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基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）若0x ≠，则11122-2x x x x x x+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解题技巧：技巧一：凑项例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。
技巧二：凑系数例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。
变式：设230<<x ，求函数)23(4x x y -=的最大值。
技巧三： 分离例3. 求2710(1)1x x y x x ++=>-+的值域。
《不等式应用举例》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《不等式应用举例》的学习，使学生能够掌握不等式的基本性质和解题方法，并能够运用不等式解决实际问题。
通过作业的练习，加深学生对不等式应用的理解，提高其数学应用能力和逻辑思维能力。
二、作业内容本课时作业内容主要围绕不等式的应用展开，具体包括以下几个部分：1. 基础练习：选择和填空题，主要涉及不等式的基本性质和基本运算，如大小比较、求范围等。
2. 实例分析：通过几个实际问题的例子，让学生运用所学的不等式知识进行分析和解决。
例如，在生产生活中如何运用不等式进行成本控制、效益最大化等问题的分析。
3. 综合应用：设计一些综合性的问题，要求学生综合运用不等式和其他数学知识（如函数、方程等）来解决问题。
如利用不等式求函数的最值等。
4. 拓展提升：针对学有余力的学生，设计一些具有挑战性的问题，如探索性题目、数学建模题目等，以拓展学生的数学思维和解题能力。
三、作业要求1. 每位学生需独立完成作业，不得抄袭他人答案。
2. 认真审题，理解题意，按照题目要求进行作答。
3. 注重解题过程，不仅仅是答案的正确性，过程应清晰、有条理。
4. 对于综合应用和拓展提升部分，应积极思考、尝试多种方法，并记录下自己的思考过程。
5. 按时提交作业，如有特殊情况需提前向老师说明。
四、作业评价1. 老师将对每位学生的作业进行批改，并给出相应的评分。
2. 评价标准包括答案的正确性、解题过程的清晰度、思维的深度和广度等方面。
3. 对于优秀作业，将在课堂上进行展示和表扬，以激励学生。
4. 对于存在问题的作业，老师将给出详细的批改意见和建议，帮助学生改正错误，提高作业质量。
五、作业反馈1. 老师将根据学生的作业情况，进行针对性的教学辅导和讲解。
2. 对于普遍存在的问题，将在课堂上进行重点讲解和强调。
3. 鼓励学生主动向老师提问和交流，以促进师生之间的互动和学习氛围的营造。
4. 通过作业反馈，帮助学生查漏补缺，提高学习效果和学习成绩。
7.5 不等式的综合应用典例精析题型一 含参数的不等式问题【例1】若不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)25(2,0222k x k x x x 的解集中所含整数解只有－2，求k 的取值范围.【解析】由x2－x －2＞0有x ＜－1或x ＞2，由2x2＋(5＋2k)x ＋5k ＜0有(2x ＋5)(x ＋k)＜0.因为－2是原不等式组的解，所以k ＜2.由(2x ＋5)(x ＋k)＜0有－52＜x ＜－k. 因为原不等式组的整数解只有－2，所以－2＜－k≤3，即－3≤k＜2，故k 的取值范围是[－3,2).【点拨】涉及到含参数的不等式解集的有关问题时，借助数轴分析，往往直观、简洁.【变式训练1】不等式(－1)na ＜2＋(－1)n ＋1n对任意n ∈N*恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】当n 为奇数时，－a ＜2＋1n ，即a ＞－(2＋1n). 而－(2＋1n)＜－2，则a≥－2； 当n 为偶数时，a ＜2－1n ，而2－1n ≥2－12＝32，所以a ＜32. 综上可得－2≤a＜32. 【点拨】不等式中出现了(－1)n 的时候，常常分n 为奇数和偶数进行分类讨论. 题型二 不等式在函数中的应用【例2】已知函数f(x)＝2x －a x2＋2在区间[－1,1]上是增函数. (1)求实数a 的值组成的集合A ；(2)设x1，x2是关于x 的方程f(x)＝1x的两个相异实根，若对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]，不等式m2＋tm ＋1≥|x1－x2|恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】(1)f′(x)＝4＋2ax －2x2(x2＋2)2， 因为f(x)在[－1,1]上是增函数，所以当x ∈[－1,1]时，f′(x)≥0恒成立， 令φ(x)＝x2－ax －2，即x2－ax －2≤0恒成立.所以A ＝{a|－1≤a≤1}.(2)由f(x)＝1x得x2－ax －2＝0. 设x1，x2是方程x2－ax －2＝0的两个根，所以x1＋x2＝a ，x1x2＝－2.从而|x1－x2|＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2＋8，因为a ∈[－1,1]，所以a2＋8≤3，即|x1－x2|max ＝3.不等式对任意a ∈A 及t ∈[－1,1]不等式恒成立，即m2＋tm －2≥0恒成立.设g(t)＝m2＋tm －2＝mt ＋m2－2，则解得m≥2或m≤－2.故m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞).