第15讲(总体、样本、统计量)

统计学(第五版)课后习题答案(完整版)第一章思考题1.1什么是统计学统计学是关于数据的一门学科,它收集,处理,分析,解释来自各个领域的数据并从中得出结论。

1.2解释描述统计和推断统计描述统计;它研究的是数据收集,处理,汇总,图表描述,概括与分析等统计方法。

推断统计;它是研究如何利用样本数据来推断总体特征的统计方法。

1.3统计学的类型和不同类型的特点统计数据;按所采用的计量尺度不同分;(定性数据)分类数据:只能归于某一类别的非数字型数据,它是对事物进行分类的结果,数据表现为类别,用文字来表述;(定性数据)顺序数据:只能归于某一有序类别的非数字型数据。

它也是有类别的,但这些类别是有序的。

(定量数据)数值型数据:按数字尺度测量的观察值,其结果表现为具体的数值。

统计数据;按统计数据都收集方法分;观测数据:是通过调查或观测而收集到的数据,这类数据是在没有对事物人为控制的条件下得到的。

实验数据:在实验中控制实验对象而收集到的数据。

统计数据;按被描述的现象与实践的关系分;截面数据:在相同或相似的时间点收集到的数据,也叫静态数据。

时间序列数据:按时间顺序收集到的,用于描述现象随时间变化的情况,也叫动态数据。

1.4解释分类数据,顺序数据和数值型数据答案同1.31.5举例说明总体,样本,参数,统计量,变量这几个概念对一千灯泡进行寿命测试,那么这千个灯泡就是总体,从中抽取一百个进行检测,这一百个灯泡的集合就是样本,这一千个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是参数,这一百个灯泡的寿命的平均值和标准差还有合格率等描述特征的数值就是统计量,变量就是说明现象某种特征的概念,比如说灯泡的寿命。

1.6变量的分类变量可以分为分类变量,顺序变量,数值型变量。

变量也可以分为随机变量和非随机变量。

经验变量和理论变量。

1.7举例说明离散型变量和连续性变量离散型变量,只能取有限个值,取值以整数位断开,比如“企业数”连续型变量,取之连续不断,不能一一列举,比如“温度”。

1.总体：总体（population）是根据研究目的确定的同质的观察单位的全体，更确切的说，是同质的所有观察单位某种观察值（变量值）的集合。

总体可分为有限总体和无限总体。

总体中的所有单位都能够标识者为有限总体，反之为无限总体。

样本：从总体中随机抽取部分观察单位，其测量结果的集合称为样本（sample）。

样本应具有代表性。

所谓有代表性的样本，是指用随机抽样方法获得的样本。

2.随机抽样：随机抽样（random sampling）是指按照随机化的原则（总体中每一个观察单位都有同等的机会被选入到样本中），从总体中抽取部分观察单位的过程。

随机抽样是样本具有代表性的保证。

3.变异：在自然状态下，个体间测量结果的差异称为变异（variation）。

变异是生物医学研究领域普遍存在的现象。

严格的说，在自然状态下，任何两个患者或研究群体间都存在差异，其表现为各种生理测量值的参差不齐。

4.计量资料：对每个观察单位用定量的方法测定某项指标量的大小，所得的资料称为计量资料（measurement data）。

计量资料亦称定量资料、测量资料。

.其变量值是定量的，表现为数值大小，一般有度量衡单位。

如某一患者的身高（cm）、体重(kg)、红细胞计数(1012/L)、脉搏（次/分）、血压（KPa）等计数资料：将观察单位按某种属性或类别分组，所得的观察单位数称为计数资料（count data）。

计数资料亦称定性资料或分类资料。

其观察值是定性的，表现为互不相容的类别或属性。

如调查某地某时的男、女性人口数；治疗一批患者，其治疗效果为有效、无效的人数；调查一批少数民族居民的A、B、AB、O 四种血型的人数等。

等级资料：将观察单位按测量结果的某种属性的不同程度分组，所得各组的观察单位数，称为等级资料（ordinal data）。

等级资料又称有序变量。

如患者的治疗结果可分为治愈、好转、有效、无效或死亡，各种结果既是分类结果，又有顺序和等级差别，但这种差别却不能准确测量；一批肾病患者尿蛋白含量的测定结果分为 +、++、+++等。

概念（1）随机变量:在统计学上把取值之前，不能准确预料取到什么值的变量，称为随机变量。

（2)总体：总体（population）又称为母全体或全域，是具有某种特征的一类事物的总体，是研究对象的全体。

(3）样本:样本是从总体中抽取的一部分个体。

（4)个体:构成总体的每个基本单元.（5）次数:是指某一事件在某一类别中出现的数目，又称作频数,用f表示。

（6)频率:又称相对次数，即某一事件发生的次数除以总的事件数目，通常用比例或百分数来表示。

（7)概率:概率论术语,指随机事件发生的可能性大小度量指标。

其描述性定义。

随机事件A在所有试验中发生的可能性大小的量值,称为事件A的概率，记为P(A）。

(8）统计量:样本的特征值叫做统计量，又称作特征值。

（9）参数：又称总体参数，是描述一个总体情况的统计指标.（10)观测值:随机变量的取值,一个随机变量可以有多个观测值。

2何谓心理与教育统计学？学习它有何意义?答:(1)心理与教育统计学是专门研究如何运用统计学原理和方法，搜集、整理、分析心理与教育科学研究中获得的随机性数据资料，并根据这些数据资料传递的信息，进行科学推论找出心理与教育统计活动规律的一门学科。

