2019届人教B版(文科数学) 离散型随机变量的均值与方差 单元测试

离散型随机变量的均值与方差、正态分布（基础+复习+习题+练习）课题：离散型随机变量的均值与方差、正态分布考纲要求：① 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题；② 利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线及曲线所表示的意义.教材复习1.离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:0≤()P A ≤1，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：()1i p ≥0，1,2,i =…；()212p p ++…1=对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和.即(P ξ≥1)()()k k k x P x P x ξξ+==+=+2.数学期望:则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望3.数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平4.平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …1n n p ==，=ξE +1(x +2x …1)n n x +?，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 .5.期望的一个性质:若b a +=ξη，则b aE b a E +=+ξξ)(6.方差: 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，…，那么,ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋222)(p E x ?-ξ＋…＋n n p E x ?-2)(ξ＋…称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． 7.标准差:ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ 8.方差的性质：()1 ξξD a b a D 2)(=+；()2 22)(ξξξE E D -= .9.方差的意义：()1随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ()2随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；()3标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛.10.二项分布的期望与方差：若(),B n p ξ，则E np ξ= ，()1D np p ξ=-11.几何分布的期望和方差：若(),g k p 1k qp -=，其中0,1,2k =，…， p q -=1．则1E p ξ=，21p D pξ-=. 12.正态分布密度函数：22()2(),(,)xf x xμσ--=∈-∞+∞，（0σ>）其中π是圆周率；e是自然对数的底；x是随机变量的取值；μ为正态分布的均值；σ是正态分布的标准差.正态分布一般记为) ,(2σμN。

2．3．2离散型随机变量的方差一、三维目标：1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。

2、过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差 。

3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题 四、教学过程： （一）、复习引入：1..则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望．2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)(5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课：1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？(探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为：则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 DX为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。

我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差.随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。

（三）、基础训练1、已知随机变量X 的分布104332221111+++++++++=X 21014102310321041=⨯+⨯+⨯+⨯=])()()[(122212x x x x x x ns n i -++-++-= 1])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10122222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 22222)24(101)23(102)22(103)21(104-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=s ∑=-=ni ii p EX x 12)(求DX 和解：00.110.220.430.240.12EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=22222(02)0.1(12)0.2(22)0.4(32)0.2(42)0.1 1.2DX =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯= （四）、方差的应用例1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

离散型随机变量的均值与方差基础练习题一、填空题1．若随机变量X 的分布列如下表：则EX ＝_______.解析 由分布列的性质，可得2x ＋3x ＋7x ＋2x ＋3x ＋x ＝1，∴x ＝118. ∴EX ＝0×2x ＋1×3x ＋2×7x ＋3×2x ＋4×3x ＋5x ＝40x ＝209. 答案2．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若ξ表示取到次品的个数，则Eξ等于________．解析ξ＝0时，P =: ξ＝1时，P ＝C 17C 13C 210；ξ＝2时，P ＝C 23C 210，∴E ξ＝1×C 17C 13C 210＋2×C 23C 210＝7×3＋2×3C 210＝35. 答案 353．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是________．解析 若两个随机变量Y ，X 满足一次关系式Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4. 答案 2；2.4 4．已知X 的概率分布为则在下列式子中：①E (X )＝－3；②D (X )＝2327； ③P (X ＝0)＝13.正确的序号是________． 解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确． 由分布列知③正确． 答案 ①③5．有两台自动包装机甲与乙，包装重量分别为随机变量ξ1，ξ2，已知E ξ1=E ξ2，D ξ1>D ξ2，则自动包装机 的质量较好．6．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设ξ为取得红球的次数，则ξ的期望E (ξ)＝________．答案 1257．两封信随机投入A 、B 、C 三个空邮箱，则A 邮箱的信件数X 的数学期望E (X )＝________． 答案：238．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000,0.1)，∴E (Y )＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (Y )＝200. 答案 2009．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为________．解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 5.25 二、解答题10．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，求随机变量X 的分布列与均值. 解: 由已知条件P (X ＝0)＝112 即(1－p )2×13＝112，解得p ＝12，随机变量X 的取值分别为0,1,2,3. P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13， P (X ＝2)＝2×23×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512， P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16.因此随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×3＋2×12＋3×6＝3.11．袋中有相同的5个球，其中3个红球，2个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量ξ为此时已摸球的次数，求： (1)随机变量ξ的概率分布表； (2)随机变量ξ的数学期望与方差． 解 (1)(2)随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝52；12.随机变量ξ的方差D (ξ)＝920.在某一项有奖销售中，每10万张奖券中有1个头奖，奖金10000元；2个二等奖，奖金各5000元；500个三等奖，奖金各100元，10000个四等奖，奖金各5元．试求每张奖券奖金的期望值．如果每张奖券2元，销售一张平均获利多少？（假设所有奖券全部售完）解：每张奖券可获得的奖金数ξ的分布列为每张奖券的期望值 E ξ= 10000×100000+5000×100000+100×500100000+5×10000100000=1.2元. 如果每张奖券2元，销售一张平均获利0.8元．。

