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平行线等分线段与分线段成比例定理在生活实例题中的应用平行线等分线段与分线段成比例定理在生活实例题中的应用广西桂林市灌阳县新街初级中学541604唐荣保随着中学新课改的不断推进,数学教学上,也一改以往"记定理,解死题"的"传统",开始重视培养学生灵活运用熟知的数学定理解决日常生活中实际问题的能力.教学不再是套公式,死运算的陈旧芝麻,而是融生活性,趣味性,技巧性于一体.下面以平行线等分线段与分线段成比例这两个初中数学中常用的简单定理为例,看看它们在解决生活实际问题中的应用.平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等.如图1所示:即已知直线,:,,J,若AB=BC,则DE=E定理的作用:可以用来证明同一直线上的线段相等;可以等分线段.平行线分线段成比例定理:一组平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.如图1所示:图11,J2,J3即已知直线,J,,,J,,,贝0AB:BC=DE:EF.定理的作用:可以用来证明同一直线上的线段成比例,可以等比例划分线段.上述两定理常用来解决近年出现的一些地形规划和均匀切割等要求学生利用尺规作图的生活实例题.正确理解和掌握定理,这一类题便迎刃而解,下面举例说明.例1正在修建的中山北路有一形状如图2所示的三角形空地需要绿化.拟从点A出发,将AABCB分成面积相等的三个三角形,以便种上三种不同的花草.请你帮助规划出方案(保留作图痕迹,不写作法).点拨分析题意知应使以A为顶点,高为h的三角形面积相等,由三角形面积公式知应将底边BC三等分.过点作射线BM.BE:EF=FG.EEt}GCFFtGC,由平行线等分线段定理可得BE=EF=FC.作法:1.过点B作射线BM,在BM上顺次截取BE:EF=FG:2.连结GC;3.分别过点E,F作EE∥GC,FF∥GC,交BC于E,F;4.连结AE,AF;则△A的,/XAEF,AAFC为所求作的三角形.例2某工厂需将一块长50cm,宽40cm的长方形钢板ABCD精确地分成九个面积相等的小长方形,请用一把长60cm的刻度尺完成(保留作图痕迹),并说明理由.点拨由题意知须分别三等分钢板的长,宽,由平行线等分线段定理即可作出.作法:1.将一长60cm的直尺EF的两头分别放在4D,BC上;2.在钢板上分别点出EF的三等分点P,Q使EP=20ClTI,EQ=40cm;3.平移EF至EF,点出三等分点P,Q使EP=20cm,EQ:40cm;4.分别连结P,P,Q,Q作直线0,n;同理可作直线b,b.因此由直线n,o,b,b将长方形钢板精确地分成九等分(图3所示).例3两户人家分一块梯形稻田CABCD(如图4),一户两口人,另一户三口人,要求按人口数平均分配,并且所分得的稻田都要从与AD相邻的水渠引水灌溉,问应如何分./'/.,//,,/a',,譬≮Jp,lfD,,,a/?Q'i,,,,/6～,,,,b,,,图3,/,,,G,,^图中学数学杂志2010年第8期舅舅目缓蹴舅名舅舅配?要求精确作图(保留作图痕迹,不写作法),阐述分配方法的合理性.畏,,M',,.,～,CG图4点拨根据题意分析知两户人家所分得的田块是以AD为上底,BC下底,面积比为2:3的梯形, 由梯形的面积公式知在高为h的情况下需分别把AD,BC分成长度为2:3的两段,利用平行线分线段成比例定理即可作出.合理性:梯形ABCD的高为h,1,).s两口之家=÷×詈(AD+Bc)h,一1s三口之家=寺×÷(AD+Bc)h,.,故.s两口之家:S三口之家2:3.数学来源于生活,并且应用于生活.从上述三例可以看出,数学教学应朝着培养学生运用所学知识解决生活中实际问题的方向发展,而不应拘泥于繁琐的代数运算和几何证明.在大力提倡素质教育的今天,学生所学能为用,素质教育理念的真谛才能得到贯彻.作者简介唐荣保,男,广西桂林市人,1954年7月生, 中教一级.聚焦中考数学中的"课题学习"问题安徽蒙城县双涧中学233521张雷"课题学习"是全日制义务教育《数学课程标准(实验稿)》在"实践与综合应用"课程领域设置的全新的课程内容,帮助学生综合运用已有的知识和经验,经过自主探索和合作交流,解决与生活经验密切联系的,具有一定挑战性和综合性的问题,以发展学生解决问题的能力,加深学生对"数与代数", "统计与概率","空间与图形"内容的理解,体会各部分内容之间的联系.《课程标准》认为:数学本身就是一个过程,只有通过大量的数学活动,学生才能形成对数学的全面的认识.因此过程本身就是一个课程目标."课题学习"问题已经成为近年来各地中考命题的热点,值得关注.但实际教学中很多教师对这类问题却有无从下手之感,现结合近两年年中考试题举例说明一下这类问题的常见考查类型及解法,以期待对教学有实际帮助.1中考对"课题学习"的评价在中考中较为注重通过"重要数学活动经验" 和"数学基本思想"的考查来了解"课题学习"的教学情况.数学活动考查的主要方面包括:数学活动过程中所表现出来的思维方式,思维水平,对活动对象,相关知识与方法的理解深度;从事探究与交流的意识,能力和信心等;能否通过观察,实验,归纳,类比等活动获得数学猜想,并寻求证明猜想的合理性; 能否使用恰当的数学语言有条理地表达自己的数学思考过程.2中考对"课题学习"的考查呈现方式一般呈现的方式有:1.设置情境,探究结论,然后利用如探究出结论求解给出问题;2.设置多层次的问题,"暴露"数学活动过程;3.迁移活动过程中的思想方法,间接考查学生的数学活动过程;4.通过试题解答的结果,进行数学活动过程的考查;5.设计一些包含活动过程的问题,在活动中进行有关过程性目标的考查.2.1突出迁移应用《课程标准》强调"从学生已有的生活经验出49。
