例谈分式方程中的增根与无解

2020年4月10日理科考试研究•数学版.15 •

例诙分式方程中的增根与无鮮

沈建新

(新市镇初级中学浙江湖州313201)

摘要：解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程进行求解，但有时会出现使分式方程无意义的根（即

增根），因此在解分式方程时“验根”是必不可少的环节.本文以若干常见题型为例进行探索分析.

关键词：分式方程;增根；无解

1增根与检验

在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程

的根使分式方程至少有一个分母为零,那么这个根叫

做原分式方程的增根.增根是整式方程的根但不是原

分式方程的根.因此，在解分式方程时为了判断所求

的根是否使原方程有意义，必须进行验根.即将所得

的结果代入原分式方程的分母，看它的值是否为零.

若为零，即为增根;若不为零,即为原分式方程的解•

例1解方程^-# = 1.

X -1 I - X

解方程两边同乘以（*-2)，得;c+*-4=x-2.

解得;c =2.

经检验4 =2是原方程的增根,应舍去，所以原方

程无解.

分析x = 2是分式方程去分母后化成整式方程

的根，但代人原方程后，分母为零，分式无意义，此时

的根即为原方程的增根.那为什么会出现这种情况

呢？因为原分式方程中x的取值范围是而去分

母化为整式方程后，无形中去掉了原分式方程中分母

不为零的限制条件，从而*的取值范围扩大为全体实

数.这样，从整式方程解出的未知数的值就有可能不

是原分式方程的根.

2增根与无解

是不是有增根的分式方程就是无解的，而无解的

分式方程就一定有增根呢？很多学生会以为增根即

为无解,无解即为增根.但事实并非如此.

当分式方程有增根时，即这个解使原分式方程分

母为零，因此分式方程无解（如例1).但有增根的分

式方程不一定无解，如解方程^— M，去

X+1

X +X X

分母后化为U-3)U + 1) =〇,解得或1=-1，其中x =- 1是增根，但原方程并不是无解，而是有一个

Mx

=3.

当分式方程无解时，存在两种情况：一种是分式

方程通过去分母后所得的整式方程本身无解.若化简

后的结果形如当a=0,6#0时，这样的：》:不存

在，此时原方程无解;若化简后的整式方程是一元二

次方程，当A <0时，原方程也无解.另一种是化简后

的整式方程有解，但这些解使原分式方程的分母为

零，它是增根，从而原方程无解.综上所述，无解不一

定就是增根，也可能是化简后的整式方程本身无解，

那原分式方程当然也就无解.

例2若关于^的分式方程1-^ = 1无解，

X

- 1

X

则 ______•

解去分母，得 X

- a) - 3 (;« - 1) =;«(X

- 1)•

化简整理，得*U+2) =3.

① 当a +2 =0时，方程无解，此时a =-2;

② 当a+2#0时,则当;c是增根，即或1 B寸，

分式方程无解.

此时，若x =〇，a不存在;若x = 1 ,则a = 1.

综上所述,a=-2或1.

小结方程无解的条件，关键是看化简后的整式

方程的解的情况.既要考虑整式方程无解的情况，又

要考虑整式方程有解，但它是分式方程增根的可能

性，考虑问题要全面.

3增根与无解问题的分类

3. 1已知分式方程根的情况，求字母系数的值或取

值范围

例3当a为何值时，关于x的方程

= 无实数根.

作者简介：沈建新（1981 -)，男，浙江德清人，本科，中学一级教师，研究方向：

初中数学解题研究•• 16 •理科考试研究•数学版

2020年4月10日

解去分母整理，得

2V-

2x+a

-3 =

0.

该方程为一元二次方程，要使原方程无实数根，

分以下两种情况讨论：

-

8(a-

3) <

0,解得 a>|;

(

2)考虑

2V -

2；c +

a-3 =

0的解若为原方程的

增根时，则原方程无实数根，而原方程的增根为*二

2

或尤=_

1，分另IJ代人

2尤

2 —

2»+(

1—

3=

0都得a = —

1.