离散型随机变量的均值与方差测试题（含答案）一、选择题1．设随机变量()~,B n p ξ，若()=2.4E ξ，()=1.44D ξ，则参数n ，p 的值为（ ） A ．4n =，0.6p = B ．6n =，0.4p = C ．8n =，0.3p = D ．24n =，0.1p =【答案】B【解析】由随机变量()~,B n p ξ，可知()==2.4E np ξ，()=(1)=1.44D np p ξ-，解得6n =，0.4p =．考点：二项分布的数学期望与方差． 【难度】较易2．已知随机变量X 服从二项分布(),B n p ，若()()30,20E X D X ==，则p =（ ） A ．13B ．23C ．15D ．25【答案】A考点：二项分布的数字特征. 【题型】选择题 【难度】较易3．若随机变量),(~p n B ξ，91035==ξξD E ，，则=p ( ) A. 31 B. 32 C. 52D.53 【答案】A【解析】由题意可知，()5,3101,9E np D np p ξξ⎧==⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩解得5,1,3n p =⎧⎪⎨=⎪⎩故选A.考点：n 次独立重复试验.【题型】选择题 【难度】较易4．若随机变量ξ的分布列如下表，其中()0,1m ∈，则下列结果中正确的是（ ）ξ0 1Pm nA ．()()3,E m D n ξξ== B ．()()2,E m D n ξξ== C ．()()21,E m D m m ξξ=-=- D ．()()21,E m D m ξξ=-=【答案】C考点：离散型随机变量的概率、数学期望和方差． 【题型】选择题 【难度】较易5．已知ξ～(,)B n p ，且()7,()6E D ξξ==，则p 等于( )A.71 B.61 C.51D.41 【答案】A【解析】∵ξ～(,)B n p ，∴()7,()(1)6E np D np p ξξ===-=，∴149,7n p ==，故选A.考点：二项分布的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】较易6．设随机变量ξ～(5,0.5)B ，若5ηξ=，则E η和D η的值分别是（ ）A ．252和254 B ．52和54 C ．252和1254 D ．254和1254【答案】C【解析】因为随机变量ξ～(5,0.5)B ，所以5.25.05=⨯=ξE ，25.15.05.05=⨯⨯=ξD ，所以E η=252，D η=1254. 考点：二项分布，数学期望，方差. 【题型】选择题 【难度】较易7．设随机变量ξ的分布列为下表所示，且 1.6E ξ=，则a b -= （ ）A ．－0.2B ．0.1C ．0.2D ．－0.4 【答案】A【解析】由题中分布列可得0.8a b +=，20.3 1.6a b ++=，则0.3,0.5a b ==，0.2a b -=-，故选A.考点：随机变量的期望. 【题型】选择题 【难度】较易8．有5支竹签，编号分别为1，2，3，4，5，从中任取3支，以X 表示取出竹签的最大号码，则EX 的值为（ ） A ．4B ．4.5C ．4.75D ．5【答案】B考点：随机变量的期望.【题型】选择题【难度】较易9．随机变量X的分布列如表所示，2EX=，则实数a的值为( )Xa234P 13b1614A.0B.13C.1D.32【答案】A【解析】11111,3644b b+++=∴=Q,又11112342,03464a a⨯+⨯+⨯+⨯=∴=Q.考点:随机变量的期望. 【题型】选择题【难度】较易10．某班有14的学生数学成绩优秀，如果从班中随机地找出5名学生，那么其中数学成绩优秀的学生数ξ服从二项分布1(5,)4B，则()Eξ-的值为（）A．14B．14-C．54D．5 4 -【答案】D【解析】因为1(5,)4Bξ:，所以15()5.44E Eξξ-=-=-⨯=-故选D.考点：二项分布的含义和性质. 【题型】选择题【难度】较易11．已知102a <<，随机变量ξ的分布列如下表，则当a 增大时 （ ） ξ1-0 1Pa12a - 12A.()E ξ增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小，()D ξ减小 【答案】B考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般12．甲命题：若随机变量2~(3,)N ξσ，若(2)0.3P ξ≤=，则(4)0.7P ξ≤=.乙命题：随机变量~(,)B n p η，且300E η=，200D η=，则13p =，则正确的是（ ） A ．甲正确，乙错误 B ．甲错误，乙正确 C ．甲错误，乙也错误 D ．甲正确，乙也正确 【答案】D考点：正态分布，期望，方差，命题的真假判定． 【题型】选择题 【难度】一般13．据气象预报，某地区下月有小洪水的概率为0.2，有大洪水的概率为0.05．该地区某工地上有一台大型设备，两名技术人员就保护设备提出了以下两种方案：方案一：建一保护围墙，需花费4000元，但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备会受损，损失费为30 000元．方案二：不采取措施，希望不发生洪水，此时小洪水来临将损失15000元，大洪水来临将损失30000元．以下说法正确的是（ ）A ．方案一的平均损失比方案二的平均损失大B ．方案二的平均损失比方案一的平均损失大C ．方案一的平均损失与方案二的平均损失一样大D ．方案一的平均损失与方案二的平均损失无法计算 【答案】A 【解析】用1X 表示方案i （1,2i =）的损失，则1()300000.054000150040005500E X =⨯+=+=，2()300000.05150000.2150030004500E X =⨯+⨯=+=．综上可知，采用方案一的平均损失大．考点：期望的实际应用． 【题型】选择题【难度】一般14．若X 是离散型随机变量，1221(),()33P X x P X x ====且12x x <，又42(),()39E X D X ==，则12x x +的值为（ ）A ．3B ．53C ．73D ．113【答案】A考点：离散型随机变量期望与方差．【题型】选择题 【难度】一般15．设随机变量()2,X B p :，随机变量()3,Y B p :，若()519P X ≥=，则()31D Y +=（ ）A ．2B ．3C ．6D ．7 【答案】C【解析】∵随机变量()2,X B p :，∴()()()20251101C 19P X P X p ≥=-==--=，解得13p =， ∴()1223333D Y =⨯⨯=，∴()231963D Y +=⨯=，故选C ． 考点：二项分布，方差． 【题型】选择题 【难度】一般16．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望()ξE 为（ ） A ．24181 B ．26681 C ．27481 D ．670243【答案】B【解析】依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为95313222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．从而有()952==ξP ，()812095944=⋅==ξP ，()81169462=⎪⎭⎫ ⎝⎛==ξP ，故()812668116681204952=⨯+⨯+⨯=ξE ，故选B.考点：离散型随机变量的数学期望. 【题型】选择题 【难度】一般17．已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若()0,()1E X D X ==，则,a b 的值分别是（ ）X 1-0 1 2Pabc112A.51,248B.51,62C.31,53D.51,124【答案】D考点：离散型随机变量的期望与方差. 【题型】选择题 【难度】一般 二、填空题18．已知随机变量η=23+ξ，且()2D ξ=，则()D η=________. 【答案】18【解析】η=23+ξ，则()()99218D D ηξ==⨯=. 考点：方差的性质. 【题型】填空题 【难度】较易19．已知随机变量X 的分布列如下表所示，则(68)E X += .X 1 2 3 P 0.2 0.40.4【答案】21.2 【解析】由分布列得()2.24.034.022.01=⨯+⨯+⨯=X E ，则()()2.218686=+=+X E X E .考点：离散型随机变量与分布列. 【题型】填空题 【难度】较易20．已知随机变量()~5,0.2X B ，21Y X =-，则()E Y =，标准差()Y σ= ．【答案】1；455考点：二项分布，期望与标准差． 【题型】填空题 【难度】一般21．设p 为非负实数，随机变量ξ的分布列如下表，则()D ξ的最大值为_________.ξ0 1 2p12p - p12【答案】1【解析】由随机变量ξ的分布列的性质，得101,201,p p ⎧≤-≤⎪⎨⎪≤≤⎩解得0≤p ≤12.()1E p ξ=+，则()D ξ=()()()22222111501112112224p p p p p p p p ⎛⎫⎛⎫--⨯-+--⨯+--⨯=--+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当0p =时，()D ξ取最大值，()max D ξ=15144-+=.考点：离散型随机变量及其分布列.【题型】填空题【难度】一般三、解答题22．某大学依次进行A科、B科考试，当A科合格时，才可考B科，且两科均有一次补考机会，两科都合格方通过．甲同学参加考试，已知他每次考A科合格的概率均为23，每次考B科合格的概率均为12.假设他不放弃每次考试机会，且每次考试互不影响．（1）求甲恰好3次考试通过的概率；（2）记甲参加考试的次数为ξ，求ξ的分布列和期望.【答案】（1）518（2）分布列见解析，期望()83Eξ=考点：独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题【难度】一般23．第31届夏季奥林匹克运动会将于2016年8月5日—21日在巴西里约热内卢举行.下表是近五届奥运会中国代表团和俄罗斯代表团获得的金牌数的统计数据（单位：枚）.第30届伦敦第29届北京第28届雅典第27届悉尼第26届亚特兰大中国3851322816俄罗斯2423273226（1）根据表格中两组数据完成近五届奥运会两国代表团获得的金牌数的茎叶图，并通过茎叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（2）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为45，丙猜中国代表团的概率为35，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响.现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX.【答案】（1）茎叶图见解析，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散（2）分布列见解析，115 EX考点：茎叶图，独立事件的概率，随机变量的概率和期望. 【题型】解答题 【难度】一般24．为推行“新课堂”教学法，某地理老师分别用传统教学和“新课堂”两种不同的教学方式，在甲、乙两个平行班级进行教学实验，为了比较教学效果，期中考试后，分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，结果如下表，记成绩不低于70分者为“成绩优良”.分数 [5059)，[6069)，[7079)，[8089)，[90100)，甲班频数 5 6 4 4 1 乙班频数13565（1）由以上统计数据填写下面22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”？甲班 乙班 总计 成绩优良 成绩不优良 总计附：()()()()()()2n ad bc K n a b c d a c b d a b c d -==+++++++.临界值表：()20P K k ≥0.10 0.05 0.025 0.010k 2.706 3.841 5.024 6.635（2）现从上述40人中，学校按成绩是否优良采用分层抽样的方法抽取8人进行考核，在这8人中，记成绩不优良的乙班人数为X，求X的分布列及数学期望.【答案】（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“成绩优良与教学方式有关” （2）分布列见解析，4 5考点：独立性检验，离散型随机变量的期望与方差.【题型】解答题【难度】一般25．某校高三年级有400人，在省普通高中学业水平考试中，用简单随机抽样的方法抽取容量为50的样本，得到数学成绩的频率分布直方图（如图）.（1）求第四个小矩形的高；（2）估计该校高三年级在这次考试中数学成绩在120分以上的学生大约有多少人？（3）样本中，已知成绩在[140,150]内的学生中有三名女生，现从成绩在[140,150]内的学生中选取3名学生进行学习经验推广交流，设有X名女生被选取，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)0.028(2)280(3)分布列见解析，3 2考点：频率分布直方图，离散型随机变量的分布列和期望.【题型】解答题【难度】一般26．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：050:为优；51100:为良；100151:为轻度污染；151200:为中度污染；201300:为重度污染；大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的AQI 的茎叶图如下.（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI 100≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）将频率视为概率，从本月随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望.【答案】（1）18 （2）分布列见解析，1.8考点：古典概型，二项分布. 【题型】解答题 【难度】一般27．为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门对100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人．在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人．（1）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h的人与性别有关．