2020年河北省名优校高考数学模拟试卷(文科)(4月份) (含答案解析)

2020年河北省名优校高考数学模拟试卷(文科)(4月份)

一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 已知集合𝐴={0,1，2，3}，𝐵={𝑥∈𝑅|−2<𝑥<2}，则𝐴∩𝐵=( )

A. {0,1} B. {1} C. {0,1，2} D. {0,2}

2. 设i为虚数单位，复数𝑧=(12+√32𝑖)2，则z在复平面内对应的点在第(

)象限．

A. 一 B. 二 C. 三 D. 四

3. 如图，在扇形AOB中，∠𝐴𝑂𝐵=90∘，以点A为圆心，OA的长为半径作𝑂𝐶⌢交𝐴𝐵⌢于点𝐶.若在整个图形中随机取一点，则以下数值最接近于此点取自阴影部分的概率是( )

A. 0.3

B. 0.25

C. 0.22

D. 0.2

4. 设𝑎=214,𝑏=(15)0.2,𝑐=log136则( )

A. 𝑎<𝑏<𝑐 B. 𝑐<𝑏<𝑎 C. 𝑐<𝑎<𝑏 D. 𝑏<𝑎<𝑐

5. 若|𝑎⃗ −𝑏⃗ |=4，且𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，则|𝑎⃗ +𝑏⃗ |的值为( )

A. 1 B. √2 C. 2 D. 4

6. 函数𝑦=𝑠𝑖𝑛3𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥，𝑥∈(−𝜋,𝜋)图象大致为( )

A. B.

C. D. 7. 已知，，则 )

A. √210

B.

−√210

C.

7√210

D.

−7√210

8. 已知函数的一条对称轴为直线𝑥=−𝜋6，若𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2)=−4，则|𝑥1+𝑥2|的最小值为( )

A. 𝜋3 B. 𝜋2 C. 2𝜋3 D. 3𝜋4

9. 阅读程序框图，若输入𝑚=4，则输出S等于( )

A. 8

B. 12

C. 20

D. 30

10. 若双曲线C：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的一条渐近线倾斜角为𝜋6，则双曲线C的离心率为( )

A. 2或√3 B. 2√33 C. 2或2√33 D. 2

11. △𝐴𝐵𝐶的内角A，B，C的对边分别为a、b、𝑐.已知sin𝐵+sin𝐴(sin𝐶−cos𝐶)=0，𝑎=2,𝑐=√2，则𝐶=( )

A. 𝜋12 B. 𝜋6 C. 𝜋4 D. 𝜋3

12. 椭圆𝑥24+𝑦2=1上存在两点A，B关于直线4𝑥−2𝑦−3=0对称，若O为坐标原点，则|𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ +𝑂𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=( )

A. 1 B. √3 C. √5 D. √7

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知实数x，y满足{𝑥−2𝑦+1≥0𝑥+𝑦−1≥0𝑥<2，则𝑧=2𝑥−𝑦的取值范围是______．

14. 在数列{𝑎𝑛}中，若𝑎1=1，𝑎𝑛+𝑎𝑛+1=12𝑛(𝑛∈𝑁∗)，则𝑎1+𝑎2+⋯+𝑎2𝑛=__________． 15. 已知𝑓(𝑥)=𝑥2+(𝑥−𝑚)𝑠𝑖𝑛𝑥+𝑐𝑜𝑠𝑥为偶函数，若曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(𝑎,𝑓(𝑎))处与直线𝑦=𝑏相切，则𝑎+𝑏=________．

16. 三棱锥𝑆−𝐴𝐵𝐶中，侧棱𝑆𝐴⊥底面ABC，𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=8，∠𝐵=60°，𝑆𝐴=2√5，则该三棱锥的外接球的表面积为______．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）

17. 已知等差数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，公差d不为零，若𝑎1，𝑎3，𝑎9成等比数列，且𝑆4=10．

(1)求数列{𝑎𝑛}的通项公式；

(2)求证：1𝑆1+1𝑆2+⋯+1𝑆𝑛<2．

18. 在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥底面ABCD，底面为正方形，M是PC上一点且𝐵𝑀⊥𝑃𝐶．

(1)求证：平面𝑀𝐵𝐷⊥平面PCD；

(2)若𝑃𝐴=𝐴𝐵=1，求𝑀−𝐴𝐵𝐷的体积．

19. 学生学习的自律性很重要．某学校对自律性与学生成绩是否有关进行了调研，从该校学生中随机抽取了100名学生，通过调查统计得到2×2列联表的部分数据如下表：

自律性一般 自律性强 合计

成绩优秀 40

成绩一般 20

合计 50 100

(1)补全2×2列联表中的数据；

(2)判断是否有99.9％的把握认为学生的成绩与自律性有关．

参考公式及数据：𝐾2=𝑛(𝑎𝑑−𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑)．

𝑃(𝐾2≥𝑘0) 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001

𝑘0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828

20. 已知抛物线C：𝑦2=2𝑝𝑥(𝑝>0)的焦点为F，直线𝑦=4与y轴交于点P，抛物线C交于点Q，且|𝑄𝐹|=54|𝑃𝑄|．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过原点O作斜率为𝑘1和𝑘2的直线分别交抛物线C于A，B两点，直线AB过定点𝑇(2,0)，𝑘1𝑘2是否为定值，若为定值，求出该定值，若不是，则说明理由．

