高考数学一轮复习第8章解析几何第7讲抛物线

第七讲

抛物线

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一 抛物线的定义

抛物线需要满足以下三个条件：

(1在平面内；

(2动点到定点F的距离与到定直线l的距离__相等__；

(3定点F与定直线l的关系为__点F∉l__．

知识点二 抛物线的标准方程与几何性质

标准

方程 y2＝2px

(p＞0 y2＝－2px

(p＞0 x2＝2py

(p＞0 x2＝－2py

(p＞0

p的几何意义：焦点F到准线l的距离

图形

顶点 O(0,0

对称轴 y＝0 x＝0

焦点 Fp2，0 F－p2，0 F0，p2 F0，－p2

离心率 e＝__1__

准线

方程 __x＝－p2__ __x＝p2__ __y＝－p2__ __y＝p2__

范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R y≥0,x∈R y≤0,x∈R

开口方向 向右 向左 向上 向下

焦半径

(其中P(x0,y0 |PF|＝__x0＋p2__ |PF|＝__－x0＋p2__ |PF|＝__y0＋p2__ |PF|＝__－y0＋p2__

重要结论

抛物线焦点弦的处理规律

直线AB过抛物线y2＝2px(p＞0的焦点F,交抛物线于A(x1,y1,B(x2,y2两点,如图．

(1y1y2＝－p2,x1x2＝p24．

(2|AB|＝x1＋x2＋p,x1＋x2≥2x1x2＝p,即当x1＝x2时,弦长最短为2p．

(31|AF|＋1|BF|＝2p．

(4弦长AB＝2psin2α(α为AB的倾斜角．

(5以AB为直径的圆与准线相切．

(6焦点F对A,B在准线上射影的张角为90°．

(7A、O、D三点共线；B、O、C三点共线．

双基自测

题组一 走出误区

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”

(1平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )

(2方程y＝ax2(a≠0表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线,且其焦点坐标是a4，0,准线方程是x＝－a4．( × )

(3抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形．( × )

(4AB为抛物线y2＝2px(p＞0的过焦点Fp2，0的弦,若A(x1,y1,B(x2,y2,则x1x2＝p24,y1y2＝－p2,弦长|AB|＝x1＋x2＋p．( √ )

(5过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线x2＝－2ay(a＞0的通径长为2a．( √ )

题组二 走进教材

2．(必修2P69例4(2021·甘肃张掖诊断过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1,y1,Q(x2,y2两点,如果x1＋x2＝6,则|PQ|等于( B )

A．9 B．8

C．7 D．6

[解析] 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0,准线方程为x＝－1．根据题意可得,|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8．

3．(2021·河南郑州名校调研抛物线y＝－4x2上的一点M到焦点的距离为1,则点M的纵坐标是( B )

A．－1716 B．－1516

C．716 D．1516

[解析] 由抛物线的方程y＝－4x2,可得标准方程为x2＝－14y,则焦点坐标为F0，－116,准线方程为y＝116,设M(x0,y0,则由抛物线的定义可得－y0＋116＝1,解得y0＝－1516．故选B．

题组三 走向高考

4．(2019·课标全国Ⅱ若抛物线y2＝2px(p＞0的焦点是椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点,则p＝( D )

A．2 B．3

C．4 D．8

[解析] ∵抛物线y2＝2px(p＞0的焦点坐标为p2，0,

∴椭圆x23p＋y2p＝1的一个焦点为p2，0,

∴3p－p＝p24,∴p＝8．故选D．

5．(2020·新课标Ⅰ已知A为抛物线C：y2＝2px(p＞0上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则p＝( C )

A．2 B．3

C．6 D．9

[解析] A为抛物线C：y2＝2px(p＞0上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等,故有：9＋p2＝12⇒p＝6；故选C．

考点突破·互动探究

考点一 抛物线的定义及应用——多维探究

角度1 轨迹问题

例1 (1动圆与定圆A：(x＋22＋y2＝1外切,且和直线x＝1相切,则动圆圆心的轨迹是( D )

A．直线 B．椭圆

C．双曲线 D．抛物线

[解析] 设动圆的圆心为C,则C到定圆A：(x＋22＋y2＝1的圆心的距离等于r＋1,而动圆的圆心到直线x＝1的距离等于r,所以动圆到直线x＝2距离为r＋1,即动圆圆心到定点(－2,0和定直线x＝2的距离相等,根据抛物线的定义知,动圆的圆心轨迹为抛物线,所以答案为D．

角度2 到焦点与到定点距离之和最小问题

(2①(2021·河北保定七校联考已知M是抛物线x2 ＝4y上一点,F为其焦点,C为圆(x＋12＋(y－22 ＝1的圆心,则|MF|＋|MC|的最小值为( B )