【点拨】对于在给定区间上恒成立的不等式问题，通常可以转化为给定区间上的函数最大值(最小值)大于零(或小于零)，亦可分离变量或者利用数形结合的方法，分离变量和数形结合更加简单明了.【变式训练2】设a ，b ＞0，且ab ＝1，不等式a a2＋1＋b b2＋1≤λ恒成立，则λ的取值范围是 .【解析】[1，＋∞).因为ab ＝1，所以a a2＋1＋b b2＋1＝2a ＋b ≤22ab＝1，所以λ≥1. 题型三 不等式在实际问题中的应用【例3】某森林出现火灾，火势正以100 m2/分钟的速度顺风蔓延，消防站接到报警立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人灭火 50 m2/分钟，所消耗的灭火材料，劳务津贴等费用为人均125元/分钟，另附加每次救火所耗损的车辆，器械和装备等费用人均100元，而烧毁森林的损失费60元/m2，问应该派多少消防队员前去救火才能使总损失最少？【解析】设派x 名消防队员前去救火，用t 分钟将火扑灭，总损失为y ，则t ＝5×10050x －100＝10x －2， y ＝灭火劳务津贴＋车辆、器械装备费＋森林损失费＝125xt ＋100x ＋60(500＋100t)＝125x×10x －2＋100x ＋30 000＋60 000x －2＝100(x －2)＋62 500x －2＋31 450 ≥2100(x －2)·62 500x －2＋31 450＝36 450， 当且仅当100(x －2)＝62 500x －2，即x ＝27时，y 有最小值36 450，故应派27人前去救火才能使总损失最少，最少损失36 450元.【点拨】本题需要把实际问题抽象为数学问题，建立不等式模型，利用基本不等式求最值，基本不等式是历年高考考查的重要内容.【变式训练3】某学校拟建一块周长为400 m 的操场，如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？【解析】设中间矩形区域的长，宽分别为x m ，y m ，中间的矩形区域面积为S ，则半圆的周长为πy 2， 因为操场周长为400，所以2x ＋2×πy 2＝400， 即2x ＋πy ＝400(0＜x ＜200,0＜y ＜400π)， 所以S ＝xy ＝12π·(2x)·(πy)≤12π·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋πy 22＝20 000π， 由⎩⎨⎧=+=,400π2,π2y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 所以当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧==π200,100y x 时等号成立， 即把矩形的长和宽分别设计为100 m 和200πm 时，矩形区域面积最大. 总结提高1.不等式应用大致可分为两类：一类是建立不等式求参数的取值范围，或解决一些实际应用问题；另一类是建立函数关系，利用基本不等式求最值问题.不等式的综合题主要是不等式与函数、解析几何、数列、三角函数等知识的综合.解决这些问题的关键是找出综合题的各部分知识及联系，充分利用数学思想和数学方法解题.2.建立不等式的主要途径有：利用基本不等式；利用问题的几何意义；利用判别式；利用函数的有界性；利用函数的单调性等.3.解答不等式的实际应用问题一般分四步，即审题、建模、求解、检验.。
其应用教师用书编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4 基本不等式及其应用教师用书）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习第七章不等式7.4 基本不等式及其应用教师用书的全部内容。
式及其应用教师用书1．基本不等式ab≤错误!(1）基本不等式成立的条件：a>0,b>0.(2)等号成立的条件:当且仅当a＝b时取等号．2．几个重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R）．(2）错误!＋错误!≥2(a,b同号)．(3）ab≤错误!2 (a,b∈R)．（4）错误!≥错误!2 (a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3．算术平均数与几何平均数设a〉0，b>0，则a，b的算术平均数为错误!，几何平均数为错误!，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x〉0,y>0，则（1）如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2错误!.(简记：积定和最小）（2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值错误!.(简记:和定积最大）【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题（1）恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f（x）>A在区间D上恒成立⇔f （x)min>A（x∈D）；若f（x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)〈B在区间D上恒成立⇔f（x）max<B（x∈D）．(2）能成立问题:若f（x）在区间D上存在最大值，则在区间D上存在实数x使不等式f（x）〉A成立⇔f（x）〉A（x∈D);max若f（x)在区间D上存在最小值,则在区间D上存在实数x使不等式f(x)〈B成立⇔f（x）min 〈B（x∈D）．（3)恰成立问题：不等式f（x)〉A恰在区间D上成立⇔f(x)〉A的解集为D;不等式f（x)〈B恰在区间D上成立⇔f(x）〈B的解集为D.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”）（1）函数y＝x＋错误!的最小值是2。
