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第 2 讲因式分解练习（A）一．选择题：1.下列各式从左到右的变形中，是正确的因式分解的是（）( A) (a -b)2 =a 2 - 2ab +b 2(B) m2 -m =m2 (1 -1 ) m(C) a 2 - 3a - 4 =a(a - 3) - 4 (D)3x3 - 9x 2 - 3x = 3x(x 2 - 3x - 1)2.- (2a -b)(2a +b) 是下列多项式（）的分解结果（A）4a 2 -b 2（B）4a 2 +b 2（C）- 4a 2 -b2（D）- 4a 2 +b23.下列分解不正确的是（）（A）x 2 + 8x +16 = (x + 4)2 （B）- 4a 2 +12ab - 9b 2 = (2a - 3b)2（C） x2 -1x +13 36= (x -1)26（D）4a 2 b 2 + 4ab + 1 = (2ab + 1)24.下列各式中，能用平方差公式分解因此的是（）（A）－a 2 ＋b 2 （B）－a 2 －b 2 （C）a 2 ＋b 2 （D）a 3 －b 25.已知m＋n=－4，mn=5，关于x 的二次三项式x 2 －mnx－m－n 分解因式的结果是（A）(x－1) (x－4) （B）(x＋1) (x＋4)（）（C）(x＋1) (x－4) （C）(x－1) (x＋4)6. 下列由左到右的变形是正确的因式分解的是（）A．a2－b 2＋1＝（a＋b）（a－b）＋1；B．（m＋3）2＝m2＋6m＋9；C．x 5y－xy 5＝xy（x 2＋y 2）（x＋y）（x－y）；D．a 4 - 2a 2 b 2 -b 4 = (a +b)2 (a -b)2二．填空题：7. 分解因式：18m 2 (a -b) - 9m(a -b) = .8. 分解因式：(2m -n)2 - (3m + 2n)2 = . .9. 分解因式：x 2 - 2x -a 2 - 2a = .10. 分解因式：x2 + xy + 2y2 + 2x + ጤy = _ .11. 分解因式：4a 2 - 5a - 6 = .12.分解因式：6x 2n-1 y m - 4x 2n+1 y 3m= .13.已知∆ABC 的三边 a 、b 、c 满足 a 2 -ac =b2 -bc ，判断∆ABC 的形状. ..14.已知x 2 +x + 1 = 0 ，求x 2007 +x 2006 + ……+x3 +x 2 +x + 1 = ..三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x)2 — 1ጤ x2 + x + 2ጤ.16. 因式分解：x + 1 x + x + ′x + h + 1′.17. 因式分解：(x + ′)ጤ+ (x + )ጤ— 82.）18. 因式分解：(x2 + xy + y22—ጤxy(x2 + y2).19. 因式分解： x2 - 2xy - 8 y2 -x -14 y - 6 .20. 因式分解：x— 9x + 8.21.因式分解：x8 +x +1.22.如果多项式x2 —a + ′x + ′a—1 能分解成两个一次因式x + h x + h 的乘积，b，c 为整数，则a 的值为多少？23.已知多项式x3 -x 2 + 2x +k 能够进行因式分解，请求出k 的值，并将此多项式因式分解.24.如果kx 2 - 2xy + 3y 2 + 3x - 5 y+ 2 能分解成两个一次因式乘积，求k 2 + 5k + 0.25 的值.因式分解测试（B）一．选择题：1.把多项式4 x2y-4x y2- x3 分解因式得结果是（）A. 4xy(x-y)-x2B. –x(x-2y)2C. x(4xy-4y2- x2)D. –x(-4xy+4y2+ x2)2.下列分解因式错误的是（）A．a 2－5a＋6＝（a－2）（a-3）B．1－4m 2＋4m＝（1－2m）2C．－4x 2 ＋y 2 ＝-(2x＋y)（2x－y）D．3ab＋1a 2b 2 ＋9＝（3＋1ab）2 4 23. 在多项式－a 2 －b 2 －2ab，2ab―a 2 ―b 2 ，a 2 －b 2 ＋2ab，(a＋b) 2 －10(a＋b)＋25 中，能用完全平方公式分解因式的有（）（A）1 个（B）2 个(C）3 个（D）4 个4.已知a、b、c 是三角形ABC 的三边长，且满足a2+2b2+c2-2b（a+c）=0，则此三角形是（）A 等腰三角形B 等边三角形C 直角三角形D 不能确定5.已知x2+ax-12 能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（）A. 3 个B. 4 个C. 6 个D. 8 个6.实数m= 20203-2020，下列各数中不能整除m 的是（）A.2018B. 2019C. 2020D.2021二．填空题：7.因式分解：x2 -xy +xz -yz = .8. 因式分解：x 4 -y 4 + 4x 2 + 4 = .9. 因式分解：x2（x-2）-16（x-2）= .10. 因式分解：6 y2 -11y-10= .11. 因式分解：4x2-4x-y2+4y-3= .12. 如果正整数x、y 满足方程x2-y2=64，则这样的正整数对（x，y）的个数是.13. 若x2+x+m=（x-3）（x+n）对x 恒成立，则n= .14. 已知x-1 是多项式x3-3x+k 的一个因式，那么k= .三．简答题：15. 因式分解：(x2 + x + ጤ)2 + 8x x2 + x + ጤ + 1′x216. 因式分解：x2 + x + 1 x2 + x ++ 2 — 1217. 因式分解： 6x2 - 5xy - 6 y 2 + 2x + 23 y- 20 .18. 因式分解： x4 +x3 - 3x2 - 4x - 4 .19.如果a, b 是整数，且x2 -x -1是ax3 +bx2 +1 的因式，求a、b 的值.20.已知：a, b, c 为三角形的三条边，且a2 + 4ac + 3c2 -3ab - 7bc + 2b2 = 0 . 求证： 2b =a +c .21.如果x2 + hxy + ay2 —′x+ ጤጤy — 2ጤ可分解为两个一次因式的积，求a 的值.22. 已知x+ x2 + x + 1 =，求x28 + 2x2+ ′x199⺁.23.正数a、b、c 满足ah + a + h = hh + h + h = ha + h + a = ，求：(a + 1)(b + 1)(c + 1)的值.24.若代数式x x + 1 x + 2 x + + p 恰好能分解为两个二次整式的乘积（其中二次项系数均为1 且一次项系数相同），求p 的最大值.测试A一选择题：1. D 提示:因式分解的概念是把一个多项式写成整式的乘积的形式；2.D3. B 提示：完成平方公式的运用：a2+2ab+b2=（a+b）24.A提示：平方差公式的运用：a2-b2=（a+b）（a-b）5. A 提示：十字相乘法6.C二填空题：7.9m（a-b）（2m-1）提示：提取公因式9m（a-b）；8.-（5m+n）（m+3n）提示：利用平方差公式；9.（x+a）（x-a-2）提示：利用分组分解法（两两分组）；10.（x+2y）（x+y+2）提示：利用分组分解法（前三项与后两组）11.（a-2）（4a+3）提示：利用十字相乘法；12.2x2t—1y N（x2—2y2N）提示：提取公因式2x2t—1y N；13.等腰三角形提示：因式分解得：（a-b）（a+b-c）=0，因为a、b、c为三角形得三边，所以a+b-c 为非零数，所以a=b；14.0 提示：三个一分组，每组都有因式x2+x+1三简答题：15.（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）提示：（x2+x-2）（x2+x-12）=（x+2）（x-1）（x+4）（x-3）16. ( x2+8x+10)(x+2)(x+6)提示：（x2+8x+7）（x2+8x+15）+15=(x2+8x)2+22(x2+8x)+120=(x2+8x+10)(x2+8x+12) =( x2+8x+10)(x+2)(x+6)17.2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）提示：原式=(x + ጤ + 1)ጤ+ (x + ጤ— 1)ጤ— 82令t=x+4，所以t + 1 ጤ— 1 + t — 1 ጤ— 81= t + 1 2 — 1 t + 1 2 + 1 + t — 1 2 + 9 t — 1 2 — 9=2（t2+10）（t2-4）=2（x2+8x+26）（x2+8x+12）=2（x+2）（x+6）（x2+8x+26）18. （x2-xy+y2）2提示：令x+y=u，xy=v所以原式=（u2-v）2-4v（u2-2v）=u4-6u2v+9v2=（u2-3v）2=（x2-xy+y2）219.（x-4y-3）（x+2y+2）提示：x2-2xy-8y2-x-14y-6=(x-4y)(x+2y)+(2x-8y)-3x-6y-6=(x-4y)(x+2y)+2(x-4y)-3(x+2y+2)=(x-4y)(x+2y+2)-3(x+2y+2)=(x-4y-3)(x+2y+2)20.（x-1）（x2+x-8）提示：令x3- 9x+ 8=0则当x=1 时，x3- 9x+ 8=1-9+8=0 则可将多项式分解为x3- 9x+ 8=(x-1)(x2 +bx+c)展开，得(x-1)( x2 +bx+c)X3 +bx2 +cx-x2- bx-c=x3+(b-1)x2+(c-b)x-c= x3- 9x+ 8则可得，b-1=0, c-b=-9, -c=8解得b=1,C=-8则多项式为x3- 9x+ 8=(x- 1)(x2+x-8)21. (x2+x+1)(x2-x+1)(x4-x2+1)提示：原式=x8+2x4+1-x4,=(x4+1)2- (x2)2=(x4+x2+1)( x4-x2+1),=[( x4+2x2+1)-x2]( x4-x2+1),=(x2+x+1)(x2-x+1)( x4+x2+1).22. a=5提示：x2-(a+5)x+5a-1=(x+b)(x+c)= x2+(b+c)x=bc所以：-（a+5）=b+c，且5a-1=bc，即c=—′ —1′+h因为b、c 为整数，所以b=-4，代入得c=-6，则a=5。
第2讲、因式分解知识点1、因式分解基本概念1、定义把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
例如：注：分解因式是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式。
实质上是多项式运算的逆运算。
2、作用因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，广泛地应用于高中数学之中。
①解二次方程、一元二次不等式等需要因式分解转化乘积形式；②定义法、导数法证明函数单调性中变形、符号判定等；③三角形恒等变换对三角式子分解；④比较大小或者不等式证明，做差法因式分解判断符号。
3、分解步骤：（1）提：提负号，提公因数（公因式）①多项式的首项为负，应先提取负号，使括号内第一项系数是正的；②提取公因式，括号内切勿漏掉1；③要一次性提干净，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。
（2）套：套公式平方差、立方差、完全平方式等；（3）分解：如果用上述方法不能分解，再尝试用十字相乘法、分组、拆项、补项法来分解。
注意：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”；某项提出莫漏1；括号里面分到“底”再看能否套公式，后用十字相乘试一试，分组分解要合适。
4、分解原则：①分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；②每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；③结果最后只留下小括号，分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止；④结果的多项式首项一般为正。
在一个公式内把其公因子抽出，即通过公式重组，然后再抽出公因子；⑤括号内的首项系数一般为正；⑥如有单项式和多项式相乘，应把单项式提到多项式前。
如a c b )(+要写成)(c b a +；⑦注意因式分解的范围，一般只化到有理数就够了，有说明实数的话，一般就要化到实数。
知识点2、因式分解常用方法:公式法1、平方差公式：22()()a b a b a b -=+-两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
2、完全平方式：2222()a ab b a b ++=+2222()a ab b a b -+=-两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方。