21. 已知𝑓(𝑥)=(𝑎𝑥−1)𝑒𝑥+𝑥2．

(1)当𝑎=1时，讨论函数𝑓(𝑥)的零点个数，并说明理由；

(2)若𝑥=0是𝑓(𝑥)的极值点，证明𝑓(𝑥)≥ln(𝑎𝑥−1)+𝑥2+𝑥+1．

22. 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合．若直线l的极坐标方程为𝜌𝑠𝑖𝑛(𝜃−𝜋4)=3√2.已知点P在椭圆C：𝑥216+𝑦29=1上，求点P到直线l的距离的最大值．

23. 已知函数𝑓(𝑥)=|2𝑥−𝑎|−|𝑥+2𝑎|(𝑎>0)．

(1)当𝑎=12时，求不等式𝑓(𝑥)≥1的解集；

(2)若𝑓(𝑥)≤−5有解，求实数a的取值范围．

【答案与解析】

1.答案：A

解析：解：∵集合𝐴={0,1，2，3}，

𝐵={𝑥∈𝑅|−2<𝑥<2}，

∴𝐴∩𝐵={0,1}．

故选：A．

利用交集定义直接求解．

本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

2.答案：B

解析：解：∵𝑧=(12+√32𝑖)2=14+√3𝑖2+3𝑖24=−12+√32𝑖．

则z对应的点(−12,√32)在第二象限．

故选B．

先对已知复数进行化简，然后求出共轭复数，即可求解其对应的点所在的象限．

本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．

3.答案：C

解析：

本题考查与面积有关的几何概型及扇形面积公式，求出阴影部分的面积，然后利用几何概型公式求解即可．

解： 如下图，

阴影部分的面积等于扇形BOC的面积减去弓形OC的面积，

因为△𝐴𝑂𝐶为正三角形，所以∠𝐴𝑂𝐶=60°，

得角度𝐵𝑂𝐶=30°，

设𝑂𝐴=1，

则阴影部分的面积，

又扇形AOB的面积为，

所以此点取自阴影部分的概率是．

故选C．

4.答案：B

解析：

本题考查了对数函数、指数函数的性质的应用，属于基础题．

解题时直接利用指，对数函数的单调性，可以求出结果．

解：．

故选B．

5.答案：D

解析：

推导出|𝑎⃗ −𝑏⃗ |=√(𝑎⃗ −𝑏⃗ )2=√𝑎⃗ 2+𝑏⃗ 2−2𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =√𝑎⃗ 2+𝑏⃗ 2=4，由此能求出|𝑎⃗ +𝑏⃗ |.

本题考查向量的模的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

解：∵|𝑎⃗ −𝑏⃗ |=4，且𝑎⃗ ⊥𝑏⃗ ，

∴|𝑎⃗ −𝑏⃗ |=√(𝑎⃗ −𝑏⃗ )2=√𝑎⃗ 2+𝑏⃗ 2−2𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =√𝑎⃗ 2+𝑏⃗ 2=4，

∴|𝑎⃗ +𝑏⃗ |=√(𝑎⃗ +𝑏⃗ )2=√𝑎⃗ 2+𝑏⃗ 2+2𝑎⃗ ⋅𝑏⃗ =√𝑎⃗ 2+𝑏⃗ 2=4．

故选：D． 6.答案：D

解析：解：函数𝑦=𝑠𝑖𝑛3𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥满足𝑓(−𝑥)=−𝑠𝑖𝑛3𝑥1+𝑐𝑜𝑠𝑥=−𝑓(𝑥)，函数为奇函数，排除A，

由于𝑓(𝜋2)=sin3𝜋21+cos𝜋2=−1，𝑓(𝜋3)=𝑠𝑖𝑛𝜋1+cos𝜋3=0，𝑓(2𝜋3)=𝑠𝑖𝑛2𝜋1+cos2𝜋3=0

故排除B，C

故选：D．

利用函数的奇偶性排除选项，然后利用特殊值判断即可．

本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数值的应用，考查分析问题解决问题的能力．

7.答案：B

解析：

本题主要考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系以及两角差的余弦公式的应用，是基础题．

解：因为又因为𝛼∈(𝜋2,𝜋),

所以𝑠𝑖𝑛𝛼=35,𝑐𝑜𝑠𝛼=−45,

所以

=−2√25+3√210=−√210．

故选B．

8.答案：C

解析：

通过三角恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值求出结果．

本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是中档题．

解：

由于函数𝑓(𝑥)的对称轴为：𝑥=−𝜋6，

所以