蜘蛛网中的数学猎物

探秘奇特的蜘蛛世界作者：欧阳军来源：《发明与创新·大科技》 2009年第11期据有关资料记载，在人类诞生前的数百万年前，蜘蛛已在地球上“耀武扬威”了。

世界上被认识的蜘蛛已有4万多种，遍及世界各个角落……不过，据专家们估计，地球上生存的种类远不止此数，可能达到15万种之多，蜘蛛是陆地动物中除昆虫以外的第二大类群。

“南阳诸葛亮，稳坐中军帐，摆起八卦阵，单捉飞来将”，说的就是蜘蛛。

蜘蛛无一例外都是掠食性动物。

它们不分昼夜地在农田树林中捕食各种昆虫，对控制害虫种群、防止害虫爆发起到了不可估量的作用，为人类做出了巨大的贡献。

虽然某些蜘蛛灰暗的体色和飞扬的蛛丝令人厌恶，甚至恐惧，但每年它们不知要为我们消灭多少害虫，挽回多少经济损失。

正如英国一位蜘蛛学家所说的，蜘蛛是最有意义的一类动物，但也是我们过去最为忽视的一类动物。

的确，动物学家研究虫鱼鸟兽，大家认为这很自然，但如果有人去研究蜘蛛，就不容易被理解。

蜘蛛是自然界产丝和用丝的“专家”。

蜘蛛有多种类型的丝腺，它们个个都会产丝，而且一生都离不开丝。

除了在捕捉猎物、营造巢穴时用到丝之外，它们在行动、生殖、安全、信息传递以及幼蛛扩散中也都离不开丝。

蜘蛛还是仿生学研究的重要对象，其中蛛丝和蛛毒的研究成果可以直接造福人类。

蜘蛛在捕食、求偶、交配、学习行为中的许多有趣的现象可以为我们探索生命的奥秘提供广阔的舞台。

科学家认为，蜘蛛可能主要是通过范德华力（分子之间距离很小时的静电引力）“抓”住物体表面的，摩擦力和其他力可能也参与作用。

由于范德华力仅仅存在于两个物体之间，可以不受其他环境条件的影响，因此作用力相当稳定。

这一发现在新材料的开发方面给科学家带来了新的灵感，比如可将这种原理应用于黏附性太空服的制造。

平时蜘蛛就是用它们的黏脚来捕捉猎物，尤其是那些体表光滑的生物，比如蟑螂。

实际上，对于蜘蛛来说，依靠这种黏力倒悬着生活并不舒服，但如果能借助黏力抓住自己急需的猎物，即使撑上大半天，也还是值得的。

数学与蜘蛛网蛛网是一种简单而优美的自然造物．那结满露珠的网在晨曦的照射下散射着光辉，沁人心脾，令人陶醉！然而，当人们试图用数学去描述那美丽的结构时，其所需要的公式之复杂是令人惊异的．有许许多多蛛网的图案，它们由各种不同的蜘蛛织成，有片状的，三角形状的，漏斗状的或圆顶状的．让我们看一看球蜘蛛的网所揭示的数学概念吧！人们很难猜到它联系着怎样一种建筑工作．在蛛网中人们首先注意到的数学对象大概是两条类似于螺线的蛛网曲线．我们把从蛛网中心放射出去的那几股线称为“半径”．类似螺线的曲线则由连接两相邻半径的弦形成．位于两条相邻半径间的弦互相平行，沿半径的所有同位角也全都相等．假如蜘蛛网的半径有无穷多条，那么整段蛛网将具有单一的形式，这时替代锯齿般螺形线的是一条平滑的曲线．这种曲线就是对数螺线．对数螺线的性质．●在螺线与半径的交点处画切线，则切线与半径所形成的角全都相等．这就是为什么对数螺线也称等角螺线的原因．●螺线截半径所得的各线段长，依次成等比数列．螺线按几何比率增大，其对数螺线的名称即由此而来．●当蛛网缠绕将近完结时，它的尺寸会发生变化，但这不是对数螺线的形状．●如果一条螺线形式的线，从它位于中心处的端点逐渐解开，同时永远使线保持一种绷紧的状态，那线的端头在解开时将形成一条对数螺线．●类似于螺线的蛛网，既经济又规则地充满了空间，它不仅强韧而且花用的材料最少．蜘蛛怎样构造它的网：蜘蛛最初为它的网设置一个三角形的框架．这对于产生最大的强度和韧性极为必要，而且所用的丝也可以减少到最低限度．第二条螺线是蜘蛛结网时作为陷阱的主要部分，它是用很粘的丝从外部向中心部分兜转而成的．蜘蛛所织的两种网都是对数螺线．（①原注：蜘蛛开始织网时利用不同的腺体来产生丝，一些腺体产出很粘的丝，而另一些腺体产生不粘的丝．框架、半径和第一条螺线(临时性的)是用不粘的丝，这样蜘蛛不至于自己抓住自己，蜘蛛则记住了网的各种情况．这样，当一个猎物被网粘住时，便能立即判断该猎物的大小和所在的位置(根据猎物挣扎时拖曳半径引起振动的感觉)，然后很快地经由不粘的丝爬到猎物的旁边，并最终抓住它的猎物．）当早晨的露凝布在蜘蛛网上时，互相靠拢的水结成小小的水滴(特别对于较粘的丝)．蛛网的弦由于水滴的负荷而弯曲，使得每条弦都变成为悬链线！悬链线是由一条自由悬挂着的柔软的绳子或链条所形成的曲线．它的一般性方程为：这里a是Y轴上的截距．出现在悬链线方程中的e为：它是一个无理数和超越数，也算是一件被蜘蛛网“捕捉”的“猎物”．还有许多其他的数学概念，如半径、弦、平行线段、三角形、相等的同位角、对数螺线、悬链线等，也和e一样都“落入”了蜘蛛所编织的陷阱．。