A．2 B．3

C．4 D．5

②(2021·山西运城联考已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F,O为原点,点P是抛物线C的准线上的一动点,点A在抛物线C上,且|AF|＝4,则|PA|＋|PO|的最小值为( B )

A．42 B．213

C．313 D．46

[解析] ①设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝－1,C为圆(x＋12＋(y－22＝1的圆心,所以C的坐标为(－1,2,过M作l的垂线,垂足为E,根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|,所以问题求|MF|＋|MC|的最小值,就转化为求|ME|＋|MC|的最小值,由平面几何的知识可知,当C,M,E在一条直线上时,此时CE⊥l,|ME|＋|MC|有最小值,最小值为|CE|＝2－(－1＝3,故选B．

②由抛物线的定义知|AF|＝yA＋p2＝yA＋2＝4,∴yA＝2,代入x2＝8y,得xA＝±4,不妨取A(4,2,又O关于准线y＝－2的对称点为O′(0,－4,∴|PA|＋|PO|＝|PA|＋|PO′|≥|AO′|＝－4－22＋0－42＝213,当且仅当A、P、O′共线时取等号,故选B．

[引申]本例(2①中,(ⅰ|MC|－|MF|的最大值为__2__；最小值为__－2__；(ⅱ若N为⊙C上任一点,则|MF|＋|MN|的最小值为__2__．

角度3 到准线与到定点距离之和最小问题

(3已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0,抛物线y2＝8x的准线为l,设抛物线上任意一点P到直线l的距离为d,则d＋|PC|的最小值为( A )

A．41 B．7

C．6 D．9

[解析] 由题意得圆的方程为(x＋32＋(y＋42＝4,圆心C的坐标为(－3,－4．由抛物线定义知,当d＋

|PC|最小时为圆心与抛物线焦点间的距离,即d＋|PC|＝－3－22＋－42＝41．

角度4 到两定直线的距离之和最小问题

(4(2021·北京人大附中测试点P在曲线y2＝4x上,过P分别作直线x＝－1及y＝x＋3的垂线,垂足分别为G,H,则|PG|＋|PH|的最小值为( B )

A．322 B．22

C．322＋1 D．2＋2

[解析]

由题可知x＝－1是抛物线的准线,焦点F(1,0,由抛物线的性质可知|PG|＝|PF|,∴|PG|＋|PH|＝|PF|＋|PH|≤|FH|＝|1－0＋3|2＝22,当且仅当H、P、F三点共线时取等号,∴|PG|＋|PH|的最小值为22．故选B．

名师点拨

利用抛物线的定义可解决的常见问题

(1轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线．

(2距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离问题时,注意在解题中利用两者之间的关系进行相互转化．

(3看到准线想焦点,看到焦点想准线,这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．

〔变式训练1〕

(1(角度1到定点A(0,2的距离比到定直线l：y＝－1大1的动点P的轨迹方程为__x2＝8y__．

(2(角度1(2021·吉林省吉林市调研已知抛物线y2＝4x的焦点F,点A(4,3,P为抛物线上一点,且P不在直线AF上,则△PAF周长取最小值时,线段PF的长为( B )

A．1 B．134

C．5 D．214

(3(角度2(2021·山西大学附中模拟已知点Q(22,0及抛物线y＝x24上一动点P(x,y,则y＋|PQ|的最小值是__2__．

(4(角度3(2021·上海虹口区二模已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1,抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为( C )

A．3716 B．115

C．2 D．74

[解析] (1由题意知P到A的距离等于其到直线y＝－2的距离,故P的轨迹是以A为焦点,直线y＝－2为准线的抛物线,所以其方程为x2＝8y．

(2求△PAF周长的最小值,即求|PA|＋|PF|的最小值,设点P在准线上的射影为D,根据抛物线的定义,可知|PF|＝|PD|,因此,|PA|＋|PF|的最小值,即|PA|＋|PD|的最小值．根据平面几何知识,可得当D,P,A三点共线时|PA|＋|PD|最小,此时P(94,3,且|PF|＝94＋1＝134,故选B．

(3抛物线y＝x24即x2＝4y,其焦点坐标为F(0,1,准线方程为y＝－1．因为点Q的坐标为(22,0,所以|FQ|＝222＋12＝3．过点P作准线的垂线PH,交x轴于点D,如图所示．结合抛物线的定义,有y＋|PQ|＝|PD|＋|PQ|＝|PH|＋|PQ|－1＝|PF|＋|PQ|－1≥|FQ|－1＝3－1＝2,即y＋|PQ|的最小值是2．

(4直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线,抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0,则点P到直线l2：x＝－1的距离等于PF,过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线,和抛物线的交点就是点P,所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和到直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离,所以最小值为|4－0＋6|32＋42＝2,故选C．