不等式的基本性质一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质解有关不等式。
2. 过程与方法：通过观察、分析、归纳等方法，引导学生发现不等式的基本性质。
3. 情感态度价值观：培养学生对数学的兴趣，培养学生合作交流、归纳总结的能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：不等式的性质。
2. 教学难点：不等式性质的应用。
三、教学准备1. 教师准备：教案、PPT、黑板、粉笔。
2. 学生准备：课本、练习本、文具。
四、教学过程1. 导入新课1.1 复习相关知识：回顾一元一次不等式的解法。
1.2 提问：同学们，你们知道不等式有什么性质吗？今天我们就来学习不等式的基本性质。
2. 探究不等式的性质2.1 展示不等式实例，引导学生观察、分析。
2.2 引导学生发现不等式的性质，并总结出不等式的基本性质。
3. 例题讲解3.1 出示例题，讲解例题的解法，引导学生运用不等式的性质解决问题。
3.2 学生自主练习，教师巡回指导。
4. 课堂练习4.1 出示练习题，学生独立完成，教师批改并讲解。
4.2 学生总结练习中的经验教训。
五、课后作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。
2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。
六、教学拓展1. 引导学生思考：不等式的性质在实际生活中有哪些应用？2. 举例说明不等式性质在生活中的应用，如购物、分配等。
3. 引导学生进行不等式性质的综合应用，提高解决问题的能力。
七、巩固练习1. 出示巩固练习题，学生独立完成。
2. 教师批改并讲解，学生总结解题思路和方法。
八、课堂小结1. 教师引导学生回顾本节课所学内容，总结不等式的基本性质。
2. 学生分享学习收获和感受。
九、课后反思1. 教师反思本节课的教学效果，找出不足之处，为下一节课做好准备。
2. 学生反思自己的学习过程，找出优点和不足，制定改进措施。
十、布置作业1. 请学生根据不等式的性质，解决课后练习题。
2. 鼓励学生进行不等式性质的探究，发现更多的性质。
集合与不等式一、集合部分知识梳理： 二、典型例题：1、（集合的概念）若集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}的子集只有两个，则实数a ＝________.解析 ∵集合A 的子集只有两个，∴A 中只有一个元素．当a ＝0时，x ＝23符合要求．当a ≠0时，Δ＝(－3)2－4a ×2＝0，∴a ＝98.故a ＝0或98.2、（集合间的基本关系）已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．思维启迪 对于含有有限个元素的集合的子集，可按含元素的个数依次写出；B ⊆A 不要忽略B ＝∅的情形．解析 (2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎨⎧m ＋1≥－22m －1≤7m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn 图来直观解决这类问题．练习：（易错）若集合P ＝{x |x 2＋x －6＝0}，S ＝{x |ax ＋1＝0}，且S ⊆P ，则由a 的可取值组成的集合为__________．易错分析 从集合的关系看，S ⊆P ，则S ＝∅或S ≠∅，易遗忘S ＝∅的情况． 解析 P ＝{－3,2}．当a ＝0时，S ＝∅，满足S ⊆P ；当a ≠0时，方程ax ＋1＝0的解集为x ＝－1a ，为满足S ⊆P 可使－1a ＝－3或－1a ＝2，即a ＝13或a ＝－12.故所求集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12.答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，－12温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．(2)在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空集的讨论，如a ＝0时，S ＝∅；二是易忽略对字母的讨论．如－1a 可以为－3或2.因此，在解答此类问题时，一定要注意分类讨论，避免漏解.三、不等式部分知识梳理 四、典型例题：1、设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c <b c ；③log b (a －c )>log a (b －c ).其中所有正确结论的序号是( )A.①B.①②C.②③D.①②③(1)∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故结论①正确；函数y ＝x c (c <0)为减函数，又a >b ，∴a c <b c ，故结论②正确；根据对数函数的单调性，log b (a －c )>log b (b －c )>log a (b －c )，故③正确. ∴正确结论的序号是①②③.2、（不等式与函数的综合应用） (2013·安徽)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x <－1或x >12，则f (10x )>0的解集为( )A ．