第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．是一种重要的基本技能．平方差公式和完全平方(因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法、十字相乘法和分组分解法等等．)外，还有公式法(立方和、立方差公式)公式)立方和、立方差公式一、公式法(在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：3322b?)b)(a??ab?ba(a?) 立方和公式(3322b?)(a??ab?ba)(a?b)立方差公式( 由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：2233)?ab??(a?b)(aa?bb2323)b?abb?(a?)(aa?b?这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式：33b270.125?8?x(1) (2)33330.125?0.5,27b?(3b)28?．，(1)中，(2)中分析：3332)2xx?2?x?(2?x)(4?8?x? (1) 解：22333](3b)?b?(3)?(0.5?3b)[0.50.5?3b??0.125?27b0.5(2)2)b?9b)(0.25?1.5b3?(0.5?3338ab?(2ab)，(1) 说明：在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如nnn b?a(ab)一定要看准因式中各项的公式分解因式时，(2) 这里逆用了法则；在运用立方和(差) 符．【例2】分解因式：4367b?81b3aaba? (2) (1)66b?a，可看中提取公因式后，括内出现分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 32223323)(ba)?b(a)?()(．着是或233234)?9bb)(a?3ab(b3a?81b?3b(a?27b)?3ba?3 (1) ．解：33376663)a?ab?a(a?b)?a(ab)(a??b(2)2222)a?b)(ab?ab?a(a?b)(a?ab?b?)(2222)?ab?bab?a(a?b)(a?b)(a??b)(a二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项nb?ma?mb?na既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先以上的多项式，如将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．1．分组后能提取公因式bxby?2ax?10ay?5把分解因式．【例3】x 的降幂排列，然后从把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按分析：y5x?b?2a两组分别提出公因式，这时另一个因式正好都是，这样可以继续提取公因式．与)y)(2a?b5(x?y)?(x?55?2ax?10ay?5bybx?2a(x?y)?b解：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方说明：法．本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试．2222cd))c?d?(a?bab(分解因式．4 【例】把按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括打开后重新分组，然后再分解因式．分析：22222222cdcd?ba)cd?abc?abd?b?cab(?d)(a?解：2222)bcd?(abc?aabdcd)?(?)?bd?(bcad)(ac)(adac?(bc?)?bdbc?ad?可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法4说明：由例3、例交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律．由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用．2．分组后能直接运用公式22ay?axyx??】5【例把分解因式．把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其分析：a yxx?y?.后，另一个因式也是；把第三、四项作为另一组，在提出公因式中一个因式是22)?a)(x?y)?a(x?y)?(x?y?x?y?ax?ay?(x?y)(xy解：222z?82x?4xy?2y 6】把分解因式．【例222z4?y?2x?xy，其中前三项作为一组，它是一个完全2提出后，得到分析：先将系数平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式．222222)?2(zy?4x?2xy?2x?4xy?2y?8z解：22)zy?22(?x?y?2z)(?2[(x?y)x?(2z)?]可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取说明：从例5、例6公因式进行分解，并且各组在分解后，它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式．三、十字相乘法2pqq)x?x?(p? 1 ．型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．(1) 二次项系数是1；22)q)(x???p)?(xp?qx?xpq?(x?p)?q(xxq?(p?)x?pq?x?px2)x?q?(x?p)(xx?(p?q)?pq因此，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式．把下列各式因式分解：【例7】2236x?x?13x?7x?6 (2) (1)7???(?6)? 6?(?1)?(?6),(1) (1) 解：2)?)(6?]x(?x1][6?x?(?1)x[??(6)xx??7?．13?9? 36?4?9,4 (2)2(?4x)(?x13x?36?9)? x?说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同因数，它们的符与一次项系数的符相同．【例8】把下列各式因式分解：2215?224x?xxx?5?(1) (2)?24?(?3)?8,(?3)?8?5解：(1)2)?8)x(?x3)(2?4?x[?(?3)x](?8? x??5x2??5)?3,(?5)?3( ?15??(2)2)3(?x5)(??x[?(5)x](?3?)x? x?2x?15?此例可以看出，常数项为负数时，应分解为两个异的因数，其中绝对值较大的因数与说明：一次项系数的符相同．9】把下列各式因式分解：【例22222128(x?x?xy?6y)?(x?x)?x(2) (1) 222y?6x?xyy?6x y，看成，一次项系数是的二次三项式，这时常数项是分析：(1) 把2y?6y)??(?2y?2y3yy3的积，而把分解成，正好是一次项系数．与2x?xa，可不必写出，只当作分解二次三由换元思想，只要把整体看作一个字母(2)212?a?8a．项式2222)2y?(x?3y)(x??x?xy?6yx?yx?6解：(1)222222)x?x?)x?x)?8(x?x?12?(x?x?6)(((2)1)?2)(x?(x?3)(x?2)(x?2c?ax?bx 2．一般二次三项式型的因式分解2cx?c?(acac)xax?c)(a?c)?aax?(．大家知道，?cc,,a,acaacca11，这分解2111222212112)cx?x?c)(ac?a)x?cc?(a(aax?ac反过来，就得到：221121222111ca成写成分解成，把，常数项我们发现，二次项系数21212211ca222caac?c?ax?bx b，，如果它正好等于的一次项系数里按斜线交叉相乘，再相加，就得到11222)c)(ax?c(ax?ca,c,ac??bxax位于上一行，，其中就可以分解成那么位于下一行．22112211这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．】把下列各式因式分解：10 【例222yxy?5x6?82125?xx? (2) (1)2?3?21)???5x?2?(3x2)(4x12x解：(1) 14y 21?22)x?2yy?4)(5x5x?6xy?8y?( (2) y45?时较困难，具体分解时，1说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是，看是否符合一”为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”凑”绝对值，然后调整，添加正、负．，先次项系数，否则用加法”凑”四、其它因式分解的方法．配方法1216?6x?x分解因式11【例】2222225?3)?(?2?x?3?3?3?16?x16x?6x??x解：2)8)(x??5)?(x?(?x?3?5)(x?3配方后将二次三项式化为两个平方式，说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验．．拆、添项法2234?x?3x】【例12分解因式细查式中无一次项，分组也不易进行．分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，了，可考虑通0如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为过添项或拆项解决．22333)x???4?(x1)?(3?x3x解：221)]??3(xx?x?1)1)1)??3(x?1)(x??(x?1)[(x?(?1)(x?x222)?x(?1)(x?1)(x?4x?4)?x?(的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成与34拆成1说明：本解法把原常数222y?4xx3?，将多项式分成两组拆成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将223)(x?x4??4x和．一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．练习A 组1．把下列各式分解因式：3338?27x8?m?27a? (3) (2) (1)111113333333x?yp?q?c?xy8(6)(5) (4) 216271258642．把下列各式分解因式：n?3n343yx?xx?xy(1) (2)22333222y)??2x)?aby(xa(m?n (4) (3)3．把下列各式分解因式：22226??11x?37x?36x?3x?2xx(2) (1) (3)222228b)?b)?11(a?(a?mx?6x?27?4mn?5n (4) (6) (5)4．把下列各式分解因式：2221n?3n2n?54?9x(x)?2bax?10ax?16ax6ab?a?a (1) (3) (2)22242y?15x?26xy83?6x?7x?x?7x18(6) (4) (5)2227(a?b)?5(a?b)?2(6x?7x)?25(8) (7)5．把下列各式分解因式：2223y6??2xy5x?15xy3ax?3ay??yx1?8x?4x2x? (2) (3) (1)2242222243yx?44xy?1?abb??a36b?aab?4a20ab?25b?(5) (4) (6)6632)?x?y1(xyx(x?1)?x?y2x?(7) (8)组B1．把下列各式分解因式：222222)bacd(?(abc?d)?n4?8mn?x?4mx (2) (1)3223234y8x2y?4x?xy?x?11x?31x?2164?x (4) (3) (5)22222ab?2ab?ab2aab,?b??的值．．已知2，求代数式3．53n?4n?5nn 3．证明：当2为大于的整数时，120整除．能被32230?b?a?ac?bc?abc0a?b?c?．已知，求证：．4第二讲因式分解答案A组222),x6x?9m?m),(2?3x)(4??(a?3)(a?3a?9),(2m)(4?2 1．112112222222)4c?22xy?c)(xpq?qxyc),(2xy?)(4xyy???xy?),(2p?q)(4p(?2 64552521622n22x(x?y)(y?xy?x),x(x?y)(x?xy?y),2．22222432?2xx??4x)?b1)],y?(x?1)3(an(m?n?b)[(m?)x?b(m?n(x?2)(x?1),(x?36)(x?1),(x?13)(x?2),(x?9)(x?3) 3．(x?9)(x?3),(m?5n)(m?n),(a?b?4)(a?b?7)3n22?2)3)(xx?3)(x?3)(x?1)(xx?2?3),((x?2)(x?8),a)((a?3ba?2b),(x?ax．42(2x?3)(x3?1)x(?3?(x 1),(x?2x?5)(675a?))1x,(?2yx?(4y15a),(b7?7?2b?)．52(2x?1),(x?3)(5x?2y),(2a?),(2x?1)5b?6)( 2a?5b?6)a(x?y)(3?y23333),x(x?y)(xy?)(xy?1?y?a?2x?y)(12x?y),ab(?b)b(a?),(x1)?1?(1?．B组228),??4x8)(),(x?4x?x24adbc?)(ac?bd),(x?m?2n)(x?n(．12y2x)?(y2),)?x((x?1x7)x?(3(?)．28 2．353n?5n?4n?(n?2)(n?1)n(n?1)(n?2) 3．223223)baba???bc?aa?cabcb(??)(b?a?c．4．。
第二讲 因式分解多项式的因式分解是代数恒等变形的最有力的扛杆之一,是解决许多数学问题的有力工具,因式分解方法灵活,技巧性强.本讲除了复习巩固因式分解最基本的方法外,还将讲解一些特殊的因式分解方法.(分解到不能再分解为止)一、 因式分解的基本方法(一) 重点知识因式分解的基本方法有 、 、 .其中公式法中常见的公式有平方差公式: 、完全平方公式: 、立方和公式: 、立方差公式: ;对多项式用分组分解法严格说不是终极方法,而是过程中的一种手段,而将多项式进行分组的目的在于经过适当的分组之后,原多项式能转化为可用 、或可用 、或可用 等方法继续分解.(二)热身训练1.填空1)()2()a ab a a b c ++=++; 2)()24(25)(25)x x x +=+-3)()()222(6)x y xy ++=-; 4)()()2210a a -+= 5)()22294()x y ++=; 6)()()382x x -=- 7)()()33273a b a b +=+.2.分解因式 1).264x - 2)39x x -3)222a c abc b c -+ 4)2332x y x y -5)4x x - 6)2a ab ac bc +++(三)举例例1.把2122()()()2()()n n n x y x z x y y x y z +----+--分解因式,其中n 为正整数.例2.分解因式:1.42242x x y y -+2.464x x -3.2222x xy y z -+-4.222222()4()c b d a ab cd -+---例3. ①分解因式54321x x x x x +++++= ;②因式分解15141321x x x x x ++++++= ；③化简2481632(21)(21)(21)(21)(21)(21)++++++= .二、 因式分解的其它方法（一）重点知识再现与方法点拨因式分解除了初中教材要求的一些基本的方法外,因式分解的方法还有一些特殊的方法,对于一些特殊的多项式,仅仅依靠现有的最基本的方法是远远不够的,比如我们今后在高中学习过程中,要遇到一些与方程的解有关的问题,特别是一些高次方程的解的问题,就需要用到一些现在我们初中没有学过的一些特殊方法才能得以解决,因此我们有必要给大家介绍一些特殊的分解手段.常见的特殊方法:换元法、十字相乘法、拆项添项法、待定系数法等1. 换元法:就是对于一些特殊的多项式,如果把其中的某些部分看作一个整体,用一个新的字母代替,不仅可使原式得到简化,而且能使式子的特点更加明显,这种方法就称因式分解的换元法.2. 十字相乘法:借助画十字交叉线,对类似多项式2()acx ab cd x bd +++的二次项系数ac ,常数项bd 进行分解后交叉相乘再相加,得到一次项系数ab cd +,从而得到2()acx ab cd x bd +++的分解式来分解二次三项式的方法.一般形式是2()acx ab cd x bd +++= ;3. 拆项添项法:对某些多项式进行因分解时,需要对多项式进行适当的变形,使其能分组分解,分组分解法严格说又不是终极方法,而是过程的中间手段,而拆项添项是两种重要的变形技巧.把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个符号相反的项,前者为拆项,后者为添项,使用拆项或添项的目的是使多项式能用分组分解法进行分解.(常可用因式定理来观察出一些特殊因式,再有目的地进行拆项或添项,拆项或添项的方法不是唯一的)4. 待定系数法:(与换元法一样)是中学数学的最重要的数学方法,是解决数学问题的常见的手段和方法.待定系数法是假定一个含有待定系数的恒等式,然后根据多项式恒等的性质,列出几个含有待定系数的方程组,解之求得各待定系数的值,或者从方程组中消去这些待定系数,求出原来那些系数的所存在的关系,从而使问题解决.（二）热身训练:分解因式1.3223x x x --2.222()2()x x x x ---3.2252x x -+（三） 举例:例1.分解因式 (换元法)①22(1)(2)12x x x x ++++-②22222()4()x xy y xy x y ++-+③2(2)(2)(1)x y xy x y xy +-+-+-例2.分解因式(十字相乘法) ①22568x xy y +-②222(2)(1122)24x x x x ---+③2222223x xy y xz yz z -+-+-例3.分解因式(添项拆项法) ①398x x -+②32216x x +-③444x y +例4*.分解因式(待定系数法) ①2232453x xy y x y +++++②2262288x xy y x y +-+--习题2因式分解1.327x y y +2.5324816x x y xy -+3.3232a a a b b b +++-+4.222222()4a b c a b +--5.2224424x xy y xz yz z +++++6.228215x xy y --7.222261712a b abcd c d -+8.422454x x y y -+9.22()6a b a b -+--10.2(3)(1)(5)20x x x +-+-11.44x +12.32x x +- 13.332x x -+14.51x x ++15.222273x xy y x y +-++-。
