2017年湖北省襄阳市优质高中高考数学模拟试卷(理科)(1月份)

湖北省襄阳市2017届高考数学适应性考试试题理（扫描版）2017年普通高等学校招生全国统一考试（适应性）参考答案理科数学一、选择题：二、填空题：13. 152- 14. 4π 15. 16. 2λ≥-三、解答题： 17.18. (1)证明 在梯形ABCD 中，∵AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝1，∠BCD ＝120°， ∴AB ＝2，∴BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD ·cos 60°＝3. ∴AB 2＝AD 2＋BD 2，∴AD ⊥BD .∵平面BFED ⊥平面ABCD ，平面BFED ∩平面ABCD ＝BD ，DE 平面BFED ，DE ⊥DB ， ∴DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AD ，又DE ∩BD ＝D ， ∴AD ⊥平面BFED .(2)解 由(1)可建立分别以直线DA ，DB ，DE 为x 轴，y 轴，z 轴的空间直角坐标系.如图所示.令EP ＝λ(0≤λ≤3)，则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，P(0，λ，1)， ∴AB →＝(－1，3，0)，BP →＝(0，λ－3，1).设n1＝(x ，y ，z)为平面PAB 的一个法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n1·AB →＝0，n1·BP →＝0，得⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，（λ－3）y ＋z ＝0，取y ＝1，得n1＝(3，1，3－λ)， ∵n2＝(0，1，0)是平面ADE 的一个法向量， ∴cos θ＝|n1·n2||n1||n2|＝13＋1＋（3－λ）2×1＝1（λ－3）2＋4.∵0≤λ≤3， ∴当λ＝3时，cos θ有最大值12，∴θ的最小值为π3.19. 解：设i A 表示事件“小辉8月11日起第i 日连续两天调研”()1,2,...9i =，根据题意，()19i P A =，且()i j A A i j =∅≠.（1）设B 为事件“小辉连续两天都遇上较难”.则47B A A =，所以()()()()474729P B P A A P A P A ==+=.（2）由题意，可知X 的所有可能取值为0,1,2.且()()()()()478478103P X P A A A P A P A P A ===++=；()()()()()()35693569419P X P A A A A P A P A P A P A ===+++=；()()()()1212229P X P A A P A P A ===+=，所以X 的分布列为故X 的期望()14280123999E X =⨯+⨯+⨯=. （3）从8月16日开始连续三天难易度的方差最大.20. 解：（Ⅰ）因为抛物线C :22(0)x py p =>的焦点为()0,1F ，所以12p=，解得2p =,所以抛物线C 的方程为24x y =.由抛物线和圆的对称性,可设圆()222:Q x y b r +-=,∵12PQ P Q ⊥,∴12PQP ∆是等腰直角三角形,则1245QPP ∠=︒,∴2,P r b ⎫⎪⎪⎝⎭,代入抛物线方程有242r b =-.由题可知在12,P P 处圆和抛物线相切,对抛物线24x y =,求导得'2x y =,所以抛物线在点2P 处切线方程的斜率为4k r =.由1245QPP ∠=︒,知14k r ==,所以r =代入242r b =-,解得3b =,所以圆Q 的方程为()2238x y +-=.(2)设直线l 的方程为1y kx =+且tank θ⎤=∈⎥⎣⎦,圆心Q 到直线l 的距离为d =∴AB ==,由241x y y kx ⎧=⎨=+⎩,得()222410y k y -++=,设()11,M x y ，()22,N x y ，则21242y y k +=+，由抛物线定义知，()212241MN y y k =++=+，所以(2161MN AB k ∙=+21t k =+1k ≤≤，所以423t ≤≤.所以16MN AB ∙===423t ≤≤），所以当43t =时，即3k =时，MN AB 有最小值3， 21. 解：(Ⅰ）()af x b x'=+，∴(1)1f a b '=+=，又(1)0f b ==，∴1,0a b ==．------2分 (Ⅱ）211()ln ()2h x x x m x m =+-+； ∴11()()h x x m x m'=+-+ 由()0h x '=得1()()0x m x m --=， ∴x m =或1x m=． ∵0m >，当且仅当102m m <<≤或102m m<<≤时，函数()h x 在区间(0,2)内有且仅有一个极值点． 若102m m <<≤，即102m <≤，当(0,)x m ∈时()0h x '>；当(,2)x m ∈时()0h x '<，函数()h x 有极大值点x m =，若102m m <<≤，即2m ≥时，当1(0,)x m ∈时()0h x '>；当1(,2)x m∈时()0h x '<，函数()h x 有极大值点1x m=， 综上，m 的取值范围是1|022m m m ⎧⎫<≤≥⎨⎬⎩⎭或．(Ⅲ）当1m =时，设两切线12,l l 的倾斜角分别为,αβ，则1tan ()()2f x g x x xαβ''===-，tan =， ∵2x >， ∴,αβ均为锐角， 当αβ>，即21x <<+时，若直线12,l l 能与x 轴围成等腰三角形，则2αβ=；当αβ<，即1x >+时，若直线12,l l 能与x 轴围成等腰三角形，则2βα=．由2αβ=得，22tan tan tan 21tan βαββ==-，得212(2)1(2)x x x ---=， 即23830x x -+=，此方程有唯一解(2,1x =，12,l l 能与x 轴围成一个等腰三角形．由2βα=得， 22tan tan tan 21tan αβαα==-，得212211x x x⋅-=-，即322320x x x --+=，设32()232F x xx x =--+，2()343F x x x '=--，当(2,)x ∈+∞时，()0F x '>，∴()F x 在(2,)+∞单调递增，则()F x在(1)+∞单调递增，由于5()02F <，且512+<，所以(10F <，则(1(3)0F F +<，即方程322320x x x --+=在(2,)+∞有唯一解，直线12,l l 能与x 轴围成一个等腰三角形． 因此，当1m =时，有两处符合题意，所以12,l l 能与x 轴围成等腰三角形时，c 值的个数有2个． 22. 解:(1).直线:(cos 2sin )30l ρθθ-+=; 圆:2cos 4sin C ρθθ=+.(2). 3),)44M ππ; 3S =.23. 【解析】（1）由[()]20g f x m +->得|||4|2x -<，2||42x ∴-<-< 2||6x ∴<< 故不等式的解集为()()6,22,6---------------5分（2）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方∴()()f x g x >恒成立，即|4|||m x x <-+恒成立------------8分∵|4||||(4)|4x x x x -+≥--=，∴m 的取值范围为4m <. -------------10分。

襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|60,|31x A x x x B x =+-<=>，则()R A C B =A.(]3,1-B. ()1,2C. (]3,0-D.[)1,22.已知1i +是关于x 的方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p qi +B. 3.设向量()(),2,1,1a m b m ==+，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为 A. 2- B. 1C. 2-或1D.m 的值不存在 4.下列说法错误的是（ ）A. 若2:,10p x R x x ∃∈-+≥，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+<B. “1sin 2θ=”是"30150"θθ==或的充分不必要条件 C. 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠”D.已知2:,cos 1,:,20p x R x q x R x x ∃∈=∀∈-+>，则()""p q ∧⌝为假命题5.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为26.已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为 A. 8 B. 8- C. 8± D.98±7.按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件是A. 5i ≥B. 7i ≥C. 9i ≥D. 11i ≥8.已知某几何体的三视图如图所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是A. 36288π+B. 36216π+C. 33288π+D. 33216π+ 9.已知函数()2ln xf x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为10.已知1203x dx λ=⎰，在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,点P 为矩形ABCD 内一点，则使得AP AC λ⋅≥的概率为A.18 B. 14 C. 34 D.7811.已知函数()()()()()sin ,0cos ,0x x f x x x αβ+≤⎧⎪⎨->⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A. ,48ππαβ==B. 2,36ππαβ== C. ,36ππαβ== D. 52,63ππαβ==12.抛物线()220y px p =>的焦点为F,准线为l ，A,B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB的最大值是A.4B. 3C. 2第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 . 14.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><<⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴的距离为2π，则函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为 . 15.将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n =时，得到以下等式：()0211x x ++=()12211x x x x ++=++()2243212321xx x x x x ++=++++()32654321367631x x x x x x x x ++=++++++观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数（不足3个数的，缺少的数记为0）的和，第k 行共有21k +个数，若()()5211x x ax +++在的展开式中，7x项的系数为75，则实数a 的值为 .16.若11a =，对任意的n N *∈，都有0n a >，且()22112120n n n n na n a a a ++---=.设()M x 表示整数x 的个位数字，则()2017M a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =，求cos cos sin sin A CA C+的值； （2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ∆的周长为l ，求()l f α=的最大值.18.（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A,B,C 三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A,B,C 三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A,B,C三件商品抢购成功的概率分别为()1,,4a b a b >，已知三件商品都被抢购成功的概率为124，至少有一件商品被抢购成功的概率为34.（1）求,a b 的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的A,B,C 三件商品进行优惠减免，A 商品抢购成功减免2百元，B 商品抢购成功减免4比百元，C 商品抢购成功减免6百元.求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，1//,90,.2AD BC ADC PAB BC CD AD ∠=∠===E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90.（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由；（2）若二面角P CD A --的大小为45，求二面角P CE B --的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()3,0F ，其左顶点A 在圆22:12O x y +=上. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线():30l x my m =+≠交椭圆C 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为1N （点1N 与点M 不重合），且直线1N M 与x 轴的交于点P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()()22ln ,.g x a x a R f x x g x x=-∈=+ （1）试判断()g x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,1上有极值，求实数a 的取值范围；（3）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试[]0x 求的值.（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln3 1.099,ln5 1.609,ln 7 1.946====）请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为1cos sin x t t t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值.22.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x x =++（1） 若x R ∀∈，恒有()f x λ≥成立，求实数λ的取值范围；（2） 若m R ∃∈，使得()220m m f t ++=成立，试求实数t 的取值范围.襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）（参考答案）13、20 14、[,]6315、1 16、617、解：（Ⅰ）135sin ,1312cos =∴=B B 由c b a ,,成等比数列，得ac b =2． …………………………………2分 又由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=C A A C C A A C A C C C A A sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos +=+=+∴B B2sin sin = ………………4分 513sin 1==B ………………６分 （Ⅱ）由角C B A ,,成等差数列，得3π=B ． 又2=b ，由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，及αππα-=+-==32)(,B A C A 得)32sin(3sin 2sin αππα-==c a∴)32sin(34,sin 34απα-==c a ………………８分 ∴ABC ∆周长)32sin(342sin 34)(απαα-++=++==c b a f l 2)sin 21cos 23(sin 34+++=ααα 2)cos 23sin 23(34++=αα2)cos 21sin 23(334++=αα2)6sin(4++=πα ………………10分∵320πα<< ∴当26ππα=+即3πα=时624)3(max=+==πf l 所以ABC ∆周长)(αf l =的最大值为6． ………………１２分18、解：（Ⅰ）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(411)(1(124141b a ab ，因为b a >，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3121b a ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X （单位：百元）， 则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12． …………………5分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)2(=⨯⨯==X P ； 81433121)4(=⨯⨯==X P ；245433121413221)6(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)8(=⨯⨯==X P ；241413121)10(=⨯⨯==X P ； 241413121)12(=⨯⨯==X P ． …………………9分 所以X 的分布列为：于是有623241122411012182456814412410)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E …12分 19、解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ，∵点E 为AD 的中点，∴AD ED AE 21==，∵AD CD BC 21==，∴BC ED =，∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ． ∵M CD AB =⋂，∴CD M ∈，∴CM ∥BE ，∵⊂BE 平面PBE ，CM ⊄PBE ∴CM ∥平面PBE ， …………4分 ∵AB M ∈，⊂AB 平面PAB ，∴∈M 平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点)(CD AB M M ⋂=，使得直线CM ∥平面PBE ………………………6分（II ）法一、 如图所示，∵︒=∠=∠90PAB ADC ，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，即AP ⊥CD 又M CD AB =⋂， ∴AP ⊥平面ABCD ．又90ADC ∠=︒即CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD∴CD ⊥PD ．因此PDA ∠是二面角A CD P --的平面角，其大小为45︒．∴AD PA =． ……………………8分 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2=AD ，则121===AD CD BC ． ∴)2,0,0(P ，)0,1,0(E ，)0,2,1(-C ，)0,1,1(-B ∴(1,1,0)EC =-，PE (0,1,2)=-，(0,0,2)AP =， 易知平面BCE 的法向量为1(0,0,2)n AP ==设平面PCE 的法向量为2(,,)n x y z =，则220n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得：⎩⎨⎧=+-=-002y x z y ．令2=y ，则1,2==z x ，∴2(2,2,1)n =． …………………………10分 设二面角B CE P --的平面角为， 则12cos |cos ,|n n θ=<>=1212||||||n n n n ⋅=⋅13=． ∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 法二、同法一可得AP ⊥平面ABCD ， AD PA = 过A 点作AH CE ⊥交CE 的延长线于H ，连接PH ∵AP ⊥平面ABCD CE ⊂平面ABCD∴AP CE ⊥ 又AH CE ⊥，∴CE ⊥平面PAH∴CE PH ⊥∴PHA ∠即为二面角B CE P --的平面角．……………10分在Rt PAH ∆中1cos 452oAH=⨯=2PA = ∴2PH== ∴1cos 3PHA ∠==∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 20、解：（Ⅰ ）∵椭圆C 的左顶点A 在圆2212x y +=上，∴32=a又∵椭圆的一个焦点为)0,3(F ，∴3=c ∴3222=-=c a b∴椭圆C 的方程为131222=+y x ………………４分（Ⅱ ）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………５分 由题设知),(221y x N - ∴直线NM 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=- 令0=y 得211221211*********)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--=43464622=++-+-=m m m m∴点)0,4(P ………………７分 21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN -+⨯⨯=-⋅=∆222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………９分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m （当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立） ∴PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. ………………１２分21、解：（Ⅰ）)0(ln 2)(>-=x x a x x g ，2222)(xax x a x x g +-=--=' ①当0≥a 时，0)(<'x g ，∴函数)(x g 在区间),0(+∞上单调递减； ②当0<a 时，由0)(='x g ，解得ax 2-= 当)2,0(ax -∈时，0)(<'x g ，此时函数g （x ）单调递减；当),2(+∞-∈ax 时，0)(>'x g ，此时函数)(x g 单调递增． ………………３分 （Ⅱ）)()(2x g x x f +=，其定义域为),0(+∞．2322)(2)(x ax x x g x x f --='+='， ………………４分令),0(,22)(3+∞∈--=x ax x x h ，a x x h -='26)(， 当0<a 时，0)(>'x h 恒成立，∴)(x h 在),0(+∞上为增函数， 又0)1(,02)0(>-=<-=a h h ，∴函数)(x h 在)1,0(内至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)(x f '的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值． ………………５分当0≥a 时，0)1(2)(3<--=ax x x h ，即)1,0(∈x 时，0)(<'x f 恒成立，∴函数)(x f 在)1,0(单调递减，此时函数)(x f 无极值 …………………6分 综上可得：)(x f 在区间)1,0(内有极值时实数的取值范围是)0,(-∞ ……７分 （Ⅲ）∵0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞由（Ⅱ）可知：3)1(=f 知)1,0(∈x 时，0)(>x f ，∴10>x ． 又)(x f 在区间),1(+∞上只有一个极小值点记为1x ，且),1(1x x ∈时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减，),(1+∞∈x x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增，由题意可知：1x 即为0x ． …………………………９分∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x f x f ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+0220ln 20300020ax x x a x x 消去可得：131ln 2300-+=x x ， 即0)131(ln 2300=-+-x x 令)1(131ln 2)(3>---=x x x x t ，则)(x t 在区间),1(+∞上单调递增 又∵035173110727316973.0212312ln 2)2(3<-=--⨯<--⨯=---=t026232631122631099.1213313ln 2)3(3>=--⨯>--⨯=---=t由零点存在性定理知 0)3(,0)2(><t t∴320<<x ∴2][0=x ． ………………１２分22、解：（Ⅰ）曲线2C ：)4cos(22πθρ+=，可以化为)4cos(222πθρρ+=，θρθρρsin 2cos 22-=，因此，曲线C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ………………４分 它表示以)1,1(-为圆心、2为半径的圆． ………………５分 （Ⅱ）法一：当4πα=时，直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(为参数) 点P )0,1(在直线上，且在圆C 内，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221代入02222=+-+y x y x中得210t +-= ………………6分 设两个实数根为21,t t ，则B A ,两点所对应的参数为21,t t ，则12t t +=121-=t t ………………8分 64)(||||||2122121=-+=-=+∴t t t t t t PB PA ………………１０分 法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为2)1()1(22=++-y x即圆心C 的坐标为)1,1(-半径为2，点P )0,1(在直线01:=-+y x l 上，且在圆C 内 ||||||AB PB PA =+∴ ………………6分圆心C 到直线的距离2211|1)1(1|22=+--+=d ………………8分 所以弦||AB 的长满足621222||22=-=-=d r AB 6||||=+∴PB PA ………………１０分23、解：（Ⅰ）由1|)1(||1|||)(=+-≥++=x x x x x f 知，1)(min =x f欲使R x ∈∀，恒有λ≥)(x f 成立，则需满足min )(x f ≤λ……………4分 所以实数λ的取值范围为]1,(-∞ ………………５分（Ⅱ）由题意得)0()01()1(12112|1|||)(>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=t t t t t t t t f ……………6分 ,R m ∈∃使得0)(22=++t f m m 成立 即有0)(44≥-=∆t f 1)(≤∴t f ……………8分又1)(≤t f 可等价转化为⎩⎨⎧≤---<1121t t 或⎩⎨⎧≤≤≤-1101t 或⎩⎨⎧≤+>1120t t 所以实数的取值范围为]0,1[- ……………１０分。

襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.已知集合{}{}2|60,|31x A x x x B x =+-<=>，则()R A C B = A.(]3,1- B. ()1,2 C. (]3,0- D.[)1,22.已知1i +是关于x 的方程()220,x px q p q R ++=∈的一个根，则p qi +B. C.3.设向量()(),2,1,1a m b m ==+，且a 与b 的方向相反，则实数m 的值为A. 2-B. 1C. 2-或1D.m 的值不存在 4.下列说法错误的是（ ）A. 若2:,10p x R x x ∃∈-+≥，则2:,10p x R x x ⌝∀∈-+< B. “1sin 2θ=”是"30150"θθ== 或的充分不必要条件 C. 命题“若0a =，则0ab =”的否命题是“若0a ≠，则0ab ≠” D.已知2:,cos 1,:,20p x R x q x R x x ∃∈=∀∈-+>，则()""p q ∧⌝为假命题5.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则双曲线的离心率为26.已知121,,,9a a --成等差数列，1239,,,,1b b b --成等比数列，则()221b a a -的值为A. 8B. 8-C. 8±D.98±7.按如下程序框图，若输出结果为170，则判断框内应补充的条件是A. 5i ≥B. 7i ≥C. 9i ≥D. 11i ≥8.已知某几何体的三视图如图所示（正视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，这个几何体的表面积是A. 36288π+B. 36216π+C. 33288π+D. 33216π+ 9.已知函数()2ln xf x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为10.已知1203x dx λ=⎰，在矩形ABCD 中，2,1AB AD ==,点P 为矩形ABCD 内一点，则使得AP AC λ⋅≥的概率为A.18 B. 14 C. 34 D.7811.已知函数()()()()()sin ,0cos ,0x x f x x x αβ+≤⎧⎪=⎨->⎪⎩是偶函数，则下列结论可能成立的是A. ,48ππαβ==B. 2,36ππαβ==C. ,36ππαβ==D. 52,63ππαβ==12.抛物线()220y px p =>的焦点为F,准线为l ，A,B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是第Ⅰ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示.若某高校A 专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 .14.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图象经过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，且相邻两条对称轴的距离为2π，则函数()f x 在[]0,π上的单调递减区间为 .15.将三项式()21nx x ++展开，当0,1,2,3,n = 时，得到以下等式：()0211x x ++=()12211x x x x ++=++()2243212321x x x x x x ++=++++()32654321367631xx x x x x x x ++=++++++观察多项式系数之间的关系，可以仿照杨辉三角构造如图所示的广义杨辉三角形，其构造方法为：第0行为1，以下各行每个数是它正头顶上与左右两肩上3个数（不足3个数的，缺少的数记为0）的和，第k 行共有21k +个数，若()()5211x x ax +++在的展开式中，7x项的系数为75，则实数a 的值为 .16.若11a =，对任意的n N *∈，都有0n a >，且()22112120n n n n na n a a a ++---=.设()M x 表示整数x 的个位数字，则()2017M a = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的的对边分别为,,a b c （1）若,,a b c 成等比数列，12cos 13B =，求cos cos sin sin A C A C+的值； （2）若,,A B C 成等差数列，且2b =，设A α=，ABC ∆的周长为l ，求()l f α=的最大值.18.（本题满分12分）近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展新机遇，2016年双11期间，某网络购物平台推销了A,B,C 三种商品，某网购者决定抢购这三种商品，假设该名网购者都参与了A,B,C 三种商品的抢购，抢购成功与否相互独立，且不重复抢购同一种商品，对A,B,C三件商品抢购成功的概率分别为()1,,4a b a b >，已知三件商品都被抢购成功的概率为124，至少有一件商品被抢购成功的概率为34.（1）求,a b 的值；（2）若购物平台准备对抢购成功的A,B,C 三件商品进行优惠减免，A 商品抢购成功减免2百元，B 商品抢购成功减免4比百元，C 商品抢购成功减免6百元.求该名网购者获得减免总金额（单位：百元）的分别列和数学期望.19.（本题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，1//,90,.2AD BC ADC PAB BC CD AD ∠=∠===E 为棱AD 的中点，异面直线PA 与CD 所成的角为90 .（1）在平面PAB 内找一点M ，使得直线//CM 平面PBE ，并说明理由； （2）若二面角P CD A --的大小为45 ，求二面角P CE B --的余弦值.20.（本题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()3,0F ，其左顶点A 在圆22:12O x y +=上. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线():30l x my m =+≠交椭圆C 于,M N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为1N（点1N 与点M 不重合），且直线1N M 与x 轴的交于点P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数()()()()22ln ,.g x a x a R f x x g x x=-∈=+ （1）试判断()g x 的单调性；（2）若()f x 在区间()0,1上有极值，求实数a 的取值范围；（3）当0a >时，若()f x 有唯一的零点0x ，试求[]0x 的值.（注：[]x 为取整函数，表示不超过x 的最大整数，如[][][]0.30,2.62, 1.42==-=-；以下数据供参考：ln 20.6931,ln 3 1.099,ln 5 1.609,ln 7 1.946====）请考试在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题记分. 22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，直线的参数方程为1cos sin x t t t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出其表示何种曲线；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，若点P 的直角坐标为()1,0，试求当4πα=时，PA PB +的值.22.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数() 1.f x x x =++（1） 若x R ∀∈，恒有()f x λ≥成立，求实数λ的取值范围；（2） 若m R ∃∈，使得()220m m f t ++=成立，试求实数t 的取值范围.襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）（参考答案）13、20 14、[,]6315、1 16、6 17、解：（Ⅰ）135sin ,1312cos =∴=B B 由c b a ,,成等比数列，得ac b =2． …………………………………2分 又由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=C A A C C A A C A C C C A A sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos +=+=+∴B B2sin sin =………………4分 513sin 1==B ………………６分 （Ⅱ）由角C B A ,,成等差数列，得3π=B ．又2=b ，由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，及αππα-=+-==32)(,B A C A 得)32sin(3sin 2sin αππα-==c a∴)32sin(34,sin 34απα-==c a ………………８分 ∴ABC ∆周长)32sin(342sin 34)(απαα-++=++==c b a f l 2)sin 21cos 23(sin 34+++=ααα 2)cos 23sin 23(34++=αα 2)cos 21sin 23(334++=αα2)6sin(4++=πα ………………10分∵320πα<< ∴当26ππα=+即3πα=时624)3(max =+==πf l所以ABC ∆周长)(αf l =的最大值为6． ………………１２分18、解：（Ⅰ）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(411)(1(124141b a ab ，因为b a >，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3121b a ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X （单位：百元）， 则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12． …………………5分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)2(=⨯⨯==X P ； 81433121)4(=⨯⨯==X P ；245433121413221)6(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)8(=⨯⨯==X P ；241413121)10(=⨯⨯==X P ； 241413121)12(=⨯⨯==X P ． …………………9分 所以X 的分布列为：于是有623241122411012182456814412410)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E …12分 19、解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ， ∵点E 为AD 的中点，∴AD ED AE 21==， ∵AD CD BC 21==，∴BC ED =， ∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ． ∵M CD AB =⋂，∴CD M ∈，∴CM ∥BE ，∵⊂BE 平面PBE ，CM ⊄PBE ∴CM ∥平面PBE ， …………4分 ∵AB M ∈，⊂AB 平面PAB ，∴∈M 平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点)(CD AB M M ⋂=，使得直线CM ∥平面PBE ………………………6分（II ）法一、如图所示，∵︒=∠=∠90PAB ADC ，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，即AP ⊥CD 又M CD AB =⋂，∴AP ⊥平面ABCD ． 又90ADC ∠=︒即CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PD ．因此PDA ∠是二面角A CD P --的平面角，其大小为45︒．∴AD PA =． ……………………8分 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2=AD ，则121===AD CD BC ． ∴)2,0,0(P ，)0,1,0(E ，)0,2,1(-C ，)0,1,1(-B∴(1,1,0)EC =- ，PE (0,1,2)=-，(0,0,2)AP =，易知平面BCE 的法向量为1(0,0,2)n AP ==设平面PCE 的法向量为2(,,)n x y z = ，则220n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，可得：⎩⎨⎧=+-=-002y x z y ． 令2=y ，则1,2==z x ，∴2(2,2,1)n =． …………………………10分设二面角B CE P --的平面角为，则12cos |cos ,|n n θ=<> =1212||||||n n n n ⋅=⋅13=． ∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 法二、同法一可得AP ⊥平面ABCD ， AD PA = 过A 点作AH CE ⊥交CE 的延长线于H ，连接PH ∵AP ⊥平面ABCD CE ⊂平面ABCD∴AP CE ⊥ 又AH CE ⊥，∴CE ⊥平面PAH∴CE PH ⊥∴PHA ∠即为二面角B CE P --的平面角．……………10分 在Rt PAH ∆中1cos 45o AH =⨯=2PA =∴PH ==∴1cos 3PHA ∠==∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 20、解：（Ⅰ ）∵椭圆C 的左顶点A 在圆2212x y +=上，∴32=a又∵椭圆的一个焦点为)0,3(F ，∴3=c ∴3222=-=c a b∴椭圆C 的方程为131222=+y x ………………４分（Ⅱ ）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………５分 由题设知),(221y x N - ∴直线NM 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=- 令0=y 得211221211*********)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--=43464622=++-+-=m m m m∴点)0,4(P ………………７分 21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN -+⨯⨯=-⋅=∆222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………９分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m（当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立） ∴PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. ………………１２分21、解：（Ⅰ）)0(ln 2)(>-=x x a x x g ，2222)(x ax x a x x g +-=--=' ①当0≥a 时，0)(<'x g ，∴函数)(x g 在区间),0(+∞上单调递减；②当0<a 时，由0)(='x g ，解得ax 2-= 当)2,0(ax -∈时，0)(<'x g ，此时函数g （x ）单调递减；当),2(+∞-∈a x 时，0)(>'x g ，此时函数)(x g 单调递增． ………………３分（Ⅱ）)()(2x g x x f +=，其定义域为),0(+∞． 2322)(2)(xax x x g x x f --='+='， ………………４分 令),0(,22)(3+∞∈--=x ax x x h ，a x x h -='26)(，当0<a 时，0)(>'x h 恒成立，∴)(x h 在),0(+∞上为增函数，又0)1(,02)0(>-=<-=a h h ，∴函数)(x h 在)1,0(内至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)(x f '的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值． ………………５分当0≥a 时，0)1(2)(3<--=ax x x h ，即)1,0(∈x 时，0)(<'x f 恒成立， ∴函数)(x f 在)1,0(单调递减，此时函数)(x f 无极值 …………………6分 综上可得：)(x f 在区间)1,0(内有极值时实数的取值范围是)0,(-∞ ……７分（Ⅲ）∵0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞由（Ⅱ）可知：3)1(=f 知)1,0(∈x 时，0)(>x f ，∴10>x ．又)(x f 在区间),1(+∞上只有一个极小值点记为1x ，且),1(1x x ∈时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减，),(1+∞∈x x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增，由题意可知：1x 即为0x ． …………………………９分∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x f x f ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+0220ln 20300020ax x x a x x 消去可得：131ln 2300-+=x x ， 即0)131(ln 2300=-+-x x 令)1(131ln 2)(3>---=x x x x t ，则)(x t 在区间),1(+∞上单调递增 又∵035173110727316973.0212312ln 2)2(3<-=--⨯<--⨯=---=t 026232631122631099.1213313ln 2)3(3>=--⨯>--⨯=---=t 由零点存在性定理知 0)3(,0)2(><t t∴320<<x ∴2][0=x ． ………………１２分22、解：（Ⅰ）曲线2C ：)4cos(22πθρ+=，可以化为)4cos(222πθρρ+=，θρθρρsin 2cos 22-=，因此，曲线C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ………………４分它表示以)1,1(-为圆心、2为半径的圆． ………………５分 （Ⅱ）法一：当4πα=时，直线的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(为参数) 点P )0,1(在直线上，且在圆C 内，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221 代入02222=+-+y x y x中得210t -= ………………6分设两个实数根为21,t t ，则B A ,两点所对应的参数为21,t t ，则12t t +=，121-=t t ………………8分 64)(||||||2122121=-+=-=+∴t t t t t t PB PA ………………１０分法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为2)1()1(22=++-y x即圆心C 的坐标为)1,1(-半径为2，点P )0,1(在直线01:=-+y x l 上，且在圆C 内 ||||||AB PB PA =+∴ ………………6分圆心C 到直线的距离2211|1)1(1|22=+--+=d ………………8分 所以弦||AB 的长满足621222||22=-=-=d r AB 6||||=+∴PB PA ………………１０分23、解：（Ⅰ）由1|)1(||1|||)(=+-≥++=x x x x x f 知，1)(min =x f欲使R x ∈∀，恒有λ≥)(x f 成立，则需满足min )(x f ≤λ……………4分所以实数λ的取值范围为]1,(-∞ ………………５分（Ⅱ）由题意得)0()01()1(12112|1|||)(>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=t t t t t t t t f ……………6分,R m ∈∃使得0)(22=++t f m m 成立即有0)(44≥-=∆t f 1)(≤∴t f ……………8分又1)(≤t f 可等价转化为⎩⎨⎧≤---<1121t t 或⎩⎨⎧≤≤≤-1101t 或⎩⎨⎧≤+>1120t t所以实数的取值范围为]0,1[- ……………１０分。

