Ch2-抽样分布的应用介绍

几个抽样分布的性质及其应用重庆师范大学涉外商贸学院数学与应用数学（师范）2008级阮国勇指导老师陈勇摘要在概率论中，我们是在随机变量的分布是假设已知的前提下去研究的；而数理统计中，随机变量的分布是未知或不完全知道。

我们通过对随机变量进行重复独立观察得到许多观察值，并对观察值的数据进行分析，从而对所研究的随机变量的分布做出推断。

本文介绍三种重要的抽样分布及其性质，并给出了抽样分布在参数估计、假设检验、分布拟合检验的简单应用。

χ分布；t分布；F分布关键词抽样分布；2Abstract In the theory of probability, we are in the distribution of random variable is assumed known base on the research, however，in the mathematical statistics, random variable distribution is unknown or incompletely known. we base on the random variables are independent observations are repeated many observed value, and the observation data analysis, to study the distribution of random variable to make inference. This paper introduces three kinds of important sampling distribution and its properties, and gives the sampling distribution in parameter estimation, hypothesis testing, fitting of distribution of the simple application.Key words sampling distribution, 2χdistribution, t distribution, F distribution第 1 页共 13 页目录1 引言 (4)2 几个有关概念2.1 总体、个体 (4)2.2 简单随机抽样 (4)2.3 统计量 (5)2.3.1 统计量的定义 (5)2.3.2 常用统计量 (5)2.4 自由度 (5)2.5 抽样分布 (6)3 常用抽样分布及其性质χ分布 (6)3.1 2χ分布的定义 (6)3.1.1 2χ分布的性质 (6)3.1.2 23.2 t分布 (7)3.2.1 t分布的定义 (7)3.2.2 t分布的性质 (7)3.3 F分布 (7)3.3.1 F分布的定义 (7)3.3.2 F分布的性质 (7)4 几个常用抽样分布的应用χ分布的应用 (8)4.1 2χ分布在参数估计中的应用 (8)4.1.1 2χ分布在假设检验中的应用 (8)4.1.2 2χ分布在分布拟合检验中的应用 (8)4.1.3 24.2 t分布的应用 (9)4.2.1 t分布在参数估计中的应用 (9)4.2.2 t分布在假设检验中的应用 (9)4.3 F分布的应用 (10)4.3.1 F分布在参数估计中的应用 (10)4.3.2 F分布在假设检验中的应用 (11)5 总结 (11)6 致谢 (12)7 参考文献 (13)1 引言数理统计中的统计估计与推断需要我们进行抽样估计，样本是统计估计和推断的依据，然而，在处理具体的理论与应用问题时，却很少直接利用样本，而利用他们经过适当处理导出来的量，这个量即统计量，统计量的分布称为抽样分布，三大分布都是在正态分布产生的，他们是正态总体统计估计和校验的基础。

抽样分布的概念及重要性抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了从总体中抽取样本的过程中，统计量的分布情况。