（2）以上样本述数据来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为男性且车速超过100km/h的车辆数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望．参考公式与数据：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析，有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h与性别有关（2）分布列见解析，65考点：独立性检验，离散型随机变量的分布列.【题型】解答题【难度】一般28．某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生50,100内，发布成绩使用等级制.各等级划分标准见下表，规定：的原始成绩均分布在[]C B A 、、三级为合格等级，D 为不合格等级.为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n 名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[)50,60，[)[)[)[)60,70,70,80,80,90,90,100的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示. （1）求n 和频率分布直方图中的,x y 的值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一学生中任选3人，求至少有1人成绩是合格等级的概率；（3）在选取的样本中，从A C 、两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研，记ξ表示所抽取的3名学生中为C 等级的学生人数，求随机变量ξ的分布列及数学期望.百分制 85分及以上70分到84分60分到69分60分以下等级A B C D【答案】(1)50,0.004n x ==，0.018y = (2)9991000 （3）分布列见解析，94E ξ=所以ξ的分布列为：ξ0 1 2 3P12202722027552155()127272190123.22022055554Eξ=⨯+⨯+⨯+⨯=考点：频率分布直方图及对立事件的概率公式，数学期望计算公式等有关知识的综合运用．【题型】解答题【难度】一般。

选择题1.若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)等于( )A.2B.2或C.D.1【解析】选C.由题意，+=1，a>0，所以a=1，所以E(X)=0×+1×=. 2.已知X的分布列为则在下列式子中①E(X)=-；②D(X)=；③P(X=0)=，正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选C.由E(X)=(-1)×+0×+1×=-，知①正确；由D(X)=×+×+×=，知②不正确；由分布列知③正确.3.节日期间，某种鲜花进货价是每束2.5元，销售价为每束5元；节日卖不出去的鲜花以每束1.6元价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X服从如表所示的分布：若购进这种鲜花500束，则利润的均值为( )A.706元B.690元C.754元D.720元【解析】选A.由分布列可以得到E(X)=200×0.2+300×0.35+400×0.3+500×0.15=340，所以利润是(340×5+160×1.6)-500×2.5=706元.4.已知X是离散型随机变量，P(X=1)=，P(X=a)=，E(X)=，则D(2X-1) = ( )A. B. C. D.【解析】选B.因为X是离散型随机变量，P(X=1)=，P(X=a)=，E(X)=，所以由已知得1×+a×=，解得a=2，所以D(X)=1-2×+2-2×=，所以D(2X-1)=22D(X)=4×=.【变式备选】已知离散型随机变量ξ的概率分布如下：随机变量η=2ξ+1，则η的数学期望为( )A.1.1B.3.2C.11kD.22k+1【解析】选B.由0.3+3k+4k=1得k=0.1，所以E(ξ)=0×0.3+1×0.3+2×0.4=1.1，E(η)=2E(ξ)+1=2×1.1+1=3.2.二、简答题1.(2017·天津高考理科·T16)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为12,13,14.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量X的分布列和数学期望.(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.【命题意图】本题考查概率、离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=0)=112⎛⎫-⎪⎝⎭×113⎛⎫-⎪⎝⎭×114⎛⎫-⎪⎝⎭=14,P(X=1)=12×113⎛⎫-⎪⎝⎭×114⎛⎫-⎪⎝⎭+112⎛⎫-⎪⎝⎭×13×114⎛⎫-⎪⎝⎭+112⎛⎫-⎪⎝⎭×113⎛⎫-⎪⎝⎭×14=1124,P(X=2)=112⎛⎫-⎪⎝⎭×13×14+12×113⎛⎫-⎪⎝⎭×14+12×13×114⎛⎫-⎪⎝⎭=14,P(X=3)=12×13×14=124.所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0×14+1×1124+2×14+3×124=1312.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,则所求事件的概率为P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)=P(Y=0)P(Z=1)+P(Y=1)P(Z=0)=14×1124+1124×14=1148.所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为11 48.【反思总结】在(1)中,准确算出随机变量每个可能值的概率是列出分布列,求出数学期望的关键.计算随机变量每个可能值的概率时,比较琐碎、复杂,一定要耐心、细致,否则,其中有一个概率算错了,后面就全错了.2.(2017·江苏高考·T23)已知一个口袋有m 个白球,n 个黑球(m,n ∈N *,n ≥2),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出,并放入如图所示的编号为1,2,3,…,m+n 的抽屉内,其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉(k=1,2,3,…,m+n).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p.(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,E(X)是X 的数学期望,证明:E(X)<()()1nm n n +-.【命题意图】主要考查古典概型概率、随机变量及其分布、数学期望的求法,突出考查考生利用数学相关知识解决实际问题的能力.【解析】(1)编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p 为:p=11n m n n m nC C -+-+=n m n +.(2)随机变量X 的概率分布为:随机变量X 的期望为:E(X)=1m nk n k +=∑·11n k n m nC C --+=1m nk n k +=∑·()()()1!1!!k n k n --- .所以E(X)<()()()2!11!!m nnk n m n k C n k n +=+---∑=()()()()2!112!!m nn k n m n k n C n k n +=+----∑=()11nm nn C +-(1+21n n C --+2n n C -+…+22n m n C -+-) =()11nm nn C +-(11n n C --+21n n C --+2n n C -+…+22n m n C -+-) =()11nm nn C +-(1n n C -+2n n C -+…+22n m n C -+-) =…=()11nm nn C +-(12n m n C -+-+22n m n C -+-) =()111n m n nm n C n C -+-+-=()()1n m n n +- 所以E(X)<()()1nm n n +-.【反思总结】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为:第一步是“判断取值”,即判断随机变量的所有可能取值,以及取每个值所表示的意义; 第二步是“探求概率”,即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式,以及对立事件的概率公式等),求出随机变量取每个值时的概率;第三步是“写分布列”,即按规范形式写出分布列,并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确;第四步是“求期望值”,一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值,对于有些实际问题中的随机变量,如果能够断定它服从某常见的典型分布(如二项分布X~B(n,p)),则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式(E(X)=np)求得.3.(2017·北京高考理科·T17)为了研究一种新药的疗效,选100名患者随机分成两组,每组各50名,一组服药,另一组不服药.一段时间后,记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据,并制成下图,其中“·”表示服药者,“+”表示未服药者.(1)从服药的50名患者中随机选出一人,求此人指标y 的值小于60的概率.(2)从图中A,B,C,D 四人中随机选出两人,记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数,求ξ的分布列和数学期望E(ξ).(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小.(只需写出结论)【命题意图】本题主要考查统计中的概率与期望方差的知识,意在培养学生的识图能力与运算能力.【解析】(1)由图可知,在50名服药患者中,有15名患者指标y 的值小于60,则从服药的50名患者中随机选出一人,此人指标y 的值小于60的概率为1550即310. (2)由图,A,C 两人指标x 的值大于1.7,而B,D 两人则小于1.7,可知在四人中随机选出两人,ξ的可能取值为0,1,2.且p(ξ=0)= 241C =16,p(ξ=1)= 112224C C C =23, p(ξ=2)=241C= 16, 分布列如下E(ξ)=0×16+1×23+2×16=1,即所求数学期望为1.(3)由图知100名患者中服药者指标y 数据的方差比未服药者指标y 数据的方差大.5.(2017·全国丙卷·理科·T18)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[)20,25,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. (1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y 的数学期望达到最大值?【解析】(1)由题意得,X 的可能取值为200,300,500.根据题意,结合频数分布表,用频率估计概率可知 P ()200X ==21690+=15,P ()300X ==3690=25,P ()500X ==257490++=25, 所以六月份这种酸奶一天的需求量X 的分布列为: (2)①当200≤n ≤300时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=4X-2n=800-2n,P()8002Y n=-=1 5 .若X=300时,则Y=()64-n=2n,P()2Y n==2 5 ,若X=500时,则Y=()64-n=2n,P()2Y n==2 5 .所以Y的分布列为:所以E(Y)=15×()8002n-+25×2n+25×2n=65n+160,所以当n=300时,E(Y)max=520(元).②当300<n≤500时,若X=200,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=800-2n,P(Y=800-2n)=1 5 .若X=300时,则Y=(6-4)X+(2-4)(n-X)=1200-2n,P(Y=1200-2n)=2 5 .若X=500时,则Y=(6-4)n=2n,P(Y=2n)=2 5 .所以Y的分布列为:所以E(Y)=15×(800-2n)+25×(1200-2n)+25×2n=-25n+640<-25×300+640=520(元).综上,当n为300瓶时,Y的数学期望达到最大值.6.(2017·山东高考理科·T18)在心理学研究中,常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响,具体方法如下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示,另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示,另5人接受乙种心理暗示.(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的频率.(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求X的分布列与数学期望EX.【命题意图】本题考查古典概型概率的求解以及随机变量期望求解,意在考查考生运算求解能力与分析问题、解决问题的能力.【解析】(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的事件为M,则P(M)=48510cc=518.(2)由题意知X可取的值为:0,1,2,3,4,则P(X=0)=56510cc=142,P(X=1)=4164510C CC=521,P(X=2)=3264510c cc=1021,P(X=3)=2364510C CC=521,P(X=4)=1464510c cc=142,因此X的分布列为X的数学期望是EX=0×142+1×521+2×1021+3×521+4×142=2.。