第二讲因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各样恒等变形中起侧重要的作用．是一种重要的基本技术．因式分解的方法许多，除了初中课本波及到的提取公因式法和公式法 (平方差公式和完整平方公式 )外，还有公式法 (立方和、立方差公式 )、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等．一、公式法 ( 立方和、立方差公式)a3b3(a b)(a2ab b2 )a3b3(a b)(a2ab b2 )这就是说，两个数的立方和( 差 ) ，等于这两个数的和( 差) 乘以它们的平方和与它们积的差( 和) ．运用这两个公式，能够把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．【例 1】因式分解：(1)8x3(2)0.12527b3解： (1)8x323x3(2x)(42x x2 ) .(2)0.12527b30.53(3b)3(0.53b)[0.520.53b(3b)2 ](0.5 3b)(0.25 1.5b9b2 ) .说明： (1)在运用立方和 ( 差 ) 公式分解因式时，常常要逆用幂的运算法例，如8a3b3(2 ab)3，这里逆用了法例 (ab)n a n b n；(2)在运用立方和 ( 差 ) 公式分解因式时，必定要看准因式中各项的符．【例 2】因式分解：(1)3a3 b 81b4(2)a7ab6解： (1)3a3b 81b43b(a327b3 )3b(a3b)( a23ab 9b2 ) ．(2)a7ab 6a(a6b6 )a( a3b3 )(a3b3 )a(a b)(a2ab b2 )(a b)(a2ab b2 )a(a b)(a b)( a2ab b2 )(a2ab b2 ).a7ab6a(a6b6 ) a( a2b2 )(a4a2 b2b4 )a(a 2b2 )[( a2b2 )2a2b2 ]a(a b)(a b)(a2ab b2 )( a2ab b2 ).二、分组分解法以前方能够看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主假如二项式和三项式．而关于四项以上的多项式，如 ma mb na nb 既没有公式可用，也没有公因式能够提取．所以，能够先将多项式分组办理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的重点在于怎样分组．【例3】把2ax10ay5by bx 分解因式．解：2ax10 ay5by bx2a( x 5 y)b( x 5 y)( x 5 y)(2 a b) .说明：用分组分解法，必定要想一想分组后可否持续达成因式分解，由此合理选择分组的方法．此题也能够将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不如一试．【例 4】把 ab(c 2 d 2 ) (a 2b 2 )cd 分解因式．解： ab(c 2d 2 ) (a 2 b 2 )cdabc 2 abd 2 a 2cd b 2 cd(abc 2a 2 cd ) (b 2cdabd 2 )ac(bc ad ) bd (bc ad )(bc ad )(ac bd ) .【例 5】把 2x 2 4xy 2 y 2 8z 2 分解因式．解： 2x 24xy 2 y 2 8z 2 2( x 22xy y 2 4z 2 )2[( x y)2(2 z)2 ] 2( xy 2z)( x y2z) .三、十字相乘法1． x 2 ( p q) x pq 型的因式分解(1)二次项系数是 1； (2) 常数项是两个数之积； (3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．x 2( p q)xpq x 2px qx pq x(x p) q( x p)( x p)( x q) .所以， x 2( p q) x pq(xp)( xq) .【例 6】因式分解：(1)x 27 x 6(2)x 2 13x36解： (1)x 2 7x6 [ x ( 1)][ x( 6)] ( x 1)( x 6) ．(2)x 2 13x 36(x 4)( x9) .【例 7】因式分解：(1)x 2 xy 6 y 2(2)( x 2 x) 28( x 2 x) 12解： (1)x 2 xy 6 y 2x 2yx62 (x 3y)(x 2 y) .(2) ( x 2x) 2 8( x 2 x) 12( x 2x 6)( x 2x 2)(x 3)( x 2)( x 2)( x 1) .2．一般二次三项式 ax 2bxc 型的因式分解大家知道， (a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) a 1a 2 x 2 (a 1c 2 a 2 c 1 ) x c 1 c 2 ． 反过来，就获得： a 1a 2 x 2 (a 1c 2a 2c 1 ) x c 1c 2(a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 )我们发现，二次项系数a分解成 a 1a 2 ，常数项 c 分解成 c 1 c 2 ，把 a 1 , a 2 , c 1 ,c 2 写成a1c 1，这里按斜a 2 c 2线交错相乘，再相加，就获得a 1 c 2 a 2c 1 ，那么 ax 2 bx c 就能够分解成 (a 1 x c 1 )(a 2 x c 2 ) ．这类 借助画十字交错线分解系数，进而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 【例 8】因式分解：(1) 12 x 2 5x 2(2)5x 26xy 8 y 2解： (1) 12x25x2 (3x 2)(4 x1).3 24 1(2) 5x26 xy 8y2( x2 y)(5 x 4y) .1 254【例 9】因式分解：(1)( x 2 2x) 7( x 2 2x)8(2)x 22x 15 ax 5a剖析： 用十字相乘法分解因式也要注意分解完全，有时可能会多次使用十字相乘法，而且关于项数较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项能够三、二组合.解： (1)原式(x 22x1)( x22x8)( x 1)2 ( x2)( x 4) .(2)原式( x 22x15)(ax5a)( x3)( x 5)a(x 5) (x 5)( x 3 a) .四、配方法【例 10】因式分解 (1)x26x 16（ 2）x24xy 4y2解： (1)x26x 16(x3)252(x 8)( x2) .(2)x24xy 4 y2( x24xy4y2 ) 8 y2( x 2y)28 y2(x 2 y 2 2 y)( x 2 y 2 2y) .说明：这类想法配成有完整平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，而后用平方差公式分解．五、拆 ( 添) 项法【例 11】因式分解x33x24解：x33x2 4 (x31)(3x23)(x1)(x2x1)3( x1)(x1)( x 1)[( x2x 1) 3( x 1)](x1)(x24x4)( x1)( x2) 2.说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按以下步骤进行：(1)假如多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 假如各项没有公因式，那么能够运用公式法或分组分解法或其余方法( 如十字相乘法) 来分解；(3)因式分解一定进行到每一个多项式因式都不可以再分解为止．。
初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题02分解因式本专题在初中、高中扮演的角色因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备.因此，它起到了初、高中承上启下的作用.分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题中的应用较多，在几何学中同样有应用.用十字相乘法分解因式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘法写出的因式漏写字母.因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b=⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++.要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号； （2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止. 要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即21a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即21c c c =，把2121c c a a ，，，排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号 里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形. 由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数， 所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x 2+（m+n ）x+mn 的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x 2+（m+n ）x+mn ＝（x+m ）（x+n ）． 例如：x 2+5x+6＝x 2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）． 运用上述方法分解因式： （1）x 2+6x+8； （2）x 2﹣x ﹣6； （3）x 2﹣5xy+6y 2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x 3﹣2x 2﹣3x 进行分解因式．【能力提升】由多项式的乘法：(x ＋a)(x ＋b)＝x 2＋(a ＋b)x ＋ab ，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x 2＋(a ＋b)x ＋ab ＝(x ＋a)(x ＋b)．实例 分解因式：x 2＋5x ＋6＝x 2＋(2＋3)x ＋2×3＝(x ＋2)(x ＋3)． (1)尝试 分解因式：x 2＋6x ＋8；(2)应用 请用上述方法解方程：x 2－3x －4＝0. 高中必备知识点2：提取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。
一、【内容概述】0)a ≥叫做二次根式，其性质如下：(1) 2(0)a a =≥||a =0,0)a b =≥≥ 0,0)a b =>≥ 【典型例题—1】：基本的化简、求值例7.化简下列各式：+ 1)x ≥例8.变式1:a =-成立的条件是( )A ．0a >B ．0a <C ．0a ≤D ．a 是任意实数变式2:若3x <|6|x -的值是( ) A ．－３B ．３C ．－９D ．９变式3：有理化因式和分母有理化例9.计算：（1）21)(1-+ +例10.设x y ==，求33x y +的值二、分解因式【典型例题—1】十字相乘（1）2()x p q x pq +++型的因式分解例18.把下列各式因式分解： (1) 276x x -+(2) 21336x x ++例19.把下列各式因式分解： (1) 2524x x +-(2) 2215x x --例20.把下列各式因式分解： (1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++（2）一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解由2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++，我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +。
如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能定一个二次三项式能否用十字相乘法分解．例21.把下列各式因式分解：(1) 21252x x -- (2) 22568x xy y +-【典型例题—2】：分组分解法【内容概述】从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．常见题型：（1）分组后能提取公因式 （2）分组后能直接运用公式（1）分组后能提取公因式例16.把2105ax ay by bx -+-分解因式。
