x x ≠； （3）由不等式342x x ≥-，得45x ≥，即不等式342x x ≥-的解集为4{|}5x x ≥． 5．（1）4B -∉； 3A -∉； {2}B ； B A ；2333x x x -<⇒>-，即{|3},{|2}A x x B x x =>-=≥；（2）1A ∈； {1}-A ； ∅A ； {1,1}-=A ； 2{|10}{1,1}A x x =-==-；（3）{|}x x 是菱形{|}x x 是平行四边形；菱形一定是平行四边形，是特殊的平行四边形，但是平行四边形不一定是菱形；{|}x x 是等边三角形{|}x x 是等腰三角形． 等边三角形一定是等腰三角形，但是等腰三角形不一定是等边三角形．6．解：3782x x -≥-，即3x ≥，得{|24},{|3}A x x B x x =≤<=≥， 则{|2}A B x x =≥，{|34}A B x x =≤<．7．解：{|9}{1,2,3,4,5,6,7,8}A x x ==是小于的正整数，则{1,2,3}AB =，{3,4,5,6}AC =， 而{1,2,3,4,5,6}BC =，{3}B C =， 则(){1,2,3,4,5,6}A B C =，(){1,2,3,4,5,6,7,8}A B C =．8．解：用集合的语言说明这项规定：每个参加上述的同学最多只能参加两项，即为()A B C =∅．（1）{|}A B x x =是参加一百米跑或参加二百米跑的同学； （2）{|}A C x x =是既参加一百米跑又参加四百米跑的同学．9．解：同时满足菱形和矩形特征的是正方形，即{|}BC x x =是正方形， 平行四边形按照邻边是否相等可以分为两类，而邻边相等的平行四边形就是菱形， 即{|}A B x x =是邻边不相等的平行四边形， {|}S A x x =是梯形．10．解：{|210}AB x x =<<，{|37}A B x x =≤<， {|3,7}R A x x x =<≥或，{|2,10}R B x x x =≤≥或，得(){|2,10}R A B x x x =≤≥或， (){|3,7}R A B x x x =<≥或，(){|23,710}R A B x x x =<<≤<或， (){|2,3710}R A B x x x x =≤≤<≥或或．B 组1．4 集合B 满足A B A =，则B A ⊆，即集合B 是集合A 的子集，得4个子集．2．解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧=⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭表示两条直线21,45x y x y -=+=的交点的集合， 即21(,)|{(1,1)}45x y D x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，点(1,1)D 显然在直线y x =上，得D C ．3．解：显然有集合{|(4)(1)0}{1,4}B x x x =--==，当3a =时，集合{3}A =，则{1,3,4},AB A B ==∅； 当1a =时，集合{1,3}A =，则{1,3,4},{1}AB A B ==； 当4a =时，集合{3,4}A =，则{1,3,4},{4}A B A B ==；当1a ≠，且3a ≠，且4a ≠时，集合{3,}A a =，则{1,3,4,},A B a A B ==∅．4．解：显然{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}U =，由U AB =， 得U B A ⊆，即()U U A B B =，而(){1,3,5,7}U A B =， 得{1,3,5,7}U B =，而()U U B B =，即{0,2,4,6,8.9,10}B =．第一章 集合与函数概念1．2函数及其表示1．2．1函数的概念练习（第19页）1．解：（1）要使原式有意义，则470x +≠，即74x ≠-， 得该函数的定义域为7{|}4x x ≠-； （2）要使原式有意义，则1030x x -≥⎧⎨+≥⎩，即31x -≤≤，得该函数的定义域为{|31}x x -≤≤． 2．解：（1）由2()32f x x x =+，得2(2)322218f =⨯+⨯=，同理得2(2)3(2)2(2)8f -=⨯-+⨯-=，则(2)(2)18826f f +-=+=，即(2)18,(2)8,(2)(2)26f f f f =-=+-=；（2）由2()32f x x x =+，得22()3232f a a a a a =⨯+⨯=+，同理得22()3()2()32f a a a a a -=⨯-+⨯-=-，则222()()(32)(32)6f a f a a a a a a +-=++-=，即222()32,()32,()()6f a a a f a a a f a f a a =+-=-+-=．3．解：（1）不相等，因为定义域不同，时间0t >；（2）不相等，因为定义域不同，0()(0)g x x x =≠．1．2．2函数的表示法练习（第23页） 1．解：显然矩形的另一边长为2250x cm -，222502500y x x x x =-=-，且050x <<，即22500(050)y x x x =-<<．2．解：图象（A ）对应事件（2），在途中遇到一次交通堵塞表示离开家的距离不发生变化； 图象（B ）对应事件（3），刚刚开始缓缓行进，后来为了赶时间开始加速； 图象（D ）对应事件（1），返回家里的时刻，离开家的距离又为零；图象（C ）我出发后，以为要迟到，赶时间开始加速，后来心情轻松，缓缓行进．2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-+<⎩，图象如下所示． 3．解：4．解：因为3sin 602=，所以与A 中元素60相对应的B 中的元素是32； 因为2sin 452=，所以与B 中的元素22相对应的A 中元素是45． 1．2函数及其表示习题1．2（第23页） 1．解：（1）要使原式有意义，则40x -≠，即4x ≠，得该函数的定义域为{|4}x x ≠；（2）x R ∈，2()f x x =都有意义，即该函数的定义域为R ；（3）要使原式有意义，则2320x x -+≠，即1x ≠且2x ≠，得该函数的定义域为{|12}x x x ≠≠且；（4）要使原式有意义，则4010x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≤且1x ≠， 得该函数的定义域为{|41}x x x ≤≠且．2．解：（1）()1f x x =-的定义域为R ，而2()1x g x x=-的定义域为{|0}x x ≠， 即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（2）2()f x x =的定义域为R ，而4()()g x x =的定义域为{|0}x x ≥，即两函数的定义域不同，得函数()f x 与()g x 不相等；（3）对于任何实数，都有362x x =，即这两函数的定义域相同，切对应法则相同，得函数()f x 与()g x 相等．3．解：（1）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（2）定义域是(,0)(0,)-∞+∞，值域是(,0)(0,)-∞+∞；（3）定义域是(,)-∞+∞，值域是(,)-∞+∞；（4）定义域是(,)-∞+∞，值域是[2,)-+∞．4．解：因为2()352f x x x =-+，所以2(2)3(2)5(2)2852f -=⨯--⨯-+=+，即(2)852f -=+；同理，22()3()5()2352f a a a a a -=⨯--⨯-+=++，即2()352f a a a -=++；22(3)3(3)5(3)231314f a a a a a +=⨯+-⨯++=++，即2(3)31314f a a a +=++；22()(3)352(3)3516f a f a a f a a +=-++=-+，即2()(3)3516f a f a a +=-+． 5．解：（1）当3x =时，325(3)14363f +==-≠-， 即点(3,14)不在()f x 的图象上；（2）当4x =时，42(4)346f +==--， 即当4x =时，求()f x 的值为3-；（3）2()26x f x x +==-，得22(6)x x +=-， 即14x =．6．解：由(1)0,(3)0f f ==，得1,3是方程20x bx c ++=的两个实数根，即13,13b c +=-⨯=，得4,3b c =-=，即2()43f x x x =-+，得2(1)(1)4(1)38f -=--⨯-+=，即(1)f -的值为8．7．图象如下：8．解：由矩形的面积为10，即10xy =，得10(0)y x x=>，10(0)x y y =>，由对角线为d，即d =(0)d x =>， 由周长为l ，即22l x y =+，得202(0)l x x x =+>， 另外2()l x y =+，而22210,xy d x y ==+，得0)l d ===>，即(0)l d =>．9．解：依题意，有2()2dx vt π=，即24v x t dπ=， 显然0x h ≤≤，即240v t h dπ≤≤，得204h d t v π≤≤， 得函数的定义域为2[0,]4h d vπ和值域为[0,]h ． 10．解：从A 到B 的映射共有8个．分别是()0()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()0()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()1()0f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，()1()0()1f a f b f c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．Ｂ组1．解：（1）函数()r f p =的定义域是[5,0][2,6)-；（2）函数()r f p =的值域是[0,)+∞；（3）当5r >，或02r ≤<时，只有唯一的p 值与之对应．2．解：图象如下，（1）点(,0)x 和点(5,)y 不能在图象上；（2）省略．3．解：3, 2.522,211,10()[]0,011,122,233,3x x x f x x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪⎪--≤<⎪==≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪⎪=⎩图象如下4．解：（1）驾驶小船的路程为222x +，步行的路程为12x -，得2221235x xt +-=+，(012)x ≤≤， 即241235x xt +-=+，(012)x ≤≤． （2）当4x =时，2441242583()3535t h +-=+=+≈．第一章 集合与函数概念1．3函数的基本性质1．3．1单调性与最大（小）值练习（第32页）1．答：在一定的范围内，生产效率随着工人数量的增加而提高，当工人数量达到某个数量时，生产效率达到最大值，而超过这个数量时，生产效率随着工人数量的增加而降低．由此可见，并非是工人越多，生产效率就越高．2．解：图象如下[8,12]是递增区间，[12,13]是递减区间，[13,18]是递增区间，[18,20]是递减区间． 3．解：该函数在[1,0]-上是减函数，在[0,2]上是增函数，在[2,4]上是减函数，在[4,5]上是增函数． 4．证明：设12,x x R ∈，且12x x <，因为121221()()2()2()0f x f x x x x x -=--=->， 即12()()f x f x >，所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数. 5．最小值．1．3．2单调性与最大（小）值练习（第36页）1．解：（1）对于函数42()23f x x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=， 所以函数42()23f x x x =+为偶函数；（2）对于函数3()2f x x x =-，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-， 所以函数3()2f x x x =-为奇函数；（3）对于函数21()x f x x+=，其定义域为(,0)(0,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()11()()x x f x f x x x -++-==-=--， 所以函数21()x f x x+=为奇函数；（4）对于函数2()1f x x =+，其定义域为(,)-∞+∞，因为对定义域内每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=， 所以函数2()1f x x =+为偶函数.2．解：()f x 是偶函数，其图象是关于y 轴对称的； ()g x 是奇函数，其图象是关于原点对称的．习题1.3A 组1．解：（1）函数在5(,)2-∞上递减；函数在5[,)2+∞上递增； （2）函数在(,0)-∞上递增；函数在[0,)+∞上递减.2．证明：（1）设120x x <<，而2212121212()()()()f x f x x x x x x x -=-=+-，由12120,0x x x x +<-<，得12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，所以函数2()1f x x =+在(,0)-∞上是减函数；（2）设120x x <<，而1212211211()()x x f x f x x x x x --=-=， 由12120,0x x x x >-<，得12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以函数1()1f x x=-在(,0)-∞上是增函数. 3．解：当0m >时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数； 当0m <时，一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数， 令()f x mx b =+，设12x x <， 而1212()()()f x f x m x x -=-，当0m >时，12()0m x x -<，即12()()f x f x <， 得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是增函数；当0m <时，12()0m x x ->，即12()()f x f x >，得一次函数y mx b =+在(,)-∞+∞上是减函数. 4．解：自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象为5．解：对于函数21622100050x y x =-+-， 当162405012()50x =-=⨯-时，max 307050y =（元）， 即每辆车的月租金为4050元时，租赁公司最大月收益为307050元． 6．解：当0x <时，0x ->，而当0x ≥时，()(1)f x x x =+，即()(1)f x x x -=--，而由已知函数是奇函数，得()()f x f x -=-，得()(1)f x x x -=--，即()(1)f x x x =-， 所以函数的解析式为(1),0()(1),0x x x f x x x x +≥⎧=⎨-<⎩.B 组1．解：（1）二次函数2()2f x x x =-的对称轴为1x =，则函数()f x 的单调区间为(,1),[1,)-∞+∞，且函数()f x 在(,1)-∞上为减函数，在[1,)+∞上为增函数， 函数()g x 的单调区间为[2,4]， 且函数()g x 在[2,4]上为增函数； （2）当1x =时，min ()1f x =-， 因为函数()g x 在[2,4]上为增函数，所以2min ()(2)2220g x g ==-⨯=．2．解：由矩形的宽为x m ，得矩形的长为3032xm -，设矩形的面积为S ， 则23033(10)22x x x S x --==-，当5x =时，2max 37.5S m =，即宽5x =m 才能使建造的每间熊猫居室面积最大，且每间熊猫居室的最大面积是237.5m ． 3．判断()f x 在(,0)-∞上是增函数，证明如下： 设120x x <<，则120x x ->->，因为函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，得12()()f x f x -<-， 又因为函数()f x 是偶函数，得12()()f x f x <， 所以()f x 在(,0)-∞上是增函数．复习参考题A 组1．解：（1）方程29x =的解为123,3x x =-=，即集合{3,3}A =-； （2）12x ≤≤，且x N ∈，则1,2x =，即集合{1,2}B =；（3）方程2320x x -+=的解为121,2x x ==，即集合{1,2}C =． 2．解：（1）由PA PB =，得点P 到线段AB 的两个端点的距离相等， 即{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线；（2）{|3}P PO cm =表示的点组成以定点O 为圆心，半径为3cm 的圆． 3．解：集合{|}P PA PB =表示的点组成线段AB 的垂直平分线， 集合{|}P PA PC =表示的点组成线段AC 的垂直平分线，得{|}{|}P PA PB P PA PC ==的点是线段AB 的垂直平分线与线段AC 的 垂直平分线的交点，即ABC ∆的外心．4．解：显然集合{1,1}A =-，对于集合{|1}B x ax ==， 当0a =时，集合B =∅，满足B A ⊆，即0a =； 当0a ≠时，集合1{}B a =，而B A ⊆，则11a =-，或11a=， 得1a =-，或1a =， 综上得：实数a 的值为1,0-，或1． 5．解：集合20(,)|{(0,0)}30x y AB x y x y ⎧-=⎫⎧==⎨⎨⎬+=⎩⎩⎭，即{(0,0)}A B =；集合20(,)|23x y A C x y x y ⎧-=⎫⎧==∅⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭，即A C =∅；集合3039(,)|{(,)}2355x y BC x y x y ⎧+=⎫⎧==-⎨⎨⎬-=⎩⎩⎭； 则39()(){(0,0),(,)}55AB BC =-.6．解：（1）要使原式有意义，则2050x x -≥⎧⎨+≥⎩，即2x ≥，得函数的定义域为[2,)+∞； （2）要使原式有意义，则40||50x x -≥⎧⎨-≠⎩，即4x ≥，且5x ≠，得函数的定义域为[4,5)(5,)+∞．7．解：（1）因为1()1x f x x -=+， 所以1()1a f a a -=+，得12()1111a f a a a -+=+=++， 即2()11f a a +=+；（2）因为1()1xf x x-=+，所以1(1)(1)112a af a a a -++==-+++， 即(1)2af a a +=-+．8．证明：（1）因为221()1x f x x +=-，所以22221()1()()1()1x x f x f x x x+-+-===---， 即()()f x f x -=；（2）因为221()1x f x x +=-，所以222211()11()()111()x x f f x x x x++===---， 即1()()f f x x=-.9．解：该二次函数的对称轴为8k x =， 函数2()48f x x kx =--在[5,20]上具有单调性，则208k ≥，或58k≤，得160k ≥，或40k ≤， 即实数k 的取值范围为160k ≥，或40k ≤．10．解：（1）令2()f x x -=，而22()()()f x x x f x ---=-==，即函数2y x -=是偶函数；（2）函数2y x -=的图象关于y 轴对称； （3）函数2y x -=在(0,)+∞上是减函数； （4）函数2y x -=在(,0)-∞上是增函数．B 组1．解：设同时参加田径和球类比赛的有x 人，则158143328x ++---=，得3x =，只参加游泳一项比赛的有15339--=（人），即同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人． 2．解：因为集合A ≠∅，且20x ≥，所以0a ≥． 3．解：由(){1,3}UA B =，得{2,4,5,6,7,8,9}A B =，集合AB 里除去()U A B ，得集合B ，所以集合{5,6,7,8,9}B =.4．解：当0x ≥时，()(4)f x x x =+，得(1)1(14)5f =⨯+=； 当0x <时，()(4)f x x x =-，得(3)3(34)21f -=-⨯--=；(1)(5),1(1)(1)(3),1a a a f a a a a ++≥-⎧+=⎨+-<-⎩．5．证明：（1）因为()f x ax b =+，得121212()()222x x x x af a b x x b ++=+=++，121212()()()222f x f x ax b ax b ax x b ++++==++， 所以1212()()()22x x f x f x f ++=； （2）因为2()g x x ax b =++，得22121212121()(2)()242x x x x g x x x x a b ++=++++， 22121122()()1[()()]22g x g x x ax b x ax b +=+++++2212121()()22x x x x a b +=+++，因为2222212121212111(2)()()0424x x x x x x x x ++-+=--≤，即222212121211(2)()42x x x x x x ++≤+， 所以1212()()()22x x g x g x g ++≤. 6．解：（1）函数()f x 在[,]b a --上也是减函数，证明如下：设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()f x 在[,]a b 上是减函数，则21()()f x f x ->-，又因为函数()f x 是奇函数，则21()()f x f x ->-，即12()()f x f x >， 所以函数()f x 在[,]b a --上也是减函数；（2）函数()g x 在[,]b a --上是减函数，证明如下： 设12b x x a -<<<-，则21a x x b <-<-<，因为函数()g x 在[,]a b 上是增函数，则21()()g x g x -<-， 又因为函数()g x 是偶函数，则21()()g x g x <，即12()()g x g x >， 所以函数()g x 在[,]b a --上是减函数．7．解：设某人的全月工资、薪金所得为x 元，应纳此项税款为y 元，则0,02000(2000)5%,2000250025(2500)10%,25004000175(4000)15%,40005000x x x y x x x x ≤≤⎧⎪-⨯<≤⎪=⎨+-⨯<≤⎪⎪+-⨯<≤⎩由该人一月份应交纳此项税款为26.78元，得25004000x <≤， 25(2500)10%26.78x +-⨯=，得2517.8x =， 所以该人当月的工资、薪金所得是2517.8元．新课程标准数学必修1第二章课后习题解答第二章 基本初等函数（I ） 2．1指数函数 练习（P54）1. a 21=a ,a 43=43a ,a53-=531a,a32-=321a.2. (1)32x =x 32, (2)43)(b a +=(a +b )43, (3)32n)-(m =(m -n )32, (4)4n)-(m =(m -n )2,(5)56q p =p 3q 25,(6)mm 3=m213-=m 25.3. (1)(4936)23=［(76)2］23=(76)3=343216;(2)23×35.1×612=2×321×(23)31×(3×22)61=231311--×3613121++=2×3=6;(3)a 21a 41a 81-=a814121-+=a 85; (4)2x 31-(21x 31-2x 32-)=x 3131+--4x 3221--=1-4x -1=1x4-.练习（P58）1.如图图2-1-2-142.(1)要使函数有意义,需x -2≥0,即x ≥2,所以函数y =32-x 的定义域为｛x |x ≥2｝;(2)要使函数有意义,需x ≠0,即函数y =(21)x 1的定义域是｛x ∣x ≠0｝.3.y =2x (x ∈N *)习题2.1 A 组（P59）1.