数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

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我们的参赛队号为：1144参赛队员(签名) ：队员1：刘阳队员2：吴平队员3：王臣杰参赛队教练员(签名)：邓昌瑞参赛队伍组别：专科组数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：1144竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛题目探讨蜘蛛网结构的合理性关键词捕食期望能量守恒整形规划蛛网结构摘要自然界中绝大部分蜘蛛依靠织网捕食为生，但同一种类织网捕食的蜘蛛往往由于某种原因，其所织网的结构有所差异。

而蜘蛛网织成怎样的结构才最合理呢，对于这个问题，我们分别运用捕食期望、边界讨论、整型规划、阻尼运动等方法建立了数学模型，顺利地解决了该问题。

首先，蜘蛛停留在网的中心，由于蜘蛛网上每个点出现猎物的概率是相等的，运用函数方程求解出蜘蛛网上每个点的捕食期望，进而得出整个蛛网的捕食期望。

结构不同的蜘蛛网其捕食期望值也不同。

期望值越大，这种结构的蜘蛛网捕食能力越强。

把蜘蛛网的周长作为一个定值，可以衍生出的蜘蛛网结构有三角形，正四边形，正五边形，以此类推，当蜘蛛网半径趋于无穷大时，把此时的结构看作圆形来处理。

蜘蛛网诱发的数学革命在人类发展史上相当长的时间内，代数问题只能通过代数方法加以解决。

而几何问题也只能通过几何工具加以解决。

正是由于一位伟大数学家笛卡儿一次偶然的发明。

开启了人类数学的新天地――这就是建立坐标系、形成解析法。

有了解析法这个非常重要的数学工具。

代数学与几何学之间的壁垒被彻底打破。

一门新的学科――解析几何诞生了。

一、偶然中的必然据说，正服兵役的法国哲学家、数学家笛卡儿。

在一次战斗中被俘，被关进牢房。

每天孤独的时光无法打发，只有墙角上的那个蜘蛛网能给他带来一丝快乐。

他惊奇地发现。

蹲在蜘蛛网中心的蜘蛛，总能准确无误地捕捉到撞到蜘蛛网上的蚊子、苍蝇等猎物（如图1所示）。

为什么呢？笛卡儿发现，埋伏在蜘蛛网中心的蜘蛛，能通过究竟是哪根蜘蛛网线震动，以及震动的强度。

判断猎物在哪个方位和距离中心有多远。

这意味着。

在蜘蛛网上。

确定一个点的位置。

需要而且仅仅需要两个量即可。

受蜘蛛捕捉猎物的启发，笛卡儿发明了一种确定位置的有效工具――平面直角坐标系。

他的方法是：在平面内，画两条原点重合、相互垂直而且具有相同单位长度的数轴。

这样就建立了平面直角坐标系。

有了这个伟大的发明，人们就可用一对有序实数表示平面内的点的位置。

为了纪念笛卡儿这个重大贡献。

人们通常将平面直角坐标系称为笛卡儿坐标系，将这种方法称为解析法。

二、感受确定位置的多种方法。

培养空间观念生活中经常需要确定物体的位置。

比如，确定学校的位置，对弈时确定棋子的位置。

海战中确定舰艇的位置等。

在平面内确定物体的位置，一个数据肯定是不够的。

比如。

在电影院找座位。

不仅需要知道第几排。

还需要知道第几个座位。

利用方位角和距离，可以确定物体的位置。

蜘蛛就是如此。

一只蜘蛛想要抓住粘在蜘蛛网上的猎物，在实施抓捕前，它必须确定两个数据：一个是猎物到自己的距离，另一个是猎物相对于自己的方位角。

与蜘蛛相似。

炮兵对目标进行射击时。

需要确定方位角和距离。

如下页图2所示。

此时，炮兵就是凭借距离和方位角两个数据对敌方阵地进行精准射击的。

小学经典数学故事《从蜘蛛想到的》
小学经典数学故事《从蜘蛛想到的》
数学故事从蜘蛛想到的
笛卡尔是法国17世纪伟大的科学家，他的兴趣很广泛，取得了很多成绩，比如哲学、物理学、数学等等。