高中数学离散型随机变量的均值与方差综合测试题（附答案）散型随机变量的均值与方差习题课一、选择题1．已知随机变量X的分布列是X 1 2 3P 0.4 0.2 0.4则E(X)和D(X)分别等于()A．1和0 B．1和1.8C．2和2 D．2和0.8[答案] D[解析] E(X)＝10.4＋20.2＋30.4＝2D(X)＝(2－1)20.4＋(2－2)20.2＋(2－3)20.4＝0.8. 2．已知随机变量X的分布列为X 0 1 2P 715715115且＝2X＋3，且E()等于()A.35B.65C.215D.125[答案] C[解析] ∵E(X)＝0175＋1715＋2115＝35，E()＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝215.3．某人从家乘车到单位，途中有3个交通岗．假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人上班途中遇红灯次数的均值为()A．0.4 B．1.2C．0.43 D．0.6[答案] B[解析] ∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，E(X)＝30.4＝1.2＝65.4．已知X的分布列为X 1 2 3 4P 14131614则D(X)的值为()A.2912B.121144C.179144D.1712[答案] C[解析] ∵E(X)＝114＋213＋316＋414＝2912，E(X2)＝1214＋2213＋3216＋4214＝8512，D(X)＝E(X2)－(E(X))2＝179144.5．已知X的分布列为X －1 0 1P 121316若＝2X＋2，则D()的值为()A．－13 B.59C.109D.209[答案] D[解析] E(X)＝－112＋013＋116＝－13，D(X)＝－1＋13212＋0＋13213＋1＋13216＝59，D()＝D(2X＋2)＝4D(X)＝459＝209.6．从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是25，设X为途中遇到红灯的次数，则随机变量X的方差为() A.65 B.1825C.625D.18125[答案] B[解析] 由X～B3，25，D(X)＝32535＝1825.7．已知X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X ＋2)＝12.96，则二项分布的参数n、p的值为()A．n＝4，p＝0.6B．n＝6，p＝0.4C．n＝8，p＝0.3D．n＝24，p＝0.1[答案] B[解析] 由E(3X＋2)＝3E(X)＋2，D(3X＋2)＝9D(X)，及X～B(n，p)时E(X)＝np.D(X)＝np(1－p)可知3np＋2＝9.29np(1－p)＝12.96n＝6p＝0.48．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表甲的成绩环数 7 8 9 10频数 5 5 5 5乙的成绩环数 7 8 9 10频数 6 4 4 6丙的成绩环数 7 8 9 10频数 4 6 6 4s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有()A．s3s2 B．s2s3C．s1s3 D．s2s1[答案] B[解析] 计算可得甲、乙、丙的平均成绩为8.5.s1＝120[5(7－8.5)2＋5(8－8.5)2＋5(9－8.5)2＋5(10－8.5)2]＝2520.同理，s2＝2920，s3＝2120，s2s3，故选B.二、填空题9．牧场的10头牛，因误食疯牛病毒污染的饲料被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病牛的头数为X，则D(X)等于________．[答案] 0.196[解析] 由题意知，随机变量服从二项分布，所以D(X)＝npq ＝100.02(1－0.02)＝0.196.10．(2019福州)设有m升水，其中含有n个大肠杆菌，今任取1升水检验，设其中含大肠杆菌的个数为X，则E(X)＝________.[答案] nm[解析] 设A＝“在所取的1升水中含有一个大肠杆菌”，则P(A)＝1m，P(X＝k)＝Pn(k)＝Ckn(1m)k(1－1m)n－k(k＝0,1,2,3，…，n)，X～B(n，1m)．则E(X)＝n1m＝nm.11．某次考试中，第一大题由12个选择题组成，每题选对得5分，不选或选错得0分．小王选对每题的概率为0.8，则其第一大题得分的均值为________．[答案] 48[解析] 设小王选对个数为X，得分为＝5X，则X～B(12,0.8)，E(X)＝np＝120.8＝9.6，E()＝E(5X)＝5E(X)＝59.6＝48.12．若X的分布列如下表：X 1 2 3 4P 14141414则D14X＝________.[答案] 564[解析] E(X)＝14(1＋2＋3＋4)＝52，D(X)＝1－522＋2－522＋3－522＋4－52214＝54，D14X＝116D(X)＝564.三、解答题13．一名工人要看管三台机床，在一小时内机床不需要工人照顾的概率对于第一台是0.9，第二台是0.8，第三台是0.85，求在一小时的过程中不需要工人照顾的机床的台数X的数学期望(均值)．[解析] 由题意，可知X的所有可能的值为0,1,2,3，记事件A为第一台机床不需照顾；事件B为第二台机床不需照顾，事件C为第三台机床不需照顾，由独立事件和互斥事件的概率公式可知，P(X＝0)＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝0.10.20.15＝0.003，P(X＝1)＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.056，同上可得P(X＝2)＝0.329，P(X＝3)＝0.612，所以E(X)＝00.003＋10.056＋20.329＋30.612＝2.55台．14．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类．这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求的分布列及均值．[解析] 考查离散型随机变量的概率分布和数学期望．解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件Ai，Bi，Ci，i＝1,2,3.由题意知A1，A2，A3相互独立，B1，B2，B3相互独立，C1，C2，C3相互独立，Ai，Bj，Ck(i，j，k＝1,2,3，且i，j，k互不相同)相互独立，且P(Ai)＝12，P(Bj)＝13，P(Ck)＝16.(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率为：P＝3！P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6121316＝16.(2)解法一：设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为，由已知～B3，13，且＝3－.所以P(＝0)＝P(＝3)＝C33133＝127，P(＝1)＝P(＝2)＝C2313223＝29，P(＝2)＝P(＝1)＝C1313232＝49，P(＝3)＝P(＝0)＝C03233＝827.故的分布列为0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝0127＋129＋249＋3827＝2.解法二：由题设条件知，基础设施工程和产业建设工程这两类项目的个数占总数的12＋16＝23.3名工人独立地从中任选一个项目，故每人选到这两类项目的概率都是23，故～B3，23.即：P(＝k)＝Ck323k133－k，k＝0,1,2,3.0 1 2 3P 1272949827的均值E()＝323＝2.15．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，表示所取球的标号．(1)求的分布列、均值和方差；(2)若＝a＋b，E()＝1，D()＝11，试求a，b的值．[解析] (1)的分布列为：0 1 2 3 4P 1212011032015E()＝012＋1120＋2110＋3320＋415＝1.5.D()＝(0－1.5)212＋(1－1.5)2120＋(2－1.5)2110＋(3－1.5)2320＋(4－1.5)215＝2.75.(2)由D()＝a2D()，得a22.75＝11，即a＝2.又E()＝aE()＋b，所以当a＝2时，由1＝21.5＋b，得b＝－2；当a＝－2时，由1＝－21.5＋b，得b＝4，a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4即为所求．16．(2019湖南理，17)下图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图．(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望(均值)．[分析] (1)由频率和为1，列式求出x的值；(2)从图中知用水为3至4吨的概率为0.1，又本抽样为有放回抽样，故符合X～B(3,0,1)，其中X＝0,1,2,3.列出分布列并求出数学期望(均值)．[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.(2)由题意知，X～B(3,0.1)．因此P(X＝0)＝C030.93＝0.729，P(X＝1)＝C130.10.92＝0.243，P(X＝2)＝C230.120.9＝0.027，P(X＝3)＝C330.13＝0.001.故随机变量X的分布列为X 0 1 2 3P 0.729 0.243 0.027 0.001X的数学期望为E(X)＝30.1＝0.3.[点评] 本题通过频率分布直方图，将统计知识与概率结合起来．考查了二项分布，离散型随机变量的分布列与数学期望(均值)．第 11 页。

