第一章 测量平差总论

第一章 测量平差总论

§1-1 测量平差的基本概念

一、 测量平差问题

测量误差，也称观测误差，是待观测量的真值与其观测值之差。观测只是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取反映地球及其他实体与空间分布有关信息的过程和数据。不论观测条件如何，测量误差总是不可避免的。

多余观测，为了确定一定的几何模型，并不需要知道该模型中所有元素大小，而只需要知道其中必要的部分元素的大小就行了。例如确定一个平面三角形的形状，只需要知道其中任意二个内角的大小。这二个内角观测值就称为必要观测。在几何模型中多于必要观测数的观测数称为多余观测数，如三角形中共观测了三个内角，则多余观测数为1。为了检查观测值中是否存在错误，并提高观测成果的精度，一定要进行多余观测。

不可避免的测量误差和一定要进行的多余观测这两个原因导致了观测值之间，或观测值与已知值之间出现矛盾（不符值）。比如，对同一量的多次观测，其观测结果不相等；观测值或观测值的函数与其理论值不相等（最典型的是三角形的三内角观测值之和不等于理论值1800）。观测值之间的这种矛盾（不符值），使得测量问题的解不惟一。为了消除这种矛盾（不符值），得到测量问题的惟一解，就要对引起这种矛盾（不符值）的主要原因——测量误差进行研究和处理。处理带有误差的观测值，按最小二乘原理消除观测值之间的矛盾，求出测量问题的惟一解并评定精度的理论和方法被称为“测量平差”。

“测量平差”一词在我国最早出现在夏坚白、王之卓和陈永龄三位教授合著的我国第一本测量方面的教材。“二十八年秋，著者三人同在昆明，分别任教于同济大学、西南联大及中山大学。教学之际，深感国内关于测量课本及参考书之缺乏，学者苦之，乃有编辑测量学丛书之决心，而以《测量平差法》[1]一书为始。”（引自《学部委员夏坚白》）。“测量平差”主要研究测量误差的理论、测量平差的方法和测量成果的精度评定。

二、 误差理论

研究内容包括：误差分布、精度指标、误差估计、误差检验、误差分析以及误差预测和控制。

在《误差理论与测量平差基础》[2]一书中，假定系统误差已经通过某种手段得以消除，而且不存在粗差。在这一前提下，测量误差服从正态分布，其数学期望（真值）为零。方差为衡量观测值或观测误差的精度指标。随机向量X的方差的定义为： ()[(())(())]TDXEXEXXEX （1-1-1）

当X为一个随机变量时，其方差可以记为：

22()(())xDXEXEX （1-1-2）

x就是X的中误差（即标准差，下同）。

方差D（X）定义式（1-1-1）的显式为：

1121122212222()nnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDXLLMMOML

式中主对角元素为iX的方差，非主对角元素ijxx为iX与jX的协方差，协方差的定义式为：

[(())(())]ijxxiijjEXEXXEX （1-1-3）

方差还可表达为相应的协因数与单位权方差的乘积，即：

20()xxDXQ （1-1-4）

式中xxQ称为协因数矩阵。当xxQ非奇异时，1xxQP，P为X的权阵。当X为一个随机变量时，则权的定义为：

202xxP （1-1-5）

上式表明，权与方差成反比。比例常数20称为单位权方差。权是一个相对精度指标。

误差估计总是与平差参数估计同时进行，而且依附于平差参数估计之中，因为误差也是平差系统中所要估计的参数。

误差检验的目的是要在平差问题中排除系统误差和粗差的影响，以保证测量成果的精度。

三、 平差方法

在《误差理论与测量平差基础》中，介绍了条件平差、间接平差、附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差和附有限制条件的条件平差等五种平差方法。这五种平差方法并无本质的差别，只是所选参数的个数不同，以及参数之间是否相关所至。因此，我们通常称这五种平差方法为经典平差，它们是测量平差的基础方法。