我们今天就说说他的数学成就，就是他对解析几何学的贡献。

笛卡尔出生于一个贵族家庭，从小就丧母，父亲非常溺爱他。

他身体不好，父亲就和学校商量，每天早上晚点儿起床，好多休息一会儿。

后来，笛卡尔就养成了在床上沉思的习惯。

据说，笛卡尔的许多发现都是早上在床上思考得到的，这里面就包括解析几何。

有一次，笛卡尔生病卧床。

这又是他思考问题的好时机。

身体躺在床上休息，脑子可没闲着。

这些日子，他正被这样一个问题困扰着：代数里面的方程啊什么的都是抽象的，而几何里面的图形却是很直观的，要是能把数和形结合起来，在代数和几何之间架设一座桥梁，那该多好啊!可是，这座桥在哪里呢?在哪里呢
突然，他看见屋顶上的一只蜘蛛拉着丝垂了下来。

一会儿，蜘蛛又顺着丝爬了上去，在屋顶上左右爬行。

小学经典数学故事《从蜘蛛想到的》：笛卡尔看到蜘蛛的表演，突然大受启发。

他想，可以把蜘蛛看作一个点，他在屋子里上、下、左、右运动，能不能用数字，把蜘蛛在某一个时刻的位置表示出来呢?他又想，屋子里相邻的两面墙，再。

蜘蛛网撰文 / 邓晶（北京动物园）蜜蜂六边形的蜂巢是“最省劳动力、也最省材料的选择”，它可以用最少的材料，形成最大的面积，从而贮藏更多的蜂蜜；壁虎在捕食时，总是沿着一条螺旋形曲线爬行，这条曲线被数学家称为“螺旋线”，沿“螺旋线”爬行最利于壁虎捕食……原来，不是只有人类才懂数学，动物王国里也有各种“数学家”。

让我们以蜘蛛为例，一起来感受动物王国中的趣味数学吧。

蜘蛛网里的数学概念蜘蛛结的“八卦”网，既复杂又美丽，即使工匠用直尺和圆规也难画得如此匀称。

出现在蜘蛛网上的数学概念更是惊人——弦、平行线段、三角形、相似三角形、对数螺线等等。

蜘蛛网里的坐标系传说法国数学家笛卡尔从蜘蛛结网中获得灵感，发明了坐标系。

笛卡尔希望用几何图形来表示代数方程，但几何图形是直观的，代数方程是抽象的，要如何将二者联系起来呢？当他看到蜘蛛在墙角结网时，豁然开朗：可以用两面墙和天花板之间的交线，来确定蜘蛛的位置，于是直角坐标系应运而生。

这则故事的真实性有待考证，但是我们确实可以用蜘蛛结网来理解坐标系。

里的奇妙数学平行线段弦相似三角形对数螺线20226DEC.Copyright ©博看网. All Rights Reserved.直角坐标系与蜘蛛大自然如此神奇，动物将人类研究了百年的数学，轻松地应用到生活中。

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（责任编辑 / 张丽静 高琳　美术编辑 / 韦英章）蛛丝在蜘蛛体内以丝浆的形式存在，结网时，蛛丝从蜘蛛尾部的纺器中喷出，遇到空气后会变成有黏性的丝。