高二数学离散型随机变量的均值与方差试题1.设投掷1颗骰子的点数为ξ，则A．Eξ=3.5，Dξ=3.52B．Eξ=3.5，Dξ=C．Eξ=3.5，Dξ=3.5D．Eξ=3.5，Dξ=【答案】B【解析】ξ可以取1，2，3，4，5，6．P（ξ=1）=P（ξ=2）=P（ξ=3）=P（ξ=4）=P（ξ=5）=P（ξ=6）=，∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×+6×=3.5Dξ=[（1-3.5）2+（2-3.5）2+（3-3.5）2+（4-3.5）2+（5-3.5）2+（6-3.5）2]×=，故选B。

【考点】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差。

点评：离散型随机变量的数学期望与方差是随机变量的重要数字特征，反映了随机变量取值的平均水平与波动大小．通常情况下，都是先求出随机变量取每个值时的概率、再得其分布列、最后用数学期望与方差的定义求解。

2.设服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差分别是2.4与1.44，则二项分布的参数n、p的值为A．n=4，p=0.6B．n=6，p=0.4C．n=8，p=0.3D．n=24，p=0.1【答案】B【解析】n=6,p=0.4若X B（n,p），则E（X）=np.即np=2.4若X B（n,p），则D（X）=np(1-p).即np(1－p)=1.44则解出p=0.4，n=6，故选B。

【考点】本题主要考查服从二项分布B（n，p）的随机变量ξ的期望和方差。

点评：熟记公式，细心计算，基础题。

3.一射手对靶射击，直到第一次命中为止每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目ξ的期望为A．2.44B．3.376C．2.376D．2.4【答案】C【解析】由题意知ξ=0，1，2，3，∵当ξ=0时，表示前三次都没射中，第四次还要射击，但结果不计，∴P（ξ=0）=0.43，∵当ξ=1时，表示前两次都没射中，第三次射中∴P（ξ=1）=0.6×0.42，∵当ξ=2时，表示第一次没射中，第二次射中∴P（ξ=2）=0.6×0.4，∵当ξ=3时，表示第一次射中，∴P（ξ=3）=0.6，∴Eξ=2.376．故选C．【考点】本题主要考查离散型随机变量的期望的计算．点评：本题在解题过程中当随机变量为0时，题目容易出错同学们可以想一想，模拟一下当时的情况，四颗子弹都用上说明前三次都没有射中，而第四次无论是否射中，子弹都为0．4.把4个球随机地投入4个盒子中去，设ξ表示空盒子的个数，求Eξ、Dξ.【答案】Eξ=，Dξ=.【解析】每个球投入到每个盒子的可能性是相等的.总的投球方法数为44，空盒子的个数可能为0个，此时投球方法数为A=4!，∴P（ξ=0）==；空盒子的个数为1时，此时投球方法数为C C A，∴P（ξ=1）=.同样可分析P（ξ=2），P（ξ=3）.解：ξ的所有可能取值为0，1，2，3.P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==. ∴ξ的分布列为∴Eξ=，Dξ=.【考点】本题主要考查排列组合知识、离散型随机变量的分布列、期望和方差等知识．点评：解决本题的关键是正确理解ξ的意义，准确计算概率，写出ξ的分布列．5.一次单元测试由50个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中恰有1个是正确答案.每题选择正确得2分，不选或错选得0分，满分是100分.学生甲选对任一题的概率为0.8，求他在这次测试中成绩的期望和标准差..【答案】80，约5.7.【解析】解：设学生甲答对题数为ξ，成绩为η，则ξ～B（50，0.8），η=2ξ，故成绩的期望为Eη=E（2ξ）=2Eξ=2×50×0.8=80（分）；成绩的标准差为ση====2=4≈5.7（分）【考点】本题主要考查离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．点评：仔细审题，认清ξ～B（50，0.8），η=2ξ是解题的关键。

离散型随机变量的均值与方差、正态分布一、知识回顾：1性质：①___________；②___________________2．离散型随机变量的数学期望：E ξ=______________，它反映随机变量取值的平均水平。

3．离散型随机变量的方差：D ξ=______________________，反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度：ξD 越小，ξ取值越集中，ξD 越大，ξ取值越分散。

4．随机变量ξ的标准差,记作σξ,σξ=________________。

5．性质：=+)(b aX E _________；=+)(b aX D __________。

6.若X 服从两点分布，则E(X)=___________,D(X)=_______________ 若X ～B(n,p)，则E(X)=___________,D(X)=_______________注意：ηξηξE E E ±=±)( 22)(ξξξE E D -=7．提示：（1）在实际中经常用期望来比较平均水平，当平均水平相近时，再用方差比较稳定程度；（2）注意离散型随机变量的期望、方差与样本数据的平均数、方差的联系。

8. ⑴正态分布与正态曲线：若随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E ..3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=- x e x x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时， 有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0， ⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ. 4. “3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN ，则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.经典例题：1．设两个正态分布N (μ1，σ21)(σ1＞0)和N (μ2，σ22)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示，则有( )A ．μ1＜μ2，σ1＜σ2B ．μ1＜μ2，σ1＞σ2C ．μ1＞μ2，σ1＜σ2D ．μ1＞μ2，σ1＞σ2【解析】 根据正态分布N (μ，σ2)函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x ＝μ对称，在x ＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A.【答案】 A2．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，若ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，则ξ在(0,2)内取值的概率为________．【解析】 在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N (1，σ2)(σ＞0)，正态分布图象的对称轴为x ＝1，ξ在(0,1)内取值的概率为0.4，可知，随机变量ξ在(1,2)内取值的概率与ξ在(0,1)内取值的概率相同，也为0.4，这样随机变量ξ在(0,2)内取值的概率为0.8.【答案】 0.83．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( )A ．1B ．4C ．2D ．不能确定【解析】 根据题意，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ＜0，即ξ＞4，根据正态密度曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.4．(2010·广东高考)已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤X ≤4)＝0.682 6，则P (X ＞4)＝( )A ．0.158 8B ．0.158 7C ．0.158 6D ．0.158 5【解析】 由正态曲线性质知，其图象关于x ＝3对称， ∴P (x ＞4)＝0.5－12P (2≤x ≤4)＝0.5－12×0.682 6＝0.158 7.故选B.【答案】 B二、练习巩固：（1）、随机变量X 的分布列如下，回答1—3题1、)1(=x P 的值为（ ）A 0.8B 0.7C 0.5D 0.6 2、)(xE 的值为（ ）A 0.3B -0.3C 0.61D 0.72 3、)(x D 的值为（ ）A 0.3B -0.3C 0.61D 0.72 （2）随机变量X 的分布列如下，回答4—6题4、)41(<≤X P 的值为（ ）A 0.6B 0.7C 0.8D 0.95、X 的期望值与方差值分别为（ ）A 2；1.29B 2.1；1.29C 2；1.9D 2.1；1.9 6、设52+=X Y ，则)(YE 、)(Y D 的值分别为（ ）A 4.2；1.29B 9.2；5.16C 4.2；15.32D 9.2；10.32、 （3）已知某运动员投篮命中率为p =0.6，求解7—9题 7、该运动员进行一次投篮，命中次数为ξ，则)(ξE =（ ） A 0.6 B 0.4 C 0.24 D 0.36 8、该运动员重复投篮5次，命中次数为η，则)(ηD =（ ）A 3B 56.0C 1.2D )5,4,3,2,1,0(4.06.055=-k C k k k9、若一次投篮投中得2分，投不中不得分，该运动员重复投篮5次，所得分数X 的方差为（ ）A 1.2B 2.4C 3.6D 4.810、若随机变量X 服从两点分布，且成功的概率p ＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )A.0.5和0.25B.0.5和0.75C.1和0.25D.1和0.75 11、已知X ～B(n,p),EX ＝8,DX ＝1.6，则n 与p 的值分别是( ) A.100,0.08 B.20,0.4 C.10,0.2 D.10,0.8 12、如果X ～B(100,0.2),那么D(4X+3)=____________13、口袋中有大小均匀10个球，其中有7个红球3个白球，任取3个球，其中含有红球个数为X ，则=)(X E 。