{x |x <－1或x >－lg 2}B ．{x |－1<x <－lg 2}C ．{x |x >－lg 2}D ．{x |x <－lg 2}3、（2014攀枝花模拟）已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)单调递增，则f (2－x )>0的解集为( ) A ．{x |x >2或x <－2} B ．{x |－2<x <2} C ．{x |x <0或x >4}D ．{x |0<x <4}3、（两类恒成立问题）设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. 思维启迪 (1)分m ＝0和m ≠0讨论，m ≠0可结合图象看Δ的条件； (2)可分离参数m ，利用函数最值求m 的范围. 解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0； 若m ≠0，则⎩⎨⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇒－4<m <0.所以－4<m ≤0.(2)要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立. 有以下两种方法：方法一 令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3].当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，则0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0，所以m <6，所以m <0. 综上所述：m 的取值范围是{m |m <67}.方法二 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m <67即可.所以，m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m |m <67.思维升华 (1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.练习：已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围.解 因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立.即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )＝g (x )恒成立.而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减， 所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3. 所以，实数a 的取值范围是{a |a >－3}.4、（线性规划含参问题）若不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A.73B.37C.43D.34思维启迪 画出平面区域，显然点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43在已知的平面区域内，直线系过定点⎝⎛⎭⎪⎫0，43，结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可.解析 不等式组表示的平面区域如图所示.由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43.因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域.因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.当y ＝kx ＋43过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73.思维升华 二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：线定界，点定域. 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线.测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点.练习:(2013·课标全国Ⅱ)已知a >0，x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a 等于( )A.14B.12C.1D.2作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分).易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值， 由⎩⎨⎧x ＝1，y ＝a x －3 ，得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1， 解得a ＝12，故选B.5、（易错：含绝对值的约束条件）已知x ，y 满足约束条件|x |＋2|y |≤2，且z ＝y －mx (m >12)的最小值等于－2，则实数m 的值等于________.