数学分析续论B卷复习资料

2014 -——2015学年度第二学期《数学分析2》A试卷学院班级学号（后两位）姓名一.判断题（每小题3分，共21分）（正确者后面括号内打对勾，否则打叉）1。

若在连续，则在上的不定积分可表为（）.2.若为连续函数，则（)。

3。

若绝对收敛，条件收敛，则必然条件收敛（).4。

若收敛，则必有级数收敛( )5. 若与均在区间I上内闭一致收敛,则也在区间I上内闭一致收敛（).6. 若数项级数条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于正无穷大（).7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数,并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（）.二.单项选择题（每小题3分,共15分）1.若在上可积,则下限函数在上( ）A.不连续B. 连续C。

可微D。

不能确定2。

若在上可积，而在上仅有有限个点处与不相等，则（）A。

在上一定不可积;B. 在上一定可积,但是;C。

在上一定可积，并且；D. 在上的可积性不能确定。

3.级数A。

发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D. 不确定4。

设为任一项级数,则下列说法正确的是( )A.若，则级数一定收敛；B。

若，则级数一定收敛;C。

若，则级数一定收敛；D. 若，则级数一定发散；5。

关于幂级数的说法正确的是( ）A. 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. 在收敛域上各点是绝对收敛的;C。

的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D。

在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5分，共10分）1。

2。

四. 判断敛散性（每小题5分，共15分)1.2.3.五. 判别在数集D上的一致收敛性（每小题5分，共10分）1。

2。

六．已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面角向斜上方切割，求从圆柱体上切下的这块立体的体积。

(本题满10分）七. 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上)，且上底边距水表面距离为10米，已知三角形底边长为20米,高为10米，求该三角形铁板所受的静压力。

1 上海师范大学标准试卷
考试日期 2002年6月
学院 本 科 年级 班 姓名 学号
科目：数学分析Ⅱ
【B 卷】 主考教师：
一、判断下列广义积分的敛散性（发散，绝对收敛或条件收敛）
1. ⎰∞
++1212sin dx x x （5分）
2．⎰102
dx x arctgx （5分） 3．dx x x x ⎰∞++⋅010
cos （8分） 4．dx x x ⎰∞++0)1ln(α（8分） 二、判断下列函数列或函数项级数在指定区间上的一致收敛性
1．nx
nx x f n +=
1)(，]1,0[∈x （5分） 2．),0(,)1)((11
∞+∈+++∑∞=x n x n x n （5分） 3．]1,0[,)1()(2∈⋅-=x x x x f n n （8分） 4．∑∞
=-+-11)1()1(n n n x x ，),0(∞+∈x （8分） 三、设级数∑∞=1
n n a
发散且数列{}n a 有界。

证明：幂级数n n n x a ∑∞=1的收敛半径等于1（8分） 四、求幂级数n n n
n x n ∑∞=-+1
])1(3[的收敛区间（10分） 五、将函数221)(x
x x x f -+=展开为x 的幂级数，并指出幂级数的收敛域（10分） 六、写出幂级数∑∞=+0
2!)12(n n x n n 的和函数的具体表达式（10分） 七、将函数2
)(x x f -=π)0(π<≤x 展开成正弦级数,讨论该富里埃级数的和函数的收敛性，并作出和函数的图形（10分）。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 数学分析的研究对象是（）。

A. 数B. 函数C. 方程D. 不等式A. 极限B. 微分C. 积分D. 对数3. 设函数f(x)在点x=0处可导，则f'(0)表示（）。

A. f(x)在x=0处的切线斜率B. f(x)在x=0处的函数值C. f(x)在x=0处的极值D. f(x)在x=0处的拐点A. ∑(n=1 to ∞) 1/nB. ∑(n=1 to ∞) 1/n^2C. ∑(n=1 to ∞) nD. ∑(n=1 to ∞) (1)^nA. f(x) = x^3B. f(x) = x^2C. f(x) = xD. f(x) = |x|二、判断题（每题1分，共5分）1. 数学分析主要研究函数的性质、变化规律及其应用。

（）2. 无穷小量与有界函数的乘积仍然是无穷小量。

（）3. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在该区间上一定可导。

（）4. 泰勒公式是求函数在某一点附近近似表达式的工具。

（）5. 空间解析几何是数学分析的一个分支。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 极限的定义是：当自变量x趋于________时，函数f(x)趋于一个确定的数值A，则称A为f(x)当x趋于________时的极限。