物理参考答案二、选择题：本题共8小题，共48分。

其中14～17小题只有一个正确选项，选正确的得6分，选错的得0分；18～21小题有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

14.C 15.B 16.C 17.C 18.CD 19. AD 20.CD 21.ＣD22.（1）0.960（2分） ；（2）ht （2分） ；（3）2k （2分）23.（1）电流表G 分压较小，导致电流表A 指针偏转很小，误差较大；（1分） (2)D （2分）(3)实物图连线如图所示（2分，有错误不得分） (4)0.20 （2分） 2.5 （2分）24.解：（1）小球从静止到第一次到达最低点的过程，根据动能定理有20122mg R mv ⋅=（2分）小球刚到最低点时，根据圆周运动和牛顿第二定律的知识有2v N mg mR -= （2分）根据牛顿第三定律可知小球对金属块的压力为N N '= （1分）联立解得5N mg '= （1分）（2）小球第一次到达最低点至小球到达最高点过程，小球和金属块水平方向动量守恒，则0()mv m M v =+ （2分）根据能量转化和守恒定律有220711()422mg R mv m M v ⋅=-+ （2分）联立解得7M m = （2分）25.解：（1）电子在加速电场中，根据动能定理有021201-=mv eU（2分）电子在偏转电场中，水平方向：0L v t = （1分）解得t T =（2分）⑵t = 0、T 、2T …时刻进入偏转电场的电子，竖直方向先加速运动，后作匀速直线运动，射出电场时沿竖直方向偏移的距离y最大。

竖直方向加速有2211()22eU T y md =（1分）竖直方向匀速运动有122y y = （2分）电子能出偏转极板有122dy y +≤（1分）联立得 d L ≥ （2分）（3）对满足（2）问条件下任意确定的d ，不同时刻射出偏转电场的电子沿垂直于极板方向的速度均为v ｙ =22eU Tmd （2分）电子速度偏转角的正切值均为2220tan 22eU T eU T mdv mdL α== 即2tan 3α=（2分） 电子射出偏转电场时的偏转角度相同，即电场出偏转电场时速度的大小和方向均相同 不同时刻射出偏转电场的电子沿垂直于极板方向的侧移距离可能不同，侧移距离的最大值与最小值之差22()2eU T y md ∆=即3ly ∆=（2分） 若荧光屏与电子出偏转极板后的速度垂直，则电子击中荧光屏的范围最小，该最小范围为cos y y α'∆=∆ （1分）联立解得y '∆=（2分）33.(1)CDE （5分）（选对1个给3分，选对2个给4分，选对3个给5分。

襄阳市优质高中2017 届高三联考理科综合试题可能用到的相对原子质量：Na:23 0:16 Cl: 35.5 Si: 26 C:12第I卷（选择题，共126 分）一、单项选择题：本题共13小题,每小题6分。

在毎小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 下列高生物实验中没有用到酒精的是A.检测生物组织中的脂肪B.观察根尖分生组织细胞的有丝分裂C.观察DNA和RNA在细胞中的分布D.低温诱导植物染色体数目的变化2. 下列关于光合作用的叙述正确的是A.光合作用的场所一定在叶绿体B. CO2中碳的转移途径是CO2—> Ca 一> C3—>（CH2O)C.绿叶中色素的提取原理是色素在层祈液中的溶解度不同D.蔬菜大棚应使用用白色塑料薄膜，若需要补光则可以悬挂发红色或蓝色光的灯管3.下列关于生命活动调节的叙述正确的是A. 激素一经靶细胞接受并起作用后就被灭活了，因此体内需源源不断地产生激素，以维持激素含量的动态平衡B. 激素只运输相应的靶器官、靶细胞C.能特异性识别抗原的T细胞、B细胞、记忆细胞、效应T细胞、浆细胞D.因为神经递质位于突触小泡而突触小泡又位于突触小体内，所以神经递质不属于内环境成分4.2016年的诺贝尔生理学或医学奖，颁发给了日本科学家大禹良典，以奖励他在阐明细胞自噬的分子机制和生理功能上的开拓性研究。

下图表示细胞通过“自噬作用”及时清除受损线粒体及其释放的信号蛋白的过程，下列相关叙述中错误的是A.自噬体与溶酶体融合能体现生物膜具有一定的流动性的特点B.细胞自噬作用有利于人体内环境稳态的维持C. 自噬体内的物质被水解后，其产物的去向是排出细胞外或被细胞利用D.当细胞养分不足时，细胞“自噬作用”会增强5.下图为桑基鱼塘生态系统局部的能量流动，图中字母代表相应能量。

关于该图的叙述不正确的是A.流经该生态系统的总能量为AB.从桑树到蚕的能量传递效率可表示为D/CC.C和B1+C1+D1可分别表示桑树和蚕用于生长、发育和繁殖的能量D.蚕沙中所含的能量属于第一营养级所同化的能量6.某自花传粉植物的两对相对性状分别由两对独立遗传的等位基因A-a和B-b控制，且已知该植物含有a的花粉有50%的死亡率，则基因型为AaBb植株自交所得后代的形状分离比是A.9:3:3:1B. 24:8:3:1C. 15:5:3:1D. 3:17.化学与环境、材料、信息、能源、医药等关系密切，下列说法正确的是A.合成纤维、光导纤维都属于有机高分子材料B.氟利昂作制冷剂会加剧雾霾天气的形成C.天津港爆炸案对剧毒的氰化钠（NaCN）喷洒双氧水消毒，是利用了双氧水的氧化性D.利用加热的方法杀死人体内感染的埃博拉病毒8.用下列实验装置进行相应实验，下列说法正确的是A. 用图a所示装置分离沸点相差较大的互溶液体混合物B．用图b所示装置除去NaCO3固体中混有的NaHCO3C．用图c所示装置除去Cl2中含有的HClD．用图d所示装置进行电解法制离Cl2和H29.某溶液中加入Al粉有H2放出，在该溶液中可能大量共存的离子组是A.Na+、SO42-、Cl-、NO3-B.K+、Fe3+、Cl-、SCN-C.H+、Mg2+、SO42-、NO3-D.Al3+、K+、HS-、Na+N表示阿伏加德罗常数，则下列说法正确的是10.AN个CCL4A.标准状况下，2.24LCCL4含有0.1ANB.7.8gNa2O2中所含阴离子的数目是0.1AN个Na的Na2O溶解于1L水中，Na的物质的量浓度为1mol/LC.含AND.常温下，1LpH=1的CH4COOH溶液加水稀释后H+数目为0.1A11.X、Y、Z、W是原子序数依次增大的短周期主族元素， X原子的最外层电子数是其内层电子数的2倍。