第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 离散型随机变量的均值与方差 1．若离散型随机变量X 的分布列为x p(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) (3)两点分布与二项分布的均值、方差考点2正态分布1．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[必会结论]均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(4)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．[2018·九江模拟]已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (ξ>k )＝P (ξ<k －4)，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 ∵(k －4)＋k 2＝5，∴k ＝7.故选B. 3．马老师从课本上抄录的一个随机变量X 的概率分布列如下表：3 ？且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E (X )＝________.答案 2解析 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1.又E (X )＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2.4．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为________．答案 20，2003解析 记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20，D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝答案 12 34解析 由分布列的性质得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1，①0≤1－q ≤1，②0≤5q2－1≤1，③q 2＋(1－q )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5q 2－1＝1，④由①②③，得25≤q ≤45.由④，得q 2＋32q －1＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫q －12(q ＋2)＝0，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)．故q ＝12.由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3，故P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝q 2＋(1－q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝34. 板块二 典例探究·考向突破 考向离散型随机变量的均值与方差例 1 [2016·天津高考]某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1. 触类旁通求离散型随机变量的均值与方差的方法(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解；(2)若随机变量X ～B (n ，p )，则可直接使用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解．【变式训练1】 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23，若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列与期望．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2， A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5. (1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝23×13＋13×23＝49.解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率P (1)＝C 12×23×13＝49.(2)X 的所有可能值为2,3,4,5.则P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2)＝23×23＋13×13＝59；P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝29；P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝1081；P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝881.综上知，X 的分布列为从而有E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.考向均值与方差的实际应用例 2 [2017·北京高考]为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“ *”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)解 (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图可知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝C22C24＝16，P(ξ＝1)＝C12C12C24＝23，P(ξ＝2)＝C22C24＝16.所以ξ的分布列为2错故ξ的期望E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．触类旁通均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用D(X)来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【变式训练2】[2018·福建模拟]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为6错所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为8错X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.考向正态分布例3 (1)[2018·广东佛山模拟]已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤ξ≤4)＝0.6826，则P (ξ>4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585答案 B解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝1－P (2≤ξ≤4)2＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B. (2)[2015·山东高考]已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%答案B解析由正态分布N(0,32)，可知ξ落在(3,6)内的概率为P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.触类旁通关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【变式训练3】(1)若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975答案C解析由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.(2)[2018·河南安阳专项训练]已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为() A．0.3% B．0.23%C ．1.5%D ．0.15%答案 D 解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.核心规律均值、方差和正态分布问题的求解方法(1)①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；③若X 服从超几何分布，则E (X )＝n M N .(2)正态总体在某个区间内取值的概率的求法：一要熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值，二要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.满分策略均值、方差和正态分布问题求解中注意的事项(1)在记忆D (aX ＋b )＝a 2D (X )时要注意：D (aX ＋b )≠aD (X )＋b ，D (aX ＋b )≠aD (X )．(2)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从X ～B (n ，p )，那么用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．(3)在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x ＝μ(μ≠0)，而不是x ＝0.板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列10——高考中频出的“冷点”—正态分布[2018·陕西模拟]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.解题视点(1)利用频率分布直方图计算平均数及方差．(2)①利用样本估计总体进行概率计算；②利用二项分布的期望公式代入求解即可．解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.②由①，知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.答题启示本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题.正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误率相当高.此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点.跟踪训练[2017·全国卷Ⅰ]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：＝116(∑i ＝116x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B (16,0.0026)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望E (X )＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为0.008≈0.09.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4答案 C解析 X ＝k 表示第(4－k )次命中目标，P (X ＝3)＝0.6，P (X ＝2)＝0.4×0.6，P (X ＝1)＝0.42×0.6，P (X ＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E (X )＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376.2．[2018·长沙检测]已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 答案 C解析 P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C.3．随机变量X 的分布列如下：1c其中a ，b ，c 成等差数列．若E (X )＝13，则D (X )的值是( )A.49B.59C.23D.95 答案 B解析 a ＋b ＋c ＝1.又∵2b ＝a ＋c ，故b ＝13，a ＋c ＝23.由E (X )＝13，得13＝－a ＋c ，故a ＝16，c ＝12.D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59.故选B.4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6答案 B解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320， P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12. ∴E (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12，得E (X )＝5.25.5．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是( )A ．997B ．954C ．819D ．683答案 D解析 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.6．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝μ)＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于________．答案 0解析 由13＋a ＝1，得a ＝23，又E (ξ)＝2，∴m 3＋2μ3＝2，m ＝6－2μD (ξ)＝13(m －2)2＋23(μ－2)2＝2μ2－8μ＋8＝2(μ－2)2，∴μ＝2时，D (ξ)最小值＝0.7．[2018·南宁模拟]某高校进行自主招生的面试程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必须答，但相互不影响)，设某学生答对每道题的概率为23，则该学生在面试时得分的期望值为________．答案 15解析 记学生面试的得分为随机变量η，则η的可能取值为－15,0,15,30，则有P (η＝－15)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，P (η＝0)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝627，P (η＝15)＝C 23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1227，P (η＝30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以该学生面试得分的数学期望E (η)＝(－15)×127＋0×627＋15×1227＋30×827＝15.8．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．9．[2018·江西师大附中模拟]已知某校的数学专业开设了A ，B ，C ，D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A 被这3名学生选修的人数X 的分布列和数学期望．解 (1)3名学生选择的选修课所有不同选法有43＝64种；各人互不相同的选法有A 34种，故互不相同的概率P ＝A 3443＝38.(2)选修课A 被这3名学生选修的人数X 的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝3242＝916，P(X＝1)＝342＝316，P(X＝2)＝342＝316，P(X＝3)＝142＝116.所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×916＋1×316＋2×316＋3×116＝34.10．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止．记取球次数为ξ.(1)求ξ的概率分布；(2)求ξ的数学期望及方差．解(1)ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，并且有P(ξ＝1)＝15＝0.2，P(ξ＝2)＝45×14＝0.2，P(ξ＝3)＝45×34×13＝0.2，P(ξ＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P(ξ＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2.因此ξ的分布列是(2)E(ξ)＝1×0.2＝3，D(ξ)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝2.[B级知能提升]1．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X ，则E (X )为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5答案 B解析 X 可取0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 36×C 36＝120，P (X ＝1)＝C 16×C 25×C 23C 36×C 36＝920，P (X ＝2)＝C 26×C 14×C 13C 36×C 36＝920，P (X ＝3)＝C 36C 36×C 36＝120，故E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5.2．[2018·山东聊城联考]已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则D (X )＝________.答案 1318解析 由题意，知13×(1－p )2＝112，即p ＝12，所以P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝13，P (X ＝2)＝23×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＋13×12×12＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16， 所以E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53，所以D (X )＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532＋512×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532＝1318.4．[2018·宁夏模拟]某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 解 (1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13.该考生选择题得50分的概率为P (A )·P (A )·P (B )·P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136.(2)该考生所得分数X ＝30,35,40,45,50， P (X ＝30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝19，P (X ＝35)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＝13，P (X ＝40)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1336，P (X ＝45)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＝16，P (X ＝50)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136.该考生所得分数X 的分布列为所以E (X )＝30×19＋35×13＋40×1336＋45×16＋50×136＝1153分． 5．[2018·湖北武汉模拟]某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N (168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数； (3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544， P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为⎝⎛⎭⎪⎫162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100×4＝168.72.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10.(3)∵P (168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.9974， ∴P (ξ≥180)＝1－0.99742＝0.0013. ∴0.0013×100000＝130.∴全市前130名男生的身高在180 cm 以上，这50人中180 cm 以上的有2人．随机变量ξ可取0,1,2，于是P (ξ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝2)＝C 22C 210＝145，∴E (ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.。

1.【浙江省嘉兴市第一中学2017届高三适应性考试】随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C【解析】1111632p =--=，()1110223623E X a a =⨯+⨯+⨯=⇒=∴()()()()2221110222321623D X =-⨯+-⨯+-⨯=，∴()()22324D X D X -==2.【2017届浙江省高三高考模拟考试】已知102a <<，随机变量ξ的分布如下：当a 增大时，（ ）A.()E ξ增大，()D ξ增大B.()E ξ减小，()D ξ增大C.()E ξ增大，()D ξ减小D.()E ξ减小 ，()D ξ减小 【答案】B.3.【2017届黑龙江大庆高三考前训练一】体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为()0p p ≠，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围是（ ） A. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D. 1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据题意，学生发球此时为1即一次发球成功的概率为p ，即()1P X p ==，发球次数为2即二次发球成功的概率为()()21P X p p ==-，发球次数为3的概率为()()231P X p ==-，则期望()()()22213133E X p p p p p p =+-+-=-+，依题意有() 1.75E X >，即233 1.75p p -+>，解得52p >或12p <，结合p 的实际意义，可得102p <<，故选C ．4. 【江西省赣州市2017届高三第二次模拟】某经销商从外地水产养殖厂购进一批小龙虾，并随机抽取40只进行统计，按重量分类统计结果如下图：（1）记事件A 为：“从这批小龙虾中任取一只，重量不超过35g 的小龙虾”，求()P A 的估计值； （2）若购进这批小龙虾100千克，试估计这批小龙虾的数量；（3）为适应市场需求，了解这批小龙虾的口感，该经销商将这40只小龙虾分成三个等级，如下表：按分层抽样抽取10只，再随机抽取3只品尝，记X 为抽到二等品的数量，求抽到二级品的期望．（3）由题意知抽取一等品、二等品、三等品分别为4只、5只、1只， 0,1,2,3X =则可得()0355310101012012C C P X C ====， ()1255310505112012C C P X C ====()2155310505212012C C P X C ====， ()3055310101312012C C P X C ====，所以()155130123121212122E X =⨯+⨯+⨯+⨯=5.【河北省衡水中学2017届高三三摸】如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率； （2）求X 的分布列和数学期望．（2）依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++()()()1232P A P B P B +()()()()4152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()2345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．6. 湖南省郴州市2017届高考数学三模试卷（理 ）18．（12分）2017年郴州市两会召开前夕，某 站推出两会热点大型调查，调查数据表明，民生问题时百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80 ，现从参与者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示． （1）求出频率分布直方图中的a 值，并求出这200的平均年龄；（2）现在要从年龄较小的第1，2，3组用分层抽样的方法抽取12人，再从这12人中随机抽取3人赠送礼品，求抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率；（3）若要从所有参与调查的人（人数很多）中随机选出3人，记关注民生问题的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．则抽取的3人中至少有1人的年龄在第3组的概率：P（A）=1﹣P（）=1﹣=．（3）X的所有可能值为0，1，2，3，依题意得X B（3，），且P（X=）=，=0，1，2，3，∴X的分布列为：EX=np=3×=．7. 在《我是歌手》的比赛中，有6位歌手（1 6号）进入决赛，在决赛中由现场的百家媒体投票选出最受欢迎的歌手，各家媒体独立地在投票器上选出3位候选人，其中媒体甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，另在2号至6号中随机的选2名；媒体乙不欣赏2号歌手，他一定不选2号，；媒体丙对6位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至6号歌手中随机的选出3名.(1) 求媒体甲选中5号且媒体乙未选中5号歌手的概率;(2) ξ表示5号歌手得到媒体甲，乙，丙的票数之和，求ξ的分布列及数学期望.___(2)()()()2312123311955252555250P X P AB C P A B C P A BC ==++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=2313(3)()55225P X P ABC ===⨯⨯=所以X 的分布列为所为X 的期望为3191933()0123255050252E X =⨯+⨯+⨯+⨯=8. 江西省鹰潭市2017届高三第二次模拟考试数学试题（理 ）鹰潭市龙虎山花语世界位于中国第八处世界自然遗产，世界地质公元、国家自然文化双遗产地、国家AAAAA级旅游景区——龙虎山主景区排衙峰下，是一座独具现代园艺风格的花卉公园，园内汇集了3000余种花卉苗木，一年四季姹紫嫣红花香四溢.花园景观融合法、英、意、美、日、中六大经典园林风格，景观设计唯美新颖.玫瑰花园、香草花溪、台地花海、植物迷宫、儿童乐园等景点错落有致，交相呼应又自成一体，是世界园艺景观的大展示.该景区自2015年春建成试运行以来，每天游人如织，郁金香、向日葵、虞美人等赏花旺季日入园人数最高达万人.某学校社团为了解进园旅客的具体情形以及采集旅客对园区的建议，特别在2017年4月1日赏花旺季对进园游客进行取样调查，从当日12000名游客中抽取100人进行统计分析，结果如下：（表一）（1）完成表格一中的空位①-④，并在答题卡中补全频率分布直方图，并估计2017年4月1日当日接待游客中30岁以下人数.（2）完成表格二，并问你能否有97.5 的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关？（3）按分层抽样（分50岁以上与50以下两层）抽取被调查的100位游客中的10人作为幸运游客免费领取龙虎山内部景区门票，再从这10人中选取2人接受电视台采访，设这2人中年龄在50岁以上（含）的人数为ξ，求ξ的分布列（表二）（参考公式：22()()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.）（表一）（2）完成表格()221005404015400 4.04 5.0242080554599κ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯所以没有97.5 的把握认为在观花游客中“年龄达到50岁以上”与“性别”相关（3）由分层抽样应从这10人中抽取50岁以上人数：100.22⨯=人，50岁以下人数8人取值可能0,1,2()022*********C C P C ξ⋅=== ()112821016145C C P C ξ⋅=== ()20282101245C C P C ξ⋅===9.辽宁省六校协作体2016-2017学年高二下学期期中考试（理） (12分)学校为了了解高三学生每天自主学习中国古典文学的时间，随机抽取了高三男生和女生各50名进行问卷调查，其中每天自主学习中国古典文学的时间超过3小时的学生称为“古文迷”，否则为“非古文迷”，调查结果如表：(1)根据表中数据判断能否有60%的把握认为“古文迷”与性别有关？(2)先从调查的女生中按分层抽样的方法抽出5人进行中国古典文学学习时间的调查，求所抽取的5人中“古文迷”和“非古文迷”的人数；(3)现从(2)中所抽取的5人中再随机抽取3人进行体育锻炼时间的调查，记这3人中“古文迷”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望． 参考数据：参考公式： ()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．(3)因为ξ为所抽取的3人中“古文迷”的人数，所以ξ的所有取值为1，2，3．()1232353110C C P C ξ===，()213235325C C P C ξ===，()33351310C P C ξ===． 所以随机变量ξ的分布列为于是123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=． 10.四川省遂宁市2017届高三三诊考试数学（理 ）试题18．（本小题满分12分）某市拟定2017年城市建设,,A B C 三项重点工程，该市一大型城建公司准备参加这三个工程的竞标，假设这三个工程竞标成功与否相互独立，该公司对,,A B C 三项重点工程竞标成功的概率分别为a ，b ，14()a b >，已知三项工程都竞标成功的概率为124，至少有一项工程竞标成功的概率为34． （1）求a 与b 的值；（2）公司准备对该公司参加,,A B C 三个项目的竞标团队进行奖励，A 项目竞标成功奖励2万元，B 项目竞标成功奖励4万元，C 项目竞标成功奖励6万元，求竞标团队获得奖励金额的分布列与数学期望．所以X的分布列为：于是11()02468101244824122424E X=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=611．【南宁市2018届高三毕业班摸底联考】18．某省高考改革实施方案指出：该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试目共同构成，该省教育厅为了解正在读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度，随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查，调查结果显示样本中有25人持不赞成意见，如图是根据样本的调查结果绘制的等高条形图．（1）根据已知条件与等高条形图完成下面的22⨯列联表，并判断我们能否有95 的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”？注：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.（2）用样本的频率估计概率，若随机在全省不赞成高考改革的家长中抽取3个，记这3个家长中是城镇E X．户口的人数为X，试求X的分布列及数学期望()∴X的分布列为：()00.06410.288E X=⨯+⨯+20.43230.216 1.8⨯+⨯=.12.衡水金卷2018届全国高三大联考如今我们的互联生活日益丰富，除了可以很方便地购，上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分.为了解络外卖在A市的普及情况，A市某调查机构借助络进行了关于络外卖的问卷调查，并从参与调查的民中抽取了200人进行抽样分析，得到下表：（单位：人）（Ⅰ）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A市使用络外卖的情况与性别有关？（Ⅱ）①现从所抽取的女民中利用分层抽样的方法再抽取5人，再从这5人中随机选出3人赠送外卖优惠卷，求选出的3人中至少有2人经常使用络外卖的概率②将频率视为概率，从A市所有参与调查的民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用络外卖的人数为X，求X的数学期望和方差.参考公式：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：（2）①依题意，可知所抽取的5名女 民中，经常使用 络外卖的有6053100⨯=（人）， 偶尔或不用 络外卖的有4052100⨯=（人）. 则选出的3人中至少有2人经常使用 络外卖的概率为2133233355710C C C P C C =+=. ②由22⨯列联表，可知抽到经常使用 络外卖的 民的频率为1101120020=， 将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用 络外卖的市民的概率为1120. 由题意得11~(10,)20X B ， 所以1111()10202E X =⨯=；11999()10202040D X =⨯⨯=. 13. 19．（本题满分12分）在2017年高校自主招生期间，某校把学生的平时成绩按“百分制”折算，选出前n 名学生，并对这n 名学生按成绩分组，第一组[)75,80，第二组[)80,85，第三组[)85,90，第四组[)90,95，第五组[]95,100，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60．（1）请在图中补全频率分布直方图；（2）若Q 大学决定在成绩高的第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试（I ）若Q 大学本次面试中有,,B C D 三位考官，规定获得两位考官的认可即可面试成功，且各考官面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为111,,235，求甲同学面试成功的概率；（II ）若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B 的面试，第3组总有ξ名学生被考官B面试，求ξ的分布列和数学期望．【解析】（1）因为第四组的人数为60，所以总人数为：5⨯60=300，由直方图可知，第五组人数为0.02⨯5⨯300=30人，又6030152-=为公差， 所以第一组人数为： 45人，第二级人数为：75人，第三组人数为：90人(2) (I)A =设事件甲同学面试成功，则： 1141211111114()23523523523515P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= (II) =0123ξ由题意得：，，，03123333336619(0),(1),2020C C C C P P C C ξξ====== 21303333336691(2),(3)2020C C C C P P C C ξξ======19913()0123202020202E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=14.宜昌市葛洲坝中学2017——2018学年度第一学期高三年级九月月考19．某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量x 在1,2,3,…,24这24个整数中等可能随机产生．(Ⅰ)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率i P (i =1,2,3)；(Ⅱ)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行n 次后,统计记录了输出y 的值为i (i =1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)乙的频数统计表(部分)当n=2100时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i =1,2,3)的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大.(Ⅲ)将按程序框图正确编写的程序运行3次,求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望.所以输出y 的值为1的概率是12,输出y 的值为2的概率是13,输出y 的值为3的概率是16.(Ⅱ) 当n=2100时,甲、乙所编程序各自输出y 的值为i (i =1,2,3)的频率如下: (Ⅲ)随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3.P (ξ=0)=C 30(13)0(23)3=827, P (ξ=1)=C 31(13)1(23)2=49, P (ξ=2)=C 32(13)2(23)1=29,P (ξ=3)=C 33(13)3(23)0=127.故ξ的分布列为所以,E ξ=0⨯827+1⨯49+2⨯29+3⨯127=1,即ξ的数学期望为1.。

