河南省名校联盟高考2020年高考4月份模拟 文科数学(试卷 (解析版)

2020年名校联盟高考数学模拟试卷（文科）（4月份）

一、选择题（共12小题）

1．已知i为虚数单位，则（ ）

A．i B．i C．i D．i

2．已知集合A＝{x|2x≤2}，B＝{x|x2﹣2x0}，则A∩（∁RB）＝（ ）

A．∅ B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣1，1]

3．设（1，λ），（﹣2，3），若∥（2），则λ＝（ ）

A． B． C．1 D．1或5

4．已知双曲线1的离心率为2，则双曲线y2＝1的焦距是（ ）

A．2 B． C．4 D．2

5．已知函数f（x），在等差数列{an}中，a7＝7，a9＝11，则f（a8）＝（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6．下列命题为真命题的个数是（ ）

①∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；

②若•0，则或；

③命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“的逆否命题为真命题；

④函数f（x）是偶函数． A．1 B．2 C．3 D．4

7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转经过点（﹣3，4），则cosα＝（ ）

A． B． C． D．

8．5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（ ）

A． B． C． D．

9．函数f（x）＝x2﹣xsinx的图象大致为（ ）

A． B．

C． D．

10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

11．已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x﹣1）为偶函数，且函数f（x）与直线y＝x有一个交点（1，f（1）），则f（1）+f（2）+f（3）+……+f（2018）+f（2019）＝（ ）

A．﹣2 B．0 C．﹣1 D．1

12．已知椭圆1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，以线段F1A为直径的圆交线段F1B的延长线于点P，若F2B∥AP且线段AP的长为2，则该椭圆方程为（ ）

A．1 B．1

C．1 D．1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．曲线y在x＝1处的切线方程为

．

14．已知实数x，y满足，则z＝2x+y的最大值为 ．

15．记Sn为等比数列{an}的前n项和，a1＝1，且S4＝a5﹣1，则公比q＝ ．

16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点均在表面积为的同一球面上，AB＝AC＝BC＝4，则这个三棱柱的高是 ．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说眀、证眀过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．

17．某班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行统计，发现分数都位于20～55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55]共七组．其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n．

（1）求频率分布直方图中m，n的值：

（2）求该班级这次月考语文作文分数的平均数和中位数．（每组数据用该组区间中点值作为代表）

18．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2cosAsinB＝sinA+2sinC．

（1）求角B的大小；

（2）若a＝2，△ABC的面积为2，求b．

19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面四边形ABCD为矩形且AD＝2AB＝4，平面PAD⊥平面ABCD，且△PAD是正三角形，E是AD的中点．

（1）证明：CE⊥平面PBE；

（2）求点E到平面PBC的距离．

20．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为2．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若过点F作互相垂直的两条直线11，l2，l1与抛物线C交于A，B两点，l2与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求|MF|•|NF|的最小值．

21．已知函数f（x）＝a（x﹣e）ex﹣1（a∈R），g（x）＝﹣x﹣1．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）当a＝1且x＞1时，求证：f（x）＞g（x）．

（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．（本小题满分10分）[选修44：坐标系与参数方程]

22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ）．

（1）写出曲线C的普通方程和直线1的直角坐标方程．

（2）若直线1与曲线C相交于A，B两点，求△OAB的面积．

[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）

23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+|x+2|．

（1）当a＝1时，求不等式f（x）≤7的解集；

（2）若∃x0∈R，f（x0）≤|3﹣a|，求实数a的取值范围．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知i为虚数单位，则（ ）

A．i B．i C．i D．i

【分析】利用复数的运算法则即可得出．

解：原式i．

故选：C．

2．已知集合A＝{x|2x≤2}，B＝{x|x2﹣2x0}，则A∩（∁RB）＝（ ）

A．∅ B．（﹣1，） C．（，1） D．（﹣1，1]