2017年湖北省襄阳市枣阳七中高考数学一模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知复数z=（其中i为虚数单位），则z•=（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：由z==，得，则z•=．故选：D．直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z的共轭复数，然后代入z•计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的求法，是基础题．2.设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A.∀x∈Q，有x∈PB.∀x∉Q，有x∉PC.∃x0∉Q，使得x0∈PD.∃x0∈P，使得x0∉P【答案】B【解析】解：∵P∩Q=P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．根据交集运算结果判定集合关系，再结合V enn图判断元素与集合的关系即可．本题考查命题真假的判断，考查子集的关系．3.已知=（cosπ，sinπ），=-，=+，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A.1B.C.2D.【答案】A【解析】解：∵，∴=（-）•（+）=0，展开化简得：2-2=0，得||=||又∵，∴，即（-）2=（+）2，结合||=||得⊥∵=（cosπ，sinπ），得||==1，∴||=||=1，可得、是互相垂直的单位向量因此，，得△OAB的面积S==1．故选：A根据向量的数量积及其运算性质，结合题中数据算出||=||=1且⊥，得到、是互相垂直的单位向量．由此算出、的模，利用三角形的面积公式加以计算，可得答案．本题给出单位向量互相垂直，求与之相关的△OAB的面积．着重考查了平面向量的数量积公式、向量量积的运算性质和模的公式和三角形的面积求法等知识，属于中档题．4.一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A.5.2B.6.6C.7.1D.8.3【答案】B【解析】解：设这种放射性元素的半衰期是x年，则，化简得0.9x=即x====≈6.6（年）．故选：B．设所需的年数为x，得方程，两边取对数，再用换底公式变形，代入已知数据可得x的近似值，四舍五入即可得出正确答案．本题考查了对数函数的运算性质，考查指数函数模型的确定，属于基础题．5.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若=3，则=（）A.2B.C.D.l或2【答案】B【解析】解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，=3，∴=1+q2=3，∴q2=2，∴====．故选：B．利用等比数列的前n项和公式求解．本题考查等比数列的前6项和与前4项和的比值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的前n项和公式的合理运用．6.已知函数f（x）=sin（2x-）-m在[0，]上有两个零点，则m的取值范围为（）A.（，1）B.[，1）C.[-，1]D.（-，1）【答案】B【解析】解：因x∈[0，]，故，由于函数函数f（x）=sin（2x-）在[-，]上单调递增；在[，]上单调递减，且f（）=f（）=，故当＜时，函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个交点，故选：B．通过x的范围求出相位的范围，求出函数f（x）=sin（2x-）的值域，然后求解m的范围．本题考查函数的零点个数的应用，三角函数的最值，考查转化思想以及计算能力．7.几何体的俯视图为一边长为2的正三角形，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A.3B.C.2D.【答案】A【解析】解：由三视图知几何体是：一个直三棱柱沿截面ABC切去上面几何体所剩下的四棱锥C-ABDE，直观图如图所示：B是棱的中点，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高是2，由勾股定理得，AB=BC==，AC==2，∴△ABC的面积S==，∵梯形ABDE的面积S′==3＞，∴该几何体的各个面中面积最大的面是平面ABDE，最大的面的面积是3，故选：A．由三视图知该几何体是一个直三棱柱沿截面切去上面几何体所剩下的四棱锥，由三视图求出几何元素的长度，由条件和面积公式求出棱长，求出其中较大面的面积，比较出该几何体的各个面中面积最大的面，即可得到答案．本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．8.已知变量x，y满足，若目标函数z=2x+y取到最大值a，则（x+-2）a的展开式中x2的系数为（）A.-144B.-120C.-80D.-60【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为a=5，（x+-2）a=（x+-2）5，∵x2=x•x•1×1×1=x•x•x•×1，∴（x+-2）5的展开式中x2的系数为•（-2）3+••（-2）=-80-40=-120，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用线性规划的知识先求出a=5，然后利用二项式定理的内容进行求解即可．本题主要考查线性规划和二项式定理的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．综合性较强，有一定的难度．9.椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】解：如图所示，B是右顶点线段FB的垂直平分线为：x=．线段AB的中点（，）．∵k AB=-b．∴线段AB的垂直平分线的斜率k=．∴线段AB的垂直平分线方程为：y-=（x-），把x==p代入上述方程可得：y==n．∵m+n＞0，∴+＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e==c=∈（0，）．B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，结论同样成立，故选：A．分别求出线段FB与AB的垂直平分线方程，联立解出圆心坐标P，利用m+n＞0，与离心率计算公式即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线方程、三角形外心性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10.在直角坐标系x O y中，设P是曲线C：xy=1（x＞0）上任意一点，l是曲线C在点P 处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是（）A.△OAB的面积为定值2B.△OAB的面积有最小值为3C.△OAB的面积有最大值为4D.△OAB的面积的取值范围是[3，4]【答案】A【解析】解：由题意，y=（x＞0），则y′=-设P（a，），则曲线C在点P处的切线方程为y-=-（x-a），x=0可得y=；y=0可得x=2a，∴△OAB的面积为=2，即定值2，故选：A．设P（a，），求出曲线C在点P处的切线方程，再计算面积，即可得出结论．本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生的计算能力，确定切线方程是关键．11.设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，若在区间（-2，6）内关于x的方程f（x）-log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A.（，0）B.（，2]C.[，2）D.[，2]【答案】B【解析】解：由f（x）=f（x+4），得函数f（x）的周期为4，∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（）x-1，∴若x∈[0，2]，则-x∈[-2，0]，则f（-x）=（）-x-1=2x-1，∵f（x）是偶函数，∴f（-x）=（）-x-1=2x-1=f（x），即f（x）=2x-1，x∈[0，2]，由f（x）-log a（x+2）=0得f（x）=log a（x+2），作出函数f（x）的图象如图：当a＞1时，在区间（-2，6）要使方程f（x）-log a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f（x）与g（x）=log a（x+2）有3个不同的交点，则满足＜，即＜，即＞，解得＜a≤2，故a的取值范围是（，2]，故选：B．由f（x）=f（x+4），推出函数的周期是4，根据函数f（x）是偶函数，得到函数f（x）在一个周期内的图象，利用方程和函数之间的关系，转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合确定满足的条件即可得到结论．本题主要考查函数零点的个数判断，利用函数和方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用分段函数的表达式，作出函数f（x）的图象是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．12.已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=′•e2x-2+x2-2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A.f（2）g（2015）＜g（2017）B.f（2）g（2015）＞g（2017）C.g（2015）＜f（2）g（2017）D.g（2015）＞f（2）g（2017）【答案】D【解析】解：f（x）=′•e2x-2+x2-2f（0）x，∴f′（x）=f′（1）e2x-2+2x-2f（0），∴f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1，∴f（x）=e2x+x2-2x，设F（x）=e2x g（x），F′（x）=g′（x）e2x+2g（x）e2x=e2x[g′（x）+2g（x）]，∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，F′（x）＜0恒成立，∴F（2015）＞F（2017），f（2）=e4，e2×2015g（2015）＞e2×2017g（2017），∴g（2015）＞e4g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），故答案选：D．先对f（x）求导，再令x=0，求出f（x）的解析式，对于g（x）+g′（x）＜0，构造函数F（x）=e x g（x），利用导数和函数的单调性的关系得到F（x）单调递减，得到F （2015）＞F（2017），即e2×2015g（2015）＞e2×2017g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），即可得到答案．本题考查了导数的运算法则和导数和函数的单调性的关系，根据已知条件构造出辅助函数，属于中档题．二、填空题(本大题共1小题，共5.0分)13.函数f（x）=cos2x在点（，）处的切线方程为______ ．【答案】x+y--=0【解析】解：函数f（x）=cos2x的导数为f′（x）=-2sinxcosx，可得在点（，）处的切线斜率为-2sin cos=-1，即有在点（，）处的切线方程为y-=-（x-），即为x+y--=0．故答案为：x+y--=0．求得f（x）的导数，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程．本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．三、解答题(本大题共1小题，共5.0分)14.有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．【答案】解：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项．共有=16个，也是等差数列，它们的和为=1472这个新数列的各项之和为1472．【解析】根据题意求出两个数列，相同的项组成的数列，求出项数，然后求出它们的和即可．本题考查等差数列的前n项之和，是一个基础题，解题的关键是根据根据数列找出新数列，求出数列的和．四、填空题(本大题共2小题，共10.0分)15.如果一个正方形的四个项点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为2的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为______ ．【答案】1【解析】解：如图，作AN⊥BC于N交GF与M，∵四边形GDEF是正方形∴GF=GD=MN，GF∥BC∴△AGF∽△ABC∴=．设正方形的边长为x．∴=解得x=．由于三角形的面积为2，∴ah=4，∴x==≤=1，当且仅当a=h时取等号，∴△ABC的内接正方形面积的最大值为12=1．故答案为：1．先求正方形的边长，而图中有三角形相似，利用相似三角形的对应高之比等于相似比而求出正方形的边长，最后利用基本不等式求出正方形面积的最大值．本题考查了相似三角形的判定与性质以及基本不等式，重点是相似三角形的对应高之比等于相似比的运用，属于中档题．16.平面直角坐标系中，若函数y=f（x）的图象将一个区域D分成面积相等的两部分，则称f（x）等分D，若D={（x，y）||x|+|y|≤1}，则下列函数等分区域D的有______ （将满足要求的函数的序号写在横线上）．①y=sinx•cosx，②y=x3+x，③y=e x-1，④y=|x|-，⑤y=-．【答案】①②【解析】解：作出区域D对应的图象，则区域D关于原点对称，若函数等分区域D，则函数应该是原因原点对称的奇函数，①y=sinx•cosx=sin2x是奇函数，满足等分区域D，②y=x3+x，是奇函数，满足等分区域D，③y=e x-1为非奇非偶函数，不能平分，④y=|x|-是偶函数，不能平分，⑤y=-是偶函数，不能平分．故答案为：①②．作出区域D对应的图象，则区域D关于原点对称，若函数等分区域，则等价满足函数为奇函数即可．本题主要考查与函数图象有关的命题的真假判断，根据新定义转化为判断函数的奇偶性是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．五、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（2n-1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】解：（1）当n=1时，a2=2S1+3=2a1+3=9，当n≥2时，a n+1=2S n+3，可得a n=2S n-1+3．两式相减可得，a n+1-a n=2（S n-S n-1），即为a n+1-a n=2a n，即a n+1=3a n，则a n=a2•3n-2=9•3n-2=3n，故a n=3n对n=1也成立，则a n=3n对n为一切正整数成立；（2）b n=（2n-1）a n=（2n-1）•3n，数列{b n}的前n项和T n=1•3+3•32+5•33+…+（2n-1）•3n，3T n=1•32+3•33+5•34+…+（2n-1）•3n+1，两式相减可得-2T n=3+2（32+33+…+3n）-（2n-1）•3n+1=3+2•-（2n-1）•3n+1，化简可得T n=3+（n-1）•3n+1．【解析】（1）由n=1求得a2，由条件a n+1=2S n+3，将n换为n-1，两式相减可得a n+1=3a n，运用等比数列的求和公式即可得到所求通项公式；（2）求得b n=（2n-1）a n=（2n-1）•3n，运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式，即可得到所求和．本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n-S n-1，考查数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18.已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n-1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（-1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【答案】解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：=，T n=+…+．…++，两式相减得-==．∴．∴（-1）n•λ＜+=4-．若n为偶数，则＜，∴λ＜3．若n为奇数，则＜，∴-λ＜2，解得λ＞-2．综上可得-2＜λ＜3．【解析】（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．变形为，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由（1）可知：b n，利用“错位相减法”即可得出T n，利用不等式（-1）＜，通过对n分为偶数与奇数讨论即可．熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、分类讨论的思想方法等是解题的关键．19.AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点．（1）试判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；（2）若已知AB=VC=2，0＜BC＜1，求二面角C-VB-A的余弦值的范围．【答案】证明：（1）∵AC⊥BC，VC⊥AC，∴AC⊥面VBC，∵D、E分别为VC、VA中点，∴DE∥AC，∴DE⊥面VBC…（5分）解：（2）以点C为原点，CA、CB、CV分别为x、y、z轴，建立如图所示坐标系，设BC=b，CA=a，则a2+b2=4，0＜b＜1．则点A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，0），V（0，-b，2），由（1）知面VBC的法向量=（1，0，0），设面VCA的法向量为=（x，y，z），则=0，，=（a，-b，0），=（0，-2b，2），∴，令y=1，则=（，1，），…（8分）设二面角C-VB-A大小为θ，则，∵a2+b2=4，∴，又因为0＜b＜1，所以＜∴二面角C-VB-A余弦值的范围为：．…（12分）【解析】（1）推导出AC⊥面VBC，DE∥AC，由此能证明DE⊥面VBC．（2）以点C为原点，CA、CB、CV分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C-VB-A余弦值的范围．本题考查二面角的余弦值的范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20.已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A（1，2）为抛物线C上一点．（1）求C的方程；（2）若点B（1，-2）在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若k BP•k BQ=-2，求证：直线PQ过定点．【答案】（1）解：设抛物线方程为y2=ax，代入点A（1，2），可得a=4，∴抛物线方程为y2=4x；设抛物线方程为x2=my，代入点A（1，2），可得m=，∴抛物线方程为x2=y；∴C的方程是y2=4x或x2=y；（2）证明：由（1）可得C的方程是y2=4x．直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y+2=k（x-1）将直线BP的方程代入y2=4x，消去y，得k2x2-（2k2+4k+4）x+（k+2）2=0．设P（x1，y1），∴x1=∴P（，）以-替换点P坐标中的k，可得Q（（k-1）2，2-2k）从而，直线PQ的斜率为==直线PQ的方程是y-2+2k=[x-（k-1）2]．在上述方程中，令x=3，解得y=2．∴直线PQ恒过定点（3，2）．【解析】（1）设出抛物线方程，代入点A（1，2），即可求出C的方程；（2）直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y+2=k（x-1），y2=4x，消去y，求出P的坐标，从而求出Q坐标，确定直线PQ的方程，利用直线系方程求出定点坐标．本题考查抛物线的标准方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，难度比较大，是压轴题．21.已知函数f（x）=e-x+．（1）若m=0，n=1，求函数f（x）的最小值；（2）若m＞0，n＞0，f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，求的最大值．【答案】解：（1）若m=0，n=1，f（x）=e-x+x，∴f′（x）=-e-x+1，∴x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减；x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=0时，函数取得极小值，也是最小值为1；（2）∵f（x）=e-x+，∴f′（x）=-e-x+，∵f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，f（0）=1，∴f′（x）=-e-x+≥0在[0，+∞）上恒成立，∴≥在[0，+∞）上恒成立，设=t，则≥在[0，+∞）上恒成立，∴tx+1≤在[0，+∞）上恒成立令g（x）=tx+1-，g′（x）=t-，∴函数在[0，2ln2t）上单调递减，[2ln2t，+∞）上单调递增，∴x=2ln2t时，g（x）min=2tln2t+1-2t，∴2tln2t+1-2t≤0，∵2t=1，2tln2t+1-2t=0，2t＜1，2tln2t+1-2t＜0，2t＞1，2tln2t+1-2t＞0，∴2t≤1，∴t≤，∴的最大值为．【解析】（1）求导数，取得函数的单调性，即可求函数f（x）的最小值；（2）确定f′（x）=-e-x+≥0在[0，+∞）上恒成立，设=t，则≥在[0，+∞）上恒成立，tx+1≤在[0，+∞）上恒成立，由此即可求的最大值．本题考查函数的单调性与极值，考查恒成立问题，考查函数的最小值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．22.直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足BM=2AM，求直线l的方程．【答案】解：（1）由曲线C的参数方程为（θ为参数），可得：曲线C的直角坐标方程为：．（2）设直线l的参数方程为：（α为参数）代入曲线C的方程有：（7sin2α+9）t2+32tsinα-128=0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t2=-2t1，则t1+t2=-=-t1，t1t2==-2，∴sin2α=1，∴直线l的方程为：x=0．【解析】（1）由曲线C的参数方程为（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1，可得曲线C的直角坐标方程．（2）设直线l的参数方程为：（α为参数）代入曲线C的方程有：（7sin2α+9）t2+32tsinα-128=0，利用t2=-2t1，及其根与系数的关系即可得出．本题考查了参数方程化为普通方程、一元二次方程的根与系数的关系、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.设函数f（x）=|2x-3|+|x-5|．（1）求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）x≤时，f（x）=-2x+3-x+5=-3x+8≥4，x≤，＜x＜5时，f（x）=2x-3-x+5=x+2≥4，解得：2≤x＜5，x≥5时，f（x）=2x-3+x-5=3x-8≥4，解得：x≥5，综上，不等式的解集是{x|x≥2或x≤}；（2）∵f（x）=，，＜＜，，∴f（x）min=，若f（x）＜a的解集不是空集，只需a＞即可．【解析】（1）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）求出f （x）的最小值，从而求出a的范围即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论，是一道中档题．。