离散型随机变量的均值与方差要求层次重难点取有限值的离散型随机变量的均值、方差B理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．（一） 知识内容1．离散型随机变量的数学期望定义：一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能的取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则1122()n n E x x p x p x p =+++，叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望（简称期望）．离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差一般地，设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，这些值对应的概率是1p ，2p ，…，n p ，则2221122()(())(())(())n n D X x E x p x E x p x E x p =-+-++-叫做这个离散型随机变量X的方差．离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）． 知识框架例题精讲高考要求离散型随机变量的均值与方差一般分布二点分布 超几何分布板块一：离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的 均值和方差3．X 为随机变量，a b ，为常数，则2()()()()E aX b aE X b D aX b a D X +=++=，；（二）典例分析：【例1】 投掷1枚骰子的点数为ξ，则ξ的数学期望为（ ）A ．3B ．3.5C ．4D ．4.5【例2】 同时抛掷两枚相同的均匀硬币，随机变量1ξ=表示结果中有正面向上，0ξ=表示结果中没有正面向上，则E ξ= ，D ξ=__________．【例3】 袋中编号为1，2，3，4，5的五只小球，从中任取3只球，以ξ表示取出的球的最大号码，则E ξ=_________，D ξ=_________．【例4】 已知随机变量X 的分布列为则()D X 等于（ A ．0B ．0.8C ．2D ．1【例5】 （2009广东卷理）已知离散型随机变量X 的分布列如下表．若0EX =，1DX =，则a = ，b = ．12【例6】 （广东省揭阳市2008年高中毕业班高考调研测试）一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c （a 、b 、()01c ∈，），已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它得分情况），A．148B．124C．112D．16【例7】同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是（）A．20B．25C．30D．40【例8】从123456，，，，，这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为_____．【例9】一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，命中后尚余子弹数目ξ的期望为（）A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4【例10】某人有10万元，准备用于投资房地产或购买股票，如果根据盈利表进行决策，那么，合理的投资方案应该是哪种？【例11】一家保险公司在投保的50万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有15个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为200元，试求每一保单的保费．【例12】一软件开发商开发一种新的软件，投资50万元，开发成功的概率为0.9，若开发不成功，则只能收回10万元的资金，若开发成功，投放市场前，召开一次新闻发布会，召开一次新闻发布会不论是否成功都需要花费10万元，召开新闻发布会成功的概率为0.8，若发布成功则可以销售100万元，否则将起到负面作用只能销售60万元，而不召开新闻发布会则可销售75万⑵如果开发成功就召开新闻发布会的话，求开发商的盈利期望．⑶如果不召开新闻发布会，求开发商盈利的期望值，并由此决定是否应该召开新闻发布会．【例13】现有甲、乙两种建筑钢筋材料，从中各取等量的样品，检验它们的抗拉强度指数如下ξ和η分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度．在使用材料时，要求抗拉强度平均不低于120的条件下，试比较甲、乙两种材料哪一种的质量更好些．【例14】甲、乙两名工人加工同一种零件，分别检测5个工件，结果分别如下：试比较他们的加工水平．【例15】甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：【例16】 甲乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：乙保护区：【例17】 某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是0.5、0.5．若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是0.4、0.6．实施每种方案，第二年与第一年相互独立．令(12)i i ξ=，表示方案i 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数．⑴写出12ξξ，的分布列；⑵实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？⑶不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？【例18】 （07辽宁）某企业准备投产一批特殊型号的产品，已知该种产品的成本C 与产量q 的函数关系式为3232010(0)3q C q q q =-++>，该种产品的市场前景无法确定，有三种可能出现的情况，各种情形发生的概率及产品价格p 与产量q 的函数关系式如下表所示：景无法确定的利润． ⑴分别求利润123L L L ，，与产量q 的函数关系式； ⑵当产量q 确定时，求期望k E ξ；⑶试问产量q 取何值时，市场无法确定的利润取得最大值．【例19】 某电器商由多年的经验发现本店出售的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列1()(1212)12P k ξξ===，，，，设每售出一台电冰箱，该台冰箱可获利300元，若售不出则囤积在仓库，每台需支付保管费100元/月，问：该电器商月初购进多少台电冰箱才能使自己的月平均收入最大？【例20】 （08广东）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ． ⑴求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；⑵经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【例21】 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.40.50.6，，，且客人是否游览哪个景点互不影响，设X 表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值．求X 的分布及数学期望．【例22】 某鲜花店每天以每束2.5元购入新鲜玫瑰花并以每束5元的价格销售，店主根据以往的销售统则当天未售出的玫瑰花将以每束1.5元的价格降价处理完毕．⑴若某天店主购入玫瑰花40束，试求该天其从玫瑰花销售中所获利润的期望；⑵店主每天玫瑰花的进货量x（3050x≤≤，单位：束）为多少时，其有望从玫瑰花销售中获取最大利润?【例23】某突发事件，在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3，一旦发生，将造成400万元的损失．现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用．单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元，采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率为0.9和0.85．若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用、联合采用或不采用，请确定预防方案使总费用最少．（总费用＝采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值．）【例24】最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万块钱投资理财，提出了三种方案：第一种方案：将10万块钱全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年可能获利40%，也可能亏损20%（只有这两种可能），且获利的概率为12；第二种方案：将10万块钱全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年可能获利20%，也可能损失10%，也可能不赔不赚，且三种情况发生的概率分别为311 555，，；第三种方案：将10万块钱全部存入银行一年，现在存款利率为4%，存款利息税率为5%．针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方法，并说明理由．【例25】（08湖北）袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个（1234n=，，，）．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．⑴求ξ的分布列，期望和方差；⑵若a bηξ，的值．=+，1Eη=，11Dη=，试求a b【例26】（08辽宁）某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计结果如下表所示：⑴⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元，ξ表示该种商品两周销售利润的和（单位：千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求ξ的分布列和数学期望．【例27】在奥运会射箭决赛中，参赛号码为1~4号的四名射箭运动员参加射箭比赛．⑴通过抽签将他们安排到1~4号靶位，试求恰有两名运动员所抽靶位号与其参赛号码相同的概率；⑵记1号、2号射箭运动员射箭的环数为ξ（ξ所有取值为01210，，，，）的概率分别为P、1P．根据教练员提供的资料，其概率分布如下表：2①若1，2号运动员各射箭一次，求两人中至少有一人命中9环的概率；②判断1号，2号射箭运动员谁射箭的水平高？并说明理由．【例28】 某公司“咨询热线”电话共有8路外线，经长期统计发现，在8点到10点这段时间内，外线电话同时打入情况如下表所示：①求至少一种电话不能一次接通的概率；②在一周五个工作日中，如果至少有三个工作日的这段时间（8点至10点）内至少一路电话不能一次接通，那么公司的形象将受到损害，现用该事件的概率表示公司形象的“损害度”，求上述情况下公司形象的“损害度”．⑵求一周五个工作日的这段时间（8点至10点）内，电话同时打入数ξ的期望．【例29】 （2009广州）某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm 、20cm 、10cm ，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投掷一次一次得到的环数这个随机变量X ，求X 的分布列及数学期望．【例30】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为1212()P P P P >，，已知该题被甲或乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求：⑴12P P ，； ⑵解出该题的人数X 的分布列及EX ．1098【例31】 （2007年全国I 理）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．⑴ 求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； ⑵ 求η的分布列及期望E η．【例32】 （2009山东）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A 处的命中率1q 为0.25，在B 处的命中率为2q ，该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为⑴ 求2q ⑵ 求随机变量ξ的数学期望E ξ；⑶ 试比较该同学选择都在B 处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．【例33】 某先生居住在城镇的A 处，准备开车到单位B 处上班，若该地各路段发生堵车事件都是独立的，且在同一路段发生堵车1A C D →→算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为110，路段CD 发生堵车事件的概率为115）．记路线A C F B →→→中遇到堵车次数为随机变量X ，求X 的数学期望()E X ．【例34】 （08湖南）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设每人面试合格的概率都是12，且面试是否合格互不影响．求签约人数ξ的数学期望．【例35】 （08福建）某项考试按科目A 、科目B 依次进行，只有当科目A 成绩合格时，才可继续参加科目B 的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A 每次考试成绩合格的概率均为23，科目B 每次考试成绩合格的概率均为12．假设各次考试成绩合格与否均互不影响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为ξ，求ξ的数学期望E ξ．【例36】 A B ，两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是123A A A ，，，B 队队员是123B B B ，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A队、B队最后总分分别为ξη，．求ξη，的期望．【例37】某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进入下一组的练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习，若该射手在某组练习中射击命中一次，并且已知他射击一次的命中率为0.8，求在这一组练习中耗用子弹数X的分布列，并求出X的期望()D X（保留两位小数）．E X与方差()【例38】一接待中心有A、B、C、D四部热线电话．已知某一时刻电话A、B占线的概率为0.5，电话C、D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的期望．【例39】有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数X的数学期望和方差．【例40】口袋里装有大小相同的4个红球和8个白球，甲、乙两人依规则从袋中有放回摸球，每次摸出一个球，规则如下：若一方摸出一个红球，则此人继续下一次摸球；若一方摸出一个白球，则由对方接替下一次摸球，且每次摸球彼此相互独立，并由甲进行第一次摸球；求在前三次摸球中，甲摸得红球的次数ξ的分布列及数学期望．【例41】 如图所示，甲、乙两只小蚂蚁分别位于一个单位正方体的A 点和1C 点处，每只小蚂蚁都可以从每一个顶点处等可能地沿各条棱向每个方向移动，但不能按原路线返回．如：甲在A 时可沿AB ，AD ，1AA 三个方向移动，概率都是13，到达B 点时，可沿BC ，1BB 两个方向移动，概率都是12．已知小蚂蚁每秒钟移动的距离为1个单位．⑴如果甲、乙两只小蚂蚁都移动1秒，则它们所走的路线是异面直线的概率是多少？ ⑵若乙蚂蚁不动，甲蚂蚁移动3秒后，甲、乙两只小蚂蚁间的距离的期望值是多少？【例42】 （北京市海淀区2008年高三统一练习一）袋中装有大小相同的2个白球和3个黑球．⑴ 采取放回抽样方式，从中依次摸出两个球，求两球颜色不同的概率；⑵ 采取不放回抽样方式，从中依次摸出两个球，记ξ为摸出两球中白球的个数，求ξ的期望和方差．【例43】 （2007年陕西卷理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45、35、25，且各轮问题能否正确回答互不影响． ⑴ 求该选手被淘汰的概率；⑵ 该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望．（注：本小题结果可用分数表示）【例44】 在某次测试中，甲、乙、丙三人能达标的概率分别为0.4，0.5，0.8，在测试过程中，甲、乙、丙能否达标彼此间不受影响．⑴求甲、乙、丙三人均达标的概率；⑵求甲、乙、丙三人中至少一人达标的概率；D 1C 1(乙)B 1A (甲)BCD A 1⑶设X 表示测试结束后达标人数与没达标人数之差的绝对值，求X 的概率分布及数学期望EX ．【例45】 （2009广东揭阳）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约．设甲面试合格的概率为12，乙、丙面试合格的概率都是13，且面试是否合格互不影响．求：⑴ 至少有1人面试合格的概率；⑵ 签约人数X 的分布列和数学期望．【例46】 （2009福建）从集合{}12345，，，，的所有非空子集．．．．中，等可能地取出一个． ⑴ 记性质r ：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r 的概率；⑵ 记所取出的非空子集的元素个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E ξ．【例47】 （2009安徽）某地有A 、B 、C 、D 四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A 到过疫区．B 肯定是受A感染的．对于C ，因为难以断定他是受A 还是受B 感染的，于是假定他受A 和受B 感染的概率都是12．同样也假定D 受A 、B 和C 感染的概率都是13．在这种假定之下，B 、C 、D 中直接．．受A 感染的人数X 就是一个随机变量．写出X 的分布列（不要求写出计算过程），并求X 的均值（即数学期望）．【例48】 （2009江苏四市高三期末调查23）⑴用红、黄、蓝、白四种不同颜色的鲜花布置如图一所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域用不同颜色鲜花，问共有多少种不同的摆放方案?⑵用红、黄、蓝、白、橙五种不同颜色的鲜花布置如图二所示的花圃，要求同一区域上用同一种颜色鲜花，相邻区域使用不同颜色鲜花．求恰有两个区域用红色鲜花的概率． ⑶条件同⑵，记花圃中红色鲜花区域的块数为X ，求它的分布列及其数学期望EX ．【例49】 有甲、乙两个箱子，甲箱中有6张卡片，其中有2张写有数字0，2张写有数字1，2张写有数字2；乙箱中有6张卡片，其中3张写有数字0，2张写有数字1，1张写有数字2．⑴如果从甲箱中取出1张卡片，乙箱中取出2张卡片，那么取得的3张卡片都写有数字0的概率是多少？⑵从甲、乙两个箱子中各取一张卡片，设取出的2张卡片数字之积为X ，求X 的分布列和期望．【例50】 两封信随机投入A B C ，，三个空邮箱，求A 邮箱的信件数X 的数学期望()E X 与方差()D X ．【例51】 连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为i a ，若存在正整数k ，使126k a a a ++=，则称k 为你的幸运数字．⑴求你的幸运数字为4的概率；⑵若1k =，则你的得分为6分；若2k =，则你的得分为4分；若3k =，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记0分．求得分ξ的分布列和数学期望．图二图一【例52】某商场举行抽奖促销活动，抽奖规则是：从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球，记下颜色后放回，摸出一个红球可获得奖金10元；摸出两个红球可获得奖金50元．现有甲、乙两位顾客，规定：甲摸一次，乙摸两次，令X表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额．求：⑴X的概率分布；⑵X的期望．【例53】编号123，，的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的个数是X．⑴求随机变量X的概率分布；⑵求随机变量X的数学期望和方差．【例54】（2009浙江）在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．⑴求这3个数中恰有1个是偶数的概率；⑵设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【例55】设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程20++=实根的个x bx c 数（重根按一个计）．⑴求方程20++=有实根的概率；x bx c⑵求ξ的分布列和数学期望；⑶求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程20++=有实根的概率．x bx c【例56】（07天津）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球．现从甲、乙两个盒内各任取2个球．⑴求取出的4个球均为黑球的概率；⑵求取出的4个球中恰有1个红球的概率；⑶设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．【例57】（06山东）袋中装着标有数字12345，，，，的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3个小球上的最大数字，求：⑴取出的3个小球上的数字互不相同的概率；⑵随机变量ξ的概率分布和数学期望；⑶计分介于20分到40分之间的概率．【例58】有甲、乙两个盒子，甲盒子中有8张卡片，其中两张写有数字0，三张写有数字1，三张写有数字2；乙盒子中有8张卡片，其中三张写有数字0，两张写有数字1，三张写有数字2．⑴如果从甲盒子中取两张卡片，从乙盒子中取一张卡片，那么取出的3张卡片都写有1的概率是多少？⑵如果从甲、乙两个盒子中各取一张卡片，设取出的两张卡片数字之和为ξ，求ξ的分布列和期望值．【例59】旅游公司为3个旅游团提供4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．⑴求3个旅游团选择3条不同的线路的概率；⑵求恰有2条线路没有被选择的概率；⑶求选择甲线路旅游团数的期望．【例60】 在一个盒子中，放有标号分别为123，，的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x y ，，记2x y x ξ=-+-．⑴求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； ⑵求随机变量ξ的分布列和期望．【例61】 某同学上楼梯习惯每步走1阶或2阶，现有一个11阶的楼梯，该同学从第1阶到第11阶用7步走完．⑴求该同学恰好有连着三步都走2阶的概率；⑵记该同学连走2阶的最多步数为ξ，求随机事件ξ的分布列及其期望．【例62】 在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球5个，白球3个，蓝球2个．现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球．重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球．求：⑴最多取两次就结束的概率；⑵整个过程中恰好取到2个白球的概率； ⑶取球次数的分布列和数学期望．【例63】 一种赌博游戏：一个布袋内装有6个白球和6个红球，除颜色不同外，6个小球完全一样，每次从袋中取出6个球，输赢规则为：6个全红，赢得100元；5红1白，赢得50元；4红2白，赢得20元；3红3白，输掉100元；2红4白，赢得20元；1红5白，赢得50元；6全白，赢得100元．而且游戏是免费的．很多人认为这种游戏非常令人心动，现在，请利用我们学过的概率知识解释我们是否该“心动”．【例64】 （2009南通市第四次统考）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：1()f x x =，22()f x x =，33()f x x =，4()sin f x x =，5()cos f x x =，6()2f x =．⑴现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；⑵现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X 的分布列和数学期望．【例65】 一种电路控制器在出厂时每四件一等品装成一箱，工人在装箱时不小心把两件二等品和两件一等品装入了一箱，为了找出该箱中的二等品，我们对该箱中的产品逐一取出进行测试．⑴ 求前两次取出的都是二等品的概率； ⑵ 求第二次取出的是二等品的概率；⑶ 用随机变量X 表示第二个二等品被取出时共取出的件数，求X 的分布列及数学期望．【例66】 某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．⑴ 求该学生考上大学的概率．⑵ 如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为X ，求X 的分布列及X 的数学期望．【例67】 （2009珠海期末）某俱乐部举行迎圣诞活动，每位会员交50元活动费，可享受20元的消费，并参加一次游戏：掷两颗正方体骰子，点数之和为12点获一等奖，奖价值为a 元的奖品；点数之和为11或10点获二等奖，奖价值为100元的奖品；点数之和为9或8点获三等奖，奖价值为30元的奖品；点数之和小于8点的不得奖．求：⑴ 同行的三位会员一人获一等奖、两人获二等奖的概率；。

