分式方程的无解与增根

1 例谈分式方程的增根与无解

例1 解方程2344222xxxx． ①

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②

解这个方程，得x=2．

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．

所以原方程无解．

例2 解方程22321xxxx．

解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．

整理得0x＝8．

因为此方程无解，所以原分式方程无解．

例3（2007湖北荆门）若方程32xx=2mx无解，则m=——————．

解：原方程可化为32xx=－2mx．

方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．

解这个方程，得x=3－m．

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，

所以2=3－m，解得m=1．

故当m=1时，原方程无解．

例4当a为何值时，关于x的方程223242axxxx①会产生增根？

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）

整理得（a－1）x＝－10 ②

若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．

把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6． 若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：

当a为何值时，关于x的方程223242axxxx①无解？

此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）

整理得（a－1）x＝－10 ②

若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．

1 分式方程的增根与无解讲解

例1 解方程． ①

23

44

22

2





xxx

x

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）．②

解这个方程，得x=2．

经检验：当x=2时，原方程无意义，所以x=２是原方程的增根．

所以原方程无解．

例2 解方程．2

23

21









xx

xx

解：去分母后化为x－1＝3－x＋2（2＋x）．

整理得0x＝8．

因为此方程无解，所以原分式方程无解．

例3（2007湖北荆门）若方程=无解，则m=

——————．3

2x

x

2m

x

解：原方程可化为=－．3

2x

x

2m

x

方程两边都乘以x－2，得x－3=－m．

解这个方程，得x=3－m．

因为原方程无解，所以这个解应是原方程的增根．即x=2，

所以2=3－m，解得m=1．

故当m=1时，原方程无解．

例4当a为何值时，关于x的方程①会产生增根？

223

242ax

xxx



解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）

整理得（a－1）x＝－10 ②

若原分式方程有增根，则x＝2或－2是方程②的根．

把x＝2或－2代入方程②中，解得，a＝－4或6．

若将此题“会产生增根”改为“无解”，即：

当a为何值时，关于x的方程①无解？

223

242ax

xxx



此时还要考虑转化后的整式方程（a－1）x＝－10本身无解的情况，解法如下：

解：方程两边都乘以（x+2）（x-2），得2（x＋2）＋ax＝3（x－2）

整理得（a－1）x＝－10 ②

2若原方程无解，则有两种情形：

（1）当a－1＝0（即a＝1）时，方程②为0x＝－10，此方程无解，所以原方程无解。

（2）如果方程②的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程无解．原方程若有增根，增根为x＝2

或－2，把x＝2或－2代入方程②中，求出a＝－4或6．

综上所述，a＝1或a＝一４或a＝6时，原分式方程无解．

例5：（2005扬州中考题）

若方程-=1有增根，则它的增根是（ ）

１ 分 式 方 程 的 增 根

【例1】如果方程xxx21321有增根，那么增根是 .

【例2】若关于x的分式方程3132xmx有增根，求m的值.

【例3】若关于x的方程 错误！未找到引用源。 – 1 = 0有增根，则a的值为 。

【例4】m 时，关于x的方程223242mxxxx会产生增根．

【对应练习】

1.若分式方程244xaxx有增根，则a的值为 ．

2.关于x的方程933312xkxkx有增根，求k的值．

3.当a为何值时？关于x的方程225111axxx会产生增根。

4.m为何值时，分式方程xxxxmxx11122存在增根．

待 定 字 母 求 值

【例1】若分式方程122xax的解是正数，求a的取值范围.

【例2】已知关于x的分式方程axa112无解，试求a的值.

２ 【例3】已知：511yx，求yxyxyxyx2232的值.

【例4】若111312xNxMxx，试求NM,的值.

【对应练习】

1.若分式方程错误！未找到引用源。= 错误！未找到引用源。 无解，求m的值。

2.若关于x的分式方程3232xmxx无解，则m的值为 ．

3.已知：311ba，求aabbbaba232的值.

4.如果21(3)(4)34xABxxxx,求A、B的值．

补充：换元法解分式方程

（1）错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。

（2）（x - 错误！未找到引用源。）2 - 2（x - 错误！未找到引用源。）- 3 = 0

1 与分式方程的根有关的问题

【知识梳理】

1、解分式方程的基本步骤：

(1)去分母,即在方程两边都乘以 最简公分母 ,把原方程化成 整式方程 。

(2)解这个整式方程;

(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母, 使最简公分母不等于零的根是原方程的根, 使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去.

2、分式方程的增根问题：

⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程

后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根即增根；增根是由分式方程化成的整式方程的根，也是使最简公分母为0的根

⑵ 验根：解分式方程必须验根．验根的简单方法是代入最简公分母，看其是否为0.

3、增根必须同时满足两个条件：

（1）使分式方程的最简公分母为零的根。

（2）是由分式方程转化成整式方程的根。

【问题分析】

问题一：关于分式方程增根问题

1、已知含参分式方程，求增根问题

例1： 若方程)1)(1(6xx-1xm=1有增根，则它的增根是？

变式练习：若关于x的方程7667xkxx有增根，则增根为 。

2、已知分式方程有增根，求字母系数的值

例题2：若分式方程：024122xxa有增根，求a的值。

变式练习：关于x的分式方程1122kxx有增根，求k的值 。

2 3、已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围

例题3：当a取何值时，解关于x的方程：xxxxxaxxx12212212无增根？

变式练习:当m为 时，分式方程01163xxmxxx无增根？

4、已知分式方程根的符号，求字母系数的值或取值范围

例题4：关于x的分式方程1131xxm的解为正数，则m的取值范围是？

变式练习：已知关于x的方程322xmx的解是正数，则m的取值范围为__ ___。