在经典平差中，如果不选参数，即当所选参数的个数u=0时，平差的函数模型为：

1110rnnrrAVW （1-1-6）

式中n为观测值的个数，r为多余观测的个数。以（1-1-6）式为函数模型的平差问题，称为条件平差。

当所选参数的个数为u（0

1111ˆ0cncuunccAVBXW （1-1-7）

式中c = r + u为条件方程的个数，Xˆ为所选取的u个参数向量。以（1-1-7）式为函数模型的平差问题，称为附有参数的条件平差。

当所选参数的个数为u = t，且参数之间相互独立时，平差的函数模型为：

111ˆnttnnVBXL （1-1-8）

以（1-1-8）式为函数模型的平差问题，称为间接平差。

当所选参数的个数为u > t，且包含t个独立的参数时，其余u - t个参数都可以表示成t个独立参数的函数，于是平差的函数模型为：

111111ˆˆ0nuunnxusussVBXLCXW （1-1-9）

式中s = u - t为限制条件的个数。以（1-1-9）式为函数模型的平差问题，称为附有限制条件的间接平差。

当所选参数的个数为0

1111111ˆ0ˆ0cncuunccxusussAVBXWCXW （1-1-10）

以（1-1-10）式为函数模型的平差问题，称为附有限制条件的条件平差。

通常将间接平差和限制条件的间接平差称为参数平差，其应用最为广泛。其它三种总称为条件平差。各种平差方法可以互相转换。以上经典平差法的最优估计准则为最小二乘原理。

四、平差结果的精度评定

精度评定包括两个内容，第一内容是根据平差后求得的改正数来估计单位权中误差，即

0ˆTVPVr （1-1-11）

式中V为观测值的改正数（残差）向量，P为观测值的权矩阵，r为平差问题的自由度，即多余观测数。

第二内容是应用协因数传播律，计算观测值函数0fLf的协因数Q，其公式为：

TQfQf （1-1-12）

最后的方差估值为：

220ˆQ (1-1-13)

§1-2 参数平差原理总述

一、 附有限制条件的间接平差原理【2】

1、平差模型

附有限制条件的间接平差的函数模型和随机模型分别为：

111110nnuunxususLBXCXW （1-2-1）

22100DQP （1-2-2）

相应的误差方程和条件方程为：

ˆˆ0xVBXlCXW （1-2-3）

式中

0lLBX （1-2-4）

按最小二乘原理，在

ˆ2()minTTSxVPVKCXW

下得法方程及其解为

ˆ0ˆ0TTBBSxNXCKBPlCXW (1-2-5)

11()CCBBTSxKNCNBPlW （1-2-6）

111111ˆ()BBBBCCBBBBCCTTTxXNNCNCNBPlNCNW

式中 TBBNBPB,1BBTccNCNC (1-2-7)

2、精度评定

（1）、单位权方差

单位权方差估值为：

02ˆ()TTVPVVPVrnus （1-2-8）

（2）、协因数阵

协因数阵的计算公式列于表1-1

表1-1 附有限制条件的间接平差的协因数阵

L ˆX V ˆL

L Q ˆˆxxBQ vvQ vvQQ

ˆX ˆˆTxxQB 1111BBBBCCBBTNNCNCN 0 ˆˆTxxQB

V vvQ 0 ˆˆTxxQBQB 0

ˆL vvQQ ˆˆxxBQ 0 vvQQ

二、 间接平差原理

在附有限制条件的间接平差中，当参数的个数正好等于必要观测数，即u＝t，且参数之间彼此独立时，有s= u-t =0，即此时不存在条件。于是函数模型（1-2-1）式就变为：

111nnuunLBX

（1-2-9）

相应的误差方程、法方程及其解为：

ˆVBXl （1-2-10）

ˆ0TBBNXBPl （1-2-11）

1ˆBBTXNBPl （1-2-12）

间接平差中单位权方差的估值为：

02ˆTTVPVVPVrnt （1-2-13）

间接平差中的协因数阵见表1-2。

表1-2 间接平差中的协因数阵

L ˆX V ˆL

L Q 1BBBN 1BBTBNBQ 1BBTBNB

ˆX 1BBTNB 1BBN 0 1BBTNB

V 1BBTBNBQ 0 1BBTQBNB 0

ˆL 1BBTBNB 1BBBN 0 1BBTBNB

§1-3测量平差的若干进展

仅考虑偶然误差的经典平差在整个测量史上发挥了巨大的作用，至今仍广泛应用。但随着科学技术的不断扩展，测量数据采集的现代化、自动化和高精度化，使得有时经典平差模型不能适应实际问题的需要，因此，测量平差的研究内容也不断扩展。这些扩展主要体现在：