在统计学中，我们通常无法对整个总体进行研究，而是通过抽取样本来推断总体的特征。

抽样分布的概念帮助我们理解样本统计量的变异性，并为统计推断提供了理论基础。

本文将介绍抽样分布的概念及其重要性。

一、抽样分布的概念抽样分布是指在相同条件下，重复从总体中抽取样本，并计算样本统计量的分布情况。

在抽样过程中，每次抽取的样本可能不同，因此样本统计量也会有所不同。

抽样分布描述了这些样本统计量的分布情况。

常见的抽样分布包括正态分布、t分布和F分布。

其中，正态分布是最常见的抽样分布，它在大样本情况下逼近于正态分布。

t分布适用于小样本情况，它相对于正态分布具有更宽的尾部。

F分布用于比较两个样本方差是否相等。

二、抽样分布的重要性1. 参数估计抽样分布为参数估计提供了理论基础。

在统计学中，我们通常通过样本统计量来估计总体参数。

抽样分布告诉我们，样本统计量的分布情况，从而帮助我们确定参数估计的可靠性和精确度。

例如，通过样本均值来估计总体均值，我们可以利用抽样分布计算置信区间，从而确定估计值的范围。

2. 假设检验抽样分布在假设检验中起着重要的作用。

假设检验是统计学中常用的推断方法，用于判断总体参数是否满足某种假设。

抽样分布提供了计算检验统计量的分布情况，从而帮助我们确定拒绝域和计算p值。

通过与抽样分布进行比较，我们可以判断样本统计量是否显著，从而对总体参数进行推断。

3. 抽样方法选择抽样分布对于选择合适的抽样方法具有指导意义。

不同的抽样方法会对样本统计量的分布产生影响。

通过了解抽样分布的特点，我们可以选择合适的抽样方法，从而提高样本的代表性和可靠性。

例如，在总体分布未知的情况下，我们可以选择使用无偏估计的抽样方法，以减小抽样误差。

4. 统计模型建立抽样分布为统计模型的建立提供了基础。

在建立统计模型时，我们通常需要假设样本统计量服从某种分布。

抽样分布知识点总结抽样分布是统计学中一个重要的概念，它描述了在进行抽样时得到的样本统计量的分布情况。

抽样分布是统计推断的基础，它可以帮助我们理解抽样误差以及估计参数的可信度。

在本文中，我们将对抽样分布的基本概念、性质和相关理论进行总结和讨论。

一、基本概念1.1 抽样与总体在统计学中，总体是指我们想要研究的所有个体的集合，而抽样则是从总体中选取一部分个体作为样本，以获得对总体特征的估计。

抽样可以是随机抽样、分层抽样、系统抽样等方法，目的是代表性地反映总体的特征。

1.2 样本统计量在抽样中，对样本数据进行统计分析得到的统计量称为样本统计量，常见的样本统计量有均值、方差、标准差、比例等。

样本统计量能够提供有关总体参数的估计和推断。

1.3 抽样分布抽样分布是描述样本统计量的分布情况的统计学概念。

当我们从总体中抽取多个样本，并计算每个样本的统计量时，得到的这些统计量的分布就是抽样分布。

抽样分布可以反映出样本统计量的可变性、偏移和分布形态等特征。

二、性质2.1 中心极限定理中心极限定理是抽样分布理论中的重要定理，它描述了在一定条件下，样本均值的抽样分布近似服从正态分布。

中心极限定理对于理解抽样分布的性质和应用具有重要意义，也为许多统计推断方法提供了理论基础。

2.2 大数定律大数定律是另一个重要的抽样分布性质，它描述了当样本容量足够大时，样本均值会收敛于总体均值，即样本均值的抽样分布会集中在总体均值附近。

大数定律为我们理解样本统计量的稳定性和准确性提供了重要参考。

2.3 置信区间置信区间是根据抽样分布推断总体参数的一种方法，通过对抽样分布的分布情况进行分析，我们可以建立对总体参数的置信区间，从而对总体特征进行推断。

置信区间对于统计推断的可信度和精度有着重要的作用。

三、理论基础3.1 样本容量样本容量是影响抽样分布的一个重要因素，在实际抽样中，样本容量的大小对于样本统计量的分布情况有着重要的影响。

通常情况下，样本容量越大，抽样分布的稳定性和准确性越高。

第二节 抽样分布统计量是样本的函数，它是一个随机变量.统计量的分布称为抽样分布.在使用统计量进行统计推断时常需知道它的分布.当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而要求出统计量的精确分布，一般来说是困难的.本节介绍来自正态总体的几个常用的统计量的分布.1.χ2分布设X 1，X 2，…，X n 是来自总体N （0，1）的样本，则统计量2χ=X 12+X 22+…+X n 2所服从的分布称为自由度为n 的2χ分布（2χ-distribution ），记为2χ~)(2n χ.)(2n χ分布的概率密度函数为f （y ）=⎪⎩⎪⎨⎧>--.,0,0,)2(212122其他y y n y n n e Γf （y ）的图形如图6-2所示.图6-22χ分布具有以下性质：（1） 如果21χ~)(12n χ，22χ~)(22n χ，且它们相互独立，则有)(~2122221n n ++χχχ.这一性质称为2χ分布的可加性. （2） 如果2χ~)(2n χ，则有E （2χ）=n ，D （2χ）=2n .证 只证(2)因为X i ~N （0，1）故E （X i 2）=D （X i ）=1，D （X i 2）=E （X i 4）-[E （X i 2）]2=3-1=2，i =1，2，…，n . 于是,)()()(12122n X E XE E ni i ni i===∑∑==χ图6-3.2)()()(12122n X D X D D ni i n i i ===∑∑==χ对于给定的正数α，0＜α＜1，称满足条件{}⎰∞==>)(222)()(n y y f n P αχααχχd的点)(2n αχ为)(2n χ分布的上α分位点（Percentile of α），如图6-3所示，对于不同的α，n ，上α分位点的值已制成表格，可以查用（见附表），例如对于α=0.05,n =16,查附表得)16(205.0χ=26.296.