具体讲，就是在心理与教育研究中，通过调查、实验、测量等手段有意地获取一些数据，并将得到的数据按统计学原理和步骤加以整理、计算、绘制图表、分析、判断、推理,最后得出结论的一种研究方法.（2)学习心理与教育统计学有重要的意义。

①统计学为科学研究提供了一种科学方法。

科学是一种知识体系.它的研究对象存在于现实世界各个领域的客观事实之中。

它的主要任务是对客观事实进行预测和分类,从而揭示蕴藏于其中的种种因果关系。

要提高对客观事实观测及分析研究的能力，就必须运用科学的方法。

统计学正是提供了这样一种科学方法。

统计方法是从事科学研究的一种必不可少的工具。

②心理与教育统计学是心理与教育科研定量分析的重要工具。

凡是客观存在事物，都有数量的表现。

(1) 同质与变异：同质指被研究指标的影响因素相同，变异指在同质的基 础上各观察单位(或个体)之间的差异。

(2)总体和样本：总体是根据研究目的确定的同质观察单位的全体。

样本 是从总体中随机抽取的部分观察单位。

(3) 参数和统计量：根据总体个体值统计算出来的描述总体的特征量，称 为总体参数，根据样本个体值统计计算出来的描述样本的特征量称为 样本统计量。

(4)抽样误差：由抽样造成的样本统计量和总体参数的差别称为抽样误 差。

(5)概率：是描述随机事件发生的可能性大小的数值，用 p 表示(6) 计量资料：由一群个体的变量值构成的资料称为计量资料。

(7) 计数资料：由一群个体按定性因数或类别清点每类有多少个个体，称 为计数资料。

(8)等级资料：由一群个体按等级因数的级别清点每类有多少个体，称为 等级资料。

是非题：1. X2. X3. X4. X5. V6. V7. X单选题：7. 全距、方差、标准差、变异系数 8. 1.96 2.58名词解释:医学统计学第一章绪论 答案1. C2. E3. D4. C5. D6. B第二章计量资料统计描述及正态分布答案名词解释：1. 平均数 是描述数据分布集中趋势(中心位置)和平均水平的指标2. 标准差是描述数据分布离散程度(或变量变化的变异程度)的指标3.标准正态分布以卩服从均数为0、标准差为1的正态分布，这种正态分布 称为标准状态分布。

4.参考值范围 参考值范围也称正常值范围，医学上常把把绝 大多数的某指 标范围称为指标的正常值范围填空题:1. 计量，计数，等级2. 设计，收集资料，分析资料，整理资料3. u -------- (变量变换)标准正态分布、 0、14.1.96 5. 47.5%6. 均数、标准差2.5868.27% 95% 99%9.全距R10.检验水准、显着性水准、0.05、0.01 (0.1 )11.80% 90% 95% 99% 95%12.95% 99%13.集中趋势、离散趋势14.中位数15.同质基础，合理分组16.均数，均数，卩，c，规律性17.标准差18.单位不同，均数相差较大是非题：1. X2. V3. X4. X5. X6. V7. V8. V9. V 10. V11. V 12. V 13. X 14. V 15. V 16. X 17. X 18 .X 19. ,V 20. V21. V单选题:1. B2. D3. C4. A5. C6. D7. E8. A9. C 10. D11. B 12. C 13. C 14. .C 15.A 16. C 17. E 18. C 19. D 20. C21. B 22. B 23. E 24. .C 25.A 26. C 27.B 28. D 29. D 30. D31. A 32. E 33. D 34. .A 35.D 36. D 37. C 38.E 39. D 40. B41. C 42. B 43. D 44.C 45 B问答题：1.均数、几何均数和中位数的适用范围有何异同答：相同点,均表示计量资料集中趋势的指标。

《统计学》简答题及参考答案1.简述总体、样本、个体三者的关系，试举例说明。

答：（1)所谓总体就是统计研究客观现象的全体，它是由所有具有某种共同性质的事物所组成的集合体，有时也称为母体。

（2）所为样本，就是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，也称为子样。

（3）组成总体的每个个别事物称为个体，也称为总体单位.总体与个体的关系：1.总体的容量随着个体数的增减可变大变小。

2。

随着研究目的的不同,总体中的个体可以发生变化。

3。

随着研究范围的变化，总体和个体的角色可以变换.样本和总体的关系：1。

总体是所要研究的对象，而样本则是所要观测的对象，样本是总体的代表和缩影.2。

样本是用来推断总体的。

3。

总体和样本的角色是可以改变的.2。

简述标志与指标的区别与联系。

答:标志与指标的区别主要有两个方面：（1）说明的对象不同。

标志说明个体的特征，指标说明总体的特征.（2）表现形式不同。

标志既有只能用文字来表现的品质标志，又有用数量来表现的数量标志,而指标是用数值来表现的.联系也有两个方面：（1）统计指标的指标值是由各单位的标志值汇总或计算得来的;（2）随着研究目的不同，标志与指标与之间可以相互转化。

