高中数学求二面角技巧

1 高中数学：《二面角》教案

一、目的要求

1、认知目标：（1）使学生正确理解二面角及其平面角的概念,并能初步运用它们解决实际问题。（2）进一步培养学生把空间问题转化为平面问题的解题思想。

2、能力目标：以培养学生的创新能力和动手能力为重点。(1)突出对类比、直觉、发散等探索性思维的培养,从而提高学生的创新能力。（2）通过对图形的作图、观察、分析和比较来强化学生的动手操作和动脑的能力。

3、教育目标：(1)使学生认识到数学知识来自实践,并服务于实践,从而增强学生应用数学的意识。(2)通过揭示面面之间的内在联系,进一步使学生建立“联系”的辩证唯物主义观点。

二、重点、难点：（1）二面角的平面角概念,不同方位二面角的平面角的直观图的画法；（2）寻找二面角的平面角的方法的发现过程。

三、教学过程：

（一）、二面角

1、提示问题产生的背景：

问题情境1、在修筑水库的拦水坝时,为了牢固耐用而又经济,必须考虑拦水坝坡面与地面（平面与平面相交）要组成适当的角度。（由实例引入二面角的概念）,接着又问学生还能举出一些二面角的实例吗？

问题情境2、我们应如何定量研究两个相交平面之间的相对位置呢？

通过这二个问题,打开了学生的原有认知结构,为知识的创新做好了准备；同时也让学生领会到,二面角这一概念的产生是因为研究两相交平面的相对位置的需要,从而明确新课题研究的必要性,触发学生积极思维活动的展开。

2、展现概念形成过程。

问题情境3、应如何定义两相交平面所构成的角呢？

创设这个问题情境,为学生创新思维的展开提供了空间。结合电脑演示,引导学生回忆平面几何中“角”这一概念的引入过程。

2

问题情境4、通过类比,同学们能给出二面角的概念吗？

引导学生将平面几何中角这一概念的引入过程,通过类比,迁移到两相交平面所成角（二面角）的引入上,从而实现知识的创新。教师先肯定学生的创新结果,给予积极的评价,强化他们的创新意识。由教师版书于上图表中右侧。

求解二面角的四种基本方法

高中数学学习过程中，求解二面角是高考理科高考的必考题型，多种角度，多种方法处理这类问题是一项重要的基本能力，是落实数学核心素养培养的基本方法，在教学过程中有必要对本类型习题进行详尽的介绍和广泛的探索，提升本类问题的处理方式和方法，是多种知识交汇，处理问题的能力的体现，本文根据近年高考题与模拟题中的常见题型，对常用的处理方法进行探究和总结，希望能够找到本类题型的常见处理方法，帮助学生建立良好的处理策略.

一、利用定义求解

例1. 如图，在直四棱柱1111ABCDABCD中，底面ABCD为菱形，23AC，12AABD,E为1BD中点.

求二面角EDCA的余弦值.

分析 过O作OFCD，垂足为F，连OF，则EFO是二面角EOCA的平面角.

解答过O作OFCD，垂足为F，连OF，

∵1DD面ABCD，1//OEDD，∴OE面ABCD.

∴EFO是二面角EOCA的平面角.

∵1112OEDD，32OF，∴72EF，217cosEFO.

故二面角EDCA的余弦值为217.

说明 二面角是规则图形的面与面之间的角是，采用二面角的定义，直接做出角，利用边长的长度关系找到二面角的平面角之间的边长长度关系，进而求解二面角大小.

变式训练1 （2019年天津高考题）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，PCD△为等边三角形，平面PAC平面PCD，PACD，2CD，3AD， DCOAB

求直线AD与平面PAC所成角的正弦值.

二、利用面积面积射影求解

例2. 在三棱锥中PABC，,DE分别为PBC、ABC的重心，若DEABC面，2PBCABCSS，则二面角PBCA的大小为______.

分析 易证DE∥PA，则PAABC面，则PBC的射影为ABC，此时宜采用“面积射影法”.

解答 设二面角为，因为,DE分别为PBC、ABC的重心，则可得=MDMEDPEA，所以DE∥PA.又因为DEABC面，所以PAABC面.因为cosABCPBCSS1222，所以45o.

从高考题谈二面角的解法

摘 要：二面角的大小，是高中数学的重点，同时也是高考的热点，常考常新，其求法各式各样，二面角在高考立体几何的计算中占据着主角地位。而二面角的求解因为方法多样、灵活多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算能力，更受到命题者的青睐。用传统方法来求解二面角，对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求高；用平面的法向量来求解二面角，对学生的计算能力要求较高，学生往往建系不当、计算出错等原因导致失分。故本人总结出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法、射影法等，和求二面角大小的通法——向量法。

关键词： 立体几何 二面角 垂直

学习立体几何有利于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和逻辑推理能力。立体几何在每年的高考题中都占有很大的比重。其中二面角是高中立几中中的一项重要内容，是高中数学（教学）的重点，也是历年来高考卷的重点，难点，常考常新，其求法各式各样，是发展空间想象、推理论证、运算求解等基本能力的良好素材。但因其抽象性、综合性和多变性，使得二面角成为教学当中的难点和重点。此题型在高考中属于拉开学生距离的部分，很多学生放弃此题。在近十年的教学中，在求解二面角方面本人总结出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法、射影法等，和求二面角大小的通法——向量法。使二面角问题变得通俗化、模式化和程序化，让学生既容易掌握，又方便操作。

1、 定义法求解二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1：在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，

PA＝AB＝a，求二面角B－PC－D的大小。

解： P

B A

C D

1

===PAABPAADPBPDABADa，

高三第二轮巩固复习

第 1 页 共 15 页 专题十六 二面角

基础知识回顾 温故知新

1.线面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个

2.斜线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的夹角，叫做斜线和平面所成的角 (或斜线和平面的夹角). 简称线面角

3.直线与平面所成的角θ的取值范围是：

斜线与平面所成的角θ的取值范围是：

4.二面角的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为、的二面角记作二面角AB．有时为了方便，也可在、内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作PABQ．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角l或PlQ．

5．二面角的平面角

在二面角l的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．

2020高三第二轮巩固复习

第 2 页 共 15 页 二面角的平面角AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O，但为了研究和解决问题的方便，我们一般取特殊点作为点O．

范围：[0，π]

★★★高考在考什么

【考题回放】

1.（2011湖北文18）如图，已知正三棱柱111ABCABC的底面边长为2，侧棱长为32，点E在侧棱1AA上，

点F在侧棱1BB上，且22,2AEBE.

(Ⅰ)求证：1CFC

(Ⅱ)求二面角1EECFC的大小.

2.（2011四川文19）(本小题共l2分)