第2讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形．在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用．因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式）外，还有公式法（立方和、立方差公式）、十字相乘法和分组分解法等等．在第一节里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式：2233()()a b a ab b a b +-+=+ (立方和公式)；2233()()a b a ab b a b -++=- (立方差公式)由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到：3322()()a b a b a ab b +=+-+；3322()()a b a b a ab b -=-++【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项式： (1) 38x +(2)30.12527b -解：(1) 333282(2)(42)x x x x x +=+=+-+ (2)333220.125270.5(3)(0.53)[0.50.53(3)]b b b b b -=-=-+⨯+2(0.53)(0.25 1.59)b b b =-++说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如3338(2)a b ab =，这里逆用了法则()n n n ab a b =；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号．【例2】分解因式：(1) 34381a b b - (2) 76a ab -分析：(1) 中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后，括号内出现66a b -，可看着是3232()()a b -或2323()()a b -．解：(1) 3433223813(27)3(3)(39)a b b b a b b a b a ab b -=-=-++．(2) 76663333()()()a ab a a b a a b a b -=-=+-22222222()()()()()()()()a ab a ab b a b a ab b a a b a b a ab b a ab b =+-+-++=+-++-+2.2提取公因式法与分组分解法【例3】把22x y ax ay -++分解因式．分析：把第一、二项为一组，这两项虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是x y +；把第三、四项作为另一组，在提出公因式a 后，另一个因式也是x y +.解：22()()()()()x y ax ay x y x y a x y x y x y a -++=+-++=+-+ 【例4】分解因式：（1）()()255ab a b -+-； （2）32933x x x +++．解：（1）()()255a b a b -+-=(5)(1)a b a --；（2）32933x x x +++32(3)(39)x x x =+++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．【例5】分解因式： （1）32933x x x +++；（2）222456x xy y x y +--+-．解：（1）32933x x x +++=32(3)(39)x x x +++=2(3)3(3)x x x +++=2(3)(3)x x ++．或32933x x x +++＝32(331)8x x x ++++＝3(1)8x ++＝33(1)2x ++＝22[(1)2][(1)(1)22]x x x +++-+⨯+＝2(3)(3)x x ++． （2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或 222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +---- =(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．【例6】把2222428x xy y z ++-分解因式．分析：先将系数2提出后，得到22224x xy y z ++-，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式． 解：22222224282(24)x xy y z x xy y z ++-=++-222[()(2)]2(2)(2)x y z x y z x y z =+-=+++-练习：1．多项式xyz xy y x 42622+-中各项的公因式是__________． 2．()()()∙-=-+-y x x y n y x m _____． 3．()()()∙-=-+-222y x x y n y x m ____．4．()()()∙--=-++--z y x x z y n z y x m _________． 5．()()∙--=++---z y x z y x z y x m ______． 6．2105ax ay by bx -+-=_________________ 7．2222()()ab c d a b cd ---【答案】1．2xy ；2．()m n -；3．()m n +；4．()m n -；5．(1)m -．6．21052(5)(5)(5)(2)ax ay by bx a x y b x y x y a b -+-=---=-- 7．22222222()()ab c d a b cd abc abd a cd b cd ---=--+2222()()abc a cd b cd abd =-+-()()()()ac bc ad bd bc ad bc ad ac bd =-+-=-+2.3 十字相乘法2.3.1 形如2()x p q x pq +++型的因式分解这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：(1) 二次项系数是1；(2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++，运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 我们也可以用一个图表示，此方法叫做十字相乘法． 【例7】把下列各式因式分解：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1.1－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－p qx x1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1中的两个x 用1来表示（如图2所示）．（2）由图3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图4，得 22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by -- （4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图5）． 练习：把下列各式因式分解(1) 276x x -+ (2) 21336x x ++ (3) 2524x x +- (4) 2215x x -- 解：(1)6(1)(6),(1)(6)7=-⨯--+-=-，∴276[(1)][(6)](1)(6)x x x x x x -+=+-+-=--．(2) 3649,4913=⨯+=，∴21336(4)(9)x x x x ++=++．(3)24(3)8,(3)85-=-⨯-+=，∴2 524[(3)](8)(3)(8)x x x x x x +-=+-+=-+．(4)15(5)3,(5)32-=-⨯-+=-，∴2215[(5)](3)(5)(3)x x x x x x --=+-+=-+． 【例8】把下列各式因式分解：(1) 226x xy y +-(2) 222()8()12x x x x +-++分析：(1) 把226x xy y +-看成x 的二次三项式，这时常数项是26y -，一次项系数是y ，把26y -分解成3y 与2y -的积，而3(2)y y y +-=，正好是一次项系数；(2) 由换元思想，只要把2x x +整体看作一个字母a ，可不必写出，只当作分解二次三项式2812a a -+．解：(1) 222266(3)(2)x xy y x yx x y x y +-=+-=+-．－1 －2x x图1－1 －21 1图2－2 61 1图3－ay －byx x图4－1 1x y图5(2)22222()8()12(6)(2)x x x x x x x x +-++=+-+-(3)(2)(2)(1)x x x x =+-+-．2.3.2 形如一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解我们知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++． 反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++ 我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，如果它正好等于2ax bx c ++的一次项系数b ，那么2ax bxc ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++，其中11,a c 位于上一行，22,a c 位于下一行．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，也叫做十字相乘法．【例9】把下列各式因式分解：(1) 21252x x --(2) 22568x xy y +-解：(1) 21252(32)(41)x x x x --=-+3241-⨯(2) 22568(2)(54)x xy y x y x y +-=+-1 254y y -⨯说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要．当二次项系数不是1时较困难，具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号． 2.4 配方法【例10】把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．解： （1）令221x x +-=0，则解得11x =-21x =--，∴221x x +-=(1(1x x ⎡⎤⎡⎤-----⎣⎦⎣⎦=(11x x +-++．（2）令2244x xy y +-=0，则解得1(2x y =-+，1(2x y =--，∴2244x xy y +-=[2(1][2(1]x y x y ++．【练习】分解因式2616x x +-解：222222616233316(3)5x x x x x +-=+⨯⨯+--=+-(35)(35)(8)(2)x x x x =+++-=+-说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解．当然，本题还有其它方法，请大家试验． 2.5 拆、添项法【例11】分解因式3234x x -+分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行．细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决．解： 323234(1)(33)x x x x -+=+-- 22(1)(1)3(1)(1)(1)[(1)3(1)]x x x x x x x x x =+-+-+-=+-+--22(1)(44)(1)(2)x x x x x =+-+=+-说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件．本题还可以将23x -拆成224x x -，将多项式分成两组32()x x +和244x -+．1．把下列各式分解因式： (1) 327a +(2) 38m -(3) 3278x -+(4) 3311864p q --(5) 3318125x y -(6)3331121627x y c + 2．把下列各式分解因式：(1) 34xy x +(2) 33n n xx y +-(3) 2323()a m n a b +-(4) 2232(2)y x x y -+3．把下列各式分解因式： (1) 232x x -+ (2) 23736x x ++(3)21126x x +-(4) 2627x x --(5) 2245m mn n --(6) 2()11()28a b a b -+-+4．把下列各式分解因式： (1) 5431016ax ax ax -+ (2) 2126n n n a a b a b +++- (3) 22(2)9x x -- (4) 42718x x --(5) 2673x x --(6) 2282615x xy y +-(7) 27()5()2a b a b +-+-(8) 22(67)25x x --5．把下列各式分解因式： (1) 233ax ay xy y -+-(2) 328421x x x +-- (3) 251526x x xy y -+-(4) 224202536a ab b -+- (5) 22414xy x y +-- (6) 432224a b a b a b ab +-- (7) 66321x y x --+(8) 2(1)()x x y xy x +-+参考答案1．222(3)(39),(2)(42),(23)(469),a a a m m m x x x +-+-++-++222222211211(2)(42),(2)(4),(2)(24)645525216p q p pq q xy x y xy xy c x y xyc c -+-+-+++-+2．2222()(),()(),nx x y y xy x x x y x xy y +-+-++22222432()[()()],(1)(4321)a m n b m n b m n b y x x x x x +-++++--+++3．(2)(1),(36)(1),(13)(2),(9)(3)x x x x x x x x --+++--+(9)(3),(5)(),(4)(7)x x m n m n a b a b -+-+-+-+4．322(2)(8),(3)(2),(3)(1)(23),(3)(3)(2)nax x x a a b a b x x x x x x x --+--+-+-++2(23)(31),(2)(415),(772)(1),(21)(35)(675)x x x y x y a b a b x x x x -+-++++-+--+5．2()(3),(21)(21),(3)(52),(256)(256)x y a y x x x x y a b a b -++--+---+23333(12)(12),()(),(1)(1),()(1)x y x y ab a b a b x y x y x x y x y -++-+----+-++．。