3.简述时点指标与时期指标的特点。

答:时期指标的特点：（1）可加性；（2)指标值的大小与所属时间的长短有直接关系；（3）指标值采用连续统计的方式获得.时点指标的特点：（1）不可加性；（2)指标数值的大小与时点间隔的长短一般没有直接关系；（3）指标值采用间断统计的方式获得.4。

什么是数量指标和质量指标?答：数量指标也称总量指标，它是反映现象总体某一方面绝对数量特征的指标，表明现象所达到的总规模、总水平或工作总量。

质量指标是反映现象总体内在对比关系或总体间对比关系的指标，表明现象所达到的相对水平、平均水平、工作质量或相互依存关系。

5。

如何设计统计数据收集方案？答：一般而言，统计数据收集方案应包括以下内容:（1)数据收集目的（2）数据及其类型（2）数据收集对象和观测单位（3）观测标志和调查表（4）数据收集方式与方法（5）数据所属时间和数据收集期限（6）数据收集地点（7）数据收集的组织6。

第一章绪论一、名词解释：总体、个体、样本、样本含量、随机样本、参数、统计量、随机误差、系统误差、准确性、精确性二、简答题：1、什么是生物统计？它在畜牧、水产科学研究中有何作用？2、统计分析的两个特点是什么？3、如何提高试验的准确性与精确性？4、如何控制、降低随机误差，避免系统误差？第二章资料的整理一、名词解释：数量性状资料、质量性状资料、半定量（等级）资料、计数资料、计量资料、全距（极差）、组中值、次数分布表、次数分布图二、简答题：1、资料可以分为哪几类？它们有何区别与联系？2、为什么要对资料进行整理？对于计量资料，整理的基本步骤怎样？3、在对计量资料进行整理时，为什么第一组的组中值以接近或等于资料中的最小值为好？4、统计表与统计图有何用途？常用统计图有哪些？常用统计表有哪些？列统计表、绘统计图时，应注意什么？第三章平均数、标准差与变异系数一、名词解释：算术平均数、无偏估计、几何平均数、中位数、众数、调和平均数、标准差、方差、离均差的平方和（平方和）、变异系数二、简答题：1、生物统计中常用的平均数有几种？各在什么情况下应用？2、算术平均数有哪些基本性质？3、标准差有哪些特性？4、为什么变异系数要与平均数、标准差配合使用？三、计算题：1、10头母猪第一胎的产仔数分别为：9、8、7、10、12、10、11、14、8、9头。