平行线等分线段定理教学建议1．定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他需直线上截得的线段也相等．注意事项：定理中的平行线组是指每相邻的两条距离都相等的特殊的平行线组；它是由三条或三条以上的平行线组成．定理的作用：可以用来证明同一直线上的线段相等；可以等分线段．2．的推论推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边。
记忆方法：“中点”＋“平行”得“中点”．推论的用途：（1）平分已知线段；（2）证明线段的倍分．重难点分析本节的重点是.因为它不仅是推证三角形、梯形中位线定理的基础，而且是第五章中“平行线分线段成比例定理”的基础.本节的难点也是.由于学生初次接触到，在认识和理解上有一定的难度，在加上的两个推论以及各种变式，学生难免会有应接不暇的感觉，往往会有感觉新鲜有趣但掌握不深的情况发生，教师在教学中要加以注意.教法建议的引入生活中有许多的例子，并不陌生，的引入可从下面几个角度考虑：①从生活实例引入，如刻度尺、作业本、栅栏、等等；②可用问题式引入，开始时设计一系列与概念相关的问题由学生进行思考、研究，然后给出和推论.教学设计示例一、教学目标1.使学生掌握及推论.2.能够利用任意等分一条已知线段，进一步培养学生的作图能力．3.通过定理的变式图形，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力．4.通过本节学习，体会图形语言和符号语言的和谐美二、教法设计学生观察发现、讨论研究，教师引导分析三、重点、难点1．教学重点：2．教学难点：四、课时安排l课时五、教具学具计算机、投影仪、胶片、常用画图工具六、师生互动活动设计教师复习引入，学生画图探索；师生共同归纳结论；教师示范作图，学生板演练习七、教学步骤【复习提问】1．什么叫平行线？平行线有什么性质．2．什么叫平行四边形？平行四边形有什么性质？【引入新课】由学生动手做一实验：每个同学拿一张横格纸，首先观察横线之间有什么关系？（横线是互相平等的，并且它们之间的距离是相等的），然后在横格纸上画一条垂直于横线的直线，看看这条直线被相邻横线截成的各线段有什么关系？（相等，为什么？）这时在横格纸上再任画一条与横线相交的直线，测量它被相邻横线截得的线段是否也相等？（引导学生把做实验的条件和得到的结论写成一个命题，教师总结，由此得到）：如果一组平行线在一条直线上挂得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．注意：定理中的“一组平行线”指的是一组具有特殊条件的平行线，即每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组，这一点必须使学生明确．下面我们以三条平行线为例来证明这个定理（由学生口述已知，求证）．已知：如图，直线，．求证：．分析1：如图把已知相等的线段平移，与要求证的两条线段组成三角形（也可应用平行线间的平行线段相等得），通过全等三角形性质，即可得到要证的结论．（引导学生找出另一种证法）分析2：要证的两条线段分别是梯形的腰，我们借助于前面常用的辅助线，把梯形转化为平行四边形和三角形，然后再利用这些熟悉的知识即可证得．证明：过点作分别交、于点、，得和，如图．∴∵，∴又∵，，∴∴为使学生对定理加深理解和掌握，把知识学活，可让学生认识几种定理的变式图形，如图（用计算机动态演示）．引导学生观察下图，在梯形中，，，则可得到，由此得出推论1．推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰．再引导学生观察下图，在中，，，则可得到，由此得出推论2．推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．注意：推论1和推论2也都是很重要的定理，在今后的论证和计算中经常用到，因此，要求学生必须掌握好．接下来讲如何利用来任意等分一条线段．例已知：如图，线段．求作：线段的五等分点．作法：①作射线．②在射线上以任意长顺次截取．③连结．④过点．、、分别作的平行线、、、，分别交于点、、、．、、、就是所求的五等分点．（说明略，由学生口述即可）【总结、扩展】小结：（l）及推论．（2）定理的证明只取三条平行线，是在较简单的情况下证明的，对于多于三条的平行线的情况，也可用同样方法证明．（3）定理中的“平行线组”，是指每相邻两条平行线间的距离都相等的特殊平行线组．（4）应用定理任意等分一条线段．八、布置作业教材P188中A组2、9九、板书设计十、随堂练习教材P182中1、2。
一、平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等．
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 二、平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．
例1．已知：如图，四边形ABCD 是正方形，延长BC 到点E ，连结AE 交CD 于F ，
FG ∥AD 交DE 于G .
求证：FC =FG .
证明：在正方形ABCD 中，AB ∥CD ， ∴CF AB ＝EF AE .∵FG ∥AD ，∴FG AD ＝EF AE . ∴
CF AB ＝FG
AD
.∵AB ＝AD ，∴CF ＝FG . 例2．如图，在△ABC 中，D 为AC 边上的中点，AE ∥BC ，ED 交 AB 于G ，交BC 延长线于F ，若BG ∶GA=3∶1，BC=10，则AE 的 长为_________.
解：∵AE ∥BC,∴△BGF ∽△AGE.∴BF ∶AE=BG ∶GA=3∶1. ∵D 为AC 中点，1AE AD
CF DC
∴
== ∴AE=CF.∴BC ∶AE=2∶1.∵BC=10,∴AE=5.
三、相似三角形的判定及性质判定定理。