第 2讲因式分解2.1 公式法【例 1】用立方和或立方差公式分解以下各多项式：(1)8 x3(2)0.125 27b3【例 2】分解因式：(1)3a3b81b4(2)a7ab62.2 提取公因式法与分组分解法【例 3】把x2y2ax ay 分解因式．【例 4】分解因式：（1）a2 b 5 a 5 b ；（2）x39 3x23x ．【例 5】分解因式：（1）x39 3x23x ；（）2x 2xy y24x 5 y 6．2【例 6】把2x2 4 xy 2 y 28z2分解因式．2.3十字相乘法形如 x2( p q) x pq 型的因式分解【例7】把以下各式因式分解：（ 1） x2－ 3x＋2；（ 2） x2＋ 4x－ 12；（ 3）x2(a b)xy aby2；（ 4）xy 1 x y．【例 8】把以下各式因式分解：(1) x2xy 6 y2(2) (x2x)28( x2x) 122.3.2 形如一般二次三项式ax2bx c 型的因式分解【例 9】把以下各式因式分解：(1) 12x25x 2(2)5x26xy8y 22.4配方法【例 10】把以下对于x 的二次多项式分解因式：（1）2；（） x222x 12x4xy 4 y2.5 拆、添项法【例 11】分解因式x33x241．把以下各式分解因式：(1)a327(2)8 m3(3)27x38(4) 1 p3 1 q3(5) 8x3y31(6) 1 x3y3 1 c3864125216272．把以下各式分解因式：(1)xy3x4(2)x n 3x n y3(3)a2 (m n)3a2b3(4)y2 (x22x) 3y23．把以下各式分解因式：(1)x23x 2(2)x237 x 36(3) x211x 26(4)x2 6 x 27(5)m24mn 5n2(6)(a b)211(a b) 284．把以下各式分解因式：(1)ax510ax416ax3(2)a n 2a n 1b 6a n b2(3)(x2 2 x) 29(4)x47x218(5)6x27 x 3(6) 8x226xy15 y25．把以下各式分解因式：(1)3ax 3ay xy y2(2) 8x34x22x 1(3) 5x215x 2xy 6 y(4)4a220ab 25b236(5)4xy 1 4x2y2(6)a4 b a3 b2a2b2ab4参照答案1．(a3)( a23a 9),(2m)(42m m 2 ),(23x)(46x9x2 ),1(2 p q)(4 p2 2 pq q2 ),(2 xy 1)(4 x2 y22xy1),1( xy 2c)( x2 y22xyc 4c2 )6455252162．x(x y)( y2xy x2 ), x n ( x y)( x2xy y 2 ),a2 (m n b)[( m n) 2b( m n)b2 ], y2 (x1)2 (x44x33x2 2 x1) 3．( x2)( x1),( x 36)( x1),( x 13)( x2),( x9)( x3)( x9)( x3),( m5n)(m n),( a b4)( a b 7)4．ax3(x2)( x8), a n ( a3b)(a2b),( x3)(x1)(x22x3),( x3)( x3)( x22)(2 x3)(3x1),(2 x y)(4 x15 y)5．( x y)(3a y),(2 x1)2 (2 x1),( x3)(5 x2y),(2 a5b6)(2 a5b6) (12x y)(1 2 x y), ab(a b) 2 (a b) ．。
第02讲：因式分解【考点梳理】考点一、公式法(立方和、立方差公式)3322()()a b a b a ab b +=+-+3322()()a b a b a ab b -=-++这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)．运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解．考点二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式．而对于四项以上的多项式，如ma mb na nb +++既没有公式可用，也没有公因式可以提取．因此，可以先将多项式分组处理．这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法．分组分解法的关键在于如何分组．考点三、十字相乘法1．2()x p q x pq +++型的因式分解(1)二次项系数是1；(2)常数项是两个数之积；(3)一次项系数是常数项的两个因数之和．22()()()()()x p q x pq x px qx pq x x p q x p x p x q +++=+++=+++=++.因此，2()()()x p q x pq x p x q +++=++.2．一般二次三项式2ax bx c ++型的因式分解大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++．反过来，就得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++．这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．题型突破题型一：提取公因式和公式法因式分解1．多项式x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2分解因式后有一个因式是x ﹣2y ，另一个因式是（）A ．x +2y +1B ．x +2y ﹣1C ．x ﹣2y +1D ．x ﹣2y ﹣1【答案】C 【分析】首先将原式重新分组，进而利用完全平方公式以及提取公因式法分解因式得出答案．【详解】解：x 2﹣4xy ﹣2y +x +4y 2＝（x 2﹣4xy +4y 2）+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）2+（x ﹣2y ）＝（x ﹣2y ）（x ﹣2y +1）．故选：C ．【点睛】此题考查多项式的因式分解，项数多需用分组分解法，在分组后得到两项中含有公因式（x-2y ），将其当成整体提出，进而得到答案.2．因式分解(1)26183a b ab b-+(2)322a a a++(3)229()16()a b a b --+(4)41a -【答案】(1)()23261b a a -+(2)()21a a +(3)()()77a b a b -++(4)()()()2111a a a -++【分析】（1）提公因式即可；（2）先提公因式，再用完全平方公式分解即可；（3）用平方差公式分解即可；（4）用两次平方差公式分解即可．【详解】（1）原式()23261b a a =-+；（2）原式()()22211a a a a a =++=+；（3）原式[][]3()4()3()4()a b a b a b a b =--+-++()()77a b a b =-++；（4）原式()()()()()22211111a a a a a =-+=-++．【点睛】本题考查因式分解，根据不同题目选择合适的方法是解题的关键．3．阅读下列材料：已知a 2+a-3=0，求a 2(a+4)的值．解：∵a 2=3-a ，∴a 2(a+4)=(3-a)(a+4)=3a+12-a 2-4a=-a 2-a+12=-(3-a)-a+12=9，∴a 2(a+4)=9．根据上述材料的做法，完成下列各小题：（1）若a 2-a-10=0，则2(a+4)(a-5)的值为____________．（2）若x 2+4x-1=0，求代数式2x 4+8x 3-4x 2-8x+1的值．【答案】（1）﹣20；（2）﹣1【分析】（1）仿照材料中的解法过程，利用整体代入方法求解即可；（2）根据因式分解和整式的混合运算化简，再整体代入求解即可．【详解】解：（1）∵a 2﹣a ﹣10=0，∴a 2﹣a=10，∴2(a+4)(a-5)=2（a 2﹣a ﹣20）=2×（10﹣20）=﹣20，故答案为：﹣20；（2）∵x 2+4x ﹣1=0，∴x 2+4x=1，x 2=1﹣4x ，∴2x 4+8x 3﹣4x 2﹣8x+1=2x 2(x 2+4x ﹣2)﹣8x+1=2(1﹣4x)(1﹣2)﹣8x+1=﹣2+8x ﹣8x+1=﹣1．【点睛】本题考查了因式分解的应用、整式的混合运算、代数式的求值，运用类比和整体代入思想是解答的关键．4．【阅读材料】利用公式法，可以将一些形如2(0)ax bx c a ++≠的多项式变形为2()a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式2(0)ax bx c a ++≠的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解或有关运算．例如：对于268a a ++．（1）用配方法分解因式；（2）当a 取何值，代数式268a a ++有最小值？最小值是多少？解：（1）原式26811a a =+++-2691a a =++-2(3)1a =+-[(3)1][(3)1]a a =+++-(4)(2)a a =++．（2）由（1）得：22(3)168a a a +++=-，2(3)0a +≥，2(3)11a ∴+-≥-，∴当3a =-时，代数式268a a ++有最小值，最小值是1-．【问题解决】利用配方法解决下列问题：(1)用配方法因式分解：228x x +-；(2)试说明不论m 为何值，代数式245m m -+-恒为负数；(3)若已知21()()()4a c b a b c +-=+且0a ≠，求b c a-的值．【答案】(1)(4)(2)x x +-(2)见解析(3)2【分析】（1）根据题干信息，利用配方法分解因式即可；（2）先利用配方法将245m m -+-变形为2(2)1m ---，根据二次方的非负性，求出245m m -+-的值恒为负数；（3）先将21()()()4a c b a b c +-=+变形为2(2)0a b c -+=，得出20a b c -+=，即可求出2b c a-=．【详解】（1）解：228x x +-2219x x =++-2(1)9x =+-(13)(13)x x =+++-(4)(2)x x =+-．（2）解：245m m -+- 2(44)1m m =--+-2(2)1m =---，()220m -≥ ，()220m ∴--≤，()22110m ∴---≤-<∴不论m 为何值，代数式245m m -+-恒为负数．（3）解：21()()()4a cb a bc +-=+ ，2221(2)4ab a bc ac b bc c ∴-+-=++，22244442ab a bc ac b bc c ∴-+-=++，222)(442(2)0a ab b a b c c ∴-+-+=+，22(22(2))0a b a b c c ∴-+-+=，∴2(2)0a b c -+=，∴20a b c -+=，∴2a b c =-，0a ≠ ，∴2b c a-=．【点睛】本题主要考查了配方法分解因式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±．题型二：分组分解法5．把下列各式因式分解(1)a(a-3)+2(3-a)(2)()()22a b c a b c ++---(3)()2420()25x y x y +-++(4)22463a b a b-+-【答案】（1）(a-3)(a-2)（2）4a(b+c)（3）()2225x y +-（4）(2a-b)(2a+b+3)【详解】试题分析：（1）先把原式化为(3)2(3)a a a ---，再用“提公因式法”分解即可；（2）先用“平方差公式”分解，再提“公因式”即可；（3）用“完全平方公式”分解即可；（4）先把原式分组化为22(4)(63)a b a b -+-，两组分别分解后，再提“公因式”即可.试题解析：（1）a(a-3)+2(3-a)=a(a-3)-2(a-3)=(a-3)(a-2).（2）()()22a b c a b c ++---=[（a+b+c ）+(a-b-c)][（a+b+c ）-(a-b-c)]=（a+b+c+a-b-c ）（a+b+c-a+b+c)=2a(2b+2c)=4a(b+c).（3）()()242025x y x y +-++=()()2222·25x y x y ⎡⎤+-++⎣⎦=()225x y ⎡⎤+-⎣⎦=()2225x y +-.（4）22463a b a b-+-=（224a b -）+（6a-3b ）=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)=(2a-b)(2a+b+3).6．（1）分解因式：2242a a b b --+（2）分解因式：()22239108a b ab +-【答案】（1）()()221a b a b -+-；（2）()()22333a b b +-【分析】（1）根据分组分解法进行因式分解即可；（2）先提取公因式3a ，然后根据平方差公式因式分解，最后根据完全平方公式因式分解即可．【详解】解：（1）2242a a b b--+2242a b a b =--+()()()222a b a b a b =+---()()221a b a b =-+-；（2）()22239108a b ab +-()2223936a b b ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦=()()2239696a b b b b =+++-()()22333a b b =+-．【点睛】本题考查了因式分解，常见的方法有：提公因式法，公式法，分组分解法等，灵活选择因式分解的方法是解题的关键．7．阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等．但有的多项式只用上述方法就无法分解，如22424x y x y -+-，细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：22424x y x y -+-()()22424x y x y =-+-分组()()()2222x y x y x y =-++-组内分解因式()()222x y x y =-++整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：(1)分解因式：22993x x y y -+-；(2)已知ABC 的三边a b c 、、满足220a b ac bc --+=，判断ABC 的形状并说明理由．