试计算这10头母猪第一胎产仔数的平均数、标准差和变异系数。

2、随机测量了某品种120头6月龄母猪的体长，经整理得到如下次数分布表。

试利用加权法计算其平均数、标准差与变异系数。

3、某年某猪场发生猪瘟病，测得10头猪的潜伏期分别为2、2、3、3、4、4、4、5、9、12(天)。

试求潜伏期的中位数。

4、某良种羊群1995—2000年六个年度分别为240、320、360、400、420、450只，试求该良种羊群的年平均增长率。

5、某保种牛场，由于各方面原因使得保种牛群世代规模发生波动，连续5个世代的规模分别为：120、130、140、120、110头。

第五章 用样本推断总体（考点讲义）1.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。

2.在用样本特性估计总体特性时，要注意一是样本要有代表性，二是样本容量要足够大。

3.求平均数的公式：123nx x x x x n++++=L【类型一】利用样本平均数估算总体数量【例1】为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：请根据以上信息解答下列问题：(1)该校对_____名学生进行了抽样调查,m = _____n =_____(2)请将图1和图2补充完整，并求出扇形统计图中小说所对应的圆心角度数；(3)已知该校共有学生800人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢科幻人数约为多少人？【解析】（1）用其它初一它的百分比即可；（2）用360∘乘以所占得百分比；（3）用样本估计总体．解：(1)20÷10%=200（名）．由图1，得n=40，m=100-20-10-40=30答：该校对200名学生进行了抽样调查；m=30,n=40(2)如图：小说对应的圆心角度数为360∘×20%=72∘；(3)800×30%=240．答：全校学生中最喜欢小说的人数约为240名．【对应训练1】为了估计湖里有多少条鱼，小刚先从湖里捞出了100条鱼做上标记，然后放回湖里去．经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捞出200条鱼，如果其中15条有标记，那么估计湖里有鱼()A.1333条B.3000条C.300条D.1500条【答案】A【解析】在样本中“捕捞200条鱼，发现其中15条有标记”，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．【对应训练2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”．粮仓开仓收粮，有人送来谷米1608石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得256粒，其中夹有谷粒32粒，则这批谷米内夹有谷粒约是________石．【答案】201【解析】根据256粒内夹谷32粒，可得比例，再乘以1608石，即可得出答案．【解答】解：根据题意，得1608×32=201（石），256∴这批谷米内夹有谷粒约201石.【对应训练3】某山区中学280名学生参加植树节活动，要求每人植3至6棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A:3棵；B:4棵；C:5棵；D:6棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）．回答下列问题：（1）这次调查一共抽查了________名学生的植树量；请将条形图补充完整；（2）被调查学生每人植树量的众数是________棵、中位数是________棵；（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这280名学生共植树多少棵？【解析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；（2）根据众数和中位数的概念可得答案；（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．【解答】（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%=20（人），D类人数=20×10%=2（人）；条形图补充如图：（2）植树4棵的人数最多，则众数是4，共有20人植树，其中位数是第10、11人植树数量的平均数，则中位数是4，（3）x=4×48×562×7=5.3（棵），205.3×280=148（棵）．答：估计这3280名学生共植树1484棵．【类型二】用样本估计总体【例2】为了提高学生的综合素养，某校开设了五门第二课堂活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“绘画”、C“雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为________，统计图中的a=________，b=________；(2)通过计算补全条形统计图；(3)该校共有3000名学生，请你估计全校喜爱“雕刻”的学生人数.解：(1)样本容量为1815％=120，a=120×10％=12，b=120×30％=36.故答案为：120；12；36.(2)组频数：120―18―12―30―36=24（人），补全条形统计图如图所示：(3)3000×30120=750（人），答：该校喜爱“雕刻”约有750人.【跟踪训练1】在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球约有…（）A.2个B.4个C.18个D.16个【答案】D【跟踪训练2】质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有________件次品．【答案】20【解析】根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品．【跟踪训练3】书籍是人类进步的阶梯．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生本学期阅读课外书的册数，并绘制出如下统计图．(1)共抽查了多少名学生？(2)请补全条形统计图，并写出被抽查学生本学期阅读课外书册数的众数、中位数；(3)根据抽查结果，请估计该校1200名学生中本学期课外阅读5册书的学生人数．解：(1)12÷30%=40（名）．(2)如图所示，由图知，众数为5，中位数为5．(3)∵抽查的样本中，课外阅读5册书的学生人数占14×100%=35%，40∴估计该校学生课外阅读5册书的学生人数约占35%，∴该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数约为1200×35%=420（人）．【类型三】用样本频率估计总体频率【例3】中长跑（男生1000m，女生800m）是河南省某市中招体育考试的必考项目．甲、乙两校为了解本校九年级学生的训练情况，各随机抽取了20名九年级学生的中长跑模拟测试成绩(满分：30分)，将成绩进行统计、整理与分析，过程如下：【收集数据】【整理数据】整理以上数据，得到模拟测试成绩x（分）的频数分布表．【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：a= ________，b=_________, m=________, n=________；(2)综合上表中的统计量，推断________校学生中长跑成绩更好，理由为________（写出一条即可）(3)若甲、乙两校各有800名学生，请估计两校中长跑模拟测试成绩不低于25分的学生一共有多少名？解：(1)由数据可得，a=7，b=8，m=24.75，n=23.4. 故答案为：7；8；24.75；23.4.(2)甲校学生成绩的平均数比乙校学生成绩的平均数高，且甲校学生成绩的方差比乙校学生成绩的方差小，成绩较稳定．（答案不唯一，合理即可）故答案为：甲.=720（名）,(3)(800+800)×1082020答：估计两校中长跑模拟测试成绩不低于25分的学生一共有720名．【跟踪训练】今年是建党100周年，为了让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动，八、九年级（各有500名学生）举行了一次党史知识竞答（满分为100分），然后随机各抽取20名同学的成绩进行了收集、统计与分析，过程如下：【收集数据】两个年级抽取的20名同学的成绩如下表：八年级：7968878985598997898998938586899077898379九年级：8688979194625194877194789255979294948598【整理数据】将两个年级的抽样成绩进行分组整理：成绩x（分）50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x<100八年级113114九年级2a b411【分析数据】抽样的平均数、众数、中位数、方差和优秀率（90分及以上为优秀）如下表：年级统计量平均数众数中位数方差优秀率八年级8589c80.420%九年级859491.5192d请根据以下信息，回答下列问题：(1)填空：a=________，b= ________，c=________，d=________；(2)请估计此次知识竞答中，八年级成绩优秀的学生人数；(3)小李同学认为九年级的整体成绩更好，请从至少两个方面分析其合理性．解：(1)由表中数据可知，九年级落在60≤x<70内的只有62，故a=1；九年级落在70≤x<80内的有71，78，故b=2；八年级成绩按照从小到大的顺序排列后，落在第10，11的数为87，89，∴中位数为88，故c=88；九年级90分及以上的学生有11人，∴九年级的优秀率为1120×100%=55%.故答案为：1；2；88；55%.(2)∵500×20%=100，∴估计此次知识竞答中，八年级成绩优秀的学生人数为100人.(3)九年级抽样成绩的众数，中位数和优秀率均高于八年级，说明九年级平均成绩更高，高分更多，因此九年级整体成绩更好．【类型四】用样本推断总体的实际应用【例4】某运动鞋经销商随机调查某校40名女生的运动鞋号码，结果如下表：鞋的号码35.53636.53737.5人数4616122现在该经销商要进200双上述五种运动鞋，你认为应该怎样进货比较合理？解析：先求出各鞋码所占比例，再乘200，即可得到所需进货数.解：由表中数据可知各鞋码的女生的比例，根据比例进货.需要进35.5码运动鞋：200×440＝20（双），需要进36码运动鞋：200×640＝30（双）需要进36.5码运动鞋：200×1640＝80（双），需要进37码运动鞋：200×1240＝60（双）需要进37.5码运动鞋：200×240＝10（双）。