但该表只详列到n =45为止.当n >45时,近似地有)(2n αχ≈2)12(21-+n z α，其中z α是标准正态分布的上α分位点.例如)50(205.0χ≈122=67.221.2.t 分布设X ~N （0，1），Y ~2()n χ，并且X ，Y 独立，则称随机变量t =nYX服从自由度为n 的t 分布（t -distribution ），记为t ~t （n ）.t （n ）分布的概率密度函数为h （t ）=[]2/)1(21)2/(2/)1(+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++n n t n n n ΓΓπ， -∞＜t ＜∞.（证略）.图6-4中画出了当n =1，10时h （t ）的图形.h （t ）的图形关于t =0对称，当n 充分大时其图形类似于标准正态变量概率密度的图形.但对于较小的n ，t 分布与N（0，1）分布相差很大（见附表）.图6-4 图6-5对于给定的α，0＜α＜1，称满足条件P （t ＞t α（n ））=⎰∞)()(n t t t h αd =α的点t α（n ）为t （n ）分布的上α分位点（见图6-5）.由t 分布的上α分位点的定义及h （t ）图形的对称性知t 1-α（n ）=-t α（n ）.t 分布的上α分位点可从附表查得.在n ＞45时，就用正态分布近似：t α（n ）≈z α.3.F 分布设U ~)(12n χ，V ~)(22n χ，且U ，V 独立，则称随机变量F =21//n V n U 服从自由度为（n 1，n 2）的F 分布（F -distribution ），记F ~F （n 1，n 2）. F （n 1，n 2）分布的概率密度为[][]⎪⎩⎪⎨⎧>++=-.,0,0,)/(1)2/()2/()/(2/)()(21211)2/(2/21212111其他y n y n n n y n n n n y n n ΓΓΓψ (证略).)(y ψ的图形如图6-6所示.图6-6 图6-7F 分布经常被用来对两个样本方差进行比较.它是方差分析的一个基本分布，也被用于回归分析中的显著性检验.对于给定的α，0＜α＜1，称满足条件P {F ＞F α（n 1，n 2）}=⎰∞),(21)(n n F y y αψd =α的点F α（n 1，n 2）为F （n 1，n 2）分布的上α分位点（图6-7）.F 分布的上α分位点有表格可查（见附表）.F 分布的上α分位点有如下的性质：F 1-α（n 1，n 2）=),(112n n F α.这个性质常用来求F 分布表中没有包括的数值.例如由附表查得F 0.05(9,12)=2.80，则可利用上述性质求得F 0.95(12,9)=1/F 0.05(9,12)=12.80=0.357. 4.正态总体的样本均值与样本方差的分布设正态总体的均值为μ，方差为σ2，X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体X 的一个简单样本，则总有E （X ）=μ，D （X ）=σ2/n ，X ~N （μ，σ2/n ）.对于正态总体N (μ,σ2）的样本方差S 2， 我们有以下的性质.定理6.1 设X 1，X 2，…，X n 是总体N （μ，σ2）的样本，X ，S 2分别是样本均值和样本方差，则有（1）)1(~)1(222--n S n χσ；（2）与S 2独立.（证略）.定理6.2 设X 1，X 2，…，X n 是总体N （μ，σ2）的样本，X ，S 2分别是样本均值和样本方差，则有)1(~/--n t nS X μ.证 因为)1,0(~/N nX σμ-，)1(~)1(222--n S n χσ且两者独立，由t 分布的定义知)1(~)1()1(//22----n t n S n nX σσμ. 化简上式左边，即得)1(~/--n t nS X μ.定理6.3 设X 1，X 2，…，1n X 与Y 1，Y 2，…，2n X 分别是来自具有相同方差的两正态总体N （μ1，σ2），N （μ2，σ2）的样本，且这两个样本相互独立.设∑==1111n i i X n X ，∑==2121n i i Y n Y 分别是这两个样本的均值.S 12=∑=--1121)(11n i i X X n ，S 22=∑=--2122)(11n i i Y Y n 分别是这两个样本的样本方差，则有：)2(~/1/1)()(212121-++---n n t n n S Y X W μμ，其中 S W 2=)2()1()1(21222211-+-+-n n S n S n . （证略）.本节所介绍的三个分布以及三个定理,在下面各章中都起着重要的作用.应注意，它们都是在总体为正态总体这一基本假定下得到的.例6.2 设总体X 服从正态分布N （62，100），为使样本均值大于60的概率不小于0.95，问样本容量n 至少应取多大？解 设需要样本容量为n ，则)1,0(~/N n X nX ⋅-=-σμσμ，P （X ＞60）=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅->⋅-n n X P 1062601062.查标准正态分布表，得Φ（1.64）≈0.95.所以0.2n ≥1.64,n ≥67.24.故样本容量至少应取68.。