【答案】(1)()()x y x y -+-333(2)ABC 为等腰三角形；理由见解析【分析】（1）先用平方差公式与提公因式法分组分解，然后根据整体思想提公因式即可；（2）将220a b ac bc --+=通过因式分解化为()()0a b a b c -+-=；由三角形的三边关系可知0a b c +->；所以0a b -=，即a b =，从而得出结论；【详解】（1）解：22993x x y y -+-()()22993x y x y =---()()()3333x y x y x y =-+--()()333x y x y =-+-（2）解：依据分组分解法，得()()220a b ac bc ---=()()()0a b a b c a b -+--=()()0a b a b c -+-=根据三角形三边关系，易得0a b c +->∴0a b -=∴a b=∴ABC 为等腰三角形【点睛】本题考查了因式分解、等腰三角形的判定；熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．8．阅读材料：若22228160x xy y y -+-+=，求x ，y 的值．解：∵22228160x xy y y -+-+=∴()()22228160x xy y y y -++-+=∴()()2240x y y -+-=∴()20x y -=，()240y -=∴4,4y x ==根据上述材料，解答下列问题：（1）2222210m mn n n -+-+=，求2m n +的值；（2）6a b -=，24130ab c c +-+=，求a b c ++的值．【答案】（1）23m n +=；（2）2a b c ++=．【分析】（1）将方程2222210m mn n n -+-+=的左边分组配方，再根据偶次方的非负性，可求得m n 、的值，最后代入2m n +即可解题；（2）由6a b -=整理得，6+a b =，代入已知等式中，利用完全平方公式化简，最后由偶次方的非负性解题即可【详解】解：（1）∵2222210m mn n n -+-+=∴()()2222210m mn n n n -++-+=∴()()2210m n n -+-=∴()20m n -=，()210n -=∴1n =，1m n ==∴22113m n +=⨯+=；（2）∵6a b -=，∴6a b=+∵24130ab c c +-+=2(6)4130b bc c ∴++-+=∴22(69)(44)0b bc c +++-+=∴()()22320b c ++-=∴()230b +=，()220c -=∴3b =-，2c =∴()633a =+-=∴()3322abc ++=+-+=．【点睛】本题考查配方法的应用，涉及完全平方公式化简、偶次方的非负性，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．题型三：十字相乘法9．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x ＋p )(x ＋q )＝x 2＋(p ＋q )x ＋pq ，得x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．例如：将式子x 2＋3x ＋2因式分解．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x 2＋3x ＋2＝x 2＋(1＋2)x ＋1×2解：x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题：(1)因式分解：x 2＋7x －18＝______________；(2)填空：若x 2＋px －8可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是______________(3)利用因式解法解方程：x 2－6x ＋8＝0；【答案】(1)()()29x x -＋(2)±2，±7(3)1224x x =，＝【分析】（1）仿照例题的方法，这个式子的常数项−18＝−9×2，一次项系数7＝−2＋9，然后进行分解即可；（2）仿照例题的方法，这个式子的常数项842824818881-=-⨯-=-⨯-=-⨯-=-⨯，，，，然后进行计算求出p 的所有可能值即可；（3）仿照例题的方法，这个式子的常数项()()824=-⨯-，一次项系数()624-=-+-，然后进行分解计算即可．【详解】（1）解：2x ＋7x −18＝2x ＋（−2＋9）x ＋（−2）×9＝（x −2）（x ＋9）故答案为：（x −2）（x ＋9）．（2）解：∵842824818881--⨯--⨯--⨯--⨯＝，＝，＝，＝，∴422242187817p p p p -+--+-+-+-＝＝，＝＝，＝＝，＝＝，∴若2x ＋px ＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是：±2，±7．故答案为：±2，±7．（3）解：2x −6x +8＝0，（x −2）（x -4）＝0，（x −2）＝0或（x -4）＝0，∴12x =，2x ＝4．【点睛】本题考查了因式分解−十字相乘法，理解并掌握2x ＋（p ＋q ）x ＋pq ＝（x ＋p ）（x ＋q ）是解题的关键．10．因为()()22331x x x x +-=+-，这说明多项式223x x +-有一个因式为1x -，我们把1x =代入此多项式发现1x =能使多项式223x x +-的值为0．利用上述阅读材料求解：(1)若()3x +是多项式212x kx ++的一个因式，求k 的值；(2)若()3x -和()4x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，试求m ，n 的值．(3)在（2）的条件下，把多项式3212x mx x n +++因式分解．【答案】(1)7k =(2)7m =-，0n =(3)(3)(4)x x x --【分析】（1）将3x =-代入多项式并使多项式等于0，求k ；（2）将3x =和4x =分别代入多项式并使多项式等于0，解二元一次方程组，求m ，n ；（3）将（2）中解得的m ，n 的值代入多项式，然后进行因式分解即可．【详解】（1）解： 3x +是多项式212x kx ++的一个因式，∴当3x =-时，21293120x kx k ++=-+=，解得7k =；（2） (3)x -和(4)x -是多项式3212x mx x n +++的两个因式，∴3232331230441240m n m n ⎧+⨯+⨯+=⎨+⨯+⨯+=⎩，解得70m n =-⎧⎨=⎩．∴7m =-，0n =．（3）解：由（2）得3212x mx x n +++即为32712x x x -+，∴32712x x x-+2(712)x x x =-+(3)(4)x x x =--．【点睛】本题考查因式分解的创新应用，熟练掌握因式分解的原理是解题的关键．11．因式分解：(1)()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++(2)()()()333222x y z y z x z x y-+-+-【答案】(1)()()229411x x x +++(2)()()()()x y y z z x xy yz zx ---++【分析】（1）先将261x x ++和21x +分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；（2）原式是关于x 、y 、z 的轮换式，若将原式视为关于x 的多项式，则当x=y 时，原式=0，故原式含有因子x y -，又因为原式是关于x ，y ，z 的轮换对称式，故原式还含因子y z -，z x -，又因为原式为x ，y ，z 的五次式，因此可以设()()()333222x y z y z x z x y-+-+-()()()()()222x y y z z x A x y z B xy yz zx ⎡⎤=---+++++⎣⎦，利用待定系数法即可求解．【详解】（1）解：()()()()222222261516121x x x x x x ++++++++()()2222212216122x x x x x x =++++++++()()2294121x x x x =++++()()229411x x x =+++（2）解：当x y =时，原式等于0，故原式含有因子x y -，又因为原式是关于x ，y ，z 的轮换对称式，故原式还含因子y z -，z x -，又因为原式为x ，y ，z 的五次式，故可设()()()333222x y z y z x z x y-+-+-()()()()()222x y y z z x A x y z B xy yz zx ⎡⎤=---+++++⎣⎦令=1x -，0y =，1z =得21A B -=-，令0x =，1y =，2z =得522A B +=，解得0A =，1B =，所以()()()()()()()333222x y z y z x z x y x y y z z x xy yz zx -+-+-=---++．【点睛】本题主要考查了十字相乘法、提公因式法、公式法以及待定系数法，熟练掌握和运用这些方法因式分解是解题的关键．12．阅读材料：解方程x 2+2x ﹣35＝0我们可以按下面的方法解答：（1）分解因式x 2+2x ﹣35，①竖分二次项与常数项：x 2＝x •x ，﹣35＝（﹣5）×（+7）．②交叉相乘，验中项：⇒7x ﹣5x ＝2x ．③横向写出两因式：x 2+2x ﹣35＝（x +7）（x ﹣5）．（2）根据乘法原理：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，则方程x 2+2x ﹣35＝0可以这样求解x 2+2x ﹣35＝0方程左边因式分解得（x +7）（x ﹣5）＝0所以原方程的解为x 1＝5，x 2＝﹣7（3）试用上述方法和原理解下列方程：①x 2+5x +4＝0；②x 2﹣6x ﹣7＝0；③x 2﹣6x +8＝0；④2x 2+x ﹣6＝0．【答案】①11x =-，24x =-；②17x =，21x =-；③12x =，24x =；④132x =，22x =-．【分析】①②③④均是根据题目中的方法，先进行因式分解，然后根据乘法原理即可求解各一元二次方程．【详解】解：①2540x x ++=，()()140x x ++=，解得：11x =-，24x =-；②2670x x --=，()()710x x -+=，解得：17x =，21x =-；③2680x x -+=，()()240x x --=，解得：12x =，24x =；④2260x x +-=，()()2320x x -+=，解得：132x =，22x =-．【点睛】题目主要考查解一元二次方程的十字相乘法，理解题目中的解法并学会运用是解题关键．题型四：因式分解的综合13．已知23,23x y =+=-，求下列代数式的值：（1）22;x xy y -+（2）22x y -【答案】（1）13；（2）83【分析】（1）利用完全平方公式进行化简后代入求值即可解答；（2）利用平方差公式进行化简后代入求值即可解答；【详解】（1）2222222()(2(433))13x xy y x xy y xy x y xy =+++--+=-==-+；（2）22()()42383x y x y x y -=+-=⨯=；【点睛】本题考查了完全平方公式和平方差公式进行因式分解，熟练掌握并准确计算是解题的关键.14．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式．再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．如：①用配方法分解因式：268a a ++，解：原式()()22681169124a a a a a a =+++-=++-=++②222222M a ab b b =-+-+，利用配方法求M 的最小值，解：()()22222222222221111a ab b b a ab b b b a b b -+-+=-++-++=-+-+∵()20a b -≥，()210b -≥∴当1a b ==时，M 有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添加一个常数，使之成为完全平方式：223x x -+______．(2)用配方法因式分解：2243x xy y -+．(3)若284M x x =+-，求M 的最小值．(4)已知222222450x y z xy y z ++---+=，则x y z ++的值为______．【答案】(1)19(2)()()3x y x y --(3)20-(4)4【分析】（1）根据题意，由完全平方公式222()2a b a ab b +=++，可以知道横线上是19，（2）按照题干上的示例可以将2243x xy y -+分为222(44)x xy y y -+-，再利用完全平方公式即可求解，（3）根据题意的方法，先将M 因式分解为完全平方的形式即()2420x +-，即可求出最小值，（4）根据题意先将222222450x y z xy y z ++---+=因式分解，变成完全平方的形式即222()(1)(2)0x y y z -+-+-=，然后得出x ，y ，z 的值，代入x y z ++即可求出结果．【详解】（1）解：22211393x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故答案为：19；（2）解：2243x xy y -+22244x xy y y =-+-()222x y y =--()()22x y y x y y =-+--()()3x y x y =--；（3）解：284M x x =+-2816164x x =++--()2420x =+-，∵2(4)0x +≥，∴当4x =-时，M 有最小值为20-；（4）解：222222450x y z xy y z ++---+=，2222221440x xy y y y z z -++-++-+=，()()()222120x y y z -+-+-=，∵()20x y -≥，()10y -≥2，()220z -≥，∴01020x y y z -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，∴1x =，1y =，2z =，∴1124x y z ++=++=，故答案为：4．【点睛】本题考查了利用配方法解决数学中的问题；把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法；配方法在数学中应用比较广泛，既可以利用配方法进行因式分解，也可以利用配方法求最小值，同时对于（4）中几个非负数的和为零时，可得这几个加数同时为零，求出未知数的值，这一知识在数学中经常运用，要熟练掌握．15．嘉淇上小学时得知“一个数的各个数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除”，她后来做了如下分析：嘉淇的分析：()()2582100510829915918=⨯+⨯+=⨯++⨯++()()2992595829959258=⨯++⨯++=⨯+⨯+++()32335335=⨯+⨯+⨯∵23353⨯+⨯为整数，5为整数，∴()323353⨯+⨯能被3整除，35⨯能被3整除，∴258能被3整除．