医学统计学重点第一章绪论1.基本概念：总体:根据研究目的确定的性质相同或相近的研究对象的某个变量值的全体。

样本：从总体中随机抽取部分个体的某个变量值的集合.总体参数:刻画总体特征的指标，简称参数。

是固定不变的常数，一般未知。

统计量:刻画样本特征的指标,由样本观察值计算得到，不包含任何未知参数。

抽样误差:由随机抽样造成的样本统计量与相应的总体参数之间的差异。

频率:若事件A在n次独立重复试验中发生了m次，则称m为频数。

称m/n为事件A在n次试验中出现的频率或相对频率。

概率:频率所稳定的常数称为概率。

统计描述：选用合适统计指标（样本统计量）、统计图、统计表对数据的数量特征及其分布规律进行刻画和描述。

统计推断：包括参数估计和假设检验。

用样本统计指标（统计量）来推断总体相应指标(参数），称为参数估计.用样本差别或样本与总体差别推断总体之间是否可能存在差别，称为假设检验。

2.样本特点：足够的样本含量、可靠性、代表性。

3。

资料类型：（1）定量资料：又称计量资料、数值变量或尺度资料.是对观察对象测量指标的数值大小所得的资料，观察指标是定量的,表现为数值大小。

每个个体都能观察到一个观察指标的数值，有度量衡单位.（2)分类资料：包括无序分类资料（计数资料)和有序分类资料（等级资料)①计数资料：是将观察单位按某种属性或类别分组，清点各组观察单位的个数（频数),由各分组标志及其频数构成。

包括二分类资料和多分类资料。

二分类：将观察对象按两种对立的属性分类，两类间相互对立，互不相容.多分类:将观察对象按多种互斥的属性分类②等级资料：将观察单位按某种属性的不同程度、档次或等级顺序分组，清点各组观察单位的个数所得的资料。