(1)100;(2)-0.1;(3)4-π;(4)x -y .2解：(1)623b a ab=212162122123)(⨯⨯⨯b a a b =23232121--⨯b a =a 0b 0=1. (2)a aa2121=212121a a a⨯=2121a a ⨯=a 21.(3)415643)(mm m m m •••=4165413121mm m m m ••=4165413121+++mm=m 0=1.点评：遇到多重根号的式子,可以由里向外依次去掉根号,也可根据幂的运算性质来进行.3.解：对于（1）,可先按底数5,再按键,再按12,最后按,即可求得它的值.答案：1.710 0; 对于（2）,先按底数8.31,再按键,再按12,最后按即可. 答案：2.881 0; 对于（3）这种无理指数幂,先按底数3,再按键,再按键,再按2,最后按即可.答案：4.728 8;对于（4）这种无理指数幂,可先按底数2,其次按键,再按π键,最后按即可.答案：8.825 0.4.解：(1)a 31a 43a127=a 1274331++=a 35; (2)a 32a 43÷a 65=a654332-+=a 127;(3)(x 31y43-)12=12431231⨯-⨯yx =x 4y -9;(4)4a 32b 31-÷(32-a 31-b 31-)=(32-×4)31313132+-+b a =-6ab 0=-6a ;(5))2516(462rt s -23-=)23(4)23(2)23(6)23(2)23(452-⨯-⨯-⨯--⨯-⨯rts=6393652----rt s =36964125s r r ; (6)(-2x 41y31-)(3x21-y 32)(-4x 41y 32)=［-2×3×(-4)］x 323231412141++-+-yx=24y ;(7)(2x 21+3y41-)(2x 21-3y41-)=(2x 21)2-(3y 41-)2=4x -9y 21-;(8)4x 41 (-3x 41y31-)÷(-6x21-y32-)=3231214141643+-++-⨯-y x =2xy 31. 点评：进行有理数指数幂的运算时,要严格按法则和运算顺序,同时注意运算结果的形式,但结果不能既有分数指数又有根式,也不能既有分母又有负指数.5.（1）要使函数有意义,需3-x ∈R ,即x ∈R ,所以函数y =23-x 的定义域为R . （2）要使函数有意义,需2x +1∈R ,即x ∈R ,所以函数y =32x +1的定义域为R . (3)要使函数有意义,需5x ∈R,即x ∈R,所以函数y =(21)5x的定义域为R . (4)要使函数有意义,需x ≠0,所以函数y =0.7x1的定义域为{x |x ≠0}.点评：求函数的定义域一是分式的分母不为零,二是偶次根号的被开方数大于零,0的0次幂没有意义.6.解：设经过x 年的产量为y ,一年内的产量是a (1+100p ),两年内产量是a (1+100p )2,…,x 年内的产量是a (1+100p )x ,则y =a (1+100p )x(x ∈N *,x ≤m ). 点评：根据实际问题,归纳是关键,注意x 的取值范围.7.(1)30.8与30.7的底数都是3,它们可以看成函数y =3x ,当x =0.8和0.7时的函数值；因为3>1,所以函数y =3x 在R 上是增函数.而0.7<0.8,所以30.7<30.8.(2)0.75-0.1与0.750.1的底数都是0.75,它们可以看成函数y =0.75x ,当x =-0.1和0.1时的函数值； 因为1>0.75,所以函数y =0.75x 在R 上是减函数.而-0.1<0.1,所以0.750.1<0.75-0.1.(3)1.012.7与1.013.5的底数都是1.01,它们可以看成函数y =1.01x ,当x =2.7和3.5时的函数值； 因为1.01>1,所以函数y =1.01x 在R 上是增函数.而2.7<3.5,所以1.012.7<1.013.5. (4)0.993.3与0.994.5的底数都是0.99,它们可以看成函数y =0.99x ,当x =3.3和4.5时的函数值； 因为0.99<1,所以函数y =0.99x 在R 上是减函数.而3.3<4.5,所以0.994.5<0.993.3.8.(1)2m ,2n 可以看成函数y =2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为2>1,所以函数y =2x 在R 上是增函数.因为2m <2n ,所以m <n . (2)0.2m ,0.2n 可以看成函数y =0.2x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0.2<1, 所以函数y =0.2x 在R 上是减函数.因为0.2m <0.2n ,所以m >n . (3)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为0<a <1, 所以函数y =a x 在R 上是减函数.因为a m <a n ,所以m >n . (4)a m ,a n 可以看成函数y =a x ,当x =m 和n 时的函数值;因为a >1, 所以函数y =a x 在R 上是增函数.因为a m >a n ,所以m >n . 点评：利用指数函数的单调性是解题的关键.9.(1)死亡生物组织内碳14的剩余量P 与时间t 的函数解析式为P=(21)57301.当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量为P=(21)573057309⨯=(21)9≈0.002. 答:当时间经过九个“半衰期”后,死亡生物组织内的碳14的含量约为死亡前含量的2‰, 因此,还能用一般的放射性探测器测到碳14的存在.(2)设大约经过t 万年后,用一般的放射性探测器测不到碳14,那么(21)537010000t <0.001,解得t >5.7.答:大约经过6万年后,用一般的放射性探测器是测不到碳14的. B 组1. 当0＜a ＜1时,a 2x -7＞a 4x -12⇒x -7＜4x －1⇒x ＞－3;当a ＞1时,a 2x -7＞a 4x -1⇒2x －7＞4x －1⇒x ＜－3. 综上,当0＜a ＜1时,不等式的解集是{x |x ＞－3}；当a ＞1时,不等式的解集是{x |x ＜－3}.2.分析:像这种条件求值,一般考虑整体的思想,同时观察指数的特点,要注重完全平方公式的运用. 解：(1)设y =x 21+x21-,那么y 2=(x 21+x21-)2=x +x -1+2.由于x +x -1=3,所以y =5.(2)设y =x 2+x -2,那么y =(x +x -1)2-2.由于x +x -1=3,所以y =7.(3)设y =x 2-x -2,那么y =(x +x -1)(x -x -1),而(x -x -1)2=x 2-2+x -2=5,所以y =±35. 点评：整体代入和平方差,完全平方公式的灵活运用是解题的突破口. 3.解：已知本金为a 元.1期后的本利和为y 1=a +a ×r =a (1+r ), 2期后的本利和为y 2=a (1+r )+a (1+r )×r =a (1+r )2, 3期后的本利和为y 3=a (1+r )3, …x 期后的本利和为y =a (1+r )x .将a =1 000,r =0.022 5,x =5代入上式得y =a (1+r )x =1 000×(1+0.022 5)5=1 000×1.02255≈1118. 答:本利和y 随存期x 变化的函数关系式为y =a (1+r )x ,5期后的本利和约为1 118元. 4.解：(1)因为y 1=y 2,所以a 3x +1=a -2x .所以3x +1=-2x .所以x =51-. (2)因为y 1>y 2,所以a 3x +1>a -2x . 所以当a >1时,3x +1>-2x .所以x >51-. 当0<a <1时,3x +1<-2x .所以x <51-.2．2对数函数 练习（P64）1.（1）2log 83=； （2）2log 325=； （3）21log 12=-； （4）2711log 33=-2.（1）239=； （2）35125=； （3）2124-=； （4）41381-=3.（1）设5log 25x =，则25255x ==，所以2x =； （2）设21log 16x =，则412216x -==，所以4x =-； （3）设lg1000x =，则310100010x ==，所以3x =； （4）设lg 0.001x =，则3100.00110x -==，所以3x =-；4.（1）1； （2）0； （3）2； （4）2； （5）3； （6）5.练习（P68）1.（1）lg()lg lg lg xyz x y z =++；（2）222lg lg()lg lg lg lg lg 2lg lg xy xy z x y z x y z z =-=++=++；（3）33311lg()lg lg lg lg 3lg lg22xy x y z x y z =-=+-=+-；（4）2211lg()lg (lg lg )lg 2lg lg 22y z x y z x y z ==-+=--. 2.（1）223433333log (279)log 27log 9log 3log 3347⨯=+=+=+=；（2）22lg1002lg1002lg104lg104====；（3）5lg 0.00001lg105lg105-==-=-; （4）11ln 22e ==3. (1)22226log 6log 3log log 213-===; (2)lg5lg 2lg101+==; (3)555511log 3log log (3)log 1033+=⨯==;(4)13333351log 5log 15log log log 31153--====-. 4.(1)1; (2)1; (3)54练习（P73）1.函数3log y x =及13log y x =的图象如右图所示.相同点：图象都在y 轴的右侧，都过点(1,0) 不同点：3log y x =的图象是上升的，13log y x =的图象是下降的关系：3log y x =和13log y x =的图象是关于x 轴对称的.2. (1)(,1)-∞； (2)(0,1)(1,)+∞; （3）1(,)3-∞； （4）[1,)+∞3. (1)1010log 6log 8< (2)0.50.5log 6log 4< (3)2233log 0.5log 0.6> (4) 1.5 1.5log 1.6log 1.4>习题2.2 A 组（P74） 1. (1)3log 1x =； (2)41log 6x =; （3）4log 2x =； （4）2log 0.5x = (5) lg 25x = (6)5log 6x =2. (1)527x = (2) 87x = (3) 43x = (4)173x= (5) 100.3x = (6) 3xe =3. (1)0; (2) 2; (3) 2-; (4)2; (5) 14-; (6) 2. 4. (1)lg 6lg 2lg3a b =+=+; (2) 3lg 42lg 22log 4lg3lg3ab===; (3) 2lg122lg 2lg3lg3log 1222lg 2lg 2lg 2b a +===+=+; (4)3lg lg3lg 22b a =-=- 5. (1)x ab =; (2) mx n=; (3) 3n x m =; (4)b x =.6. 设x 年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番，则(10.073)4x+=解得 1.073log 420x =≈. 答：设20年后我国的GDP 在1999年的GDP 的基础上翻两番.7. (1)(0,)+∞; (2) 3(,1]4. 8. (1)m n <; (2) m n <; (3) m n >; (4)m n >.9. 若火箭的最大速度12000v =，那么62000ln 112000ln(1)61402M M M M e mm m m ⎛⎫+=⇒+=⇒+=⇒≈ ⎪⎝⎭答：当燃料质量约为火箭质量的402倍时，火箭的最大速度可达12km/s. 10. (1)当底数全大于1时，在1x =的右侧，底数越大的图象越在下方.所以，①对应函数lg y x =，②对应函数5log y x =，③对应函数2log y x =. (2)略. (3)与原函数关于x 轴对称. 11. (1)235lg 25lg 4lg92lg52lg 22lg3log 25log 4log 98lg 2lg3lg5lg 2lg3lg5⋅⋅=⨯⨯=⨯⨯= (2)lg lg lg log log log 1lg lg lg a b c b c a b c a a b c⋅⋅=⨯⨯= 12. (1)令2700O =，则312700log 2100v =，解得 1.5v =. 答：鲑鱼的游速为1.5米/秒. (2)令0v =，则31log 02100O=，解得100O =. 答：一条鱼静止时的耗氧量为100个单位.B 组1. 由3log 41x =得：143,43xx-==，于是11044333x x -+=+= 2. ①当1a >时，3log 14a<恒成立； ②当01a <<时，由3log 1log 4a a a <=，得34a <，所以304a <<.综上所述：实数a 的取值范围是3{04a a <<或1}a >3. (1)当1I = W/m 2时，112110lg 12010L -==；(2)当1210I -= W/m 2时，121121010lg 010L --==答：常人听觉的声强级范围为0120dB .4. (1)由10x +>，10x ->得11x -<<，∴函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- (2)根据(1)知：函数()()f x g x +的定义域为(1,1)-∴ 函数()()f x g x +的定义域关于原点对称又∵ ()()log (1)log (1)()()a a f x g x x x f x g x -+-=-++=+ ∴()()f x g x +是(1,1)-上的偶函数.5. (1)2log y x =，0.3log y x =； (2)3xy =，0.1x y =.习题2.3 A 组（P79） 1.函数y =21x是幂函数.2.解析:设幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为点（2,2）在图象上,所以2=2α.所以α=21,即幂函数的解析式为f （x ）=x 21,x ≥0.3.（1）因为流量速率v 与管道半径r 的四次方成正比,所以v =k ·r 4； （2）把r =3,v =400代入v =k ·r 4中,得k =43400＝81400,即v =81400r 4；（3）把r =5代入v =81400r 4,得v =81400×54≈3 086（cm 3/s ）, 即r =5 cm 时,该气体的流量速率为3 086 cm 3/s .第二章 复习参考题A 组（P82）1.（1）11； （2）87； （3）10001； （4）259. 2.（1）原式=))(()()(212121212212122121b a b a b a b a -+++-=b a b b a a b b a a -++++-2121212122=ba b a -+)(2;（2）原式=))(()(1121----+-a a a a a a =aa a a 11+-=1122+-a a .3.（1）因为lg 2=a ,lg 3=b ,log 125=12lg 5lg =32lg 210lg2•=3lg 2lg 22lg 1+-,所以log 125=ba a +-21. （2）因为2log 3a =，3log 7b =37147log 27log 56log 27⨯=⨯=2log 112log 377++=7log 2log 11)7log 2(log 33333÷++÷=b ab a ÷++÷111)1(3=13++ab ab . 4.（1）（-∞,21）∪（21,+∞）;（2）［0,+∞）.5.（32,1）∪（1,+∞）;（2）（-∞,2）;（3）（-∞,1）∪（1,+∞）.6.（1）因为log 67>log 66=1,所以log 67>1.又因为log 76<log 77=1,所以log 76<1.所以log 67>log 76. （2）因为log 3π>log 33=1,所以log 3π>1.又因为log 20.8<0,所以log 3π>log 20.8.7.证明：（1）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）·f （y ）=3x ×3y =3x +y .又因为f （x +y ）=3x +y ,所以f （x ）·f （y ）=f （x +y ）.（2）因为f （x ）=3x ,所以f （x ）÷f （y ）=3x ÷3y =3x -y . 又因为f （x -y ）=3x -y ,所以f （x ）÷f （y ）=f （x -y ）.8.证明:因为f （x ）=lgxx+-11,a 、b ∈（-1,1）, 所以f （a ）+f （b ）=lgbb a a +-++-11lg11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--, f （ab b a ++1）=lg （abb a ab ba +++++-1111）=lg b a ab b a ab +++--+11=lg )1)(1()1)(1(b a b a ++--. 所以f （a ）+f （b ）=f （abba ++1）. 9.（1）设保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式为y =k ·a x （a >0,且a ≠1）.因为点（0,192）、（22,42）在函数图象上,所以022192,42,k a k a ⎧=⋅⎪⎨=⋅⎪⎩解得⎪⎩⎪⎨⎧≈==.93.0327,19222a k 所以y =192×0.93x ,即所求函数解析式为y =192×0.93x . （2）当x =30 ℃时,y ≈22（小时）；当x =16 ℃时,y ≈60（小时）,即温度在30 ℃和16 ℃的保鲜时间约为22小时和60小时. （3）图象如图：图2-210.解析：设所求幂函数的解析式为f （x ）=x α,因为f （x ）的图象过点（2,22）, 所以22=2α,即221-=2α.所以α=21-.所以f （x ）=x 21-（x >0）.图略,f (x )为非奇非偶函数；同时它在（0,+∞）上是减函数.B 组1.A2.因为2a =5b =10,所以a =log 210,b =log 510,所以a 1+b 1=10log 12+10log 15=lg 2+lg 5=lg 10=1. 3.（1）f （x ）=a 122+-x 在x ∈（-∞,+∞）上是增函数. 证明：任取x 1,x 2∈（-∞,+∞）,且x 1<x 2.f （x 1）-f （x 2）=a 122+-x -a +1222+x =1222+x -1221+x =)12)(12()22(21221++-x x x x .因为x 1,x 2∈（-∞,+∞）,所以.012.01212>+>+x x 又因为x 1<x 2, 所以2122x x <即2122x x <<0.所以f （x 1）-f （x 2）<0,即f （x 1）<f （x 2）.所以函数f （x ）=a 122+-x 在（-∞,+∞）上是增函数. （2）假设存在实数a 使f （x ）为奇函数,则f （-x ）+f （x ）=0,即a 121+--x +a 122+-x =0⇒a =121+-x +121+x =122+x +121+x=1, 即存在实数a =1使f （x ）=121+--x 为奇函数.4.证明:（1）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以［g （x ）］2-［f （x ）］2=［g （x ）+f （x ）］［g （x ）-f （x ）］=)22)(22(xx x x x x x x e e e e e e e e -----++++ =e x ·e -x =e x -x =e 0=1, 即原式得证.（2）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以f （2x ）=222x x e e -+,2f （x ）·g （x ）=2·2x x e e --·2x x e e -+=222xx e e --.所以f （2x ）=2f （x ）·g （x ）.（3）因为f （x ）=2x x e e --,g （x ）=2xx e e -+,所以g （2x ）=222x x e e -+,［g （x ）］2+［f （x ）］2=（2x x ee -+）2+（2xx e e --）2=4222222x x x x e e e e --+-+++=222xx e e -+.所以g （2x ）=［f （x ）］2+［g （x ）］2.5.由题意可知,θ1=62,θ0=15,当t =1时,θ=52,于是52=15+(62-15)e -k ,解得k ≈0.24,那么θ=15+47e -0.24t . 所以,当θ=42时,t ≈2.3;当θ=32时,t ≈4.2.答:开始冷却2.3和4.2小时后,物体的温度分别为42 ℃和32 ℃.物体不会冷却到12 ℃. 6.(1)由P=P 0e -k t 可知,当t =0时,P=P 0;当t =5时,P=(1-10%）P 0.于是有(1-10%)P 0=P 0e -5k ,解得k =51-ln 0.9,那么P=P 0e t )9.0ln 51(.所以,当t =10时,P=P 0e 9.01051n I ⨯⨯=P 0e ln 0.81=81%P 0.答:10小时后还剩81%的污染物. (2)当P=50%P 0时,有50%P 0=P 0et )9.0ln 51(,解得t =9.0ln 515.0ln ≈33.答:污染减少50%需要花大约33h . (3)其图象大致如下:图2-3新课程标准数学必修1第三章课后习题解答第三章 函数的应用 3．1函数与方程 练习（P88）1.(1)令f (x )=-x 2+3x +5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(1))，它与x 轴有两个交点，所以方程-x 2+3x +5=0有两个不相等的实数根.(2)2x (x -2)=-3可化为2x 2-4x +3=0，令f (x )=2x 2-4x +3,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(2))，它与x 轴没有交点，所以方程2x (x -2)=-3无实数根. (3)x 2=4x -4可化为x 2-4x +4=0,令f (x )=x 2-4x +4,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(3))， 它与x 轴只有一个交点(相切)，所以方程x 2=4x -4有两个相等的实数根. (4)5x 2+2x =3x 2+5可化为2x 2+2x -5=0,令f (x )=2x 2+2x -5,作出函数f (x )的图象(图3-1-2-7(4))， 它与x 轴有两个交点，所以方程5x 2+2x =3x 2+5有两个不相等的实数根.图3-1-2-72.(1)作出函数图象(图3-1-2-8(1)),因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有一个零点.又因为f(x)是(-∞,+∞)上的减函数，所以f(x)=-x3-3x+5在区间(1,1.5)上有且只有一个零点.(2)作出函数图象(图3-1-2-8(2)),因为f(3)<0,f(4)>0,所以f(x)=2x·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有一个零点.又因为f(x)=2x·ln(x-2)-3在(2,+∞)上是增函数,所以f(x)在(3,4)上有且仅有一个零点. (3)作出函数图象(图3-1-2-8(3)),因为f(0)<0,f(1)>0,所以f(x)=e x-1+4x-4在区间(0,1)上有一个零点.又因为f(x)=e x-1+4x-4在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点.(4)作出函数图象(图3-1-2-8(4)),因为f(-4)<0,f(-3)>0,f(-2)<0,f(2)<0,f(3)>0,所以f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x在(-4,-3),(-3,-2),(2,3)上各有一个零点.图3-1-2-8练习（P91）1.由题设可知f(0)=-1.4<0,f(1)=1.6>0,于是f(0)·f(1)<0,所以函数f(x)在区间(0，1)内有一个零点x0.下面用二分法求函数f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4在区间(0，1)内的零点.