(1)通过计算验证258能否被3整除；(2)用嘉淇的方法证明4374能被3整除；(3)设abcd 是一个四位数．a ，b ，c ，d 分别为对应数位上的数字，请论证“若+++a b c d 能被3整除，则这个数可以被3整除”．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据整数的除法计算即可；（2）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论；（3）仿照例题因式分解后得到3与某数相乘即可得到结论．【详解】（1）解：258386÷= ∴258能被3整除；（2）437441000+31007104=⨯⨯+⨯+()()()49991+39917914=⨯+⨯++⨯++4999+4+399379+74=⨯⨯++⨯+()()4999+39979437+4=⨯⨯+⨯+++()34333+3337336=⨯⨯⨯+⨯+⨯∵4333+33373⨯⨯+⨯为整数，6为整数，∴()34333+33373⨯⨯⨯+⨯能被3整除，36⨯能被3整除，∴4374能被3整除．（3）证明：100010010abcd a b c d=+++()()()999199191a b c d=++++++()()999999a b c a b c d =++++++()()3333333a b c a b c d =++++++，∵()3333333a b c ++能被3整除，∴若“+++a b c d ”能被3整除，则abcd 能被3整除；【点睛】此题考查了因式分解的应用，正确掌握因式分解的方法及例题中的解题方法是解题的关键．16．材料一：若一个四位数的千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这个四位数为“十全数”．交换这个“十全数”的千位数字与十位数字的位置，百位数字与个位数字的位置，得到新的四位数叫做这个“十全数”的“对应数”．例如：1298是“十全数”，其“对应数”为9812；5752是“十全数”，其“对应数”为5257．材料二：若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数．例如：200=，则0是完全平方数；212111=，则121是完全平方数．(1)证明：一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除；(2)记m 为“十全数”，n 为m 的“对应数”，且m n >．若(),19594m nD m n -=+，求满足(),D m n 是完全平方数的所有“十全数”．【答案】(1)见解析(2)7337【分析】（1）用a ，b 表示“十全数”和“对应数”，再求差并分解因式证明；（2）列式表示(),D m n ，再利用代入验证法求解．【详解】（1）解：设“十全数”的千位数字为a ，百位数字为b ，则十位数字为()10a -，个位数字为()10b -，则这个“十全数”为：()100010010101099099110a b a b a b ++-+-=++，它的“对应数”为，()()10001010010101100099099a b a b a b -+-++=--，∴()()()9909911011000990991980198108901118018990a b a b a b a b ++---=+-=+-，所以一个“十全数”与其“对应数”之差能被11整除；（2）解：设“十全数”m 的千位数字为a ，百位数字为b ，则十位数字为()10a -，个位数字为()10b -，()100010010101099099110m a b a b a b =++-+-=++，()()10001010010101100099099n a b a b a b =-+-++=--，∴198019810890m n a b -=+-，由题意得：6a ≥或5a =且6b ≥，∴(),19594m nD m n -=+19801981089019594a b +-=+1055193a b +-=+1023a b ++=为完全平方数，所以当7a =时3b =，7337m =．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握代入验证法是解题的关键．【专题突破】一、单选题17．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A ．21(1)1x x x x --=--B ．221(1)x x -=-C ．26(3)(2)x x x x --=-+D ．2(1)x x x x-=-【答案】C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A 、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B 、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C 、符合因式分解的形式，符合题意；D 、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．18．下列分解因式正确的是（）A ．24(4)x x x x -+=-+B ．2()x xy x x x y ++=+C ．2()()()x x y y y x x y -+-=-D ．244(2)(2)x x x x -+=+-【答案】C【详解】【分析】根据因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解即可求得答案．注意分解要彻底．【详解】A.()244x x x x -+=--，故A 选项错误；B.()21x xy x x x y ++=++，故B 选项错误；C.()()()2x x y y y x x y -+-=-，故C 选项正确；D.244x x -+=（x-2）2，故D 选项错误，故选C.【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意因式分解的步骤：先提公因式，再用公式法分解．注意分解要彻底．19．已知a ＝2018x ＋2018，b ＝2018x ＋2019，c ＝2018x ＋2020，则a 2＋b 2＋c 2－ab －ac －bc 的值是()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】把已知的式子化成12[（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2]的形式，然后代入求解即可．【详解】原式=12（2a 2+2b 2+2c 2-2ab-2ac-2bc ）=12[（a 2-2ab+b 2）+（a 2-2ac+c 2）+（b 2-2bc+c 2）]=12[（a-b ）2+（a-c ）2+（b-c ）2]=12×（1+4+1）=3，故选D.【点睛】本题考查了因式分解的应用，代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．20．已知a b c 、、是自然数，且满足234192a b c ⨯⨯=，则a b c ++的取值不可能是（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】D【分析】将原式变形为()223192a c b +⨯=，因式中含有3，所以得到61923=64=2÷，而62不能被3整除，所以得到()262323a c b +⨯=⨯，解得b=1，a+2c=6，进而得到7a b c c ++=-，根据三个数均为自然数，解得03c ≤≤，此时分类讨论a 和c 的值即可求解．【详解】原式=()223192a c b +⨯=∵式中有乘数3的倍数∴61923=64=2÷∵62不能被3整除∴原式中只能有1个3∴原式化为()262323a c b +⨯=⨯∴261a cb +=⎧⎨=⎩∴7a bc c ++=-∵a b c 、、是自然数∴620700a c c c =-≥⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩解得03c ≤≤当0c =时，6a =，得7a b c ++=；当1c =时，4a =，得6a b c ++=；当2c =时，2a =，得5a b c ++=；当3c =时，0a =，得4a b c ++=；故选D ．【点睛】本题考查了乘方的应用，同底数幂乘法的应用，因式分解，重点是掌握相关运算法则．21．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a 2+b 2+c 2—ab －bc －ca 的值等于()A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】首先把a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 两两结合为a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac ，利用提取公因式法因式分解，再把a 、b 、c 代入求值即可．【详解】a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac ＝a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac＝a （a ﹣b ）+b （b ﹣c ）+c （c ﹣a ）当a ＝2012x +2011，b ＝2012x +2012，c ＝2012x +2013时，a -b =－1，b －c =－1，c －a =2，原式＝（2012x +2011）×（﹣1）+（2012x +2012）×（﹣1）+（2012x +2013）×2＝﹣2012x ﹣2011﹣2012x ﹣2012+2012x ×2+2013×2＝3．故选D ．【点睛】本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．22．图2是图1中长方体的三视图，用S 表示面积，223,,S x x S x x =+=+主左则S =俯（）A ．232x x ++B ．221x x ++C ．243x x ++D ．224x x+【答案】C【分析】由主视图和左视图的宽为c ，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案．【详解】解：∵()233S x x x x =+=+主，()21S x x x x =+=+左，∴俯视图的长为()3x +，宽为()1x +，∴()()23143S x x x x =++=++俯．故选：C【点睛】本题主要考查由三视图判断几何体，整式乘法的应用，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高．23．已知Rt ABC 中，90C ∠=︒，若BC a =，AC b =，AB c =，且2220a ab b --=，则::a b c =（）A ．1:2:5B ．2:1:5C ．1:2:3D ．2:1:3【答案】B【分析】根据a 2﹣ab ﹣2b 2＝0，即可判断出a 和b 的关系，然后再根据勾股定理判断出c 和b 的关系，求出a ：b ：c 化简即可．【详解】∵a 2﹣ab ﹣2b 2＝0，∴（a ﹣2b ）（a+b ）＝0，∴a ＝2b ，或a ＝﹣b （不符合题意），∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∴c 2＝a 2+b 2＝4b 2+b 2＝5b 2，∴c ＝5b ，∴a ：b ：c ＝2b ：b ：5b ＝2：1：5．故选：B ．【点睛】本题考查的是因式分解“十字相乘”以及勾股定理的应用，掌握因式分解的方法和勾股定理是解此题的关键．二、填空题24．分解因式：2xy x -=______．【答案】()()11x y y +-【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x-()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解．25．若1136x x +=且01x <<，则221x x-=_____．【答案】6536-【分析】根据1136x x +=，利用完全平方公式可得2125()36x x -=，根据x 的取值范围可得1x x -的值，利用平方差公式即可得答案．【详解】∵1136x x +=，∴2211125()()436x x x x x x -=+-⋅=，∵01x <<，∴1x x<，∴1x x -=56-，∴221x x -=11()()x x x x +-=135()66⨯-=6536-，故答案为：6536-【点睛】本题考查了完全平方公式及平方差公式，准确运用公式是解题的关键．26．化简：22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++＝____________．【答案】2a a +【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可．【详解】22a 3a 42a 3a 2a 4a 4--⋅+-+++=2a 3(a 2)(a 2)2a 3a 2(a 2)-+-⋅+-++22222a a a a a -=+=+++故答案为2aa +【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键．27．多项式2222627a ab b b -+-+的最小值为________．【答案】18．【分析】利用公式法进行因式分解，根据非负性确定最小值．【详解】解：2222627a ab b b -+-+，=222)((269)18a ab b b b -+-+++，=22()(3)18a b b -+-+，∵22()(3)00a b b --≥≥，，∴22()(3)18a b b -+-+的最小值为18；故答案为：18．【点睛】本题考查了因式分解和非负数的性质，解题关键是熟练运用乘法公式进行因式分解，根据非负数的性质确定最值．28．如图，标号为①，②，③，④的矩形不重叠地围成矩形PQMN ，已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个矩形的面积都是5.,AE a DE b ==，且a b >．（1）若a ，b 是整数，则PQ 的长是___________；（2）若代数式222a ab b --的值为零，则ABCD PQMN S S 四边形矩形的值是___________．【答案】a b -322+【分析】（1）根据图象表示出PQ 即可；（2）根据2220a ab b --=分解因式可得(2)(2)0a b b a b b -+--=，继而求得2a b b =+，根据这四个矩形的面积都是5，可得55,EP EN a b==，再进行变形化简即可求解．