4.统计工作基本步骤：统计设计、资料收集、资料整理、统计分析.第二章实验研究的三要素1.实验设计三要素：被试因素、受试对象、实验效应2。

误差分类：随机误差（抽样误差、随机测量误差)、系统误差、过失误差。

3。

实验设计的三个基本原则：对照原则、随机化分组原则、重复原则.4。

ʏ张文伟赵昆统计是高中数学的重要内容,在日常生活中有着广泛的应用, 新课标 下的高考,统计是重点考查的内容之一㊂下面就统计问题的常见典型考题进行举例展示,意在 抛砖引玉 ㊂题型一:简单随机抽样简单随机抽样需满足四点:抽取的个体数有限;逐个抽取;不放回抽取;等可能抽样㊂简单随机抽样常用抽签法(适用于总体的个数较少的情况)和随机数法(适用于总体的个数较多的情况)㊂提醒:简单随机抽样是指不放回抽取㊂例1下列抽样方法是简单随机抽样的是()㊂A.将500个零件逐个做质量检验B.课上,李老师在全班45名学生中点名表扬了3名发言积极的C.老师要求学生从实数集中逐个抽取10个分析奇偶性D.某运动员从8条跑道中随机抽取一条跑道试跑解:选项A是普查㊂对于B,老师表扬的是发言积极的,对每一个个体而言,不具备 等可能性 ㊂对于C,总体容量是无限的㊂应选D㊂跟踪训练1:下列问题中最适合用简单随机抽样方法的是()㊂A.某学校有学生1320人,卫生部门为了解学生身体发育情况,准备从中抽取一个容量为300的样本B.为了准备省政协会议,某政协委员计划从1135个村庄中抽取50个进行收入调查C.从全班30名学生中,任意选取5名进行家访D.为了解某地区癌症的发病情况,从该地区的5000人中抽取200人进行统计提示:A中不同年级的学生身体发育情况差别较大㊂B,D中的总体容量较大㊂C中的总体容量较小,适宜用简单随机抽样㊂应选C㊂题型二:抽签法与随机数法抽签法抽取样本应注意的问题:编号时,如果已有编号(如学号㊁标号等)可不必重新编号;号签要求大小㊁形状完全相同;号签要充分搅拌;抽取号签时要逐一㊁不放回抽取㊂随机数法应注意的问题:当总体容量较大,样本容量不大时,可用随机数法抽取样本;为了方便,在编号时最好统一编号的位数;掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则㊂例2明德中学从40名学生中选1名学生作为男篮啦啦队成员,采用下面两种方法选取㊂方法一:将40名学生按1~40进行编号,相应制作1~40的40个号签,把这40个号签放在一个暗箱中搅拌均匀,最后随机地从中抽取1个号签,与这个号签号码一致的学生幸运入选㊂方法二:将39个白球与1个红球混合放在一个暗箱中搅匀,让40名学生逐一从中摸取1个球,摸到红球的学生成为啦啦队成员㊂试问这两种方法是否都是抽签法㊂为什么解:抽签法抽样时,总体中的N个个体编号各不相同,由此可知方法一是抽签法㊂因为抽签法要求所有的编号互不相同,而方法二中39个白球无法相互区分,所以方法二不是抽签法㊂这两种方法的相同之处是每个学生被选中的机会都相等㊂跟踪训练2:某省模拟考试共有53.3万名考生报名参加㊂为了估计他们的数学平均成绩,从中逐个抽取2000名考生的数学成绩作为样本进行统计分析㊂请回答以下问题㊂(1)本题中,总体㊁样本㊁样本容量各指什么?(2)本题中采用的抽样方法是简单随机抽样吗?如果是,请写出操作步骤㊂(3)假定考生甲参加了这次考试,那么他被选中的可能性有多大提示:(1)总体是指在模拟考试中,全省53.3万名考生的数学成绩㊂样本是指被抽取的2000名考生的数学成绩㊂样本容量是2000㊂(2)采用的抽样方法是简单随机抽样㊂由于总体容量与样本容量都较大,所以应采用随机数法㊂操作如下:①以全省考生的准考证号按由小到大的顺序重新编号为1,2,3, ,533000;②用计算机随机生成一个6位随机数;③如果这个6位数在1~533000范围内,就代表对应编号的学生被抽中,如果编号有重复就剔除编号并重新产生随机数,直到产生的不同编号个数等于2000㊂(3)甲被选中的可能性为2000533000=2533㊂题型三:获取数据的途径获取数据的基本途径:观察㊁查询㊁调查㊁试验㊂根据调查问题的特点,设计抽样调查的不同方案应遵循的原则:一要考虑如何保证调查内容的真实性;二要考虑如何合理地获取样本,以确保其典型性㊁代表性㊂例3下列数据是通过试验获取的是()㊂A.2021年济宁市的降雨量B.2021年全国新生儿人口数量C.某学校高一年级同学的数学测试成绩D.某种特效中成药的配方解:某种特效中成药的配方的数据是通过试验获得㊂应选D㊂跟踪训练3:下列调查所抽取的样本具有代表性的是()㊂A.利用某地七月份的日平均最高气温值估计该地全年的日平均最高气温B.在农村调查市民的平均寿命C.利用一块试验水稻田的产量估计水稻的实际产量D.为了解一批洗衣粉的质量情况,从仓库中任意抽取100袋进行检验提示:A中,某地七月份的日平均最高气温值不能代表全年的日平均最高气温㊂B 中,在农村调查得到的平均寿命不能代表市民的平均寿命㊂C中,试验田的产量与水稻的实际产量相差可能较大㊂只有D正确㊂应选D㊂题型四:分层随机抽样的应用分层随机抽样的特点:适用于总体由差异明显的几部分组成的情况;充分地反映了总体的情况;等概率抽样,每个个体被抽到的概率都相等㊂分层随机抽样中按比例分配计算时,用到的两个关系式:样本量n总体的个数N=该层抽取的个体数该层的个体数;总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比㊂在分层随机抽样中,如果第一层的样本量为m,平均值为x;第二层的样本量为n,平均值为y,则样本的平均值为m x+n ym+n㊂例4某学校为了调查高一年级学生的体育锻炼情况,从甲㊁乙㊁丙3个班中,按分层随机抽样的方法获得了部分学生一周的锻炼时间(单位:h),数据如表1所示㊂表1甲66.577.58乙6789101112丙34.567.5910.51213.5(1)求三个班中学生人数之比㊂(2)估计这个学校高一的学生中,一周的锻炼时间超过10h的百分比㊂(3)估计这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间㊂解:(1)由表1可知,甲班5人,乙班7人,丙班8人,故三个班学生人数之比为5ʒ7ʒ8㊂(2)由表1可知,抽取的20名学生中,一周的锻炼时间超过10h的有5人,故一周的锻炼时间超过10h的百分比为520=25%㊂(3)从甲班抽取的5名学生的总时间为6+6.5+7+7.5+8=35,从乙班抽取的7名学生的总时间为6+7+8+9+10+11+12=63,从丙班抽取的8名学生的总时间为3+4.5+6+7.5+9+10.5+12+13.5=66,则35+63+665+7+8=16420=8.2㊂故这个学校高一年级学生一周的平均锻炼时间为8.2h㊂跟踪训练4:一个单位有职工500人,其中不到35岁的有125人,35岁至49岁的有280人,50岁及50岁以上的有95人㊂为了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标,要从中抽取100名职工作为样本,职工年龄与这项指标有关,应该怎样抽取?