取区间(0，1)的中点x1=0.5,用计算器可算得f(0.5)=-0.55.因为f(0.5)·f(1)<0,所以x0∈(0.5,1).再取区间(0.5，1)的中点x2=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.32.因为f(0.5)·f(0.75)<0,所以x0∈(0.5,0.75).同理,可得x0∈(0.625,0.75)，x0∈(0.625,0.687 5)，x0∈(0.656 25,0.687 5).由于|0.687 5-0.656 25|=0.031 25<0.1,所以原方程的近似解可取为0.656 25.2.原方程可化为x+lgx-3=0,令f(x)=x+lgx-3,用计算器可算得f(2)≈-0.70,f(3)≈0.48.于是f(2)·f(3)<0,所以这个方程在区间(2,3)内有一个解x0.下面用二分法求方程x=3-lgx在区间(2,3)的近似解.取区间(2,3)的中点x1=2.5,用计算器可算得f(2.5)≈-0.10.因为f(2.5)·f(3)<0,所以x0∈(2.5,3).再取区间(2.5,3)的中点x2=2.75,用计算器可算得f(2.75)≈0.19.因为f(2.5)·f(2.75)<0,所以x0∈(2.5,2.75).同理,可得x0∈(2.5,2.625),x0∈(2.562 5,2.625),x0∈(2.562 5,2.593 75),x0∈(2.578 125,2.593 75),x0∈(2.585 937 5,2.59 375).由于|2.585 937 5-2.593 75|=0.007 812 5<0.01,所以原方程的近似解可取为2.593 75.习题3.1 A组（P92）1.A,C 点评：需了解二分法求函数的近似零点的条件.2.由x,f(x)的对应值表可得f(2)·f(3)<0,f(3)·f(4)<0,f(4)·f(5)<0,又根据“如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.”可知函数f(x)分别在区间(2，3)，(3，4)，(4，5)内有零点.3.原方程即(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,令f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,可算得f(-1)=-1,f(0)=5.于是f(-1)·f(0)<0,所以这个方程在区间(-1,0)内有一个解.下面用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1在区间(-1，0)内的近似解.取区间(-1，0)的中点x1=-0.5,用计算器可算得f(-0.5)=3.375.因为f(-1)·f(-0.5)<0,所以x0∈(-1,-0.5).再取(-1，-0.5)的中点x2=-0.75,用计算器可算得f(-0.75)≈1.58.因为f(-1)·f(-0.75)<0,所以x0∈(-1,-0.75).同理,可得x0∈(-1,-0.875)，x0∈(-0.937 5,-0.875).由于|(-0.875)-(-0.937 5)|=0.062 5<0.1,所以原方程的近似解可取为-0.937 5.4.原方程即0.8x-1-lnx=0,令f(x)=0.8x-1-lnx,f(0)没有意义，用计算器算得f(0.5)≈0.59,f(1)=-0.2.于是f(0.5)·f(1)<0,所以这个方程在区间(0.5,1)内有一个解.下面用二分法求方程0.8x-1=lnx在区间(0，1)内的近似解.取区间(0.5，1)的中点x1=0.75,用计算器可算得f(0.75)≈0.13.因为f(0.75)·f(1)<0,所以x0∈(0.75,1).再取(0.75,1)的中点x2=0.875,用计算器可算得f(0.875)≈-0.04.。

『高中数学』教学课件‖课时训练‖讲义测试‖A 级：“四基”巩固训练一、选择题1．在对数式log (x －1)(3－x )中，实数x 的取值范围应该是( ) A ．1<x <3 B ．x >1且x ≠2 C ．x >3 D ．1<x <3且x ≠2答案 D解析 要使对数式log (x －1)(3－x )有意义，需⎩⎨⎧3－x ＞0，x －1＞0，x －1≠1，解得1＜x ＜3且x ≠2.2．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)答案 C解析 由题意，得⎩⎨⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.3．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38 答案 B解析 ∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，∴⎩⎨⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＝log 218＝－3.故选B.4．某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y (只)与引入时间x (年)的关系为y ＝a log 2(x ＋1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到( )A ．300只B ．400只C ．600只D ．700只 答案 A解析 将x ＝1，y ＝100代入y ＝a log 2(x ＋1)得， 100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100， 所以x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300.5．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，54 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫54，＋∞答案 B解析 由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立． k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎨⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，54，故选B.二、填空题 6．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________． 答案 {x |x ＜4且x ≠3}解析 由题意，得⎩⎨⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．7．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)，若f (α)＝1，则α＝________. 答案 1解析 依题意知log 2(α＋1)＝1，则α＋1＝2，故α＝1. 8．集合A ＝{1，log 2x }中的实数x 的取值范围为________． 答案 (0,2)∪(2，＋∞) 解析 ∵集合A ＝{1，log 2x }，∴⎩⎨⎧log 2x ≠1，x ＞0，解得x ∈(0,2)∪(2，＋∞)． 三、解答题9．我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬．研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2O10(单位：m/s)，其中O 表示燕子的耗氧量．。

1.1 集合的概念一、单选题1．下列关系正确的是（ ）A ．{}10,1∉B ．{}10,1⊆C ．{}10,1∈D ．{}{}10,1∈答案：C解析：利用元素与集合的关系逐项判断后可得正确的选项.详解：对于A ，{}10,1∈，故A 错.对于B ，{}10,1∈，故B 错.对于C ，因为1为集合中的元素，故C 正确.对于D ，{}1不是{}0,1中的元素，故D 错.故选：C.2．已知集合22{(,)|}A x y x y x Z y Z =+≤∈∈4，，，则A 中元素的个数为（）A ．15B ．14C ．13D ．12答案：C解析：根据列举法，确定圆及其内部整点个数即可得出结果.详解：224x y +≤24x ∴≤，x Z ∈2,1,0,1,2x ∴=--，当2x =-时，0y =；当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，2,1,0,1,2y =--当1x =时，1,0,1y =-；当2x =时，0y =；所以共有13个，故选：C.3．集合x∈N*|x–3<1}用列举法可表示为A ．0，1，2，3}B ．0，1，2，3，4}C ．1，2，3}D ．1，2，3，4}答案：C 解析：解不等式求得x 的范围，再用列举法求得对应的集合.详解：由31x -<解得4x <，由于x N *∈，所以1,2,3x =，故集合为{}1,2,3，故选C.点睛：本小题主要考查一元一次不等式的解法，考查列举法表示集合，属于基础题.4．若{}212,x x ∈+，则实数x 的值为 A ．1-B ．1C ．1或1-D ．1或3答案：B 解析：分类讨论21x +=或21x =，求出x ，检验即可.详解：因为{}212,x x ∈+，所以21x +=或21x =，所以1x =或1x =-， 当1x =-时，22x x +=，不符合题意，所以1x =-舍去；故以1x =，选B点睛：本题主要考查元素与集合之间的关系，注意集合中元素的互异性，属于基础题型.5．下列各项中，能组成集合的是（ ）A ．高一（3）班的好学生B ．嘉兴市所有的老人C ．不等于0的实数D ．我国著名的数学家答案：C解析：根据集合中的元素具有确定性可得选项.详解：∵对于A 、B 、D 选项中“高一（3）班的好学生”、“嘉兴市所有的老人”、“我国著名的数学家”标准不明确，即元素不确定．∴A、B 、D 选项不能构成集合．故选:C ．点睛：本题考查集合的元素的特征之一：确定性，属于基础题.6．下列写法正确的是（ ）A ．∅ {}0B ．0 ∅C ．{}0∅∈D ．0∈∅答案：A解析：根据空集定义、空集为任意非空集合真子集、元素与集合关系、集合与集合之间的关系的表示方法依次判断各个选项即可得到结果.详解：空集是任意非空集合的真子集，故∅ {}0，A 正确；元素与集合关系不能用“包含”符号，B 错误；集合与集合关系不能用“属于”符号，C 错误；空集中不含有任何元素，故0∉∅，D 错误.故选：A点睛：本题考查集合中元素与集合、集合与集合之间的关系的辨析，属于基础题.7．已知集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，则A B =（ ）A ．[]1,1-B ．[]22-,C ．{0,2}D ．{2,0,2}-答案：D解析：根据集合的交集的概念及运算，即可求得A B ，得到答案.详解：由题意，集合{|2,},{|22}A x x k k Z B x x ==∈=-≤≤，根据集合的交集的概念及运算，可得{2,0,2}A B =-.故选：D.点睛：本题主要考查了集合的表示方法，以及集合交集的概念及运算，属于基础题.8．以下说法中正确的个数是①0与{}0表示同一个集合；②集合{}3,4M =与(){}3,4N =表示同一个集合； ③集合{}45x x <<不能用列举法表示．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B 解析：①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，可判定不正确；②中，根据集合表示的意义，可判定是不正确的；③中，集合{}45x x <<是一个无限数集，可判定是正确的，即可求解.详解：由题意，可得①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，所以不正确；对于②中，根据集合的表示方法，可得{}3,4M =表示数集，(){}3,4N =表示点集,所以不正确； 对于③中，集合{}45x x <<是一个无限数集且无规律，不能用列举法表示，所以是正确的. 故选B.点睛：本题主要考查了集合的概念，以及集合的表示方法，其中熟记集合的概念，以及集合的表示方法是解答的关键.9．设集合{1A =，2，3，4}，{3B =，4，5，6，7}，集合{|M x x B =∈且}x A ∉，则M =（ ）A ．{}1,2B ．{}3,4C ．{5，6，7}D ．{3，4，5，6，7}答案：C解析：直接利用已知{|M x x B =∈且}x A ∉，依次验证元素，即可得到答案．详解：解：因为集合{|M x x B =∈且}x A ∉，所以M 中的元素在B 集合中，但是该元素不在A 集合中，因为{3B =，4，5，6，7}，依次检验元素，可得元素5，6，7满足题意，所以{5,6,7}M =．故选：C ．点睛：本题主要考查元素与集合的关系，考查集合的新定义与运算，考查学生推理能力，属于基础题．10．把集合{}2450x x x --=用列举法表示为（ ） A ．{}1,5x x =-= B ．{}15x x x =-=或C ．{}245=0x x --D ．{}1,5-答案：D解析：先解方程，再用列举法表示.详解：24501x x x --=∴=-或5x = 所以{}2450x x x --=={}1,5-故选：D点睛：本题考查列举法，考查基本求解能力，属基础题.二、填空题1．已知非空集合{}|1A x ax ==，则a 的取值范围是____________．答案：0a ≠详解：略2．（上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模））已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是_________．答案：2解析：由题，若32,m -= 则1,m = 此时B 集合不符合元素互异性，故1;m ≠若31,2,m m -==则符合题意；若33,0,m m -==则不符合题意.故答案为23．方程组26x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为__________.答案：(){}4,2-解析：先求出方程组的解，根据列举法，可直接得出结果.详解：由26x y x y +=⎧⎨-=⎩解得42x y =⎧⎨=-⎩， 则方程组26x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为(){}4,2-. 故答案为：(){}4,2-.点睛：本题主要考查列举法表示集合，属于基础题型.4．设集合{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9，则实数a 的值为______．答案：3-解析：先通过已知可得219a -=或29a =，解方程求出a ，然后带入集合验证，满足互异性即可.详解：∵{}24,21,A a a =--，{}9,5,1B a a =--，且A ，B 中有唯一的公共元素9， ∴219a -=或29a =．当219a -=时，5a =，此时{}4,9,25A =-，{}9,0,4B =-，A ，B 中还有公共元素4-，不符合题意；当29a =时，3a =±，若3a =，{}9,2,2B =--，集合B 违背互异性．若3,{4,7,9},{9,8,4},{9}a A B A B =-=--=-=，∴3a =-．故答案为：3-．点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合中元素的互异性，是基础题.5．用列举法表示集合{}220,x x x x R -=∈为__________________.答案：{}0,2解析：解出集合中的方程，然后用列举法表示出来.详解： 解：{}{}220,0,2x x x x R -=∈=，故答案为{}0,2.点睛：本题考查集合的表示，列举法，是基础题.三、解答题1．用适当的方法表示下列集合：（1）已知集合P ＝x|x ＝2n ，0≤n≤2且n∈N}；（2）抛物线y ＝x 2－2x 与x 轴的公共点的集合；（3）直线y ＝x 上去掉原点的点的集合.答案：答案见解析解析：（1）用列举法即可求得集合的元素；（2）直接用描述法表示公共点的集合；（3）用描述法即可表示.详解：（1）因为02,n n N ≤≤∈，则0,2,4x =，故用列举法表示为：P ＝0，2，4}.（2）直接用描述法表示为：()22{,|}0y x x x y y ⎧=-⎨=⎩. （3）描述法：(x ，y)|y ＝x ，x≠0}.点睛：本题考查集合的表示方法，选择适当的方法即可，属简单题.2．已知集合{|1A x x =≤-或}5x ≥，{}22B x a x a =≤≤+.（1）若1a =-，求A B 和A B ；（2）若A B B =，求实数a 的取值范围.答案：（1）{}21x x -≤≤-，{|1x x ≤或}5x ≥；（2）(](),32,-∞-⋃+∞.解析：（1）先求出集合B ，再求A B 和A B 得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分两种情况讨论得解.详解：（1）若1a =-，则{}21B x x =-≤≤，{}21A B x x ∴⋂=-≤≤-，{|1A B x x ⋃=≤或}5x ≥.（2）A B B =，B A ∴⊆.①若B =∅，则22a a >+，2a ∴>；②若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩或2,25,a a ⎧⎨≥⎩3a ∴≤-. 综上，实数a 的取值范围为(](),32,-∞-⋃+∞.点睛：本题主要考查集合的交集、补集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3．已知(){}2210,,A x x p x x R A R +=+++=∈⋂=∅，求实数p 的取值范围.答案：()4,-+∞详解：：因为A R +⋂=∅，所以集合A 分两种情况：（1）A 为空集，即方程()2210x p x +++=无解，()2240p ∆=+-<，解得40p -<<；（2）A 非空，即方程()2210x p x +++=有两负根，()21212402010p p x x p x x ⎧∆=+≥⎪+=-+<⎨⎪⋅=>⎩，解得042p p p ≥≥-⎧⎨>-⎩或，即0p ≥， 综上，实数p 的取值范围是()4,-+∞.4．设A 为实数集，且满足条件：若a∈A，则11a-∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A 中必还有另外两个元素；(2)集合A 不可能是单元素集．答案：（1）见解析； （2）见解析.解析：(1) 由2∈A 得到－1∈A.由－1∈A 得到12∈A.由12∈A 得到2∈A.即得证.(2)假设a ＝11a -，则a 2－a ＋1＝0，方程无解，所以集合A 不可能是单元素集． 详解：(1)若a∈A，则11a -∈A. 又∵2∈A，∴112-＝－1∈A. ∵－1∈A，∴()111--＝12∈A.∵12∈A，∴1112-＝2∈A. ∴A 中另外两个元素为－1，12.(2)若A 为单元素集，则a ＝11a -， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11a-，∴集合A 不可能是单元素集． 点睛：本题主要考查元素与集合的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.5．用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y ＝3x 2+1图象上所有点组成的集合.答案：（1）1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）1,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（3）（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}. 解析：（1）利用列举法求解即可；（2）先解出方程的解，然后利用列举法；（3）利用描述法即可详解：解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：21020x y +=⎧⎨-=⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 因此该方程的解集为（﹣12，2）}.（3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.。

1.1 集合的概念1．已知集合2{|30}A x x x a =-+=，若4A ∈，求集合A ．2．用另一种方法表示下列集合： （1）（x ，y ）|2x+3y=12，x ，y∈N}； （2）0，1，4，9，16，25，36，49}； （3）平面直角坐标系中第二象限内的点}．3．已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =，若A B =，求实数a ，b 的值.4．若a ，b R ∈，集合{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭． 求：(1)a b +; (2)20222019a b +．5．已知1∈x|x 2+px ﹣3＝0}，求p 的值与集合中的所有元素.6．已知全集{}4U x x =≤，集合{}23A x x =-<<，{}32B x x =-≤≤，求 （1）()U A B （2）()UA B .7．设A 为实数集，且满足条件：若a∈A，则11a-∈A(a≠1)． 求证：(1)若2∈A，则A 中必还有另外两个元素； (2)集合A 不可能是单元素集．8．已知集合{}2|2A x x -=≤≤，集合{}|1B x x =>. （1）求()R C B A ⋂；（2）设集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=，求实数a 的取值范围.9．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程2x x =的所有实数根组成的集合； （3）由1～20以内的所有质数组成的集合.10．已知不等式2520ax x +->的解集是M ． （1）若2M ∈且3M ∉，求a 的取值范围；（2）若1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，求不等式22510ax x a -+->的解集．11．设[]x 表示不超过x 的最大整数，用21100⎡⎤⎢⎥⎣⎦，22100⎡⎤⎢⎥⎣⎦，23100⎡⎤⎢⎥⎣⎦，…，2100100⎡⎤⎢⎥⎣⎦组成集合A 的元素，求集合A 中的元素的个数．12．用列举法表示下列集合：（1）小于10的所有自然数组成的集合；（2）方程2x x =的所有实数根组成的集合； （3）由1～20以内的所有素数组成的集合；（4）方程240x -=的所有实数根组成的集合；13．集合A ＝x|kx 2－8x ＋16＝0}，集合A 中至少有一个元素，求实数k 的取值集合．14．设非空集合{}2|(2)10,A x x b x b b R =++++=∈，求集合A 中所有元素的和．15．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个正整数，其和组成的集合为{44,45,46,47}，求这五个数.16．在平面直角坐标系中，集合{(,)|}C x y y x ==表示直线y x =，从这个角度看，集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示什么？集合C ，D 之间有什么关系？17．已知全集{}2{1,2,3,4},1,2,,{1,4}U A x B ===.(1)求U B(2)若A B B =，求x 的值.18．试用集合表示图中阴影部分（含边界）的点.19．已知集合{}123,,,,n A a a a a =⋅⋅⋅，其中1a R ∈，1i n ≤≤，2n >，()l A 表示i j a a +()1i j n ≤<≤中所有不同值的个数.（1）设集合{}1,2,3,4P =，{}1,3,9,27Q =，分别求()l P ，()l Q ； （2）若集合{}1,3,9,,3nA =⋅⋅⋅()1,n n N >∈，证：()()12n n l A -=；（3）()l A 是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由.20．已知25{|50}x x ax -∈--=，用列举法表示集合2{|40}x x x a --=．