【详解】（1） ①和②能够重合，③和④能够重合，,AE a DE b ==，PQ a b ∴=-，故答案为：a b -；（2）2220a ab b --= ，2222222()2(2)(2)0a ab b b a b b a b b a b b ∴-+-=--=-+--=，20a b b ∴-+=或20a b b --=，即2a b b =-（负舍）或2a b b=+ 这四个矩形的面积都是5，55,EP EN a b∴==，()()()()()()()()22555555ABCD PQMN a b a b a b a b S b a ab a b S a b a b a b b a ab ⎛⎫++⋅++⋅⎪+⎝⎭∴===-⎛⎫----⋅ ⎪⎝⎭四边形矩形，2222222222222222a b ab a b a b a a b ab a b a b b++++-===+-+-+，22(2)322b b b +==+．【点睛】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据．29．阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32a b -=，求代数式621a b --的值．”可以这样解：()6212312213a b a b --=--=⨯-=．根据阅读材料，解决问题：若2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，则代数式2244421a ab b a b ++++-的值是________．【答案】14【分析】先根据2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，得到23a b +=，再把所求的代数式变形为()()22221a b a b +++-，把23a b +=整体代入即可求值．【详解】解：∵2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，∴23a b +=，∴2244421a ab b a b ++++-()()22221a b a b =+++-23231=+⨯-14=．故答案为：14．【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值及一元一次方程解的定义，把所求的代数式利用完全平方公式变形是解题的关键．三、解答题30．在实数范围内分解因式：(1)28x -；(2)35x x -；(3)2328x x +-；(4)21130-+x x ．【答案】(1)()()2222x x -+(2)()()55x x x +-(3)()()74x x +-(4)()()56x x --【分析】（1）平方差公式因式分解；（2）先提公因式，再运用平方差公式分解；（3）运用十字相乘法分解；（4）运用十字相乘法分解．【详解】（1）2228(22)(22)(22)x x x x -=-=+-；（2）325(5)(5)(5)x x x x x x x -=-=+-（3）2328(7)(4)x x x x +-=+-（4）21130(5)(6)x x x x -+=--．【点睛】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解，观察多项式特征，选择合适的方法是解题关键．31．把下列各式因式分解：(1)()()22221414x x x x +-++；(2)22616x xy y --；(3)()()2280x y y x ----；(4)22244x xy y z -+-．【答案】(1)4(1)x -(2)(8)(2)-+x y x y (3)(10)(8)x y x y -+--(4)(2)(2)x y z x y z ---+【分析】（1）将21x +看出整体，利用完全平方公式分解因式即可，注意分解要彻底；（2）利用十字相乘法分解因式即可；（3）将x y -看成整体，利用十字相乘法分解因式即可；（4）利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可．【详解】（1）解：()()22221414x x x x +-++22(12)x x =+-4(1)x =-；（2）解：22616x xy y --(8)(2)x y x y =-+；（3）解：()()2280x y y x ----()()2+280x y x y =---(10)(8)x y x y =-+--；（4）解：22244x xy y z -+-22(2)x y z =--(2)(2)x y z x y z =---+．【点睛】本题考查因式分解，解答的关键是利用不同的方法进行因式分解以及整体思想的运用．32．分解因式：()()()()222222261561121x x x x x x ++++++++．【答案】()()229411x x x +++【分析】先把()261x x ++和()21x +看做一个整体利用十字相乘法分解因式，然后利用提取公因数和完全平方公式分解因式即可．【详解】解：原式()()()()222226116121x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++++++++⎣⎦⎣⎦()()223123363x x x x =++++()()2294121x x x x =++++()()229411x x x =+++．【点睛】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．33．把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例1．用配方法因式分解：268a a ++．原式()()()()()2269131313124a a a a a a a =++-=+-=+-++=++．例2．若222222M a ab b b =-+-+，利用配方法求M 的最小值；()()22222222222221111a ab b b a ab b b b a b b -+-+=-++-++=-+-+；∵()20a b -≥，()210b -≥，∴当1a b ==时，M 有最小值1．请根据上述自主学习材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：210a a ++______；(2)用配方法因式分解：21235a a -+；(3)若231M a a =-+，求M 的最小值是多少；(4)已知2222246130a b c ab b c ++-+-+=，求a b c ++的值．【答案】(1)25(2)()(75)a a --(3)54-(4)7【分析】（1）添加的常数项为一次项系数10一半的平方，即可求出这个常数；（2）类比例题进行分解因式即可；（3）类比例题求M 的最小值即可；（4）根据配方法把等式配成220m n +=的形式，根据20m ≥，20n ≥具有非负性，0m =，0n =即可求出答案．【详解】（1）解：22(5)1025a a a +=++ ，∴常数项为25．故答案为：25．（2）21235a a -+212361a a =-+-2(6)1a =--(61)(61)a a =---+(7)(5)a a =--；（3）231M a a =-+22353()24a a =-+-235()24a =--，23()02a -≥ ，M ∴的最小值为54-；（4）2222246130a b c ab b c ++---+= ，2222244690a ab b b b c c ∴-++-++-+=，222()(2)(3)0a b b c ∴-+-+-=，又2()0a b -≥ ，2(2)0b -≥，2(3)0-≥c ，0a b ∴-=，20b -=，30c -=，2a b ∴==，3c =，7a b c ∴++=．【点睛】本题主要考查配方法的运用，一个数或整数的平方具有非负性和因式分解法计算与运用，合理利用配方法是解决本题的关键．34．把下列各式因式分解：(1)4323862x y x y x y -+-；(2)()()232x x y y x ---；(3)3222245954a b c a bc a b c +-；(4)322159a ab ac -+-；(5)222x y xy -；(6)2325205a b ab ab -+-．【答案】(1)32(431)x y x y --+(2)2()(32)x y x y --(3)29(516)a bc ab b +-(4)222(159)a abc --+(5)(2)xy x y -(6)25(41)ab ab b --+【分析】（1）直接提取公因式即可；（2）直接提取公因式，再合并同类项即可；（3）直接提取公因式即可；（4）直接提取公因式即可；（5）直接提取公因式即可．【详解】（1）原式32(431)x y x y =--+（2）原式2()(22)x y x x y =-+-2()(32)x y x y =--（3）原式29(516)a bc ab b =+-（4）原式222(159)a abc =--+（5）原式(2)xy x y =-（6）原式25(41)ab ab b =--+【点睛】本题考查因式分解，能正确找出最大公因式是解题关键，注意分解时不要漏项．35．阅读材料：利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式()20ax bx c a ++≠的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如()()()()()222224445452923235122x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据以上材料，解答下列问题．(1)用配方法分解因式：228x x +-；(2)求多项式243+-x x 的最小值；(3)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，且满足222506810a b c a b c +++=++，求ABC 的周长．【答案】(1)()()42x x +-(2)7-(3)12【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；（3）先因式分解已知等式，再根据平方的非负性，确定a ，b ，c 的值即可．【详解】（1）解：228x x +-22118x x =++--()219x =+-()()1313x x =+++-()()42x x =+-；（2）()222224443432722x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵()220x +≥，∴()2277x +-≥-，∴多项式243+-x x 的最小值为7-；（3）∵222506810a b c a b c +++=++，∴2225068100a b c a b c +++---=，∴22269816102591625500a a b b c c -++-++-+---+=，∴()()()2223450a b c -+-+-=，∴30a -=，40b -=，50c -=，∴3a =，4b =，5c =，∵34512++=，∴ABC 的周长为12．【点睛】本题考查因式分解的应用，完全平方公式，平方差公式，平方的非负性，掌握完全平方公式进行配方是解题关键．36．利用公式法，可以将一些形如()20ax bx c a ++≠的多项式变形为()2a x m n ++的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式()20ax bx c a ++≠的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如()()()()()222224445452923235122x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+-=++--=+-=+++-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．根据以上材料，解答下列问题．(1)分解因式：223x x +-；(2)求多项式245x x ++的最小值．【答案】(1)()()31x x +-(2)1【分析】（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案．【详解】（1）解：223x x +-22113x x =++--()214x =+-()()1212x x =+++-()()31x x =+-；（2）解：245x x ++24445x x =++-+()221x =++，()220x +≥ ，()2211x ∴++≥，∴多项式245x x ++的最小值为1．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，掌握好完全平方公式进行配方是解本题的关键．37．阅读材料：把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法．配方法在代数式求值，解方程，最值问题等都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：268a a ++．原式2691a a =++-2(3)1a =+-(31)(31)a a =+-++()()24a a =++②若222M b b =-+，利用配方法求M 的最小值：2222211b b b b -+=-++()211b =-+∵()21b -≥0，∴当1b =时，M 有最小值1．请根据上述材料解决下列问题：(1)用配方法因式分解：2815a a -+．(2)若21220M a a =-+，求M 的最小值．(3)已知221210610m n n m +-++=，求()2023m n +的值【答案】(1)()()35a a --(2)16-(3)1【分析】（1）读懂题意，按题目给出的方法因式分解即可；（2）把多项式变形为()2616a --，然后根据偶数次方的非负性即可得出多项式的最小值；（3）把等式的项都移到一边，配方，正好出现非负数相加等于0，然后非负数等于0，求出m 、n 的值，再代入计算即可．【详解】（1）解：2815a a -+28161a a =-+-()241a =--()()4141a a =-+--()()35a a =--；（2）解：2123616M a a =-+-()2616a =--，∵()260a -≥，∴()216166a -≥--，当60a -=，即6a =时，M 取最小值，最小值为16-；（3）解：因为22121061m n n m +-++2210251236m m n n =+++-+()()22560m n =++-=，因为()()225060m n +≥-≥，所以50m +=，60n -=，则5m =-，6n =，∴()()20232023561m n +=-+=．【点睛】本题主要考查因式分解的应用，实数的非负性等知识，掌握好完全平方公式进行配方是本题的解题关键．。