提示:由题意知,该抽样为比例分配的分层随机抽样,抽取步骤如下:①按年龄将500名职工分成3层,不到35岁的职工;35岁至49岁的职工;50岁及50岁以上的职工㊂②确定每层抽取个体的个数,抽样比为100500=15,在不到35岁的职工中抽取的人数为125ˑ15=25;在35岁至49岁的职工中抽取的人数为280ˑ15=56;在50岁及50岁以上的职工中抽取的人数为95ˑ15=19㊂③在各层按随机数法抽取样本㊂④汇总每层抽样,组成样本㊂题型五:百分位数求百分位数的注意点:一定要将数据按照从小到大的顺序排列;一定要确定i =n ˑp %的结果是否为整数㊂例5 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的25%分位数为,75%分位数为,90%分位数为㊂解:因为数据个数为10,而且10ˑ25%=2.5,10ˑ75%=7.5,10ˑ90%=9,所以该组数据的25%分位数为x 3=3,75%分位数为x 8=8,90%分位数为x 9+x 102=9+102=9.5㊂跟踪训练5:某经销商从外地一水殖厂购进一批小龙虾,并随机抽取40只进行统计,按重量分类统计结果如图1所示㊂图1(1)估计这批小龙虾质量的第10百分位数与第90百分位数㊂(2)该经销商将这批小龙虾分成三个等级,如表2所示㊂表2等级三等品二等品一等品重量/g[5,25)[25,45)[45,55] 试估计这批小龙虾划为几等品比较合理㊂提示:(1)因为40ˑ10%=4,所以第10百分位数为第4项与第5项的平均数,在[5,15)范围内约为5+152=10㊂因为40ˑ90%=36,所以第90百分位数为第36项与第37项的平均数,在[35,55]范围内,约为35+552=45㊂故估计这批小龙虾重量的第10百分位数为10,第90百分位数为45㊂(2)由(1)知,这批小龙虾重量集中在[10,45]范围内,所以划为二等品比较合理㊂题型六:频率分布直方图的应用在频率分布直方图中,各个小长方形的面积等于各组的频率,各组频数之和等于样本容量,频率之和为1;频率组距ˑ组距=频率;频数样本容量=频率,即样本容量ˑ频率=频数㊂由频率分布直方图求百分位数的方法:频率分布直方图中小长方形的面积,就是数据落在该组的频率;设出第p 百分位数,根据其意义列出方程即可求解㊂例6 某高校对2021年该校强基计划招生的数据又做了新的研究,从考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表,如表3所示㊂表3组号分组频数频率第1组[160,165)50.05第2组[165,170)①0.35第3组[170,175)30②第4组[175,180)200.2第5组[180,185]100.1合计1001 请求出频率分布表中①②处应填写的数据,并画出频率分布直方图㊂解:由题意可知,第2组的频数为0.35ˑ100=35,第3组的频率为30100=0.3,则①处填35,②处填0.3㊂画出的频率分布直方图,如图2所示㊂图2跟踪训练6:某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层随机抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40), ,[80,90],并整理得到的频率分布直方图,如图3所示㊂图3(1)估计总体400名学生中分数小于70的人数㊂(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数㊂(3)根据该大学规定,把15%的学生划定为不及格,利用(2)中的数据,确定本次测试的及格分数线,低于及格分数线的学生需要补考㊂提示:(1)由频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)ˑ10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4,所以估计总体400名学生中分数小于70的人数为400ˑ0.4=160㊂(2)由题意知,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)ˑ10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100ˑ0.9-5=5,所以估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为400ˑ5100=20㊂(3)设分数的第15百分位数为x ㊂分数小于50的频率为1-(0.01+0.02+0.04+0.02)ˑ10=0.1,分数小于60的频率为0.1+0.1=0.2,所以x ɪ[50,60),所以0.1+(x -50)ˑ0.01=0.15,解得x =55,即本次考试的及格分数线为55分㊂题型七:众数㊁中位数㊁平均数的计算与应用众数㊁中位数㊁平均数的计算方法与意义:样本的众数㊁中位数和平均数常用来表示样本数据的 中心值 ,众数和中位数可以将数据排序后计算㊁不受少数几个极端值的影响,但只能表达样本数据中的少量信息;平均数一般利用公式计算,代表了数据更多的信息,但受样本中每个数据的影响,越极端的数据对平均数的影响也越大㊂例7 如果5个数x 1,x 2,x 3,x 4,x 5的平均数是7,那么x 1+1,x 2+1,x 3+1,x 4+1,x 5+1这5个数的平均数是㊂解:依题意得x 1+x 2+ +x 5=35,所以(x 1+1)+(x 2+1)+ +(x 5+1)=40,故所求平均数为405=8㊂跟踪训练7:某小区广场上有甲㊁乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄(单位:岁)如下㊂甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17㊂乙群:54,3,4,4,5,5,6,6,6,57㊂(1)甲群市民年龄的平均数㊁中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征?(2)乙群市民年龄的平均数㊁中位数和众数各是多少岁?其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征提示:(1)甲群市民年龄的平均数为13+13+14+15+15+15+15+16+17+1710=15(岁),中位数为15岁,众数为15岁㊂由于平均数㊁中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征㊂(2)乙群市民年龄的平均数为54+3+4+4+5+5+6+6+6+5710=15(岁),中位数为5.5岁,众数为6岁㊂由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差㊂题型八:总体集中趋势的估计在频率分布直方图中,最高小长方形底边中点的横坐标称为众数;把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数;平均数是频率分布直方图的 重心 ,它等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和㊂例8某地遭遇严重干旱,乡政府计划向上级申请支援,为上报需水量,乡长事先抽样调查了100户村民的月均用水量,得到这100户村民月均用水量的频率分布表如表4所示(月均用水量的单位:t)㊂表4用水量分组频数频率[0.5,2.5)12[2.5,4.5)[4.5,6.5)40[6.5,8.5)0.18[8.5,10.5]6合计1001(1)请完成该频率分布表㊂(2)估计样本的中位数是多少㊂(3)已知上级将按每户月均用水量向该乡调水,若该乡共有1200户,请估计上级支援该乡的月调水量是多少吨?解:(1)完成的频率分布表,如表5所示㊂表5用水量分组频数频率[0.5,2.5)120.12[2.5,4.5)240.24[4.5,6.5)400.4[6.5,8.5)180.18[8.5,10.5]60.06合计1001(2)设中位数为x㊂因为月均用水量在[0.5,4.5)内的频率是0.12+0.24=0.36,月均用水量在[0.5,6.5)内的频率是0.12+ 0.24+0.4=0.76,所以xɪ[4.5,6.5),则(x-4.5)ˑ0.2=0.5-0.36,解得x=5.2,所以中位数是5.2㊂(3)估计该乡每户月均用水量为1.5ˑ0.12+3.5ˑ0.24+5.5ˑ0.4+7.5ˑ0.18+ 9.5ˑ0.06=5.14㊂因为5.14ˑ1200=6168,所以上级支援该乡的月调水量是6168t㊂跟踪训练8:某校从参加高一年级期末测试的学生中抽出80名学生,其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图4所示㊂图4则这次测试数学成绩的众数㊁中位数㊁平均分分别为㊂提示:由图知众数为70+802=75㊂设中位数为x㊂前三个矩形面积之和为0.4,第4个矩形面积为0.3,且0.3+0.4> 0.5,因此中位数位于第4个矩形内㊂因为0.5-0.4=0.03(x-70),所以xʈ73.3㊂由平均数的定义得这次数学成绩的平均分为72分(计算过程略)㊂作者单位:河南省开封高中(责任编辑郭正华)。

