2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第7节抛物线跟踪检测文含解析

第 1 页 共 7 页 第九章 解析几何

第七节 抛物线

A级·基础过关|固根基|

1.抛物线y＝ax2(a<0)的准线方程是( )

A．y＝－12a B．y＝－14a

C．y＝12a D．y＝14a

解析：选B 抛物线y＝ax2(a<0)可化为x2＝1ay，准线方程为y＝－14a.故选B.

2．(2019届四川成都检测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(0，－3)．若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝( )

A.43 B.53

C.23 D.33

解析：选A 由题意，F(1，0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d.M的横坐标为d－1，由三角形相似，可得d－11＝2－d2，所以d＝43，故选A.

3．直线l过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，且与抛物线交于A，B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线方程是( )

A．y2＝12x B．y2＝8x

C．y2＝6x D．y2＝4x

解析：选B 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，根据抛物线定义，

x1＋x2＋p＝8，

因为AB的中点到y轴的距离是2，所以x1＋x22＝2，

所以p＝4，所以抛物线方程为y2＝8x.故选B.

4．(2019届太原模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(－2，3)，M在抛物线C上，若点N(1，2)，则|MN|＋|MF|的最小值为( )

A．2 B．3

C．4 D．5

解析： 第 2 页 共 7 页

选B 依题意，知l：x＝－2，则抛物线C：y2＝8x，过点M作MM′⊥l，垂足为M′，过点N作NN′⊥l，垂足为N′，则|MN|＋|MF|＝|MN|＋|MM′|≥|NN′|＝3，故选B.

5．(2020届陕西省百校联盟高三模拟)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若FP→＝4FQ→，则|QF|＝( )

A．1 B.32

C．2 D.52

解析：选B 依题意得F(1，0)．设l与x轴的交点为M，则|FM|＝2.如图，过点Q作l的垂线，垂足为Q1，则|QQ1||FM|＝|PQ||PF|＝34，所以|QQ1|＝34|FM|＝32，所以|QF|＝|QQ1|＝32，故选B.

6．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2，1)，则直线l的方程为________．

解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y21＝4x1，①y22＝4x2，②

由①－②得y21－y22＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴y1－y2x1－x2＝4y1＋y2＝42＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即y＝2x－3.

答案：y＝2x－3

7．抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线x23－y23＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．

解析：在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，AB2＝33p，所以B±33p，－p2. 第 3 页 共 7 页 又因为点B在双曲线上，故p233－p243＝1，解得p＝6.

答案：6

8．已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．

解析：因为双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2，所以2＝ca＝ 1＋b2a2，解得ba＝3，所以双曲线的渐近线方程为3x±y＝0.因为抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点为F0，p2，所以F到双曲线C1的渐近线的距离为p23＋1＝2，所以p＝8，所以抛物线C2的方程为x2＝16y.

答案：x2＝16y

9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.

(1)求抛物线的方程；

(2)若过M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标．

解：(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－p2，

由题意可得4＋p2＝5，所以p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x.

(2)因为点A的坐标是(4，4)，

由题意得B(0，4)，M(0，2)．

又因为F(1，0)，所以kFA＝43，且FA的方程为y＝43(x－1)，①

因为MN⊥FA，所以kMN＝－34，且MN的方程为y－2＝－34x，②

联立①②，解得x＝85，y＝45，

所以N的坐标为85，45.

10．设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝8.

(1)求l的方程；

(2)求过点A，B且与抛物线C的准线相切的圆的方程．

解：(1)由题意得F(1，0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)． 第 4 页 共 7 页 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．

由y＝k（x－1），y2＝4x得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.

Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝2k2＋4k2.

所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2.

由题设知4k2＋4k2＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.

因此l的方程为y＝x－1.

(2)由(1)得，AB的中点坐标为(3，2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.

设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，

则y0＝－x0＋5，（x0＋1）2＝（y0－x0＋1）22＋16，

解得x0＝3，y0＝2或x0＝11，y0＝－6.