易错分析 本题容易出现的错误主要有两个方面：没有将绝对值不等式转化为不等式组，画不出正确的可行域； 解析 原不等式等价于以下四个不等式组：⎩⎨⎧ x ≥0，y ≥0，x ＋2y ≤2，⎩⎨⎧ x ≥0，y ≤0，x －2y ≤2，⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，－x ＋2y ≤2，⎩⎨⎧x ≤0，y ≤0，－x －2y ≤2，因此可画出可行域(如图)： 由z ＝y －mx 得y ＝mx ＋z .当m >12时，由图形可知，目标函数在点A (2,0)处取得最小值，因此－2＝0－2m ，解得m ＝1.温馨提醒 (1)含绝对值不等式表示区域的画法含有绝对值的不等式所表示的平面区域，应该根据变量的取值情况，将不等式中的绝对值符号去掉，化为几个不等式组，把每一个不等式表示的平面区域画出后合并起来就是相应的含绝对值不等式所表示的平面区域. 6、(利用基本不等式求最值---对1的代换)(1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________. 思维启迪 利用基本不等式求最值可以先对式子进行必要的变换.如第(1)问把1x ＋1y中的“1”代换为“2x ＋y ”，展开后利用基本不等式；第(2)问把函数式中分子分母同除“x ”，再利用基本不等式. 答案 (1)3＋2 2 (2)1解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy时，取等号. (2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.思维升华 (1)利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”.(2)在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式.7、(不等式与函数的综合问题)若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12)成立，则a 的最小值是 ( )A.0B.－2C.－52D.－3解析 方法一 设f (x )＝x 2＋ax ＋1， 则对称轴为x ＝－a2.当－a 2≥12，即a ≤－1时，f (x )在(0，12)上是减函数，应有f (12)≥0⇒a ≥－52， ∴－52≤a ≤－1.当－a2≤0，即a ≥0时，f (x )在(0，12)上是增函数，应有f (0)＝1>0恒成立，故a ≥0.当0<－a 2<12，即－1<a <0时，应有f (－a 2)＝a 24－a 22＋1＝1－a 24≥0恒成立，故－1<a <0.综上，a ≥－52，故选C.方法二 当x ∈(0，12)时，不等式x 2＋ax ＋1≥0恒成立转化为a ≥－(x ＋1x )恒成立.又φ(x )＝x ＋1x 在(0，12)上是减函数，∴φ(x )min ＝φ(12)＝52，∴[－(x ＋1x )]max ＝－52，∴a ≥－52.。
不等式与数列函数的综合应用在数学中，不等式和数列函数都是非常重要的概念。
它们在实际问题中的应用广泛且深远。
本文将探讨不等式与数列函数的综合应用，并通过具体案例展示其在实际生活中的重要性。
一、不等式的应用1. 购物优惠假设一个商场正在进行促销活动，打折的力度与购买金额成正比。
设商品原价为P，折扣率为r，则购买金额为P × (1-r)。
假设消费满x 元即可获得折扣优惠，我们可以得到不等式 P × (1-r) ≥ x。
通过解不等式可以确定消费满多少金额时才能获得折扣优惠。
2. 借贷利息在借贷过程中，利息是一个重要的考虑因素。
设借款金额为P，年利率为r，借款期限为n年，我们可以得到不等式P × (1+r)^n ≥ P。
通过解不等式可以确定借款期限内所需还款金额的下限。
3. 人口增长人口增长是一个关乎社会发展的重要问题。
设某地初始人口为P0，年增长率为r，则经过n年的发展，该地的人口为P0 × (1+r)^n。
通过解不等式可以预测人口增长的趋势，并为规划社会发展提供依据。
二、数列函数的应用1. 复利计算复利是指资金按照一定的利率进行投资，所获利息在下一期再次作为本金进行投资，使资金不断增值。
设初始本金为P0，年利率为r，经过n年的投资，我们可以得到数列函数 an = P0 × (1+r)^n，其中an表示第n年的资金总额。
通过计算数列的值，可以确定某个时刻的资金总额。
2. 等差数列等差数列是指数列中相邻两项之差恒定的数列。
例如，1，3，5，7，9就是一个等差数列，公差为2。
在实际应用中，等差数列可以用来描述许多变化规律。
例如，某公司的销售额每年递增500万元，假设初始销售额为1000万元，则第n年的销售额可以表示为an = 1000 + 500n。
3. 斐波那契数列斐波那契数列是指一个数列中每个数字是前两个数字之和的数列。
例如，1，1，2，3，5，8就是一个斐波那契数列。
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等式教师用书1．绝对值三角不等式(1)定理1：如果a，b是实数，则｜a＋b|≤|a｜＋｜b｜，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)定理2：如果a，b，c是实数，那么｜a－c|≤|a－b｜＋|b－c|,当且仅当（a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法（1)含绝对值的不等式|x｜<a与|x｜>a的解集：不等式a〉0a＝0a〈0｜x｜〈a(－a，a)∅∅｜x｜>a （－∞，－a）∪(a，＋∞）(－∞,0)∪(0，＋∞）R（2）｜ax＋b｜≤c(c>0）和｜ax＋b｜≥c（c〉0）型不等式的解法:①｜ax＋b｜≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②｜ax＋b｜≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.