【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集和补集的运算即可．

解：，

∴，．

故选：B．

3．设（1，λ），（﹣2，3），若∥（2），则λ＝（ ）

A． B． C．1 D．1或5

【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出λ的值． 解：由（1，λ），（﹣2，3），

则2（5，λ﹣6），

又∥（2），

所以（λ﹣6）﹣5λ＝0，

解得λ．

故选：A．

4．已知双曲线1的离心率为2，则双曲线y2＝1的焦距是（ ）

A．2 B． C．4 D．2

【分析】根据所给双曲线的方程和离心率求出m即可

解：因为e2，所以m＝12，

则y2＝1的焦距为22，

故选：D．

5．已知函数f（x），在等差数列{an}中，a7＝7，a9＝11，则f（a8）＝（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】利用等差数列的性质求出a8，然后利用分段函数求解函数值即可．

解：在等差数列{an}中，a7＝7，a9＝11，可得a89，

所以f（a8）＝f（9）＝1+log39＝3．

故选：C． 6．下列命题为真命题的个数是（ ）

①∀x∈{x|x是无理数}，x2是无理数；

②若•0，则或；

③命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“的逆否命题为真命题；

④函数f（x）是偶函数．

A．1 B．2 C．3 D．4

【分析】根据函数，向量，整数，命题的基本概念，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解：对于（1）中，当x时，x2＝2为有理数，故错；对于（2）若•0，可以有，故错；对于（3）∵命题“若x2+y2＝0，x∈R，y∈R，则x＝y＝0“是真命题，则它的逆否命题为真命题，故对；对于（4）∵f（﹣x）f（x），且函数定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，则函数f（x）是偶函数，故对，综上真命题有2个

故选：B．

7．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，将角α的终边按顺时针方向旋转经过点（﹣3，4），则cosα＝（ ）

A． B． C． D．

【分析】由已知利用三角函数的定义可得cos（α），sin（α）的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cosα的值．

解：∵角α的终边按顺时针方向旋转后得到的角为α，由三角函数的定义，可得cos（α），sin（α）， ∴cosα＝cos（α）＝cos（α）cossin（α）sin（）．

故选：D．

8．5名学生中有且只有3名同学会颠足球，从中任意选取2人，则这2人都会颠足球的概率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】从中任意选取2人，基本事件总数n10，这2人都会颠足球包含的基本事件个数m3，由此能求出这2人都会颠足球的概率．

解：5名学生中有且只有3名同学会颠足球，

从中任意选取2人，

基本事件总数n10，

这2人都会颠足球包含的基本事件个数m3，

∴这2人都会颠足球的概率p．

故选：A．

9．函数f（x）＝x2﹣xsinx的图象大致为（ ）

A． B．

C． D． 【分析】由函数为偶函数，可排除B，利用导数研究可知当x＞0时，f（x）＞0，且f（x）单调递增，可排除C、D，由此得出正确选项．

解：∵f（﹣x）＝（﹣x）2﹣（﹣x）sin（﹣x）＝x2﹣xsinx＝f（x），且定义域为R，

∴f（x）为偶函数，故排除选项B；

f（x）＝x（x﹣sinx），设g（x）＝x﹣sinx，则g′（x）＝1﹣cosx≥0恒成立，

∴g（x）单调递增，

∴当x＞0时，g（x）＞g（0）＝0，

∴当x＞0时，f（x）＝xg（x）＞0，且f（x）单调递增，故排除选项C、D；

故选：A．

10．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝4，AC⊥BC，CC1＝5，D，E分别是AB，B1C1的中点，则异面直线BE与CD所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据题意可分别以CA，CB，CC1三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，从而可得出C，D，B，E的坐标，进而得出向量的坐标，从而可求出的值，进而得出异面直线BE与CD所成的角的余弦值．

解：可知CA，CB，CC1三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：

C（0，0，0），B（0，4，0），A（4，0，0），D（2，2，0），E（0，2，5），