统计学_抽样分布统计学——抽样分布在统计学的广袤领域中，抽样分布无疑是一个至关重要的概念。

它就像是一把神奇的钥匙，能够帮助我们从局部的样本数据中窥探到总体的特征和规律。

那么，究竟什么是抽样分布呢？想象一下，我们面前有一个巨大的“总体”，这个总体可以是某个城市所有居民的收入情况，也可以是某批产品的质量数据等等。

但由于总体太过庞大，我们无法对其进行全面的测量和分析。

这时候，抽样就派上用场了。

我们从这个总体中抽取一部分个体，这部分个体就构成了一个样本。

而抽样分布，简单来说，就是指从同一个总体中抽取相同大小的多个样本，这些样本统计量（比如均值、方差等）所形成的概率分布。

为了更直观地理解抽样分布，我们以一个简单的例子来说明。

假设我们要研究某个班级学生的考试成绩。

这个班级学生的成绩总体就是我们要研究的对象。

我们先随机抽取 10 名学生的成绩作为一个样本，计算这 10 名学生成绩的平均值。

然后，我们重复这个抽样过程，多次抽取 10 名学生的成绩，每次都计算平均值。

这些平均值就会形成一个分布，这就是抽样分布。

抽样分布有着不同的类型，其中最常见的就是样本均值的抽样分布和样本方差的抽样分布。

先来说说样本均值的抽样分布。

根据中心极限定理，如果总体的分布不论是什么形状，只要样本容量足够大（通常认为大于 30），那么样本均值的抽样分布就近似服从正态分布。

这意味着，我们可以利用正态分布的性质来进行很多统计推断。

比如说，我们可以计算出样本均值落在某个区间内的概率，从而对总体均值进行估计和推断。

再谈谈样本方差的抽样分布。

样本方差的抽样分布与自由度有关。

自由度这个概念可能有些抽象，但可以简单理解为在计算样本方差时能够自由取值的变量个数。

对于样本容量为 n 的样本，其自由度为 n 1。

了解抽样分布对我们有什么实际用处呢？它的作用可大了！首先，抽样分布能够帮助我们进行参数估计。

比如说，我们想要知道总体均值是多少，但又无法直接测量总体中的每一个个体。

概率论抽样分布说明在概率论中，抽样分布是指从总体中选取样本并计算样本统计量的分布。

通过研究抽样分布，可以推断总体的性质和参数。

在这篇文档中，我们将介绍概率论抽样分布的基本概念、特性以及常用的分布类型。

抽样分布的定义抽样分布是由于从总体中抽取样本导致的统计量的分布。

在统计学中，统计量是从样本数据中计算得出的数值，如样本均值、样本方差等。

通过从总体中不断抽取样本并计算统计量的值，可以得到抽样分布。

抽样分布的特性抽样分布具有以下特性：1.中心极限定理：当样本容量足够大时，抽样平均值的抽样分布近似呈正态分布。

2.抽样分布的均值等于总体均值：样本均值的期望值等于总体均值。

3.抽样分布的方差等于总体方差除以样本容量：样本均值的方差等于总体方差除以样本容量。

常见的抽样分布类型在概率论中，常用的抽样分布类型包括：1.正态分布：也称为高斯分布，是最常用的抽样分布。

当样本容量足够大时，均值的抽样分布近似呈正态分布。

2.t分布：用于小样本（样本容量较小）情况下对总体均值的推断。

相对于正态分布，t分布有更宽的尾部。

3.卡方分布：用于推断总体方差时的抽样分布。

卡方分布的形态由自由度决定。

4.F分布：用于比较两个总体方差是否相等的抽样分布。

F分布的形态由两个样本的自由度决定。

抽样分布的应用抽样分布广泛应用于统计学和概率论中的推断与检验问题。