参考答案1．{4,1}A =-解析：将4x =代入230x x a -+=可求得a ；解一元二次方程即可求得集合A . 详解：由4A ∈得：16120a -+=，解得：4a =-{}()(){}{}23404101,4A x x x x x x ∴=--==-+==-点睛：本题考查根据元素与集合的关系求解参数值、列举法表示集合，属于基础题.2．（1）（3，2），（6，0），（0,4）} （2）x|x=n 2，n∈N，0≤n≤7} （3）（x ，y ）|x ＜0，y ＞0}．解析：（1）直接利用集合的列举法，写出结果即可． （2）直接利用集合的描述法，写出结果即可 （3）根据第二象限的坐标范围，写出结果即可 详解：（1）（x ，y ）|2x+3y=12，x ，y∈N}=（3，2），（6，0），（0,4）}； （2）0，1，4，9，16，25，36，49}=x|x=n 2，n∈N，0≤n≤7}； （3）平面直角坐标系中第二象限内的点}=（x ，y ）|x ＜0，y ＞0}． 点睛：本题考查集合的表示方法，基本知识的应用．3．01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.解析：利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a ，b 的值． 详解：解：由已知A B =，得22a ab b =⎧⎨=⎩（1）或22a b b a ⎧=⎨=⎩.（2） 解（1）得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩，解（2）得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又由集合中元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 点睛：本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性.4．(1) 0; (2) 2;解析：(1)根据{}1,,0,,b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭可得出0a b +=,(2)由(1)得=-a b ，即1ba=-,根据元素的互异性可得1a =-, 1b =,代入20222019a b +计算即可. 详解：(1)根据元素的互异性，得0a b +=或0a =，若0a =，则ba无意义，故0a b +=; (2) 由(1)得=-a b ，即1ba =-，据元素的互异性可得：1b a a==-，1b =， ∴()2022202220192019112a b +=-+=.点睛：本题考查集合中元素的互异性，属于基础题.5．p ＝2；集合中的所有元素为：﹣3，1.解析：由于1是集合中的元素，所以把1代入方程中求出p 的值，再解方程可求出集合中的元素即可 详解：解：∵x＝1是集合x|x 2+px ﹣3＝0}中的元素， ∴当x ＝1时，x 2+px ﹣3＝0，故p ＝2；当p ＝2时，集合x|x 2+px ﹣3＝0}＝x|x 2+2x ﹣3＝0}＝﹣3，1}. 综上所述，p ＝2，集合中的所有元素为：﹣3，1.6．（1）{|2x x ≤或}34x ≤≤；（2）{|3x x <-或34}x ≤≤.解析：根据集合交集和补集，并集的定义分别进行计算即可． 详解： （1）{|2UA x x =≤-或}34x ≤≤，{()|2U A B x x ⋃=≤或}34x ≤≤，． （2）{|33}A B x x =-<(){|3UAB x x =<-或34}x ．7．（1）见解析； （2）见解析.解析：(1) 由2∈A 得到－1∈A.由－1∈A 得到12∈A.由12∈A 得到2∈A.即得证.(2)假设a ＝11a-，则a 2－a ＋1＝0，方程无解，所以集合A 不可能是单元素集． 详解： (1)若a∈A，则11a-∈A. 又∵2∈A，∴112-＝－1∈A. ∵－1∈A，∴()111--＝12∈A.∵12∈A，∴1112-＝2∈A. ∴A 中另外两个元素为－1，12. (2)若A 为单元素集，则a ＝11a-， 即a 2－a ＋1＝0，方程无解． ∴a≠11a-，∴集合A 不可能是单元素集． 点睛：本题主要考查元素与集合的关系，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.8．（1）(){|21}R C B A x x ⋂=-≤≤（2）{}|42a a -<<- 解析：（1）根据集合的补集和并集的定义计算即可 （2）根据并集的定义得出关于a 的不等式组，求出解集即可 详解：（1）集合{}1B x x =.则{}|1R C B x x =≤ 集合{}|22A x x =-≤≤， 则(){}|21R C B A x x ⋂=-≤≤(2)集合{}|6M x a x a =<<+，且A M M ⋃=622a a +>⎧∴⎨<-⎩,解得42a -<<-故实数a 的取值范围为{}|42a a -<<- 点睛：本题主要考查了交集、并集、补集的运算，在解答时需要将并集转化为子集问题来求解．9．（1）}01234569{78A =，，，，，，，，，；（2）}1{0A =，；（3）}23571119{1317B ＝，，，，，，，. 解析：（1）根据自然数的定义写出小于10的所有自然数组成的集合； （2）解方程2x x =得到其所有实数根，从而得到其集合； （3）可用枚举法列出1～20以内的所有质数，进而求得集合. 详解：解：（1）根据自然数的定义可以容易写出来，此为概念题应注意给集合一个名字，有大写英文字母表示即可.设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么}01234569{78A ＝，，，，，，，，，. （2）方程2x x =的解为0，1.这两个解都属于实数.设方程2x x =的所有实数根组成的集合为A ，那么}1{0A ＝，. （3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为B ，那么235711131719.{}B ＝，，，，，，， 点睛：本题主要考查集合的概念.规律方法对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复.10．（1）132,.9a ⎛⎤∈--⎥⎝⎦（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 解析：（1）根据2M ∈且3M ∉知道2x = 满足不等式，3x =不满足不等式，解出即可得出答案．（2）根据1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭知道1,22是方程2520ax x +-=的两个根，利用韦达定理求出a 值，再带入不等式，解出不等式即可． 详解：（1）23M M ∈⎧⎨∉⎩4809130a a +>⎧⇒⎨+≤⎩2139a a >-⎧⎪⇒⎨≤-⎪⎩1329a ⇒-<≤-132,.9a ⎛⎤⇒∈-- ⎥⎝⎦（2）∵1|22M x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，∴1,22是方程2520ax x +-=的两个根， ∴由韦达定理得15221222aa ⎧+=-⎪⎪⎨⎪⋅=-⎪⎩解得2a =-∴不等式22510ax x a -+->即为：22530x x --+>其解集为1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭．点睛：本题考查元素与集合的关系、一元二次不等式与一元二次等式的关系，属于基础题． 11．76 解析：取1,2,3,,49=x ，分别计算2100⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 的值，再考虑当50x ≥时2100⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 的取值情况，从而可得集合A 中的元素的个数. 详解： 设*x ∈N ，当19x ≤≤时，201100<<x ，此时20100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ， 当1014x ≤≤时，212100≤<x ，此时21100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ， 当1517≤≤x 时，223100<<x ，此时22100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ， 当1819x ≤≤时，234100<<x ，此时23100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ， 当2022x ≤≤时，245100≤<x ，此时24100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ， 当2324≤≤x 时，25 5.76100<≤x ，此时25100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ， 当2526≤≤x 时，26.25 6.76100≤≤x ，此时26100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ，当2728≤≤x时，27.297.84100≤≤x，此时27100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当29x=时，28.41100=x，此时28100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当3031≤≤x时，299.61100≤≤x，此时29100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当3233≤≤x时，21010.89100<≤x，此时210100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当34x=时，211.56100=x，此时211100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当3536≤≤x时，212.2512.96100≤≤x，此时212100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当37x=时，213.96100=x，此时213100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当38x=时，214.44100=x，此时214100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当39x=时，215.21100=x，此时215100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当4041≤≤x时，21616.81100≤≤x，此时216100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当42x=时，217.64100=x，此时217100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当43x=时，218.49100=x，此时218100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当44x=时，219.36100=x，此时219100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当45x=时，220.25100=x，此时220100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当46x=时，221.16100=x，此时221100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当47x=时，222.09100=x，此时222100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当48x=时，223.04100=x，此时223100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当49x=时，224.01100=x，此时224100⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x，当50x ≥时，225100≥x ，且()221211100100100++-=>x x x ， 故当50x ≥时，2100⎡⎤⎢⎥⎣⎦x 均大于或等于25，且两两相异，故集合A 中的元素的个数为2510050176+-+=. 点睛：本题考查集合中元素的个数，注意根据前后项差的关系来合理分类讨论，本题计算较为繁琐，为较难题.12．（1）{}0123456789，，，，，，，，，；（2）{}01，；（3）{}235711131719，，，，，，，；（4）{}22-，. 解析：根据各小题中的对集合的元素的描述，确定集合的元素，然后写在大括号内，便得到其列举法表示. 详解：（1）小于10的所有自然数为0123456789，，，，，，，，，，用列举法表示它们构成的集合为{}0123456789，，，，，，，，，； （2）由2x x =解得0x =或1x =,所以方程2x x =的所有实数根为0和1，用列举法表示所有实数根组成的集合为{}0,1；（3）1～20以内的所有素数为235711131719，，，，，，，，用列举法表示它们组成的集合为{}235711131719，，，，，，，； （4）方程240x -=的所有实数根为-2，2，用列举法表示它们组成的集合为{}22-，.13．k|k≤1}解析：根据集合中元素的个数运用分类讨论法求解参数的取值范围即可. 详解：由题意可知，方程kx 2－8x ＋16＝0至少有一个实数根． ①当k ＝0时，由－8x ＋16＝0得x ＝2，符合题意；②当k≠0时，要使方程kx 2－8x ＋16＝0至少有一个实数根，则Δ＝64－64k≥0，即k≤1. 综合①②可知，实数k 的取值集合为k|k≤1}．14．答案见解析解析：分一元二次方程有相等实根与两个不相等实根讨论，当有相等实根时，直接求解，当有不相等实根时由根与系数关系求解. 详解：当0b =时，解得121x x ==-，{1}A =-，所以A 中所有元素之和为1-，当0b ≠时，22(2)4(1)0b b b ∆=+-+=>， 方程2(2)10x b x b ++++=有两个不等的实根， 由根与系数的关系知12(2)x x b +=-+， 即A 中所有元素之和为2b --， 点睛：本题主要考查了一元二次方程的根，分类讨论的思想，集合的描述法，属于中档题.15．10，11，11，12，13.解析：由题意知五个元素中有相同的，且其和为4的倍数推出相等和数为46，从而求出和总和为57，总数减去四个整数的和即为第5个数的值. 详解：五个数任取四个可以得到五个和值，故必有两个和值相等.而这五个和值之和为()123454x x x x x ++++，是4的倍数.又44454647182+++=，所以这个相等的和值只可能是46，从而123454445464746574x x x x x ++++++++==，则这五个数分别为574413,574512,574611,574710,574611-=-=-=-=-=，即10，11，11，12，13.点睛：本题考查对正整数求和的特征掌握及数学转化的思想应用，属于中档题. 16．D C解析：集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系.详解：集合21(,)|45x y D x y x y ⎧-=⎧⎫=⎨⎨⎬+=⎩⎭⎩表示直线21x y -=与直线45x y +=交点的集合，即{(1,1)}D =. D C 点睛：本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握.17．(1){2,3}；(2)2±.解析：（1）根据补集的定义，即可求解；（2）A B B =，可得B A ⊆，由子集定义，即可得出结论. 详解：（1）∵{1,2,3,4}U =，{1,4}B =∴{2,3}U B =； (2)若A B B =，则B A ⊆，∵{}21,2,A x =，{1,4}B =，∴24x =，即2x =±.点睛：本题考查集合的运算，考查由集合的关系求参数，属于基础题.18．(),13,03}{|x y x y -≤≤≤≤解析：直接用集合的描述法将点集表示出来. 详解：由题意可得13,03x y -≤≤≤≤，所以图中阴影部分（含边界）的点组成的集合为(),13,03}{|x y x y -≤≤≤≤. 点睛：本题考查了用描述法表示点集，属于基础题.19．（1）()5l P =，()6l Q =；（2）证明见解析；（3）存在，23n -. 解析：（1）直接利用定义把集合P ，Q 中的值代入，即可求出()l P 和()l Q ； （2）先由(1)i j a a i j n +< 最多有2(1)2n n n C -=个值，可得(1)()2n n l A -，再利用定义推得所有(1)i j a a i j n +< 的值两两不同，即可证明结论；（3）()l A 存在最小值，设12n a a a <<⋯<，则1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<⋯<+<+<⋯<+，由此可得到()l A 的最小值23n -． 详解：解：（1）根据题中的定义可知：由123+=，134+=，145+=，235+=，246+=，347+=，得()5l P =；由134+=，1910+=，12728+=，2912+=，32730+=，92736+=，得()6l Q =． （2）证明：因为(1)i j a a i j n +< 最多有2(1)2n n n C -=个值，所以(1)()2n n l A -， 又集合{1A =，3，9，⋯，3}n ，任取i j a a +，(1,1)k l a a i j n k l n +<<，当j l ≠ 时，不妨设j l <，则133j i j j l k l a a a a a a ++<=<+，即i j k l a a a a +≠+．当j l =，i k ≠ 时，i j k l a a a a +≠+， 因此，当且仅当i k =，j l = 时，i j l k a a a a +=+， 即所有(1)i j a a i j n +< 的值两两不同，所以(1)()2n n l A -=． （3）()l A 存在最小值，且最小值为23n -，不妨设12n a a a <<⋯<， 所以1213121n n n n a a a a a a a a a a -+<+<⋯<+<+<⋯<+，所以(1)i j a a i j n +< 中至少有23n - 个不同的数，即()23l A n -，事实上，设1a ，2a ，3a ，⋯，n a 成等差数列， 考虑(1)i j a a i j n +<，根据等差数列的性质，当i jn + 时，11i j i j a a a a +-+=+，当i j n +> 时，i j i j n n a a a a +-+=+， 因此每个(1)i j a a i j n +<等于1(2)k a a k n + 中的一个， 或者等于(21)l n a a l n +-中的一个，所以对这样的A ， ()23l A n =-， 所以()l A 的最小值为23n -． 点睛：本题考查集合与元素的位置关系和数列的综合应用，综合性较强，解题时注意整体思想和转化思想的运用，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于难题． 20．{2}解析：通过25{|50}x x ax -∈--=，可以求出a 的值，再求出方程240x x a --=的解，然后用列举法表示出集合2{|40}x x x a --=. 详解：因为25{|50}x x ax -∈--=，所以255504a a +-=⇒=-，24402x x x -+=⇒=，所以2{|40}x x x a --={2}=点睛：本题考查了已知集合的元素求参数问题，用列举法表示集合.解决本题的关键是正确解方程.。

（人教A版）高中数学必修一（全册）课时练习+单元测试卷汇总第1课时集合的含义第2课时集合的表示(2)当M中只含两个元素时, 其元素只能是x和8－x,所以元素个数为2的所有的集合M为{0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}．(3)满足条件的集合M是由集合{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}中的元素组成, 它包括以下情况：①{4}, {0,8}, {1,7}, {2,6}, {3,5}, 共5个；②{4,0,8}, {4,1,7}, {4,2,6}, {4,3,5}, {0,8,1,7}, {0,8,2,6}, {0,8,3,5}, {1,7,2,6}, {1,7,3,5}, {2,6,3,5}, 共10个；③{4,0,8,1,7}, {4,0,8,2,6}, {4,0,8,3,5}, {4,1,7,2,6}, {4,1,7,3,5}, {4,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6}, {0,8,1,7,3,5}, {1,7,2,6,3,5}, {0,8,2,6,3,5}, 共10个；④{4,0,8,1,7,2,6}, {4,0,8,1,7,3,5}, {4,0,8,2,6,3,5}, {4,1,7,2,6,3,5}, {0,8,1,7,2,6,3,5}, 共5个；⑤{4,0,8,1,7,2,6,3,5}, 共1个．于是满足题设条件的集合M共有5＋10＋10＋5＋1＝31(个)．A BB A且空集的子集只有一个A{3,4,9},A⊆B A＝BA B A BZ), 当A B答案：D解析：因为N ＝{x |x ≤k }, 又M ＝{x |－1≤x <2}, 所以当M ⊆N 时, k ≥2.6．已知集合P ＝{x |x 2＝1}, 集合Q ＝{x |ax ＝1}, 若Q ⊆P , 则a 的值为( ) A ．1 B ．－1C ．1或－1D ．0,1或－1 答案：D解析：P ＝{－1,1}, 当a ＝0时, Q ＝∅, 当a ≠0时, Q ＝{x |x ＝1a }, ∵Q ⊆P , ∴a ＝0或a ＝±1.二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)7．用适当的符号填空． (1)0________{x |x 2＝0}；(2)∅________{x ∈R |x 2＋1＝0}； (3){0,1}________N ；(4){0}________{x |x 2＝x }；(5){2,1}________{x |x 2－3x ＋2＝0}． 答案：(1)∈ (2)＝ (3) (4) (5)＝8．已知集合P ＝{x |0<x －a ≤2}, Q ＝{x |－3<x ≤4}, 若P ⊆Q , 则a 的取值范围是________．答案：{a |－3≤a ≤2}解析：依题意, 知P ＝{x |a <x ≤a ＋2}, 又Q ＝{x |－3<x ≤4}, 若P ⊆Q , 则⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－3a ＋2≤4, 解得－3≤a ≤2.9．已知集合M ＝{－1,3,2m －1}, 集合N ＝{3, m 2}, 若N ⊆M , 则实数m ＝________. 答案：1解析：依题意, 知当N ⊆M 时, 只能有m 2＝2m －1, 解得m ＝1, 经检验知满足题意． 三、解答题(本大题共6小题, 共45分)10．(5分)以下各组中两个对象是什么关系, 用适当的符号表示出来： (1)0与{0}； (2)0与∅； (3)∅与{0}；(4){0,1}与{(0,1)}； (5){(a , b )}与{(b , a )}． 解：(1)0∈{0}； (2)0∉∅(3)∅与{0}都是集合, 两者的关系是“包含与不包含”的关系, 所以∅{0}； (4){0,1}是含两个无素0,1的集合；而{(0,1)}是以有序数对为元素的集合, 它只含一个元素．所以{0,1}⊆{(0,1)}；且{0,1}⊉{(0,1)}；(5)当a ＝b 时, {(a , b )}＝{(b , a )}；当a ≠b 时, {(a , b )} ⊆{(b , a )}, 且{(a , b )}⊉{(b , a )}． 11．