2017年湖北省襄阳市枣阳七中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）已知复数z=（其中i为虚数单位），则z•=（）A．1 B．C．D．2．（5分）设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P3．（5分）已知=（cosπ，sinπ），=﹣，=+，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1 B．C．2 D．4．（5分）一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.35．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若=3，则=（）A．2 B．C．D．l或26．（5分）已知函数f（x）=sin（2x﹣）﹣m在[0，]上有两个零点，则m 的取值范围为（）A．（，1）B．[，1）C．[﹣，1]D．（﹣，1）7．（5分）几何体的俯视图为一边长为2的正三角形，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A．3 B．C．2 D．8．（5分）已知变量x，y满足，若目标函数z=2x+y取到最大值a，则（x+﹣2）a的展开式中x2的系数为（）A．﹣144 B．﹣120 C．﹣80 D．﹣609．（5分）椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（）A．B． C． D．10．（5分）在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy=1（x＞0）上任意一点，l 是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是（）A．△OAB的面积为定值2B．△OAB的面积有最小值为3C．△OAB的面积有最大值为4D．△OAB的面积的取值范围是[3，4]11．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f （x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，0）B．（，2]C．[，2）D．[，2]12．（5分）已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g（2015）＜g（2017）B．f（2）g（2015）＞g（2017）C．g（2015）＜f（2）g（2017）D．g（2015）＞f（2）g（2017）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=cos2x在点（）处的切线方程为．14．（5分）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．15．（5分）如果一个正方形的四个项点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为2的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为．16．（5分）平面直角坐标系中，若函数y=f（x）的图象将一个区域D分成面积相等的两部分，则称f（x）等分D，若D={（x，y）||x|+|y|≤1}，则下列函数等分区域D的有（将满足要求的函数的序号写在横线上）．①y=sinx•cosx，②y=x3+x，③y=e x﹣1，④y=|x|﹣，⑤y=﹣．三．解答题：（本大题共5小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分）17．（12分）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．19．（12分）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点．（1）试判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；（2）若已知AB=VC=2，0＜BC＜1，求二面角C﹣VB﹣A的余弦值的范围．20．（12分）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A（1，2）为抛物线C上一点．（1）求C的方程；（1）若点B（1，﹣2）在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若k BP•k BQ=﹣2，求证：直线PQ过定点．21．（12分）已知函数f（x）=e﹣x+．（1）若m=0，n=1，求函数f（x）的最小值；（2）若m＞0，n＞0，f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，求的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足BM=2AM，求直线l的方程．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|2x﹣3|+|x﹣5|．（1）求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．2017年湖北省襄阳市枣阳七中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求的.1．（5分）（2016•湖北模拟）已知复数z=（其中i为虚数单位），则z•=（）A．1 B．C．D．【解答】解：由z==，得，则z•=．故选：D．2．（5分）（2016•湖北模拟）设非空集合P，Q满足P∩Q=P，则（）A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P【解答】解：∵P∩Q=P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B．3．（5分）（2016•湖北模拟）已知=（cosπ，sinπ），=﹣，=+，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：∵，∴=（﹣）•（+）=0，展开化简得：2﹣2=0，得||=||又∵，∴，即（﹣）2=（+）2，结合||=||得⊥∵=（cosπ，sinπ），得||==1，∴||=||=1，可得、是互相垂直的单位向量因此，，得△OAB的面积S==1．故选：A4．（5分）（2016•湖北模拟）一种放射性元素的质量按每年10%衰减，这种放射性元素的半衰期（剩留量为最初质量的一半所需的时间叫做半衰期）是（）年（精确到0.1，已知lg2=0.3010，lg3=0.4771）．A．5.2 B．6.6 C．7.1 D．8.3【解答】解：设这种放射性元素的半衰期是x年，则，化简得0.9x=即x====≈6.6（年）．故选：B．5．（5分）（2016•湖南模拟）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若=3，则=（）A．2 B．C．D．l或2【解答】解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，=3，∴=1+q2=3，∴q2=2，∴====．故选：B．6．（5分）（2017•枣阳市校级一模）已知函数f（x）=sin（2x﹣）﹣m在[0，]上有两个零点，则m的取值范围为（）A．（，1）B．[，1）C．[﹣，1]D．（﹣，1）【解答】解：因x∈[0，]，故，由于函数函数f（x）=sin（2x﹣）在[﹣，]上单调递增；在[，]上单调递减，且f（）=f（）=，故当时，函数y=f（x）的图象与直线y=m有两个交点，故选：B．7．（5分）（2016•湖北模拟）几何体的俯视图为一边长为2的正三角形，则该几何体的各个面中，面积最大的面的面积为（）A．3 B．C．2 D．【解答】解：由三视图知几何体是：一个直三棱柱沿截面ABC切去上面几何体所剩下的四棱锥C﹣ABDE，直观图如图所示：B是棱的中点，且三棱柱的底面是边长为2的正三角形，高是2，由勾股定理得，AB=BC==，AC==2，∴△ABC的面积S==，∵梯形ABDE的面积S′==3＞，∴该几何体的各个面中面积最大的面是平面ABDE，最大的面的面积是3，故选：A．8．（5分）（2017•枣阳市校级一模）已知变量x，y满足，若目标函数z=2x+y取到最大值a，则（x+﹣2）a的展开式中x2的系数为（）A．﹣144 B．﹣120 C．﹣80 D．﹣60【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即A（2，1），代入目标函数z=2x+y得z=2×2+1=5．即目标函数z=2x+y的最大值为a=5，（x+﹣2）a=（x+﹣2）5，∵x2=x•x•1×1×1=x•x•x•×1，∴（x+﹣2）5的展开式中x2的系数为•（﹣2）3+••（﹣2）=﹣80﹣40=﹣120，故选：B．9．（5分）（2016•湖北模拟）椭圆x2+=1（|b|＜1）的左焦点为F，A为上顶点，B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，若△FAB的外接圆圆心为P（m，n），且m+n＞0，椭圆离心率的范围为（）A．B． C． D．【解答】解：如图所示，B是右顶点线段FB的垂直平分线为：x=．线段AB的中点（，）．∵k AB=﹣b．∴线段AB的垂直平分线的斜率k=．∴线段AB的垂直平分线方程为：y﹣=（x﹣），把x==p代入上述方程可得：y==n．∵m+n＞0，∴+＞0．化为：b＞，又0＜b＜1，解得＜b＜1．∴e==c=∈（0，）．B为长轴上任意一点，且B在原点O的右侧，结论同样成立，故选：A．10．（5分）（2016•湖南模拟）在直角坐标系xOy中，设P是曲线C：xy=1（x＞0）上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A，B两点，则下列结论正确的是（）A．△OAB的面积为定值2B．△OAB的面积有最小值为3C．△OAB的面积有最大值为4D．△OAB的面积的取值范围是[3，4]【解答】解：由题意，y=（x＞0），则y′=﹣设P（a，），则曲线C在点P处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣a），x=0可得y=；y=0可得x=2a，∴△OAB的面积为=2，即定值2，故选：A．11．（5分）（2016•湖南模拟）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x）=f（x+4），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（，0）B．（，2]C．[，2）D．[，2]【解答】解：由f（x）=f（x+4），得函数f（x）的周期为4，∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴若x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，则f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1，∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=（）﹣x﹣1=2x﹣1=f（x），即f（x）=2x﹣1，x∈[0，2]，由f（x）﹣log a（x+2）=0得f（x）=log a（x+2），作出函数f（x）的图象如图：当a＞1时，在区间（﹣2，6）要使方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有3个不同的实数根，则等价为函数f（x）与g（x）=log a（x+2）有3个不同的交点，则满足，即，即，解得＜a≤2，故a的取值范围是（，2]，故选：B．12．（5分）（2016•大连校级模拟）已知定义在R上的函数f（x）和g（x）满足f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，且g′（x）+2g（x）＜0，则下列不等式成立的是（）A．f（2）g（2015）＜g（2017）B．f（2）g（2015）＞g（2017）C．g（2015）＜f（2）g（2017）D．g（2015）＞f（2）g（2017）【解答】解：f（x）=•e2x﹣2+x2﹣2f（0）x，∴f′（x）=f′（1）e2x﹣2+2x﹣2f（0），∴f′（1）=f′（1）+2﹣2f（0），即f（0）=1，∴f（x）=e2x+x2﹣2x，设F（x）=e2x g（x），F′（x）=g′（x）e2x+2g（x）e2x=e2x[g′（x）+2g（x）]，∵e2x＞0，g′（x）+2g（x）＜0，F′（x）＜0恒成立，∴F（2015）＞F（2017），f（2）=e4，e2×2015g（2015）＞e2×2017g（2017），∴g（2015）＞e4g（2017），即g（2015）＞f（2）g（2017），故答案选：D．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2016•湖北模拟）函数f（x）=cos2x在点（）处的切线方程为x+y﹣﹣=0．【解答】解：函数f（x）=cos2x的导数为f′（x）=﹣2sinxcosx，可得在点（）处的切线斜率为﹣2sin cos=﹣1，即有在点（）处的切线方程为y﹣=﹣（x﹣），即为x+y﹣﹣=0．故答案为：x+y﹣﹣=0．14．（5分）（2017•枣阳市校级一模）有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，求这个新数列的各项之和．【解答】解：有两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，2，14，26，38，50，…，182是两个数列的相同项．共有=16个，也是等差数列，它们的和为=1472这个新数列的各项之和为1472．15．（5分）（2016•湖北模拟）如果一个正方形的四个项点都在三角形的三边上，则该正方形是该三角形的内接正方形，那么面积为2的锐角△ABC的内接正方形面积的最大值为1．【解答】解：如图，作AN⊥BC于N交GF与M，∵四边形GDEF是正方形∴GF=GD=MN，GF∥BC∴△AGF∽△ABC∴=．设正方形的边长为x．∴=解得x=．由于三角形的面积为2，∴ah=4，∴x==≤=1，当且仅当a=h时取等号，∴△ABC的内接正方形面积的最大值为12=1．故答案为：1．16．（5分）（2016•湖北模拟）平面直角坐标系中，若函数y=f（x）的图象将一个区域D分成面积相等的两部分，则称f（x）等分D，若D={（x，y）||x|+|y|≤1}，则下列函数等分区域D的有①②（将满足要求的函数的序号写在横线上）．①y=sinx•cosx，②y=x3+x，③y=e x﹣1，④y=|x|﹣，⑤y=﹣．【解答】解：作出区域D对应的图象，则区域D关于原点对称，若函数等分区域D，则函数应该是原因原点对称的奇函数，①y=sinx•cosx=sin2x是奇函数，满足等分区域D，②y=x3+x，是奇函数，满足等分区域D，③y=e x﹣1为非奇非偶函数，不能平分，④y=|x|﹣是偶函数，不能平分，⑤y=﹣是偶函数，不能平分．故答案为：①②．三．解答题：（本大题共5小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分）17．（12分）（2017•枣阳市校级一模）设S n是数列{a n}的前n项和，已知a1=3，a n+1=2S n+3．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=（2n﹣1）a n，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n=1时，a2=2S1+3=2a1+3=9，=2S n+3，当n≥2时，a n+1可得a n=2S n﹣1+3．﹣a n=2（S n﹣S n﹣1），两式相减可得，a n+1即为a n﹣a n=2a n，即a n+1=3a n，+1则a n=a2•3n﹣2=9•3n﹣2=3n，故a n=3n对n=1也成立，则a n=3n对n为一切正整数成立；（2）b n=（2n﹣1）a n=（2n﹣1）•3n，数列{b n}的前n项和T n=1•3+3•32+5•33+…+（2n﹣1）•3n，3T n=1•32+3•33+5•34+…+（2n﹣1）•3n+1，两式相减可得﹣2T n=3+2（32+33+…+3n）﹣（2n﹣1）•3n+1=3+2•﹣（2n﹣1）•3n+1，化简可得T n=3+（n﹣1）•3n+1．18．（12分）（2016•湖南模拟）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：=，T n=+…+．…++，两式相减得﹣==．∴．∴（﹣1）n•λ＜+=4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．19．（12分）（2016•湖北模拟）AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在的平面，D，E分别是VA，VC的中点．（1）试判断直线DE与平面VBC的位置关系，并说明理由；（2）若已知AB=VC=2，0＜BC＜1，求二面角C﹣VB﹣A的余弦值的范围．【解答】证明：（1）∵AC⊥BC，VC⊥AC，∴AC⊥面VBC，∵D、E分别为VC、VA中点，∴DE∥AC，∴DE⊥面VBC…（5分）解：（2）以点C为原点，CA、CB、CV分别为x、y、z轴，建立如图所示坐标系，设BC=b，CA=a，则a2+b2=4，0＜b＜1．则点A（a，0，0），B（0，b，0），C（0，0，0），V（0，﹣b，2），由（1）知面VBC的法向量=（1，0，0），设面VCA的法向量为=（x，y，z），则=0，，=（a，﹣b，0），=（0，﹣2b，2），∴，令y=1，则=（，1，），…（8分）设二面角C﹣VB﹣A大小为θ，则，∵a2+b2=4，∴，又因为0＜b＜1，所以∴二面角C﹣VB﹣A余弦值的范围为：．…（12分）20．（12分）（2016•湖北模拟）已知抛物线C的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A（1，2）为抛物线C上一点．（1）求C的方程；（1）若点B（1，﹣2）在C上，过B作C的两弦BP与BQ，若k BP•k BQ=﹣2，求证：直线PQ过定点．【解答】（1）解：设抛物线方程为y2=ax，代入点A（1，2），可得a=4，∴抛物线方程为y2=4x；设抛物线方程为x2=my，代入点A（1，2），可得m=，∴抛物线方程为x2=y；∴C的方程是y2=4x或x2=y；（2）证明：由（1）可得C的方程是y2=4x．直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y+2=k（x﹣1）将直线BP的方程代入y2=4x，消去y，得k2x2﹣（2k2+4k+4）x+（k+2）2=0．设P（x1，y1），∴x1=∴P（，）以﹣替换点P坐标中的k，可得Q（（k﹣1）2，2﹣2k）从而，直线PQ的斜率为==直线PQ的方程是y﹣2+2k=[x﹣（k﹣1）2]．在上述方程中，令x=3，解得y=2．∴直线PQ恒过定点（3，2）．21．（12分）（2016•湖北模拟）已知函数f（x）=e﹣x+．（1）若m=0，n=1，求函数f（x）的最小值；（2）若m＞0，n＞0，f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，求的最大值．【解答】解：（1）若m=0，n=1，f（x）=e﹣x+x，∴f′（x）=﹣e﹣x+1，∴x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减；x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，∴x=0时，函数取得极小值，也是最小值为1；（2）∵f（x）=e﹣x+，∴f′（x）=﹣e﹣x+，∵f（x）在[0，+∞）上的最小值为1，f（0）=1，∴f′（x）=﹣e﹣x+≥0在[0，+∞）上恒成立，∴≥在[0，+∞）上恒成立，设=t，则≥在[0，+∞）上恒成立，∴tx+1≤在[0，+∞）上恒成立令g（x）=tx+1﹣，g′（x）=t﹣，∴函数在[0，2ln2t）上单调递减，[2ln2t，+∞）上单调递增，∴x=2ln2t时，g（x）min=2tln2t+1﹣2t，∴2tln2t+1﹣2t≤0，∵2t=1，2tln2t+1﹣2t=0，2t＜1，2tln2t+1﹣2t＜0，2t＞1，2tln2t+1﹣2t＞0，∴2t≤1，∴t≤，∴的最大值为．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2016•湖北模拟）直角坐标系中曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）经过点M（0，1）作直线l交曲线C于A，B两点（A在B上方），且满足BM=2AM，求直线l的方程．【解答】解：（1）由曲线C的参数方程为（θ为参数），可得：曲线C的直角坐标方程为：．（2）设直线l的参数方程为：（α为参数）代入曲线C的方程有：（7sin2α+9）t2+32tsinα﹣128=0，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t2=﹣2t1，则t1+t2=﹣=﹣t1，t1t2==﹣2，∴sin2α=1，∴直线l的方程为：x=0．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016•湖北模拟）设函数f（x）=|2x﹣3|+|x﹣5|．（1）求不等式f（x）≥4的解集；（2）若f（x）＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）x≤时，f（x）=﹣2x+3﹣x+5=﹣3x+8≥4，x≤，＜x＜5时，f（x）=2x﹣3﹣x+5=x+2≥4，解得：2≤x＜5，x≥5时，f（x）=2x﹣3+x﹣5=3x﹣8≥4，解得：x≥5，综上，不等式的解集是{x|x≥2或x≤}；（2）∵f（x）=，∴f（x）min=，若f（x）＜a的解集不是空集，只需a＞即可．参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；wdnah；ywg2058；zlzhan；qiss；gongjy；lcb001；刘长柏；maths；铭灏2016；双曲线；涨停；w3239003；沂蒙松；刘老师（排名不分先后）hu2017年3月11日。