2. 微分的定义是：函数y=f(x)在点x处的微分是________与________的乘积。

3. 定积分的基本性质：若f(x)在区间[a, b]上可积，则________。

4. 牛顿莱布尼茨公式是________与________之间的关系。

5. 空间直角坐标系中，点P(x, y, z)到原点的距离为________。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述罗尔定理的内容。

2. 解释什么是函数的极值。

3. 什么是定积分的几何意义？4. 举例说明什么是复合函数。

5. 简述泰勒公式的应用。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 求函数f(x) = e^x sin(x)在x=0处的导数。

数学分析复习资料数学分析复习资料数学分析是大学数学中的一门重要课程，它是数学基础学科的核心内容之一。

作为一门抽象而又具有广泛应用的学科，数学分析在理论和实践中都发挥着重要作用。

为了更好地掌握数学分析的知识，我们需要有一份系统全面的复习资料。

一、函数与极限在数学分析中，函数与极限是最基础的概念之一。

函数是描述自变量与因变量之间关系的工具，而极限则是描述函数在某一点附近的趋势。

我们需要掌握函数的定义、性质以及常见函数的图像和性质。

此外，对于极限的概念和性质，我们需要理解其定义、收敛性以及计算方法。

在复习中，可以通过练习题来加深对函数与极限的理解。

二、导数与微分导数与微分是数学分析中的重要内容，它们是描述函数变化率的工具。

我们需要了解导数的定义、性质以及常见函数的导数公式。

同时，还要掌握导数的计算方法，如用极限定义法、基本公式法、隐函数求导法等。

在复习中，可以通过求导练习题来提高对导数的熟练度。

另外，微分的概念和性质也是需要掌握的内容，包括微分的定义、微分的计算以及微分的应用。

三、积分与定积分积分与定积分是数学分析中的重要概念，它们是描述函数面积和变化量的工具。

我们需要了解积分的定义、性质以及常见函数的积分公式。

同时，还要掌握积分的计算方法，如用不定积分法、换元法、分部积分法等。

在复习中，可以通过求积分练习题来提高对积分的熟练度。

另外，定积分的概念和性质也是需要掌握的内容，包括定积分的定义、定积分的计算以及定积分的应用。

四、级数与幂级数级数与幂级数是数学分析中的重要内容，它们是描述无穷序列和无穷级数的工具。

我们需要了解级数的定义、性质以及常见级数的收敛性判别法。

同时，还要掌握级数的计算方法，如用比较判别法、积分判别法、绝对收敛判别法等。

在复习中，可以通过求级数练习题来提高对级数的熟练度。

另外，幂级数的概念和性质也是需要掌握的内容，包括幂级数的收敛半径、幂级数的求和以及幂级数的应用。

五、多元函数与偏导数多元函数与偏导数是数学分析中的重要内容，它们是描述多变量函数变化率的工具。

2021-2022年度大学期末考试试卷 《数学分析三》大学考试试题B 卷及参考答案一、单项选择题（从给出的四个答案中，选出一个最恰当的答案填入括号内，每小题2分，共20分）1、 函数)(x f 在[a,b ]上可积的必要条件是（ ） A 连续 B 有界 C 无间断点 D 有原函数2、函数)(x f 是奇函数，且在[-a,a ]上可积，则（ ） A ⎰⎰=-a aa dx x f dx x f 0)(2)( B 0)(=⎰-aa dx x fC⎰⎰-=-aaadx x f dx x f 0)(2)( D )(2)(a f dx x f aa=⎰-3、 下列广义积分中，收敛的积分是（ ） A⎰11dx xB⎰∞+11dx xC⎰+∞sin xdx D⎰-1131dx x4、级数∑∞=1n na收敛是∑∞=1n na部分和有界且0lim =∞→n n a 的（ ）A 充分条件B 必要条件C 充分必要条件D 无关条件 5、下列说法正确的是（ ） A∑∞=1n na和∑∞=1n nb收敛，∑∞=1n nn ba 也收敛 B∑∞=1n na和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散C∑∞=1n na收敛和∑∞=1n nb发散，∑∞=+1)(n n nb a发散 D ∑∞=1n n a 收敛和∑∞=1n n b 发散，∑∞=1n nn ba 发散6、)(1x an n∑∞=在[a ，b ]收敛于a （x ），且a n （x ）可导，则（ ）A)()('1'x a x an n=∑∞= B a （x ）可导C⎰∑⎰=∞=ban ban dx x a dx x a )()(1D∑∞=1)(n nx a一致收敛，则a （x ）必连续7、下列命题正确的是（ ） A)(1x an n∑∞=在[a ，b ]绝对收敛必一致收敛B)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 一致收敛必绝对收敛C 若0|)(|lim =∞→x a n n ，则)(1x an n∑∞=在[a ，b ]必绝对收敛D)(1x an n∑∞=在[a ，b ] 条件收敛必收敛8、∑∞=++-012121)1(n n nx n 的和函数为 A xe B x sin C )1ln(x + D x cos9、函数)ln(y x z +=的定义域是（ ） A {}0,0|),(>>y x y x B {}x y y x ->|),( C {}0|),(>+y x y x D {}0|),(≠+y x y x 10、函数f (x,y )在（x 0,,y 0）偏可导与可微的关系（ ） A 可导必可微 B 可导必不可微 C 可微必可导 D 可微不一定可导二、计算题：（每小题6分，共30分） 1、⎰=914)(dx x f ，求⎰+22)12(dx x xf2、计算⎰∞++02221dx xx 3、计算∑∞=11n nx n 的和函数并求∑∞=-1)1(n n n4、设023=+-y xz z ，求)1,1,1(xz ∂∂5、求2220lim yx yx y x +→→ 三、讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、 讨论⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-=)0,0(),(0)0,0(),(),(2222y x y x y x y x xyy x f 在（0，0）点的二阶混合偏导数2、 讨论∑∞=+-221sin 2)1(n n n n nx的敛散性 四、证明题：（每小题10分，共30分）1、设)(1x f 在[a ，b ]上Riemann 可积，),2,1()()(1 ==⎰+n dx x f x f ban n ，证明函数列)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于02、设yx e z =，证明它满足方程0=∂∂+∂∂yz y x z x 3、 设)(x f 在[a ，b ]连续，证明⎰⎰=πππ)(sin 2)(sin dx x f dx x xf ，并求⎰+π2cos 1sin dx xxx参考答案一、1、B 2、B3、A4、C5、C6、D7、D8、C9、C10、C 二、1、⎰⎰++=+202222)12()12(21)12(x d x f dx x xf （3分）令122+=x u ，⎰⎰==+91222)(21)12(du u f dx x xf （3分）2、⎰∞++02221dxx x =4)1arctan(lim )1()1(11lim 002π=+=+++∞→∞→⎰A A A A x x d x （6分） 3、解：令)(x f =∑∞=11n n x n ，由于级数的收敛域)1,1[-（2分），)('x f =x x n n -=∑∞=-1111，)(x f =)1ln(110x dt t x-=-⎰（2分），令1-=x ，得2ln )1(1=-∑∞=n n n 4、解：两边对x 求导02232=--x x xz z z z （3分）x z z z x 2322-=（2分）2)1,1,1(=∂∂x z（1分）5、解：x yx yx ≤+≤||0222（5分）0lim 22200=+→→y x y x y x （1分）由于x =-2，x =2时，级数均不收敛，所以收敛域为（-2，2）（3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-+=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x yy x f x （2分）⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++--=000)(4),(22222222224y x y x y x y y x x xy x f y (4分）1)0,0(),0(lim )0,0(02-=∆-∆=∂∂∂→∆y f y f x y zx x y1)0,0()0,(lim )0,0(02=∆-∆=∂∂∂→∆xf x f y x zy y x （6分）2、解：由于x nx n n n n n 221sin 2|sin 2)1(|lim =-+∞→（3分），即1sin 22<x 级数绝对收敛1sin 22=x 条件收敛，1sin 22>x 级数发散（7分）所以原级数发散（2分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：因为)(1x f 在[a ，b ]上可积，故在[a ，b ]上有界，即0>∃M ，使得]),[()(1b a x M x f ∈∀≤，（3分）从而)(|)(|)(12a x M dt t f x f xa-≤≤⎰一般来说，若对n 有)!1()()(1--≤-n a x M x f n n （5分）则)()!1()()(1∞→--≤-n n a b M x f n n ，所以)}({x f n 在[a ，b ]上一致收敛于0（2分）⎰⎰⎰=+++=+aa Ta Tdt t f T t d T t f t T x dx x f 0)()()()(（2）（4分）将式（2）代入（1）得证（2分）2、 y e x z y x 1=∂∂，2y x e y zy x -=∂∂，（7分）则012=-=∂∂+∂∂yx ye y xe y z y x z x y xy x （3分） 3、 证明：令t x -=π⎰⎰⎰⎰-=---=πππππππ0)(sin )(sin ))(sin()()(sin dt t tf dt t f dt t f t dx x xf 得证（7分）8cos 1sin 2cos 1sin 20202ππππ=+=+⎰⎰dx xx dx x x x （3分）。