(13分)设集合A ＝{x , x 2, xy }, 集合B ＝{1, x , y }, 且集合A 与集合B 相等, 求实数x 、y 的值．解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝1，xy ＝y ，①或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝y ，xy ＝1.②解①, 得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ∈R ，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝0.经检验⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ∈R ，不合题意, 舍去, 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0.解②, 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.经检验⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，不合题意, 舍去．∅∅12．(9分)已知M ＝{(x , y )|y ＝x 2＋2x ＋5}, N ＝{(x , y )|y ＝ax ＋1}． (1)若M ∩N 有两个元素, 求实数a 的取值范围；(2)若M ∩N 至多有一个元素, 求实数a 的取值范围．解：(1)因为M ∩N 有两个元素, 所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2＋2x ＋5y ＝ax ＋1有两组解,即一元二次方程x 2＋(2－a )x ＋4＝0有两个不等的实数根, 所以Δ＝(2－a )2－16＝a 2－4a －12>0,结合二次函数y ＝a 2－4a －12的图象, 可得a >6或a <－2. 所以实数a 的取值范围为{a |a >6或a <－2}．(2)因为M ∩N 至多有一个元素, 所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋2x ＋5y ＝ax ＋1无解或只有一组解,即一元二次方程x 2＋(2－a )x ＋4＝0无实数根或有两个相等的实数根, 所以Δ＝(2－a )2－16＝a 2－4a －12≤0,结合二次函数y ＝a 2－4a －12的图象, 可得－2≤a ≤6. 所以实数a 的取值范围为{a |－2≤a ≤6}．能力提升13．(5分)对于集合A , B , 我们把集合{x |x ∈A , 且x ∉B }叫做集合A 与B 的差集, 记作A －B .若A ＝{1,2,3,4}, B ＝{3,4,5,6}, 则A －B ＝________.答案：{1,2}解：A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B } ＝{1,2,3,4}－{3,4,5,6} ＝ {1,2 }．14．(13分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}, 集合B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}, 是否存在实数a , 使得集合A , B 同时满足下列三个条件？①A ≠B ；②A ∪B ＝B ；③∅ (A ∩B )．若存在, 求出这样的实数a 的值；若不存在, 说明理由．解：由已知条件可得B ＝{2,3}, 因为A ∪B ＝B , 且A ≠B , 所以A ⊆B , 又A ≠∅, 所以A ＝{2}或A ＝{3}．当A ＝{2}时, 将2代入A 中方程, 得a 2－2a －15＝0, 所以a ＝－3或a ＝5, 但此时集合A 分别为{2, －5}和{2,3}, 与A ＝{2}矛盾．所以a ≠－3, 且a ≠5.当A ＝{3}时, 同上也能导出矛盾．综上所述, 满足题设要求的实数a 不存在．第5课时 补集1．已知全集U＝{0,1,3,5,6,8}, 集合A＝{1,5,8}, B＝{2}, 则集合(∁U A)∪B＝()A．{0,2,3,6} B．{0,3,6}C．{1,2,5,8} D．∅答案：A解析：依题意, 知∁U A＝{0,3,6}, 又B＝{2}, 所以(∁U A)∪B＝{0,2,3,6}．故选A.2．设集合U＝{1,2,3,4,5}, A＝{1,3,5}, B＝{2,3,5}, 则∁U(A∩B)等于()A．{1,2,4} B．{4}C．{3,5} D．{∅}答案：A解析：易知：A∩B＝{3,5}, 则∁U(A∩B)＝{1,2,4}, 故选A.3．设全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}, 集合A＝{1,3,5,7}, B＝{3,5}, 则下列各式正确的是() A．U＝A∪B B．U＝(∁U A)∪BC．U＝A∪(∁U B) D．U＝(∁U A)∪(∁U B)答案：C解析：∵∁U B＝{1,2,4,6,7},∴A∪(∁U B)＝{1,2,3,4,5,6,7}＝U.故选C.4．已知M, N为集合I的非空真子集, 且M, N不相等, 若N∩(∁I M)＝∅, 则M∪N＝() A．M B．NC．I D．∅答案：A解析：由N∩(∁I M)＝∅, 可知N与∁I M没有公共元素, 则N⊆M, 又M≠N, 所以N M, 所以M∪N＝M.故选A.5．已知集合A＝{x|x<a}, B＝{x|1<x<2}, 且A∪(∁R B)＝R, 则实数a的取值范围是() A．{a|a≤1} B．{a|a<1}C．{a|a≥2} D．{a|a>2}答案：C解析：由于A∪(∁R B)＝R, 则B⊆A, 可知a≥2.故选C.6．如图所示, I是全集, M, P, S是I的3个子集, 则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S答案：C解析：阴影部分是M与P的公共部分, 且在S的外部, 故选C.7．设集合M ＝{3,4,7,9}, N ＝{4,5,7,8,9}, 全集U ＝M ∪N , 则集合∁U (M ∩N )中的元素共有________个．答案：3解析：因为U ＝M ∪N ＝{3,4,5,7,8,9}, M ∩N ＝{4,7,9}, 则∁U (M ∩N )＝{3,5,8}, 可知其中的元素有3个．8．已知集合A ＝{x |－2≤x <3}, B ＝{x |x <－1}, 则A ∩(∁R B )＝________. 答案：{x |－1≤x <3} 解析：因为B ＝{x |x <－1}, 则∁R B ＝{x |x ≥－1}, 所以A ∩(∁R B )＝{x |－2≤x <3}∩{x |x ≥－1}＝{x |－1≤x <3}．9．高一(1)班共有学生50人, 其中参加诗歌鉴赏兴趣小组的有30人, 参加书法练习兴趣小组的有26人, 同时参加两个兴趣小组的有15人, 则两个兴趣小组都没有参加的学生有________人．答案：9解析：设参加诗歌鉴赏兴趣小组的学生组成集合A , 参加书法练习兴趣小组的学生组成集合B , 如图所示, 依题意card(A )＝30, card(B )＝26, card(A ∩B )＝15, 则card(A ∪B )＝30＋26－15＝41.所以两个兴趣小组都没有参加的学生有50－41＝9(人)．三、解答题(本大题共4小题, 共45分)10．(12分)已知全集U ＝{3, a 2－3a －2,2}, A ＝{3, |a －1|}, ∁U A ＝{－2}, 求实数a 的值． 解：因为A ∪(∁U A )＝U ,所以{3, －2, |a －1|}＝{3, a 2－3a －2,2},从而⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －2＝－2|a －1|＝2, 解得a ＝3.11．(13分)已知全集U ＝{x |x ≤4}, 集合A ＝{x |－2<x <3}, B ＝{x |－3≤x ≤2}． (1)求(∁U A )∪B ； (2)求A ∩(∁U B )．解：易知∁U A ＝{x |x ≤－2或3≤x ≤4}, ∁U B ＝{x |x <－3或2<x ≤4}． 则(1)(∁U A )∪B ＝{x |x ≤2或3≤x ≤4}． (2)A ∩(∁U B )＝{x |2<x <3}．能力提升12．(5分)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}, A ＝{1,5}, B ∁U A , 则集合B 的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8B∁A．M＝N B．M⊆NC．M⊇N D．M, N无公共元素答案：D解析：因为M＝{(x, y)|(x＋3)2＋(y－1)2＝0}＝{(－3,1)}是点集, 而N＝{－3,1}是数集, 所以两个集合没有公共元素, 故选D.6．已知全集U＝R, 集合A＝{x|1<x≤3}, B＝{x|x>2}, 则A∩(∁U B)等于()A．{x|1<x≤2} B．{x|1≤x<2}C．{x|1≤x≤2} D．{x|1≤x≤3}答案：A解析：U＝R, ∴∁U B＝{x|x≤2}, A∩∁U B＝{x|1<x≤3}∩{x|x≤2}＝{x|1<x≤2}．选A.二、填空题(本大题共3个小题, 每小题5分, 共15分)7．已知集合U＝R, A＝{x|－2<x≤5}, B＝{x|4≤x<6}, 则∁U(A∪B)＝________.答案：{x|x≤－2或x≥6}解析：(A∪B)＝{x|－2<x<6}又U＝R, 所以可得∁U(A∪B)＝{x|x≤－2或x≥6}．8．如图所示, 阴影部分表示的集合为________．答案：∁U(A∪B)∪(A∩B)解析：阴影部分有两类：(1)∁U(A∪B)；(2)A∩B.9．设集合M＝{x|x>1, x∈R}, N＝{y|y＝2x2, x∈R}, P＝{(x, y)|y＝x－1, x∈R, y∈R}, 则(∁R M)∩N＝________, M∩P＝________.答案：{x|0≤x≤1}∅解析：因为M＝{x|x>1, x∈R}, 所以∁R M＝{x|x≤1, x∈R}, 又N＝{y|y＝2x2, x∈R}＝{y|y≥0}, 所以(∁R M)∩N＝{x|0≤x≤1}．因为M＝{x|x>1, x∈R}表达数集, 而P＝{(x, y)|y＝x －1, x∈R, y∈R}表示点集, 所以M∩P＝∅.三、解答题(本大题共4小题, 共45分)10．(12分)某班有50名学生, 有36名同学参加学校组织的数学竞赛, 有23名同学参加物理竞赛, 有3名学生两科竞赛均未参加, 问该班有多少同学同时参加了数学、物理两科竞赛？解：全集为U, 其中含有50名学生, 设集合A表示参加数学竞赛的学生, B表示参加物理竞赛的学生, 则U中元素个数为50, A中元素个数为36, B中元素个数为23, 全集中A、B 之外的学生有3名, 设数学、物理均参加的学生为x名, 则有(36－x)＋(23－x)＋x＋3＝50, 解得x＝12.所以, 本班有12名学生同时参加了数学、物理两科竞赛．11．(13分)已知集合A＝{x|2<x<7}, B＝{x|2<x<10}, C＝{x|5－a<x<a}．(1)求A∪B, (∁R A)∩B；(2)若C⊆B, 求实数a的取值范围．＝{x|∅满足题设条件, 易知A BA B∅第7课时函数的有关概念第9课时映射与分段函数答案：B解析：因为|x 2－2x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≤0或x ≥2)，－x 2＋2x (0<x <2)，所以所求的图象为B 选项．5．设集合A ＝{a , b }, B ＝{0,1}, 从A 到B 的映射共有______个( )A ．2B ．3C ．4D ．5 答案：C解析：如图：(2)y ＝x 2－2|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图所示．11．(13分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <1x 2－2x ，x ≥1.(1)试比较f (f (－3))与f (f (3))的大小；(2)画出函数f (x )的图象； (3)若f (x )＝1, 求x 的值．解：(1)因为－3<1, 所以f (－3)＝－2×(－3)＋1＝7, 又因为7>1, 所以f (f (－3))＝f (7)＝72－2×7＝35. 因为3>1, 所以f (3)＝32－2×3＝3, 所以f (f (3))＝3. 所以f (f (－3))>f (f (3))．(2)函数图象如图实线部分所示．而f(x1)<0, f(x2)<0, ∴f(x1)f(x2)>0. ∴F(x2)－F(x1)<0, 即F(x2)<F(x1)．∴F(x)在(0, ＋∞)上为减函数．。

1.1 集合的概念1．已知M 是满足下列条件的集合：① 0M ∈，1M ∈；② 若,x y M ∈，则x y M -∈；③ 若x M ∈且0x ≠，则1M x∈. （1）判断12M ∈是否正确，说明理由；（2）证明：“x ∈Z ”是“x M ∈”的充分条件；（3）证明：若,x y M ∈，则xy M ∈.2．用适当的方法表示下列集合.（1）小于5的自然数构成的集合；（2）直角坐标系内第三象限的点集；（3）偶数集.（4）如图，用适当的方法表示阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.3．已知{2A a =-，225a a +，6}，且3A -∈，求实数a .4．已知集合{}2|210A x R ax x =∈++=，其中a R ∈.（1）1是A 中的一个元素，用列举法表示A ；（2）若A 中至多有一个元素，试求a 的取值范围.5．用适当方法表示下列集合：（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；（2﹣2|＝0的解集；（3）由二次函数y ＝3x 2+1图象上所有点组成的集合.6．已知集合A 有三个元素：3a -，21a -，21a +，集合B 也有三个元素：0，1，x .（1）若3A -∈，求a 的值；（2）若2x B ∈，求实数x 的值；7．已知集合A=x|x=m 2-n 2，m∈Z，n∈Z}．求证：（1）3∈A；（2）偶数4k-2（k∈Z）不属于A ．8．方程2210ax x ++=，R a ∈的根组成集合A .（1）当A 中有且只有一个元素时，求a 的值，并求此元素；（2）当A 中至少有一个元素时，求a 满足的条件.9．已知集合{}2|320A x ax x =-+=，问（1）若集合A 中至多有一个元素，求a 的取值范围；（2）若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．10．若集合()(){}420A x x x =+-<，{}23B x x =+>，{}11,C x m x m m =-<<+∈R ．（1）若A C ⋂=∅，求实数m 的取值范围；（2）若()A B C ⊆，求实数m 的取值范围．11．设集合B ＝6{|}2x N N x ∈∈+.试判断元素1，2与集合B 的关系；用列举法表示集合B ．12．用适当的方法表示下列集合：（1）英语单词mathematics （数学）中的所有英文字母组成的集合；（2）方程27x y +=的所有解组成的集合；（3）绝对值小于0的所有实数组成的集合.13．试用描述法表示下列集合：（1）比3的倍数多1的整数；（2）不等式100x ->的解集；（3）一次函数21y x =+图象上的所有的点．14．已知集合A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a+∈-． （1）若3a =-，求出A 中其他所有元素；（2）0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的元素；（3）根据（1）（2），你能得出什么结论？15．设数集A 满足条件：①A ⊆R ；②0A ∉且1A ∉；③若a A ∈，则11A a ∈-． （1）若2A ∈，则A 中至少有多少个元素；（2）证明： A 中不可能只有一个元素．16．已知集合{}22,4A a a a =-，求实数a 的取值范围．17．已知集合{2,5,12}A x x =-+，且3A -∈，求x 的值.18．已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈，若集合A 中的元素至多有一个，求a 的取值范围.19．设n 为正整数，集合A=12{|(,,,)n t t t αα=，{0,1}k t ∈，1k =，2，，}n ．对于集合A 中的任意元素12(,,,)n x x x α=和12(,,,)n y y y β=，记111122221(,)[(||)(||)(||)]2n n n n M x y x y x y x y x y x y αβ=+-++-+++-+++．（Ⅰ）当n=3时，若(0,1,1)α=，(0,0,1)β=，求(,)M αα和(,)M αβ的值；（Ⅱ）当4n =时，对于A 中的任意两个不同的元素α，β，证明：(,)(,)(,)M M M αβααββ+≤． （Ⅲ）给定不小于2的正整数n ，设B 是A 的子集，且满足：对于B 中的任意两个不同元素α，β，(,)(,)(,)M M M αβααββ=+．写出一个集合B ，使其元素个数最多，并说明由．20．已知集合2|340A x ax x R .（1）若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；（2）若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围.参考答案1．（1）正确，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析解析：（1）由①②容易得到2M ∈，所以由③得到；12M ∈；（2）x M ∈，能得到x M -∈，由已知条件知0M ∈，所以只要证明任意的正整数x M ∈即可得到任意的整数x M ∈，可考虑用数学归纳法来证：1，2M ∈，假设k M ∈，则(1)1k k M --=+∈，所以根据数学归纳法对任意正整数x M ∈，所以便得到x ∈Z 是x M ∈的充分条件；（3）先构造出222()22x y x y xy ++=-，所以可先证明：若x ，y M ∈，则2x M ∈，x y M +∈．先证明2x M ∈，设x M ∈，0x ≠，则得到1M x∈，1x M -∈，11M x ∈-，所以1111(1)M x x x x -=∈--，所以2x x M -∈，所以得到22()x x x x M --=∈，由前面知，x y M +∈，112M x x x +=∈，所以，2x M ∈，所以便可得到2()2x y +，222x y M +∈，从而222()22x y x y M ++-∈． 详解：解：（1）12M ∈正确；证明如下：由①0M ∈，1M ∈，由②知011M -=-∈，1(1)2M ∴--=∈， 由③知12M ∈；（2）证明：由②知，若x M ∈，则0x x M -=-∈，故只需证明任意正整数x M ∈即可， 由（1）知，2M ∈，假设正整数k M ∈，则(1)1k k M --=+∈，∴由数学归纳法知：任意正整数x M ∈， 即x ∈Z ，是x M ∈的充分条件；（3）先证：若x M ∈，则2x M ∈，由②知，若x M ∈，且0x ≠，1M ∈，则1x M -∈； 由③知1M x ∈，11M x ∈-， 所以1111(1)M x x x x -=∈--，所以2x x M -∈，所以得到22()x x x x M --=∈，再证：若x ，y M ∈，则x y M +∈，0y y M -=-∈，()x y x y M ∴--=+∈； ∴112M x x x+=∈，由③知2xM ∈，∴由前面知：2()x y +、2x 、2y 、2()2x y +、222x y M +∈， ∴222()22x y x y xy M ++-=∈． 点睛： 本题主要考查对给出的新信息的运用，以及数学归纳法在证明正整数问题的运用，而想到222()22x y x y xy +-=-是求解本题的关键．本题属于难题．2．（1）{}01234，，，，；（2）(){|00}x y x y <<，，；（3）{|2}x x k k Z =∈，；（4）()5302122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，，，. 解析：（1）利用列举法表示集合；（2）利用描述法表示集合；（3）利用描述法表示集合；（4）根据图形利用描述法表示集合；详解：解：（1）小于5的自然数构成的集合，利用列举法表示为{}01234，，，，； （2）直角坐标系内第三象限的点集；利用描述法表示为(){},|00x y x y <<，；（3）偶数集.利用描述法表示为{}|2x x k k Z =∈，（4）由图形阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合表示为()53,02122M x y xy x y ⎧⎫=≥-≤≤-≤≤⎨⎬⎩⎭，， 点睛：本题考查集合的表示方法，属于基础题.3．32a =- 解析：集合中有三个元素，3-是集合A 中的元素，所以3-只能是除6外的其它两个，分别让2a -和225a a +等于3-求解a 的值．详解：解：3A -∈，23a ∴-=-或2253a a +=-由23a -=-，解得1a =-，此时23a -=-，2253a a +=-与集合中元素的互异性矛盾，舍去；由2253a a +=-，得1a =-（舍)，或32a =- 当32a =-时，722a -=-，2253a a +=- 此时7{2A =-，3-，6}适合题意． ∴32a =-． 点睛：本题考查集合与元素关系的判断，考查分类讨论的数学思想，解答的关键是掌握集合中元素的互异性，属基础题．4．（1）1{,1}3-（2）0a =或1a ≥ 解析：（1）由1A ∈得3a =-，代入2210ax x ++=，解得A 的元素后，可得解；（2）按照集合A 中元素的个数分类讨论，可求得结果.详解：（1）因为1A ∈，所以210a ++=，得3a =-，所以2{|3210}A x R x x =∈-++=1{,1}3=-. （2）当A 中只有一个元素时，2210ax x ++=只有一个解，所以0a =或0440a a ≠⎧⎨∆=-=⎩， 所以0a =或1a =，当A 中没有元素时，2210ax x ++=无解，所以0440a a ≠⎧⎨∆=-<⎩，解得1a >， 综上所述：0a =或1a ≥.点睛：易错点点睛：容易忽视0a =的情况，错把方程默认为一元二次方程，造成漏解.5．（1）1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2）1,22⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；（3）（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}. 解析：（1）利用列举法求解即可；（2）先解出方程的解，然后利用列举法；（3）利用描述法即可详解：解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.由于元素个数有限，故用列举法表示为1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：21020x y +=⎧⎨-=⎩，解得122x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 因此该方程的解集为（﹣12，2）}. （3）首先此集合应是点集，是二次函数y ＝3x 2+1图象上的所有点，故用描述法可表示为（x ，y ）|y ＝3x 2+1，x∈R}.6．（1）0a =或1-；（2）1x =-.解析：（1）根据元素的确定性和互异性可得33a -=-或213a -=-，即可求解；（2）根据元素的确定性列方程，再检验互异性即可求解.详解：（1）由3A -∈且211a +≥， 所以213a +≠-当33a -=-时，可得0a =，此时{}3,1,1A =--符合题意，当213a -=-时，可得1a =-，此时{}4,3,2A =--符合题意，所以0a =或1-，（2）若2x B ∈，则20x =或21x =或2x x =，解得：0x =或1x =或1x =-，由元素互异性可得：0x ≠且1x ≠，所以1x =-7．（1）见解析；（2）见解析.详解：试题分析：（1）由3=22-12即可证得；（2）设4k-2∈A，则存在m ，n∈Z，使4k-2=m 2-n 2=（m+n ）（m-n ）成立，分当m ，n 同奇或同偶时和当m ，n 一奇，一偶时两种情况进行否定即可.试题解析：（1）∵3=22-12，3∈A；（2）设4k-2∈A，则存在m ，n∈Z，使4k-2=m 2-n 2=（m+n ）（m-n ）成立，1、当m ，n 同奇或同偶时，m-n ，m+n 均为偶数，∴（m-n ）（m+n ）为4的倍数，与4k-2不是4的倍数矛盾．2、当m ，n 一奇，一偶时，m-n ，m+n 均为奇数，∴（m-n ）（m+n ）为奇数，与4k-2是偶数矛盾．综上4k-2不属于A ．8．（1）当0a =时，集合A 中的元素为12-；当1a =时，集合A 中的元素为1-；（2）1a ≤. 解析：（1）根据题意可知方程2210ax x ++=为一元一次方程或者一元二次方程有两相等根，由此可求出；（2）根据题意可知方程2210ax x ++=有两个不等实根或有两个相等实根或有且只有一个实根，由此分类求出满足条件的a 值。