湖北省襄阳市第四中学等八校2017届高三数学1月联考试题理（扫描版）襄阳市优质高中2017届高三联考试题数学（理科）（参考答案）13、20 14、[,]63 15、1 16、617、解：（Ⅰ）135sin ,1312cos =∴=B B 由c b a ,,成等比数列，得ac b =2． …………………………………2分又由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=CA A C C A A C A C C C A A sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos +=+=+∴ BB 2sin sin = ………………4分 513sin 1==B ………………６分 （Ⅱ）由角C B A ,,成等差数列，得3π=B ．又2=b ，由正弦定理C c B b A a s i n s i n s i n ==，及αππα-=+-==32)(,B A C A 得)32sin(3sin2sin αππα-==c a ∴)32sin(34,sin 34απα-==c a ………………８分 ∴ABC ∆周长)32sin(342sin 34)(απαα-++=++==c b a f l 2)sin 21cos 23(sin 34+++=ααα 2)cos 23sin 23(34++=αα 2)cos 21sin 23(334++=αα2)6sin(4++=πα ………………10分∵320πα<< ∴当26ππα=+即3πα=时624)3(max =+==πf l 所以ABC ∆周长)(αf l =的最大值为6． ………………１２分18、解：（Ⅰ）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(411)(1(124141b a ab ， 因为b a >，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3121b a ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X （单位：百元），则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12． …………………5分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)2(=⨯⨯==X P ； 81433121)4(=⨯⨯==X P ；245433121413221)6(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)8(=⨯⨯==X P ；241413121)10(=⨯⨯==X P ； 241413121)12(=⨯⨯==X P ． …………………9分 所以X 的分布列为：于是有 623241122411012182456814412410)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E …12分 19、解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ， ∵点E 为AD 的中点，∴AD ED AE 21==， ∵AD CD BC 21==，∴BC ED =， ∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ．∵M CD AB =⋂，∴CD M ∈，∴CM ∥BE ，∵⊂BE 平面PBE ，CM ⊄PBE ∴CM ∥平面PBE ， …………4分∵AB M ∈，⊂AB 平面PAB ，∴∈M 平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点)(CD AB M M ⋂=，使得直线CM ∥平面PBE ………………………6分 （II ）法一、如图所示，∵︒=∠=∠90PAB ADC ，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，即AP ⊥CD 又M CD AB =⋂，∴AP ⊥平面ABCD ．又90ADC ∠=︒即CD ⊥AD∴CD ⊥平面PAD∴CD ⊥PD ．因此PDA ∠是二面角A CD P --的平面角，其大小为45︒．∴AD PA =． ……………………8分 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2=AD ，则121===AD CD BC ． ∴)2,0,0(P ，)0,1,0(E ，)0,2,1(-C ，)0,1,1(-B∴(1,1,0)EC =-， PE (0,1,2)=-，(0,0,2)AP =，易知平面BCE 的法向量为1(0,0,2)n AP == 设平面PCE 的法向量为2(,,)n x y z =，则2200n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得：⎩⎨⎧=+-=-002y x z y ． 令2=y ，则1,2==z x ，∴2(2,2,1)n =． …………………………10分设二面角B CE P --的平面角为θ，则12cos |cos ,|n n θ=<>=1212||||||n n n n ⋅=⋅13=． ∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 法二、同法一可得AP ⊥平面ABCD ， AD PA =过A 点作AH CE ⊥交CE 的延长线于H ，连接PH∵AP ⊥平面ABCD CE ⊂平面ABCD∴AP CE ⊥ 又AH CE ⊥，∴CE ⊥平面PAH∴CE PH ⊥∴PHA ∠即为二面角B CE P --的平面角．……………10分在Rt PAH ∆中1cos 45o AH =⨯= 2PA =∴2PH ==∴1cos 32PHA ∠== ∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 20、解：（Ⅰ ）∵椭圆C 的左顶点A 在圆2212x y +=上，∴32=a 又∵椭圆的一个焦点为)0,3(F ，∴3=c ∴3222=-=c a b∴椭圆C 的方程为131222=+y x ………………４分 （Ⅱ ）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线l 与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ， ∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………５分 由题设知),(221y x N - ∴直线NM 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=- 令0=y 得211221211221212111)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--= 43464622=++-+-=m mm m∴点)0,4(P ………………７分 21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN -+⨯⨯=-⋅=∆222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………９分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m （当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立） ∴PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. ………………１２分21、解：（Ⅰ）)0(ln 2)(>-=x x a x x g ，2222)(xax x a x x g +-=--=' ①当0≥a 时，0)(<'x g ，∴函数)(x g 在区间),0(+∞上单调递减；②当0<a 时，由0)(='x g ，解得ax 2-= 当)2,0(ax -∈时，0)(<'x g ，此时函数g （x ）单调递减；当),2(+∞-∈a x 时，0)(>'x g ，此时函数)(x g 单调递增． ………………３分（Ⅱ）)()(2x g x x f +=，其定义域为),0(+∞． 2322)(2)(xax x x g x x f --='+='， ………………４分 令),0(,22)(3+∞∈--=x ax x x h ，a x x h -='26)(，当0<a 时，0)(>'x h 恒成立，∴)(x h 在),0(+∞上为增函数，又0)1(,02)0(>-=<-=a h h ，∴函数)(x h 在)1,0(内至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)(x f '的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值． ………………５分当0≥a 时，0)1(2)(3<--=ax x x h ，即)1,0(∈x 时，0)(<'x f 恒成立，∴函数)(x f 在)1,0(单调递减，此时函数)(x f 无极值 …………………6分 综上可得：)(x f 在区间)1,0(内有极值时实数a 的取值范围是)0,(-∞ ……７分（Ⅲ）∵0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞由（Ⅱ）可知：3)1(=f 知)1,0(∈x 时，0)(>x f ，∴10>x ．又)(x f 在区间),1(+∞上只有一个极小值点记为1x ，且),1(1x x ∈时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减，),(1+∞∈x x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增，由题意可知：1x 即为0x ． …………………………９分∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x f x f ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+0220ln 20300020ax x x a x x 消去a 可得：131ln 2300-+=x x ， 即0)131(ln 2300=-+-x x 令)1(131ln 2)(3>---=x x x x t ，则)(x t 在区间),1(+∞上单调递增 又∵035173110727316973.0212312ln 2)2(3<-=--⨯<--⨯=---=t 026232631122631099.1213313ln 2)3(3>=--⨯>--⨯=---=t 由零点存在性定理知 0)3(,0)2(><t t∴320<<x ∴2][0=x ． ………………１２分22、解：（Ⅰ）曲线2C ：)4cos(22πθρ+=，可以化为)4c o s (222πθρρ+=，θρθρρsin 2cos 22-=， 因此，曲线C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ………………４分 它表示以)1,1(-为圆心、2为半径的圆． ………………５分 （Ⅱ）法一：当4πα=时，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(t 为参数) 点P )0,1(在直线l 上，且在圆C 内，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221 代入02222=+-+y x y x中得210t -= ………………6分 设两个实数根为21,t t ，则B A ,两点所对应的参数为21,t t ，则12t t +=121-=t t ………………8分 64)(||||||2122121=-+=-=+∴t t t t t t PB PA ………………１０分 法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为2)1()1(22=++-y x即圆心C 的坐标为)1,1(-半径为2，点P )0,1(在直线01:=-+y x l 上，且在圆C 内 ||||||AB PB PA =+∴ ………………6分圆心C 到直线l 的距离2211|1)1(1|22=+--+=d ………………8分 所以弦||AB 的长满足621222||22=-=-=d r AB 6||||=+∴PB PA ………………１０分23、解：（Ⅰ）由1|)1(||1|||)(=+-≥++=x x x x x f 知，1)(min =x f 欲使R x ∈∀，恒有λ≥)(x f 成立，则需满足min )(x f ≤λ……………4分 所以实数λ的取值范围为]1,(-∞ ………………５分（Ⅱ）由题意得)0()01()1(12112|1|||)(>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=t t t t t t t t f ……………6分,R m ∈∃使得0)(22=++t f m m 成立即有0)(44≥-=∆t f 1)(≤∴t f ……………8分 又1)(≤t f 可等价转化为⎩⎨⎧≤---<1121t t 或⎩⎨⎧≤≤≤-1101t 或⎩⎨⎧≤+>1120t t 所以实数t 的取值范围为]0,1[- ……………１０分。