综上所述，当a > ^■或a = -

1时，原方程无实数根.

例

4已知关于;c的方程丄-一一=^■有实

X X -x X

-1

数根，求/C的取值范围.

解去分母整理，得fcc

2-

2x+

2=

0.

要使原方程有实数根，只要方程h

2 -

2；c +

2 =

0

有实数根且至少有一个根不是原方程的增根即可，分

以下两种情况讨论：

(

1) 当&=〇时,解得* =

1.而* =

1是原方程的增

根，所以/r=〇应舍去；

(

2) 当灸#

0时，由A =

4—狀&

0,得A

又因为原方程的增根为x =〇或;c = 1，所以当;c =

〇日寸，方程^— 2尤+ 2 = 0不成立；当

a; = 1日寸，A： = 0.

综上所述，当A矣+且时，原方程有实数根.

例

5当a为何值时，满足方程+

X -

1

X

+ 1

的实数根X只有一个（相等的实数根

X

一 1

也算作一个）？

解原方程去分母整理，得

2d+

2* + a

+4 =

0.

该方程为一元二次方程，要使原方程只有一个实

数根，分以下两种情况讨论：

(

1) 当化简后的整式方程有两个相等的实数根，

且不为原方程的增根，所以由A二

4-

8(a+

4) =

0得

a = -^■.当a = ■时，验证可知

〜=*2 符合

题意；

(

2) 当化简后的整式方程有两个不相等的实数

根，但其中一个是原方程的增根，所以由A

=4 -

8(a

+

4)>

0,得a<-~|■•又原方程的增根为;c =

1或x =

-1

，分另丨J 代人 +

2a;+a+

4=0 得 a

=-8 或 a=-

4,

验证可知另一个根分别为* = -

2或x =

0,均符合题意•

综上所述，-

8或-

4.

小结上述三例分别介绍了原分式方程无实数

根、有实数根、有一个实数根时的解题思路，根据根的

情况，由整式方程利用根的判别式求出字母系数的值

或取值范围，但要注意排除使原方程有增根的字母系

数的值.

3.2 已知分式方程有增根，求字母系数的值

解此类题目首先要明确增根的两个性质：

(

1) 增根是使原分式方程分母为零的未知数

的值；

(

2) 增根是将原分式方程去分母后所得整式方程

的根.

例

6若关于x的方程■有增

X -

1

X - X x X

根，求A的值.

解方程两边同乘以x(* + l)(*-l)，得

x(h ~\) - (^ +

1)

= (h -5) (x - \

化简整理，得

3* =

6-A.

原方程的增根为a： =

0,

1或-

1,分别代人

3;*： =

6

-A：得，A =

6,3 或

9.

小结解此类题目时，先将原方程化为整式方

程;再根据增根的性质

（1 )确定分式方程的增根;最后

将增根代人整式方程，利用增根的性质（

2)求出字母

系数的值.

3.3已知分式方程无增根，求字母系数的取值范围

例

7当m为何值时，关于x的方程#

X+1

x +X

='

1±

1不会产生增根？

X

解去分母整理，得*

2-

2*-m-

2=

0.

原方程的增根为*=〇或;<=-

1,把x=

0或x =

—1 分另* 1j 代人

a.' -

2*-m-

2=0 得 m

=-2 或

1.

又由 A

=4 -

4(-m -

2) >

0,得 m >-

3_

所以当m

2且m #

1时，原方程不会产生增根.

小结解此类题目时，先将原方程化为整式方

程，由所得整式方程求出有增根的字母系数的值和使

整式方程有实数根的字母系数的取值范围;再从有实

数根的范围里排除有增根的值，即得无增根的取值

范围■

3.4 已知分式方程根的符号，求字母系数的取值

范围

例

8已知关于*的方程

2 = —^的解是

x - 3 x -

5