通过从总体中抽取样本并计算统计量的分布，可以进行以下应用：1.参数估计：通过抽样分布，我们可以估计总体参数的取值，如总体均值、总体方差等。

2.假设检验：通过比较样本统计量与抽样分布的临界值，我们可以判断总体参数是否满足某个假设。

3.置信区间估计：通过计算抽样分布的分位数，我们可以得到总体参数的置信区间，从而评估参数的精确性。

总结抽样分布是概率论中的重要概念，用于推断总体的性质和参数。

具备了中心极限定理、均值和方差的性质等特点，常见的抽样分布类型包括正态分布、t分布、卡方分布和F分布。

通过抽样分布，我们可以进行参数估计、假设检验和置信区间估计等应用。

统计学中的抽样分布理论统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。

在统计学中，抽样分布理论是一个重要的概念。

抽样分布理论是指在特定的抽样方法下，样本统计量的分布情况。

本文将介绍抽样分布理论的基本概念、应用以及与推断统计学的关系。

一、抽样分布理论的基本概念抽样分布理论是统计学的基石之一，它是建立在大数定律和中心极限定理的基础上的。

大数定律指出，当样本容量趋向于无穷大时，样本均值会趋于总体均值。

中心极限定理则指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布会接近于正态分布。

基于这些定理，抽样分布理论可以推导出许多重要的统计量的分布情况，如样本均值的分布、样本方差的分布等。

这些分布可以用来进行统计推断和假设检验，帮助我们对总体参数进行估计和推断。

二、抽样分布理论的应用抽样分布理论在实际统计分析中有着广泛的应用。

首先，它可以用来进行参数估计。

在抽样分布理论的指导下，我们可以利用样本统计量对总体参数进行估计。

例如，通过样本均值的抽样分布，我们可以估计总体均值的置信区间。

其次，抽样分布理论可以用于假设检验。

在假设检验中，我们需要根据样本数据判断总体参数的真实值是否在某个范围内。

抽样分布理论提供了关于样本统计量的分布情况，从而帮助我们进行假设检验。

例如，通过样本均值的抽样分布，我们可以判断总体均值是否与某个假设值相等。

此外，抽样分布理论还可以用于确定样本容量。

在实际调查中，我们往往需要确定样本容量以达到一定的置信水平和抽样误差。

通过抽样分布理论，我们可以计算出所需的样本容量，从而保证统计结果的可靠性。

三、抽样分布理论与推断统计学的关系抽样分布理论是推断统计学的基础。

推断统计学是利用样本数据对总体参数进行推断的一种方法。

而抽样分布理论则提供了关于样本统计量的分布情况，为推断统计学提供了理论依据。

推断统计学的核心是利用样本数据来推断总体参数的真实值。

通过抽样分布理论，我们可以得到样本统计量的分布情况，从而对总体参数进行估计和推断。

高中数学备课教案数理统计中的抽样分布与估计数理统计是高中数学重要的内容之一。

学习数理统计中的抽样分布与估计对于学生进一步掌握数学知识、提高解决问题的能力有着极大的帮助。

本文将围绕抽样分布和估计两个方面，分别介绍其概念、性质、计算方法以及实际应用。

一、抽样分布抽样分布是指在相同条件下对总体进行多次抽样所得到的样本统计量的分布。

其中，样本统计量包括样本均值、样本方差等。

在应用中，我们通常使用t分布和χ²分布来描述样本均值和样本方差的分布。

t分布是指在总体服从正态分布条件下，对样本进行多次抽样所得到的样本均值的分布。