湖北省襄阳市优质高中2017届高三数学联考试题理（扫描版）襄阳市优质高中2017届高三联考试题13、20 14、[,]6315、1 16、6 17、解：（Ⅰ）135sin ,1312cos =∴=B B 由c b a ,,成等比数列，得ac b =2． …………………………………2分 又由正弦定理，得C A B sin sin sin 2=C A A C C A A C A C C C A A sin sin )sin(sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos +=+=+∴B B 2sin sin = ………………4分 513sin 1==B ………………６分 （Ⅱ）由角C B A ,,成等差数列，得3π=B ．又2=b ，由正弦定理C c B b A a sin sin sin ==，及αππα-=+-==32)(,B A C A 得)32sin(3sin2sin αππα-==c a∴)32sin(34,sin 34απα-==c a ………………８分 ∴ABC ∆周长)32sin(342sin 34)(απαα-++=++==c b a f l 2)sin 21cos 23(sin 34+++=ααα 2)cos 23sin 23(34++=αα2)cos 21sin 23(334++=αα2)6sin(4++=πα ………………10分∵320πα<< ∴当26ππα=+即3πα=时624)3(max =+==πf l所以ABC ∆周长)(αf l =的最大值为6． ………………１２分18、解：（Ⅰ）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧=----=43)1)(411)(1(124141b a ab ，因为b a >，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3121b a ． …………………4分 （Ⅱ）由题意，令网购者获得减免的总金额为随机变量X （单位：百元）， 则X 的值可以为0，2，4，6，8，10，12． …………………5分 而41433221)0(=⨯⨯==X P ；41433221)2(=⨯⨯==X P ； 81433121)4(=⨯⨯==X P ；245433121413221)6(=⨯⨯+⨯⨯==X P ； 121413221)8(=⨯⨯==X P ；241413121)10(=⨯⨯==X P ； 241413121)12(=⨯⨯==X P ． …………………9分 所以X 的分布列为：于是有623241122411012182456814412410)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=X E …12分 19、解：（I ）延长AB 交直线CD 于点M ，∵点E 为AD 的中点，∴AD ED AE 21==，∵AD CD BC 21==，∴BC ED =，∵AD ∥BC ，即ED ∥BC ．∴四边形BCDE 为平行四边形，即EB ∥CD ． ∵M CD AB =⋂，∴CD M ∈，∴CM ∥BE ，∵⊂BE 平面PBE ，CM ⊄PBE ∴CM ∥平面PBE ， …………4分 ∵AB M ∈，⊂AB 平面PAB ，∴∈M 平面PAB ，故在平面PAB 内可以找到一点)(CD AB M M ⋂=，使得直线CM ∥平面PBE ………………………6分（II ）法一、如图所示，∵︒=∠=∠90PAB ADC ，异面直线PA 与CD 所成的角为90︒，即AP ⊥CD 又M CD AB =⋂， ∴AP ⊥平面ABCD ．又90ADC ∠=︒即CD ⊥AD ∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥PD ．因此PDA ∠是二面角A CD P --的平面角，其大小为45︒．∴AD PA =． ……………………8分 建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设2=AD ，则121===AD CD BC ． ∴)2,0,0(P ，)0,1,0(E ，)0,2,1(-C ，)0,1,1(-B ∴(1,1,0)EC =-，PE (0,1,2)=-，(0,0,2)AP =， 易知平面BCE 的法向量为1(0,0,2)n AP ==设平面PCE 的法向量为2(,,)n x y z =，则220n PE n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，可得：⎩⎨⎧=+-=-002y x z y ．令2=y ，则1,2==z x ，∴2(2,2,1)n =． …………………………10分 设二面角B CE P --的平面角为θ， 则12cos |cos ,|n n θ=<>=1212||||||n n n n ⋅=⋅13=． ∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 法二、同法一可得AP ⊥平面ABCD ， AD PA = 过A 点作AH CE ⊥交CE 的延长线于H ，连接PH ∵AP ⊥平面ABCD CE ⊂平面ABCD∴AP CE ⊥ 又AH CE ⊥，∴CE ⊥平面PAH∴CE PH ⊥∴PHA ∠即为二面角B CEP --的平面角．……………10分在Rt PAH ∆中1cos 45oAH=⨯=2PA = ∴2PH==∴1cos 3PHA ∠==∴ 二面角B CE P --的余弦值为31． ………………１２分 20、解：（Ⅰ ）∵椭圆C 的左顶点A 在圆2212x y +=上，∴32=a又∵椭圆的一个焦点为)0,3(F ，∴3=c ∴3222=-=c a b∴椭圆C 的方程为131222=+y x ………………４分 （Ⅱ ）设),(),,(2211y x N y x M ，则直线l 与椭圆C 方程联立223,1,123x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩化简并整理得036)4(22=-++my y m ，∴12264m y y m +=-+，12234y y m =-+ ………………５分 由题设知),(221y x N - ∴直线NM 的方程为)(121211x x x x y y y y --+=-令0=y 得211221211*********)3()3()(y y y my y my y y y x y x y y x x y x x ++++=++=+--= 43464622=++-+-=m m m m∴点)0,4(P ………………７分 21221214)(121||||21y y y y y y PF S PMN -+⨯⨯=-⋅=∆222222)4(132)43(4)46(21++=+--+-=m m m m m ………………９分 166132619)1(213261911322222=+=+++≤++++=m m m m （当且仅当19122+=+m m 即2±=m 时等号成立）∴PMN ∆的面积存在最大值，最大值为1. ………………１２分 21、解：（Ⅰ）)0(ln 2)(>-=x x a x x g ，2222)(x ax x a x x g +-=--=' ①当0≥a 时，0)(<'x g ，∴函数)(x g 在区间),0(+∞上单调递减； ②当0<a 时，由0)(='x g ，解得ax 2-= 当)2,0(ax -∈时，0)(<'x g ，此时函数g （x ）单调递减；当),2(+∞-∈ax 时，0)(>'x g ，此时函数)(x g 单调递增． ………………３分（Ⅱ）)()(2x g x x f +=，其定义域为),0(+∞．2322)(2)(x ax x x g x x f --='+='， ………………４分 令),0(,22)(3+∞∈--=x ax x x h ，a x x h -='26)(，当0<a 时，0)(>'x h 恒成立，∴)(x h 在),0(+∞上为增函数，又0)1(,02)0(>-=<-=a h h ，∴函数)(x h 在)1,0(内至少存在一个变号零点0x ，且0x 也是)(x f '的变号零点，此时)(x f 在区间)1,0(内有极值． ………………５分当0≥a 时，0)1(2)(3<--=ax x x h ，即)1,0(∈x 时，0)(<'x f 恒成立，∴函数)(x f 在)1,0(单调递减，此时函数)(x f 无极值 …………………6分 综上可得：)(x f 在区间)1,0(内有极值时实数a 的取值范围是)0,(-∞ ……７分（Ⅲ）∵0>a 时，函数)(x f 的定义域为),0(+∞由（Ⅱ）可知：3)1(=f 知)1,0(∈x 时，0)(>x f ，∴10>x ．又)(x f 在区间),1(+∞上只有一个极小值点记为1x ，且),1(1x x ∈时，0)(<'x f ，函数)(x f 单调递减，),(1+∞∈x x 时，0)(>'x f ，函数)(x f 单调递增，由题意可知：1x 即为0x ． …………………………９分∴⎩⎨⎧='=0)(0)(00x f x f ，∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+0220ln 20300020ax x x a x x 消去a 可得：131ln 2300-+=x x ， 即0)131(ln 2300=-+-x x 令)1(131ln 2)(3>---=x x x x t ，则)(x t 在区间),1(+∞上单调递增 又∵035173110727316973.0212312ln 2)2(3<-=--⨯<--⨯=---=t 026232631122631099.1213313ln 2)3(3>=--⨯>--⨯=---=t由零点存在性定理知 0)3(,0)2(><t t∴320<<x ∴2][0=x ． ………………１２分22、解：（Ⅰ）曲线2C ：)4cos(22πθρ+=，可以化为)4cos(222πθρρ+=，θρθρρsin 2cos 22-=，因此，曲线C 的直角坐标方程为02222=+-+y x y x ………………４分它表示以)1,1(-为圆心、2为半径的圆． ………………５分 （Ⅱ）法一：当4πα=时，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221(t 为参数) 点P )0,1(在直线l 上，且在圆C 内，把⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22221 代入02222=+-+y x y x中得210t -= ………………6分设两个实数根为21,t t ，则B A ,两点所对应的参数为21,t t ，则12t t +=121-=t t ………………8分 64)(||||||2122121=-+=-=+∴t t t t t t PB PA ………………１０分法二：由（Ⅰ）知圆的标准方程为2)1()1(22=++-y x即圆心C 的坐标为)1,1(-半径为2，点P )0,1(在直线01:=-+y x l 上，且在圆C 内 ||||||AB PB PA =+∴ ………………6分圆心C 到直线l 的距离2211|1)1(1|22=+--+=d ………………8分 所以弦||AB 的长满足621222||22=-=-=d r AB 6||||=+∴PB PA ………………１０分23、解：（Ⅰ）由1|)1(||1|||)(=+-≥++=x x x x x f 知，1)(min =x f 欲使R x ∈∀，恒有λ≥)(x f 成立，则需满足min )(x f ≤λ……………4分 所以实数λ的取值范围为]1,(-∞ ………………５分（Ⅱ）由题意得)0()01()1(12112|1|||)(>≤≤--<⎪⎩⎪⎨⎧+--=++=t t t t t t t t f ……………6分,R m ∈∃使得0)(22=++t f m m 成立即有0)(44≥-=∆t f 1)(≤∴t f ……………8分 又1)(≤t f 可等价转化为⎩⎨⎧≤---<1121t t 或⎩⎨⎧≤≤≤-1101t 或⎩⎨⎧≤+>1120t t所以实数t 的取值范围为]0,1[- ……………１０分。