因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.

B级·素养提升|练能力|

11.已知抛物线x2＝4y上一动点P到x轴的距离为d1，到直线l：x＋y＋4＝0的距离为d 2，则d1＋d2的最小值是( )

A.522＋2 B.522＋1

C.522－2 D.522－1

解析：选D 抛物线x2＝4y的焦点为F(0，1)，由抛物线的定义可得d1＝|PF|－1，则d1＋d2＝|PF|＋d2－1，而|PF|＋d2的最小值等于焦点F到直线l的距离，即(|PF|＋d2)min＝52＝522，所以d1＋d2的最小值是522－1.

12．(一题多解)(2019届湖北武汉部分学校调研)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，且斜率为3的直线交抛物线C于点M(M在x轴上方)，l为抛物线C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为( )

A.5 B．23

C．33 D．22 第 5 页 共 7 页 解析：选B 解法一：因为直线MF的斜率为3，MN⊥l，所以∠NMF＝60°，又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，所以△NMF是边长为4的等边三角形，所以M到直线NF的距离为23.故选B.

解法二：由题意可得直线MF的方程为x＝33y＋p2，与抛物线方程y2＝2px联立消去x可得y2－233py－p2＝0，解得y＝－33p或y＝3p，又点M在x轴上方，所以M3p2，3p.因为MN⊥l，所以N－p2，3p，所以|NF|＝ p2＋p22＋（0－3p）2＝2p.由题意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，23)，F(1，0)，直线NF的方程为3x＋y－3＝0，且点M的坐标为(3，23)，所以M到直线NF的距离为|33＋23－3|3＋1＝23，故选B.

解法三：由题意可得直线MF的方程为x＝33y＋p2，与抛物线方程y2＝2px联立消去x可得y2－233py－p2＝0，解得y＝－33p或y＝3p，又点M在x轴上方，所以M3p2，3p.因为MN⊥l，所以N－p2，3p，所以|NF|＝p2＋p22＋（0－3p）2＝2p.由题意2p＝4，解得p＝2，所以N(－1，23)，F(1，0)，M(3，23)，设M到直线NF的距离为d，在△MNF中，S△MNF＝12|NF|×d＝12|MN|×yM，所以d＝14×4×23＝23，故选B.

13．已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1

(1)求该抛物线的方程；

(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC→＝OA→＋λOB→，求λ的值．

解：(1)因为抛物线y2＝2px的焦点为p2，0，

所以直线AB的方程为y＝22x－p2，

由y＝22x－p2，y2＝2px，消去y得4x2－5px＋p2＝0，

所以x1＋x2＝5p4.

由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9，

即5p4＋p＝9，所以p＝4. 第 6 页 共 7 页 所以抛物线的方程为y2＝8x.

(2)由p＝4知，方程4x2－5px＋p2＝0可化为x2－5x＋4＝0，

解得x1＝1，x2＝4，故y1＝－22，y2＝42.

所以A(1，－22)，B(4，42)．

则OC→＝OA→＋λOB→＝(1，－22)＋λ(4，42)＝(1＋4λ，－22＋42λ)．

因为C为抛物线上一点，所以(－22＋42λ)2＝8(1＋4λ)，整理得λ2－2λ＝0，所以λ＝0或λ＝2.

14．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．

(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；

(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．

解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)．

因为点P(1，2)在抛物线上，

所以22＝2p×1，解得p＝2.

故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.

(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB.

则kPA＝y1－2x1－1(x1≠1)，kPB＝y2－2x2－1(x2≠1)，

因为PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，

所以kPA＝－kPB.

所以y1－214y21－1＝－y2－214y22－1，

所以y1＋2＝－(y2＋2)．

所以y1＋y2＝－4.

由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，

得y21＝4x1，①y22＝4x2，②

由①－②得，y21－y22＝4(x1－x2)，