离散型随机变量的均值与方差（人教A版）
一、单选题(共9道，每道11分)
1.已知随机变量的分布列如下，设，则的数学期望的值为( )
A. B.
C. D.
2.已知随机变量和，其中，且，若的概率分布如下表，则的值为( )
A. B.
C. D.
3.已知随机变量的分布列如下，且，，则的值为( )
A. B.
C. D.
4.已知离散型随机变量的分布列为
则其方差的值为( )
A. B.
C. D.
5.已知离散型随机变量的分布列为
若，，则的值分别为( )
A. B.
C. D.
6.若随机变量服从两点分布，且成功的概率为0.7，则的值为( )
A. B.
C. D.
7.已知，且，，则( )
A. B.
C. D.
8.已知随机变量的分布列为
其中为等差数列，则函数有且只有一个零点的概率为( ) A. B.
C. D.
9.某公司有5万元资金用于投资开发项目．如果成功，一年后可获利12%；一旦失败，一年后将损失全部资金的50%．下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
估计一年后该公司可获利（单位：万元）的期望值是( )
A. B.
C. D.。

（61） 离散型随机变量的均值与方差一、选择题1．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4D ．1,4＋a解析：x 1＋x 2＋…＋x 1010＝1，y i ＝x i ＋a ，所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4.故选A. 答案：A2．(2018·聊城模拟)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的油漆面数为X ，则X 的均值E (X )＝( )A.126125B.65C.168125D.75解析：X 的分布列为E (X )＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝65.答案：B3．设某人在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的数学期望为( ) A ．0.4 B ．1.2 C ．0.43D ．0.6解析：因为途中遇到红灯的次数X 服从二项分布，即X B (3,0.4)，所以E (X )＝3×0.4＝1.2. 答案：B4．一个射箭运动员在练习时只记射中9环和10环的成绩，未击中9环或10环就以0环记．该运动员在练习时击中10环的概率为a ，击中9环的概率为b ，既未击中9环也未击中10环的概率为c (a ，b ，c ∈[0,1))，如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望为9环，则当10a ＋19b 取最小值时，c 的值为( ) A.111 B.211 C.511D ．0解析：因为运动员射击一次击中环数的期望为9，所以有10a ＋9b ＝9， 所以10a ＋19b ＝19⎝⎛⎭⎫10a ＋19b ·(9b ＋10a )＝19⎝⎛⎭⎫90b a ＋10a 9b ＋101≥1219.当且仅当90b a ＝10a9b 时取等号，即 a ＝9b .将其和10a ＋9b ＝9联立可解得a ＝911，b ＝111.又因为a ＋b ＋c ＝1，所以c ＝111.答案：A5．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的方差D (X )的值为( ) A.125 B.2425 C.85D.265解析：因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为35，连续摸4次(做4次试验)，X 为取得红球(成功)的次数，则X B ⎝⎛⎭⎫4，35，所以D (X )＝4×35×⎝⎛⎭⎫1－35＝2425. 答案：B二、填空题6．一枚质地均匀的正六面体骰子，六个面上分别刻着1点至6点，一次游戏中，甲、乙二人各掷骰子一次，若甲掷得的向上的点数比乙大，则甲掷得的向上的点数的数学期望是 ．解析：共有36种可能，其中，甲、乙掷得的向上的点数相等的有6种，甲掷得的向上的点数比乙大的有15种，所以所求期望为6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋215＝143.答案：1437．(2018·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是 ． 解析：根据题意ξ＝0,1,2，而P (ξ＝0)＝C 26C 210＝1545，P (ξ＝1)＝C 16C 14C 210＝2445，P (ξ＝2)＝C 24C 210＝645.所以E (ξ)＝0×1545＋1×2445＋2×645＝3645＝45.答案：458. 设整数m 是从不等式x 2－2x －8≤0的整数解的集合S 中随机抽取的一个元素，记随机变量X ＝m 2，则x 的数学期望E(X)＝ ．答案：5解析：由不等式x 2－2x －8≤0，得－2≤x≤4，∴ S ＝{－2，－1，0，1，2，3，4}，∴ X ＝0，1，4，9，16，其分布列为∴ E(X)＝0×17＋1×7＋4×7＋9×7＋16×7＝7＝5.9. 一个人将编号为1，2，3，4的四个小球随机放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子放一个小球，球的编号与盒子的编号相同时叫做放对了，否则叫做放错了．设放对个数记为X ，则X 的数学期望为 ．答案：1解析：将四个不同小球放入四个不同盒子，每个盒子放一个小球，共有A 44种不同放法，放对的个数X 可取的值有0，1，2，4，其中P(X ＝0)＝9A 44＝38，P(X ＝1)＝C 14×2A 44＝13，P(X ＝2)＝C 24A 44＝14，P(X ＝4)＝1A 44＝124，E(X)＝0×38＋1×13＋2×14＋4×124＝1. 三、解答题 10．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R 的函数：f 1(x )＝x ，f 2(x )＝x 2，f 3(x )＝x 3，f 4(x )＝sin x ，f 5(x )＝cos x ，f 6(x )＝2.(1)现从盒子中任取两张卡片，将卡片上的函数相加得一个新函数，求所得函数是奇函数的概率；(2)现从盒子中进行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一张记有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，求抽取次数X 的分布列和数学期望．解析：(1)记事件A 为“任取两张卡片，将卡片上的函数相加得到的函数是奇函数”，由题意知P (A )＝C 23C 26＝15.(2)X 可能取值为1,2,3,4.P (X ＝1)＝C 13C 16＝12，P (X ＝2)＝C 13C 16·C 13C 15＝310，P (X ＝3)＝C 13C 16·C 12C 15·C 13C 14＝320，P (X ＝4)＝C 13C 16·C 12C 15·C 11C 14·C 13C 13＝120；故X 的分布列为E (X )＝1×12＋2×310＋3×320＋4×120＝74.11. 甲、乙、丙三名同学参加歌唱、围棋、舞蹈、阅读、游泳5个课外活动，每个同学彼此独立地选择参加3个活动，其中甲同学喜欢唱歌但不喜欢下棋，所以必选歌唱，不选围棋，另在舞蹈、阅读、游泳中随机选2个，同学乙和丙从5个课外活动中任选3个．(1) 求甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率； (2) 设X 表示选中舞蹈的同学人数，求X 的分布列及数学期望．解：(1) 设A 表示事件“甲同学选中舞蹈”，B 表示事件“乙同学选中舞蹈”，C 表示事件“丙同学选中舞蹈”，则P(A)＝C 12C 23＝23，P(B)＝C 24C 35＝35，P(C)＝C 24C 35＝35.∵ 事件A ，B ，C 相互独立，∴ 甲同学选中舞蹈且乙、丙两名同学未选中舞蹈的概率为P(AB C)＝P(A)•P(B )•P(C)＝P(A)•[1－P(B)]·[1－P(C)]＝23×25×25＝875.(2) ∵ X 可能的取值为0，1，2，3，且取这些值的概率分别为P(X ＝0)＝13×25×25＝475，P(X ＝1)＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075，P(X ＝2)＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P(X ＝3)＝23×35×35＝1875，∴ X 的分布列为∴ X 的数学期望E(X)＝0×75＋1×75＋2×75＋3×75＝75＝15.12. 某同学参加3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记X 为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1) (2) 求p ，q 的值； (3) 求数学期望E(X)．解：设事件A i 表示“该同学第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1，2，3，由题意知P(A 1)＝45，P(A 2)＝p ，P(A 3)＝q. (1) 由于事件“该同学至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“X ＝0”是对立的，所以该同学至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P(X ＝0)＝1－6125＝119125.(2) 由题意知，P(X ＝0)＝P(A 1A 2A 3)＝15(1－p)(1－q)＝6125，P(X ＝3)＝P(A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125，整理得pq ＝625，p ＋q ＝1，由p ＞q ，可得p ＝35，q ＝25.(3) 由题意知，a ＝P(X ＝1)＝P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3)＋P(A 1A 2A 3) ＝45(1－p)(1－q)＋15p(1－q)＋15(1－p)q ＝37125， b ＝P(X ＝2)＝1－P(X ＝0)－P(X ＝1)－P(X ＝3)＝58125，E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝95.13. (2017·山东卷)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1) 求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率．(2) 用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者的人数，求X 的分布列与数学期望E(X)．解：(1) 记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ，则P(M)＝C 48C 510＝518. (2) 由题意知X 可取的值为0，1，2，3，4.则P(X ＝0)＝C 56C 510＝142，P(X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P(X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P(X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P(X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142，因此XX E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝4)＝0×142＋1×521＋2×1021＋3×521＋4×142＝2. 14．(2018·郑州模拟)某商场每天(开始营业时)以每件150元的价格购入A 商品若干件(A 商品在商场的保鲜时间为10小时，该商场的营业时间也恰好为10小时)，并开始以每件300元的价格出售，若前6小时内所购进的商品没有售完，则商场对没卖出的A 商品将以每件100元的价格低价处理完毕(根据经验，4小时内完全能够把A 商品低价处理完毕，且处理完毕后，当天不再购进A 商品)．该商场统计了100天A 商品在每天的前6小时内的销售量，制成如下表格(注：视频率为概率)．(其中x ＋y ＝70)(1)6名不同的顾客购买，现从这6名顾客中随机选2人进行服务回访，则恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客的概率是多少？(2)若商场每天在购进5件A 商品时所获得的平均利润最大，求x 的取值范围．解析：(1)设“恰好一个是以300元价格购买的顾客，另一个是以100元价格购买的顾客”为事件A ，则P (A )＝C 14C 12C 26＝815.(2)设销售A 商品获得的利润为ξ(单位：元)，依题意，视频率为概率，为追求更多的利润， 则商场每天购进的A 商品的件数取值可能为4件，5件，6件． 当购进A 商品4件时，E (ξ)＝150×4＝600，当购进A 商品5件时，E (ξ)＝(150×4－50)×0.3＋150×5×0.7＝690，当购进A 商品6件时，E (ξ)＝(150×4－2×50)×0.3＋(150×5－50)×x100＋150×6×70－x 100＝780－2x ，由题意780－2x ≤690，解得x ≥45，又知x ≤100－30＝70，所以x 的取值范围为[45,70]，x ∈N .。