高考数学一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线文

1 【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线 文

1.抛物线的概念

平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.

2.抛物线的标准方程与几何性质

标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点 O(0,0)

对称轴 y＝0 x＝0

焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2

离心率 e＝1

准线方程 x＝－p2 x＝p2 y＝－p2 y＝p2

范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R

开口方向 向右 向左 向上 向下

【知识拓展】

1.抛物线y2＝2px (p>0)上一点P(x0，y0)到焦点Fp2，0的距离PF＝x0＋p2，也称为抛物线的焦半径.

2.y2＝ax的焦点坐标为a4，0，准线方程为x＝－a4.

【思考辨析】 2 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )

(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(a4，0)，准线方程是x＝－a4.( × )

(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( × )

(4)AB为抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F(p2，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝p24，y1y2＝－p2，弦长AB＝x1＋x2＋p.( √ )

(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √

)

1.(2015·陕西改编)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为__________.

答案 (1,0)

解析 由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－p2，由题意得－p2＝－1，p＝2，焦点坐标为()1，0.

2.已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，AF＝54x0，则x0＝________.

答案 1

解析 由抛物线的定义，可得AF＝x0＋14，

∵AF＝54x0，∴x0＋14＝54x0，∴x0＝1.

3.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3，则OM＝________.

答案 23

解析 设抛物线方程为y2＝2px (p>0)，

则点M(2，±2p).

∵焦点p2，0，点M到该抛物线焦点的距离为3，

∴2－p22＋4p＝9，解得p＝2(负值舍去)， 3 故M(2，±22).

∴OM＝4＋4×2＝23.

4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为________________.

答案 y2＝－8x或x2＝－y

解析 设抛物线方程为y2＝2px (p≠0)，或x2＝2py (p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.

5.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为________.

答案 43

解析 ∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，

∴－p2＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，

设直线AB的方程为x＝m(y－3)－2，①

将①与y2＝8x联立，即 x＝my－－2，y2＝8x，

得y2－8my＋24m＋16＝0，②

则Δ＝(－8m)2－4(24m＋16)＝0，即2m2－3m－2＝0，

解得m＝2或m＝－12(舍去)，

将m＝2代入①②解得 x＝8，y＝8，

即B(8,8)，又F(2,0)，∴kBF＝8－08－2＝43.

题型一 抛物线的定义及应用

例1 已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求出取最小值时点P的坐标.

解 将x＝3代入抛物线方程

y2＝2x，得y＝±6.

∵6>2，∴A在抛物线内部，如图. 4

设抛物线上点P到准线l：x＝－12的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为72，即PA＋PF的最小值为72，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2,2).

引申探究

将本例中点A的坐标改为(3,4)，求PA＋PF的最小值.

解 当P、A、F共线时，PA＋PF最小，PA＋PF≥AF＝ 3－122＋42＝ 254＋16＝892.

即PA＋PF的最小值为892.

思维升华 与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.

(1)设抛物线x2＝12y的焦点为F，经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A，B两点，又知点P恰为AB的中点，则AF＋BF＝________.

(2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则PB＋PF的最小值为________.

答案 (1)8 (2)4

解析 (1)分别过点A，B，P作准线的垂线，垂足分别为M，N，Q，根据抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离，得AF＋BF＝AM＋BN＝2PQ＝8.

(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则P1Q＝P1F.则有PB＋PF≥P1B＋P1Q＝BQ＝4.

即PB＋PF的最小值为4.

题型二 抛物线的标准方程和几何性质

命题点1 求抛物线的标准方程

例2 已知双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点 5 到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为____________.

答案 x2＝16y

解析 ∵x2a2－y2b2＝1的离心率为2，

∴ca＝2，即c2a2＝a2＋b2a2＝4，∴b2a2＝3，ba＝3.

x2＝2py的焦点坐标为0，p2，x2a2－y2b2＝1的渐近线方程为y＝±bax，即y＝±3x.由题意得p21＋32＝2，∴p＝8.故C2的方程为x2＝16y.

命题点2 抛物线的几何性质

例3 过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点.若AF＝3，则△AOB的面积为________.

答案 322

解析 由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，如图所示，AF＝x1＋1＝3，

∴x1＝2，y1＝22.

设AB的方程为x－1＝ty，由 y2＝4x，x－1＝ty消去x得y2－4ty－4＝0.

∴y1y2＝－4.∴y2＝－2，x2＝12，

∴S△AOB＝12×1×|y1－y2|＝322.

思维升华 (1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.

(1)(2015·陕西)若抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过双曲线x2－y2＝1的一个焦点，则p＝________.

答案 22 6 解析 由于双曲线x2－y2＝1的焦点为(±2，0)，故应有p2＝2，p＝22.

(2)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

①y1y2＝－p2，x1x2＝p24；

②1AF＋1BF为定值；

③以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

证明 ①由已知得抛物线焦点坐标为(p2，0).

由题意可设直线方程为x＝my＋p2，代入y2＝2px，

得y2＝2pmy＋p2，即y2－2pmy－p2＝0.(*)

则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2＝－p2.

因为y21＝2px1，y22＝2px2，所以y21y22＝4p2x1x2，

所以x1x2＝y21y224p2＝p44p2＝p24.

②1AF＋1BF＝1x1＋p2＋1x2＋p2

＝x1＋x2＋px1x2＋p2x1＋x2＋p24.

因为x1x2＝p24，x1＋x2＝AB－p，代入上式，

得1AF＋1BF＝ABp24＋p2AB－p＋p24＝2p(定值).

③设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，

则MN＝12(AC＋BD) 7 ＝12(AF＋BF)＝12AB.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.

题型三 直线与抛物线的综合问题

命题点1 直线与抛物线的交点问题

例4 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若MA→·MB→＝0，则k＝________.

答案 2

解析 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.设点A(x1，y1)，B(x2，y2).

则x1＋x2＝4＋8k2，x1x2＝4.

所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝8k，

y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.

因为MA→·MB→＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，

将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.

命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题

例5 (2014·浙江)如图，已知△ABP的三个顶点都在抛物线C：x2＝4y上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，PF→＝3FM→.

(1)若PF＝3，求点M的坐标；

(2)求△ABP面积的最大值.

解 (1)由题意知焦点F(0,1)，

准线方程为y＝－1.

设P(x0，y0)，

由抛物线定义知PF＝y0＋1，

得到y0＝2，

所以P(22，2)或P(－22，2).