总体、样本和统计量的定义如下：
总体是研究对象的全体，它是一个集合，包含了所有需要研究的个体数据。

总体包含了全部的个体数据，是进行统计推断的基础。

样本是从总体中抽取出来的一部分数据，用于代表总体进行统计分析。

样本是从总体中随机抽取的，并且只包含部分个体数据。

样本用于估计和推断总体的特征和规律。

统计量是用于描述样本特征的数字度量或指标。

统计量是通过对样本数据进行计算和分析得出的，用于描述样本的某些特征或属性。

常见的统计量包括均值、中位数、众数、方差、标准差等。

总体、样本和统计量是统计学中的基本概念，它们之间的关系是进行统计推断的基础。

通过从总体中抽取样本，并对样本进行统计分析，可以得出关于总体特征的估计和推断。

《概率论与数理统计》课程教学大纲课程中英文名称：概率论与数理统计(Probability and Statistics)课程代码：课程类别：必修课；一年级；二年级；公共类数学基础课学分/学时：3学分/51学时开课学期：适用专业：先修/后修课程：高等数学(或微积分)开课单位：课程负责人：1、课程性质与教学目标概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学类学科，是工科本科各专业的一门重要基础理论课，通过本课程的学习，要求学生熟练掌握随机事件概率的常用计算方法，熟悉并掌握随机变量的分布及其计算，掌握离散型随机变量及其分布律的概念及其计算、掌握连续型随机变量及其密度函数的概念及其计算。

掌握随机变量的常用数字特征的概念及其计算。

理解并掌握依概率收敛的概念，理解大数定律、理解并掌握用中心极限定理解决应用问题。

理解和掌握数理统计的基本概念和理论、熟悉常用的统计量和抽样分布，熟悉并掌握常用的参数点估计和置信区间的求解。

掌握假设检验的基本概念、理解检验中的两类风险，理解并掌握显著性检验的基本步骤，掌握正态总体下未知参数的假设检验方法并会用于解决实际问题，了解拟合优度检验和独立性检验等非参数检验方法。

通过本课程的学习，使学生具备以下能力：课程教学目标1：有科学的世界观、人生观和价值观，有责任心和社会责任感。

树立远大的理想以及刻苦学习的信念。

课程教学目标2：使学生掌握概率统计的基本概念、基本思想和基本理论，培养学生用所学知识去分析问题和解决问题的综合能力和高级思维能力。

课程教学目标3：促进学生全面发展；打破习惯性认知模式，培养学生深度分析、大胆质疑、勇于创新的能力；引导学生养成自主学习、终身学习的自我管理素养。

2、教学内容及基本要求本课程教学内容与具体教学要求及学时分配等信息如下表所示。

3、教学方法课堂教学以板书为主，辅助PPT。

4、考核、成绩评定方式及重修要求考核方式主要由上课出勤、平时作业、课堂练习、阶段测验、期末考试等环节组成，综合各部分的成绩给出该门课程的总评成绩。