祝您生活愉快业绩进步，以下为（完整）数学分析(3)试卷及答案的全部内容。

数学分析（3）期末试卷2005年1月13日班级_______ 学号_________ 姓名__________考试注意事项:1. 考试时间：120分钟。

2. 试卷含三大题,共100分.3. 试卷空白页为草稿纸，请勿撕下！散卷作废！4. 遵守考试纪律。

一、填空题(每空3分，共24分）1、 设z x u ytan =,则全微分=u d __________________________。

2、 设32z xy u =，其中),(y x f z =是由xyz z y x 3333=++所确定的隐函数，则=x u _________________________。

3、 椭球面14222=-+z y x 在点)1,1,2(M 处的法线方程是__________________。

5、 设L 是从点(0，0）到点(1,1)的直线段,则第一型曲线积分⎰=L s x yd _____________。

6、 在xy 面上，若圆{}122≤+=y x y x D |),(的密度函数为1),(=y x ρ,则该圆关于原点的转动惯量的二重积分表达式为_______________,其值为_____________。

7、 设S 是球面1222=++z y x 的外侧，则第二型曲面积分=⎰⎰dxdy z S2_______。

二、计算题（每题8分，共56分）1、 讨论yx y x y x f 1sin 1sin )(),(-=在原点的累次极限、重极限及在R 2上的连续性。

2、 设),(2xyy x f u =具有连续的二阶偏导数，求二阶偏导数xx u 和xy u 。

3、 求22333),(y x x y x f --=在}16|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值。

4、 求x x x e x xd sine 02⎰∞+---。

提示：C bx b bx a ba e x bx e ax ax+-+=⎰)cos sin (d sin 22.5、 利用坐标变换求⎰⎰+-Dy x yx yx d d sec2，其中D 由1=+y x ，0=x 及0=y 围成。

数学分析（3）总结复习提纲用词说明: 本提纲中冠以“掌握、理解、熟悉”等词的内容为较高要求内容, 冠以“会、了解、知道”等词的内容为较低要求内容。

第十二章各种积分之间的联系§1 各种积分之间的联系公式理解格林公式与高斯公式, 了解斯托克斯公式；掌握利用格林公式计算平面曲线积分和利用高斯公式计算曲面积分的方法；会用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分, 会用平面曲线积分计算平面图形的面积, 会用曲面积分计算立体的体积。

§2曲线积分与路径的无关性理解平面曲线积分与路径无关的四个等价条件, 了解空间曲线积分与路径无关的四个等价条件；掌握利用平面曲线积分与路径无关的条件计算平面曲线积分、以及求二元函数全微分的原函数的方法。

§3 场论初步理解场的概念；了解梯度场、散度场、及旋度场的物理意义, 会求梯度、散度与旋度。

第十三章极限与实数理论§1 各种极限的精确定义理解各种极限定义的本质, 掌握利用极限定义证明极限的基本方法；会叙述极限不等于某常数的定义, 知道数列极限存在的充要条件与归结原则。

§2关于实数的基本定理理解确界、闭区间套、有限覆盖及聚点等概念, 熟悉关于实数完备性的六个等价定理的条件和结论；会用实数完备性定理证明一些简单命题。

§3 闭区间上连续函数性质的证明理解有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理的条件和结论, 理解一致连续的定义和一致连续性定理；会用一致连续的定义证明函数的一致连续性, 会用闭区间上连续函数的性质定理证明相关命题。