1.1 集合的概念一、单选题1．集合0}与空集∅之间的关系中正确的是（ ）A ．∅＝0}B ．∅∈0}C ．∅0}D ．∅}⫋0}2．设集合{}13A x x =-≤，{},0B x x k k =<>，若B A ⊆，则k 的最大值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 3．已知集合{1,3,4,5}A =，集合2{}450|B x Z x x =∈--<，则A B 的子集个数为A ．2B ．4C ．8D ．16 4．若集合{}2|10A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，则a =（ ）A ．4B ．2C ．0D ．0或45．已知方程()()()2221236660x x b x x b x x b -+-+-+=的所有解都为自然数，其组成的解集为{}12345,,,,A x x x x x =，则123b b b ++的值不可能为（ ）A ．13B ．14C ．17D ．226．非空集合G 关于运算⊕满足：①对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 是关于运算⊕的融洽集，现有下列集合及运算中正确的说法有（ ）个（1）G 是非负整数集，⊕：实数的加法；（2）G 是偶数集，⊕：实数的乘法；（3）G 是所有二次三项式组成的集合，⊕多项式的乘法；（4）{}|2G x x a ba b Q ==+∈，，，⊕：实数的乘法． A ．1 B ．2C ．3D ．4 7．已知集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，则B 中元素个数的最大值为（ ）A ．10B ．19C ．30D ．398．下列关系正确的是( )A ．3∈y|y＝x 2＋π，x∈R}B ．(a ，b)}＝(b ，a)}C ．(x ，y)|x 2－y 2＝1}(x ，y)|(x 2－y 2)2＝1} D ．x∈R|x 2－2＝0}＝9．下列叙述正确的是（ ）A ．集合x|x<3，x∈N}中只有两个元素B ．x|x 2－2x ＋1＝0}＝1}C ．整数集可表示为Z}D ．有理数集表示为x|x 为有理数集}10．若集合{}1,2,3,4,5A =，集合{}04B x x =<<，则图中阴影部分表示（ ）A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3C ．{}4,5D ．{}1,4二、填空题 1．已知集合A 中元素x 满足2x ＋a>0，a∈R.若1∉A ，2∈A，则实数a 的取值范围为________．2．已知集合{}=2,0,1,9A ，{}2|2,2B k k R kA k A =∈-∈-∉，，则集合B 中所有的元素之和为___________. 3．设集合{|310}A x x m =--<，若1A ∈，则实数m 的取值范围是_______．4．选用适当的符号填空：（1）若集合{|233},{|2}A x x x B x x =-<=≥，则-4__________B ，-3______A ， A___________B ，B_________________A ；（2）若集合2|10A x x ，则1__________A ，{}1-_______________A ，∅_________A ； （3）|x x 是菱形}_____________|x x 是平行四边形}；|x x 是等腰三角形}_____________|x x 是等边三角形}.5．已知集合{}{}{}23,4,23,3,4,6U U a a A C A =++==，则实数a 的值为_________;三、解答题1．已知集合A 含有两个元素1和a 2，若a∈A，求实数a 的值．2．用列举法表示下列集合：（1）我国古代四大发明组成的集合；（2）大于2且小于15的所有素数组成的集合；（3）{}2|2x x =.3．判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：（1）与定点A ，B 等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手.4．用描述法表示下列集合：（1）小于1500的正偶数组成的集合；（2）所有矩形组成的集合.5．已知集合{}2210A x ax x =-+=.（1）若A 是空集，求a 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A .参考答案一、单选题1．C解析：根据空集的定义以及元素与集合的关系、集合与集合的关系可得答案.详解：空集∅中没有元素，0}的元素为0，故A 错误，∅∉0}，故B 错误，∅}的元素为∅，0}的元素为0，∅}不是0}的真子集，D 错误，空集是任何非空集合的真子集，故 C 正确，故选：C ．2．B解析：由绝对值的性质确定集合,A B ，再由子集的概念得出k 的范围，从而得最大值． 详解：解：由题[]2,4A =-，(),B k k =-，∵B A ⊆，∴02k <≤，∴k 的最大值为2.故选：B ．3．C详解：试题分析：由2450x x --<，解得15x -<<，所以{}0,1,2,3,4B =，所以{}1,3,4A B ⋂=，所以A B ⋂的子集个数为328=，故选C ．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．4．A详解：2=40,0 4.0.A a a a a A A ∴∆-=∴==集合中只有一个元素，或又当时集合中无元素，故选考点：该题主要考查集合的概念、集合的表示以及集合与一元二次方程的联系.5．A解析：当123,,b b b 分别取0,5,9时，{}0,6,1,5,3A =，12314b b b ++=，排除B ，当123,,b b b 分别取0,8,9时，{}0,6,2,4,3A =，12317b b b ++=，排除C ，当123,,b b b 分别取5,8,9时，{}1,5,2,4,3A =，12322b b b ++=，排除D ，故选A.6．B解析：根据新定义运算⊕判断．详解：（1）任意两个非负整数的和仍然是非负整数，对任意a G ∈，0G ∈，00a a a +=+=，（1）正确；（2）任意两个偶数的积仍然是偶数，但不存在e G ∈，对任意a G ∈，使ae ea a ==，（2）错误；（3）21x x -+和21x x +-是两个二次三项式，它们的积2242(1)(1)21x x x x x x x -++-=-+-不是二次三项式，（3）错误；（4）设x a y c =+=+,,,a b c d Q ∈，则2(xy ac bd ad bc G =+++，而且1G ∈，11x x x ⋅=⋅=，（4）正确．∴正确的有2个．故选：B.点睛：本题考查新定义，解题关键是对新定义的理解与应用．7．D解析：根据()()0a x b y --≤，转化为任意两点连线的斜率不存在或小于等于零，分析要使这样的点最多，点的分布情况，即可得解.详解：由题：集合{(,)|120,120,,}A s t s t s t =≤≤≤≤∈∈N N ，若B A ⊆且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈均有()()0a x b y --≤，作如下等价转化：考虑(,)a b ，(,)x y 是平面内的满足题目条件的任意两点，“()()0a x b y --≤”等价于“0a x -=或0b y a x-≤-”， 即这个集合中的任意两个点连线的斜率不存在或斜率小于等于零，要使集合中这样的点最多，就是直线1,1y x ==两条直线上的整数点，共39个，（当然也可考虑直线20,20y x ==两条直线上的整数点，共39个）点睛：此题以元素与集合关系为背景，考查根据题目条件求集合中元素个数问题，关键在于对不等关系进行等价转化，找出便于理解的处理方式，当然此题解法不唯一，可以讨论极限情况，可以分类列举观察规律.8．C解析：试题分析：2{y |y x x R}{y |y }ππ∈≥＝＋，＝，∵3＜π，∴23{y |y x π∉＝＋｝.(a ，b)}与(b ，a)}中元素不相同，∴(a，b)}与(b ，a)}不一定相等.(x ，y)|(x 2－y 2)2＝1}＝(x ，y)|x 2－y 2＝1或x 2－y 2＝－1}，∴C 是正确的.x∈R|x 2－2＝0}＝2，－2}≠.考点：元素与集合、集合与集合的关系点评：此类问题要先确定集合，再进行判断．9．B解析：根据集合与元素的关系，以及集合的表示方法，判断选项.详解： A.集合中元素有0，1，2，错；B.{}{}22101x x x -+==，正确；C.整数集表示为Z ，错；D.有理数集表示为x|x 为有理数}，错.故选：B.10．C解析：图中阴影部分所表示为()U C B A ⋂，利用已知计算可得出答案. 详解：集合{}1,2,3,4,5A =，{}04B x x =<<，又图中阴影部分所表示为()U C B A ⋂，又{|4U C B x x =≥或}0x ≤∴(){}4,5U C B A ⋂=点睛：本题考查集合的交并补运算,考查韦恩图的应用,属于基础题.二、填空题1．42a -<≤-解析：根据已知条件列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.详解：因为1∉A ，2∈A，所以210220a a ⨯+≤⎧⎨⨯+>⎩， 即42a -<≤-.故答案为：42a -<≤-2．2-解析：根据集合的定义求出集合B 后可得结论．详解：222k -=，2k =±，2k =时，20k A -=∈，因此2k =-；220k -=，k =221k -=，k =229k -=，k =所以{2,B =-，其中所有元素的和为2-．故答案为：2-．3．(2,)+∞解析：根据不等式先求解出x 的取值范围，然后即可表示出A ，根据1A ∈，列出关于m 的不等式，从而可求解出结果.详解：因为310x m --<，所以13m x +<，所以13m A x x ⎧⎫+=<⎨⎬⎩⎭， 又因为1A ∈，所以113m +>，所以2m >，所以m 的取值范围为()2,+∞， 故答案为：()2,+∞.4．（1）,∉∉，，；（2）∈，，；（3），解析：（1）计算{}3,{|2}A x x B x x =>-=≥，根据集合与集合，元素与集合的关系得到答案.（2）计算{}1,1A =-，根据元素与集合，集合与集合的关系得到答案.（3）根据菱形，平行四边形，等腰三角形，等边三角形的关系得到答案.详解： （1）{}{|233}3,{|2}A x x x x x B x x =-<=>-=≥，故4,3B A -∉-∉.A B ，B A （2）2|101,1A x x ，故{}1,1A ∈-A ，∅A（3）|x x 是菱形}|x x 是平行四边形}；|x x 是等腰三角形}|x x 是等边三角形} 故答案为：（1）,∉∉，，；（2）∈，，；（3），点睛： 本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，意在考查学生对于集合的理解.5．-3, 1解析：由题意得 223a a ++=6，解方程组求出实数a 的值．详解：由题意得 223a a ++=6，解得 a=﹣3或a=1，经检验均符合题意，故答案为-3, 1．点睛：本题考查交集、并集、补集的定义和运算，以及一元二次方程的解法．易错点注意检验所得是否适合题意.三、解答题1．实数a 的值为0.解析：分类讨论1a =与2a a =，再根据互异性进行取舍即可.详解：由题意可知，a ＝1或a 2＝a ，（1）若a ＝1，则a 2＝1，这与a 2≠1相矛盾，故a≠1.（2）若a 2＝a ，则a ＝0或a ＝1(舍去)，又当a ＝0时，A 中含有元素1和0，满足集合中元素的互异性，符合题意．综上可知，实数a 的值为0.点睛：本题考查由集合与元素之间的关系求参数的值，涉及集合的互异性.2．（1）指南针，火药，造纸术，印刷术}；（2）{3,5,7,11,13}；（3）{. 解析：将满足条件的元素一一列举出来，并用“}”括起来.详解：(1)我国古代四大发明组成的集合为指南针，火药，造纸术，印刷术}；(2) 大于2且小于15的所有素数组成的集合为{3,5,7,11,13}；(3){}2|2{x x ==.点睛：本题考查列举法表示集合，属于基础题.3．（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析.解析：（1）与定点A ，B 等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断；（2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性.详解：（1）与定点A ，B 等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的.（2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.点睛：本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题.4．（1）{|1500x x <且,}2x n n +=∈N ；（2）{|x x 是矩形}.解析：在花括号内先写上这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.详解：（1）小于1500的正偶数组成的集合为{|1500x x <且,}2x n n +=∈N ；（2）所有矩形组成的集合为{|x x 是矩形}.点睛：本题考查描述法表示集合，属于基础题.5．（1）1a >；（2）答案见解析.解析：（1）若A 是空集，则只需二次方程2210-+=ax x 无解，∆<0；（2）若A 为空集，当0a =时显然成立，当0a ≠时，只需0∆=.详解：解：（1）若A 是空集，则关于x 的方程2210-+=ax x 没有实数解.当0a =时，12x =，不满足题意，所以0a ≠，且440a ∆=-<，所以1a >. （2）若A 中只有一个元素. ①当0a =时，12x =，满足题意； ②当0a ≠时，440a ∆=-=，所以1a =.综上所述，a 的集合为{}0,1.若0a =，则有12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；若1a =，则有{}1A =. 点睛：本题考查根据集合中元素的个数求参数的取值范围，较简单，根据方程根的个数求解即可.。

1.1 集合的概念一、单选题1．若集合{}2|(2)210A x k x kx =+++=有且仅有1个真子集，则实数k 的值是（ ）.A ．2-B ．1-或2C ．1-或2±D ．1-或2-答案：C解析：集合A 中有且只有1个真子集，等价为集合A 只有一个元素，然后分20k +=、20k +≠两种情况讨论即可.详解：集合2{|(2)210}A x k x kx =+++=有且仅有1个真子集，∴集合A 只有一个元素． 若20k +=，即2k =-时，方程等价为410x -+=，解得14x =，满足条件．若20k +≠，即2k ≠-时，则方程满足△0=，即244(2)0k k -+=，220k k ∴--=，解得2k =或1k =-． 综上：2k =-或2k =或1k =-．故选：C2．已知集合{(2)(2)0}M xx x x =+-=∣，则M =（ ） A ．{0,2}-B ．{0,2}C ．{0,2,2}-D ．{2,2}-答案：C 解析：直接利用方程的解法化简求解.详解：因为集合{(2)(2)0}{2,0,2}M xx x x =+-==-∣， 故选：C3．已知集合M=6*,5aN a ⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，则M 等于（ ） A ．2，3}B ．1，2，3，4}C ．1，2，3，6}D ．1-，2，3，4}答案：D解析：由元素具有的性质，5a -是6的正约数，由此可得a 的值．详解：因为集合M=6*,5a N a⎧∈⎨-⎩且}a Z ∈，，所以5-a 可能为1，2，3，6， 即a 可能为4，3，2，1-.所以M=1-，2，3，4}，故选：D.点睛：本题考查集合的概念，确定集合的元素是解题关键．元素所具有的性质是解题的根据．4．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是（ ）A ．3.14B ．－5C ．37D答案：D解析：首项R 代表实数集，Q 代表有理数集，对四个数判断是无理数即可.详解：由题意知a 是实数，但不是有理数，故a 应为无理数，故a .故选：D点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，涉及了专用数集符号，属于基础题.5．下列表示正确的是A ．0N ∈B ．12N ∈C ．R π∉D ．0.333Q ∉答案：A解析：要判断表示是否正确,掌握N 、R 和Q 各数集的定义,并能够用正确的符号表示元素和集合的关系.详解：对于A ,0是自然数,所以0N ∈,故A 正确;对于B ,12是分数,但不满足12N ∈,故B 不正确; 对于C ,π是无理数,属于实数,即有R π∈,故C 不正确;对于D ,0.333是有理数,即有0.333Q ∈,故D 不正确;故选:A点睛：本题考查了判断元素和集合之间的关系是否正确,需要熟练掌握各数集的范围,而且能够用属于符号正确表示元素和集合之间的关系,本题较为简单.6．下列命题中的真命题是（ ）A是有理数B ．是实数C ．e 是有理数D ．0 不是自然数答案：B解析：根据数集的定义，实数的运算判断．详解：和 e 都是无理数；0 是自然数． 故选：B ．7．设集合{}{}1,3,5,7,9,27M N x x ==>，则MN =（ ） A ．{}7,9B ．{}5,7,9C ．{}3,5,7,9D ．{}1,3,5,7,9答案：B解析：求出集合N 后可求M N ⋂.详解：7,2N ⎛⎫=+∞ ⎪⎝⎭，故{}5,7,9M N ⋂=， 故选：B.8．下列说法正确的是A ．我校爱好足球的同学组成一个集合B ．{}1,2,3是不大于3的自然数组成的集合C ．集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合D ．由1，0，12，325个元素答案：C解析：根据集合中的元素具有：确定性，互异性，无序性对选项逐一判断可得正确选项. 详解：对于选项A:不满足集合中的元素的确定性，所以A 错误；对于选项B:不大于3的自然数组成的集合是{0,1,2,3},所以B 错误；对于选项C:由于集合中的元素具有无序性,所以集合{}1,2,3,4,5和{}5,4,3,2,1表示同一个集合，所以C 正确；；对于选项D 12，集合中的元素具有互异性，所以由1，0，12，32有4个元素, 所以D 错误；故选C.点睛：本题考查了集合中的元素的特征：确定性,无序性,互异性，属于基础题.9．下面有四个语句:①集合N*中最小的数是0;②-a ∉N ，则a∈N;③a∈N，b∈N，则a+b 的最小值是2;④x 2+1=2x 的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3答案：A解析：根据题意依次判断即可.详解：因为N*是不含0的自然数，所以①错误;取∉N ， ∉N ，所以②错误;对于③，当a=b=0时，a+b 取得最小值是0，而不是2，所以③错误;对于④，解集中只含有元素1，故④错误.故选：A二、填空题1．若a ，b R ∈，且0a ≠，0b ≠，则a b ab a b ab ++的可能取值所组成的集合中元素的个数为________.答案：2解析：对,a b 分三种情况讨论：1、0,0a b >>；2、,a b 两者中一正一负；3、0,0a b <<，对每一种情况分别求,,a b ab a b ab 的值，从而可得a b ab a b ab ++的值，可得答案. 详解：当0,0a b >>时，0ab > ，所以1,1,1a b ab a b ab ===，所以3a b ab a b ab++=； 当,a b 两者中一正一负时，0ab < ，所以0,1a b ab a b ab +==-，所以1a b ab a b ab ++=-； 当0,0a b <<时，0ab > ，所以1,1,1a b ab a b ab =-=-=，所以1a b ab a b ab++=-；所以a b ab a b ab++的取值可能是3或-1，组成的集合中的元素为3，-1．即元素的个数为2． 故答案为：2.点睛：本题考查集合的元素的个数，注意对每一种情况进行讨论，集合的元素具有互异性，属于基础题.2．已知集合{}22(,)3,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，则A 中元素的个数为_____.答案：9解析：根据列举法，写出集合中元素，即可得出结果.详解：将满足223x y +≤的整数,x y 全部列举出来，即(1,1),(1,0),(1,1),(0,1)-----(0,0),(0,1),(1,1),(1,0),(1,1)-，共有9个.故答案为：9.点睛：本题主要考查判断集合中元素个数，属于基础题型.3．若{}20x N x mx *∈+<恰有三个元素，则实数m 的取值范围为___________.答案：[)4,3--解析：根据题意可知34m <-≤，解出即可.详解：{}20x Nx mx *∈+<恰有三个元素，{}{}{}2001,2,3x N x mx x N x m **∴∈+<=∈<<-=， 34m ∴<-≤，即43m -≤<-.故答案为：[)4,3--.点睛：本题考查根据集合元素个数求参数，其中涉及一元二次不等式的求解，属于基础题.4．已知集合2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=各元素之和等于3，则实数a =___________.答案：2或32解析：由题意知M 中各元素为描述中方程的解，由集合的性质讨论23,x x 是否相等即可求实数a . 详解：由题意知：2{|()(1)0}M x x a x ax a =--+-=中元素，即为2()(1)0x a x ax a --+-=的解， ∴0x a -=或210x ax a -+-=，可知：1x a =或23x x a +=∴当23x x ≠时，23a =；当23x x =时，332a =，∴2a =或32a =，故答案为：2或32点睛：本题考查了集合的性质，根据集合描述及元素之和，结合互异性讨论求参数，属于基础题.5．已知{}201,2x x x ∈+--，则x =_____________答案：2解析：讨论10x +=和220x x --=两种情况，再验证得到答案.详解：{}201,2x x x ∈+--当10x +=时，1x =-，代入验证知：{}{}21,20,0x x x +--=，不满足互异性，排除；当220x x --=时，2x =或1x =-（舍去），代入验证知：{}{}21,23,0x x x +--=，满足.故答案为：2点睛：本题考查了元素和集合的关系，没有验证互异性是容易发生的错误.三、解答题1．已知集合(){}2|220A x x a x a =-++=，{}22,5,512B a a =+-.（1）若3A ∈，求实数a 的值；（2）若{}5B C A =，求实数a 的值.答案：（1）3a =（2）6a =-解析：（1）化简得到()(){}|20A x x x a =--=和3A ∈，代入计算得到答案.（2）根据题意得到2512a a a +-=，计算得到2a =或6a =-，再验证互异性得到答案. 详解：（1）因为3A ∈，()(){}|20A x x x a =--=，所以3a =.（2）因为{}5B C A =，所以A 中有两个元素，即{}2,A a =，所以2512a a a +-=，解得2a =或6a =-，由元素的互异性排除2a =可得6a =-.点睛：本题考查了根据元素与集合的关系，集合的运算结果求参数，意在考查学生对于集合性质的综合应用.2．坐标平面内抛物线y=x 2-2上的点的集合；答案：答案见解析解析：利用描述法即可求解.详解：由集合的表示法，抛物线y=x 2-2上的点用描述法：{}2(,)|2x y y x =-.3．若集合A=x ∣28160kx x -+=}中只有一个元素，试求实数k 的值，并用列举法表示集合A.答案：实数k 的值为0或1，当0k =时，{}2A =；当1k =，{}4A =解析：集合A=x∣28160kx x -+=}中只有一个元素，即方程28160kx x -+=只有一个解，再讨论当0k =时，当0k ≠时方程的解的个数，再求集合A 即可.详解：解：由集合A=x∣28160kx x -+=}中只有一个元素，即方程28160kx x -+=只有一个解，①当0k =时，方程为8160x -+=，解得2x =，即{}2A =；②当0k ≠时，方程28160kx x -+=只有一个解，则2(8)4160k ∆=--⨯⨯=，即1k =， 即方程为28160x x -+=，解得4x =，即{}4A =，综合①②可得：实数k 的值为0或1，当0k =时，{}2A =；当1k =，{}4A =.点睛：本题考查了方程的解的个数问题，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属基础题.。