2016-2017学年湖北省襄阳一中高三（下）第三次模拟数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．计算+（2﹣i）2等于（）A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i2．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤13．若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣4．已知{a n}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（）A．B．C．D．5．已知直线m、l与平面α、β、γ满足β∩γ=l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则下列命题一定正确的是（）A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ6．海面上有A，B，C三个灯塔，|AB|=10n mile，从A望C和B成60°视角，从B 望C和A成75°视角，则|BC|=（）n mile．（n mile表示海里，1n mile=1582m）A．10B．C．5 D．57．曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A．B．4e2C．2e2D．e28．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）10．设A1，A2分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．（0，3）11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．312．已知函数f（x）=log（x2+）﹣||，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）的x的范围是（）A．（0，2） B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（2，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为．15．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n （n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于．三．解答题：（本大题共5小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分）17．设数列{a n}满足a1=2，a2+a5=14，且对任意n∈N*，函数f（x）=a n+1x2﹣（a n+2+a n）x满足f′（1）=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记数列{b n}的前n项和为S n，求证S n＜．18．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．20．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A 不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．2016-2017学年湖北省襄阳一中高三（下）第三次模拟数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1．计算+（2﹣i）2等于（）A．4﹣5i B．3﹣4i C．5﹣4i D．4﹣3i【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】同乘分母共轭复数，（2﹣i）2去括号，化简即可．【解答】解： +（2﹣i）2=﹣i（1+i）+4﹣1﹣4i=4﹣5i，故选：A．2．已知命题p：∀x∈R，cosx＞1，则￢p是（）A．∃x∈R，cosx＜1 B．∀x∈R，cosx＜1 C．∀x∈R，cosx≤1 D．∃x∈R，cosx≤1【考点】命题的否定．【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【解答】解：命题是全称命题，则命题的否定是∃x∈R，cosx≤1，故选：D．3．若sin（α﹣β）cosα﹣cos（α﹣β）sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数基本关系的运用．【分析】由两角和与差的三角函数公式可得s inβ=﹣m ，结合角β的象限，再由同角三角函数的基本关系可得．【解答】解：∵sin （α﹣β）cosα﹣cos （α﹣β）sinα=m ， ∴sin [（α﹣β）﹣α]=﹣sinβ=m ，即sinβ=﹣m ， 又β为第三象限角，∴cosβ＜0， 由同角三角函数的基本关系可得：cosβ=﹣=﹣故选B4．已知{a n }是等差数列，a 10=10，其前10项和S 10=70，则其公差d=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等差数列的前n 项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n 项和公式，结合已知条件列出关于a 1，d 的方程组，解方程即可．【解答】解：设{a n }的公差为d ，首项为a 1，由题意得，解得，故选D ．5．已知直线m 、l 与平面α、β、γ满足β∩γ=l ，l ∥α，m ⊂α，m ⊥γ，则下列命题一定正确的是（ ） A ．α⊥γ且l ⊥mB ．α⊥γ且m ∥βC ．m ∥β且l ⊥mD ．α∥β且α⊥γ【考点】平面的基本性质及推论．【分析】由m ⊂α，m ⊥γ，知α⊥γ，由β∩γ=l ，知l ⊂γ，故l ⊥m ． 【解答】解：∵m ⊂α，m ⊥γ， ∴α⊥γ，∵β∩γ=l ，∴l ⊂γ，∴l ⊥m ， 故A 一定正确． 故选A ．6．海面上有A ，B ，C 三个灯塔，|AB |=10n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B望C 和A 成75°视角，则|BC |=（ ）n mile ．（n mile 表示海里，1n mile=1582m ）A．10 B ． C ．5 D ．5【考点】解三角形的实际应用．【分析】△ABC 中，|AB |=10n mile ，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，利用正弦定理，即可求得结论．【解答】解：由题意，△ABC 中，|AB |=10n mile ，∠A=60°，∠B=75°，∴∠C=45°∴由正弦定理可得=，∴|BC |=5n mile ．故选：D ．7．曲线y=在点（4，e 2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．B ．4e 2C ．2e 2D ．e 2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】利用导数求曲线上点切线方程，求直线与x 轴，与y 轴的交点，然后求切线与坐标轴所围三角形的面积．【解答】解：∵曲线y=，∴y′=×，切线过点（4，e 2）∴f （x ）|x=4=e 2，∴切线方程为：y﹣e2=e2（x﹣4），令y=0，得x=2，与x轴的交点为：（2，0），令x=0，y=﹣e2，与y轴的交点为：（0，﹣e2），∴曲线y=在点（4，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积s=×2×|﹣e2|=e2，故选D．8．已知点P是圆x2+y2=4上的动点，点A，B，C是以坐标原点为圆心的单位圆上的动点，且=0，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】平面向量数量积的运算；直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把用向量与表示，然后利用向量模的运算性质求得||的最小值．【解答】解：∵=0∴AB⊥BC，即∠ABC=90°，∴AC为△ABC外接圆直径，如图，设坐标原点为O，则==，∵P是圆x2+y2=4上的动点，∴，∴||=．当与共线时，取得最小值5．故选：B．9．已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx，g（x）=xe1﹣x（a∈R，e为自然对数的底数），若对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，]B．（﹣∞，]C．（，2） D．[，）【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】根据若对任意给定的x0∈（0，e]，在区间（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，得到函数f（x）在区间（0，e]上不单调，从而求得a的取值范围．【解答】解：∵g'（x）=（1﹣x）e1﹣x，∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e]上单调递减，又因为g（0）=0，g（1）=1，g（e）=e2﹣e＞0，∴g（x）在（0，e]上的值域为（0，1]．，当时，f′（x）=0，f（x）在处取得最小值，由题意知，f（x）在（0，e]上不单调，所以，解得，所以对任意给定的x0∈（0，e]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g（x0）成立，当且仅当a满足条件且f（e）≥1因为f（1）=0，所以恒成立，由f（e）≥1解得综上所述，a的取值范围是．故选：A．10．设A1，A2分别为双曲线的左右顶点，若双曲线上存在点M使得两直线斜率，则双曲线C的离心率的取值范围为（）A．B．C．D．（0，3）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），设M（m，n），代入双曲线的方程，运用直线的斜率公式，化简整理可得b2＜2a2，由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求范围．【解答】解：由题意可得A1（﹣a，0），A2（a，0），设M（m，n），可得﹣=1，即有=，由题意，即为•＜2，即有＜2，即b2＜2a2，c2﹣a2＜2a2，即c2＜3a2，c＜a，即有e=＜，由e＞1，可得1＜e＜．故选：B．11．设正实数x，y，z满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0．则当取得最大值时，的最大值为（）A．0 B．1 C．D．3【考点】基本不等式．【分析】依题意，当取得最大值时x=2y，代入所求关系式f（y）=+﹣，利用配方法即可求得其最大值．【解答】解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z均为正实数，∴==≤=1（当且仅当x=2y时取“=”），∴=1，此时，x=2y．∴z=x2﹣3xy+4y2=（2y）2﹣3×2y×y+4y2=2y2，∴+﹣=+﹣=﹣+1≤1，当且仅当y=1时取得“=”，满足题意．∴的最大值为1．故选B．12．已知函数f（x）=log（x2+）﹣||，则使得f（x+1）＜f（2x﹣1）的x的范围是（）A．（0，2） B．（﹣∞，0）C．（﹣∞，0）∪（2，+∞）D．（2，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】根据函数的单调性和奇偶性将问题转化为|x+1|＞|2x﹣1|，解出即可．【解答】解：x＞0时，f（x）=log（x2+）﹣是减函数，x＜0时，f（x）=log（x2+）+是增函数，且f（﹣x）=f（x）是偶函数，若f（x+1）＜f（2x﹣1），则|x+1|＞|2x﹣1|，解得：0＜x＜2，故选：A．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知实数x，y满足z=x+ay（a＞1）的最大值为3，则实数a=2．【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，从而求出z=a+1=3，解出即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得A（1，1），∵a＞1，∴﹣1＜﹣＜0，∴z=x+ay看化为：y=﹣x+，结合图象直线过A（1，1）时，z最大，z的最大值是z=a+1=3，解得：a=2，故答案为：2．14．定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），当x≠1时，有xf′（x）＞f′（x）成立；若1＜m＜2，a=f（2m），b=f（2），c=f（log2m），则a，b，c大小关系为a＞b＞c．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算．【分析】函数f（x）在定义域R内可导，f（x）=f（2﹣x），知函数f（x）的图象关于x=1对称．再根据函数的单调性比较大小即可．【解答】解：∵f（x）=f（2﹣x），令x=x+1，则f（x+1）=f[2﹣（x+1）]=f（﹣x+1），∴函数f（x）的图象关于x=1对称；令g（x）=，则g′（x）=，当x≠1时，xf′（x）＞f′（x）成立，即xf′（x）﹣f′（x）＞0成立；∴x＞1时，g′（x）＞0，g（x）递增，∵1＜m＜2，∴2＜2m＜4，0＜＜1，∴a＞b＞c，故答案为：a＞b＞c．15．已知抛物线C：y2=4x与点M（﹣1，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】设直线AB斜率为k，得出AB的方程，联立方程组，由根与系数的关系得出A，B两点的坐标的关系，令k MA•k MB=﹣1列方程解出k．【解答】解：抛物线的焦点为F（1，0），∴直线AB的方程为y=kx﹣k．联立方程组，消元得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2==2+．x1x2=1．∴y1+y2=k（x1+x2）﹣2k=，y1y2=﹣4．∵•=0，∴MA⊥MB，∴k MA•k MB=﹣1．即=﹣1，∴y1y2﹣2（y1+y2）+4+x1x2+x1+x2+1=0，∴﹣4﹣+4+1+2++1=0，解得k=1．故答案为：1．16．大学生村官王善良落实政府“精准扶贫”，帮助贫困户张三用9万元购进一部节能环保汽车，用于出租，假设第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该车每年的运营收入均为11万元，若该车使用了n （n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于3．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】根据题意建立等差数列模型，利用等差数列的性质以及求和公式即可得到结论．【解答】解：设该汽车第n年的营运费为a n，万元，则数列{a n}是以2为首项，2为公差的等差数列，则a n=2n，则该汽车使用了n年的营运费用总和为T n=n2+n，设第n年的盈利总额为S n，则S n=11n﹣（n2+n）﹣9=﹣n2+10n﹣9，∴年平均盈利额P=10﹣（n+）当n=3时，年平均盈利额取得最大值4，故答案为：3．三．解答题：（本大题共5小题，请写出必要的文字说明和解答过程，共70分）17．设数列{a n}满足a1=2，a2+a5=14，且对任意n∈N*，函数f（x）=a n+1x2﹣（a n+2+a n）x满足f′（1）=0．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，记数列{b n}的前n项和为S n，求证S n＜．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）求出函数的导数，由条件可得2a n+1=a n+2+a n，由等差数列的性质可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，运用等差数列的通项公式，可得d=2，即可得到通项公式；（2）由b n==（﹣），运用裂项相消求和，由不等式的性质，即可得证．【解答】（1）解：函数f（x）=a n+1x2﹣（a n+2+a n）x的导数为f′（x）=2a n+1x﹣（a n+2+a n），由f′（1）=0，可得2a n+1=a n+2+a n，由等差数列的性质可得数列{a n}为等差数列，设公差为d，则a1=2，a2+a5=2a1+5d=14，解得d=2，即有a n=a1+2（n﹣1）=2n．（2）证明：b n===（﹣），则S n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜．则S n＜．18．如图，某广场中间有一块边长为2百米的菱形状绿化区ABCD，其中BMN是半径为1百米的扇形，∠ABC=．管理部门欲在该地从M到D修建一条小路：在弧上选一点P（异于M、N两点），过点P修建与BC平行的小路PQ．问：点P选择在何处时，才能使得修建的小路与PQ及QD的总长最小？并说明理由．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】连接BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，设∠PBP1=θ，∠MBP=﹣θ，则总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），求导，可得函数的最小值点．【解答】解：连接BP，过P作PP1⊥BC垂足为P1，过Q作QQ1⊥BC垂足为Q1，设∠PBP1=θ，∠MBP=﹣θ …若，在Rt△PBP1中，PP1=sinθ，BP1=cosθ，若，则PP1=sinθ，BP1=cosθ，若＜θ＜，则PP1=sinθ，BP1=cos（π﹣θ）=﹣cosθ，∴…在Rt△QBQ1中，QQ1=PP1=sinθ，CQ1=sinθ，CQ=sinθ，…所以总路径长f（θ）=﹣θ+4﹣cosθ﹣sinθ，（0＜θ＜），……令f'（θ）=0，当时，f'（θ）＜0当时，f'（θ）＞0 …所以当时，总路径最短．答：当BP⊥BC时，总路径最短．…19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AC，AB⊥BC．设D，E分别为PA，AC中点．（Ⅰ）求证：DE∥平面PBC；（Ⅱ）求证：BC⊥平面PAB；（Ⅲ）试问在线段AB上是否存在点F，使得过三点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行？若存在，指出点F的位置并证明；若不存在，请说明理由．【考点】直线与平面平行的性质；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明以DE∥平面PBC，只需证明DE∥PC；（Ⅱ）证明BC⊥平面PAB，根据线面垂直的判定定理，只需证明PA⊥BC，AB⊥BC；（Ⅲ）当点F是线段AB中点时，证明平面DEF∥平面PBC，可得平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．【解答】解：（Ⅰ）证明：因为点E是AC中点，点D为PA的中点，所以DE∥PC．又因为DE⊄面PBC，PC⊂面PBC，所以DE∥平面PBC．…．（Ⅱ）证明：因为平面PAC⊥面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，又PA⊂平面PAC，PA⊥AC，所以PA⊥面ABC，因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．又因为AB⊥BC，且PA∩AB=A，所以BC⊥面PAB．…．（Ⅲ）解：当点F是线段AB中点时，过点D，E，F的平面内的任一条直线都与平面PBC平行．取AB中点F，连EF，连DF．由（Ⅰ）可知DE∥平面PBC．因为点E是AC中点，点F为AB的中点，所以EF∥BC．又因为EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC．又因为DE∩EF=E，所以平面DEF∥平面PBC，所以平面DEF内的任一条直线都与平面PBC平行．故当点F是线段AB中点时，过点D，E，F所在平面内的任一条直线都与平面PBC 平行．…．20．椭圆的左右焦点分别为F1，F2，且离心率为，点P为椭圆上一动点，△F1PF2内切圆面积的最大值为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的左顶点为A1，过右焦点F2的直线l与椭圆相交于A，B两点，连结A1A，A1B并延长交直线x=4分别于P，Q两点，以PQ为直径的圆是否恒过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）设c=t，则a=2t，，推导出点P为短轴端点，从而得到t=1，由此能求出椭圆的方程．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，由此利用韦达定理、向量知识、直线方程、圆的性质、椭圆性质，结合已知条件能推导出以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵椭圆的离心率为，不妨设c=t，a=2t，即，其中t＞0，又△F1PF2内切圆面积取最大值时，半径取最大值为，∵，为定值，∴也取得最大值，即点P为短轴端点，∴，，解得t=1，∴椭圆的方程为．（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得（3t2+4）y2+6ty﹣9=0，则，，直线AA1的方程为，直线BA1的方程为，则，，假设PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），则，，，即，即，，即6nt﹣9+n2+（4﹣m）2=0，若PQ为直径的圆是否恒过定点M（m，n），即不论t为何值时，恒成立，∴n=0，m=1或m=7．∴以PQ为直径的圆恒过定点（1，0）和（7，0）．21．已知函数f（x）=ln（1+mx）+﹣mx，其中0＜m≤1．（1）当m=1时，求证：﹣1＜x≤0时，f（x）≤；（2）试讨论函数y=f（x）的零点个数．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）将m=1代入函数表达式，通过讨论函数的单调性证明结论即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论m的范围确定函数的零点即可．【解答】证明：（1）m=1时，令g（x）=f（x）﹣，（﹣1＜x≤0），则g′（x）=，当﹣1＜x≤0时，﹣x3≥0，1+x＞0，∴g′（x）≥0，g（x）递增，∴g（x）≤g（0）=0，故f（x）≤①；解：（2）f′（x）=，②，令f′（x）=0，解得：x1=0或x2=m﹣，（i）m=1时，x1=x2=0，由②得f′（x）=③，∴x＞﹣1时，1+x＞0，x2≥0，∴f′（x）≥0，f（x）递增，∴﹣1＜x＜0时，f（x）＜f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，故函数y=f（x）在x＞﹣1上有且只有1个零点x=0；（ii）0＜m＜1时，m﹣＜0，且﹣＜m﹣，由②得：x∈（﹣，m﹣]时，1+mx＞0，mx＜0，x﹣（m﹣）≤0，此时，f′（x）≥0，同理得：x∈（m﹣，0]时，f′（x）≤0，x≥0时，f′（x）≥0，∴f（x）在（﹣，m﹣]，（0，+∞）递增，在（m﹣，0]递减，故m﹣＜x＜0时，f（x）＞f（0）=0，x＞0时，f（x）＞f（0）=0，∴f（x）在（m﹣，+∞）有且只有1个零点x=0，又f（m﹣）=lnm2﹣（m2﹣），构造函数ω（t）=lnt﹣（t﹣），0＜t＜1，则ω′（t）=④，易知：∀t∈（0，1），ω′（t）≤0，∴y=ω（t）在（0，1）递减，∴ω（t）＞ϖ（1）=0，由0＜m＜1得：0＜m2＜1，∴f（m﹣）﹣ln（m2）﹣（m2﹣）＞0⑤，构造函数k（x）=lnx﹣x+1（x＞0），则k′（x）=，0＜x＜≤1时，k′（x）≥0，x＞1时，k′（x）＜0，∴k（x）在（0，1]递增，在（1，+∞）递减，∴k（x）≤k（1）=0，∴ln≤﹣1＜+1，则＜m2，＜m﹣，∴﹣＜x＜时，m（1+mx）＜﹣﹣1⑥，而﹣mx＜x2﹣mx＜+1⑦，由⑥⑦得f（x）=ln（1+mx）+﹣mx＜﹣﹣1++1=0⑧，又函数f（x）在（﹣，m﹣]递增，m﹣＞，由⑤⑧和函数零点定理得：∃x0∈（﹣，），使得f（x0）=0，综上0＜x＜＜1时，函数f（x）有2个零点，m=1时，f（x）有1个零点．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，取相同单位长度（其中（ρ，θ），ρ≥0，θ∈[0，2π）））．（1）直线l过原点，且它的倾斜角α=，求l与圆E的交点A的极坐标（点A 不是坐标原点）；（2）直线m过线段OA中点M，且直线m交圆E于B、C两点，求||MB|﹣|MC||的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由直线l的倾斜角α=，可得直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程即可得出．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，把ρ2=x2+y2，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得关于t的一元二次方程，利用||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|即可得出．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角α=，∴直线l的极角θ=，或θ=．代入圆E的极坐标方程ρ=4sinθ可得：或ρ=﹣2（舍去）．∴l与圆E的交点A的极坐标为．（2）由（1）可得：线段OA的中点M，可得直角坐标M（﹣1，1）．又圆E的极坐标方程为ρ=4sinθ，即ρ2=4ρsinθ，可得直角坐标方程：x2+y2﹣4y=0，设直线l的参数方向为：（t为参数），代入圆的方程可得：t2﹣2t（sinα+cosα）﹣2=0，△＞0，∴t1+t2=2（sinα+cosα），t1t2=﹣2．∴||MB|﹣|MC||=||t1|﹣|t2||=|t1+t2|=2|sinα+cosα|=2||，∴||MB|﹣|MC||的最大值为2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x+a|，g（a）=a2﹣a﹣2．（1）若a=3，解关于x的不等式f（x）＞g（a）+2；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），求实数a的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）若a=3，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x ﹣1|+|x+3|＞6，即可得出结论；（2）当x∈[﹣a，1]时恒有f（x）≤g（a），1+a≤a2﹣a﹣2，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a=3时，f（x）=|x﹣1|+|x+3|，g（3）=4，f（x）＞g（a）+2化为|x﹣1|+|x+3|＞6，x＜﹣3时，﹣x+1﹣x﹣3＞6，∴x＜﹣4，﹣3≤x≤1时，﹣x+1+x+3＞6，无解，x＞1时，x﹣1+x+3＞6，∴x＞2．综上所述，x＜﹣4或x＞2，∴不等式的解集为{x|x＜﹣4或x＞2}；（2）∵x∈[﹣a，1]，∴f（x）=1+a，∴f（x）≤g（a），化为1+a≤a2﹣a﹣2，∴a2﹣2a﹣3≥0，∴a≥3或a≤﹣1，﹣a＜1，∴a＞﹣1，∴a≥3．2017年3月29日。