【知识拓展】|x－a｜＋|x－b｜≥c(c〉0)和｜x－a｜＋｜x－b｜≤c(c〉0）型不等式的解法：(1）利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想；（2)利用“零点分段法"求解,体现了分类讨论的思想;(3）通过构造函数，利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想．【思考辨析】判断下面结论是否正确（请在括号中打“√”或“×"）(1)|x＋2|的几何意义是数轴上坐标为x的点到点2的距离．( ×）（2)｜x|〉a的解集是｛x|x>a或x〈－a}．( ×)（3)|a＋b|＝｜a|＋|b｜成立的条件是ab≥0.（√)(4)若ab〈0，则|a＋b｜<｜a－b|.( √)(5）对一切x∈R，不等式|x－a|＋｜x－b|〉|a－b|成立．（×)1．（2015·山东）不等式｜x－1｜－|x－5|<2的解集是( ）A．（－∞，4) B．（－∞,1）C．（1，4）D．(1，5)答案A解析①当x≤1时，原不等式可化为1－x－（5－x)<2，∴－4<2,不等式恒成立，∴x≤1.②当1<x<5时,原不等式可化为x－1－（5－x)〈2,∴x〈4,∴1<x〈4,③当x≥5时,原不等式可化为x－1－（x－5)〈2，该不等式不成立．综上，原不等式的解集为（－∞，4）．2．不等式｜x＋1｜－｜x－2|>k的解集为R,则实数k的取值范围为（）A．(3,＋∞) B．(－∞,－3)C．（－∞,－1) D．（－∞，0）答案B解析根据绝对值的几何意义，设数x，－1，2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于｜PA｜－|PB｜>k恒成立．∵｜AB｜＝3，即|x＋1｜－|x－2｜≥－3。
不等式的综合运用1第九课时 不等式的综合运用（1）能够利用不等式解决函数的定义域、值域（最值）、单调性、方程的实根分布以及方程和不等式中的参数问题。
）1．设函数A ，g(x)=lg[(x －a －1)(2a －x)](a<1)的定义域为B 。
若B ⊆A,则实数a 的取值范畴 。
2．函数y=23(0)1xx x x <++的值域是 （ ）A ．（－1，0）B ．[－3，0）C ．[－3，－1]D ．（－∞，0）3．已知函数f(x)=log 0.5(x 2－ax+3a)在[2,+ ∞)上是减函数，则a 的取值范畴是 （ ）A ．（－∞，4]B ．（－4，4]C ．（0，12]D ．（0，4]4．若关于x 的方程9x +(4+a)3x +4=0有解，则实数a 的取值范畴是 。
5．若不等x 2－x+1>m(x 2+x+1)对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范畴是 （ ）A ．(3,+∞)B ．[3, +∞)C ．（－∞，13] D ．（－∞，13）例1．设a 、b ∈R,且a ≠2，定义在(－b ，b)上的函数f(x)=lg 112axx++是奇函数，求b 的取值范畴。
例2．设集合A={}2(,)|20x y x mx y +-+=，{}(,)|10,02B x y x y x =-+=≤≤且，假如A ∩B ≠φ,求实数m 的取值范畴。
例3．已知函数221()ax x f x x+-=的定义域恰为不等式log 2(x+3)+log 0.5x ≤3的解集，且f(x)在定义域内单调递减，求实数a 的取值范畴。
例4．已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b ∈[－1,1]，a+b ≠0有()()0f a f b a b+>+恒成立。
（1）试判定f(x)在[－1,1]上是增函数依旧减函数，并证明你的结论； （2）解不等式f(x+12)<1()1f x -； （3）若f(x)≤m 2－2am+1,对所有x ∈[－1,1]，a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范畴。
主备人：审核人：【课题】不等式的综合应用【课时】第15课时【复习目标】掌握不等式的各类综合问题的处理方法.【基础知识】1.设集合P }32|{x x ,}0)1)(3(|{x x x Q ,则QP 2.不等式1||||y x 所表示的平面区域的面积为3.下列条件:①0ab ;②0ab ;③0,0b a ;④0,0b a ,能使不等式a b 2b a成立的条件为 (填序号)4.二次方程02)1(22a x a x 有一个根比1大,另一个根比-1小,则a 的取值范围是5.要使不等式012kx kx 对于x 的任意值都成立,则k 取值范围为6.圆1)1(22y x 在不等式组00y x y x 所表示平面区域中所围成的图形的面积为7.已知b a,为正实数且1ab ,若不等式M y bx a y x ))((对任意正实数y x,恒成立,则M 的取值范围是8.若a 是b 21与b 21的等比中项,则||2||2b a ab的最大值是9.已知函数3123f x x x ,对任意的3,3t ,20f tx f x 恒成立,则x 的取值范围是_________.10.已知a 为正的常数,若不等式2112x x x a 对一切非负实数x 恒成立,则a 的最大值为______.【例题分析】例1.已知R y x b a ,,,,且满足)0,0(,222222q p q y x p b a ,求by ax 的最大值和最小值.例2.