1.1 集合的概念1．用描述法表示下列集合：（1）小于1500的正偶数组成的集合；（2）所有矩形组成的集合.2．设全集为R ，{}|37A x x =≤<，{}|210B x x =<<. （1）求A B ； （2）求()RA B ⋃.3．用列举法表示下列集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）{}(1)(2)0A x x x =-+=； （3）{}3213B x Z x =∈-<-<．4．已知集合1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，与集合a 2，a+b ，0}是两个相等的集合，求a 2 020+b 2 020的值.5．设{}0,2,3,5,7A =，{}22,31B a a =++，已知5A ∈，5B ∉，求a 的值．6．已知集合A 含有两个元素a 和a 2，若1∈A，求实数a 的值.7．若集合A 具有以下性质：①0A ∈，1A ∈；②若x 、y A ，则x y A -∈，且0x ≠时，1A x∈，则称集合A 为“好集”．（1）试判断有理数集Q 和集合{}1,0,1B =-是不是“好集”，并说明理由； （2）设集合A 是“好集”，求证：若a 、b A ∈，则a b A +∈．8．用描述法表示下列集合： （1）正奇数集；（2）被3除余2的正整数的集合；（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合； （4）方程1x y -=-的所有解组成的集合．9．已知集合{}2|(1)320A x a x x =-+-=,{}2|320B x x x =-+=（1）若A ≠∅，求实数a 的取值范围； （2）若A B A ⋂=，求实数a 的取值范围．10．集合A 是由方程2210ax x -+=的实数解构成的. （1）若集合A 是空集,求a 的取值范围; （2）若集合A 中只有一个元素,求a 的值.11．试说明下列集合各表示什么？1|A y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭；{|B x y =；()1,|C x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭(),|13y D x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭；{}0,1E x y ===；{}1,1F x y x y =+=-=-.12．已知方程ax2－3x－4＝0的解组成的集合为A.（1）若A中有两个元素，求实数a的取值范围；（2）若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．13．用列举法表示下列给定的集合：（1）不大于8的非负偶数组成的集合A；（2）小于10的质数组成的集合B；（3）方程2x2－x－3＝0的实数根组成的集合C；（4）一次函数y＝x＋3与y＝－2x＋6的图象的交点组成的集合D.14．下面三个集合：①x|y＝x2＋1}；②y|y＝x2＋1}；③(x，y)|y＝x2＋1}．（1）它们各自的含义是什么？（2）它们是不是相同的集合？15．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合（1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230+-<的解集x x（3）²230+-=的解集x x16．已知函数f（x）=2x-ax+b（a，b∈R）.集合A=x|f（x）-x=0}，B=x|f（x）+ax=0}，若A=1，-3}，试用列举法表示集合B.17．已知关于x 的方程2210-+=ax x 的实数解构成集合A ，若集合A 中仅有一个元素，求实数a 的值.18．已知集合2{2,25,12}A a a a =-+，且3A -∈，求a 的值.19．称正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ：如果对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断集合1，3，6}与1，3，4，12}是否具有性质 P ；（2）设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数； （3）求a n =30时n 的最大值.20．已知集合{}2|340A x R ax x =∈--=，①若A 是空集，求a 的范围； ②若A 中只有一个元素，求a 的值；参考答案1．（1）{|1500x x <且,}2x n n +=∈N ；（2）{|x x 是矩形}.解析：在花括号内先写上这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 详解：（1）小于1500的正偶数组成的集合为{|1500x x <且,}2x n n +=∈N ； （2）所有矩形组成的集合为{|x x 是矩形}. 点睛：本题考查描述法表示集合，属于基础题.2．（1）{|37}x x ≤<；（2）{|2x x ≤或10}x ≥. 解析：（1）画出数轴图，数形结合即可求出；（2）画出数轴图，数形结合可求出A B ，再利用补集定义即可求出. 详解：（1）画出集合A 和集合B 表示的数轴图， 则由图可得{}37A B x x ⋂=≤<； （2）观察图形可得{}210A B x x ⋃=<<∴()RA B ⋃={|2x x ≤或10}x ≥.3．（1）{}2,3,4,5；（2）{}1,2A =-；（3）{}0,1B = 解析：根据题意，求出集合的元素，用列举法表示出来即可． 详解：解：用列举法表示下列集合（1）大于1且小于6的整数，{}2,3,4,5； （2）{|(1)(2)0}A x x x =-+=；所以{}1,2A =- （3）{|3213}B x Z x =∈-<-<，由3213x -<-<解得12x -<<，x ∈Z ，故表示为{}0,1B =，4．a 2 020+b 2 020=1解析：先由集合相等及集合中元素的互异性求出a 、b ，代入求值即可. 详解： 由a ，b a ，1组成一个集合，可知a≠0，a≠1，由题意可得ba＝0，即b ＝0，此时两集合中的元素分别为a ，0，1和a 2，a ，0，因此a 2＝1，解得a ＝－1 (a ＝1不满足集合中元素的互异性，舍去)，因此a ＝－1，且b ＝0，所以a 2 020＋b 2 020＝(－1)2 020＋0＝1.5．{a 32a --≠且32a -+≠且1a ≠且}4a ≠-解析：根据5B ∉，结合集合元素的互异性求得参数a 的取值. 详解：由5B ∉知，2315a a ++≠，即2340a a +-≠， 解得1a ≠且4a ≠-又集合元素具有互异性，知2312a a ++≠，即2310a a +-≠解得a ≠且a ≠综上所述，a 的取值为{a a ≠且a ≠1a ≠且}4a ≠-6．a ＝－1. 详解：试题分析：本题中已知集合A 中有两个元素且1∈A，据集合中元素的特点需分a ＝1和a 2＝1两种情况，最后注意集合中元素的互异性，进行验证. 试题解析：若1∈A，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 有重复元素，∴a≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合互异性. ∴a=-1.点睛：利用元素的性质求参数的方法，已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．7．（1）理数集Q 是“好集”，集合B 不是“好集”，理由见解析；（2）证明见解析解析：（1）利用举反例的方法，证明集合B 不是“好集”.根据“好集”的两个条件，证明有理数集Q 是“好集.（2）先判断出当b A ∈，则0b b A -=-∈，进而证得()a b a b A --=+∈，由此证得结论成立. 详解：（1）集合B 不是“好集”理由．假设集合B 是“好集”，则由1B -∈，1B ∈可得112B --=-∈，这与题设2B -∉矛盾；有理数集Q 是“好集”，0Q ∈，1Q ∈，对任意的m ，Q n ∈，有Q m n -∈，且0m ≠时，1Q m∈，故Q 是“好集” （2）集合A 是“好集”，0A ∴∈，若a ，b A ∈，则0b b A -=-∈，于是()a b a b A --=+∈，即a b A +∈，结论成立.．点睛：本小题主要考查新定义集合的概念理解和运用，考查分析与解决问题的能力，属于基础题.8．(1) *{|2}1,x x n n =-∈N (2) {|3,2}x n x n =+∈N (3) {(,)|0}x y xy =(4) {(,)|1}x y x y -=- 解析：描述法表示集合即为(){}|x p x ,()p x 为元素的性质,根据这个概念写出集合即可 详解：解：（1）正奇数集可表示为*{|2}1,x x n n =-∈N ； （2）被3除余2的正整数集可表示为{|3,2}x n x n =+∈N ；（3）平面直角坐标系中坐标轴上的点(,)x y 的特点是横、纵坐标中至少有一个为0,即0xy =,故平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合可表示为{(,)|0}x y xy =；（4）方程1x y -=-的解是满足方程的有序实数对(,)x y ,所以所有解组成的集合为{(,)|1}x y x y -=-点睛：本题考查描述法表示集合,考查数集与点集,属于基础题9．（1）18a ≥-，（2）18a <-或0a = 详解：试题分析：（1）对于字母系数的方程，一般先看最高项的系数是否为零，不要看到最高次数为2，就认为是一元二次方程，要分类讨论其系数；(2)已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解 试题解析：（1） ①当1a =时，23A ⎧⎫=≠∅⎨⎬⎩⎭②当1a ≠时，0∆≥即18a ≥-且1a ≠ 综上：18a ≥- （2）①A =∅，18a <-②{}1,2A =,0a =，{}1A =或{}2A =时，a 无解，综上：18a <-或0a =.考点：集合的性质及运算.10．（1）（1，+∞）；（2）a=0或a=1.解析：（1）集合A 是空集，表示方程2210ax x -+=无实数解，根据一元二次方程根的个数与∆的关系，易得一个与a 的不等式，解得a 的取值范围；（2）若集合A 中只有一个元素，表示方程2210ax x -+=为一次方程或有两个相等实数根的二次方程，分别构造关于a 的方程，即可求得满足条件的a 值. 详解：（1）集合A 是空集,即方程2210ax x -+=无实数解. ∴ 2(2)40a --<且a≠0.解得a>1. ∴ 所求a 的范围是（1，+∞）（2）集合A 中只有一个元素,即方程2210ax x -+=只有一个实数解. ①0a =,方程为一元一次方程210x -+=,只有一个实数解. ②0a ≠,则一元二次方程2210ax x -+=有两个相等的. ∴()2240a --=解得a=1 综上可得a=0或a=1 点睛：本题考查元素与集合关系的判断，根据题目要求分析方程根的情况，属于基础题.11．答案见解析解析：根据集合的定义依次判断各个集合中的元素即可确定结果. 详解：A 表示y 的取值集合，由1y x=知：0y ≠，{}0A y y ∴=≠；B 表示x 的取值集合，由220x x -≥知：0x ≤或2x ≥，{0B x x ∴=≤或}2x ≥；C 的代表元素为(),x y ，表示反比例函数1y x=上的点构成的点集； D 的代表元素为(),x y ，由13yx =-知：()33y x x =-≠，D ∴表示直线3y x =-上除了()3,0以外的点构成的点集；E 表示以方程“0x =”和“1y =”为元素的一个二元集.F 表示以方程“1x y +=”和“1x y -=-”为元素的一个二元集.点睛：本题考查集合中的元素的确定，涉及到数集、点集及二元集等集合的类别，属于基础题.12．（1）()9,00,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）9|016a a a ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或 解析：（1）利用方程有两个不等实根列不等式组，解出实数a 的取值范围； （2）利用方程有0个或1个实根列不等式，解出实数a 的取值范围. 详解：解：(1)因为A 中有两个元素，所以方程ax 2－3x －4＝0有两个不等的实数根，所以9160a a ≠⎧⎨∆=+>⎩ 即a>－916且a≠0.所以实数a 的取值范围为()9,00,16⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.(2)当a ＝0时，由－3x －4＝0得x ＝－43；当a≠0时，若关于x 的方程ax 2－3x －4＝0有两个相等的实数根，则Δ＝9＋16a ＝0，即a ＝－916； 若关于x 的方程无实数根，则Δ＝9＋16a<0，即a<－916， 故所求的a 的取值范围是9|016a a a ⎧⎫≤-=⎨⎬⎩⎭或.13．（1）A ＝0，2，4，6，8}；（2）B ＝2，3，5，7}；（3）C ＝31,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（4）D ＝(1，4)}. 解析：由题意，依次求出（1）、（2）、（3）、（4）集合中的元素，再用列举法写出即可． 详解：解：（1）不大于10的非负偶数有0，2，4，6，8，所以A ＝0，2，4，6，8}． （2）小于8的质数有2，3，5，7，所以B ＝2，3，5，7}．（3）方程2x 2－x －3＝0的实数根为－1，32，所以C ＝31,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.（4）由326y x y x =+⎧⎨=-+⎩，得14x y =⎧⎨=⎩，所以一次函数y ＝x ＋3与y ＝－2x ＋6的交点为(1，4)，所以D ＝(1，4)}．14．（1）各个含义见解析；（2）不同的集合.解析：（1）可以看出①函数21y x =+的自变量当元素，②的元素是该函数的因变量y ，而③的元素是x ，y 构成的点，从而得出这三个集合分别表示函数21y x =+的定义域，值域，以及函数图象上的点集．（2）是不是相同的集合，就要看它们的元素是否完全相同，容易判断这三个集合的元素是否相同，从而可得结论. 详解：解：（1）集合①x|y＝x 2＋1}的代表元素是x ，满足条件y ＝x 2＋1中的x∈R， 所以实质上x|y ＝x 2＋1}＝R ；集合②的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y≥1， 所以实质上y|y ＝x 2＋1}＝y|y≥1}；集合③(x，y)|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y)，可以认为是满足y ＝x 2＋1的数对(x ，y)的集合，也可以认为是坐标平面内的点(x ，y)构成的集合，且这些点的坐标满足y ＝x 2＋1， 所以(x ，y)|y ＝x 2＋1}＝P|P 是抛物线y ＝x 2＋1上的点}． （2）由（1）中三个集合各自的含义知，它们是不同的集合．15．答案见解析．解析：根据集合的表示法求解． 详解：（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．16．解析：由题意可得f （1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，代入求出解析式，再解方程即可求解. 详解：：解答：A=1，-3}，∴f（1）−1=0，f （−3）−（−3）=0，即1−a+b −1=b −a=0，（9+3a+b ）+3=3a+b+12=0， 解得a=−3，b=−3.∴f（x ）+ax=2x +3x-3+（-3x ）=2x -3=0.∴B=17．1a =或0a =.解析：根据题意，分0a =，0a ≠两类情况分别讨论即可得答案.. 详解：解：当0a =时，方程化为210x -+=，解得12x =，则0a =符合题意； 当0a ≠时，关于x 的方程2210-+=ax x 是一元二次方程，由于集合A 中仅有一个元素，所以一元二次方程2210-+=ax x 仅有一个实数根， 所以440a ∆=-=，解得1a =. 综上所述，1a =或0a =. 点睛：本题考查根据集合的元素个数求参数的值，考查一元二次方程的根的问题，是基础题. 18．32-解析：根据题意可知23a -=-或2253a a +=-，解出a ，再由集合的性质确定符合条件的a 的值。

1.1 集合的概念一、单选题1．定义集合运算：()2{|1,,}A B z z x y x A y B ⋅==-∈∈.设{}1,1A =-，{}0,2B =，则集合A B ⋅中的所有元素之和为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．若{}212,x x ∈+，则．A ．B ．1C ．D ．03．已知不等式2340x x -->的解集为A ，则A =（ ） A ．()1,4- B ．()(),14,-∞-+∞C ．(]4,1-D ．()(),41,-∞-+∞4．已知集合{},23A xx a π==∣a 与集合A 的关系是（ ）. A ．a A ∈ B ．a A ∉ C ．a A = D ．{}a A ∈ 5．集合A =一条边长为1，一个角为40︒的等腰三角形}中元素有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个6．设集合{}112A -＝，，，集合{B x x A ∈＝且}2x A -∉，则B ＝（ ） A ．{}1-B ．{}2C ．{}12-，D ．{}12，7．若{}21,a a ∈，则a 的值为（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．±18．以下说法中正确的个数是 ①0与{}0表示同一个集合；②集合{}3,4M =与(){}3,4N =表示同一个集合； ③集合{}45x x <<不能用列举法表示． A ．0B ．1C ．2D ．39．下列选项中可以组成集合的是A ．接近0的数B ．很高的山C ．著名的主持人D ．大于0且小于10的整数10．{}|10P m m =-<<，2{|440Q m R mx mx =∈+-<对于任意实数x 恒成立}， 则下列关系中立的是A ．P Q ≠⊂ B ．Q P ≠⊂ C ．P Q = D ．P Q φ=二、填空题1．已知实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和，则x =__________． 2．已知集合{|A a =关于x 的方程211x ax +=-有唯一实数解，}a R ∈，用列举法表示集合A =___________．3．已知{}31,2,A x =，且x A ∈，则实数x 的取值集合是______．4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为________． 5．已知集合{}1,A x =，则x 的取值范围是________. 三、解答题1．已知集合S 满足条件：若a S ∈，则1(0,1)1aS a a a+∈≠≠±-．若3S ∈，试把集合S 中的所有元素都求出来．2．已知集合2{|290}A x x x a =-+-=，2{|410}B x ax x -+==，若集合A ，B 中至少有一个非空集合，求实数a 的取值范围．3．已知集合{}2320,A x ax x x =-+=∈R ．（1）若集合A 中只有一个元素，求实数a 的值，并写出该元素； （2）若集合A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．4．已知集合{|31,},{|32,},{|63,}A x x n n Z B x x n n Z C x x n n Z ==+∈==+∈==+∈. (1)若c C ∈,问是否存在,,a A b B ∈∈使c a b =+;(2)对于任意的,a A b B ∈∈,是否一定有a b C +∈?并证明你的结论.5．集合{|12}A x x =-≤≤，{|}B x x a =<． （1）若A B A =，求实数a 的取值范围； （2）若A B =∅，求实数a 的取值范围．参考答案一、单选题 1．A解析：根据定义，逐个分析,x y 的取值情况，由此得到z 的取值情况，从而集合A B ⋅可确定，则集合中所有元素的和可求. 详解：当1,0x y =-=时，()()21011z =-⨯-=-；当1,2x y =-=时，()()21211z =-⨯-=；当1,0x y ==时，()21011z =⨯-=-；当1,2x y ==时，()21211z =⨯-=；所以{}1,1A B ⋅=-，所以A B ⋅中所有元素之和为0， 故选：A. 点睛：关键点点睛：解答本题的关键是理解A B ⋅的运算方法，由此采用逐个列举的方法可完成结果的求解. 2．B 详解：试题分析：{}212,21x x x ∈+∴+=或21x =1x ∴=考点：元素和集合的关系3．B解析：解一元二次不等式得集合A 即可. 详解：解不等式()()234410x x x x --=-+>，得4x >或1x <-，所以不等式的解集为()(),14,A =-∞-+∞.故选：B 点睛：本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题. 4．B解析：比较a =π的大小关系，得到答案.1.732≈ 3.146≈π，∴a A ∉.故选：B. 点睛：本题考查了元素与集合的关系，属于基础题. 5．C解析：考虑已知角度为底角或顶角，已知边为腰或者底，得到答案. 详解：当顶角为40︒时，若边长为1的边为腰，有1个等腰三角形，若边长为1的边为底，有1个等腰三角形；当底角为40︒时，若边长为1的边为腰，有1个等腰三角形，若边长为1的边为底，有1个等腰三角形； 故共有4个元素. 故选：C . 点睛：本题考查了集合的元素个数，漏解是容易发生的错误. 6．C解析：对集合A 中的三个元素逐个分析可得. 详解：当1x =-时,23x A -=∉; 当1x =时,21x A -=∈; 当2x =时,220A -=∉, 所以{1,2}B =-. 故选:C. 点睛：本题考查了元素与集合的关系,属于基础题. 7．B解析：分1a =和21a =两种情况讨论，即得解. 详解：若1a =，则2a a =，不合题意，舍去； 若21a =，则1a =±，易知当1a =-时满足题意.点睛：本题主要考查元素与集合的关系，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 8．B解析：①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，可判定不正确；②中，根据集合表示的意义，可判定是不正确的；③中，集合{}45x x <<是一个无限数集，可判定是正确的，即可求解. 详解：由题意，可得①中，0表示一个实数，{}0表示同一个集合，所以不正确；对于②中，根据集合的表示方法，可得{}3,4M =表示数集，(){}3,4N =表示点集,所以不正确；对于③中，集合{}45x x <<是一个无限数集且无规律，不能用列举法表示，所以是正确的. 故选B. 点睛：本题主要考查了集合的概念，以及集合的表示方法，其中熟记集合的概念，以及集合的表示方法是解答的关键. 9．D解析：根据集合的三要素，逐个判断选项是否满足集合三要素确定性，互异性和无序性即可． 详解：选项A ，B ，C 中表意均不明确，并没有给出一个定量的标准来判断，所以均不满足集合的确定性，故不能组成集合．D 选项中大于0且小于10的整数分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9，可以组成集合． 点睛：判断是否能组成集合，主要利用集合的三要素：确定性，互异性和无序性进行判断，本题主要是针对确定性进行判断． 10．A解析：首先化简集合Q ，2440mx mx +-<对任意实数x 恒成立，则分两种情况：（1）0m =时，易知结论成立，（2）0m <时，2440mx mx +-=无根，则由∆<0求得m 的范围. 详解：{}2|440Q m R mx mx x =∈+-<对任意实数恒成立，对m 分类：（1）0m =时，40-<恒成立；（2）0m <时，需要2(4)160m m ∆=+<，解得10m -<<， 综合（1）（2）知10m -<≤，所以{}|10Q m m =-<≤，因为{}|10P m m =-<<，所以P Q ≠⊂，故选A. 点睛：该题考查的是有关判断集合间的关系的问题，涉及到的知识点有恒成立问题对应参数的取值范围的求法，真子集的概念问题，属于简单题目.二、填空题 1．-3解析：根据题意求元素的关系． 详解：解：因为实数集合{}1,2,3,x 的最大元素等于该集合的所有元素之和， 所以123x x +++=（无解）或者1233x +++=， 解得：3x =-． 故答案为：-3． 点睛：本题考查集合元素的关系，属于基础题．2．51,1,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭解析：试题分析：由211(1)(1)x a x ax x x ++==--+，当1x a x +=-或1x a x +=+时，方程有一解，当21x a x +=-有一解时，0∆=，54a =-，所以答案应填：51,1,4⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．考点：含参分式方程．3．{}1,0,2-解析：令1x =，2x =，3x x =分别求得x 的取值，根据元素互异性可得结果． 详解：当1x =时，31x =，由集合元素互异性知，不合题意 当2x =时，38x =，满足题意当3x x =时，0x =或1x =-或1x =（舍） 综上所述：实数x 的取值集合是：{}1,0,2- 点睛：本题考查了元素与集合关系的判断，考查了集合元素的互异性，是基础题．4．x|x ＝2n ，n∈N *} 详解：∵能被2整除的数都可写成2的整数倍，∴所有能被2整除的正整数的集合可表示为：{}|2,x x n n N *=∈故答案为{}|2,x x n n N *=∈5．1x ≠解析：利用集合元素的互异性可得结果。