有些蜘蛛拥有多达7种类型的丝腺（在蜘蛛腹部内），能够产生不同类型的丝，其用处也不一样。

蛛丝被称为强度最高的天然丝，跟同样粗细的钢丝相比，蛛丝的强度是后者的5倍。

如果用铅笔粗细的蛛丝结成网，其张力可以阻止波音747这种大型喷气式客机起飞。

而且蛛丝的韧性也极高，直径为人类头发1/30的蜘蛛丝，拉长两倍以上才会被拉断。

可惜，至今我们还无法完全复制蛛丝这种兼具强度和韧性的物质。

蜘蛛网第二阶段问题的研究一、问题重述世界上生存着许多种类的蜘蛛，而其中的大部分种类都会通过结网来进行捕食。

现在我们假设一个具体的环境。

假设有一个凸多边形区域，蜘蛛准备在这个区域（或其一部分）上结一张网。

1.1历史背景世界上的蜘蛛种类繁多，但大多数蜘蛛都会通过结网来捕食猎物的。

对于结网型蜘蛛而言，网充当不仅仅是捕食工具的角色，也充当防御天敌的工具和繁衍场所的角色，因此，对蛛网结构和性能的研究是了解蜘蛛习性和生活的重要手段。

蜘蛛网作为大部分蜘蛛的捕食工具，蜘蛛网结构影响蜘蛛的捕食效率，反映了蜘蛛的捕食手段，同时也反映了蜘蛛在不同环境下的捕食策略，不同体重的蜘蛛寻找的猎物也不同。

在不同环境下，蜘蛛会通过蛛网结构性能上的相应变化来维持蛛网结构的稳定性。

1.2问题提出问题一：在区域的边界上安置有若干支撑点，蛛丝可以连接在支撑点上，不能连接到区域的边界的其它点。

请建立合理的数学模型，对不同的情况都设计出合适的蛛网结构。

问题二：如果蛛丝可以连接在区域边界的任何点上。

请建立合理的数学模型，设计出合适的蛛网结构。

二、问题假设1、在猎物体重一定的范围内，蛛网承受能力的大小。

2、在不同地域内，视蛛网的粘性、湿度相同。

3、在忽略其他因素的情况下，蛛网面积越大，其结构越稳定。

4、假设蜘蛛吐丝的粗细是相同的。

5、每根蛛丝的承受能力均匀相等。

6、假设蛛丝的网格大小不同，越往里越小。

7、假设蜘蛛的吐丝量一定。

8、假设蛛网上每点出现猎物的概率是相等的。

三、符号说明四、问题分析对问题一的分析：我们设定一个具体的环境;有一个凸多边形，蜘蛛准备在这个区域上结网。

在区域边界上安置若干个支撑点，蛛丝可以连接到支撑点上，不能连接到区域边界的其它点上。

支撑点随机设定，假定蜘蛛网上的每个点出现猎物的概率是相等的，蜘蛛停留在蛛网的中心位置，每次捕食的速率相等，我们可以通过计算蜘蛛网捕食面上的捕食期望来判断哪种蛛网结构的捕食效果是最好的。

1、当蜘蛛的吐丝量一定时（即蛛网周长一定），蛛网的承受力也一定时，为确保捕食期望达到最大，通过判断面积的大小来确定最适合的蜘蛛网结构，由相关文献资料可知，可能出现的最适蜘蛛网结构有三角形、正方形、正五边形、Λ、正n 多边形。

动物中的数学“天才”蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。

组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。

蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。

丹顶鹤总是成群结队迁飞，而且排成“人”字形。

“人”字形的角度是110度。

更精确地计算还表明“人”字形夹角的一半——即每边与鹤群前进方向的夹角为54度44分8秒！而金刚石结晶体的角度正好也是54度44分8秒！是巧合还是某种大自然的“默契”？蜘蛛结的“八卦”形网，是既复杂又美丽的八角形几何图案，人们即使用直尺的圆规也很难画出像蜘蛛网那样匀称的图案。

冬天，猫睡觉时总是把身体抱成一个球形，这其间也有数学，因为球形使身体的表面积最小，从而散发的热量也最少。

真正的数学“天才”是珊瑚虫。

珊瑚虫在自己的身上记下“日历”，它们每年在自己的体壁上“刻画”出365条斑纹，显然是一天“画”一条。

奇怪的是，古生物学家发现3亿5千万年前的珊瑚虫每年“画”出400幅“水彩画”。

天文学家告诉我们，当时地球一天仅21.9小时，一年不是365天，而是400天蜜蜂蜂房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱锥形的底，由三个相同的菱形组成。

组成底盘的菱形的钝角为109度28分，所有的锐角为70度32分，这样既坚固又省料。

蜂房的巢壁厚0.073毫米，误差极小。

蚂蚁的计算本领也十分高明。

英国科学家亨斯顿做过一个有趣的实验：他把一只死蚱蜢切成三块，第二块比第一块大一倍，第三块比第二块大一倍，在蚂蚁发现这三块食物４０分钟后，聚集在最小一块蚱蜢处的蚂蚁有２８只，第二块有４４只，第三块有８９只，后一组差不多较前一组多一倍；蚂蚁的计算本领如此准确，令人惊奇！美国有只黑猩猩，每次吃１０根香蕉。

有一次，科学家在黑猩猩的食物箱里只放了８根香蕉，黑猩猩吃完后，不肯离去，不停地在食物箱里翻找。