定义函数1(0),()1(0),x x x 222()2()()f x x x x a x a .(1)解关于a 的不等式:(1)(0)f f ;(2)已知函数()f x 在0,1x 的最小值为(1)f ,求正实数a 的取值范围.变式：设不等式0222a ax x 的解集为M ,如果]4,1[M ,求实数a 的取值范围.例3.(1)若关于x 的方程0124a a x x 有实数解，求实数a 的取值范围(2)解关于x 的不等式)0(,11)1(2a x ax xa 例 4.某啤酒厂为适应市场需要,2011年起引进葡萄酒生产线,同时生产啤酒和葡萄酒,2011年啤酒生产量为16000吨,葡萄酒生产量1000吨.该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%,葡萄酒生产量比上一年增加100%,试问: (1)哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低?(2)从2011年起(包括2011年),经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的23?(生产总量是指各年年产量之和)。
科 目 数学 年级 高三 备课人 高三数学组 第 课时 7.5不等式的综合应用
【典型例题】
一、简单线性规划的实际应用：
例1、（2012 四川）某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克、B 原料1千克.每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A.1800元
B.2400元
C.2800元
D.3100元
*2122120,0,x y x y x y x y N
+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪
⎪∈⎩，最大利润为max 300400,430044002800z x y z =+=⨯+⨯=.
变式训练：（2012 江西）某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A.50,0
B.30,20
C.20,30
D.0,50
501.20.9540,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩
，最大收入为40.5560.3 1.20.90.9z x y x y x y =⨯+⨯--=+，则z 在区间(30,20)处取最大值.
二、基本不等式的简单应用：
例2、某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.假定当天所买饲料当天用不需要保管与其他费用.
（1）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？
（2）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时其价格可享受八五折优惠（即为原价的85%），问该厂是否可以考虑利用此优惠条件？若考虑优惠条件，则应如何安排可使平均每天所支付的费用最少？
（1）设该厂应隔*()x x N ∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y .
由于饲料的保管与其他费用每天比前一天少2000.036⨯=元，
故x 天饲料的保管与其他费用总共是：26(1)6(2)...633x x x x -+-++=-元
所以21300(33300)200 1.83357417y x x x x x
=
-++⨯=++≥ 当且仅当3003,10x x x ==即时取等号 （2）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，
设该厂利用此优惠条件，每隔*(25,)x x x N ≥∈天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为z ， 则：2*1300(33300)200 1.80.853303,(25,)z x x x x x N x x
=-++⨯⨯=++≥∈ 由于23003z x
'=-+，故当25x ≥时，0z '>，即函数z 在[25,)+∞为增函数. 故当25x =时，z 有最小值min 390417z =<故该厂可以接受此优惠条件
变式训练：某厂家拟在2013年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用m 万元（0m ≥）满足31k x m =-
+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件.已知2013年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）.
（1）将2013年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m （万元）的函数；
（2）该厂家2013年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
（1）当0m =时，1x =，故2k =；所以231x m =-
+； 而每件产品的销售价格为8161.5x x +⨯
元 因此81616[1.5](816)[(1)]29,(0)1
x y x x m m m x m +=⨯-++=-+++≥+ （2）16[(1)]2921629211y m m =-+++≤-+=+，当且仅当16(1),31
m m m =+=+即万元时取等号.
【课后反思】。