4.3对数运算（精讲）一.对数的概念1.对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lg N自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…log e N记为ln N二.对数与指数的关系与性质1．对数与指数的关系(1)若a>0，且a≠1，则a x＝N⇒log a N＝x.(2)对数恒等式：a log a N＝N；log a a x＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的性质(1)log a1＝0(a>0，且a≠1)．(2)log a a＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．三.对数运算性质1.如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R).拓展：log am M n ＝nm log a M (n ∈R ，m ≠0).2.换底公式对数换底公式：log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1).特别地：（1）log a b ·log b a ＝1(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1).(2)log a b ·log b c ·log c a ＝1(a ＞0，b ＞0，c ＞0，且a ，b ，c ≠1)．一．对数与指数的关系示意图．二．指数式与对数式互化1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．三．利用对数运算性质化简与求值1.基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).考点一对数的概念【例1】（2022秋·上海徐汇）若()1log 11x x ++=，则x 的取值范围是.【答案】()()1,00,-⋃+∞【解析】对于等式()1log 11x x ++=，有1011x x +>⎧⎨+≠⎩，解得1x >-且0x ≠，因此，x 的取值范围是()()1,00,-⋃+∞.故答案为：()()1,00,-⋃+∞.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式()23log 34x x -++有意义，则实数x 的取值范围是.【答案】()1,4-【解析】根据真数大于0得2340x x -++>，解得14x -<<，故答案为：()1,4-.2．（2022秋·上海虹口）使得表达式()22log 12x -有意义的x 范围是．【答案】2222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】式子()22log 12x -要有意义，则2120x ->，解得2222x -<<，所以x 范围是22⎛ ⎝⎭.故答案为：2222⎛ ⎝⎭.考点二指数式与对数式的互化【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)125-=(2)44=(3)lg 0.0013=-.(4)2139-=；(5)21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(6)13log 273=-；(7)646=-.【答案】(1)51log2=-(2)44=(3)3100.001-=(4)31log 29=-；（5)14log 162=-；(6)31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(7)664-=.【解析】（1）由125-=可得1log 2=-.（2）由44=，可得44=.（3）由lg 0.0013=-，可得3100.001-=.（4）由2139-=，可得31log 29=-；（5）由21164-⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得14log 162=-；（6）由13log 273=-，可得31273-⎛⎫= ⎪⎝⎭；（7）由6=-，可得664-=.【一隅三反】（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．(1)2log 164=；(2)6x =；(3)3464=；(4)31327-=.(5)2log 64=6；(6)31log 481=-；(7)3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭；(8)21636-=．(9)210100=；(10)ln a b =；(11)37343=；(12)61log 236=-．【答案】(1)4216=(2)6x =(3)4log 643=(4)31log 327=-(5)6264=(6)41381-=(7)12log 83=-(8)61log 236=-(9)lg1002=(10)e b a =(11)7log 3433=(12)21636-=【解析】（1）因为2log 164=，所以4216=；（2）因为6x =，所以6x =；（3）因为3464=，所以4log 643=；（4）因为31327-=，所以31log 327=-.（5）2log 64=6，可得6264=.（6）31log 481=-，可得41381-=.（7）3182-⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得12log 83=-.（8）21636-=，可得61log 236=-.（9）lg1002=（10）e b a =（11）7log 3433=（12）21636-=考点三对数运算性质【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x 的值．(1)()25log log 0x =；(2)()3log lg 1=x ；(3)()()345l 0log lo og g x =.【答案】(1)5；(2)1000；(3)625.【解析】（1）∵()25log log 0x =，∴501log 2x ==，∴155x ==；（2）∵()3log lg 1=x ，∴1lg 33x ==，∴3101000x ==；（3）由()()345l 0log lo og g x =可得，()45log log 1x =，故5log 4x =，所以45625x ==.【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．(1)7524log 2⨯（）；(2)(3)7lg142lg lg 7lg183-+-；(4)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+.【答案】(1)19；(2)25；(3)0；(4)3.【解析】（1）()757522222424log 27log 45log 2725119log log =⨯=⨯+⨯+==＋；（2）15112lg100lg1002555===⨯=；（3）7lg142lg lg 7lg183-+-()()()2lg 272lg 7lg 3lg 7lg 23=⨯--+-⨯lg 2lg72lg72lg3lg7lg 22lg3=+-++--0=（4）()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23++⋅+()()22lg52lg 2lg52lg 2lg5lg 2=++⋅++()22lg10lg 5lg 2=++21=+3=【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：(1)1324lg lg lg 2493-(2)(21lg 2lg 52+⋅(3)(2lg 5lg 400lg ⋅+；(4)21230.2551log 3log 9log 4⎛⎫++ ⎪⎝⎭(5)3log 21233lg5log 2lg2log 3+-⨯⨯．【答案】(1)12(2)()211lg 24-(3)2(4)234（5）3【解析】（1）解法一：原式()()315222214lg 2lg 7lg 2lg 7523=--+⨯51lg 2lg 72lg 2lg 7lg 522=--++()11lg 2lg 522=+=.解法二：原式1lglg 4lg lg lg 72=-+=.（2）原式()()221111lg 2lg 2lg5lg 2lg 2lg512242⎛⎫=+⋅=+⋅- ⎪⎝⎭()()21111lg 2lg 2lg 5lg 21lg 2lg 22lg 5214224=+⋅-+=+-+()()211lg 2lg 50211lg 244=-+=-.（3）原式2lg 522lg 2()2g )⋅=＋＋()22lg52lg 2lg52lg 2⋅＝＋＋()2lg52lg 2lg5lg 2⋅＝＋＋2lg 52lg 2＝＋2＝．（4）原式2125119log 502⎛⎫=++- ⎪⎝⎭19231424=++=（5）原式2lg5lg21lg103=++=+=．【一隅三反】1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或x 的值）：(1)log 83x =(2)()lg 211035x -=(3)()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦(4)2log 321lg22log ln1162++++【答案】(1)2x =(2)18x =(3)64x =(4)12-【解析】（1）由log 83x =，得38x =，所以2x =；（2）由()lg 211035x -=两边取以10为底对数，得lg(21g 3)l 5x -=，即2351x -=，解得18x =；（3）由()234log log log 0x ⎡⎤=⎣⎦，得()34log log 1x =，所以4log 3x =，即64x =；（4）2log 321lg212log ln134011622+++=+-+=-=-.2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．(1)()722222632log 3log log 77log 28-+-；(2)()322log lg 25lg 4log log 16+-．(3)()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23++⋅+；(4)lg 2lg 3lg 10lg1.8-．(5)12038110.25()lg162lg 5()2722--+--+.(6)()()2lg1112log432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+- ⎪⎝⎭.；(8)()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭(9)2ln38916log 27log 6log 6e ⨯÷+；(10)419log 8log 34--(11))32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,(12)()222lg 5lg8lg 5lg 20lg 23+++,【答案】(1)1(2)12(3)3(4)12(5)332(6)2(7)4-(8)1(9)11(10)2-(11)1918-(12)3【解析】（1）原式可化为：()722222263log 3log log 77log 28-+-222632log 977log 2log 8232187⎛⎫=÷⨯-⨯=-=-= ⎪⎝⎭（2）原式可化为：()()222111log lg 25lg 4log log 16lg 254log 422222+-=+⨯-=+-=（3()()()2222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 22lg 52lg 2lg 52lg 2lg 5lg 23++⋅+=++⋅++()()22lg 5lg 2lg 5lg 2213=+++=+=.（4）11lg 2lg 3lg10lg 3lg 22lg 3lg10lg 2lg 9lg1022lg1.8lg1.82lg1.82lg1.8+--+-+-===18lg lg1.81102lg1.82lg1.82===.（5）10328110.25lg162lg52722--⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝()()13322222lg2lg513---⎡⎤⎛⎫+-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＝1422213-⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭＝31612+-＝332（6）()()2lg1112log 432162lg 20lg 2log 2log 31)9-⎛⎫++--⨯+- ⎪⎝⎭()13239201g 142l log 21)162log ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭13lg101144=++-+1111=+-+=2（71128125lg25lg10lg10-⨯⨯=⨯()2lg10112=⨯-4=-；（8）()()2266661log 2log 33log 2log log 23⎛⎫++⨯- ⎪⎝⎭()()226666log 2log 33log 2log =++⨯()()22666log 2log 33log 2log =++⨯()()226666log 2log 32log 2log 3=++⨯()266log 2log 3=+1=．（9）2ln38916log 27log 6log 6e ⨯÷+ln 92361log 3log 64log 2e2=⨯⨯+62236log 22log 392log 3log 2911log 3=⨯+=⨯+=；（10）419log 8log 34--2331log 2log 34log22=---314222=+-=-.（11）)32log 2lg13181lg 13271000⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭())3233log 2323lg 1013--⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭143129=+-+1918=-（12）原式为:()222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 23+++()()()22lg 52lg 21lg 21lg 2lg 2=++-++()2lg5lg 21=++3=考点四对数与指数的综合应用【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知8215,log 3==a b，则32a b -=（）A ．25B ．5C ．259D ．53【答案】B【解析】由题意可得2215log 15aa =⇒=，38221log 3log 3log 33b ===，所以2222221153log 153log 3log 15log 3log log 533a b ⎛⎫-=-⨯=-==⎪⎝⎭，所以2log 53225a b -==.故选：B.【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知,a b 均为正实数，若5log log 2b aa b b a a b +==，则a b＝（）A ．12或2B ．2CD ．2或12【答案】D【解析】令log a t b =，则152t t +=，所以22520t t -+=，解得12t =或2t =，所以1log 2a b =或log 2a b =，所以12a b =或2a b =，因为b a a b =，所以()22bb a b b b ==或2b a a a =，所以2b a =或2b a =，所以2a b =或12a b =，故选：D【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a ，b ，c 均为正数，且346a b c ==，求证：212a b c+=；【答案】证明见解析【解析】设346a b c k ===，则1k >.∴346log ,log ,log a k b k c k ===，∴3421212log 3log 4log 9log 4log 362log 6log log k k k k k k a b k k +=+=+=+==，而6222log 6log k c k ==，∴212a b c+=，得证.【一隅三反】1．（2023春·天津）已知326x y ==，则()222x y x y +的值（）A ．12B ．14C ．1D ．2【答案】C【解析】因为326x y ==，所以32log 6,log 6x y ==，所以()()222666221111log 3,log 2,log 61x y x y x y x y +⎛⎫===+== ⎪⎝⎭，故选：C 2．（2023秋·广东）已知436a b ==，则2a b ab +=.【答案】2【解析】由题意可得4log 6a =，3log 6b =，则61log 4a =，61log 3b =，故66212log 42log 3a b ab a b+=+=+=666log 4log 9log 362+==.故答案为：2.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知7.23x =，0.83y =，则11x y -的值为．【答案】2【解析】因为7.23x =，0.83y =，所以7.2log 3x =，0.8log 3y =，所以33337.20.811117.2log 7.2log 0.8log log 92log 3log 30.8x y -=-=-===．故答案为：24．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是A ．()2log 2log a a x x =B ．log log ()log a a a xx y y-=C ．log log log ()a a a x y x y -=-D．10103log log 5x =【答案】D【解析】因为()222log log log a a a x x x =≠，所以A 不对；因为log log log ()log a y a a x x x y y =≠-，所以B 不对；因为log log log log ()a a aa x x y x y y -=≠-，所以C 不对；因为351010103log log log 5x x ==，D 正确.故选D.考点五对数的实际应用【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对21p -（p 为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在257p ≤的素数中，当2p =，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，21p -是素数，其它都是合数.除了67p =和257p =两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在21p -型素数研究中所做的开创性工作，就把21p -型的素数称为“梅森素数”，记为21p Mp =-.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数191921M =-，第8个梅森素数313121M =-，则131lg 119M M ++约等于（参考数据：lg50.7≈）（）A ．17.1B ．8.4C ．6.6D ．3.6【答案】D 【解析】由已知可得()3112191312lg lg lg 212lg 2121lg 5 3.61192M M +====⨯-≈+.故选：D【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C ．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原来的14C 会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中14C 含量占原来的15，推算该古物约是m 年前的遗物（参考数据：1lg 2 3.3219-≈（）），则m 的值为（）A ．12302B ．13304C ．23004D ．24034【答案】B【解析】设原始量为x ，每年衰变率为a ，573012xa x =∴，157301()2a ∴=，57301(2)15m ma ==∴，()1221lg511log log 5lg10lg 21 2.321957305lg2lg2lg2m ∴====-=-≈，5730 2.321913304m ∴≈⨯≈.故选：B.2．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大约可以用（）（lg 20.301≈，lg 30.477≈）A ．11710万年B ．11810万年C ．11910万年D ．20010万年【答案】A【解析】1 万年用掉15310⨯个二维码，∴大约能用441152310⨯万年，设441152310x =⨯，则()44144115152lg lg lg2lg3lg10441lg2lg315310x ==-+=--⨯4410.3010.47715117,≈⨯--≈即11710x ≈万年，故选：A3．（2023秋·江苏南通）已知声强级（单位：分贝）010lg I L I =，其中常数()000I I >是能够引起听觉的最弱的声强，I 是实际声强.当声强级降低1分贝时，实际声强是原来的（）A ．110倍B ．11010倍C ．1010-倍D ．11010-倍【答案】D【解析】121L L -=，则120010lg 10lg 1I I I I -=，所以1110210I I =，∴1102110I I -=.故选：D.。