t分布具有以下性质：1. t分布的形状与样本数量有关，样本数量越多，t分布越趋近于正态分布；2. t分布的均值为0，方差为1；3. t分布在中心对称轴两侧均有概率密度，随着自由度的增加，t分布越趋近于正态分布。

χ²分布是指在总体服从正态分布条件下，对样本进行多次抽样所得到的样本方差的分布。

χ²分布具有以下性质：1. χ²分布的形状与样本数量有关，样本数量越多，χ²分布越趋近于正态分布；2. χ²分布的均值为自由度，方差为2自由度；3. χ²分布是非负且右偏的，随着自由度的增加，χ²分布的形态逐渐趋近于正态分布。

二、估计估计是指利用样本统计量（如样本均值、样本方差等）来推断总体参数。

常用的估计量包括点估计和区间估计。

点估计是指通过样本统计量来估计总体参数的具体值。

点估计常用的统计量包括样本均值、样本方差等。

例如，使用样本均值来估计总体均值，使用样本方差来估计总体方差等。

但是，由于样本随机性，因此点估计附带了一定的不确定性。

区间估计是为了解决点估计所带来的不确定性而提出的一种方法。

区间估计是通过利用样本统计量来计算总体参数的一个置信区间。

这个置信区间能够描述真实总体参数所在的不确定性范围。

三、应用实例抽样分布和估计在实际应用中有着广泛的应用，在以下领域尤其常见。

教育统计学07讲抽样分布1. 引言在教育统计学中，抽样分布是一个重要的概念。

它是指从总体中抽取多个样本后，统计量的分布情况。

在本文档中，我们将详细讨论抽样分布的概念、性质以及在教育统计学中的应用。

2. 抽样分布的概念抽样分布是指当从总体中抽取多个样本时，统计量的所有可能取值的概率分布。

常见的统计量有平均数、比例等。

抽样分布的形状取决于样本的大小以及总体的分布。

3. 抽样分布的性质抽样分布有以下几个重要的性质：3.1 总体均值与抽样分布均值的关系当样本容量足够大时，抽样分布的均值近似于总体均值。

这是由于大样本可以更好地反映总体的特征。

因此，在进行教育统计学的研究时，应尽量选择适当的样本容量，以保证抽样分布的可靠性。

3.2 抽样分布的标准差与总体标准差的关系抽样分布的标准差等于总体标准差除以样本容量的平方根。

这是由于随着样本容量的增大，抽样误差减小，样本均值更接近总体均值。

因此，当样本容量较大时，抽样分布更稳定。

3.3 抽样分布的形状当总体分布近似正态分布时，抽样分布也近似正态分布。

这是由于正态分布具有中心极限定理，即多个独立同分布的随机变量之和趋近于正态分布。

在教育统计学中，抽样分布有很多应用。

4.1 参数估计抽样分布可以用来进行参数估计。

通过从总体中抽取样本，计算样本统计量，如样本均值或样本比例，可以估计总体参数。

通过抽样分布，可以计算出参数的置信区间，判断参数估计的可靠性。

4.2 假设检验抽样分布还可以用来进行假设检验。

假设检验是教育统计学中常用的方法，用于确定一个假设在给定样本下是否成立。

通过计算抽样分布，可以得到检验统计量的分布情况，从而进行假设检验。

在教育统计学中，可以通过模拟抽样分布来进行实验和推断。

通过随机抽取样本，并计算样本统计量的分布情况，可以模拟大量实际样本的结果，从而得到对总体的推断。

5. 总结抽样分布是教育统计学中的重要概念，它可以用来进行参数估计、假设检验以及模拟实验。

了解抽样分布的性质和应用，可以帮助我们进行合理的数据分析，并得出准确的结论。