第十四章隐函数定理与重积分的换元法§1隐函数存在定理理解隐函数（组）存在惟一性定理的条件和结论；了解反函数组与坐标变换的概念和反函数组定理的条件与结论；掌握坐标变换的雅可比行列式的计算。

§2 重积分的换元法理解二重积分的坐标变换公式, 掌握用换元法计算二重积分的基本方法；了解三重积分的坐标变换公式, 会用球面坐标计算三重积分。

数学分析续论A 卷复习资料一. 计算题1.求函数11(,)f x y y x=+在点(0,0)处的二次极限与二重极限. 解：11(,)f x y y x ==，因此二重极限为0.因为011x y x →与011y y x→均不存在，故二次极限均不存在。

2. 设(),()y y x z z x =⎧⎨=⎩ 是由方程组(),(,,)0z xf x y F x y z =+⎧⎨=⎩所确定的隐函数,其中f 和F 分别具有连续的导数和偏导数,求dzdx.3. 取,μν为新自变量及(,)w w v μ=为新函数，变换方程 222z z zz x x y x ∂∂∂++=∂∂∂∂。

设,,22y x y x yw ze μν+-=== （假设出现的导数皆连续）. 解：z 看成是,x y 的复合函数如下：,(,),,22y w x y x y z w w e μνμν+-====。

代人原方程，并将,,x y z 变换为,,w μν。

整理得：2222w ww μμν∂∂+=∂∂∂。

4. 要做一个容积为31m 的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解： 设圆桶底面半径为r ,高为h ,则原问题即为：求目标函数在约束条件下的最小值，其中目标函数: 222S rh r ππ=+表, 约束条件: 21r h π=。

构造Lagrange 函数：22(,,)22(1)F r h rh r r h λππλπ=++-。

令 22420,20.r h F h r rh F r r πππλππλ=++=⎧⎨=+=⎩ 解得2h r =，故有r h == 由题意知问题的最小值必存在，当底面半径为r =高为h =时，制作圆桶用料最省。

5. 设322()y x y y F y e dx -=⎰,计算()F y '.解：由含参积分的求导公式332222322222()32y y x yx y x yxy x yx y y yyF y e dx x e dx y e ye ----=='⎛⎫'==-+- ⎪⎝⎭⎰⎰327522232y x y y y y x e dx y e ye ---=-+-⎰375222751222y y y x y y y e ye e dx y ---=--⎰。

高数大一补考b卷知识点高等数学是大学教育中一门重要的基础课程，对于大一学生来说，通过高数课程的学习，可以帮助他们建立扎实的数学基础，为后续的学习打下坚实的基础。

然而，有时候学生可能会在考试中表现不够理想，需要进行补考。

本文将重点介绍高数大一补考卷B的知识点，希望能为大家的备考提供一些帮助。

1. 一元高次方程与二次函数- 一元高次方程的定义及基本性质- 二次函数的定义、图像与性质- 一元高次方程与二次函数的联系与应用2. 函数与极限- 函数的定义与性质- 极限的概念、性质与运算法则- 利用极限计算函数的导数3. 导数与微分- 导数的定义与计算方法- 高阶导数与 Leibniz 公式- 微分的定义与性质4. 不定积分- 不定积分的定义与基本性质 - 基本积分公式与常用积分方法 - 微分方程的求解5. 定积分- 定积分的定义与性质- 定积分的计算方法与应用- 反常积分的概念与计算6. 微分方程- 微分方程的基本概念与分类 - 一阶常微分方程的解法- 高阶常微分方程的解法7. 空间解析几何- 空间直线与平面的方程- 空间曲线与曲面的方程- 空间几何问题的解决方法8. 多元函数及其偏导数- 多元函数的定义与性质- 偏导数的概念与计算方法- 高阶偏导数与混合偏导数9. 多元函数的极值与最值- 多元函数的极值与最值的定义 - 极值与最值的判定方法- 条件极值与最值的求解10. 重积分与曲线积分- 重积分的定义与性质- 二重积分与三重积分的计算- 曲线积分的定义与计算方法以上是高数大一补考卷B的主要知识点，希望同学们能认真复习，理解每个知识点的概念与原理，并能够熟练运用到具体的问题中。

除了理论知识的学习，还要注重练习，通过大量的习题来提高解题能力。

相信只要付出足够的努力，大家一定能够在补考中取得好成绩。

祝愿大家考试顺利！。